FUNZIONI POLINOMIALI

f:R→R , f(x) = anxn + an-1xn-1 +….+a1x + a0 , si dicefunzione polinomiale , dove n∈N è il grado dellafunzione polinomiale, a0 , a1 , …., an ∈ R sono icoefficienti della funzione polinomiale, dove an ≠0

Si osserva che, per x molto grande in valore assoluto,l’addendo anxn è molto più grande degli altri addendi,per cui il comportamento di f(x) per x molto grande èdeterminato da anxn

FUNZIONI POLINOMIALI

In particolare:se an > 0 ed n è pari alloralimx→±∞ anxn + an-1xn-1 +….+a1x + a0 = limx →±∞ anxn

=+∞

se an > 0 ed n è dispari alloralimx→±∞ anxn + an-1xn-1 +….+a1x + a0 = limx →±∞ anxn

=±∞

FUNZIONI POLINOMIALIIn particolare:se an < 0 ed n è pari alloralimx→±∞ anxn + an-1xn-1 +….+a1x + a0 = limx →±∞ anxn

=−∞

se an < 0 ed n è dispari alloralimx→+∞ anxn + an-1xn-1 +….+a1x + a0 = limx →+∞ anxn

=−∞limx→-∞ anxn + an-1xn-1 +….+a1x + a0 = limx →-∞ anxn

=+∞

FUNZIONI POLINOMIALIESEMPIO 1: f(x)= –2x4 +x3 –2x+1limx→+∞ (–2x4 +x3 –2x+1) = limx→+∞ –2x4 = –∞Infatti, evidenziando –2x4 nel polinomio, abbiamo –2x4(1 – 1/(2x) + 1/x3 – 1/(2x4))Inoltre, per x>01 – 1/(2x) + 1/ x3 – 1/(2x4)> 1 – 1/(2x) – 1/(2x4)Determiniamo x in modo tale che 1 – 1/(2x) –1/(2x4)>1/2, vale a dire 1/2 – 1/(2x) – 1/(2x4)>0, da cui1 – (1/x + 1/x4)>0 , sicuramente soddisfatta, ad esempioper x>10, quindi si avrà, per ogni x>10–2x4(1 – 1/2x + 1/ x3 – 1/2x4) < –2x4(1/2) = –x4 che altendere di x a +∞ tende a –∞

FUNZIONI POLINOMIALIESEMPIO 2: f(x)= 4x5 – 3x4 –2x3 +1limx→+∞4x5 – 3x4 –2x3 +1 = limx→+∞ 4x5 = +∞Infatti, evidenziando il termine 4x5, abbiamo4x5(1 – 3/(4x) – 1/(2x2)+ 1/(4x5 ))Per x>01 – 3/(4x) – 1/(2x2)+ 1/(4x5 ) > 1 – 3/(4x) – 1/(2x2)Determiniamo x tale che 1 – 3/(4x) – 1/(2x2)>1/2, da cui1/2 – 3/(4x) – 1/(2x2)> 0, e quindi1 – (3/(2x) + 1/x2)>0 , valida, ad esempio, per ognix>10. Essendo, per x>10 4x5(1 – 3/(4x) – 1/(2x2)+ 1/(4x5 ))> (4x5 )(1/2) = 2x5

→+∞ ne segue che anche4x5(1 – 3/(4x) – 1/(2x2)+ 1/(4x5 )) →+∞

FUNZIONI POLINOMIALIPer determinare un polinomio di grado n occorrono n+1condizioni; ad esempio, il passaggio del suo grafico pern+1 punti.ESEMPIO 3: Supponiamo di avere raccolto dati relativialla temperatura rilevata in una data località il giorno 1gennaio alle ore 8, in anni successivi. Sia 0 l’anno 2000,-1 l’anno 1999 con temperature rispettivamente -1°C e -7°C.Abbiamo, quindi, i punti (-1,-7) e (0,-1).Per due punti possiamo far passare una retta y=mx+qm=(-1+7)/(0+1) = 6, q= -1+6·0= -1, dunquey = 6x - 1

FUNZIONI POLINOMIALIAggiungiamo un dato: stessa località 1gennaio 2001,stessa ora, temperatura rilevata 1°CPer i tre punti (-1,-7), (0,-1), (1,1), cerchiamo unafunzione quadratica: f(x)=ax2 + bx +c-7=a -b +c-1=c1= a+ b+c, da cui

-6= a- b2= a+ bSottraendo la prima equazione dalla seconda, si ottieneb=4 e dunque a=-2f(x)=-2x2 + 4x -1

FUNZIONI POLINOMIALIAggiungiamo un dato: stessa località 1gennaio 2002,stessa ora, temperatura rilevata 17°CPer i quattro punti (-1,-7), (0,-1), (1,1), (2,17) cerchiamouna funzione cubica: f(x)=a3x3 +a2x2 +a1 x +a0

-7=-a3 + a2 - a1 + a0-1=a01= a3 +a2 +a1+ a017=8a3+4a2+2a1+a0

FUNZIONI POLINOMIALI18=8a3+4a2+2a12= a3 +a2 +a1-6=-a3 + a2 - a1-1=a0

Sottraiamo dalla prima equazione la secondamoltiplicata per 8; sommiamo alla seconda equazione laterza18 = 8a3+4a2+2a12 = -4a2 - 6a1-4 = 2 a2-1=a0

FUNZIONI POLINOMIALI18 = 8a3+4a2+2a12 = -4a2 - 6a1-4 = 2 a2-1=a0 da cui

a0 = -1, a1=1, a2=-2, a3 =3 quindi

f(x) =3x3 - 2x2 + x - 1

FUNZIONI POLINOMIALI

Se x0 è una radice del polinomio f(x)= anxn + an-1xn-1

+….+a1x + a0 (vale a dire f(x0)=0 ), dividendo ilpolinomio per x- x0 otteniamo un polinomio quozienteq(x) di grado < n e resto 0, quindi f(x) = (x- x0 )q(x).Se q(x) è ancora divisibile per x - x0 , possiamo ancoradividere, ottenendo f(x) = (x- x0 )2q1(x).In generale, se il polinomio è divisibile per x-x0 r volte,possiamo scrivere

f(x) = (x- x0 )rqr(x).dove chiameremo r molteplicità della radice

FUNZIONI POTENZA

Le funzioni del tipo f(x)= axp , dove a è una costante ≠0,p è un numero razionale, sono chiamate funzionipotenza

Se p∈N la funzione f(x)= axp è una particolarefunzione polinomiale, costituita dal solo monomio axp

ed è quindi definita su tutto R.

Esempi: a) f(x)= 2x, b) f(x)=-3x2; c) f(x)=5x4 ….

FUNZIONI POTENZA

Se p è un numero intero negativo la funzione f(x)= axp

è una particolare funzione razionale ed è definita suR/{0}.

Esempi: a) f(x)= (2/3)x-1, b) f(x)=-3/x2; c) f(x)=5x-4 ….

Se p è un numero razionale non intero, la funzionef(x)= axp è definita solo per x>0f:R+/{0} →REsempi: a) f(x)= 2x2/3 b) f(x)=(-3/4)x-3/5; c) f(x)=5x1/2

….

FUNZIONI POTENZA: VOLUMI ESUPERFICI

Il volume di un corpo di qualsiasi forma è proporzionaleal cubo di una qualunque delle sue dimensioni lineari V∝ l3

La superficie di un corpo di qualsiasi forma èproporzionale al quadrato di una qualunque delle suedimensioni lineari S∝ l2

Considerando individui diversi di una stessa specie icoefficienti di proporzionalità saranno diversi, ma nontroppo…quindi l potrà essere considerata una lunghezzacaratteristica di quella specie

FUNZIONI POTENZA: VOLUMI ESUPERFICI

Branchie, polmoni, intestini e reni per gli animali, radicie foglie per le piante sono mezzi per aumentare lasuperficie e quindi favorire, in generale, fenomeni discambio con l’esterno, quali , ad esempio, assorbimentodi energia, emissione calore o nel caso delle pianteanidride carbonica ecc. tali fenomeni avrannoandamento proporzionale alla superficie.Molti fenomeni metabolici, ad esempio consumo diossigeno, sono proporzionali al volume.

FORMICHE GIGANTI E LILLIPUZIANI

Perché non saremo mai invasi dalle formiche giganti?Se una comune formica lunga 3 mm venisse ingranditacon un coefficiente 1000, la formica avrebbe lunghezza3 metri, il suo volume diventerebbe 109 volte quellooriginale, mentre l’area di una sezione di una zampa sarà106 volte quella originale. L’insetto sarà un miliardo divolte più pesante e poggerà su zampe la cui sezione èsolo un milione di volte maggiore, la pressione che ilcorpo eserciterà sulle zampe è 1000 volte quellaoriginale e quindi se non resterà schiacciato, certamentenon potrà muoversi!

FORMICHE GIGANTI E LILLIPUZIANI

Nei viaggi di Gulliver, i lillipuziani erano piccoli omettialti 15-18 cm.Riducendo di 10 volte l’altezza di un uomo, la perdita dicalore attraverso l’epidermide (proporzionale allasuperficie del corpo) si ridurrebbe di 1/100. Laproduzione di calore, però, è proporzionale al volume equindi si ridurrebbe di 1/1000. Il lillipuziano perderebbecalore attraverso l’epidermide 10 volte di più di quantone produrrebbe, probabilmente morirebbe di freddo!

LEGGI ALLOMETRICHE

Una legge che descrive come variano due parti dellostesso corpo di un organismo è detta “allometrica”.

Se x e y indicano le misure relative a due parti del corpodi un organismo, una legge allometrica è espressa comeuna funzione potenza y=f(x)= axp , dove a e p sonocostanti positive.

Nel rapporto tra peso dell’organismo e peso delloscheletro, l’esponente più spesso osservato nelle misuresperimentali è p≈2/3.

LEGGI ALLOMETRICHE

La potenza p≈3/4 si presenta con una certa frequenzanelle misure di uno stesso organo in specie diverse(misure “interspecifiche”), ma anche nei confronti traorgani diversi all’interno della stessa specie (misure“intraspecifiche”)

IL MODELLO DI VON BERTALANNFFY

Uno dei primi modelli di crescita tumorale propostointorno agli anni ‘60 del secolo scorso.Gli elementi funzionali di un organismo sono assunticome processi continui di interazione, in cui si sommanoaccrescimento e decadimento. Accrescimento edcadimento sono modellizzati mediante funzionipotenza.Bertalanffy propone di definire il tasso di crescita di untumore di massa m, nel modo seguente T(m) = amα - bmβ

dove a,b, α e β sono costanti positive.

IL MODELLO DI VON BERTALANNFFY

T(m) = amα - bmβ

è la somma di due funzioni potenza, la prima amα

rappresenta l’accrescimento della massa tumorale e portaun contributo positivo a T(m), l’altra - bmβ rappresentail decadimento, la massa di tumore che si degrada permorte cellulare nell’unità di tempo e porta un contributonegativo.In genere si pone β=1, cioè si suppone che la mortalitàdelle cellule sia proporzionale al numero delle cellulestesse. Invece si pone α=2/3.

IL MODELLO DI VON BERTALANNFFY

Il valore 2/3 viene ottenuto pensando ad un tumoreapprossimativamente sferico e ritenendo che la crescitasia proporzionale alla misura della superficie, proprioperché la quantità di nutrimento arriva alle celluletumorali attraverso di essa. Poiché il raggio r del tumoreè proporzionale al volume V elevato a 1/3, l’area dellasuperficie, che è proporzionale al raggio al quadrato, èproporzionale a V2/3 . Supponendo la densità costante, siottiene lo stesso esponente anche per la dipendenza dallamassa.

IL MODELLO DI VON BERTALANNFFY

Esempio: prendendo T(m) =3m2/3 -2m cosa prevede ilmodello?Naturalmente la funzione ha interesse solo se m ≥ 0,Inoltre si può dire che, se T(m) >0, la massa tumoralecresce, se T(m)<0, la massa tumorale diminuisce

ponendo 3m2/3 -2m >0 , essendo m>0, si ha 3/2 > m1/3 , da cui m<27/8=3.375Il modello predice che il tumore ha una crescita limitata,non sorpassa la dimensione critica m=3.375.

IL MODELLO DI VON BERTALANNFFY

Dal grafico di T(m), si deduce che il modello prevedeuna crescita che aumenta con le dimensioni fino ad m=1,per m> 1 la massa tumorale coninua a crescere marallentando la crescita, infatti T(m) diminuisceall’aumentare di m , per m>1

(Vedi pag. 210 “Matematica per le Scienze della vita”Benedetto-Degli Esposti-Maffei)