Indice

Funzioni pag. 2

Funzioni polinomiali, equazioni e disequazioni pag. 5

Potenze, esponenziali e logaritmi pag. 10

Trigonometria pag. 12

Trucchetti con i limiti pag. 16

Problemi con le derivate pag. 17

Problemi con le serie pag. 30

Che ci faccio con gli integrali? pag. 32

Avvertenza Quando al termine di una traccia compare una data significa che l’eser-cizio proviene dalla prova d’esame della data indicata. Pertanto e possibile trovarne losvolgimento nei files che raccolgono le prove d’esame, anche essi scaricabili direttamentedalla pagina web.

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Funzioni

1. Il detective E’ stato commesso un crimine informatico attaverso l’e-mail: gli indiziati sonoun matematico, un fisico, un chimico, un medico, un avvocato (!) e un ingegnere. Nessunodegli indiziati e a conoscenza di quanti e chi siano gli altri.

L’investigatore ha la certezza che l’autore del crimine abbia un solo account di posta elet-tronica.

Quando a ciascuno di loro singolarmente viene chiesto di indicare il proprio indirizzo e-mailda una lista, il matematico obietta:”questa non e una funzione!”.

Allora l’investigatore depenna il matematico dalla lista dei sospetti: perche?

2. Albero genealogico Consideriamo queste quattro famiglie: Paolo e Luciana sono i genitoridi Carlo, Elena ed Andrea; Francesco, che e il fratello di Luciana, e sua moglie Marta sonoinvece i genitori di Eleonora e Claudio; la sorella di Marta, Cecilia, e suo marito Giovannisono i genitori di Patrizia, Anna e Fabrizio; infine il fratello di Giovanni, Vincenzo conla moglie Fulvia sono i genitori di Antonio, Marco, Chiara e Daniela. Sia H l’insieme ditutte queste persone, e sia H1 = { Luciana, Carlo, Andrea, Elena, Giovanni, Patrizia, AnnaFabrizio, Vincenzo, Antonio, Marco, Chiara, Daniela }.La corrispondenza f(x) = fratello di x’ non e un’applicazione: perche?

Determina il piu grande sottoinsieme H2 di H1 in cui f e un’applicazione: adesso f : H2 → He un’applicazione iniettiva?

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3. Interrogazione di geografia Sia A l’insieme degli attuali capoluoghi di provincia italiani,B l’alfabeto latino e C = B2. Siano poi f : A → B l’applicazione che associa ad ognielemento di A la sua iniziale, e g : A→ C quella che associa ad ogni capoluogo di provinciala sua targa automobilistica.

Discutere l’iniettivita e la suriettivita delle due applicazioni.

L’applicazione f ◦ g−1 coincide con la proiezione di g(A) sul primo fattore; vero o falso?

4. Siamo tutti Bartezzaghi? Sia A l’insieme dei vocaboli della lingua italiana, e siano f1, f2 :A→ IN le applicazioni che associano ad ogni vocabolo il numero di lettere, rispettivamentedi sillabe, che lo compongono (ad esempio f1(ra-pa-ce) = 6, f2(ra-pa-ce) = 3 ).Sia B l’alfabeto latino e g : B → N l’applicazione seguente:

Sia infine h : A→ B l’applicazione che associa ad ogni vocabolo della lingua italiana la suainiziale. Tra le figure seguenti individua quali rappresentano un elemento x ∈ A tale chef1(x) = (g ◦ h)(x), quali ad un elemento x ∈ A tale che f2(x) = (g ◦ h)(x).

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Funzioni polinomiali, equazioni e disequazioni

1. Fiori e cavolfiori. Manuel e Francesca, sono una giovane coppia che si e appenatrasferita in una nuova casa; adesso hanno un giardino rettangolare, e sono d’accordodi destinarne una parte ad aiuola ed una parte ad orto. Il giardino ha una forma

rettangolare, col lato piu corto pari a3

5del lato piu lungo. Se chiamiamo L il lato piu

lungo, quanto deve essere il lato ` dell’aiuola, se vogliamo che la superficie dell’ortosia il doppio di quella dell’aiuola?

2. Magro e bello! Luigi, Enrico e Filippo salgono insieme sulla bilancia che segna cosı120 chili. Enrico, che pesa 5 chili piu di Filippo, pesa gli 8/9 del peso di Luigi. Quantopesa Filippo?

(da ‘La Settimana Enigmistica’)

3. Per andare da casa al giardino le ruote piu grandi di un passeggino effettuano 6.000giri. Quanti ne compiono quelle piu piccole, che hanno il diametro pari a 4/5 di quellodelle ruote piu grandi?

(da ‘La Settimana Enigmistica’)

4. Cinemania Due videostores concorrenti praticano due diverse politiche; il videostoreX chiede 50 euro di tessera annuale e poi noleggia videocassette e DVD a 6 euro avolta, mentre l’esercizio Y non richiede nessuna iscrizione ma affitta videocassette eDVD a 8 euro a volta. Le regole per la restituzione sono le stesse in entrambe i negozi.Quanti film affitto annualmente se affittare da X o da Y e per me la stessa cosa?

5. Fitness; in due e meglio

Carla e Luciano sono una coppia che ha deciso di praticare sport insieme almeno unpaio di volte a settimana. Ora stanno confrontando tra le diverse opzioni offerte daun grosso impianto sportivo.

Per usufruire del circolo tennistico vengono richiesti 120 euro di iscrizione annuale, edil campo da tennis puo essere affittato per 15 euro l’ora.

Per frequentare la palestra sono richiesti 50 euro annuali per l’assicurazione e la visitamedica piu 250 euro di abbonamento trimestrale.

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L’accesso alla piscina invece richiede 60 euro annuali per l’assicurazione e la visitamedica ed ha un costo di 180 euro per ogni pacchetto da 20 ingressi (non nominali eda usufruire entro l’anno di emissione).

Osserviamo che essendo gli impianti concentrati in una stessa zona, i costi di sposta-mento sono equivalenti per le tre attivita, quindi ininfluenti ai fini del confronto.

Se si rappresentano i costi sostenuti in funzione delle settimane (ipotizzando duesedute di allenamento per qualsiasi attivita scelta in tutte le settimane dell’anno)quale grafico segue l’andamento di una retta?

Se si rappresentano i costi sostenuti in funzione delle settimane (ipotizzando duesedute di allenamento per qualsiasi attivita scelta in tutte le settimane dell’anno) cheandamento segue la pratica della palestra?

Rappresentare un grafico sovrapposto dei costi.

6. Premio fedelta Un esercizio commerciale pratica una politica di fidelizzazione dellaclientela consegnando ai clienti una tessera elettronica a scadenza annuale che dadiritto al 5% di sconto su ogni acquisto successivo alla franchigia dei primi 50 euro dispesa.

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Se si suppone ad ogni approvvigionamento di effettuare acquisti per un ammontarepressoche costante di x euro, qual e il numero no di approvvigionamenti annui che dadiritto allo sconto?

Se il numero di approvvigionamenti annui da diritto allo sconto, quanto vale lo scontocomplessivo ottenuto all’n-esimo approvvigionamento?

Prevedendo due approvvigionamenti settimanali, se abbiamo cominciato a frequentarel’esercizio commerciale solo da Settembre, quanto deve essere la spesa media x perriuscire a raggiungere la franchigia e cominciare ad usufruire dello sconto?

7. Sulle punte

Esiste un capo di abbigliamento femminile che si chiama gonna a ruota; per capirci

la gonna a ruota e la gonna del tutu della ballerina classica.

La gonna a ruota e di fatto un pezzo di stoffa che ha la forma di una ciambella.

Per tagliare questa ciambella, la sarta deve prima tracciare un modello sulla carta (ilcartamodello) e siccome le sarte tagliano la stoffa dopo averla ripiegata in due strati, ilcartamodello ha la forma di mezza ciambella. Per disegnare questa mezza ciambella lasarta usera il compasso e deve sceglierne l’apertura in modo che la mezza circonferenzache creera il buco della ciambella sia esattamente meta del giro-vita della ballerina cuie destinato il tutu.

Nei corsi di taglio e cucito si insegna questa fantasiosa regola per calcolare l’ aperturah del compasso

h =1

6circonferenza vita - 1 cm

Questo dovrebbe servire a riaggiustare i decimali che si sono trascurati approssimandoπ con 3.

Trattandosi di una regola approssimata, con questo metodo la gonna in genere nonverra perfetta. Calcolare per quale circonferenza vita la regola suddetta consente didisegnare un cartamodello perfetto (cioe nel quale la lunghezza vita che si ottienee esattamente quella della modella). Introduciamo altre approssimazioni di π : adesempio presso i sumeri il valore di π veniva approssimato direttamente da 3; peri Babilonesi invece valeva l’approssimazione π = 3,125; mentre per gli antichi Egizivaleva l’approssimazione π =3,1605.

Dunque la sarta sumera, la sarta di M.me Assurbanipal, e la sarta personale del-la regina Nefertiti avrebbero utilizzato quali formule per disegnare il creta-modello,rispettivamente il papiro-modello?

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8. In forma! Per calcolare l’intervallo aerobico di un individuo sano, cioe il numerominimo e massimo di pulsazioni entro le quali allenarsi, si usano le formule empiriche

freqmin = 60%[220−eta dell’individuo]freqmax = 70%[220−eta dell’individuo] .

Se il personal trainer ha calcolato la soglia minima di Sergio in 117 pulsazioni, quantodeve essere la soglia massima, e qual e l’eta di Sergio?

9. Prova di evacuazione

Il responsabile della Protezione Civile e il volontario Luca stanno organizzando una

simulazione di evacuazione di un istituto scolastico; in particolare vogliono tracciaresul pavimento della palestra una striscia che la divida in due settori, in modo che chisi trova nel I settore utilizzi l’uscita A e chi si trova nel secondo settore utilizzi l’uscitaB. E ovviamente vogliono che in questo modo ognuno utilizzi l’uscita piu vicina; saiaiutarli a determinare la linea da tracciare sul pavimento?

10. Il suicida

Un uomo minaccia di suicidarsi lanciandosi dal cornicione del dodicesimo piano diun grattacielo. Mentre un amico cerca di trattenerlo vengono avvertite le autorita.Purtroppo 3s dopo l’arrivo dei vigili del fuoco e l’inizio della sistemazione del telo, cheprevede un tempo pari a 5s, l’uomo sfugge di mano all’amico. Si salvera?

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11. La bilancia Nella tabella vengono rappresentate le classi di peso in funzione del BMI(Body Mass Index) il cui valore individuale e dato dal rapporto

BMI =P

h2

dove P e il peso dell’individuo espresso in Kg, e h l’altezza espressa in metri. Se unindividuo che pesa 70 kg si trova in sovrappeso secondo la tabella del B.M.I. cosa sipuo dire della sua altezza?

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Potenze, esponenziali e logaritmi

1. In un paese di n abitanti la quantita Q di un certo bene venduta annualmente e datada

Q = kn

3p2

dove p e il prezzo unitario e k e una costante. Se il prezzo dimezza e il numero diabitanti triplica, di quanto varia Q?.

2. In condizioni ideali, la crescita di una popolazione batterica in cultura e governatadalla legge

N(t) = No2tT

dove No e il numero di batteri posti in cultura all’inizo dell’esperimento, e T il tempodi riproduzione.

Se dopo due ore di crescita si contano 6.000 batteri e dopo 4 ore se ne contano 2.400,determinare No e T .

3. Si stima che la popolazione mondiale, attualmente di circa 6 miliardi di individui,aumenti dell’ 1,7% all’anno. Supponendo che il tasso di crescita rimanga invaria-to nel tempo, calcolare entro quanti anni la popolazione duplichera, quadruplichera,decuplichera.

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4. Un capitale e investito da lungo tempo ad un tasso di interesse annuo del 5 %. Ilcapitale attuale e di 74.500 euro. Quale era l’ammontare del capitale 10 anni fa?Determinare tale valore nei due casi

- senza reinvestimento degli interessi (capitalizzazione semplice)

- con reinvestimento degli interessi (capitalizzazione composta).

5. Una popolazione A e formata da 106 individui e cresce ad un tasso del 7% annuo.Un’altra popolazione B e formata da 1, 35 · 106 individui e cresce ad un tasso di 3,5%annuo. Entro quanti anni la popolazione A diventera piu numerosa della popolazioneB?

6. Una sostanza contenente atomi radioattivi li perde spontaneamente col trascorreredel tempo (decadimento radiattivo). La legge del decadimento si puo rappresentaretramite la funzione

N(t) = No2− t

T

dove No e il numero di atomi radioattivi all’istante iniziale t = 0, e T e il tempo didimezzamento della sostanza radioattiva.

Il tempo di dimezzamento del Carbonio (14C) e di circa 5730 anni. Dopo quanti anniuna certa quantita di tale isotopo si sara ridotta del 5%?

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Trigonometria

1. Alta marea

La marea e un moto periodico di ampie masse d’acqua (oceani, mari, e grandissimi laghi),che si innalzano (flusso, alta marea) e abbassano (riflusso, bassa marea) anche di 10-15 metricon frequenza giornaliera o frazione di giorno, dovuto principalmente a due fattori:

all’attrazione gravitazionale che esercita la luna sulla terra (alta marea al passaggio dellaluna)

alla forza centripeta dovuta alla rotazione del sistema terra-luna intorno baricentro (altamarea sul lato della terra che e opposto alla luna).

L’ampiezza (detta altezza dell’onda di marea, eguale al dislivello tra bassa e alta marea),frequenza e orario delle maree sono legati a fenomeni astronomici (rotazione della coppiaterra-luna, vicinanza, inclinazione e passaggio della luna in particolare e del sole secon-dariamente) e morfologici (superficie della massa d’acqua, forma della costa, differenza diprofondita dei fondali).

La maggiore differenza tra l’alta e la bassa marea viene spiegata con il passaggio della luna,che ruota attorno alla terra con un periodo leggermente superiore alle 24 ore, cosicche ilperiodo principale delle maree e di circa 12 ore 25 minuti. Il che vuol dire che per circa 6ore il livello del mare scende, per poi risalire per altrettante ore.

Di seguito sono riportati i dislivelli massimi delle maree in alcune localita terrestri connotevoli ampiezze di marea

Baia di Fundy, Canada, 20 mt

Porto Gallegos, Patagonia, 18 mt

Portishead, Gran Bretagna, 16 mt

Granville, Francia, 15 mt

Fitzroy, Australia, 14 mt

Saint-Malo, Francia, ca. 13 mt

L’innalzamento del livello in funzione del tempo e ben descritto da una legge del tipo

h(t) = α cosβt, t ≥ 0.

Se la marea montante ricopre una spiaggia, si puo calcolare la velocita con la quale il mare siavvicina alla costa. Minore la pendenza della spiaggia e maggiore la velocita. Non sono rari i

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casi di bagnanti, escursionisti o lavoratori rimasti sorpresi dalla marea montante, rischiandodi annegare anche a chilometri dalla riva.

Se in una localita si ha una spiaggia di pendenza 1◦ e l’ampiezza di marea e di 12 mt. a chevelocita avanza il mare verso la costa tra la terza e la quarta ora?

E quanto deve essere lunga la spiaggia per poterci accedere anche con l’alta marea?

2. Fiat lux!

La grandezza fotometrica fondamentale e l’intensita luminosa, che e definita come il flussoluminoso emesso nell’angolo solido unitario, cioe nello steradiante (simbolo sr) che e l’angolosolido che su di una sfera con centro nel vertice dell’angolo intercetta una calotta di areauguale a quella di un quadrato avente lato uguale al raggio della sfera stessa).

Invece il flusso luminoso e la quantita di luce emessa nell’unita di tempo.

L’intensita luminosa viene misurata in candele.

La definizione di questa unita ha subıto nel tempo diverse modificazioni, dovute all’apportodi nuove tecnologie che permettono di definirla in forma piu precisa: cosı se l’unita diVoille introdotta nel 1884 si riferiva alla temperatura di fusione del platino, oggi la candelarappresenta l’intensita luminosa di una sorgente che emette una radiazione monocromaticacon frequenza e intensita energetica assegnate.

Attraverso l’intensita luminosa si definisce automaticamente l’unita di flusso luminoso, illumen, ovvero il flusso irradiato da una sorgente di una candela nell’angolo di 1 sr.

L’unita di illuminamento invece e il lux che e l’illuminamento prodotto su una superficie di1 mq da un flusso luminoso di 1 lumen.

Per avere un’idea dell’ordine di grandezza del lux, si pensi che in aperta campagna, suuna strada soleggiata, si ha un illuminamento di decine di migliaia di lux; negli ambientiilluminati da ampie finestre si hanno centinaia di lux. Di contro di sera, con l’illuminazioneartificiale, consideriamo molto ben illuminato un ambiente a 40-50 lux, ma e gradevole ancheun illuminamento di 20 lux per le normali attivita. Per non affaticare l’occhio tuttavial’illuminamento dovrebbe essere di 150 lux sulle pagine che si leggono, di 200-300 lux sultavolo di un disegnatore o di una sarta, di 500 lux sul banco dell’orologiaio.

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L’illuminamento di una superficie dipende dall’intensita della sorgente, dalla sua distanzadalla superficie e dalla sua posizione rispetto alla superficie; queste tre dipendenze si possonocondensare nella Legge di Lambert

E =I cosα

r2

dove E e l’illuminamento, I e l’intensita della sorgente (in candele), r e la distanza in metridella sorgente dalla superficie illuminata e α e l’angolo che i raggi formano con la normalealla superficie

Rappresenta in un grafico la variazione dell’illuminazione in funzione

i di I

ii di α

iii di r

iv di r2

A quale caso si riferisce a variazione dell’illuminazione rappresentata da questo grafico?

I > r2, I = r2 o I < r2?

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A parita di intensita della sorgente luminosa S tra i grafici seguenti qual e quello che rappre-senta la variazione di illuminamento in funzione della posizione di S con S posta a maggioredistanza?

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Trucchetti con i limiti

1. Come ti approssimo π

Dalla figura riportata, si evince che il perimetro di ogni poligono regolare inscritto nella

circonferenza goniomentrica ne approssima la lunghezza per difetto, mentre il perimetro diun aribitrario poligono regolare circoscritto ad essa, la approssima per eccesso.

Determinare il numero di lati dei due poligoni, quelo inscritto e quello circoscritto, che per-mettono di approssimare π a meno di 10−4 e determinare di conseguenza l’approssimazione.

Sapresti utilizzare un analogo ragionamento per determinare con lo stesso grado di precisioneun’approssimazione per difetto di e?

2. Riccheteracchetera Determinare la definizione ricorsiva che fornisce il numero di coppieadulte presenti in un allevamento di una razza di conigli il cui ciclo riproduttivo inizia al 3o

mese di vita e termina al 7o. Determinare anche il comportamento dell’accrescimento.

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Problemi con le derivate

1. Calcolare la velocita istantanea di innalzamento del moto di marea di ampiezza A e pul-sazione β; a parita di ampiezza di marea, la velocita istantanea e maggiore per pulsazionimaggiori o minori?

2. Il presepe: Marco e un appassionato del presepe tradizionale; ne possiede uno che ha co-struito quasi interamente da solo, e ogni anno aggiunge qualcosa per abbellirlo ulteriormente.Quest’anno vuole aggiungere la figura del Caldarrostaro, e vuole dotarla di un’illuminazioneintermittente che dia l’idea delle braci accese sotto il calderone.

Per questo dovra collegare la figurina all’alimentatore del presepe, che si trova nella posizioneM del grafico. D’altra parte vuole sistemare il nuovo personaggio lungo la strada di ghiaiettadi cui il plastico e dotato, e che deve necessariamente scorrere lungo lo steccato sagomatoche gli ha regalato anni fa la cugina Simona, studentessa di Ingegneria, che a suo tempo loha orgogliosamente informato di averlo costruito personalmente, utilizzando, per sagomareil tracciato dello steccato, il grafico della funzione

f(x) =

√2− 1

1 + x2− (x− 1)2;

(d’altra parte Simona e sempre stata un po’ fanatica...).

Qual e la posizione ottimale del Caldarrostaro, per impiegare il minimo di cavo elettrico dicollegamento? (3 Dicembre 2013)

3. La pompa Due centri urbani A e B che si trovano sulla stessa sponda di un canale a distanzarispettivamente di 2 e 5 Km dalla riva. La distanza tra A’ e B’ e di 9 Km. Per rifornire diacqua i due centri si intende costruire una stazione di pompaggio sulla riva, e di collegarlacon tubature ai due centri. In quale punto X sulla costa conviene costruire la stazione dipompaggio per minimizzare la lunghezza delle tubature?

(7 Dicembre 2012)

4. Due carabinieri si trovano a bordo della camionetta in dotazione alla caserma nel punto A,e debbono raggiungere il punto B; il tratto curvo in pianta rappresenta una strada sterrata,sulla quale la camionetta puo tenere una velocita media di 20 km/h. Invece a piedi possonotenere una velocita di 5 km/h. Il raggio della circonferenza contenente l’arco AB e di 16km, mentre la corda AB e lunga 10 km.

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Stabilire dove conviene loro parcheggiare la camionetta e proseguire a piedi in modo daraggiungere il punto B prima possibile.(31 gennaio 2013)

5. Per San Valentino, Romeo vuole regalare dei cioccolatini a Giulietta. E per personalizzareil suo regalo, da un cartoncino rettangolare di lati ` e 2` vuole ricavare un sacchetto por-tacioccolatini a forma di prisma triangolare, con base isoscele, secondo il modello in figura

Determinare il lato delle facce triangolari in modo che il sacchetto abbia il volume maggiorepossibile. (14 Febbraio 2013)

6. Data la funzione

f(x) =

√x per 0 ≤ x ≤ 1

x2 + 3x+ 6

2x+ 8se 1 < x ≤ 2

determinare le coordinate del punto P = (xP , yP ) ∈ graphf tali che sia massimo il perimetrodel rettangolo [0, xP ]× [0, yP ]. (28 Febbraio 2013)

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7. Nel punto A si trova un bagnante in difficolta che sta invocando l’aiuto del bagnino B. Ilbagnino sa di poter correre alla velocita di 6 m/s e nuotare alla velocita di 2 m/s. La distanzadi A da A’ e di 50 mt. mentre la distanza del bagnino da A’ e di 16 mt.In che punto deve immergersi il bagnino per raggiungere A prima possibile? (12 Giugno2013)

8. L’altoatesino Fritz si trova nel punto A della figura; Fritz puo percorrere 4 Km/h in marciapiana, mentre puo coprire 300 mt. di dislivello all’ora in salita e 400 mt. di dislivello all’orain discesa. Il raggio della base del cono e di 12 Km, ed il cono e alto 1.200 mt. L’ unica viadi salita e la congiungente AV, e l’unica via di discesa la congiungente VB; tuttavia Fritzpuo abbandonare la via di salita in qualunque punto e marciare in pianura sino a ritrovarela via di discesa VB. Determinare il percorso tra A e B che Fritz puo percorrere nel minimotempo. (3 Luglio 2013)

9. Il paralume Da una striscia di stoffa lunga 1 mt. e alta 40 cm si vogliono tagliare 6 trapeziisosceli secondo lo schema in figura, per costruire un paralume a forma di tronco di piramide(a base esagonale); per ottenere un design armonioso, la base minore ` deve essere la parte

aurea della base maggiore L. La luminosita della lampada e data da1

slog10

S

100dove s e

l’area dell’imboccatura superiore del paralume, S quella dell’imboccatura inferiore.

Determinare le misure del taglio ottimale. (31 Gennaio 2014)

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10. Didone e Iarba: chi e piu furbo? Narra la leggenda che la Regina Didone, ottenuto daIarba, re di Libia, il permesso di appropriarsi di tanta terra quanta ne poteva circondare unapelle di bue, tagliata la pelle in sottilissime striscie, annodandole tra loro ottenne un lungocavo, con il quale circondo un semicerchio, ottenendo in tal modo la massima area possibile.E’ questa l’origine dei problemi isoperimetrici: tra tutte le figure di identico perimetro, quellodi area massima e il cerchio.

Nella nostra storia, Iarba si e fatto invece furbo, ed ha imposto a Didone di fissare i duecapi del cavo ottenuto nei punti A e B della figura: dopodiche le lascia la liberta di sceglieredove fissare il cippo C attorno a cui far passare obbligatoriamente il cavo.

Detta L la lunghezza del cavo, se la linea di costa e la spezzata AHB dove conviene fissareil cippo C per ottenere la massima area possibile? (28 Febbraio 2014)

11. La multa. Su un tratto di strada AB lungo 10 Km vige il limite di velocita di 60 Km/h.La pattuglia della polstrada ferma l’automobilista Eugenio nel punto B; in quel momentoEugenio sta transitando a 55 Km/h, tuttavia il poliziotto eleva ugualmente la multa pereccesso di velocita ad Eugenio.

“Ma andavo solo a 55 Km/h” protesta Eugenio. “Ma lei, caro signore, e transitato sotto

il cartello del limite di velocita in A solo 8 minuti fa, e pertanto la sua velocita mediaha superato quella consentita. E se la sua velocita media e stata superiore a 60 Km/h,necessariamente deve aver superato il limite di velocita in almeno un istante!” ribatteinflessibile il poliziotto.

Provare che l’obiezione del poliziotto e corretta, giustificando la propria risposta.

Tenuto conto che secondo la normativa attuale, se l’eccesso di velocita e compreso tra 10Km/h e 40 Km/h vengono decurtati due punti, mentre ne vengono decurtati 10 per eccessodi velocita superore a 40 Km/h e nessuno per infrazioni inferiori ai 10 Km/h, stabilire seEugenio perdera anche dei punti, ed in caso affermativo, quanti. (17 Giugno 2014)

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12. Nella figura viene mostrato il profilo del banco da lavoro di un orologiaio. L’orologio inriparazione viene posto nel punto Q = (1,0), mentre una lampada P di luminosita I puo

scorrere lungo il segmento OA che si trova sulla retta di equazione y =1

4x nel sistema di

assi del disegno.

Secondo la Legge di Lambert, l’intensita luminosa in Q e data da

E =I

r2cosα

dove r e la distanza di P da Q, mentre α e l’angolo di inclinazione con cui la luce provenienteda P raggiunge il punto Q.

Determinare la posizione della lampada P che fornisce la migliore intensita di illuminazionenel punto Q. (18 Luglio 2014)

13. Panettoni Una piccola azienda dolciaria, che vanta un’apprezzata produzione artigianaledi panettoni tradizionali, sta modificando la propria produzione natalizia: piu precisamentea seguito di indagini di mercato i titolari sono convinti che la pezzatura da 750 g. per ipanettoni sia oggigiorno la piu richiesta dai consumatori.

Le fasi di preparazione del panettone sono: l’impastatura degli ingredienti secondo la ricettatradizionale della casa e la lievitazione naturale libera per 12 h; al termine di questa fase il

peso specifico dell’impasto e p =5

4π∼= 0, 4g/cc. Successivamente l’impasto viene versato in

stampi cilindrici per essere infornato: nel corso della cottura l’impasto subisce un’ulteriorecrescita, in altezza, pari al 200%, e lo stampo deve essere progettato in modo da impedirefuoriuscite del prodotto. Al termine della cottura, ed una volta raffreddati, i panettonivengono inscatolati in scatole parallelepipoidali.

I titolari non intendono alterare la ricetta della casa, per cui l’unica opzione su cui agi-re per ridurre nel tempo i costi, sono proprio le spese di inscatolamento del prodotto.Quali sono le dimensioni ottimali degli stampi cilindrici in modo da minimizzare i costidell’inscatolamento? (10 Dicembre 2014)

14. Tra tutte le parabole convesse passanti per i punti (0,1) e (2,2) determinare quella che hala massima media integrale nell’intervallo [0,2], e determinare il valore della stessa. (15Gennaio 2015)

15. Ponte alle Cave Nei punti A e B del disegno precedente si trovano due cave di pietra; lacava A fornisce giornalmente un quinto del materiale estratto dalla cava B. La distanza BOe il doppio della distanza AH, mentre L = OH = 7AH.

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Dovendo costruire un ponte per attraversare il fiume, si chiede di provare che si puo de-terminare un punto P tale che la distanza OP e la piu conveniente, cioe che rende minimala distanza percorsa dai camion che escono o che raggiungono le due cave (assumendo chei percorsi dei camion siano i percorsi minimi, cioe le lunghezze dei segmenti BP e AP); sichiede inoltre di stabilire se tale punto P deve trovarsi a destra o a sinistra del punto di

coordinate

(L

3, 0

). (30 Gennaio 2015)

16. Lo sciatore. Klaus e un tirolese sportivo ed appassionato di sci; in questi giorni si staintensamente allenando per prepararsi ad un’imminente gara, sulla pista Capitomboli; il suoallenatore gli ha disegnato il percorso, ma Klaus ‘sente’ che nel tratto di percorso tracciatoin figura la disposizione delle porte non va. ‘L’inclinazione del tratto G1G2 e troppo poca,mi costringe a rallentare!’ protesta.

‘Per aumentarla dovremmo abbassare la porta G2 rispetto alla posizione attuale; ma inquesto modo rischieresti di trovarti sulla traiettoria il pilone P dell’impianto di risalita!’ribatte l’allenatore.

Ma Klaus a scuola aveva il pallino della matematica, ed e convinto che sia possibile spostarela porta G2 in modo da ottenere un tracciato piu veloce, senza rischiare di inforcare il piloneP .

Dimostrare che esistono posizioni per G2 tali che il tracciato G1G2G3 abbia lunghezza minoredell’attuale, pur evitando il pilone P ; esiste una posizione ottimale per G2? (8)

Nota bene: L’ascissa di G3 nel grafico suggerito e il doppio dell’ascissa di P , mentre

l’ordinata di P e pari a3

5quella di G1.

17. Ricicletto La giunta comunale di Ricicletto ha deciso di iniziare la raccolta differenziatadei rifiuti organici, installando degli appositi cassonetti biologici; da studi del settore e notoche la probabilita che un utente effettui la raccolta differenziata e pari ad e−d dove d e ladistanza da percorrere per raggiungere il cassonetto. Piazza Losanga e rappresentata inpianta; sui 4 lati affacciano dei palazzi i cui ingressi si trovano nei punti A, B, C e D; nel

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palazzo A vivono 300 persone, mentre in ciascuno dei palazzi B, C e D ne vivono 200; lapiazza ospita un prato attraversato solo da due sentierini ghiaiosi lungo le diagonali AC eBD (che sono di uguale lunghezza), e per questo si e deciso di collocare il cassonetto sulpercorso AC, che e lungo 0,6 Km.

Stabilire qual e la distanza da A in cui porre il cassonetto per massimizzare l’utilizzo dellostesso. (19 Giugno 2015)

18. Il costo del combustibile per fare camminare una locomotiva e proporzionale al quadratodella velocita, ed e di 25 euro all’ora per una velocita di 25 Km/h. Le altre spese di eserciziosono valutate in 100 euro all’ora, indipendentemente dalla velocita. Determinare la velocitaottimale per i costi. (13 Luglio 2015)

19. Un’azienda ha due linee di produzione: la linea A, piu veloce, puo produrre 500 pezzi all’ora,ma di questi il 10% e difettoso. La linea B produce al massimo 300 pezzi l’ora, con unoscarto pari al 10 % della radice quadrata della produzione oraria.

Una normativa europea impone che la taratura di produzione complessiva non superi laquota QE =700 pezzi all’ora.

Stabilire la strategia di produzione ottimale, determinando le tarature orarie xA e xB deimacchinari che garantiscono la massima produzione complessiva. (14 Settembre 2015)

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20. Frosty the snowman. Frosty e una decorazione natalizia ottenuta sovrapponendo due

sfere di raggi R e r ed un cilindro che simula il cappello, di raggior

2ed altezza r. Le

due sfere che fungono da testa e corpo verranno ricoperte con una vernice luminescente persimulare l’effetto neve; la vernice e costosa, ed ha un costo c per dm2.

La decorativita dell’addobbo e proporzionale alla sua visibilita a distanza, e quindi al volumecomplessivo di tutto l’addobbo.

Determinare le dimensioni ottimali di Frosty entro il budget stabilito B > c. (18 Dicembre2015)

21. Un escursionista deve attraversare a piedi un terreno a forma di triangolo ABC, retto in B,

con il cateto AB lungo24

7km e il cateto BC (strada carrozzabile) lungo

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49km.

L’escursionista si trova nel vertice A e deve raggiungere il vertice C. Per fare questo puofissare un appuntamento con un gruppo di amici che puo andare a prelevarlo in un puntoqualsiasi della carrozzabile con un furgonato che puo viaggiare sulla strada a 25 km/h.Sapendo che egli e capace di sviluppare a piedi una velocita di 7 km/h, determinare a quantichilometri x da B deve dare appuntamento agli amici in modo da impiegare il minor tempopossibile nel viaggio da A a C, e determinare tale tempo minimo di percorrenza. (12 Gennaio2016)

22. Calcolare la lunghezza massima di una sbarra che puo trasportarsi intorno all’ angolo diun corridoio le cui dimensioni sono indicate nella figura se si ammette che la sbarra siatrasportata sempre parallelamente al pavimento. (28 Gennaio 2016)

23. Un deserto piatto e rappresentato dal piano xy; un’autostrada rettilinea, rappresentatadall’asse x, lo attraversa. Un gruppo di escursionisti, a bordo di un fuoristrada, si trova nel

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punto (0, h) e vuole raggiungere un motel situato nel punto (b, 0) (si ha b > 0, h > 0 perfissare le idee). Il fuoristrada puo viaggiare nel deserto (in ogni direzione) a velocita v esull’autostrada a velocita w > v. Trovare il percorso che conduce gli escursionisti al motelnel tempo minimo, provare che tale percorso e unico, e determinarne la lunghezza e il tempoeffettivo di percorrenza. (9 Febbraio 2016)

24. Nella figura e rappresentato un parabrezza rettangolare di misure ` e L < 2`; in O e in-cernierato un tergicristallo rigido di lunghezza ` che spazza un’area pari ad un quarto dicirconferenza, come rappresentato in figura. Determinare la posizione ottimale x in cuiincernierare un secondo tergicristallo di lunghezza `, anch’esso in grado di spazzare un’a-rea pari ad un quarto di circonferenza, in modo che l’azione combinata dei due fornisca lamassima area possibile di pulitura. (14 Giugno 2016)

25. La famiglia Fortunato, (papa, mamma e i due gemelli Felice e Letizia) e arrivata in vil-leggiatura. Arrivati allo stabilimento balneare, scoprono che l’unica fila che ha ancora gliombrelloni liberi e l’ultima, che e posta a distanza `dall’ ingresso: ingresso che si trova inB = (L, 0) mentre i servizi, il chiosco e l’area giochi si trovano in A = (0, 0). Mamma e papa

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prevedono di portare i gemelli in spiaggia tutti i giorni sia al mattino che nel pomeriggio:e poiche i gemelli sono ancora piccoli utilizzeranno per la discesa in spiaggia i passeggini aruote, e quindi necessariamente le passerelle in cemento BC e CD. Inoltre prevedono che siaal mattino che al pomeriggio sara loro necessario recarsi nella zona A (senza passeggini equindi lungo la direzione piu breve) almeno 3 volte.

Dove conviene loro scegliere il proprio ombrellone (nell’ipotesi che la fila sia tutta libera)per percorrere ogni giorno la minor distanza possibile? (28 Giugno 2016)

26. Un videogioco per due giocatori consiste in un biliardo di forma particolare: un triangolorettangolo isoscele, in cui i cateti misurano `. Nei punti A e B sono collocate due buche;ciascun giocatore colpisce la palla posta in S, indirizzandola verso la sponda AB; la pallavirtuale rimbalza contro di essa ed inverte la propria traiettoria lungo il segmento HK, inmodo che l’angolo α in uscita dal punto H sia uguale a quello di uscita dalla sorgente S. Latraiettoria della palla si arresta invece contro la sponda assorbente BS. Vince chi riesce apercorrere il tragitto SHK piu lungo, ed in caso di pari lunghezza del tragitto, il primo chelo ha determinato.

Se Paolo e Luca si sfidano, e grazie al sorteggio e Paolo ad iniziare il gioco, chi vincera lasfida? (12 Luglio 2016)

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Problemi con le serie

1. Jella-Bay Sull’isoletta oceanica di Jella-Bay vivono 3.000 persone. Un giorno vi sbarca unoccidentale, ignaro di essere portatore di un virus influenzale debole, che ha un periodo diinfettivita di 5 giorni, ed un fattore di diffusione pari a 3; cioe il soggetto che lo contraerimane contagioso per 5 giorni, nel corso dei quali e in grado di infettare altri 3 soggetti(mediamente, ma noi lo considereremo come dato deterministico).

Quindi avremo un decorso dell’infezione nell’isola rappresentato dalla seguente tabella.

Dopo quanti giorni gli jellati (e il nome del popolo dell’isola) avranno tutti contratto il virus?(9 Febbraio 2006)

2. La torre Sia C1 un cubo di spigolo c1 assegnato e volume V1. Si ponga su C1 un altro cubo

C2 di volume V2 =1

2V1, poi su C2 un cubo C3 di volume V3 =

1

2V2 e cosı via all’infinito.

Che altezza complessiva ha la torre che si costrusce in tal modo? (18 Settembre 2007)

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3. La palla di neve Una valle ha un profilo circolare AB come mostrato in figura. A causadelle recenti nevicate il versante definito da x < 0, che e in ombra, e abbondantementeinnevato, mentre il versante x > 0, che e esposto al sole, e privo di neve. Un gruppo dibambini fa cadere una palla di neve dal punto A ed essa rotola giu dal pendio per poi risaliresull’altro versante. A causa degli attriti la distanza percorsa dalla palla di neve ad ogni

risalita e pari a9

10di quella percorsa nella discesa precedente.

Quando percorre il versante innevato la palla acquista neve in ragione di α = 20g/m. Lastessa quantita di neve viene persa per discioglimento per ogni metro percorso lungo ilversante non innevato. Quanta neve avra perso o guadagnato al termine del suo ripetutosaliscendi? (N.B. l’unita di misura nel grafico e in decine di metri). (24 Gennaio 2007)

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Che ci faccio con gli integrali?

1. Un calendario senza nudi Nella figura e rappresentata l’orbita di un pianeta intornoall’astro che si trova in H. La durata X dell’anno e divisa in 9 “mesi”, di cui 7 (Uguajo 1,

Uguajo 2, etc.) di durataX

9, uno (Ghiacciajo) di durata inferiore e l’ultimo (Vacanzajo) di

durata superiore.

Se a Capodanno il pianeta si trova in A, ed il primo mese dell’anno termina quando il pianetasi trova in B, stabilire se l’anno inizia con Ghiacciajo, Vacanzajo o con Uguajo 1.

Suggerimenti: Ricordare la II Legge di Keplero Il raggio vettore del pianeta intorno all’astrospazza aree uguali in tempi uguali.

Nell’integrale

∫ √a2 − x2dx utilizzare la sostituzione x = a sin t.

L’area di un’ellisse di semiassi a e b e πab.(19 Dicembre 2013)

2. Se famo du’ spaghi? Nella figura e riportato il progetto per un dosatore per gli spaghettidi design moderno. Il profilo del foro corrispondente ad una porzione e ottenuto secando laparabola y = x2 tramite la retta y = x+ 2. Determinare lo spessore r in modo che il profilopiu grande corrisponda alla dose per due persone. (28 Febbraio 2013)

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3. L’erba del vicino e sempre piu verde Dobbiamo seminare a prato l’aiuola in figura; il

bordo dell’aiuola e rappresentato dal grafico della funzione f(x) =x3

20− x2. Se la semente

viene venduta in bustine sufficienti a seminare 2 m2 di prato, determinare il numero dibustine necessarie in funzione di a. (20 Settembre 2013) item L’innamorato di Golfo

Parabola. Questa e la pianta di Golfo Parabola; la linea di costa curiosamente segueperfettamente il grafico della funzione f(x) = x2.

Pinco e un abitante di A, ridente localita costiera sulle rive di Golfo Parabola; da convintoecologista, possiede solo una bicicletta ed una barchetta a remi; in bicicletta, sulla pistaciclabile lungomare, puo procedere ad una velocita media di 20 Km/h, mentre vogando dilena, puo coprire 5 Km in un’ora. Adesso Pinco si e innamorato di Pallina, che vive a B,e si vuole recare a trovarla. Quale mezzo scegliera per raggiungerla prima possibile? E inquanto tempo la raggiungera?

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