FUNZIONI - University of Cagliariunica2.unica.it/roberarg/pdf/FUNZIONI.pdfFUNZIONI e CONTINUITA’...

FUNZIONI REALI DI VARIABILE REALE

e

CONTINUITA’ Roberto Argiolas

-1 -0.5 0.5 1

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

FUNZIONI e CONTINUITA’

83

In questa dispensa ricordiamo la classificazione delle funzioni elementari e il dominio di esistenza delle stesse. Inoltre analizziamo il concetto di continuità di una funzione in un punto e classifichiamo i diversi punti di discontinuità. Della maggior parte degli esercizi presentiamo un grafico completo della funzione (anche se non ci occupiamo per il momento di studiare in dettaglio la funzione stessa) in modo da avere un riscontro grafico dell’andamento della funzione nei punti di discontinuità. E’ bene precisare fin da ora che possedere e svolgere gli esercizi di questa dispensa non è condizione né necessaria né sufficiente per il superamento dell’esame stesso. Questa dispensa non sostituisce il libro di testo adottato, ne sostituisce le esercitazioni svolte dal docente. Questa dispensa è solo di supporto a tutti coloro che vogliano approfondire la loro preparazione all’esame con ulteriori esercizi oltre quelli del libro di testo suggerito dal docente. Ringrazio anticipatamente tutti coloro che vorranno segnalarmi eventuali errori e quanti vorranno comunicarmi suggerimenti per migliorare il lavoro.

R.A.


84

RICHIAMI

Le funzioni elementari

Si dividono in due classi:

1. Funzioni algebriche Sono costituite da quelle funzioni dove il legame tra x e y è di tipo algebrico. Possono essere cosi suddivise: a) Funzioni razionali intere b) Funzioni razionali fratte c) Funzioni irrazionali

2. Funzioni trascendenti Sono costituite da quelle funzioni dove il legame tra x e y non è di tipo algebrico. Possono essere cosi suddivise: a) Funzioni goniometriche b) Funzioni esponenziali c) Funzioni logaritmiche

Dominio o campo di esistenza Assegnata una funzione è necessario determinare l’insieme dei valori della variabile indipendente che definisce la funzione. Ricordiamo il dominio delle funzioni elementari. 1. Funzioni algebriche

a) Le funzioni razionali intere sono definite in tutto il campo reale b) Le funzioni razionali fratte sono definite per tutti quei valori che NON

annullano il denominatore

( )( ) ( ){ }0/C.E. )( ≠== xQxxQxPxf

c) Il dominio delle funzionali irrazionali dipende dall’indice della radice,

distinguiamo quindi due casi.


85

• Se l’indice della radice è un numero pari il campo di esistenza è

dato da tutti quei valori della x che rendono il radicando maggiore o uguale a zero.

( ) ( ){ }0/C.E. pari indicecon Q)( ≥== xQxxxf n

• Se l’indice è dispari, le funzioni irrazionali sono definite su tutto il campo

reale.

( ) ℜ== C.E. dispari indicecon Q)( n xxf . 2. Funzioni trascendenti

a) Le funzioni goniometriche come seno e coseno sono definite in tutto l’asse reale, mentre tangente e cotangente sono definite per tutti quei valori che non annullano il denominatore. Le funzioni inverse sono definite come segue:

( ) { }

( ) { }

( )

( ) ℜ=

ℜ=

≤=

≤=

:C.E. cot

:C.E. arctan

1x/ :C.E. arccos

1 / :C.E. arcsin

xarcxf

xxf

xxxf

xxxxf

b) Le funzioni esponenziali sono definite in tutto l’asse reale.

c) La funzione logaritmica è definita per tutti i valori della x che rendono

l’argomento (del logaritmo) strettamente positivo.

( )+∞== ,0 C.E. log)( xxf a


86

CONTINUITA’ La nozione di continuità di una funzione in un punto (o in un intervallo) è strettamente legata alla definizione di limite. Ricordiamo infatti che una funzione è continua in un punto quando il limite della funzione in quel punto è uguale al valore che la funzione assume nel punto stesso, in formule:

( )00)(lim xfxf

xx=

→

In modo equivalente possiamo anche scrivere:

( )000

)(lim)(lim xfxfxfxxxx

==−→+→

Un funzione si dirà continua in un intervallo quando è continua in ciascun punto dell’intervallo. Analizziamo la continuità delle funzioni elementari. 1. Funzioni algebriche

a) Le funzioni razionali intere sono continue in tutto il domino di definizione (quindi su tutto l’asse reale)

b) Le funzioni razionali fratte sono continue per tutti quei valori che NON

annullano il denominatore, cioè sono continue in tutto il loro campo di esistenza.

c) Il dominio delle funzionali irrazionali sono continue in tutto il loro

dominio di definizione, a prescindere dall’indice. 2. Funzioni trascendenti

a) Le funzioni goniometriche come seno e coseno sono continue in tutto l’asse reale, mentre tangente e cotangente sono continue per tutti quei valori che non annullano il denominatore. Le funzioni inverse sono continue in tutto il loro dominio di esistenza.

b) Le funzioni esponenziali sono continue in tutto il loro campo di esistenza,

ovvero su tutto l’asse reale.

c) La funzione logaritmica è continua per tutti i valori della x che rendono l’argomento (del logaritmo) strettamente positivo.


87

In conclusione possiamo dire che le funzioni elementari sono continue in tutto il loro insieme di definizione. Esercizi Determinare il campo di esistenza delle seguenti funzioni:

1.

+−+−

=12765log)( 2

2

xxxxxf

soluzione

Si tratta di una funzione logaritmica fratta. Il dominio si ottiene imponendo che:

4 2 4 3 3 2

0127

0127065

0127

012765

2

2

2

2

2

2

><⇒

><><

⇒

⇒

≠+−

>+−>+−

⇒

≠+−

>+−+−

xxxxxx

xx

xxxx

xx

xxxx

quindi:

( ) ( )+∞∪∞−= ,42,..EC

2.

−+

−=3122log)(

xxxf

Soluzione

Si tratta di una funzione logaritmica fratta. Il dominio si ottiene imponendo che:


88

45

3 453

0

354

03

7

2

312

2312

03122 <⇒

><

<⇒

>−−

<−⇒

−>−+

<−+

⇒>−+

− xxx

x

xx

x

xx

xx

xx

(si osservi che la condizione 3≠x è già contenuta nelle precedenti) quindi:

∞−=

45,..EC .

Osservazione La disequazione poteva anche essere risolta nel modo seguente:

45 :ottiene si binomio di quadrati i osviluppand e membri i

ambo quadrato al elevando 3212 2312 0

3122

<

⇒−<+⇒<−+

⇒>−+

−

x

xxxx

xx

3. ( )121544log)( 2 −−−−= xxxxf

Soluzione

Si tratta di una funzione logaritmica irrazionale (con indice pari). Il campo di esistenza si ottiene imponendo:

≥−−

>−−−−

015440121544

2

2

xxxxx

la seconda disequazione e’ contenuta nella prima quindi può essere omessa. Si ha:

( )

<+≥−−

+>−−

>+≥−−

⇒+>−−012

01544 e

121544012

01544 121544

2

22

2

2

xxx

xxxx

xxxxx


89

Risolvendo separatamente i due sistemi si trova:

( )

−<

−>

≥−≤

⇒

+>−−

>+≥−−

221

25

23

121544

01201544

22

2

x

x

xx

xxxx

xx

secondo il mentre soluzione, ammettenon sistema primo il ⇒ ha per

soluzione

23

−≤x

quindi:

−∞−=

23,..EC

Classificazione dei punti di discontinuità Se una funzione non è continua in un punto si dice allora discontinua. I diversi punti di discontinuità che può assumere un funzione in un punto vengono classificati come segue:

1. Discontinuità di prima specie o “a salto” Una funzione presenta una discontinuità di prima specie o a salto quando il limite destro e il limite sinistro esistono finiti ma diversi tra di loro.

)(lim)(lim00

xfxfxxxx −→+→

≠

2. Discontinuità di seconda specie Una funzione presenta una discontinuità di seconda specie quando almeno uno dei due limite (destro o sinistro) o non esiste oppure è infinito. Si possono presentare le seguenti situazioni:


90

esistenon )(lim oppure esistenon )(lim

00==

−→+→xfxf

xxxx

entrambi. esistanonon che capitare anche può

∞=∞=

−→+→ )(lim oppure )(lim

00xfxf

xxxx

infiniti. siano entrambi che capitare anche può

3. Discontinuità di terza specie o “eliminabile” Una funzione presenta una discontinuità di terzo specie quando i limiti destro e sinistro esisto finiti uguali tra di loro ma diversi dal valore che la funzione assume in quel punto oppure la funzione non è definita in quel punto. In tal caso è possibile ridefinire la funzione attribuendole nel punto in cui non è definita il valore del limite, si dice allora che la funzione è stata prolungata con continuità.

( )

( ) finiti )(lim )(limoppure

esistenon ma finiti )(lim )(lim

000

000

xfxfxf

xfxfxf

xxxx

xxxx

≠∃==

∃==

−→+→

−→+→

Osservazione E’ opportuno osservare che certi testi suddividono la classificazione dei punti di discontinuità in quattro casi distinguendo tra la possibilità che il limite non esiste da quella in cui il limite della funzione è infinito. Noi utilizzeremo la classificazione classica. Esempi

1. Data la funzione xexf1

)(−

= determinare il campo di esistenza e classificare gli eventuali punti di discontinuità.

Soluzione La funzione è esponenziale fratta, il dominio è ( ) ( )+∞∪∞− ,00, . Calcoliamo ora il limite destro e sinistro nel punto x=0.


91

0lim1

0=

−

+→

x

xe 0lim

1

0=

−

−→

x

xe

La discontinuità è eliminabile in quanto il limite destro e sinistro esistono finiti ed uguali ma la funzione non è definita nel punto x=0. Come è possibile “eliminare” la discontinuità? Basta ridefinire la funzione come segue:

( )

=

≠==

−

0per 0

0per )(1

x

xexfxg

x

E’ stato sufficiente assegnare alla funzione, nel punto di discontinuità, il valore del limite.

La funzione ottenuta prolungando xexf1

)(−

= nell’origine è continua infatti:

( ) ( ) ( )00limlim00

gxgxgxx

===−→+→

2. Data la funzione x

xf 1arctan)( = determinare il campo di

esistenza e classificare gli eventuali punti di discontinuità. Soluzione La funzione è goniometrica fratta, il dominio è ( ) ( )+∞∪∞− ,00, . Calcoliamo ora il limite destro e sinistro nel punto x=0.

21arctanlim

0

π=

+→ xx

21arctanlim

0

π−=

−→ xx

La discontinuità è di prima specie in quanto il limite destro e sinistro esistono finiti ma diversi fra loro. Il salto si ottiene calcolando la differenza tra i due limiti, il risultato è π . Il seguente grafico mostra il comportamento della funzione nell’intorno dell’origine.


92

-4 -2 2 4

-1.5-1

-0.5

0.51

1.5

3. Data la funzione ( )21)(

2

−−

=xxxxf determinare il campo di

esistenza e classificare gli eventuali punti di discontinuità. Soluzione La funzione è irrazionale (con indice pari) fratta, il dominio si ottiene imponendo:

( ) ( ] [ ) ( )+∞∪∪−∞−=⇒

≠−≥−

,22,11, C.E. 02

012

xxx

.

. Calcoliamo ora il limite destro e sinistro nel punto 2=x

( ) +∞=−−

+→ 21lim

2

2 xxx

x ( ) −∞=

−−

−→ 21lim

2

2 xxx

x

La discontinuità è di seconda specie in quanto il limite destro e sinistro sono infiniti. Il seguente grafico mostra l’andamento della funzione. Osservare il comportamento della funzione nel punto di ascissa 2.


93

-2 2 4

-10

-5

5

10

4. Data la funzione 332

32arctan)( π−

−+

=xxxf determinare il campo

di esistenza e classificare gli eventuali punti di discontinuità. Soluzione

La funzione è goniometrica fratta, il dominio è

+∞∪

∞− ,

23

23, .

Calcoliamo ora il limite destro e sinistro nel punto 23

=x .

63233232arctanlim

23

ππππ=−=

−

−+

+→ x

xx

65

3233232arctanlim

23

ππππ−=−−=

−

−+

−→ x

xx

La discontinuità è di prima specie in quanto il limite destro e sinistro esistono finiti ma diversi fra loro. Il salto si ottiene calcolando la differenza tra i due limiti, il risultato è π .


94

Il seguente grafico mostra il comportamento della funzione nell’intorno del punto

23 .

-4 -2 2 4

-2.5-2

-1.5-1

-0.5

0.5


2)(2 +−

=xx

xf determinare il campo di

esistenza e classificare gli eventuali punti di discontinuità. Soluzione La funzione è razionale fratta, il dominio si ottiene imponendo:

( ) ( ) ( )+∞∪∪∞−=⇒≠+− ,33,22, C.E. 0652 xx . Calcoliamo ora il limite destro e sinistro nei punti 2=x e 3=x .

−∞=+−+→ 65

2lim22 xxx

+∞=+−−→ 65

2lim22 xxx

+∞=+−+→ 65

2lim23 xxx

−∞=+−−→ 65

2lim23 xxx

Osservazione Spesso per calcolare il limite di funzioni fratta è conveniente scomporre in fattori il denominatore, questo permette di determinare più semplicemente il segno.


95

In entrambi i punti la discontinuità è di seconda specie in quanto il limite destro e sinistro sono infiniti. Il seguente grafico mostra l’andamento della funzione. Osservare il comportamento della funzione nel punto di ascissa 2 e nel punto di ascissa 3.

1 2 3 4 5

-60

-40

-20

20

40

60

6. Data la funzione x

xxf 1sin)( = determinare il campo di esistenza

e classificare gli eventuali punti di discontinuità. Soluzione La funzione è goniometrica fratta, il dominio è:

( ) ( )+∞∪∞−= ,00, C.E. . Calcoliamo ora il limite destro e sinistro nel punto 0=x .

01sinlim0

=+→ x

xx

01sinlim0

=−→ x

xx

Osservazione


96

Per calcolare i limiti abbiamo tenuto conto del fatto che il limite del prodotto tra una quantità infinitesima e una limitata è uguale a zero. La discontinuità è eliminabile in quanto il limite destro e sinistro esistono finiti ed uguali ma la funzione non è definita in quel punto. Il seguente grafico mostra l’andamento della funzione.

-1 -0.5 0.5 1

-0.2

0.2

0.4

0.6

0.8

Poiché la discontinuità è di 3° specie possiamo prolungare (la funzione) con continuità, ridefinendo la funzione come segue:

( )

=

≠

=0 0

0 1sin

x

xx

x

xg

E’ stato sufficiente assegnare alla funzione, nel punto di discontinuità, il valore del limite.

La funzione ottenuta prolungando x

xxf 1sin)( = nell’origine è continua infatti:

( ) ( ) ( )00limlim

00gxgxg

xx===

−→+→.


2)( −+= xxf determinare il campo di esistenza e classificare gli eventuali punti di discontinuità.


97

Soluzione La funzione è esponenziale irrazionale (con indice pari) fratta, il dominio si ottiene imponendo che:

[ ) ( )+∞∪−=⇒

≠−+

≥+,00,1C.E.

011

01

x

x.

Calcoliamo ora il limite destro e sinistro nel punto x=0.

+∞=−+

+→

111

02lim x

x 02lim 11

1

0=−+

−→

x

x

La discontinuità è di 2° specie in quanto almeno uno dei due limiti è infinito.


1sin)(−

=x


esistenza e classificare gli eventuali punti di discontinuità. Soluzione La funzione è goniometrica fratta, il dominio è:

( ) ( )+∞∪∞−= ,22, C.E. . . Calcoliamo ora il limite destro e sinistro nel punto 2=x .

esistenon 2

1sinlim2

=−+→ xx

esistenon 2

1sinlim2

=−−→ xx

La discontinuità è di seconda specie in quanto il limite destro e sinistro esistono non esistono. Il seguente grafico mostra l’andamento della funzione.


98

0.5 1 1.5 2 2.5 3

-1

-0.5

0.5

1


1cos1

1)(−−

=xx


esistenza e classificare gli eventuali punti di discontinuità. Soluzione La funzione è goniometrica fratta, il dominio è:

( ) ( )+∞∪∞−= ,11, C.E. . . Calcoliamo ora il limite destro e sinistro nel punto 1=x .

esistenon 1

1cos1

1lim1

=−−+→ xxx

esistenon 1

1cos1

1lim1

=−−−→ xxx

La discontinuità è di seconda specie in quanto il limite destro e sinistro non esistono (infatti la funzione assegnata compie oscillazioni sempre più ampie in un intorno del punto di ascissa 1). Il seguente grafico mostra l’andamento della funzione (le zone nere evidenziano le infinite oscillazioni della funzione in prossimità del punto).


99

-2 -1 1 2

-15

-10

-5

5

10

15

10. Data la funzione xxxxf 253)( +−= determinare il campo di

esistenza e classificare gli eventuali punti di discontinuità. Soluzione La funzione è razionale fratta, il dominio è ( ) ( )+∞∪∞− ,00, . Si osservi che la funzione può anche essere scritta come segue:

<−

>−=+−=

0 73

0 33253)(

xx

xx

xxxxf


( ) 333lim253lim00

−=−=

+−

+→+→x

xxx

xx

( ) 773lim253lim00

−=−=

+−

+→−→x

xxx

xx


100

La discontinuità è di prima specie in quanto il limite destro e sinistro esistono finiti ma diversi fra loro. Il salto si ottiene calcolando la differenza tra i due limiti, il risultato è 4. Il seguente grafico mostra il comportamento della funzione nell’intorno dell’origine.

-2 -1 1 2

-12.5

-10

-7.5

-5

-2.5

2.5

11. Data la funzione ( )xx

xx

xxf 3sin33cos3

)( +−−

= determinare il

campo di esistenza e classificare gli eventuali punti di discontinuità.

Soluzione La funzione è goniometrica fratta, il dominio è:

( ) ( ) ( )+∞∪∪∞−= ,33,00, C.E. . . Calcoliamo ora il limite destro e sinistro nei punti 0=x e 3=x .

( ) esistenon 3sin33cos3

lim0

=+−−+→ xx

xx

xx


101

( ) esistenon 3sin33cos3

lim0

=+−−−→ xx

xx

xx

( ) ∞+=+−−+→

3sin33cos3

lim3 xx

xx

xx

( ) ∞−=+−−−→

3sin33cos3

lim3 xx

xx

xx

Nei punti di ascissa 0=x e 3=x si ha una discontinuità è di seconda specie in quanto il limite destro e sinistro non esistono (infatti la funzione assegnata compie oscillazioni sempre più ampie in un intorno del punto di ascissa 0) oppure sono infiniti come succede per il secondo punto. Il seguente grafico mostra l’andamento della funzione (le zone nere evidenziano le infinite oscillazioni della funzione in prossimità del punto).

-4 -2 2 4

-30

-20

-10

10

20

30

12. Data la funzione ( )36131)(

24 +−+

=xxxxxf determinare il campo di

esistenza e classificare gli eventuali punti di discontinuità.

Soluzione La funzione è razionale fratta, il dominio si ottiene imponendo:


102

( ) ( )( )( )( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )+∞∪∪∪−∪−−∪−∞−=⇒

≠−+−+≠+−

,33,22,00,22,33, C.E.

02233 :ha si fattoriin oscomponend 03613 24 xxxxxxxx

Calcoliamo ora il limite destro e sinistro nei punti 3−=x , 2−=x , 0=x , 2=x e 3=x .

( ) −∞=+−

++−→ 3613

1lim243 xxx

xx

( ) +∞=+−

+−−→ 3613

1lim243 xxx

xx

In 3−=x si ha una discontinuità di 2° specie

( ) +∞=+−

++−→ 3613

1lim242 xxx

xx

( ) −∞=+−

+−−→ 3613

1lim242 xxx

xx

In 2−=x si ha una discontinuità di 2° specie,

( ) +∞=+−

++→ 3613

1lim240 xxx

xx

( ) −∞=+−

+−→ 3613

1lim240 xxx

xx

In 0=x si ha una discontinuità di 2° specie,

( ) −∞=+−

++→ 3613

1lim242 xxx

xx

( ) +∞=+−

+−→ 3613

1lim242 xxx

xx

In 2=x si ha una discontinuità di 2° specie,

( ) +∞=+−

++→ 3613

1lim243 xxx

xx

( ) −∞=+−

+−→ 3613

1lim243 xxx

xx

In 3=x si ha una discontinuità di 2° specie. In tutti i punti la discontinuità è di seconda specie in quanto il limite destro e sinistro sono infiniti. Il seguente grafico mostra l’andamento della funzione.


103

-10 -5 5 10

-0.75

-0.5

-0.25

0.25

0.5

0.75


1arctan)( π

−

−

+=

xx

xf determinare il campo

di esistenza e classificare gli eventuali punti di discontinuità. Soluzione La funzione è goniometrica fratta, il dominio è ( ) ( ) ( )+∞∪−∪−∞− ,11,11, . Calcoliamo ora il limite destro e sinistro nei punti 1±=x .

362611

arctanlim1

ππππ=−=

−

−

++→ x

xx

32

62611

arctanlim1

ππππ−=−−=

−

−

+−→ x

xx

32

62611

arctanlim1

ππππ−=−−=

−

−

++−→ x

xx


104

362611

arctanlim1

ππππ=−=

−

−

+−−→ x

xx

La discontinuità in entrambi i punti è di prima specie in quanto il limite destro e sinistro esistono finiti ma diversi fra loro. Il salto si ottiene calcolando la differenza tra i due limiti, il risultato è, in entrambi i punti π . Il grafico della funzione è il seguente:

-4 -2 2 4

-2

-1.5

-1

-0.5

0.5

1


3)( +−= xxf determinare il campo di esistenza e classificare gli eventuali punti di discontinuità.

Soluzione La funzione è esponenziale irrazionale (con indice pari) fratta, il dominio si ottiene imponendo che:

[ ) ( )+∞−∪−−=⇒

≠+−

≥+,11,2C.E.

021

02

x

x.


03lim 2121

1=+−

+−→

x

x +∞=+−

−−→

2121

13lim x

x

La discontinuità è di 2° specie in quanto uno dei due limiti è infinito.


105

15. Data la funzione

−−

=2

2

49log1)(

xx

xxf determinare il campo di

esistenza e classificare gli eventuali punti di discontinuità. Soluzione La funzione è logaritmica fratta, il dominio si ottiene imponendo:

0

3 22- 3

0

049

2

2

≠

><<−<⇒

≠

>−−

x

xxx

x

xx

da cui segue che:

( ) ( ) ( ) ( )+∞∪∪−∪−∞−= ,32,00,23, C.E. . . Calcoliamo ora il limite destro e sinistro nel punto 0=x .

∞+=

−−

+→

49log1lim

2

2

0 xx

xx ∞−=

−−

−→

49log1lim

2

2

0 xx

xx

La discontinuità è di seconda specie in quanto il limite destro e sinistro esistono infiniti. Si osservi che nel punto 3−=x è possibile calcolare solo il limite sinistro poiché la funzione non è definita a destra del punto, mentre nel punto 3=x è possibile calcolare solo un limite destro poiché la funzione non è definita a sinistra del punto. In particolare si ha:

∞+=

−−

−−→

49log1lim

2

2

3 xx

xx ∞−=

−−

+→

49log1lim

2

2

3 xx

xx

Il seguente grafico mostra l’andamento della funzione:


106

-4 -2 2 4

-6

-4

-2

2

4

6

16. Data la funzione xxxf

sin21cos1)(

−+

= determinare il campo di

esistenza e classificare gli eventuali punti di discontinuità. Soluzione La funzione è goniometrica fratta, il dominio si ottiene imponendo:

ππππ kxkxxx 26

5 e 26

21sin 0sin21 +≠+≠⇒≠⇒≠−

Calcoliamo il limite destro e sinistro in corrispondenza dei due punti:

∞−=−+

−

+→

sin21

cos1lim2

6xx

kx ππ

∞+=−+

−+

+→

sin21

cos1lim2

6xx

kx ππ

∞+=−+

−

+→

sin21

cos1lim2

65 x

xkx π

π ∞−=

−+

−

+→

sin21

cos1lim2

65 x

xkx π

π

In entrambi i punti la funzione presenta discontinuità di 2° specie. Il seguente grafico mostra il comportamento della funzione nell’intervallo [ ]ππ 2,2− :


107

-6 -4 -2 2 4 6

-7.5

-5

-2.5

2.5

5

7.5

Esercizi proposti Determinare il campo di esistenza e classificare gli eventuali punti di discontinuità delle seguenti funzioni:

1. 127

2)(2 +−

+=

xxxxf

2.

−−

−=

2

2

1625log

11)(

xx

xxf

3. 3

24343arctan)( π

+

−+

=xxxf

4. ( )xx

xx

xxf 3sin24cos4

2)( +−−

−=

5. ( )43)(

2

2

−−

=xx

xxf

6. 2

3cos1)(−

−=x

xf


108

7.

−+

−=411log)(

xxxf

8. 31

)( −−

= xexf

9.

−=

1arccos)(

xxxf

Soluzioni

1. ( ) ( ) ( ) specie 2 di itàdiscontinu di punti 4,3 ,44,33, C.E. °=+∞∪∪∞−= x

2. ( ) ( ) ( ) ( ) specie 2 di itàdiscontinu 1 ,54,11,45, C.E. °=+∞∪∪−∪−∞−= x

3. specie 1 di itàdiscontinu 34 ,

34

34, C.E. °=

+∞∪

∞−= x

4. ( ) ( ) ( ) specie 2 di itàdiscontinu 4,0 ,44,00, C.E. °=+∞∪∪∞−= x

5. ( ] [ ) ( ) specie 2 di itàdiscontinu 4 ,44,33,- C.E. °=+∞∪∪−∞= x

6. ( ) ( ) specie 2 di itàdiscontinu 2 ,22, C.E. °=+∞∪∞−= x

7. esistenza di campo nel continua è funzione la 23,-C.E.

∞=

8. ( ) ( ) specie 3 di itàdiscontinu 3 ,33, C.E. °=+∞∪∞−= x

9. dominio nel continua è funzione la 21,-C.E.

∞=

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