Capitolo I : Propriet a elementari delle funzioni...

Liceo Lugano 1, 2011-2012 4B (Luca Rovelli)

Capitolo I : Proprieta elementaridelle funzioni reali

Nell’ambito delle cosiddette discipline quantitative (econometria, fisica, chimica, infor-matica teorica, ...) ci si trova spesso confrontati con leggi che associano quantita ad altrequantita note (si pensi al valore assunto da un’azione o allo spazio percorso da un oggettoin un determinato lasso di tempo). Tali situazioni vengono comunemente descritte permezzo del concetto di funzione reale.

Il programma di Quarta prevede uno studio approfondito di tale concetto, gia introdottonei primi anni del Liceo, con particolare attenzione al calcolo infinitesimale, cioe ai metodiintrodotti da Isaac Newton e Gottfried Wilhelm Leibnitz alla fine del XVII secolo.

In questo primo capitolo reintrodurremo le idee principali sulle funzioni reali, ripassandoalcune convenzioni e alcune tecniche che, in linea di principio, dovrebbero essere gia note.

1. Alcune definizioni

Siano A e B due insiemi qualsiasi. Una funzione (o applicazione) da A verso B e unalegge che associa in modo univoco un elemento di B ad ogni1 elemento di A. L’insiemeA e detto insieme di definizione (o dominio) della funzione.

Esempio: sia A l’insieme degli abitanti della terra; allora la legge che associa ad ognunodi essi l’eta in anni rappresenta una funzione da A verso l’insieme dei numeri interi positivi(possiamo quindi porre B = Z o, anche, B = N ∪ {0}).

Di seguito non ci occuperemo di funzioni in senso generale, ma concentreremo la nostraattenzione sulle cosiddette funzioni reali, per le quali A e B sono sottoinsiemi di R.Indicheremo con Df l’insieme di definizione di una funzione f , e per indicare che essa facorrispondere ad ogni numero reale x ∈ Df il numero y = f(x) utilizzeremo la scrittura

f : Df −→ R (”f e una funzione da Df verso R ...

x 7−→ y = f(x) ... che a x ∈ Df fa corrispondere y = f(x)”).

La variabile x e detta indipendente, mentre y e la variabile dipendente. f(x) esolitamente un’espressione algebrica2 che permette di calcolare in modo univoco il valoredi y a partire dal valore di x. Nota che la definizione stessa di funzione implica che f(x)dovra avere senso per ogni x ∈ Df .

1per evitare inutili confusioni, non utilizzeremo la definizione per la quale f deve far corrispondereal massimo un elemento di B ad ogni elemento di A; in particolare, quindi, non opereremo l’inutiledistinzione tra i concetti di funzione e applicazione

2o, piu in generale, un algoritmo (una ”ricetta”)

Proprieta elementari, corso normale (V1.0) 1 LiLu1, 4B (Luca Rovelli)

Se a ∈ Df e f fa corrispondere ad a il numero reale b scriveremo b = f(a) e diremo cheb e l’immagine di a e che a e un argomento (o una controimmagine) di b. L’insiemedelle immagini (o codominio) di f , indicato con Imf , e l’insieme di tutti i numeri y ∈ Rper i quali esiste x ∈ R tale che y = f(x).

Nota che la definizione implica che ogni argomento possiede esattamente un’immagine,ma essa non vieta che ad una stessa immagine possano corrispondere argomenti diversi.

Esempi:

1) Sia f : R→ R, x 7→ y = 3x− 1. Allora vale ad esempio f(5) = 3 · 5− 1 = 14 : 14 eimmagine di 5, e 5 e argomento di 14. Non e difficile verificare che vale Imf = R, eche ad ogni argomento corrisponde esattamente un’immagine.

2) Sia g : R → R, x 7→ y = 2x2 − 3. Allora vale ad esempio g(5) = g(−5) = 47, e piuin generale g(−x) = g(x) per ogni x ∈ R. Quindi, in questo caso, ogni immaginepossiede due argomenti. E inoltre abbastanza chiaro che g(x) non potra assumerevalori inferiori a −3 (dal momento che x2 e sempre positivo), e che quindi valeImg = [−3,+∞[.

3) Considera ora la funzione h : R+ → R, x 7→ y = 2x2−3, cioe la restrizione della fun-zione f dell’esempio precedente all’insieme R+ = [0,+∞[ dei numeri positivi. Valenuovamente Imh = [−3,+∞[, ma ora ad ogni immagine corrisponde esattamenteun argomento.

Osservazione: se la funzione f e definita da un’equazione y = f(x), vale quanto segue:

• per determinare l’immagine di a ∈ Df si sostituisce x = a nell’espressione algebrica;

• per determinare l’argomento di b ∈ R si risolve l’equazione f(x) = b.

Esempio: sia f : R→ R, x 7→ y = x2 + x+ 4. Determina gli argomenti di 16 e di 1.

• Per y = 16 risolviamo l’equazione f(x) = 16:

x2 + x+ 4 = 16 ⇐⇒ x2 + x− 12 = 0 ⇐⇒ (x+ 4)(x− 3) = 0

⇐⇒ x = −4 oppure x = 3 .

• Per y = 1 risolviamo l’equazione f(x) = 1:

x2 + x+ 4 = 1 ⇐⇒ x2 + x+ 3 = 0 ;

il discriminante dell’equazione quadratica vale ∆ = 12−4·1·3 = −11 < 0; l’equazionenon ha soluzioni, e pertanto y = 1 non ha argomenti. In effetti, studiando laposizione del vertice della parabola di equazione y = x2 + x + 4 e facile risalire aImf =

[154,+∞

[.


Spesso l’insieme di definizione di una funzione f non viene indicato esplicitamente; in talcaso, e sottinteso che esso sia pari al piu ampio sottoinsieme di R sul quale f puo esseredefinita. Se la funzione e descritta per mezzo di un’equazione y = f(x), si tratta di tuttii valori di x ∈ R per cui f(x) ha senso.

Esempi: determina l’insieme di definizione della funzione y = f(x).

1) f(x) =x+ 2

2x− 3;

dal momento che il denominatore non puo essere pari a zero, deve valere

2x− 3 6= 0 ⇐⇒ x 6= 3

2.

Quindi, Df = R \{

32

}.

2) f(x) =x2

x2 + 1;

il denominatore e diverso da zero per ogni valore di x. Quindi, Df = R.

3) f(x) = ln(4− x2) ;

l’argomento del logaritmo dev’essere strettamente positivo:

4− x2 > 0 ⇐⇒ x2 < 4 ⇐⇒ x > −2 e x < 2 .

Quindi, Df =]− 2, 2[.

4) f(x) =

√x+ 2

log(1− x);

deve valere x+ 2 ≥ 0 (l’argomento della radice non puo essere negativo), 1− x > 0(v. sopra) e inoltre 1− x 6= 1 (dal momento che log(1) = 0), cioe

x ≥ −2 , x < 1 e x 6= 0 .

Quindi, Df = [−2, 0[∪ ]0, 1[.

2. La composizione di funzioni

Siano f : Df → R e g : Dg → R due funzioni reali con Img ⊆ Df (cioe tali che f(y)abbia senso per ogni y = g(x)). Allora l’applicazione successiva di f e g definisce unanuova funzione reale indicata con f ◦ g (leggi ”f composto g”), la funzione composta(o composizione) di f e g:

f ◦ g : Df −→ Rx 7−→ y = f ◦ g(x) = f(g(x)) .


Schematicamente: x g(x) f(g(x))

g f

f ◦ g

Esempio: siano f(x) = 2x+ 1 e g(x) = 1x; allora vale

g(3) =1

3e f ◦ g(3) = f(g(3)) = f

(1

3

)= 2 · 1

3+ 1 =

5

3.

Se le funzioni f risp. g sono definite per mezzo di equazioni y = f(x) risp. y = g(x),l’equazione della funzione f ◦ g viene ottenuta sostituendo x con g(x) nell’equazione di f .

Esempi: sono date le funzioni

f(x) = x2 , g(x) = 3x− 1 , h(x) =1

x+ 1.

Scrivi le equazioni delle funzioni f ◦ g, f ◦ h, g ◦ h e h ◦ g.

• Iniziamo con f ◦ g:

f ◦ g(x) = f(g(x)) = g(x)2 = (3x− 1)2 = 9x2 − 6x+ 1 .

Quindi, f ◦ g : x 7→ y = 9x2 − 6x+ 1.

• Proseguiamo con f ◦ h:

f ◦ h(x) = f(h(x)) = h(x)2 =

(1

x+ 1

)2

=1

x2 + 2x+ 1.

Quindi, f ◦ h : x 7→ y = 1x2+2x+1

.

• Per quanto riguarda, invece, g ◦ h:

g ◦ h(x) = g(h(x)) = 3h(x)− 1 =3

x+ 1− 1 =

−x+ 2

x+ 1.

Quindi, g ◦ h : x 7→ y = −x+2x+1

.

• Terminiamo con h ◦ g:

h ◦ g(x) = h(g(x)) =1

g(x) + 1=

1

(3x− 1) + 1=

1

3x.

Quindi, h ◦ g : x 7→ y = 13x

.


Osservazioni:

a) Come mostra l’ultimo esempio, la composizione di funzioni non e un’operazionecommutativa: in generale, per due funzioni qualsiasi vale

f ◦ g 6= g ◦ f .

b) La composizione gode, per contro, della proprieta associativa: per tre funzioni valesempre (

f ◦ g)◦ h = f ◦

(g ◦ h

).

Ad esempio, per le funzioni del precedente esempio vale

(f ◦g

)◦h(x) = (f ◦g)(h(x)) = 9h(x)2−6h(x)+1 =

9

(x + 1)2− 6

x + 1+1 = . . . =

(x− 2

x + 1

)2

e

f ◦(g ◦ h

)(x) = f(g ◦ h(x)) = (g ◦ h(x))2 =

(−x+ 2

x+ 1

)2

=

(x− 2

x+ 1

)2

.

Grazie a tale proprieta, la composizione di tre o piu funzioni puo essere scrittasemplicemente nella forma f ◦ g ◦ h ◦ . . ., omettendo le parentesi3.

c) Per le applicazioni future4 sara importante saper riconoscere una composizione difunzioni.

3. La funzione inversa

Come abbiamo gia notato, spesso per una funzione f : Df → R esistono valori della varia-bile dipendente y che corrispondono a piu valori della variabile x, esistono cioe immaginicon piu di un argomento. Se cio si verifica, risulta impossibile compiere il percorso inversoassociando ad un’immagine un unico argomento.

Esempio: e facile mostrare che per la funzione f : x 7→ y = x4 − 6x3 + 11x2 − 6x + 10vale

f(0) = f(1) = f(2) = f(3) = 10 .

Se, per contro, ad ogni y ∈ Imf corrisponde un solo argomento, risulta possibile invertirela funzione f , associando ad ogni y ∈ Imf un valore univoco per x ∈ Df . Una funzioneche soddisfa tale proprieta, per cui vale cioe

x1 6= x2 =⇒ f(x1) 6= f(x2) ∀x1, x2 ∈ Df

e detta iniettiva.

3analogamente alla somma e al prodotto numerici, che godono anch’esse della proprieta associativa4in particolare per utilizzare correttamente la cosiddetta Kettenregel


Osservazione: per la verifica algebrica dell’iniettivita di una funzione viene in genereutilizzata la seguente definizione alternativa:

f(x1) = f(x2) ⇒ x1 = x2

(”se due argomenti hanno la stessa immagine, allora coincidono”), ottenuta dalla prece-dente in virtu del cosiddetto principio di contrapposizione5.

Esempi: stabilisci se la funzione y = f(x) e iniettiva.

1) f(x) = 7x− 4 ;

supponiamo che valga f(x1) = f(x2); allora

7x1 − 4 = 7x2 − 4 ⇒ 7x1 = 7x2 ⇒ x1 = x2 .

Da f(x1) = f(x2) segue che x1 e x2 sono uguali. f e quindi iniettiva (cio vale perqualsiasi funzione affine).

2) f(x) = 3x2 + 1 ;

f(x1) = f(x2) ⇐⇒ 3x21 + 1 = 3x22 + 1 ⇒ x21 = x22 ⇒ x1 = ±x2 .

Da f(x1) = f(x2) segue che x1 e x2 sono uguali oppure opposti. In particolare nonsegue unicamente x1 = x2. La funzione non e quindi iniettiva.

Osservazione: se una funzione non e iniettiva, e sempre possibile restringerne il dominioin modo da renderla tale. Ad esempio, la funzione h : R+ → R, x 7→ y = 3x2 + 1ottenuta restringendo a R+ la funzione f dell’es. 2) e iniettiva.

Sia ora f : Df → R una funzione iniettiva. La sua funzione inversa

f−1 : Imf −→ Rx 7−→ y = f−1(x)

e definita dalla relazione

f−1(x) = y ⇐⇒ f(y) = x ,

o, in maniera piu elegante, da

f−1 ◦ f(x) = x ∀x ∈ Df .

Nota che vale automaticamente Df−1 = Imf (le immagini di f corrispondono agli argo-menti della sua inversa).

5l’enunciato ”dall’affermazione A segue l’affermazione B” equivale all’enunciato ”dalla negazione di Bsegue la negazione di A”


Esempi:

1) Per f(x) = 13x vale f−1(x) = 3x, dal momento che 3 ·

(13x)

= x.

2) Per f(x) = x3 vale f−1(x) = 3√x, dal momento che

3√x3 = x.

3) La funzione y = x2 non e iniettiva in R, ma la sua restrizione f : R+ → R,x 7→ y = x2 lo e, con inversa f−1 : R+ → R, x 7→ y =

√x.

4) L’inversa della funzione esponenziale y = expa(x) = ax (a > 0) e la funzione loga-ritmica loga : R∗+ → R, x 7→ y = loga(x). Nota che vale Imloga = Dexpa = R.

5) La funzione seno y = sin(x) e periodica, e quindi non iniettiva. Lo e pero nell’intervallo[−π

2, π2], dove si definisce l’inversa arcsin : [−1, 1] → R, x 7→ y = arcsin(x). Nota

che Imarcsin = [−π2, π2].

Osservazione: se la funzione f e definita nella forma y = f(x), ricaviamo y = f−1(x)risolvendo rispetto a y l’equazione x = f(y).

Esempi:

1) f(x) = 7x− 4 ;

x = f(y) ⇐⇒ x = 7y − 4 ⇐⇒ 7y = x+ 4 ⇐⇒ y =1

7x+

4

7.

Quindi, f−1(x) = 17x+ 4

7.

2) La funzione f(x) = 3x2 + 1 non e iniettiva. Lo e pero la sua restrizione a R+. Perx ≥ 0 vale quindi

x = f(y) ⇐⇒ x = 3y2 + 1 ⇐⇒ 3y2 = x− 1 ⇐⇒ y =

√1

3x− 1

3.

Dal momento che dovra valere Df−1 = Imf = [1,+∞[, avremo

f−1 : [1,+∞[ 7−→ R , x 7−→ y =

√1

3x− 1

3.

3) Per f : R \ {3} → R, x 7→ y = x+9x−3 vale

x = f(y) ⇐⇒ x =y + 9

y − 3⇐⇒ xy − 3x = y + 9

⇐⇒ y(x− 1) = 3x+ 9 ⇐⇒ y =3x+ 9

x− 1.

Quindi, f−1 : R \ {1} → R, x 7→ y = 3x+9x−1 .


4. Il grafico di una funzione reale

Una funzione reale y = f(x) viene solitamente rappresentata per mezzo del suo grafico:esso e costituito dall’insieme dei punti del piano cartesiano le cui coordinate (x, y) sicorrispondono secondo la ”legge” y = f(x):

Il grafico descrive in modo immediatamente leggibile le proprieta essenziali di f . Adesempio, di seguito e rappresentata l’evoluzione del tasso di cambio dell’Euro rispetto alFranco svizzero (il prezzo in frs. di 1e) da gennaio ad agosto 2011:

La rappresentazione grafica permette di risalire ai periodi in cui il tasso e salito e disceso(i cosiddetti intervalli di monotonia) e agli istanti in cui esso ha assunto i valori massimie minimi.


Al momento non disponiamo di tecniche che permettono di prevedere a priori l’andamentodi una funzione6 y = f(x); per schizzare il grafico siamo quindi costretti a ricavarnequalche punto calcolando i valori di f(x) per un numero sufficiente di x ∈ Df .

Esempio: rappresentiamo graficamente la funzione f(x) =√x3 + 8. Notiamo imme-

diatamente che deve valere x3 + 8 ≥ 0, e quindi x ≥ −2, cioe Df = [2,+∞[. Per tracciareil grafico tabelliamo quindi alcuni valori approssimati di f(x) a partire da x = −2 :

x f(x)−2 0

−1, 75 1, 63−1, 5 2, 15−1 2, 65−0, 5 2, 81

0 2, 830, 5 2, 85

1 31, 5 3, 37

2 42, 5 4, 86

3 5, 92

Ricorda: una funzione e detta iniettiva se per x1 6= x2 vale f(x1) 6= f(x2). Graficamente,cio significa che il grafico non puo contenere due punti (x1, y) e (x2, y) con la stessa or-dinata, ossia sulla stessa retta orizzontale. Un grafico rappresenta quindi una funzioneiniettiva se ogni retta orizzontale lo interseca al massimo in un punto.

Esempi:

f : x 7→ y = x3 + x+ 1

e una funzione iniettiva.

f : x 7→ y = x3−9x2+24x−17

non e iniettiva.

6questo sara uno degli scopi del calcolo differenziale


Vogliamo ora caratterizzare il grafico dell’inversa di una funzione iniettiva f . Iniziamoosservando quanto segue:

un punto di coordinate (a, b) giace sul grafico di f

⇐⇒ b = f(a) ⇐⇒ a = f−1(b)

⇐⇒ il punto di coordinate (b, a) giace sul grafico di f−1.

La trasformazione che conduce il punto (a, b)nel punto (b, a) e una simmetria assiale,avente per asse la retta di equazione y = x(cioe la ”bisettrice del primo e del terzo qua-drante”).

Quindi: i grafici delle funzionif e f−1 sono simmetrici rispettoalla retta di equazione y = x(ammesso che la scala scelta perl’asse delle ascisse e per l’assedelle ordinate sia la stessa!).

y = f(x)

y = xy = f−1(x)

Esempi:


5. Simmetrie

In geometria, un oggetto si dice simmetrico se esso e invariante (non cambia cioe il suoaspetto) rispetto a qualche tipo di trasformazione. Di seguito ci occuperemo della sim-metria del grafico di una funzione rispetto ad alcune particolari isometrie7, simmetrie etraslazioni in particolare.

Iniziamo occupandoci della cosiddetta parita.

Una funzione reale f si dice pari se vale

f(−x) = f(x) ∀ x ∈ Df ,

cioe se cambiando il segno di un suo argomento il valore dell’immagine rimane invariato.

Esempi:

1) f(x) = x2 ; chiaramente vale

f(−x) = (−x)2 = x2 = f(x) .

La funzione x 7→ y = x2 e quindi pari (cosı come ogni potenza ad esponente pari).

2) f(x) = x4 − x2 ; vale

f(−x) = (−x)4 − (−x)2 = x4 − x2 = f(x) .

La funzione f e pari (cosı come ogni funzione polinomiale in cui intervengonosoltanto esponenti pari).

3) f(x) = cos(x) ; ricordando la definizione della funzione coseno sul cerchio trigono-metrico, concludiamo immediatamente che

f(−x) = cos(−x) = cos(x) = f(x) .

La funzione coseno e pari.

4) f(x) =√x2 + 10 cos(x) ; vale

f(−x) =√

(−x)2 + 10 cos(−x) =√x2 + 10 cos(x) = f(x) .

La funzione f e pari.

Caratterizziamo ore graficamente la parita di una funzione. Osserviamo innanzitutto cheper una funzione pari vale

il punto (a, b) giace sul grafico di f

⇐⇒ il punto (−a, b) giace sul grafico di f ;

dal momento che la trasformazione (a, b) 7→ (−a, b) e una simmetria assiale di asse Oy,concludiamo immediatamente che il grafico di una funzione pari e simmetrico rispettoall’asse Oy.

7un’isometria e una trasformazione geometrica che conserva le misure di un oggetto


Esempi (v. sopra):

y = x2 y = x4 − x2

y =√x2 + 10 cos(x)

y = cos(x)

Nota che con il grafico di f anche il suo dominio dev’essere simmetrico rispetto all’assedelle ordinate.

Una funzione reale f si dice dispari se vale

f(−x) = −f(x) ∀ x ∈ Df ,

cioe se il segno dell’immagine cambia con il segno dell’argomento.

Esempi:

1) f(x) = x3 ; chiaramente vale

f(−x) = (−x)3 = −x3 = −f(x) .

La funzione x 7→ y = −x3 e quindi dispari (cosı come ogni potenza ad esponentedispari).

2) f(x) = x3 − 12x5 ; vale

f(−x) = (−x)3 − 1

2(−x)5 = −x3 +

1

2x5 = −

(x3 − 1

2x5)

= −f(x) .

La funzione f e dispari (cosı come ogni funzione polinomiale in cui intervengonosoltanto esponenti dispari).


3) f(x) = sin(x); ricordando la definizione della funzione seno sul cerchio trigonome-trico, concludiamo immediatamente che

f(−x) = sin(−x) = − sin(x) = −f(x) .

La funzione seno e dispari.

4) f(x) = 14

5√x9 − 5x7 + x ; vale

f(−x) =1

45√−x9 + 5x7 − x =

1

45√− (x9 − 5x7 + x) = −1

45√

x9 − 5x7 + x = −f(x) .

La funzione f e dispari.

Graficamente, la disparita di una funzione si caratterizza come segue: per una funzionedispari vale


⇐⇒ il punto (−a,−b) giace sul grafico di f ;

la trasformazione (a, b) 7→ (−a,−b) e una simmetria centrale di centro O(0, 0). Quindi ilgrafico di una funzione dispari e simmetrico rispetto all’origine degli assi cartesiani.

Esempi (v. sopra):

y = x3 y = x3 − 12x5

y = 14

5√x9 − 5x7 + x

y = sin(x)


Occupiamoci ora, brevemente, della cosiddetta periodicita.

Una funzione reale f , non costante, e detta periodica, se esiste T > 0 tale che

f(x+ T ) = f(x) ∀ x ∈ Df .

Il piu piccolo valore di T per cui tale relazione e soddisfatta e il periodo di f .

Esempi:

1) f(x) = sin(x); ricordando (con l’auto del cerchio trigonometrico) che vale

f(x+ 2π) = sin(x+ 2π) = sin(x) = f(x) ,

concludiamo immediatamente che la funzione seno e periodica, di periodo 2π. Analoga-mente:

• la funzione x 7→ y = cos(x) e periodica, di periodo 2π;

• la funzione x 7→ y = tan(x) e periodica, di periodo π;

• la funzione x 7→ y = cotan(x) e periodica, di periodo π.

2) f(x) = sin(12x)

+ cos(x) ; vale

f(x+ 4π) = 4 sin

(1

2(x+ 4π)

)+ cos(x+ 4π)

= 4 sin

(1

2x+ 2π

)+ cos(x+ 2 · 2π) = 4 sin

(1

2x

)+ cos(x) = f(x) ;

la funzione f e periodica, di periodo T = 4π.

3) Sia T > 0; la funzione fT (x) = sin(2πTx)

e periodica, di periodo T :

fT (x+ T ) = sin

(2π

T(x+ T )

)= sin

(2π

Tx+ 2π

)= sin

(2π

Tx

)= fT (x) ;

cio permette di costruire funzioni con periodo T per qualsiasi T .

Graficamente, caratterizziamo la periodicita di una funzione come segue: per una funzioneperiodica di periodo T vale


⇐⇒ il punto (a+ T, b) giace sul grafico di f ;

la trasformazione (a, b) 7→ (a+T, b) e una traslazione di vettore ~v =(T0

). Quindi il grafico

di una funzione dispari e invariante rispetto a una traslazione orizzontale di T unita versodestra (ma anche verso sinistra).


Esempi (v. sopra):

y = sin(x)y = sin

(12x)

+ cos(x)

Osservazioni:

a) La conoscenza delle simmetrie di un funzione f permette di agevolare il disegno delgrafico, che puo essere ricostruito riportandone opportunamente la parte a destradell’asse delle ordinate (se f e pari o dispari) risp. la parte corrispondente ad unperiodo completo.

b) Le funzioni dotate di simmetria costituiscono una famiglia piuttosto ristretta; ineffetti, la simmetria e una proprieta molto particolare, non presente in molte dellecosiddette ”funzioni elementari”. Ad Esempio:

1) Se b 6= 0, una funzione affine f : x 7→ y = ax+ b non e ne pari, ne dispari:

f(−x) = −ax+ b 6=

{ax+ b = f(x)

−ax− b = −f(x)

Essa non e nemmeno periodica:

f(x+ T ) = a(x+ T ) + b 6= ax+ b = f(x) ∀T > 0 .

2) Lo stesso vale per la funzione esponenziale: sia a > 0, a 6= 1; allora

expa(−x) = a−x =1

ax=

1

expa(x)6= ± expa(x) ,

eexpa(x+ T ) = ax+T = aT · ax 6= expa(x) ∀T > 0 .

Chiaramente, i grafici di tali funzioni risulteranno asimmetrici e aperiodici.


6. Zeri e segno

Ci occupiamo ora della posizione del grafico di una funzione rispetto all’asse delle ascisse.

Sia f : Df → R una funzione reale. Se per x0 ∈ R vale f(x0) = 0, allora si dice che x0 euno zero della funzione f , o anche che f possiede un zero per x = x0.

Esempi:

1) La funzione affine f(x) = ax+ b (a 6= 0) possiede l’unico zero x = − ba.

2) La funzione logaritmica y = loga(x) (a > 0, a 6= 1) possiede l’unico zero x = 1.

3) La funzione seno y = sin(x) possiede un’infinita di zeri; essi hanno la forma x = kπper ogni k ∈ Z.

Osservazione: la ricerca degli zeri di una funzione f consiste nella risoluzione dell’equazionef(x) = 0.

Esempi: determina gli zeri della funzione y = f(x).

1) f(x) = x2 + 11x+ 10 ;

vale

f(x) = 0 ⇐⇒ x2+11x+10 = 0 ⇐⇒ (x+1)(x+10) = 0 ⇐⇒ x = −10 o x = −1.

Gli zeri sono x = −10 e x = −1.

2) f(x) = ln(x) · (9x2 − 9x+ 2) ;

vale

f(x) = 0 ⇐⇒ ln(x) = 0 o 9x2 − 9x+ 2 = 0

⇐⇒ x = 1 o x =9±√

81− 4 · 9 · 22 · 9

=

{9+318

= 23

9−318

= 13

.

Gli zeri sono x = 13, x = 2

3e x = 1.

3) f(x) = x3 − 2x2 − 5x+ 6 ;

notiamo immediatamente che vale f(1) = 1− 2− 5 + 6 = 0. Sfruttiamo quindi ilTeorema di Ruffini: per un polinomio f(x) vale

f(a) = 0 ⇐⇒ f(x) e divisibile per x− a.

Per scomporre f(x), possiamo quindi dividerlo per x − 1; potremmo utilizzarel’algoritmo completo o, piu semplicemente, lo schema di Ruffini-Horner:

1 −2 −5 61 1 −1 −6

1 −1 −6 0=⇒ (x3 − 2x2 − 5x+ 6) : (x− 1) = x2 − x− 6 .


Vale quindi

f(x) = x3 − 2x2 − 5x+ 6 = (x− 1)(x2 − x− 6) = (x− 1)(x+ 2)(x− 3) ;

gli zeri di f sono quindi −2, 1 e 3.

Graficamente, vale

f(x0) = 0 ⇐⇒ il punto (x0, 0) giace sul grafico di f .

Gli zeri di una funzione f rappresentano quindi le ascisse dei punti d’intersezione delgrafico di f con l’asse Ox.

Esempi (v. sopra):

y = x2 + 11x + 10 y = ln(x) · (9x2 − 9x + 2) y = x3 − 2x2 − 5x + 6

Passiamo ora allo studio del segno di una funzione, il cui scopo e di stabilire in qualiintervalli vale f(x) > 0 risp. f(x) < 0, cioe in quali intervalli il grafico di f si trova aldisopra ris. al disotto dell’asse delle ascisse.

Esempio: studia il segno della funzione f(x) = x2 + 11x+ 10.

Conoscendone gli zeri x = −10 e x = −1 (v. pg. 16) nonche l’aspetto qualitativo delgrafico (una parabola aperta verso l’alto), potremmo immediatamente affermare che vale

f(x) < 0 per x ∈]− 10,−1[

f(x) = 0 per x ∈ {−10,−1}f(x) > 0 per x ∈]−∞,−10[∪]− 1,+∞[

(cfr. con il grafico).

Tale metodo e pero applicabile solo a condizione di conoscere a priori l’aspetto qualitativodel grafico. In pratica, esso si rivela utile solo per lo studio di funzioni quadratiche.


Conoscendo gli zeri della funzione e i fattori della sua scomposizione f(x) = (x+10)(x+1),potremmo anche ragionare in un altro modo. Innanzitutto notiamo che vale

x+ 10 > 0 ⇐⇒ x > −10 e x+ 1 > 0 ⇐⇒ x > −1 ,

e quindi

• per x < −10, f(x) e il prodotto di due numeri negativi, e quindi f(x) > 0;

• per −10 < x < −1, f(x) e il prodotto di due numeri discordi, quindi f(x) < 0;

• per x > −1, f(x) e il prodotto di due numeri positivi, e quindi f(x) > 0.

Il ragionamento puo essere formalizzato mediante la tabella dei segni:

−∞ −10 −1 +∞x+ 10 − 0 + +x+ 1 − − 0 +f(x) + 0 − 0 +

dove le righe superiori rappresentano i segni e gli zeri dei fattori di f riferiti agli intervalliindicati e l’applicazione meccanica della regola dei segni alle colonne produce il segnodella funzione f , riportato nella riga inferiore.

Tale metodo puo essere generalizzato al prodotto di piu fattori: e sufficiente ampliare ilnumero di righe nella tabella.

Esempi: (v. sopra) Studia il segno della funzione y = f(x).

1) f(x) = x3 − 2x2 − 5x+ 6 = (x− 1)(x+ 2)(x− 3) ;

dalla tabella−∞ −2 1 3 +∞

x+ 2 − 0 + + +x− 1 − − 0 + +x− 3 − − − 0 +f(x) − 0 + 0 − 0 +

ricaviamo f(x) < 0 per x ∈]−∞,−2[∪]1, 3[

f(x) = 0 per x ∈ {−2, 1, 3}f(x) > 0 per x ∈]− 2, 1[∪]3,+∞[ .


2) f(x) = ln(x) · (9x2 − 9x+ 2) ;

notiamo innanzitutto quanto segue:

• dal momento che Df =]0,+∞[, non ci occupiamo dei segni dei fattori perx < 0; notiamo quindi i segni solo a partire da x = 0 (al disotto del qualescriveremo pero ”ND”, dal momento che f non e definita per x = 0);

• abbiamo gia mostrato che vale 9x2−9x+2 = 0 per x = 13

e x = 23; la conoscenza

qualitativa del grafico di y = 9x2 − 9x + 2 (una parabola aperta verso l’alto)ci permette di riassumere i suoi segni in una sola riga.

0 13

23

1 +∞ln(x) ND − − − 0 +

9x2 − 9x+ 2 + 0 − 0 + +f(x) ND − 0 + 0 − 0 +

Vale quindi f(x) < 0 per x ∈ ]0, 1

3[∪]2

3, 1[

f(x) = 0 per x ∈ {13, 23, 1}

f(x) > 0 per x ∈ ]13, 23[∪]1,+∞[ .

Se la funzione f possiede un denominatore dipendente da x, il suo segno dipende anche daesso; per evitare confusione, nella tabella dei segni e conveniente separare con un trattoorizzontale i fattori del denominatore ed indicarne con ”ND” (”Non Definito”) gli zeri.

Esempio: studia il segno di f(x) = x2−9x2+x−2 .

Dal momento che f(x) = (x+3)(x−3)(x+2)(x−1) , vale Df = R \ {−2, 1}. Tabella:

−∞ −3 −2 1 3 +∞x+ 3 − 0 + + + +x− 3 − − − − 0 +x+ 2 − − 0 + + +x− 1 − − − 0 + +f(x) + 0 − ND + ND − 0 +

Vale quindif(x) < 0 per x ∈ ]− 3,−2[∪]1, 3[

f(x) = 0 per x = ±3

f(x) > 0 per x ∈ ]−∞,−3[∪]− 2, 1[∪]3,+∞[ .

y = x2−9x2+x−2


7. Monotonia (un’anteprima)

Menzioniamo ora brevemente altre proprieta di una funzione reale, per il cui studio det-tagliato sara pero necessaria una conoscenza relativamente approfondita del cosiddettocalcolo differenziale.

Iniziamo dalla cosiddetta monotonia, che caratterizza gli intervalli in cui la funzione crescerisp. decresce:

• Una funzione reale f e detta monotona crescente in un intervallo I ⊆ Df , se perx, x′ ∈ I con x < x′ vale f(x) ≤ f(x′) (risp. strettamente monotona crescente, sevale f(x) < f(x′)).In altre parole, se f(x) cresce al crescere di x.

• f e invece monotona decrescente in I se per x, x′ ∈ I con x < x′ vale f(x) ≥ f(x′)(risp. strettamente monotona decrescente, se vale f(x) > f(x′)).Cioe se f(x) decresce al crescere di x.

Esempi:

1) La funzione y = f(x) = −13x+2 e (strettamente) decrescente in tutto il suo dominio

Df = R =]−∞,+∞[.

2) La funzione y = cos(x) e (strettamente) decrescente negli intervalli della forma[2kπ, (2k+1)π] e (strettamente) crescente negli intervalli della forma [(2k−1)π, 2kπ](dove k ∈ Z).

3) La funzione y = 2x3−6x e (strettamente) crescente nell’intervallo ]−∞,−1], (stret-tamente) decrescente nell’intervallo [−1, 1] e (strettamente) crescente nell’intervallo[1,+∞].

Graficamente, una funzione e crescente se la curva del grafico ”sale” da sinistra versodestra, decrescente se la curva ”scende” da sinistra verso destra.

Esempi (v. sopra):


Osservazioni:

a) Se una funzione e monotona crescente (risp. decrescente) in un intervallo I, lo stessosi puo affermare a proposito delle tangenti al grafico nei punti di I. Tali tangentihanno quindi pendenza positiva (risp. negativa): la monotonia di una funzione puoquindi essere caratterizzata per mezzo della pendenza delle rette tangenti; piu tardi,”misureremo” tale pendenza per mezzo della funzione derivata f ′.

b) Oltre alla monotonia prenderemo in considerazione la cosiddetta concavita di unafunzione, cioe la proprieta del suo grafico di ”aprirsi” verso l’alto o verso il basso.Dal momento che tale proprieta e strettamente legata alla posizione reciproca delgrafico e delle sue tangenti, anche il questo caso sara il calcolo differenziale a venirciin aiuto.

8. Funzioni elementari

Passiamo ora in rassegna alcune importanti funzioni, gia studiate negli anni precedenti delLiceo, a partire dalle quali vengono costruite le cosiddette funzioni elementari, elencandonele proprieta fondamentali.

1) La funzione affine f : x 7→ y = mx+ k (m, k ∈ R).

Casi particolari: la funzione lineare y = mx e la funzione costante y = k.

• Dominio: Df = R.

• Zeri:

se m 6= 0, la funzione ha uno zero per x = − k

m

se m = 0 e k 6= 0 la funzione non ha zeri

se m = 0 e k = 0 la funzione e nulla ovunque.


• Parita:

se m, k 6= 0, la funzione non e ne pari ne dispari

se m = 0, la funzione e pari

se k = 0, la funzione e dispari.

• Monotonia:

se m > 0 la funzione e strettamente monotona crescente

se m = 0 la funzione e costante

se m < 0 la funzione e strettamente monotona decrescente.

2) La funzione potenza f : x 7→ y = xα (α ∈ R∗).Casi particolari: la funzione radice n-esima y = n

√x = x

1n (n ∈ N) e la funzione

reciproca y = 1x

= x−1.

• Dominio:

se α ∈ N, Df = Rse α ∈ Z \ N, Df = R∗

altrimenti: se α > 0, Df = R+, se α < 0, Df = R∗+.

• Zeri:

{se α > 0, la funzione ha uno zero per x = 0

altrimenti: la funzione non possiede zeri

• Parita:

se α ∈ Z e α e pari, la funzione e pari

se α ∈ Z e α e dispari, la funzione e dispari

altrimenti: la funzione non e ne pari ne dispari.


• Monotonia:

se α = 0, la funzione e costante

se α ∈ N e α e pari, la funzione e decrescente in R− e crescente in R+

se α ∈ N e α e dispari, la funzione e crescente in Rse α ∈ Z \ N, e α e dispari, la funzione e decrescente in R∗− e in R∗+ (ma non in R∗)se α ∈ Z \ N, e α e pari, la funzione e crescente in R∗− e decrescente in R∗+altrimenti: se α > 0, la fz. e crescente in R+, se α < 0, la fz. e decrescente in R∗+.

3) La funzione esponenziale expa : x 7→ y = ax (a ∈ R∗+ \ {1}).

• Dominio: Dexpa = R.

• Zeri: dato che 0 6∈ Imexpa , la funzione non possiede zeri.

• Parita: la fz. esponenziale non e ne pari ne dispari.

• Monotonia:

{se a > 1, la funzione e crescente

se a ∈]0, 1[, la funzione e decrescente.

4) La funzione logaritmica loga : x 7→ y = loga(x) (a ∈ R∗+ \ {1}).

• Dominio: Dloga = R∗+.


• Zeri: la funzione logaritmica possiede uno zero per x = 1.

• Parita: la funzione logaritmica non e ne pari ne dispari.

• Monotonia:

{se a > 1, la funzione e crescente

se a ∈]0, 1[, la funzione e decrescente.

5) Le funzioni trigonometriche x 7→ y = sin(x), y = cos(x), y = tan(x).

• Dominio: Dsin = Dcos = R; Dtan = R \{π2

+ k · π | k ∈ Z}

• Zeri:

◦ sin ha uno zero per x = kπ con k ∈ Z◦ cos ha uno zero per x = π

2+ kπ con k ∈ Z

◦ tan ha uno zero per x = kπ con k ∈ Z• Parita: sin e tan sono dispari, cos e pari.

• Monotonia:

◦ sin e crescente in[−π

2+ 2kπ, π

2+ 2kπ

]e decrescente in[

π2

+ 2kπ, 32π + 2kπ

](k ∈ Z)

◦ cos e decrescente in [2kπ, (2k + 1)π] e crescente in [(2k − 1)π, 2kπ] (k ∈ Z)

◦ tan e crescente in]π2

+ kπ, 32π + kπ

[(k ∈ Z)

6) Le funzioni trigonometriche inverse x 7→ y = arcsin(x), y = arccos(x) e y =arctan(x)

• Dominio: Darcsin = [−1, 1]; Darccos = [−1, 1]; Darctan = R


• Zeri: arcsin(x) = 0 ⇐⇒ x = 0 ; arccos(x) = 0 ⇐⇒ x = π2

;arctan(x) = 0 ⇐⇒ x = 0

• Parita: arcsin e arctan sono dispari.

• Monotonia: arcsin e arctan sono crescenti, arccos e decrescente (nei rispettividominii).

7) La funzione segno x 7→ y = sgn(x) e la funzione valore assoluto y = |x|, con

sgn(x) =

−1 se x < 0

0 se x = 0

+1 se x > 0

, |x| = x · sgn(x) =

{−x se x < 0

x se x ≥ 0.

• Dominio: per entrambe le funzioni il dominio e R.

• Zeri: entrambe le funzioni hanno uno zero per x = 0.

• Parita: sgn e dispari, abs e pari.

• Monotonia: sgn e costante in ] − ∞, 0[ e in ]0,+∞[, abs e decrescente in]−∞, 0] e crescente in [0,+∞[.

Si dicono funzioni elementari le funzioni ottenute da quelle elencate in precedenza me-diante le ”quattro operazioni” e la composizione.

Esempi:

1) f(x) = sin(x2)− 2 ln(x) ;

2) f(x) =e2 cos(x)

3 sin(x)+ tan(3x) + 7 ;

3) f(x) =∣∣log 5√x2 + 5− x2

∣∣ · (x− 3)x2

.;

4) f(x) = xx = elnxx

= ex lnx. In maniera analoga si dimostra che, se y = f(x) ey = g(x) sono funzioni elementari, allora lo stesso vale per

h(x) = f(x)g(x) = eg(x) ln f(x) .


Tra le funzioni elementari possiamo distinguere

• le funzioni polinomiali x 7→ y = p(x) = a0 + a1x+ a2x2 + . . .+ anx

n,

ad esempio f(x) = 3x2 + 2x+ 3 oppure g(x) = 45x700 − 17x393 + 8x8 − 1 .

• le funzioni razionali fratte x 7→ y =p(x)

q(x), dove p(x) e q(x) sono polinomi,

ad esempio f(x) =x+ 3

x2 + 5oppure g(x) =

100x100 − 10x10

x7 + x6.

• le funzioni irrazionali x 7→ y =√f(x) (ove f(x) e un’espressione algebrica),

ad esempio f(x) =√x2 + 7 oppure g(x) =

√x+ 1

x− 2.


Capitolo I : Propriet a elementari delle funzioni...

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