Funzioni

1. Il detective

E’ stato commesso un crimine informatico attaverso l’e-mail: gli indiziati sono un

matematico, un fisico, un chimico, un medico, un avvocato (!) e un ingegnere. Nessunodegli indiziati e a conoscenza di quanti e chi siano gli altri.

L’investigatore ha la certezza che l’autore del crimine abbia un solo account di postaelettronica.

Quando a ciascuno di loro singolarmente viene chiesto di indicare il proprio indirizzoe-mail da una lista, il matematico obietta:”questa non e una funzione!”.

Allora l’investigatore depenna il matematico dalla lista dei sospetti: perche?

2. Albero genealogico

Consideriamo queste quattro famiglie: Paolo e Luciana sono i genitori di Carlo, Elena

ed Andrea; Francesco, che e il fratello di Luciana, e sua moglie Marta sono invece igenitori di Eleonora e Claudio; la sorella di Marta, Cecilia, e suo marito Giovanni sonoi genitori di Patrizia, Anna e Fabrizio; infine il fratello di Giovanni, Vincenzo con lamoglie Fulvia sono i genitori di Antonio, Marco, Chiara e Daniela. Sia H l’insieme ditutte queste persone, e sia H1 = { Luciana, Carlo, Andrea, Elena, Giovanni, Patrizia,Anna Fabrizio, Vincenzo, Antonio, Marco, Chiara, Daniela }.

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La corrispondenza f(x) = fratello di x’ non e un’applicazione: perche?

Determina il piu grande sottoinsieme H2 di H1 in cui f e un’applicazione: adessof : H2 → H e un’applicazione iniettiva?

3. Siamo tutti Bartezzaghi?

Sia A l’insieme dei vocaboli della lingua italiana, e siano f1, f2 : A → IN le applicazioniche associano ad ogni vocabolo il numero di lettere, rispettivamente di sillabe, che locompongono (ad esempio f1(ra-pa-ce) = 6, f2(ra-pa-ce) = 3 ).Sia B l’alfabeto latino e g : B → N l’applicazione seguente:

Sia infine h : A → B l’applicazione che associa ad ogni vocabolo della lingua italianala sua iniziale. Tra le figure seguenti individua quali rappresentano un elemento x ∈ Atale che f1(x) = (g ◦ h)(x), quali ad un elemento x ∈ A tale che f2(x) = (g ◦ h)(x).

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4. Interrogazione di geografia

Sia A l’insieme degli attuali capoluoghi di provincia italiani, B l’alfabeto latino e

C = B2. Siano poi f : A → B l’applicazione che associa ad ogni elemento di A la suainiziale, e g : A → C quella che associa ad ogni capoluogo di provincia la sua targaautomobilistica.

Discutere l’iniettivita e la suriettivita delle due applicazioni.

L’applicazione g−1 ◦ f coincide con la proiezione di g(C) sul primo fattore; vero ofalso?

5. Premio fedelta

Un esercizio commerciale pratica una politica di fidelizzazione della clientela conse-

gnando ai clienti una tessera elettronica a scadenza annuale che da diritto al 5% disconto su ogni acquisto successivo alla franchigia dei primi 50 euro di spesa.

Se si suppone ad ogni approvvigionamento di effettuare acquisti per un ammontarepressoche costante di x euro, qual e il numero no di approvvigionamenti annui che dadiritto allo sconto?

Se il numero di approvigionamenti annui da diritto allo sconto, quanto vale lo scontocomplessivo ottenuto all’n-esimo aprovvigionamento?

Prevedendo due approvigionamenti settimanali, se abbiamo cominciato a frequentarel’esercizio commerciale solo da Settembre, quanto deve essere la spesa media x perriuscire a raggiugere la frachigia e cominciare ad usufruire dello sconto?

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Funzioni polinomiali, equazioni e disequazioni

1. Fitness; in due e meglio

Carla e Luciano sono una coppia che ha deciso di praticare sport insieme almeno unpaio di volte a settimana. Ora stanno confrontando tra le diverse opzioni offerte daun grosso impianto sportivo.

Per usufruire del circolo tennistico vengono richiesti 120 euro di iscrizione annuale, edil campo da tennis puo essere affittato per 15 euro l’ora.

Per frequentare la palestra sono richiesti 50 euro annuali per l’assicurazione e la visitamedica piu 250 euro di abbonamento trimestrale.

L’accesso alla piscina invece richiede 60 euro annuali per l’assicurazione e la visitamedica ed ha un costo di 180 euro per ogni pacchetto da 20 ingressi (non nominali eda usufruire entro l’anno di emissione).

Osserviamo che essendo gli impianti concentrati in una stessa zona, i costi di sposta-mento sono equivalenti per le tre attivita, quindi ininfluenti ai fini del confronto.

Se si rappresentano i costi sostenuti in funzione delle settimane (ipotizzando duesedute di allenamento per qualsisasi attivita scelta in tutte le settimane dell’anno)quale grafico segue l’andamento di una retta?

Se si rappresentano i costi sostenuti in funzione delle settimane (ipotizzando duesedute di allenamento per qualsisasi attivita scelta in tutte le settimane dell’anno) cheandamento segue la pratica della palestra.

Rappresentare un grafico sovrapposto dei costi

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2. Sulle punte

Esiste un capo di abbigliamento femminile che si chiama gonna a ruota; per capirci

la gonna a ruota e la gonna del tutu della ballerina classica.

La gonna a ruota e di fatto un pezzo di stoffa che ha la forma di una ciambella.

Per tagliare questa ciambella, la sarta deve prima tracciare un modello sulla carta (ilcartamodello) e siccome le sarte tagliano la stoffa dopo averla ripiegata in due strati, ilcartamodello ha la forma di mezza ciambella. Per disegnare questa mezza ciambella lasarta usera il compasso e deve sceglierne l’apertura in modo che la mezza circonferenzache creera il buco della ciambella sia esattamente meta del giro-vita della ballerina cuie destinato il tutu.

Nei corsi di taglio e cucito si insegna questa fantasiosa regola per calcolare l’ aperturah del compasso

h =1

6circonferenza vita - 1 cm

Questo dovrebbe servire a riaggiustare i decimali che si sono trascurati approssimandoπ con 3.

Trattandosi di una regola approssimata, con questo metodo la gonna in genere nonverra perfetta. Calcolare per quale circonferenza vita la regola suddetta consente didisegnare un cartamodello perfetto (cioe nel quale la lunghezza vita che si ottienee esattamente quella della modella). Introduciamo altre approssimazioni di π : adesempio presso i sumeri il valore di π veniva approssimato direttamente da 3; peri Babilonesi invece valeva l’approssimazione π = 3,125; mentre per gli antichi Egizivaleva l’approssimazione π =3,1605.

Dunque la sarta sumera, la sarta di M.me Assurbanipal, e la sarta personale del-

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la regina Nefertiti avrebbero utilizzato quali formule per disegnare il creta-modello,rispettivamente il papiro-modello?

3. Prova di evacuazione

Il responsabile della Protezione Civile e il volontario Luca stanno organizzando una

simulazione di evacuazione di un istituto scolastico; in particolare vogliono tracciaresul pavimento della palestra una striscia che la divida in due settori, in modo che chisi trova nel I settore utilizzi l’uscita A e chi si trova nel secondo settore utilizzi l’uscitaB. E ovviamente vogliono che in questo modo ognuno utilizzi l’uscita piu vicina; saiaiutarli a determinare la linea da tracciare sul pavimento?

4. Il suicida Un uomo minaccia di suicidarsi lanciandosi dal cornicione del dodicesimo

piano di un grattacielo. Mentre un amico cerca di trattenerlo vengono avvertite leautorita. Purtroppo 3s dopo l’arrivo dei vigili del fuoco e l’inizio della sistemazione

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del telo, che prevede un tempo pari a 5s, l’uomo sfugge di mano all’amico. Si salvera?

5. La bilancia Nella tabella vengono rappresentate le classi di peso in funzione del BMI

(Body Mass Index) il cui valore individuale e dato dal rapporto

BMI =P

h2

dove P e il peso dell’individuo espresso in Kg, e h l’altezza espressa in metri. Se unindividuo che pesa 70 kg si trova in sovrappeso secondo la tabella del B.M.I. cosa sipuo dire della sua altezza?

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Potenze, esponenziali e logaritmi

1. In un paese di n abitanti la quantita Q di un certo bene venduta annualmente e datada

Q = kn

3p2

dove p e il prezzo unitario e k e una costante. Se il prezzo dimezza e il numero diabitanti triplica, di quanto varia Q?.

2. In condizioni ideali, la crescita di una popolazione batterica in cultura e governatadalla legge

N(t) = No2tT

dove No e il numero di batteri posti in cultura all’inizo dell’esperimento, e T il tempodi riproduzione.

Se dopo due ore di crescita si contano 6.000 batteri e dopo 4 ore se ne contano 2.400,determinare No e T .

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3. Si stima che la popolazione mondiale, attualmente di circa 6 miliardi di individui,aumenti dell’ 1,7% all’anno. Supponendo che il tasso di crescita rimanga invaria-to nel tempo, calcolare entro quanti anni la popolazione duplichera, quadruplichera,decuplichera.

4. Un capitale e investito da lungo tempo ad un tasso di interesse annuo del 5 %. Ilcapitale attuale e di 74.500 euro. Quale era l’ammontare del capitale 10 anni fa?Determinare tale valore nei due casi

- senza reinvestimento degli interessi (capitalizzazione semplice)

- con reinvestimento degli interessi (capitalizzazione composta).

5. Una sostanza contenente atomi radioattivi li perde spontaneamente col trascorreredel tempo (decadimento radiattivo). La legge del decadimento si puo rappresentaretramite la funzione

N(t) = No2− t

T

dove No e il numero di atomi radioattivi all’istante iniziale t = 0, e T e il tempo didimezzamento della sostanza radioattiva.

Il tempo di dimezzamento del Carbonio (14C) e di circa 5730 anni. Dopo quanti anniuna certa quantita di tale isotopo si sara ridotta del 5%?

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6. Una popolazione A e formata da 106 individui e cresce ad un tasso del 7% annuo.Un’altra popolazione B e formata da 1, 35 · 106 individui e cresce ad un tasso di 3,5%annuo. Entro quanti anni la popolazione A diventera piu numerosa della popolazioneB?

Trigonometria

1. Alta marea

La marea e un moto periodico di ampie masse d’acqua (oceani, mari, e grandissimi laghi),che si innalzano (flusso, alta marea) e abbassano (riflusso, bassa marea) anche di 10-15 metricon frequenza giornaliera o frazione di giorno, dovuto principalmente a due fattori:

all’attrazione gravitazionale che esercita la luna sulla terra (alta marea al passaggio dellaluna)

alla forza centripeta dovuta alla rotazione del sistema terra-luna intorno baricentro (altamarea sul lato della terra che e opposto alla luna).

L’ampiezza (detta altezza dell’onda di marea, eguale al dislivello tra bassa e alta marea),frequenza e orario delle maree sono legati a fenomeni astronomici (rotazione della coppiaterra-luna, vicinanza, inclinazione e passaggio della luna in particolare e del sole secon-dariamente) e morfologici (superficie della massa d’acqua, forma della costa, differenza diprofondita dei fondali).

La maggiore differenza tra l’alta e la bassa marea viene spiegata con il passaggio della luna,che ruota attorno alla terra con un periodo leggermente superiore alle 24 ore, cosicche ilperiodo principale delle maree e di circa 12 ore 25 minuti. Il che vuol dire che per circa 6ore il livello del mare scende, per poi risalire per altrettante ore.

Di seguito sono riportati i dislivelli massimi delle maree in alcune localita terrestri connotevoli ampiezze di marea

Baia di Fundy, Canada, 20 mt

Porto Gallegos, Patagonia, 18 mt

Portishead, Gran Bretagna, 16 mt

Granville, Francia, 15 mt

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Fitzroy, Australia, 14 mt

Saint-Malo, Francia, ca. 13 mt

L’innalzamento del livello in funzione del tempo e ben descritto da una legge del tipo

h(t) = α cos βt, t ≥ 0.

Se la marea montante ricopre una spiaggia, si puo calcolare la velocita con la quale il mare siavvicina alla costa. Minore la pendenza della spiaggia e maggiore la velocita. Non sono rari icasi di bagnanti, escursionisti o lavoratori rimasti sorpresi dalla marea montante, rischiandodi annegare anche a chilometri dalla riva.

Se in una localita si ha una spiaggia di pendenza 1◦ e l’ampiezza di marea e di 12 mt. a chevelocita avanza il mare verso la costa tra la terza e la quarta ora?

E quanto deve essere lunga la spiaggia per poterci accedere anche con l’alta marea?

2. Fiat lux!

La grandezza fotometrica fondamentale e l’intensita luminosa, che e definita come il flussoluminoso emesso nell’angolo solido unitario, cioe nello steradiante (simbolo sr) che e l’angolosolido che su di una sfera con centro nel vertice dell’angolo intercetta una calotta di areauguale a quella di un quadrato avente lato uguale al raggio della sfera stessa).

Invece il flusso luminoso e la quantita di luce emessa nell’unita di tempo.

L’intensita luminosa viene misurata in candele.

La definizione di questa unita ha subıto nel tempo diverse modificazioni, dovute all’apportodi nuove tecnologie che permettono di definirla in forma piu precisa: cosı se l’unita diVoille introdotta nel 1884 si riferiva alla temperatura di fusione del platino, oggi la candelarappresenta l’intensita luminosa di una sorgente che emette una radiazione monocromaticacon frequenza e intensita energetica assegnate.

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Attraverso l’intensita luminosa si definisce automaticamente l’unita di flusso luminoso, illumen, ovvero il flusso irradiato da una sorgente di una candela nell’angolo di 1 sr.

L’unita di illuminamento invece e il lux che e l’illuminamento prodotto su una superficie di1 mq da un flusso luminoso di 1 lumen.

Per avere un’idea dell’ordine di grandezza del lux, si pensi che in aperta campagna, suuna strada soleggiata, si ha un illuminamento di decine di migliaia di lux; negli ambientiilluminati da ampie finestre si hanno centinaia di lux. Di contro di sera, con l’illuminazioneartificiale, consideriamo molto ben illuminato un ambiente a 40-50 lux, ma e gradevole ancheun illuminamento di 20 lux per le normali attivita. Per non affaticare l’occhio tuttavial’illuminamento dovrebbe essere di 150 lux sulle pagine che si leggono, di 200-300 lux sultavolo di un disegnatore o di una sarta, di 500 lux sul banco dell’orologiaio.

L’illuminamento di una superficie dipende dall’intensita della sorgente, dalla sua distanzadalla superficie e dalla sua posizione rispetto alla superficie; queste tre dipendenze si possonocondensare nella Legge di Lambert

E =I cos α

r2

dove E e l’illuminamento, I e l’intensita della sorgente (in candele), r e la distanza in metridella sorgente dalla superficie illuminata e α e l’angolo che i raggi formano con la normalealla superficie

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Rappresenta in un grafico la variazione dell’illuminazione in funzione

i di I

ii di α

iii di r

iv di r2

A quale caso si riferisce a variazione dell’illuminazione rappresentata da questo grafico?I > r2, I = r2 o I < r2? A parita di intensita della sorgente luminosa S tra i grafici seguenti

qual e quello che rappresenta la variazione di illuminamento in funzione della posizione di Scon S posta a maggiore distanza?

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Trucchetti con i limiti

1. Come ti approssimo π

Dalla figura riportata, si evince che il perimetro di ogni poligono regolare inscritto nella

circonferenza goniomentrica ne approssima la lunghezza per difetto, mentre il perimetro diun aribitrario poligono regolare circoscritto ad essa, la approssima per eccesso.

Determinare il numero di lati dei due poligoni, quelo inscritto e quello circoscritto, che per-mettono di approssimare π a meno di 10−4 e determinare di conseguenza l’approssimazione.

Sapresti utilizzare un analogo ragionamento per determinare con lo stesso grado di precisioneun’approssimazione per difetto di e?

2. Riccheteracchetera Determinare la definizione ricorsiva che fornisce il numero di coppieadulte presenti in un allevamento di una razza di conigli il cui ciclo riproduttivo inizia al 3o

mese di vita e termina al 7o. Determinare anche il comportamento dell’accrescimento.

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3. Basta coniglio, oggi pollo! Supponiamo invece di allevare polli; le nostre ipotesi sono leseguenti:

- la gallina depone 3 uova in una settimana prima di iniziare la cova;

- la schiusa avviene dopo 10 giorni di cova, e la chioccia e di nuovo riproduttiva dopo 4giorni;

- alla schiusa vi e una distribuzione uniforme tra maschi e femmine dei pulcini;

- i pulcini raggiungono la maturita sessuale dopo 12 settimane;

- le galline terminano il proprio processo riproduttivo dopo 14 mesi;

- al raggiungimento delle 20 riproduttrici, solo il 10% dei pulcini femmina viene portato amaturita sessuale e utilizzato ulteriore allevamento (il resto ahime, viene indirizzato adun allevamento per la carne);

- nel pollaio vi e sempre un numero di galli sufficienti per le galline che non sono in fase dicova.

Se partiamo con quattro galline, determinare

- il numero di settimane a partire dal quale si cominceranno a produrre anche galline dacarne;

- la relazione ricorsiva che fornisce il numero di animali da carne prodotti in funzione delnumero di settimane;

- il comportamento dell’accrescimento del prodotto da carne.

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Problemi con le derivate

1. Calcolare la velocita istantanea di innalzamento del moto di marea di ampiezza A e pul-sazione β; a parita di ampiezza di marea, la velocita istantanea e maggiore per pulsazionimaggiori o minori?

2. Il paralume Da una striscia di stoffa lunga 1 mt. e alta 40 cm si vogliono tagliare 6 trapeziisosceli secondo lo schema in figura, per costruire un paralume a forma di tronco di piramide(a base esagonale); per ottenere un design armonioso, la base minore ` deve essere la parte

aurea della base maggiore L. La luminosita della lampada e data da1s

log10

S

100dove s e

l’area dell’imboccatura superiore del paralume, S quella dell’imboccatura inferiore.

Determinare le misure del taglio ottimale. (Febbraio 2007)

3. Sotto la scala porta sfortuna! Una scala lunga 15 mt e appoggiata ad una parete verticale

con un angolo alla base di25π. La base A della scala si allontana dalla parete alla velocita

di 20 cm/sec. Detta y(t) la posizione dell’altra estremita (B) della scala, e v(t) la velocitacon cui y(t) scende, determinare l’espressione e tracciare il grafico qualitativo di v(t) (non erichiesto lo studio di v′′(t)).

Giovanni, che sta sotto la scala, e alto 180 cm. Qual e il suo tempo di reazione massimo pernon prendere la scala in testa? (Gennaio 2007)

4. Lo scaldabagno Tra tutti gli scaldabagni cilindrici (circolari, retti) da 250 litri, calcolarele misure del piu efficiente, cioe quello con la minore dispersione. (Dicembre 2004)

5. Determinare il minimo valore possibile per il perimetro tra tutti i rettangoli di area A fissata.(Febbraio 2005)

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6. Il dentista di Lago Tondo Il dottor Massimo ha appena vinto il concorso per odontosto-matologo presso la ASL del comprensorio di Lago Tondo.Il suo contratto prevede servizio ambulatoriale sia mattutino che pomeridiano presso i trepoliambulatori del comprensorio, dislocati nelle localita A, B e C, di coordinate rispettive

(1, 0), (0, 1),(−1

2,−1

2

)secondo il seguente schema settimanale

Qual e per il dottor Massimo il punto della costa piu conveniente per stabilire il propriodomicilio in modo da minimizzare la distanza da percorrere ogni settimana? (Settembre2005)

7. La pompa Due centri urbani A e B che si trovano sulla stessa sponda di un canale a distanzarispettivamente di 2 e 5 Km dalla riva. La distanza tra A’ e B’ e di 9 Km. Per rifornire diacqua i due centri si intende costruire una stazione di pompaggio sulla riva, e di collegarlacon tubature ai due centri. In quale punto X sulla costa conviene costruire la stazione dipompaggio per minimizzare la lunghezza delle tubature? (Dicembre 2005)

8. Tanti baci... Da un cartoncino rettangolare di lati ` e 2` si vuole ricavare un sacchettoportacioccolatini a forma di prisma triangolare, con base isoscele, secondo il modello in figura

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Determinare il lato delle facce triangolari in modo che il sacchetto abbia il volume maggiorepossibile. (Luglio 2006)

9. Il bagnino Nel punto A si trova un bagnante in difficolta che sta invocando l’aiuto delbagnino B. Il bagnino sa di poter correre alla velocita di 6 m/s e nuotare alla velocita di 2m/s. La distanza di A da A’ e di 50 mt. mentre la distanza del bagnino da A’ e di 16 mt.

In che punto deve immergersi il bagnino per raggiungere A prima possibile? (Gennaio 2006)

10. L’alpinista L’altoatesino Fritz si trova nel punto A della figura; Fritz puo percorrere 4Km/h in marcia piana, mentre puo coprire 300 mt. di dislivello all’ora in salita e 400 mt. didislivello all’ora in discesa. Il raggio della base del cono e di 12 Km, ed il cono e alto 1.200mt. L’ unica via di salita e la congiungente AV, e l’unica via di discesa la congiungente VB;tuttavia Fritz puo abbandonare la via di salita in qualunque punto e marciare in pianura sinoa ritrovare la via di discesa VB. Determinare il percorso tra A e B che Fritz puo percorrerenel minimo tempo. (Giugno 2006)

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11. Carabinieri Il maresciallo Rocca ed il brigadiere Cacciapuoti si trovano a bordo dellaGiardinetta in dotazione alla caserma nel punto A, e debbono raggiungere il punto B; iltratto curvo in pianta rappresenta una strada sterrata, sulla quale la Giardinetta puo tenereuna velocita media di 20 km/h. Invece a piedi Rocca e Cacciapuoti possono tenere unavelocita di 5 km/h. Il raggio della circonferenza contenente l’arco AB e di 16 km, mentre lacorda AB e lunga 10 km.

Stabilire dove conviene loro parcheggiare la Giardinetta e proseguire a piedi in modo daraggiungere il punto B prima possibile. (Settembre 2006)

12. La multa. Su un tratto di strada AB lungo 10 Km vige il limite di velocita di 60 Km/h.La pattuglia della polstrada ferma l’automobilista Eugenio nel punto B; in quel momentoEugenio sta transitando a 55 Km/h, tuttavia il poliziotto eleva ugualmente la multa pereccesso di velocita ad Eugenio.

“Ma andavo solo a 55 Km/h” protesta Eugenio. “Ma lei, caro signore, e transitato sottoil cartello del limite di velocita in A solo 8 minuti fa, e pertanto la sua velocita media hasupertao quella consentita. E se la sua velocita media e stata superiore a 60 Km/h, necssari-amente deve aver superato il limite di velocita inalmeno un istante!” ribatte inflessibile ilpoliziotto. Provare che l’obiezione del poliziotto e corretta, giustificando la propria risposta.Tenuto conto che secondo la normativa attuale, se l’eccesso di velocita e compreso tra 10Km/h e 40 Km/h vengono decurtati due punti, mentre ne vengono decurtati 10 per eccessodi velocita superore a 40 Km/h e nessuno per infrazioni inferiori ai 10 Km/h, stabilire seEugenio perdera anche dei punti, ed in caso affermativo, quanti. (Settembre 2007)

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13. Didone e Iarba: chi e piu furbo? Narra la leggenda che la Regina Didone, ottenuto daIarba, re di Libia, il permesso di appropriarsi di tanta terra quanta ne poteva circondare unapelle di bue, tagliata la pelle in sottilissime striscie, annodandole tra loro ottenne un lungocavo, con il quale circondo un semicerchio, ottenendo in tal modo la massima area possibile.E’ questa l’origine dei problemi isoperimetrici: tra tutte le figure di identico perimetro, quellodi area massima e il cerchio.

Nella nostra storia, Iarba si e fatto invece furbo, ed ha imposto a Didone di fissare i duecapi del cavo ottenuto nei punti A e B della figura: dopodiche le lascia la liberta di sceglieredove fissare il cippo C attorno a cui far passare obbligatoriamente il cavo.

Detta L la lunghezza del cavo, se la linea di costa e la spezzata AHB dove conviene fissareil cippo C per ottenere la massima area possibile? (Settembre 2007)

14. Il pub Sergio e Giacomo hanno acquisito un locale e vogliono adibirlo a pub. Il locale sitrova in uno stabile storico e quindi presenta una strana pianta, memoria di una preesistentetorre medievale.

Il locale ha pianta quadrata di 25 metri di lato, a a parte l’angolo tondo, che e un quarto dicirconferenza di 5 metri di raggio.

Insieme hanno deciso che la lunghezza del bancone debba essere di 7 metri, e per sfruttarenel miglior modo gli allacci dell’acqua, debba includere l’angolo H della pianta in figura.

Tanto A che B debbono trovarsi a distanza di almeno 1,5 metri dall’angolo H.

Qual e la posizione ottimale di A (e di conseguenza di B) in modo che l’area riservata aitavolini per gli avventori sia massima?

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