Funzioni Continue f A - mozzanica.net20Dispense%20STB/2014-2015%20... · • Le funzioni elementari...

Funzioni ContinueFunzioni ContinueRRAf →⊆: '0 AAx ∩∈

La funzione f si dice continua in x 0 se (e solo se) )()(lim 00

xfxfxx

=→

Ne seguono tre proprietà affinché f(x) sia continua in x0:1. Devono esistere finiti il limite destro e sinistro di f(x) in x02. Tali limiti devono essere uguali tra loro3. Essi devono essere anche uguali a f(x0)

>+

Es. Per quali valori del parametro a la seguente funzione è continua su tutto R?

1

≤−>+

= 0xper 3x

0xper 2)(

axxf

axfx

=+→

)(lim0

3)(lim0

−=−→

xfx

3)0( −=f

f(x) è continua su tutto R per a=-3

Oss. Per le funzioni continue il calcolo del limite si “traduce” in una semplice sostituzione

Funzioni ContinueFunzioni Continue

)()(lim 00

xfxfxx

=→

≤

>=

0per x ae

0per x )sin(

)(x

x

x

xf


f(x) è continua su tutto R per a=1

2

f(x) è continua su tutto R per a=1

≤+

>=

0per x bax

0per x )sin(

)( x

xxf


f(x) è continua su tutto R per b=1 e per ogni valore di a reale

Discontinuità 1/2Discontinuità 1/2Si hanno tre possibili casi in cui una funzione non sia continua:1. Esistono limite destro e sinistro in x0 sono uguali tra loro ma NON sono uguali a

f(x0). In questo caso si dice che la discontinuità in x0 è una DISCONTINUITA’ ELIMINABILE

=≠−

= 0xper 2

0xper 12)(

xxfEs.

)()(lim)(lim 000

xfxfxfxxxx

≠=−+ →→

3

=

= 0xper 2

)(xfEs.

2. x0 è punto di DISCONTINUITA’ di I° SPECIE (o discontinuità a salt o) se il limite destro e sinistro di f(x) esistono finiti ma sono diversi tra loro

)(lim)(lim00

xfxfxxxx −+ →→

≠

>+≤−

= 0xper 2x

0xper 12)(

xxfEs.

Discontinuità 2/Discontinuità 2/222. x0 è punto di DISCONTINUITA’ di 2° SPECIE se il limite destro o sinistro di f(x)

esiste infinito oppure non esiste

∞±

=±→ esistenon

)(lim0

xfxx

4

xxf

1)( =Es.

=x

xf1

sin)(Es. )tan()( xxf =Es.

Continuità Funzioni ElementariContinuità Funzioni ElementariDef. Una funzione f(x) è continua in un sottoinsieme I di R se è continua in ogni

punto dell’insieme I . (I deve essere contenuto nell’insieme di definizione della funzione)

qmxy += cbxaxy ++= 2

axy =

dcx

baxy

++=

xy =

Funzioni Lineari , Funzione quadrato : Continue su RPolinomi: Continui su R Modulo di x: continua su R

Funzione omografica (iperbole): discontinuità di 2°specie per x=-d/c

Funzioni Potenza: continua sull’insieme di esistenza

011

1 ..... axaxaxay nn

nn ++++= −

−

5

xy =xay =

)(log xy a=

===

)tan(

)cos(

)sin(

xy

xy

xy

Funzioni Potenza: continua sull’insieme di esistenza

Funzione Esponenziale: continua su R

Funzione Logaritmica: continua per x>0

Funzioni trigonometricheContinua su R

Discontinuità di 2° specie in π/2+k π

Continua su R

Teorema di Teorema di WeierstrassWeierstrassTeorema (di Weierstrass).

Se una funzione f(x):A�R è continua su un sottoinsieme I di A chiuso e limitato allora possiede (almeno) un punto di massimo e (almeno) un punto di minimo in I.

• La condizione di continuità su un insieme chiuso e limitato è sufficiente ma non necessaria. Esistono funzioni che NON soddisfano all’ipotesi del teorema ma soddisfano egualmente alla tesi, oppure che NON la soddisfano.

M M

6

[ ]ba, ( )ba,

Discontinua (in un punto) su un insieme chiuso e lim. : eppure ammette massimo e minimo

Discontinua (in un punto) su un insieme aperto : eppure ammette massimo e minimo

M M

m m

Teorema di Teorema di DarbouxDarboux 11

( )ba,Teorema (di Darboux).

Continua su un insieme aperto : non ammette massimo e minimo

7

Teorema (di Darboux).Se una funzione f(x):A�R è continua su un intervallo I di A chiuso e limitato allora in tale intervallo assume tutti i valori (almeno una volta) compresi tra il massimo ed il minimo.

• La condizione di continuità su un intervallo chiuso e limitato è sufficiente ma non necessaria. Esistono funzioni che NON soddisfano all’ipotesi del teorema ma soddisfano egualmente alla tesi oppure che NON la soddisfano.

• N.B. Si parla di Intervallo chiuso e limitato non di insieme.• N.B. Il massimo ed il minimo sono quelli assicurati dal teorema di Weierstrass.


[ ]ba,

M

m

Discontinua (in un punto) su un intervallo chiuso e limitato : eppure assume tutti i valori tra massimo e minimo

MDiscontinua (in un punto) su un intervallo chiuso e limitato : NON assume tutti i valori

8

[ ]ba,

M

m

chiuso e limitato : NON assume tutti i valori tra massimo e minimo (fascia)


M

Continua sull’unione di due intervalli chiusi e limitati : NON assume tutti i valori tra massimo e minimo (fascia)

9

[ ]ba,

m

massimo e minimo (fascia)

[ ]dc,

Teorema degli Zeri e Metodo di BisezioneTeorema degli Zeri e Metodo di BisezioneTeorema (degli Zeri).

Se una funzione f(x):A�R è continua su un intervallo [a,b] di A chiuso e limitato soddisfa alla condizione f(a)*f(b)<0 allora esiste (almeno) un punto c appartenente all’intervallo (a,b) tale che f(c)=0.

Metodo di Bisezione.Il metodo di bisezione costituisce un metodo di approssimazione numerica della soluzione di una equazione del tipo f(x)=0.

Nota. In generale è meglio stabilire se nell’intervallo dato la soluzione è unica [ciò può essere fatto considerando, ad esempio, la monotonia della funzione].

E’ un metodo iterativo.

10

E’ un metodo iterativo.

Ecco come “funziona”:1. Si determina l’intervallo che contiene la soluzione dell’equazione f(x)=0 attraverso il

teorema degli zeri. Sia esso [x1,x2] .2. Dato l’intervallo [x1,x2] , si calcola la media di x1 e x2: x3=(x1+x2)/2 3. Si valuta quale sottointervallo [x1,x3] o [x3,x2] contiene la soluzione verificando la

condizione f(x1)*f(x3)<0 oppure f(x3)*f(x2)<0 4. Poi si reitera il calcolo.

L’ampiezza dell’intervallo scelto costituisce l’error e dell’approssimazione.

Metodo di BisezioneMetodo di Bisezione

f(x)=ln(x)+x• f è continua in [1/2,1]• f(1)=1>0 ; f(0,5)~-0.193 <0. Per il teorema degli zeri esiste allora un punto c:• 0.5<c<1 per cui f(c)=0.• Tale valore è anche l’unica soluzione dell’equazione ln(x)=-x (vedi confronto grafico).

f(x)=ln(x)+x f(x)=ln(x) e g(x)=-x

11

Risoluzione approssimata: Metodo di Bisezione 1Risoluzione approssimata: Metodo di Bisezione 1f(x)=ln(x)+x.

[ ]1 ; 5.0 019315.0)5.0( 1 <−≈=xf

01)1( 2 >==xf75.0

221

3 =+= xxx

0462318.0)75.0( 3 >≈=xf

[ ]75.0 ; 5.0 019315.0)5.0( 1 <−≈=xf

0462318.0)75.0( >≈=xf625.0

221

3 =+= xxx

12

0462318.0)75.0( 2 >≈=xf 2

0154996.0)625.0( 3 >≈=xf

[ ]625.0 ; 5.0 5625.02

213 =+= xx

x

001286.0)5625.0( 3 <−≈=xf

[ ]625.0 ; 5625.0

Risoluzione approssimata: Metodo di Bisezione 2Risoluzione approssimata: Metodo di Bisezione 2

Errore x1 f(x1) x2 f(x2) x3 f(x3)

0,5 0,5 -0,19315 1 1 0,75 0,462318

0,25 0,5 -0,19315 0,75 0,462318 0,625 0,154996

0,125 0,5 -0,19315 0,625 0,154996 0,5625 -0,01286

0,0625 0,5625 -0,01286 0,625 0,154996 0,59375 0,072453

f(x)=ln(x)+x.

13

0,0625 0,5625 -0,01286 0,625 0,154996 0,59375 0,072453

0,03125 0,5625 -0,01286 0,59375 0,072453 0,578125 0,03016

0,015625 0,5625 -0,01286 0,578125 0,03016 0,570313 0,008742

0,007813 0,5625 -0,01286 0,570313 0,008742 0,566406 -0,00204

0,003906 0,566406 -0,00204 0,570313 0,008742 0,568359 0,003358

0,001953 0,566406 -0,00204 0,568359 0,003358 0,567383 0,000662

0,000977 0,566406 -0,00204 0,567383 0,000662 0,566895 -0,00069

Confronto GraficoConfronto Grafico

>−=

=⇔−>

21

2

1 )ln(

)ln(

yy

xy

xy

xx

Es. ln(x)+x=0 oppure ln(x)+x>0

ln(x)=-x ammette un’unica soluzione x 0 : 0< x0 <1x0~0.567143290409783…..

14

{ }0: xxRxS >∈=

L’insieme di soluzione della disequazione è allora:

Limiti : Somma 1Limiti : Somma 1• Le funzioni elementari sono continue (dove sono definite)• Se “compongo” le funzioni elementari con “operazioni” elementari ottengo funzioni

continue.• Il calcolo del limite allora non presenta difficoltà …. basta sostituire.

Da qui in poi f e g saranno due funzioni definite in A, con x0 punto di accumulazione di A ( i limiti si assumono tutti esistenti).

[ ] [ ]...648.2

)4ln(6

6

4ln

)2/1arcsin(

)2(ln

)4/arcsin(

)(lnlim

22

2≈===

→ ππx

xx

15

SOMMA

−∞=∞−∞−+∞=∞+∞+∈∀−∞=+∞−+∞=+∞+ Rxxx

( ) ( ) ( ))(lim)(lim)()(lim000

xgxfxgxfxxxxxx →→→

+=+

Eccezione: Forma di indecisione ∞−∞+

(si ricordi l’aritmetizzazione parziale del simbolo ∞)

Limiti : Somma 2Limiti : Somma 2

Eccezione: Forma di indecisione ∞−∞+

Forma indecisione(indeterminata): significa che il risultato non è prevedibile “a priori”.

( ) +∞=

−=−+∞→+∞→ x

xxxxx

11limlim 22

16

( )

+∞→+∞→ xxx

( ) −∞=

−=−+∞→+∞→

11

limlim 22

xxxx

xx

( ) kkxxx

=−−+∞→

)(lim

Limiti : Prodotto 1Limiti : Prodotto 1PRODOTTO ( ) ( ) ( ))(lim)(lim)()(lim

000

xgxfxgxfxxxxxx →→→

⋅=⋅

(si ricordi l’aritmetizzazione parziale del simbolo ∞)

( )( )

( ) ( )( ) ( ) −∞=∞⋅∞±

+∞=∞±⋅∞±<∀∞=∞±⋅>∀±∞=∞±⋅

m

m 0

0

xx

xx

17

( ) −∞=⋅+→

x

xex)ln(lim

0

−∞=

⋅

+∞→)(log)ln(lim

2

1 xxx

( ) +∞=+∞→

)ln(lim xex

x

Poiché: ( ) −∞=+→

)ln(lim0

xx

( ) 1lim0

=+→

x

xe

Poiché: ( ) +∞=+∞→

)ln(lim xx

−∞=

+∞→)(loglim

2

1 xx

Poiché: ( ) +∞=+∞→

x

xelim ( ) +∞=

+∞→)ln(lim x

x

Limiti : Prodotto 2Limiti : Prodotto 2

Eccezione: Forma di indecisione ∞⋅0

( ) +∞==

⋅+∞→+∞→

xxx xx

lim1

lim 2

01

lim1

lim2

=

=

⋅+∞→+∞→ x

xx xx

18

( ) kkkxx xx

==

⋅+∞→+∞→

lim1

lim

Limiti : Rapporto 1Limiti : Rapporto 1RAPPORTO

( ) ±∞==

→

±

→)(lim se 0

)(

1lim

00

xfxf xxxx

01 =∞

( ) ±

→→=±∞=

0)(lim se

)(

1lim

00

xfxf xxxx ∞=

0

1

)(lim xf

19

Eccezione: Forme di indecisione 0

0

01

lim 2

0=

⋅→

xxx

+∞=

⋅+→

xxx 20

1lim kkx

xx=

⋅→

1lim

0

∞∞

)(lim

)(lim

)(

)(lim

0

0

0 xg

xf

xg

xf

xx

xx

xx→

→

→=

Salvo eccezione

Limiti : Funzioni Razionali 1Limiti : Funzioni Razionali 1Funzioni Razionali Fratte (x � ±∞) : forma ∞/ ∞

2

11

31

4

1132

lim34

132lim

434

424

4

24

=

+−

+−=

+−+−

±∞→±∞→

xxx

xxx

xx

xxxx

±∞==

+−=

+−+−

±∞→±∞→±∞→ 2

1lim

11

1132

lim34

132lim

535

4

25

xxx

x

xx

xx

20

±∞==

+−=

+− ±∞→±∞→±∞→ 2

lim1

31

4lim

34lim

434

4x

xxx

xx xxx

±

±∞→±∞→±∞→==

+−

+−=

+−+−

02

11lim

13

14

1132

lim34

132lim

545

424

5

24

xxx

x

xxx

xx

xxxxx

Limiti : Funzioni Razionali 2Limiti : Funzioni Razionali 2Funzioni Razionali Fratte (x � 0) : forma 0/0

1)14(

)132(lim

4

32lim

3

3

04

24

0−=

−+−=

−+−

→→ xx

xxx

xx

xxxxx

3

1

34

132lim

4

24

0=

+−+−

→ xx

xxx

Non è una forma di indecisione

21

)14(4 00 − − →→ xxxx xx

∞=−=

−+−=

−+−

±±± →→→m)1(

1lim

)14(

)132(lim

4

32lim

022

3

024

24

0 xxx

xxx

xx

xxxxxx

0)3(lim)14(

)32(lim

4

32lim

03

22

04

24

0=+=

−−=

−−

→→→x

xx

xx

xx

xxxxx

Limiti : PotenzaLimiti : PotenzaPOTENZA

( ) ( ))(lim

)( 0

00

)(lim)(limxg

xx

xg

xx

xx

xfxf→

=

→→

+

+∞→+∞→=

=

0

1lim

1lim

xx

x

x xx

Attenzione: forma (0) ∞ non è di indecisione

( ) ( )+

∞+

+∞∞++ =

∞+=

∞+=

∞+= 0

1110

( ) [ ] lim 0lim00

1

x

xxxx

x

++ →

+

→==

22

( ) +∞=

=++ →→

)ln(

0

)ln(

0

1limlim

x

x

x

x xx

( ) ( ) +∞=∞+=

∞+= ∞+

−∞∞−+ 1

0

Se x �1/x i due limiti precedenti sono “uguali”.

( )

=+∞=

=++

−

+ →→→ xx

x

xx xxx

x 1lim

1limlim

0

1

00

1

Nota

( )+∞−0 ( )−∞−0 Non sono definiti !!

Limiti : PotenzaLimiti : Potenza

( ) +∞=+∞→

x

xxlim

Attenzione: forma ( ∞)∞ non è di indecisione

( ) +∞=∞+ +∞

( ) +∞+

+∞∞− ==

=∞+ 0

11

( ) +=

0limx

1ln

x

23

( ) ∞+ =+∞

=

∞+

=∞+ 0)( ( ) +

+∞→=

0limx

xx

Nota

( )+∞∞− ( )−∞∞− Non sono definiti

Limiti : Potenza Limiti : Potenza –– Forme indeterminate 1Forme indeterminate 1Eccezione: Forme di indecisione

∞1 ex

x

x=

++∞→

11lim

( ) ex x

x=+

→

/1

01limAnche (x � 1/x) :

axx

x

ex

x

x=

+−∞→

11lim

24

+∞==

+=

++∞→+∞→+∞→

x

x

xx

x

x

xe

xxlim

11lim

11lim

2

1lim1

1lim1

1lim1

1

==

+=

++∞→+∞→+∞→

x

x

xx

x

x

xe

xx

aa

x

x

xe

axx

a =

+=

++∞→+∞→ )/(

11lim1lim a

x

xe

x

a =

++∞→

1lim ( ) ax

xeax =+

→

/1

01lim

Limiti : Potenza Limiti : Potenza –– Forme indeterminate 1Forme indeterminate 1Eccezione: Forme di indecisione

∞1 ex

x

x=

+±∞→

11lim ( ) ex x

x=+

→

/1

01lim

=

+−=

+−=

+−

⋅+−

−+

+∞→+∞→+∞→

xxx

x

x

x

x

x xxx

x2

2

3

3

222

2

31lim

2

31lim

2

1lim

ax

xe

x

a =

++∞→

1lim ( ) ax

xeax =+

→

/1

01lim

( ) 62

6

lim −+−

+∞→= ee x

x

x

25

13

2

3

2

2

...1

21lim...

1

32lim −

+

+∞→

+

+∞→==

+−+−+==

+−+−

exx

x

xx

xxx

x

x

x

Limiti : Potenza Limiti : Potenza –– Forme indeterminate 2Forme indeterminate 2

Eccezione: Forme di indecisione

00 ( )e

e xx

x

1lim

1

=−

+∞→

( ) ( ) ( ) +∞==

−−=+∞→+∞→

−−

+∞→x

xxe

xx

xx

x explim

1 explimlim 2

1 2

26

+∞→+∞→+∞→ x xxx

( ) ( ) +−

+∞→

−

+∞→== 0lim lim

12 x

x

xx

xee

( ) ( ) 1lim lim /112 == −

+∞→

−

+∞→

x

x

xx

xee

Limiti : Potenza Limiti : Potenza –– Forme indeterminate 4Forme indeterminate 4

Eccezione: Forme di indecisione

( )0∞+ ( )

+

+∞→xx

xe

11ln

lim =

+=+∞→ x

xx

11lnexplim

eexx

x

x

x

x==

+==

+=+∞→+∞→

))exp(ln(1

1limlnexp..1

1lnexplim

27

( ) =

+=+∞→

+

+∞→ xxe

x

xx

x

11lnexplimlim 2

11ln2

xx xx +∞→+∞→

[ ] +∞===

+=+∞→+∞→+∞→

x

xx

x

xeex

xx limlnexplim

11lnexplim

Forme di indecisione: riassuntoForme di indecisione: riassunto

0

∞

∞⋅0

∞−∞+Addizione

Moltiplicazione

28

( )0∞+00∞1

0

0

∞∞Rapporto

Potenza

Identità EsponenzialeIdentità Esponenziale

0)(: )))exp(ln(f(x)( ))(ln( >∀== xfxexf xf

29

)(Dominio )))ln(exp(f(x)ln()( )( fxexf xf ∈∀==

Infinitesimi ed Infiniti 1Infinitesimi ed Infiniti 1Def. Una funzione si dice Infinita per x� x0 se (e solo se):

±∞=→

)(lim0

xfxx

Def. Una funzione si dice Infinitesima per x� x0 se (e solo se):

0)(lim0

=→

xfxx

Def. Date f, g infinite per x� x0 ; f si dice Infinita per x� x0 di ordine n rispetto a g(x) se (e solo se):

30

Def. Date f, g infinite per x� x0 ; f si dice Infinita per x� x0 di ordine n rispetto a g(x) se (e solo se):

[ ] finito 0)(

)(lim

0

≠=→

kxg

xfnxx

Def. Date f, g infinitesime per x� x0 ; f si dice Infinitesima per x� x0 di ordine n rispetto a g(x) se (e solo se):

[ ] finito 0)(

)(lim

0

≠=→

kxg

xfnxx

Infinitesimi ed Infiniti 2Infinitesimi ed Infiniti 2

Es. Per x�+∞ si prende come riferimento g(x)=x

11

lim4

24

=+++∞→ x

xxx

Il polinomio a numeratore (x^4+x^2+1)è infinito di grado 4 rispetto a x

Es. Per x�0 si prende come riferimento g(x)=x

31

1lim 2

24

0=+

→ x

xxx

Es. Per x�0 si prende come riferimento g(x)=x

Il polinomio a numeratore (x^4+x^2)è infinitesimo di grado 2 rispetto a x

Infiniti di ordine Superiore (Inferiore)Infiniti di ordine Superiore (Inferiore)

Def. f(x) si dice Infinita di ordine superiore rispetto a g(x) per x� x0 se (e solo se):

Def. f(x) si dice Infinita di ordine inferiore rispetto a g(x) per x� x0 se (e solo se):

±∞=→ )(

)(lim

0 xg

xfxx

Date due funzione f(x) e g(x) infinite per x� x0

0)(

)(lim

0

=→ xg

xfxx

32

Def. f(x) si dice Infinita dello stesso ordine rispetto a g(x) per x� x0 se (e solo se):

finito 0)(

)(lim

0

≠=→

kxg

xfxx

Def. f(x) si dice Infinita non confrontabile rispetto a g(x) per x� x0 se (e solo se):

esistenon )(

)(lim

0

=→ xg

xfxx

Se k=1, f(x) si dice ASINTOTICA rispetto a g(x) per x� x0 )( )(~)( 0xxxgxf →

Gerarchia Ordine Infiniti 1Gerarchia Ordine Infiniti 1

xx

Per x�+∞ le seguenti funzioni sono ognuna infinita di ordine superiore rispetto a quelle che stanno a destra (o di ordine inferiore r ispetto a quelle che stanno a sinistra)

xa bx )(log xdc

1>a 0,0 >> xb 0,0,10 >>≠∧> xdcc

e xEs. lim +∞=x

0>x

33

lim2

+∞=+∞→ x

e x

x

Es.

)ln(lim +∞=

+∞→ x

xx

TeoremaSe F(x) è infinita di ordine superiore a f(x) per x �x0 allora f(x)+F(x) è asintotica a F(X). In più se G(x) è infinita di ordine superiore a g(x) per x �x0 , g(x)+G(x) è asintotica a G(x) e:

)(

)(lim

)()(

)()(lim

00 xG

xF

xGxg

xFxfxxxx →→

=++

Nota: Il passaggio alla funzione asintotica non cambia il valore del limite.

Gerarchia Ordine Infiniti 2Gerarchia Ordine Infiniti 2

0lim)ln(

lim44

==+++

+∞→+∞→ xxxx e

x

xe

xxx

Es. 2

1

2lim

22lim

3

3

3

3

==+−

++∞→+∞→ x

x

xx

xxxx

lim +∞=x +∞=

−= ++ )ln(

1lim

1

1

limxx

xx � 1/x

34

)ln(

lim +∞=+∞→ xx

+∞=

−=

++ →→ )ln(lim

1ln

lim00 xx

x

xx

−

→=

+0)ln(lim

0xx

x

x � 1/x

)ln(lim)ln(lim1

lnlim1

)ln(lim000

yyyx

yxyyyx +++ →→→+∞→

−=−=

=

==

Comportamento del logaritmo a 0 + come funzione infinita :

=−∞→

x

xxelim −

−−∞→= 0lim

xx e

x

Gerarchia Infiniti : graficiGerarchia Infiniti : grafici

xxxe

2x

)0(per >= xex xx

Intersezioni

xxx =)ln( ( ) 01)ln( =−xx =x (?,*)0

35

xxx =)ln( ( ) 01)ln( =−xx

==

ex

x (?,*)0

)0(per 2 >= xxx x

)ln(2)ln( xxx = ( ) 02)ln( =−xx

==

2

1

x

x

(*) 0)ln(lim)ln(lim00

==++ →→

x

xxxxx

Poiché il logaritmo è una funzione continua:

1lim0

=+→

x

xx

Gerarchia Infiniti : graficiGerarchia Infiniti : grafici

xe

2x

)(per 2 Rxxex ∈=

36

)ln(2 xx =Per x>0

Per x<0

Cfr grafico

Cfr grafico S={x=-0.70346742249839}

Bisezione con intervallo iniziale [-1;-1/2]:

∅=S

Infinitesimi di ordine Superiore (Inferiore)Infinitesimi di ordine Superiore (Inferiore)

Def. f(x) si dice Infinitesima di ordine superiore rispetto a g(x) per x� x0 se (e solo se):

Def. f(x) si dice Infinitesima di ordine inferiore rispetto a g(x) per x� x0 se (e solo se):

0)(

)(lim

0

=→ xg

xfxx

Date due funzione f(x) e g(x) infinitesime per x� x0

±∞=→ )(

)(lim

0 xg

xfxx

37

Def. f(x) si dice Infinitesima dello stesso ordine rispetto a g(x) per x� x0 se (e solo se):

finito 0)(

)(lim

0

≠=→

kxg

xfxx

Def. f(x) si dice Infinitesima non confrontabile rispetto a g(x) per x� x0 se (e solo se):

esistenon )(

)(lim

0

=→ xg

xfxx

Se k=1, f(x) si dice ASINTOTICA rispetto a g(x) per x� x0 )( )(~)( 0xxxgxf →

Gerarchia Ordine Infinitesimi 1Gerarchia Ordine Infinitesimi 1Per x�+∞ le seguenti funzioni sono ognuna infinitesima di or dine superiore rispetto a quelle che stanno a destra (o di ordine inferiore rispetto a quelle che stanno a sinistra)

xa

1bx

1)(log

1

xdc

xx

1

38

TeoremaSe f(x) è infinitesima di ordine inferiore a F(x) per x �x0 allora f(x)+F(x) è asintotica a f(x). In più se g(x) è infinitesima di ordine inferiore a G(x) per x �x0g(x)+G(x) è asintotica a g(x) e:

)(

)(lim

)()(

)()(lim

00 xg

xf

xGxg

xFxfxxxx →→

=++

Nota: Il passaggio alla funzione asintotica non cambia il valore del limite.

Gerarchia Ordine Infinitesimi 2Gerarchia Ordine Infinitesimi 2

Es. 1lim

2lim

03

3

0−=

−=

−+

→→ x

x

xx

xxxx

( )1limlim

0/1

4

0==

++

++ →−→ x

x

xe

xxxxx

39

( ) ( )[ ] 0 )ln(lim

)ln(1

lim

)ln(1

lim00

4

0===+

+++ →→→xx

x

x

x

xxxxx

+→ 0xper )ln(

1

xNota È infinitesimo di ordine inferiore a x

Asintoti Obliqui 1Asintoti Obliqui 1

Def. Per x�+∞ (-∞) la retta y=mx+q è ASINTOTO OBLIQUO per la funzione f(x) se (e solo se) :

[ ] 0)()(lim)(

=+−±∞→

qmxxfx

Data f definita in un intorno di + ∞ (- ∞ ) e tale che:( )

( )∞±=∞±→

)(lim xfx

Teorema . Per x�+∞ (-∞) la retta y=mx+q è ASINTOTO OBLIQUO per la funzione f(x) se (e solo se) :

40

solo se) :

finito esiste )(

lim)( x

xfm

x ±∞→=

finito esiste ][lim)(

f(x)-mxqx ±∞→

=


Es.:xx

xxxf

2

1)(

2

23

−+−= 1

2

1lim

)(lim

23

23

=−

+−==+∞→+∞→ xx

xx

x

xfm

xx

[ ] 12

1lim

2

)2(1lim)(lim

2

2

2

2323

=−+=

−−−+−=−=

+∞→+∞→+∞→ xx

x

xx

xxxxxxfq

xxx

y=x+1 è asintoto a + ∞. Si dimostra analogamente che lo è anche a - ∞

Nota: effettuando la divisione di polinomi otteniamo per f(x)

41

xx

xxxf

2

121)(

2 −+++=

( )xx

xxxf

2

121)(

2 −+=+−

02

12lim

2=

−+

+∞→ xx

xx


Es.: 1)( 2 −+= xxxf

∞++= a 2

1xy

∞−−= - a 2

1xy

42

Es.: 3 23 1)( +−= xxxf

∞±−= a 3

1xy

2

Ricerca Asintoti 1/4Ricerca Asintoti 1/4

Es.: ( )1ln)( 2 −= xxf

012 ≠−xDominio:

Simmetria: funzione pari

1±≠x

Segno: ( ) 01ln 2 >−x 112 >−x 112 >−x

)()( xfxf −=)( )(∞− ∞+

1+1−

43

Segno: ( ) 01ln >−x 11 >−x 11 >−x

021111 2222 <∨>⇒−<−∨>− xxxx

22 −<∨>⇒ xx

2− 2

)( )(∞− ∞+1+1−

0 0

Ricerca Asintoti 2/4Ricerca Asintoti 2/4

Es.: ( )1ln)( 2 −= xxfLimiti alla frontiera del dominio:

2− 2

)( )(∞− ∞+1+1−

0 0

( ) +∞==−∞→+∞→

)(lim)(lim xfxfxx Non esistono asintoti orizzontali

( ) −∞==−+ −→→

)(lim)(lim11

xfxfxx ( ) −∞== )(lim)(lim xfxf

x=1 asintoto verticale

44

( ) −∞==+− −→→

)(lim)(lim11

xfxfxx

x=-1 asintoto verticale

0)ln(2

lim)(

lim ===+∞→+∞→ x

x

x

xfm

xxNon esistono asintoti obliqui

( ) +∞=−+∞→

0)(lim xfx

Ricerca Asintoti 3/4Ricerca Asintoti 3/42− 2

)( )(∞− ∞+1+1−

0 0

45

Ricerca Asintoti 4/Ricerca Asintoti 4/44

Es.:

−=

1

1exp)(

2xxf

46

Calcolo Limiti Funzioni Razionali 1Calcolo Limiti Funzioni Razionali 1

Per x� a +∞ (- ∞) un polinomio è asintotico al suo termine di grado massimo

4234 2~2 xxxxx ++−4234 4~234 xxxxx −−−+−

=++−

−−+−+∞→ xxxx

xxxxx 234

234

2

234lim 2

2

4lim

4

4

−=−+∞→ x

xx

Per x� 0 un polinomio è asintotico al suo termine di grado minimo ( ≠0)

=++−

−−+−→ xxxx

xxxxx 234

234

0 2

234lim 1lim

0−=−

→ x

xx

Calcolo Limiti Funzioni Razionali 2Calcolo Limiti Funzioni Razionali 2

Più in generale , Zeri contemporanei di numeratore e denominatore che originano la forma indeterminata 0/0 vanno risolti applicando il teorema di Ruffini, cioè fattorizzando i polinomi e semplificando i termini co muni o mediante regole di fattorizzazione dei polinomi.

=−+

+−−→ 32

44lim

2

23

1 xx

xxxx 4

3

)3(

)4(lim

)3)(1(

)4)(1(lim

2

1

2

1−=

+−=

+−−−

→→ x

x

xx

xxxx

=−−

→ 1

1lim

3

2

1 x

xx 3

2

)1)(1(

)1)(1(lim

1

1lim

213

2

1=

++−+−=

−−

→→ xxx

xx

x

xxx

Calcolo Limiti Funzioni Irrazionali 1Calcolo Limiti Funzioni Irrazionali 1Si utilizza un procedimento simile alla razionalizzazione , che utilizza le regole sui prodotti notevoli

1

1lim

1 −−

→ x

xx

22lim

−+ xx

2

1

1

1

1

1lim

1

1

1

1lim

11=

+−−=

++

−−=

→→ xx

x

x

x

x

xxx

=−

++−+= 2

22

22

limxxxxx

2

22lim

2 −−+

→ x

xxx

=−−

++++

−−+=

→ 2

2

22

22

2

22lim

2 x

x

xx

xx

x

xxx

1

2

22

1

2

22lim

2

−++−

−+=→

x

xxx

xxx

01

2

4

1)1(lim

2=−−=

→

xx

22))(( bababa −=−+Regola algebrica:

Calcolo Limiti Funzioni Irrazionali 2Calcolo Limiti Funzioni Irrazionali 2

=++

−→ 1

1lim

3

1 x

xx

3

1

)1(

1

1

1lim

)1(

)1(

1

1lim

33 2133 2

33 23

1=

+−++=

+−+−

++=

−→−→ xxx

x

xx

xx

x

xxx

=−−+ 1lim 22 xxx

3322 ))(( babababa ±=+± mRegola algebrica:

=−−++∞→

1lim 22 xxxx

( )( )( ) =

−++−++−−+=

+∞→ 1

11lim

22

2222

xxx

xxxxxx

x

( )( ) 2

1

2

1lim

1

1lim

22

22

=+=−++

+−++∞→+∞→ x

x

xxx

xxxxx

Limiti Notevoli 1Limiti Notevoli 1

2

1)cos(1lim 20

=−→ x

xx

Es.

1)sin(

lim0

=→ x

xx

xx ~)sin(

[ ] 2

2

1~)cos(1 xx−

− )cos(1 x)5sin( x 55x 11 2x

51

=−→ )(sin

)cos(1lim

20 x

xx

=→ )2sin(

)5sin(lim

0 x

xx

=→ x

xx

)tan(lim

0xx ~)tan(

=+

+→ )(tan)sin(

)tan(3lim

20 xx

xxx

⇒

2

5

2

5lim

0=

→ x

xx 2

12lim20

=→ x

x

x

1)cos(

1)sin(lim

0=⋅

→ xx

xx

44

lim4

lim020

==+ →→ x

x

xx

xxx

Deduzione Limiti Notevoli 1Deduzione Limiti Notevoli 1Da 1

)sin(lim

0=

→ x

xx

)cos(1

1)(cos1lim

)cos(1

)cos(1)cos(1lim

)cos(1lim

2

2

02020 xx

x

x

x

x

x

x

xxxx +

−=++−=−

→→→

1)sin(lim

11)(sinlim

22

=

== xx

52

2

1)cos(1lim

20=−

→ x

xx

2lim

22lim

020=

==→→ xx xx

2

2

1~)cos(1 xx−

2

2

11~)cos( xx −

Deduzione Limiti Notevoli 1bisDeduzione Limiti Notevoli 1bis

9

2

)3(

)2(21

lim)3(sin

)2cos(1lim

2

2

020==−

→→ x

x

x

xxx

5

6

5

6lim

6

6lim

)3sin(2

)2sin(3lim

0

2

0

2

0=

−−=

−−=

−−

→→→ x

x

xx

xx

xx

xxxxx

53

=

−=−

→→ 3030

)cos(1

1)sin(

lim)tan()sin(

limx

xx

x

xxxx

2

11)cos(

)cos(

11lim

)cos(1)cos(

)sin(lim

2020−=−=

−

=→→ x

x

xx

x

x

x

xxx

Deduzione Limiti Notevoli 2Deduzione Limiti Notevoli 2

=+=+→→

xa

x

a

xx

x

x 1

00)1(loglim

)1(loglim

Da

[ ])ln(

~)1(loga

xxa +

[ ] xx ~)1ln( +

( ) exx

x=+

→

1

1lim0

⇒==)ln(

1)(log

aea

54

[ ] )ln(~1 axa x ⋅−

[ ] ⇒==+

=−==−→→

)ln()(log

1

)1(loglim1

1lim

00a

ey

yay

x

a

aay

xx

x

)ln(1~ axa x ⋅+

[ ] xex ~1− xex +1~


( ))ln(

1log

)1(loglim

0 ae

x

xa

a

x==+

→

Es.

[ ])ln(

~)1(loga

xxa +

[ ] =+→ x

xx

2

0

)1(lnlim 1

)1ln(lim 2

2

0=+

→ x

xx

[ ] xx ~)1ln( +

[ ])1(ln 22

==+ xx

22

lim)1ln(2

lim00

==+→→ x

x

x

xxx

551lim)sin(

1lim

00==−

→→ x

x

x

ex

x

x

)ln(1

lim0

ax

a x

x=−

→ [ ] )ln(~1 axa x ⋅− [ ] xex ~1−

Es.

2

1

2lim

)21ln(

1lim

00−=

−=

−−

→→ x

x

x

ex

x

x

[ ]1lim

)1(lnlim

2

2

02

2

0==+

→→ x

x

x

xxx


Es.

2

121

lim1

11lim

00==

−−+

→→ x

x

e

xxxx

( ) αα

=−+→ x

xx

11lim

0( )[ ] αα ⋅−+ xx ~11

56

21 00 − →→ xe xxx

( ) =+−

→

1

1

1lim0

xe

xx

( )[ ] =−++→

x

xx

1

111lim0

eex

x

x==

+→

2

1

0

1

2

11lim

( ) αα ⋅++ xx 1~1

( ) =+−

→

1

1

1lim0

xe

xx

ex

x

x=

+→

1

2

11lim

0

Posso considerare anche:

Deduzione Limiti Notevoli 3Deduzione Limiti Notevoli 3

( ) αα

=−+→ x

xx

11lim

0( ) 11 −+= αxy

1)1(lim

1)1(

)1ln(lim

1)1(

))1ln((lim

)1ln(lim1

0000 −+⋅=

−++=

−++=+=

→→→→ααα

αααx

x

x

x

x

x

y

yxxxy

57

( )[ ] αα ⋅−+ xx ~1111)1(

lim0

=−+

⋅⇒→

ααx

xx

αα

1

1)1(lim

0=

−+⇒

→ x

xx

αα

=−+⇒

→ x

xx

1)1(lim

0

Limiti Notevoli: riassunto 1/2Limiti Notevoli: riassunto 1/2

2

1)cos(1lim 20

=−→ x

xx

1)sin(

lim0

=→ x

xx

xx ~)sin(

[ ] 2

2

1~)cos(1 xx−

xx ~)tan(1)tan(

lim0

=→ x

xx

58

0→ xx

( ) exx

x=+

→

1

1lim0

[ ])ln(

~)1(loga

xxa +

[ ] xx ~)1ln( +( )

)ln(

1log

)1(loglim

0 ae

x

xa

a

x==+

→

Limiti Notevoli: riassunto 2/Limiti Notevoli: riassunto 2/22

[ ] )ln(~1 axa x ⋅−

)ln(1~ axa x ⋅+

[ ] xex ~1− xe x +1~

)ln(1

lim0

ax

a x

x=−

→

59

( ) αα

=−+→ x

xx

11lim

0( )[ ] αα ⋅−+ xx ~11

[ ] xe +1~

Limiti Deducibili da Limiti Notevoli Limiti Deducibili da Limiti Notevoli

)(~))(sin( xx εε [ ] ( )2)(2

1~))(cos(1 xx εε−

Valgono ancora i limiti notevoli ed i passaggi all’ asintotico se al posto di x (x �0) mettiamo una qualsiasi funzione infinitesima ε(x), purché la sostituzione avvenga in modo “coerente”.

)(xε

60

[ ] )ln()(~1)( axa x ⋅− εε

( )[ ] αεε α ⋅−+ )(~1)(1 xx( ) ex xx

=+→

)(1

0)(1lim εε

[ ])ln(

)(~))(1(log

a

xxa

εε+

Limiti Deducibili da Limiti Notevoli : esempiLimiti Deducibili da Limiti Notevoli : esempi

Es. ( )2

121

1lnlim

21

12lnlim

)cos(2lnlim

2

2

02

2

020=

+=

+−=−

→→→ x

x

x

x

x

xxxx

Es. ( )2

1)2/1sin(lim

)cos(1sinlim

2

2

020==−

→→ x

x

x

xxx

Es. 2

1)cos(1lim

)1ln(

)1cos(1lim

2020=−=

+−−

→→ x

x

x

ex

x

xEs. 2ln

12lim

12lim

sin

=−=− xx

61

2lim

)1ln(lim

2020==

+ →→ xx xxEs. 2lnlim

sinlim

00==

→→ xx xx

Es. 2ln

2lnlim

1

12lim

1

12lim

00sin

)1ln(

0−=−=

−−=

−−

→

−

→

−

→ x

x

ee xx

x

xx

x

x

Es.

9

2

332

lim1

)2(31

lim1

121

1

1)21ln(1lim

0303sin

3

3sin

3

0−=

−=

−

−=

−−−=

−−+−

→→→ x

x

e

x

e

x

e

xxxxxxx

Sostituzione di variabile nei limitiSostituzione di variabile nei limiti

2

1lim

2

2 −−−

→ x

e x

x

11

lim0

=−=→ y

e y

y

2−= xy

x

xx −→ 1

)ln(lim

1

1−= xy1

)1ln(lim

0−=

−+=

→ y

yy

62

xx −→ 11 0 −→ yy

2

)cos(lim

2ππ

−→ x

x

x2

π−= xy

1)sin(

lim)

2cos(

lim00

−=−=+

=→→ y

y

y

y

yy

π

Sostituzione di variabile nei limitiSostituzione di variabile nei limiti

x

xarcsenx

)(lim

0→1

)(lim

0==

→ ysen

yy

)(xarcseny =

x

xx

)arctan(lim

0→

)(ysenx =

)arctan(xy =

)tan(yx =1

)tan(lim

0==

→ y

yy

63

xx 0→)tan(yx = )tan(0→ yy

Limiti Particolari 1Limiti Particolari 11lim

0=

+→

x

xx

1))ln(exp(limlim0

)ln(

0==

++ →→xxe

x

x

x

x

=+→

x

xx

0lim x

xx

1

0lim

+→=

NOTA −

→=

+0)ln(lim

0xx

x

Forma di indecisione 00

Non è una forma di indecisione ( )+∞+0

64

=+→x

x0

limx

x0

lim+→

=

+

→→==

=

++0))ln(

1exp(lim)exp(lnlim

0

1

0x

xx

x

x

x

−∞=+→

)ln(1

lim0

xxx

NOTA

Non è una forma di indecisione ( )0

Limiti Particolari 2Limiti Particolari 2

=+∞→

x

xxlim

==

+∞→+∞→x

x

x

xxx

11

lnexplimlim

( ) 1ln1

explim =

=+∞→

xxx

( ) 0ln1

lim =x

Forma di indecisione ( )0∞+

65

NOTA ( ) 0ln1

lim =+∞→

xxx

=−→

x

xx1

1

1lim

Forma di indecisione

( ) [ ]=−==

−→1ln

1

1explim

1xyx

xx

( )e

yyy

11ln

1explim

0=

+−=

→

∞1


)ln(

1

1lim x

xx

−

→

1

1

)ln(

1

1)ln(

)ln(

1explimlim −

→

−

→=

−= ex

xx

x

x

x

∞1

66

=−→ )()(

lim3

0 xsenxtg

xx

=

−=

−=

−=

→→→

1)cos(1

lim

)cos()cos(1

lim

1)cos(

1)(

lim2

0

3

0

3

0 xx

x

xx

x

xxsen

xxxx

Infinitesimi di ordine superiore e corretto utilizzo delle funzioni asintotiche

2

21

lim2

2

0=

→x

xx


))(lim())((lim00

xgfxgfxxxx →→

=

Utilizzo della continuità delle funzioni invertibili:Se f è continua :

( ) )ln(limln lim lx lx x

x

x

x=⇔=

+∞→+∞→

Se f è continua ed invertibile:

67

( ) +

+∞→+∞→+∞→=== 0)ln(

1lim)ln(limlimln x

xxx

x

x

x

x

x

10)ln( =⇒= + ll

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