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La formula di Taylor

R.Argiolas

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )nnn

xxoxxnxfxxxfxxxfxfxf 00

02

00

000 !!2−+−++−

′′+−′+= K

LA FORMULA DI TAYLOR

158

In questa dispensa presentiamo il calcolo dei limiti utilizzando gli sviluppi di Taylor e Mac Laurin. Non ripercorreremo la teoria relativa all’approssimazione di una funzione in quanto questa è affrontata in maniera soddisfacente in qualsiasi testo di analisi matematica 1. Ci limitiamo solo a ricordare lo sviluppo delle principali funzioni elementari e a presentare qualche commento relativo all’esercizio stesso. E’ bene precisare fin da ora che possedere e svolgere gli esercizi di questa dispensa non è condizione né necessaria né sufficiente per il superamento dell’esame stesso. Questa dispensa non sostituisce il libro di testo adottato, ne sostituisce le esercitazioni svolte dal docente. Questa dispensa è solo di supporto a tutti coloro che vogliano approfondire la loro preparazione all’esame con ulteriori esercizi oltre quelli del libro di testo suggerito dal docente. Ringrazio anticipatamente tutti coloro che vorranno segnalarmi eventuali errori e quanti vorranno comunicarmi suggerimenti per migliorare il lavoro.

R.A.


159

LA FORMULA DI TAYLOR Richiami

Proprietà dell’ “o” piccolo

1) ( ) ( ) ( )nnn xoxoxo =+ 2) ( ) ( ) ( )nnn xoaxoxoa ==⋅

3) ( ) ( ) ( )nnn xoxoxo =−

4) ( ) ( )nmnm xoxox +=⋅

5) ( ) ( ) ( )nmnm xoxoxo +=⋅

6) ( )( ) ( )nn xoxoo =

7) ( )( ) ( )nnn xoxoxo =+

Ordini di infinito e di infinitesimo Ordine di infinitesimo Data una funzione { } ℜ→− 0: xIf con Ix ∈0 si dice che essa ha ordine di infinitesimo pari ad α , per 0xx→ (rispettivamente per ±→ 0xx ) se essa è infinitesima e se

( ) ( )+∞∈=−→

,0lim0

0l

xxxf

xx α

rispettivamente

( ) ( )+∞∈=−±→

,0lim0

0l

xxxf

xxα

Ricordiamo che f si dice infinitesima per 0xx→ , se

( ) 0lim0

=→

xfxx


160

Osserviamo che, in alcuni casi, può accadere che l’ordine di infinitesimo sia diverso calcolando il limite da destra e da sinistra, oppure che in uno o entrambi i casi non esista. Inoltre lo stesso discorso può essere fatto per una funzione

( ) ℜ→+∞,: af infinitesima per +∞→x . In tal caso si parla di ordine di

infinitesimo rispetto, non ad x, ma a x1 .

Ordine di infinito Data una funzione ( ) ℜ→+∞,: af (rispettivamente ( ) ℜ→∞− bf ,: ), si dice che f ha ordine di infinito pari ad α , per +∞→x (rispettivamente per −∞→x ) se f diverge (cioè se è infinita) e se

( ) { }0lim −ℜ∈=+∞→

lxxf

x α

rispettivamente

( ) { }0lim −ℜ∈=−∞→

lxxf

x α .

N.B. Definizioni analoghe si danno se ±→ 0xx . Ricordiamo che f si dice infinita per 0xx→ , se

( ) +∞=→

xfxx 0

lim

Relazione tra “o” piccolo ed “asintotico” Dire che

( )xf ( )xg è equivalente a dire che

( ) ( ) ( )( )xgoxgxf += .


161

Sviluppo di Mac Laurin delle principali funzioni:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( )

( )

( )

( ) ( )121253

1253

1253

432

1253

2242

132

121253

121

53arctan

403

62arccos

403

6arcsin

!!4!321

152

3tan

!21

2421cos

132

1log

!121

!56sin

++

+

+

+

+

++

++

−+++−=

−−−−−=

++++=

+++++++=

++++=

+−+−+−=

+−+−+−=+

++

−+−+−=

nn

n

n

n

nn

x

n

nn

n

nn

n

nn

n

xonxxxxx

xoxxxx

xoxxxx

xonxxxxxe

xoxxxx

xonxxxx

xonxxxxx

xonxxxxx

K

K

K

K

K

K

K

K

π

Osservazione La difficoltà maggiore che si riscontra nella risoluzione di un limite utilizzando gli sviluppi di Taylor è stabilire l’ordine di arresto dello sviluppo. Non vi è una regola generale per stabilire quando bloccare lo sviluppo, ma come nel caso del calcolo dei limiti utilizzando gli sviluppi asintotici (vedi dispensa “successioni”), non si posso sostituire sviluppi di Taylor in una somma in cui le parti principali si elidono!


162

Esempio 1 Calcolare il seguente limite:

20

1limx

xexx

−−→

svolgimento Sviluppiamo, utilizzando gli sviluppi di Mac Laurin, la funzione esponenziale interrompendo lo sviluppo al primo ordine. Si ha:

( )xoxe x ++= 1 Quindi:

( ) ( ) 0limlim2020==

−+→→ x

xox

xxoxxx

Il risultato trovato non è corretto perché utilizzando gli sviluppi di Taylor (o di Mac Laurin) dobbiamo evitare che in una somma resti “zero”, e questo si può evitare aumentando di un termine lo sviluppo della funzione. Nel nostro caso conviene sviluppare la funzione esponenziale fino all’ordine due (questo è anche suggerito dal fatto che a denominatore abbiamo 2x ). Quindi:

( )22

21 xoxxe x +++=

Si ha:

( ) ( )212lim

12

1lim1lim

2

22

02

22

020=

+=

−−+++=

−−→→→ x

xox

x

xxoxx

xxe

xx

x

x

Esempio 2 Calcolare il seguente limite:


163

15

393

0

sin61

limx

xxxx

−−

→

svolgimento Sviluppiamo, utilizzando gli sviluppi di Mac Laurin, la funzione esponenziale interrompendo lo sviluppo al primo ordine. Si ha:

( )33

6sin xoxxx +−=

Quindi, sostituendo 3x al posto di x, si ottiene

( )99

33

6sin xoxxx +−=

Sostituendo, nel limite assegnato, si trova:

( )15

99393

015

393

0

61

61

limsin

61

limx

xoxxxx

x

xxxxx

+−−−

=−−

→→

Il risultato trovato non è corretto perché utilizzando gli sviluppi di Taylor (e di Mac Laurin) dobbiamo evitare che in una somma resti “zero”, e questo si può evitare aumentando di un termine lo sviluppo della funzione. Nel nostro caso conviene sviluppare la funzione seno fino all’ordine tre. Quindi:

( )15159

33

!56sin xoxxxx ++−=

Da cui segue che:

( )

!51!56

161

limsin

61

lim15

1515

9393

015

393

0−=

++−−−

=−−

→→ x

xoxxxxx

x

xxxxx

.


164

ESERCIZI

1. Calcolare 3

sin

0lim

xee xx

x

−→

Svolgimento

Il limite si presenta nella forma indeterminata

00 .

Il grado del polinomio a denominatore suggerisce uno sviluppo fino al quarto ordine. Utilizzando la formula di Mac Laurin si ha:

( )4432

24621 xoxxxxe x +++++=

Sostituendo sinx al posto di x, si trova:

( )xoxxxxe x 4432

sin sin24

sin6

sin2

sinsin1 +++++=

Sviluppando ora la funzione seno, si ottiene

( )33

6sin xoxxx +−=

Sostituendo lo sviluppo del senx nell’esponenziale si ottiene:

( ) ( ) ( ) ( )

( )442

4

333

332

33

33

sin

821

6241

661

621

61

xoxxx

xoxxxoxxxoxxxoxxe x

+−++=

=

+−+

+−+

+−+

+−+=

Perciò

( ) ( )

616

1

lim821

24621

limlim3

3

03

442

4432

03

sin

0==

+−++−+++++

=−

→→→ x

x

x

xoxxxxoxxxx

xee

xx

xx

x


165

2. Calcolare 30

2sin2limx

xxx

−→

Svolgimento


00 .

Il polinomio a denominatore suggerisce uno sviluppo fino al terzo ordine. Utilizzando la formula di Mac Laurin si ha:

( )33

6sin xoxxx +−=

quindi:

( )33

3422sin xoxxx +−=

si ha:

( )

343

4

lim3422

lim2sin2lim3

3

03

33

030==

+−−

=−

→→→ x

x

x

xoxxx

xxx

xxx

Osservazione Lo stesso esercizio poteva essere svolto utilizzando il teorema di De L’Hospital. In tal caso si ottiene:

34

62cos8lim

62sin4lim

00

62sin4lim

32cos22lim

00

32cos22lim2sin2lim

00

020

2030

==

==

−

=

−=

−

→→

→→

→→

xxx

xx

xx

xx

xxx

x

H

x

x

H

x

x

H

x

Per l’enunciato del teorema di De L’Hospital rimandiamo il lettore a un qualsiasi testo di analisi matematica 1.


166

Calcolare ( )

xx

xxx sin

21coslog

lim2

2

0

+

→

Svolgimento


00 .

Utilizzando la formula di Mac Laurin si ha:

( )33

6sin xoxxx +−=

( )442

!421cos xoxxx ++−=

( ) ( )332

!321log xoxxxx ++−=+

quindi:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )4422

22

22

22

82221

221logcoslog xoxxxoxxoxxoxx +−−=

+−−+−=

+−=

Si ha che:

( ) ( )( ) 02

181

21

limsin

21coslog

lim43

2442

02

2

0=

+

++−−=

+

→→ xox

xxoxx

xx

xxxx

3. Calcolare 22

22

0 arctanarcsinlim

xxxx

x −−

→

Svolgimento


00 .



167

( )33

6arcsin xoxxx ++=

( )6

622

6arcsin xoxxx ++=

( )3

3

3arctan xoxxx +−=

( )6

622

3arctan xoxxx +−=

Si ha che:

( )

( ) 21

3

6limarctan

arcsinlim6

622

266

2

022

22

0=

+−−

−++=

−−

→→

xoxxx

xxoxx

xxxx

xx

4. Calcolare ( )

+−−−

−−→

21log1

tancos12lim0 xxe

xxx

x

Svolgimento


00 .


( )442

!421cos xoxxx ++−=

( )33

3tan xoxxx ++=

( )4432

24621 xoxxxxe x +++++=


168

( ) ( )332

!321log xoxxxx ++−=+

nel nostro caso si ha:

( ) ( ) ( ) ( )2

24

42

!421

!421cos xoxxxoxxx ++−=++−=

( ) ( ) ( ) ( ) ( )33

332

621

621 xoxxxxoxxxe x ++++=++++=

( )22

8221log xoxxx

+−=

+

Da cui segue che:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

( ) ( )0

6

12lim

8262

3!422

lim

21log1

tancos12lim

33

22

0

22

33

33

22

00

=

+

+

=

+−−−

+++

++−

+−

=

++−−

−−

→

→→

xox

xox

xoxxxxoxxx

xoxxxoxx

xxe

xx

x

xx

x

5. Calcolare ( )

20 3arcsin3cos133sin1loglimxxxx

x −−−+

+→

Svolgimento


00 .

Ricordiamo i seguenti sviluppi:


169

( )

( ) ( )

( )

( )33

442

332

33

6arcsin

2421cos

321log

6sin

xoxxx

xoxxx

xoxxxx

xoxxx

++=

++−=

++−=+

+−=

si ha:

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )46

22

44

2

2

33

33

33

33

22733arcsin

827

2913cos

293

21

293

2931log3sin1log

2933sin

xoxxx

xoxxx

xoxxxoxxxoxxx

xoxxx

++=

++−=

+−−+−=

+−+=+

+−=

Quindi:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

3

2329

lim

2273

827

2911

32

9321

293

lim3arcsin3cos133sin1loglim

2

2

0

46

244

2

2

33

33

020

−=−

=

=

++−

++−−

−

+−−+−

=−−

−+

+→

+→+→

x

x

xoxxxoxx

xxoxxxoxx

xxxx

x

xx


170

7. Calcolare ( ) xxxx

x 221log3arctan3sinlim

22

0 −+−

+→

Svolgimento


00 .


( )

( ) ( )

( )33

332

33

3arctan

321log

6sin

xoxxx

xoxxxx

xoxxx

+−=

++−=+

+−=

Si ha:

Quindi:

( )( )

( )

( )( ) 0

229

lim

222

93293

lim221log3arctan3sinlim

66

0

62662

0

22

0

=+−

+=

=−+−

+−+−=

−+−

+→

+→+→

xox

xox

xxoxx

xxxoxx

xxxx

x

xx

8. Calcolare ( ) xxxx

x 33tan1log8arcsin4cos1lim

42

0 −+−−

+→

( )

( ) ( )

( )6622

66

22

933arctan

2221log

2933sin

xoxxx

xoxxx

xoxxx

+−=

+−=+

+−=


171

Svolgimento


00 .


( )

( ) ( )

( )

( )33

442

332

33

6arcsin

2421cos

321log

3tan

xoxxx

xoxxx

xoxxxx

xoxxx

++=

++−=

++−=+

++=

si ha:

( )

( ) ( )( )( )

( )( ) ( )( )( )

( )

( )1212

44

88

42

23333

33

33

325688arcsin

332814cos

932193

931log3tan1log

933tan

xoxxx

xoxxx

xoxxxoxx

xoxxx

xoxxx

++=

++−=

++−++=

=+++=+

++=

Quindi:


172

( )

( )

( )

027

64lim

29

332

lim

3293

32568

332811

lim33tan1log8arcsin4cos1lim

6

02

8

0

32

12488

4

0

42

0

==−

−=

=−+−

−−

++−−

=−+

−−

+→+→

+→+→

x

x

x

xxoxx

xxxoxx

xxxx

xx

xx

9. Calcolare ( )

20 2arcsin2cos122sin1loglimxxxx

x −−−+

+→

Svolgimento


00 .


( )

( ) ( )

( )

( )33

442

332

33

6arcsin

2421cos

321log

6sin

xoxxx

xoxxx

xoxxxx

xoxxx

++=

++−=

++−=+

+−=

si ha:


173

( )

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )46

22

44

2

2

33

33

33

33

3422arcsin

32212cos

342

21

342

3421log2sin1log

3422sin

xoxxx

xoxxx

xoxxxoxxxoxxx

xoxxx

++=

++−=

+−−+−=

+−+=+

+−=

Quindi:

( ) ( ) ( )

( ) ( )

+∞==−

−=

=

++−

++−−

−

+−−+−

=−−

−+

+→+→

+→+→

204

2

0

46

244

2

2

33

33

020

3lim

322lim

342

32211

23

4221

342

lim2arcsin2cos122sin1loglim

xxx

xoxxxoxx

xxoxxxoxx

xxxx

xx

xx

10. Calcolare ( )

40 312sinlim

xxxxex

x

+−→

Svolgimento


00 .


( )4432

24621 xoxxxxe x +++++=


174

( )33

3422sin xoxxx +−=

Perciò

( ) ( ) ( ) ( )

−∞=−

=+−

+−

+++

=+−

→

→→

4

3

0

4

33

32

040

33lim

3

123

422

1lim

3122sinlim

x

x

x

xxxoxxxoxx

xxxxe

x

x

x

x

Osservazione Lo stesso limite poteva essere calcolato utilizzando il teorema di De L’Hospital. Si ricava:

( ) ( )

−∞=−−+

=+−+

=+−

→

→→

20

3040

3642cos42cos62sinlim

122122cos22sinlim

3122sinlim

xxexexe

xxxexe

xxxxe

xxx

x

Hxx

x

Hx

x

11. Calcolare ( ) ( )

30 3sin231log6lim

xxxx

x

−−++→

Svolgimento


00 .


( )

( ) ( )332

33

321log

6sin

xoxxxx

xoxxx

++−=+

+−=

si ha:


175

( )333 33sin xoxx +=

Quindi:

( ) ( ) ( ) ( )

( )

( )( ) 3

232lim

3

2332

6lim

3sin231log6lim

33

33

0

33

332

030

=++

=

=+

−−

++−

=−−+

+→

+→+→

xoxxox

xox

xxxoxxx

xxxx

x

xx

Osservazione Anche questo limite può essere calcolato utilizzando il teorema di De L’Hospital. Infatti:

( ) ( ) ( )

( )32

3cos7293sin1623sin1623cos181

12

lim

3sin813cos18

61

6

lim3cos9

661

6

lim3sin

231log6lim

32333

3

0

323

"

032030

=−−−

+=

−

++−

=+−

+=−−+

+→

+→+→+→

xxxxxxxx

xxxxx

xx

xx

xxxx

x

H

x

H

x

H

x

12. Calcolare ( )

( ) 44

23

0 11log33limxexxx

xx −−++−

+→

Svolgimento


00 .


( )4432

24621 xoxxxxe x +++++=

( ) ( )332

321log xoxxxx ++−=+


176

Si ha:

( )88

44

21 xoxxe x +++=

( ) ( )44

22

21log xoxxx +−=+

quindi:

( )( )

( )

( )−∞=

−=

−++

+−+−

=−−

++−+→+→+→

2

23

lim

2

233

lim1

1log33lim 8

5

048

84

44

23

044

23

0 x

x

xxoxx

xoxxxx

xexxx

xxxx

13. Risolvere l’esercizio precedente utilizzando il teorema di De

L’Hospital.

14. Calcolare ( ) 22

333

0 2tan21log31lim

xxxe x

x −+−−

+→

Svolgimento


00 .


( ) ( )332


( )4432

24621 xoxxxxe x +++++=

( )33

3tan xoxxx ++=

Si ha:

( )66

333

2931 xoxxe x +++=


177

( ) ( )66

422


( )66

22

3822tan xoxxx ++=

quindi:

( )( )

( ) ( )

( )( ) 0

22

9

lim

382

3822

32

931lim

2tan21log31lim

64

66

0

66

266

42

366

3

022

333

0

=+−

+

=

++−++−

−+++=

−+−−

+→

+→+→

xox

xox

xoxxxoxxx

xxoxx

xxxe

x

x

x

x

15. Risolvere l’esercizio precedente utilizzando il teorema di De L’Hospital.

16. Calcolare ( )

( )xexx

xx +−−−+

+→ 1log13sin31loglim

2

0

Svolgimento


00 .


( ) ( )332


( )4432

24621 xoxxxxe x +++++=

( )33

6sin xoxxx +−=

Si ha:


178

( ) ( )22

29331log xoxxx +−=+

( )66

22

2933sin xoxxx +−=

quindi:

( )( )

( ) ( )

( ) ( )

( )( ) +∞=

++

=

++−−+++

+−−+−

=+−−

−+

+→

+→+→

320

332

332

66

222

0

2

0

3lim

3262

293

293

lim1log1

3sin31loglim

xoxxox

xoxxxxoxxx

xoxxxoxx

xexx

x

xxx


L’Hospital.

18. Calcolare ( )

22

2

0 21sin41loglimxe

xxxx −−

−++→

Svolgimento


00 .


( ) ( )332


( )4432

24621 xoxxxxe x +++++=

( )33

6sin xoxxx +−=

Si ha:

( ) ( )33

2

3648441log xoxxxx ++−=+


179

( )222 221 xoxxe x +++=

( ) ( )664

2

2

43

2

3636sin xoxxxxoxxx ++−=

+−=

quindi:

( ) ( ) ( )

( )

( )( ) 2

24lim

2223633

6484lim

21sin41loglim

20

222

664

233

2

022

2

0

=++

=−++

++−−++−

=−−−+

+→

+→+→

xoxxox

xxoxx

xoxxxxoxxx

xexx

x

xxx


L’Hospital.


xxxx

x log1sin2lim

3

4

1

−−+→

Svolgimento


00 .

Procedendo come negli esercizi precedenti e utilizzando gli sviluppi di Taylor si ha:

( ) ( ) ( )( )43 116111sin −+−−−=− xoxxx

Si osservi inoltre che

( ) ( )( )22 11211log −+−−−= xoxxx

Attenzione!!! L’ultima affermazione dipende dal fatto che nel limite che stiamo calcolando la x tende a 1!!! Infatti operando la sostituzione


180

yx =−1

si trova:

( ) ( ) ( ) ( )( )2222 11211

211loglog −+−−−=+−=+= xoxxyoyyyx .

Questo procedimento non sarebbe stato lecito se la x avesse teso a zero!!! Quindi

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( )( ) ( ) 1

]1[]1[2lim

]11211[

]11611[2

limlog

1sin2lim3

4

1223

434

13

4

1=

−−−

=−+−−−

−+−−−−=

−−+→+→+→ xx

xx

xoxxx

xoxxx

xxxx

xxx


( ) ( )( )3cos114log3sinlim

23 +−+++

+−→ xxxx

x

Svolgimento


00 .

Procedendo come negli esercizi precedenti e utilizzando gli sviluppi di Taylor si ha:

( ) ( ) ( )( )43 336133sin +++−+=+ xoxxx

( ) ( ) ( )( )32 332113cos +++−=+ xoxx

Si osservi inoltre che, operando la sostituzione

yx =+ 3 si trova:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )2222 33213

211log4log +++−+=+−=+=+ xoxxyoyyyx


181

Quindi

( ) ( )( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( ) ( )( )

( )[ ] ( )[ ]( ) ( ) 5

1

3211

33lim

33211

3321333

613

lim

3cos114log3sinlim

223

322

2243

3

23

=

++

++=

=

++++

+++−+

+++−+

=

=+−+++

+−→

+−→

+−→

xx

xx

xoxx

xoxxxoxx

xxxx

x

x

x

22. Calcolare ( )

( ) ( ) ( )53log32log13log1lim

22 −+−−−+

→ xxxxx

x

Svolgimento


00 .

A differenza di quanto fatto nei due esempi precedenti possiamo fin dall’inizio operare la sostituzione. Posto 2−= xy , si ottiene:

( ) ( )( ) ( )yyx −=+−=− 1log23log3log

( ) ( )( ) ( )yyx 21log322log32log +=−+=−

( ) ( )( ) ( )yyx 31log523log53log +=−+=− . Quindi

( )( ) ( ) ( )

( )( )( ) ( ) ( )yyy

yyxxx

xxyx 31log21log12

1log3lim

53log32log13log1lim 2022 +++−+

−+=

−+−−−+

→→

utilizzando gli sviluppi di MacLaurin Si trova:


182

( )( )( ) ( ) ( ) ( )( ) 9

33122

3lim

31log21log121log3

lim 2020−=

+−++−

=+++−+

−+→→ yyy

yyyyy

yyyy

.

23. Determinare l’ordine di infinitesimo, rispetto ad x, per +→ 0x

della seguente funzione:

( ) ( )1sin −= xexxf

Svolgimento Dobbiamo determinare quel valore di ( )+∞∈ ,0α per cui il limite

( )αxxf

x 0lim

→

esiste finito diverso da zero. Osserviamo che f è infinitesima nel punto iniziale assegnato. Nel nostro caso si ha:

( )αxex x

x

1sinlim0

−+→

Utilizzando gli sviluppi di Mac Laurin si ha:

( ) ( )( ) ( )( )

>∞+

=

<

==++

=−

+→+→+→

23231

230

limlim1sinlim23

000

α

α

α

ααα xx

xxoxxox

xex

xx

x

x

L’ordine di infinitesimo è quindi 23

=α .

24. Determinare l’ordine di infinitesimo, rispetto ad x1

, per

+∞→x , della seguente funzione:


183

( )9

1arctan3x

xxf = .

Svolgimento Si verifica facilmente che f(x) è infinitesima, infatti può essere scritta come

( )

+==

899

1131arctan3x

ox

xx

xxf

da cui segue:

( )

>∞+

<

=

==

+

=

=

−

+∞→+∞→+∞→+∞→

2172

170

2173

lim31

113lim

1

1arctan3lim

1lim 2

17899

α

α

α

α

ααα x

x

xo

xx

x

xx

x

xfxxxx

L’ordine di infinitesimo è quindi 2

17=α .

21. Determinare l’ordine di infinitesimo, rispetto ad x, per +→ 0x della funzione

( ) xexf1

−

= Svolgimento Si verifica facilmente che f(x) è infinitesima, inoltre

( )ℜ∈∀==

−

→→ααα 0limlim

1

00 xe

xxf x

xx

quindi f non ha ordine di infinitesimo.


184

22. Determinare l’ordine di infinitesimo, rispetto ad 1/x, per +∞→x della funzione

( ) ( ) 11loglog ++−= xxxxxf

svolgimento verifichiamo se f è infinitesima

( ) ( )( ) [ ]

0log11

11limlog11

limlog1

1loglim11

1loglim1

1loglim

11logloglimlim

111

=+=

+−+=

++=

=

++=

+

+=

+

+

=∞−∞=++−=

−

++

+∞→+∞→

+∞→+∞→+∞→

+∞→+∞→

exx

x

xx

xx

xxx

xxxxxf

xx

x

x

x

x

x

x

x

xx

xx

Calcoliamo ora l’ordine di infinitesimo.

( ) ( )( )

>∞+<=

=

+=

+

+−=

+

+−=

+

+

=++−

=

+∞→

+∞→+∞→+∞→

+∞→+∞→

11011

1lim

11

lim11

11loglim11

loglim

111logloglim

1lim

ααα

α

ααα

αα

xx

xxxx

xxx

xxx

x

xxxx

x

xf

x

xxx

xx

L’ordine di infinitesimo è quindi 1. Si poteva giungere allo stesso risultato utilizzando il teorema di de L’Hospital. Si ha:


185

( ) ( )( ) ( )

( )( ) ( ) ( )

>∞+<

=

=++

=++

=−

++

+

−

+−+−+

=++−

=

+

+∞→−−+∞→−−+∞→

−−+∞→−+∞→+∞→

110

121

1lim

11

11

1

lim11

1log

lim

11log1log

lim11logloglim1

lim

2

1

2

2

1

1

αα

α

ααααα

α

α

αα

αα

α

xx

xxx

xxx

x

xxxxx

xxxxx

x

xf

xx

H

x

x

H

xx

L’ordine di infinitesimo è 1.

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