Prof.ssa A. Sia

Le funzioni

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Definizione:Le funzioni sono uno dei concetti più importanti della matematica. Ma che cosa è una funzione? Possiamo intenderla come un apparecchio di Input-Output. Prende un oggetto come Input e fornisce un oggetto come Output. E questo avviene secondo una precisa (univoca) relazione.Per noi "oggetto" per adesso significa "numero". Quindi una funzione per noi per ora è una macchina che prende un numero come Input e lo  trasforma in un numero come Output. Ecco una macchina del genere: Relazione

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La macchina eleva al quadrato il numero dato. L'idea è di assegnare a ciascun numero il suo quadrato. La relazione è dunque "elevare al quadrato". Così abbiamo definito una funzione. Potremmo chiamarla "funzione quadrato".

Per scrivere le funzioni in matematica esistono 2 notazioni:1. Quella con la freccia f: x -> x2

2. Quella con l’uguale f(x)= x2

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Definizione di funzione:Dati due insiemi A e B, si dice funzione (f: A B) una relazione di natura qualsiasi tale che ad ogni elemento di A associa uno ed uno solo elemento di B

1 34

5 7

16 949

25 1

A BC

D E

3 25

4 1

Si possono considerare funzioni anche per oggetti matematici diversi dai numeri. Per definire una funzione abbiamo bisogno di due insiemi che chiamiamo A e B. Noi ci occuperemo e studieremo solo funzioni numeriche ovvero funzioni reali di variabile reale

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Ogni volta che il valore di una grandezza dipende dal valore di un'altra grandezza, si ha una funzione. La natura e la nostra vita sono piene di questo tipo di dipendenze

La grandezza... è una funzione...posizione di un veicolo del tempoenergia di un asteroide in caduta della sua velocità

precipitazioni medie della posizione sul nostro pianeta

quantità di vernice necessaria dell'area della superficie da verniciare

importo sul libretto di risparmio (su cui sono depositati 1000 Euro) dopo un anno

degli interessi

quantità di funghi raccolti delle precipitazioni nei giorni precedenti

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Funzioni iniettive:Una funzione da A in B si dice iniettiva se ad elementi distinti di A (Dominio) corrispondono elementi distinti di B (Codominio).

Si può anche scriverex1≠x2 A -> f(x1) ≠ f(x2) B

Una funzione da A in B si dice iniettiva se ad elementi distinti di A corrispondono elementi distinti di B.

Si può anche scrivere

x1,x2 ÎA x1¹x2Þf(x1)¹ f(x2)

Se la funzione è iniettiva noto un elemento di arrivo yÎB da questo è possibile risalire in modo univoco all'elemento  xÎA

Funzione iniettiva Funzione non iniettiva

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Funzioni suriettiva:Una funzione da A a B si dice suriettiva se ogni elemento di B è immagine di  almeno un elemento di A. Ogni elemento del codomino deve avere almeno un corrispondente nel dominio

Una funzione da A in B si dice iniettiva se ad elementi distinti di A corrispondono elementi distinti di B.

Si può anche scrivere

x1,x2 ÎA x1¹x2Þf(x1)¹ f(x2)

Se la funzione è iniettiva noto un elemento di arrivo yÎB da questo è possibile risalire in modo univoco all'elemento  xÎA

Funzione suriettiva Funzione non suriettiva

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Funzioni biettiva:Una funzione da A a B che sia contemporaneamente iniettiva e suriettiva viene detta  corrispondenza biunivoca.Ad ogni elemento del dominio corrisponde uno e uno solo elemento del codominio

Una funzione da A in B si dice iniettiva se ad elementi distinti di A corrispondono elementi distinti di B.

Si può anche scrivere

x1,x2 ÎA x1¹x2Þf(x1)¹ f(x2)

Se la funzione è iniettiva noto un elemento di arrivo yÎB da questo è possibile risalire in modo univoco all'elemento  xÎA

Funzione biettiva

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cosa succede se dobbiamo risolvere delle disequazioni in cui una o più espressioni contenenti l’incognita compaiono in valore assoluto?

Per risolvere queste disequazioni è necessario studiare prima di tutto il segno di ciascuna espressione in cui compare il valore assoluto i valori che si possono attribuire all’incognita restano divisi in intervalli, in base al valore assoluto, e l’equazione data assume “forma diversa” nei suddetti intervalli

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Esempio disequazione con valore assoluto:studiamo l’espressione con il v.a. |x-1|>4-2xQuando |x-1|>=0 ossia x>=1 il valore assoluto vale x-1quando |x-1|<0 ossia x<1 il valore assoluto vale -x+1quindi |x-1| assume valori diversi nei due intervalli 1

-x+1 x+1e di conseguenza anche l’equazione assume “forme diverse” in ciascuno di questi intervalli:Quando x>=1 l’equazione diventax - 1 > 4 - 2xquando x<1 l’equazione diventa- x + 1 > 4 - 2x

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Perciò risolvere l’equazione con il valore assoluto |x-1|>4-2xvuol dire risolvere due sistemi, contenenti le “forme diverse” dell’equazione negli intervalli determinati dal v.a.

e la soluzione finale si ottiene unendo le soluzioni dei due sistemi

xxx

2411

xxx

2411

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e se i valori assoluti nella disequazione sono due oppure più di due?Niente paura.. il ragionamento da seguire non cambia!! Si studiano i singoli v.a., si ricavano le “forme diverse” di equazioni e si ricavano i sistemi da risolvere!! Occhio, però, i sistemi da risolvere aumentano! L’unione di tutte le soluzioni dei sistemi determinerà la soluzione finale!

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http://precorso.dicom.uninsubria.it/lezioni/funzioni.htm#WasisteineFunktion