17. Proprieta dell’azione

In questo capitolo si considera l’azione, valutata sulla traiettoria fisica, come funzionedefinita sullo spazio delle configurazioni esteso. L’azione cosı definita genera una trasfor-mazione canonica, che muta le coordinate all’istante t nelle coordinate iniziali e sod-disfa identicamente una equazione alle derivate parziali. L’integrale completo di questaequazione, detta di Hamilton-Jacobi, si interpreta come la generatrice di una trasfor-mazione canonica, che porta a nuove coordinate e momenti costanti. Quando l’hamiltonia-na H non dipende dal tempo, si scrive l’equazione di Hamilton-Jacobi per una generatrice,che elimina in H la dipendenza dalle coordinate. L’integrale completo di questa equazionesi costruisce esplicitamente, in alcuni casi, con il metodo di separazione delle variabili e lecorrispondenti hamiltoniane si dicono separabili. Per i sistemi conservativi l’azione ridotta,definita sulle traiettorie isoenergetiche ad estremi fissi, e stazionaria sulla traiettoria fisica,che risulta essere una una geodetica.

17.1. DERIVATE DELL’AZIONE

L’azione, definita come funzionale sulle traiettorie ad estremi fissi, e stazionaria sulla traiet-toria fisica; valutata sulle traiettorie fisiche diventa una funzione degli estremi. Scriviamoquindi

A(qb, tb;qa, ta) =

∫ tb

ta

L(q(t), q(t), t)dt (17.1.1)

dove q(t) e la traiettoria fisica nell’intervallo [ta, tb] con estremi qa,qb. Le derivate parzialidi A, intesa come funzione definita nello spazio delle configurazioni esteso, sono espresse

332 17. Proprieta dell’azione c©88-08- 9820

da∂A

∂qa= −pa,

∂A

∂ta= Ha

∂A

∂qb= pb,

∂A

∂tb= −Hb

(17.1.2)

dove Ha, Hb indicano i valori che H assume agli estremi della traiettoria. Le relazioni(7.1.2) si provano notando che A dipende dai suoi argomenti tramite gli estremi di inte-grazione e la traiettoria q(t) (si vedano gli esempi a pie pagina).

∂A

∂qb i=

∫ tb

ta

d∑

k=1

(pk

∂qk

∂qb i+ pk

∂qk

∂qb i

)dt =

d∑

k=1

pk∂qk

∂qb i

∣∣∣∣∣

tb

ta

= pb i

∂A

∂tb= L(qb, qb, tb) +

d∑

k=1

pk∂qk

∂tb

∣∣∣∣∣

tb

ta

= L(qb, qb, tb) −d∑

k=1

pk(tb)qk(tb) = −Hb

(17.1.3)

In (17.1.3) sono state scambiate le derivate miste e si fatto uso delle seguenti relazioni

∂qk

∂qb i

∣∣∣∣t=tb

= δi,k,∂qk

∂qb i

∣∣∣∣t=ta

= 0,∂qk

∂tb

∣∣∣∣t=tb

= −qk(tb),∂qk

∂tb

∣∣∣∣t=ta

= 0

(17.1.4)che si dimostrano tramite uno sviluppo di Taylor nel tempo della soluzione q(t) attornoa t = ta espresso da q(t) = qa + qk(ta)(t − ta) + . . . ed attorno a t = tb espresso daq(t) = qb + qk(tb)(t− tb) + . . ., tenendo conto che qa,qb, ta, tb sono variabili indipendenti.

Esempi

Per la particella libera unidimensionale con lagrangiana L = (m/2)q2 si ha

q(t) = qa +qb − qa

tb − ta(t − ta), A =

m

2

(qb − qa)2

tb − ta(17.1.5)

Per un oscillatore armonico con lagrangiana L = (m/2)[q2 − ω2q2] si trova

q(t) = qa cos ω(t − ta) +qb − qa cos ω(tb − ta)

sinω(tb − ta)sinω(t − ta)

A =mω

2

1

sinω(tb − ta)[(q2

a + q2b ) cos ω(tb − ta) − 2qaqb]

(17.1.6)

Si noti che quando ω(tb − ta) = 2kπ la soluzione estremale non e piu definita.

c©88-08- 9820 17.1. Derivate dell’azione 333

Per il calcolo di A in (17.1.6) ponendo C=[qb−qa cos ω(tb−ta)]/ sin ω(tb−ta) scriviamo la lagrangiana

L= m2 ω2[(C2−qa)2 cos 2ω(t−ta)−2Cqa sin 2ω(t−ta)]

L’azione assume la seguente forma

A=∫

tb

taL(q(t),q(t))dt= mω

2 [(C2−q2a) sin ω(tb−ta) cos ω(tb−ta)−2Cqa sin2 ω(tb−ta)]

e sostituendo a C la sua espressione si ricava la (17.1.6).

Dimostrazione alternativa

Per meglio illustrare il significato delle derivate dell’azione se ne da una dimostrazionebasata sul calcolo diretto dell’azione lungo due traiettorie vicine con gli stessi estremiiniziali (qa, ta). Per valutare la derivata spaziale si considerano due traiettorie q(t) eq(t) + h(t) con punto finale (qb, tb) e (qb + hb, tb) rispettivamente, vedi figura 1.17.1

!!!!!!!!!!!!

t

t

q

a bt

!!!!!!!!!!!!

!!!!!!!!!!!!!!!!

q

q +h

q

b

b

a

b

Figura 17.1.1. Traiettorie con posizione finale diversa.

La differenza dell’azione calcolata lungo le due trattorie vale

A(qb + hb, tb) − A(q, t) =

∫ tb

ta

L(q(t) + h(t), q(t) + h(t), t)dt −∫ tb

ta

L(q(t), q(t), t)dt =

=

∫ tb

ta

d∑

k=1

(∂L∂qk

− d

dt

∂L∂qk

)hk(t)dt +

d∑

k=1

pkhk

∣∣∣∣∣

tb

ta

+ O(‖h‖2) =

= pb · hb + O(‖h‖2)(17.1.7)

334 17. Proprieta dell’azione c©88-08- 9820

!!!!!!!!!!!!!!!!

q

q

btt

a

!!!!!!!!!!!!

q

t

q(t)

q(t)+h(t)

b

a

+ τb

t

Figura 17.1.2. Traiettorie con tempo di percorrenza diverso.

dove si e effettuata una integrazione per parti e si tenuto conto che q(t) soddisfa le equazionidi Lagrange essendo una traiettoria fisica.Per calcolare la derivata di S rispetto a t si considera la seconda traiettoria con puntofinale (qb, tb + τ), vedi figura (1.17.2), imponendo che il secondo estremo qb sia lo stessoper entrambe le traiettorie

q(tb) = q(tb + τ) + h(tb + τ) = q(tb) + τ q(tb) + h(tb) + O(τ2) (17.1.8)

Se conveniamo che ‖h‖ e τ siano infinitesimi dello stesso ordine la seguente condizionedeve essere soddisfatta

q(tb)τ + h(tb) = 0 (17.1.9)

e la variazione dell’azione risulta espressa da

A(qb, tb + τ)−A(qb, tb) =

∫ tb+τ

ta

L(q(t) + h(t), q(t) + h(t), t)dt −∫ tb

ta

L(q(t), q(t), t)dt

=

∫ tb

ta

d∑

k=1

(∂L∂qk

− d

dt

∂L∂qk

)h(t)dt +

d∑

k=1

pkhk

∣∣∣∣∣

tb

ta

+ Lτ + O(τ2) =

=(Lb − pb · qb

)τ + O(τ2) = −Hbτ + O(τ2)

(17.1.10)

c©88-08- 9820 17.2. Azione ridotta 335

17.2. AZIONE RIDOTTA

Per un sistema meccanico la cui lagrangiana non dipenda esplicitamente dal tempo siintroduce l’azione ridotta W , definita da

W =

∫ tb+τ

ta

d∑

i=1

piqidt (17.2.1)

Se i vincoli non dipendono dal tempo e le forze sono conservative si ha∑

i piqi = H +L =2T e l’azione ridotta diventa

W = 2

∫ tb+τ

ta

T (q, q)dt (17.2.2)

Consideriamo W come funzionale sull’insieme C delle traiettorie ad estremi fissi nello spaziodelle configurazioni, su cui H assume un valore costante E

C :{q(t) : [ta, tb + τ ] → R

d, q(ta) = qa, q(tb + τ) = qb, H(q, q) = E}

(17.2.3)

Confrontando le traiettorie ora definite con quelle del principio variazionale di Hamilton sinota che queste sono isoenergetiche H = E con tempo di percorrenza variabile, tb − ta + τ ,mentre le precedenti erano isocrone (τ = 0) con H variabile. Per la particella libera si ha

T =1

2

(ds

dt

)2

=1

2

d∑

i,j=1

Tij qiqj (17.2.4)

dove ds e la lunghezza dell’elemento d’arco sulla traiettoria

ds2 = 2Tdt2 =d∑

i,j=1

Tijdqidqj (17.2.5)

Se M e la varieta definita dalle equazioni di vincolo, ds=||dr|| e la distanza tra due punti vicini sulla

varieta e dsE

=||dq|| e la distanza tra i punti corrispondenti sulla carta locale, vedi figura 5.A.1. Espresse

in termini delle coordinate qi sulla carta dsE

e una distanza euclidea poiche ds2

E=dq2

1+...+dq2d mentre ds2

e la forma quadratica in dqi con coefficienti Tij ; si dice che ds e la distanza nella metrica Riemanniana.

L’azione ridotta e proporzionale al tempo di percorrenza e quindi alla lunghezza dellatraiettoria, poiche questa vien percorsa con velocita costante

√2T . Indicando con sa e

sb + σ le ascisse curvilinee dei punti estremi della traiettoria si ha

W =

∫ tb+τ

ta

2Tdt = 2T (τ + tb − ta) =

∫ sb+σ

sa

√2Tds =

√2T (σ + sb − sa) (17.2.6)

Gli estremi di integrazione sono scelti in modo che sulla traiettoria fisica risulti τ = σ = 0.Se la particella e soggetta ad un potenziale V , si puo attribuire a W ancora il significatodi lunghezza della curva a patto di cambiare la metrica. Definendo l’elemento d’arco con

dγ =√

2 Tdt =√

T ds =√

E − V ds (17.2.7)

336 17 Proprieta dell’azione c©88-08- 9820

i nuovi coefficienti della metrica differiscono per il fattore di scala positivo T = (E − V )

dγ2 =d∑

i,j=1

cijdqidqj , cij = (E − V )Tij (17.2.8)

e l’azione ridotta diventa la lunghezza della curva nella nuova metrica.

Principio di Maupertuis. L’azione ridotta W , definita come funzionale sullo spazio Cdelle traiettorie isoenergetiche ad estremi fissi, e stazionaria sulla traiettoria fisica.

Sia q(t) la traiettoria fisica definita su t ∈ [ta, tb], e siano q(t) + h(t) le traiettorie variatedefinite per t ∈ [ta, tb + τ ]; la condizione di estremi fissi impone che h(ta) = 0 e che valga(17.1.9). Tenendo conto che H e costante la variazione di W e data da

W (q+h) − W (q) =

∫ tb+τ

ta

L(q(t) + h(t), q(t) + h(t), t)dt −∫ tb

ta

L(q(t), q(t), t)dt + Hτ

= (H + Lb)τ +

∫ tb

ta

d∑

k=1

(∂L∂qk

− d

dt

∂L∂qk

)h(t)kdt +

d∑

k=1

pkhk(t)

∣∣∣∣∣

tb

ta

+ O(τ2)

= [H + Lb −d∑

k=1

pk(tb)qk(tb)]τ +

∫ tb

ta

d∑

k=1

(∂L∂qk

− d

dt

∂L∂qk

)hk(t)dt + O(τ2)

(17.2.9)dove il termine tra parentesi quadre nell’ultima riga di (17.2.9) si annulla e la condizionenecessaria e sufficiente di stazionarieta e che siano soddisfatte le equazioni di Eulero La-grange.

17.3. GEODETICHE

Il principio di Maupertuis implica che la traiettoria di una particella non soggetta a forze euna geodetica rispetto alla metrica naturale in quanto curva di lunghezza minima; il tempodi percorrenza e minimo a sua volta. Per un sistema conservativo qualsiasi la traiettoria eancora una geodetica ma rispetto alla metrica modificata dal potenziale secondo (17.2.7).Le equazioni di Eulero Lagrange per la geodetica si possono ottenere in due modi dis-tinti: dal principio variazionale di Maupertuis parametrizzando localmente la traiettoriain funzione di una delle coordinate, oppure usando il principio variazionale di Hamilton.Se qi = qi(q1) per i = 2, . . . , d l’azione ridotta si scrive

W =

∫ q1 b

q1 a

√E − V (q)

√∑i,j

aij(q) qi qj dq1 (17.3.1)

l’intervallo su cui q1 varia e fisso e si e posto

qj ≡ dqj

dq1, qj(q1 a) = qj a, qj(q1 b) = qj b, (17.3.2)

c©88-08- 9820 17.3. Geodetiche 337

La soluzione che rende stazionaria l’azione ridotta soddisfa le equazioni di Eulero-Lagrangeper la funzione

F =√

E − V√∑

i,jaij qi qj (17.3.3)

poiche gli estremi di integrazione sono costanti in (17.3.1). Se prendiamo ad esempio ilproblema del campo centrale e parametrizziamo la curva nella forma r = r(φ) allora dettor = dr/dφ si ha

F =√

E − V (r)√

r2 + r2 (17.3.4)

Per calcolare la soluzione si noti che F non dipende da φ e quindi esiste un integrale primodato da

r∂F

∂r− F = −r2

√E − V√r2 + r2

= c (17.3.5)

da cui si ottiene l’equazione per l’orbita

c2

(d

dφ

1

r

)2

+c2

r2+ V (r) = E (17.3.6)

che coincide con (3.2.4) se c2 = L2/(2m).

Riparametrizzazione temporale

L’altra strada per scrivere l’equazione della geodetica, consiste nello scegliere un parametroesterno τ , che non sia il tempo per parametrizzare le traiettorie q = q(τ). L’ intervallo sucui τ varia [τa, τb] e fisso e tale che q(τa) = qa e q(τb) = qb; l’azione ridotta si scrive

W =

∫ds =

∫ τb

τa

√∑i,j

aij(q) qi qj dτ qi ≡dqi

dτ(17.3.7)

L‘integrando F e la velocita con cui viene percorsa la traiettoria se si da a τ il significatodi un tempo riparametrizzato

F =ds

dτ=√∑

i,jaij(q) qi qj (17.3.8)

Si noti che F e una funzione omogenea di grado 1 nelle qi e quindi il corrispondenteintegrale primo H e identicamente nullo

H =d∑

i=1

∂F

∂qi− F = 0 (17.3.9)

La velocita con cui la curva viene percorsa e arbitraria; infatti ds/dt e costante ma essendot = t(τ) qualsiasi, ds/dτ = (ds/dt)(dt/dτ) puo assumere valori arbitrari. Le equazioni diEulero-Lagrange sono

1

F

d∑

j=1

aijd2qj

dτ2+

d∑

j,k=1

(∂aij

∂qk− 1

2

∂akj

∂qi

)dqj

dτ

dqk

dτ

− 1

F 2

d∑

j=1

aijdqj

dτ

dF

dτ= 0 (17.3.10)

338 17 Proprieta dell’azione c©88-08- 9820

Si noti che l’ultimo termine e proporzionale all’accelerazione sulla curva dF/dτ = d2s/dτ2 esi annulla se la parametrizzazione e scelta in modo τ risulti proporzionale all’ascissa curvi-linea s = c τ sulla geodetica. Con questa scelta, le equazioni che si ottengono sostituendoa τ l’ascissa curvilinea s oppure il tempo t = s(2E)−1/2 sono identiche e coincidono con leequazioni di Lagrange, date da (6.3.13) con Qi = 0, per un sistema vincolato non soggettoa forze. La stessa equazione si ottiene per una curva tracciata su una superficie di R

3 lecui normale coincide coincide con la normale principale, perche l’accelerazione tangenzialeespressa da (5.A.7) si annulla.

Nel caso generale in cui vi sia un potenziale V si sceglie la lunghezza dell’elemento d‘arcosulla traiettoria uguale a dγ =

√E − V ds ed i coefficienti della metrica sono dati da

(17.2.8). Parametrizzando le traiettorie con q = q(τ) ove τ varia su un intervallo fisso[τa, τb], l’azione si scrive

W =

∫dγ =

∫ τb

τa

√∑i,j

cij(q) qi qj dτ (17.3.11)

e le equazioni di Eulero-Lagrange per la geodetica sono date da (17.3.10) dove aij sono sosti-tuite da cij . Scegliendo τ proporzionale alla lunghezza d’ arco γ sulla geodetica l’equazionedella geodetica diventa

d∑

j=1

cijd2qj

dγ2+

d∑

jk=1

(∂cij

∂qk− 1

2

∂ckj

∂qi

)dqj

dγ

dqk

dγ= 0 (17.3.12)

Queste non coincidono con le equazioni ottenute dal principio variazionale di Hamilton perla lagrangiana L = T − V perche la traiettoria non e piu percorsa con velocita costantema si ha

dγ

dt=

√E − V

ds

dt=

√2 (E − V ) (17.3.13)

Per mostrare come ci si riconduca alle equazioni di Lagrange consideriamo il caso in cuinon vi siano vincoli e le masse siano uguali a 1 per cui aij = δij e quindi

cij = δij(E − V ) (17.3.14)

Le equazioni (17.3.12) si semplificano assumendo la forma seguente

2 (E − V )d2qi

dγ2− 2

d∑

k=1

dqi

dγ

dqk

dγ

∂V

∂qk+

d∑

k=1

(dqk

dγ

)2∂V

∂qi= 0 (17.3.15)

Per mostrare che la traiettoria definita da queste equazioni coincide con quella ottenutarisolvendo le equazioni del moto, ossia con le equazioni di Newton, occorre riesprimere lederivate rispetto a γ attraverso le derivate rispetto a t. Facendo uso di (17.3.13) le derivateprime diventano

dqi

dt=

dqi

dγ

dγ

dt=

√2 (E − V )

dqi

dγ, (17.3.16)

c©88-08- 9820 17.4. Equazione di Hamilton Jacobi 339

e le derivate seconde

d2qi

dt2=

d2qi

dγ2

(dγ

dt

)2

−√

2∑

k

dqi

dγ

∂V

∂qk

dqk

dγ

dγ

dt=

= 2(E − V )2d2qi

dγ2− 2(E − V )

∑

k

dqi

dγ

dqk

dγ

∂V

∂qk

(17.3.17)

Moltiplicando la (17.3.15) per E − V si ritrovano le equazioni di Newton se si tiene contodi (17.3.15) e si nota che da dγ2 = (E − V )

∑k dq2

k segue (E − V )∑

k(dqk/dγ)2 = 1.

17.4. EQUAZIONE DI HAMILTON-JACOBI

L’azione, valutata lungo la traiettoria fisica, e la generatrice di una trasformazione canonicadalle coordinate all’istante t alle coordinate iniziali. Per verificarlo basta considerare leequazioni (17.1.2) ridefinendo i tempi ta = 0, tb = t le coordinate qa = Q, qb = q, imomenti pa = P, pb = p e Hb = H e confrontarle con le equazioni (15.4.7) dove H = 0.L’azione A(q,Q, t) soddisfa la seguente identita

H

(q,

∂A

∂q, t

)+

∂A

∂t= 0 (17.4.1)

Consideriamo le soluzioni F di (17.4.1) intesa come una equazione alle derivate parziali,detta di Hamilton-Jacobi. La famiglia di soluzioni F , cui appartiene anche l’azione A,dipende da d costanti α = (α1, . . . , αd) e da una ulteriore costante additiva irrilevantepoiche nella equazione entrano solo le derivate di F . La dipendenza funzionale F (q, α, t)dalle costanti α puo essere scelta in modo arbitrario. Intepretiamo le costanti α comenuovi momenti coniugati ed indichiamo con β le nuove coordinate, anch’esse costanti poichel’hamiltoniana trasformata H e nulla. La funzione F va interpretata come una generatrice,del secondo tipo, di una trasformazione canonica (q,p) → (α, β), vedi (15.4.8) e (15.4.9).Si noti che β e α non coincidono con le coordinate e i momenti iniziali (Q,P). La equazionedi Hamilton Jacobi si ottiene anche imponendo che l’hamiltoniana trasformata sia nullaH = H + ∂F/∂t = 0, affinche le nuove coordinate e momenti risultino costanti. Leequazioni di trasformazione sono

pi =∂F

∂qi(q, α, t), βi =

∂F

∂αi(q, α, t) (17.4.2)

Per riesprimere la funzione generatrice in funzione delle coordinate iniziali valutiamo laseconda equazione in (17.4.2) all’istante t ed all’istante iniziale tenendo conto che βi sonocostanti

∂F

∂αi(q, α, t) =

∂F

∂αi(Q, α, 0) (17.4.3)

340 17. Proprieta dell’azione c©88-08- 9820

Questa equazione definisce implicitamente α = α(q,Q, t) che, sostituita in F , consente dirisprimerla come funzione di q,Q, t. La funzione generatrice del primo tipo cosı ottenutadifferisce in generale da A poiche ne F ne A sono uniche. Infatti a F si puo aggiungere unafunzione g(α) arbitraria, mentre ad A si puo aggiungere f(q) − f(Q) dove f e arbitraria,poiche sommando d

dt f(q) alla lagrangiana non si alterano le equazioni del moto.Per determinare la legge del moto risolve la seconda equazione (17.4.2) rispetto a q, sos-tituendolo quindi nella prima; si ricavano cosı q e p come funzioni di α, β, t. Per esprimerele α, β attraverso le condizioni iniziali si valutano le (17.4.2) per t = 0

P =∂F

∂q(Q, α, 0), β =

∂F

∂α(Q, α, 0) (17.4.4)

si inverte la prima equazione rispetto ad α e lo si sostituisce nella seconda. Queste funzionisono, in genere, localmente definite; cio vale anche per la funzione α = α(q,p, t), cheotteniamo invertendo la prima delle equazioni (17.4.2). Per questo motivo α(q,p, t) none, in genere, un integrale del moto come non lo sono le funzioni che si ottengono esplicitandola soluzione del problema di Cauchy rispetto alle condizioni iniziali.

La trasformazione L=L+ ddt

f(q) cambia l’azione A=A+f(q)−f(Q) e l’hamiltoniana H=H(p− ∂f∂q

,q). Dette

F e F le soluzioni della equazione di Hamilton-Jacobi per H e H si ha F=F+f(q). Tali soluzioni sono

definite a meno di una funzione g(α), che e possibile scegliere in modo che si abbia F=A come mostra

l’esempio della particella libera con massa unitaria, la cui azione e espressa da (17.1.5). La soluzione di

( ∂F∂q )

2+ ∂F

∂t=0 e F=αq− 1

2 α2(t−ta)+g(α) dove g e arbitraria. Uguagliando il valore ∂F/∂α calcolata per

t=ta, q=qa e t=tb, q=qb si determina α che valeqb−qatb−ta

. La funzione F riespressa come generatrice del primo

tipo e F=qbqb−qatb−ta

− 12

(qb−qa)2

tb−ta+g(

qb−qatb−ta

)e coincide con A solo se si sceglie g(α)=−qa α

Equazione indipendente dal tempo

Se H non dipende dal tempo la equazione (17.4.1) ammette una soluzione della forma

F (q, α, t) = W (q, α) − Et (17.4.5)

dove W soddisfa la equazione di Hamilton-Jacobi indipendente dal tempo.

H

(q,

∂W

∂q

)= E (17.4.6)

ed E e una funzione arbitraria di α. Consideriamo W come funzione generatrice di unatrasformazione canonica che che fa passare a nuovi momenti costanti ed a coordinate chedipendono dal tempo linearmente

pi =∂W

∂qi, Qi =

∂W

∂Pi(17.4.7)

Identificando i nuovi momenti con le costanti di integrazione arbitrarie P = α e la nuovahamiltoniana con E scrivendo H = E(P). Le equazioni del moto diventano

Qi =∂E

∂PiPi =

∂E

∂Qi= 0 (17.4.8)

c©88-08- 9820 17.4. Equazione di Hamilton Jacobi 341

e la loro soluzione e espressa da

Qi(t) =∂E

∂Pit + Qi(0), Pi(t) = Pi(0) (17.4.9)

Al medesimo risultato si giunge considerando la trasformazione generata da F = W − Etpoiche βi = Qi − t∂E/∂αi.

Se esiste una soluzione di (17.4.6) globalmente definita P1, . . . , Pd sono integrali primi e ilsistema si dice integrabile perche la soluzione delle equazioni di Hamilton e riconducibilea quadrature, come provato da Jacobi. Nei prossimi paragrafi analizzeremo una classe dihamiltoniane dette separabili, le cui soluzioni sono riconducibili a quadrature.

Esempi

Moto libero

L’hamiltoniana H = 12

∑i p2

i descrive il moto di un sistema di punti materiali liberi in seqi sono coordinate cartesiane, oppure rotazioni uniformi se qi sono angoli. L’equazione diHamilton Jacobi si scrive

1

2

d∑

i=1

(∂W

∂qi

)2

= E (17.4.10)

e la sua soluzione e data da

W =

d∑

i=1

Piqi + f(P), E =1

2

d∑

i=1

P 2i (17.4.11)

dove f(P) e una funzione arbitraria. La trasformazione Pi = pi e Qi = qi − ∂∂Pi

f(P) siriduce all’identita se f = 0.

Campo uniforme

L’hamiltoniana H = 12p2 − gq descrive il moto unidimensionale di una particella in un

campo uniforme. L’equazione di Hamilton-Jacobi si scrive

1

2

(∂W

∂q

)2

− gq = E (17.4.12)

Se p > 0 la soluzione e data da

W =

∫ q

p(q′, E)dq′ =

∫ q√2(E + gq′)dq′ =

1

3g[2(E + gq)]3/2 (17.4.13)

342 17. Proprieta dell’azione c©88-08- 9820

e se p cambia segno la soluzione si costruisce come la legge oraria t = t(q) seguendoil procedimento indicato per i problemi unidimensionali nel capitolo 2, paragrafi 3 e 7.Scegliendo P = E le equazioni di trasformazione (17.4.7) una volta esplicitate sono

Q =p

g, P =

p2

2− gq, q =

g

2Q2 − P

g, p = gQ (17.4.14)

Le soluzione delle equazioni del moto nelle nuove coordinate e Q(t) = Q(0)+t, P (t) = P (0)e tradotta nella coordinate iniziali diventa

q =1

2g(Q(0) + t)2 − P

g=

1

2g

(p(0)

g+ t

)2

− E

g=

1

2gt2 + p(0)t + q(0) (17.4.15)

Scegliendo E uguale a una funzione arbitraria di P il risultato non cambia. L’arbitrarietanella scelta di E(P ) e dovuta al fatto che una funzione regolare di un integrale primo eancora un integrale primo.

Campo centrale

L’equazione di Hamilton Jacobi per l’hamiltoniana H = 12m (p2

r + p2φ/r2)+V (r) del campo

centrale si scrive1

2m

(∂W

∂r

)2

+1

2mr2

(∂W

∂φ

)2

+ V (r) = E (17.4.16)

ed ammette una soluzione della forma W = W1(r, E, Pφ) + φPφ dove W1 e dato da

W1(r, E, Pφ) =

∫ r

pr(r′, E, Pφ)dr′ =

√2m

∫ r(E −

P 2φ

2mr′2 − V (r′)

)1/2

dr′ (17.4.17)

Le equazioni di trasformazione pφ = ∂W/∂φ e pr = ∂W/∂r, invertite rispetto a Pr e Pφ

forniscono i due integrali primi del problema. Se E = E(Pr) le nuove coordinate sono

Qr =∂W

∂Pr=

∂W1

∂E

∂E

∂Pr=

∂E

∂Pr

√m

2

∫ r(E −

P 2φ

2mr′2 − V (r′)

)−1/2

dr′

Qφ =∂W

∂Pφ= φ +

∂W1

∂Pφ= φ − Pφ√

2m

∫ r(E −

P 2φ

2mr′2 − V (r′)

)−1/2 dr′

r′2

(17.4.18)

e la loro di legge di evoluzione e Qr = Qr(0) + t ∂E∂Pr

, Qφ = Qφ(0). Queste equazionidefiniscono implicitamente la legge oraria e l’equazione dell’orbita in accordo con (3.1.14)e (3.2.14). Nella seconda equazione il segno e opposto perche dr/dφ > 0 mentre in (3.2.14)si e scelto du/dφ > 0 dove u = r−1.

c©88-08- 9820 17.5. Separabilita 343

17.5. SEPARABILITA

L’equazione di Hamilton-Jacobi (17.4.7) si integra se la soluzione e esprimibile come sommadi funzioni di una sola variabile.

W (q,P) =d∑

k=1

Wk(qk,P) (17.5.1)

Ciascuna funzione Wk soddisfa una equazione differenziale ordinaria, integrabile per sepa-razione di variabili. Consideriamo alcune strutture funzionali dell’hamiltoniana che con-sentono di esprimere la soluzione nella forma (17.5.1); ogni hamiltoniana con questa pro-prieta si dice separabile.

Separabilita esplicita

L’hamiltoniana ha la forma

H(q, p) = K(H1(q1, p1), H2(q2, p2), . . . , Hd(qd, pd)) (17.5.2)

e la equazione di Hamilton-Jacobi con la scelta (17.5.1) si scrive

K

(H1

(q1,

dW1

dq1

), . . . , Hd

(qd,

dWd

dqd

))= E (17.5.3)

Una soluzione si ottiene imponendo che ogni Wk soddisfi la equazione differenziale ordinaria

Hk

(qk,

∂Wk

∂qk

)= Ek (17.5.4)

dove le costanti Ek, che sono funzioni arbitrarie delle P, soddisfano l’equazione

E = K(E1, . . . , Ed) (17.5.5)

Detto pk = pk(qk, Ek) il momento definito implicitamente da Hk(qk, pk) = Ek la funzioneWk e espressa da

Wk =

∫ qk

pk(q′k, Ek)dq′k (17.5.6)

Dal punto di vista geometrico il sistema e una collezione di d sistemi indipendenti conhamiltoniane, H1, . . . , Hd, come nel caso additivo H = H1 + . . . + Hd. La dipendenza nonlineare di H da H1, . . . , Hd, influisce solo sulla legge del moto dell’orbita in ciascun piano difase, non sulla geometria delle orbite. Le Ek sono interpretabili come le energie di ciascunsottosistema; l’energia e additiva solo sa H e la somma delle hamiltoniane H1, . . . , Hd.L’hamiltoniana Hi di ciascun sottosistema e un integrale primo poiche [Hi, H] = 0, vedi

344 17 Proprieta dell’azione c©88-08- 9820

(18.2.4). Gli integrali primi Hi sono indipendenti ed i flussi corrispondenti commutano,poiche [Hi, Hk] = 0. Le equazioni di Hamilton sono

qi =∂K

∂Hi

∂Hi

∂pi, pi = − ∂K

∂Hi

∂Hi

∂qi, (17.5.7)

ed i fattori costanti ∂K/∂Hi introducono un fattore di scala nel tempo per il moto suciascun piano di fase. Questo fattore di scala, diverso per ciascun piano di fase, dipendedalle energie E1, . . . , Ed di tutti i sottosistemi. Se le orbite sono chiuse, le frequenze delmoto dipendono dalle energie e percio dalle condizioni iniziali di tutti i sottosistemi.

Separabilita implicita

Se l’equazione H(q,p) = E si puo riscrivere nella forma

Φ(H1(q1, p1, E), . . . , Hd(qd, pd, E)) = 0 ((17.5.8)

e ancora separabile e ogni funzione Wk soddisfa

Hk

(qk,

∂Wk

∂qk, E

)= Ek (17.5.9)

dove le costanti Ek, funzioni arbitrarie dei nuovi momenti, sono vincolate da

Φ(E1, . . . , Ed) = 0 (17.5.10)

Un caso tipico che sara discusso nel prossimo paragrafo usando coordinate paraboliche edellittiche e dato da

H =h1(q1, p1) + . . . + hd(qd, pd)

f1(q1) + . . . + fd(qd)(17.5.11)

La equazione H = E si riscrive nella forma

Φ = H1(q1, p1, E) + . . . + Hd(qd, pd, E) = 0, Hk(qk, pk, E) = hk(qk, pk) − E fk(qk)(17.5.12)

Un’altra struttura funzionale che porta ancora alla separabilita e quella che si incontra perl’hamiltoniana del campo centrale scritto in coordinate polari

H = K(q1, p1, H2

(q2, p2, H3(q3, p3)

) )(17.5.13)

e lo schema che porta alla separazione e il seguente

H3(q3, p3) = E3, H2(q2, p2, E3) = E2, H(q1, p1, E2) = E (17.5.14)

c©88-08- 9820 17.6. Famiglie di hamiltoniane separabili 345

17.6. FAMIGLIE DI HAMILTONIANE SEPARABILI

Consideriamo alcuni sistemi di coordinate in cui l’equazione di Hamilton-Jacobi e separa-bile per potenziali di particolare interesse fisico. Oltre alle coordinate polari esaminiamo lecoordinate paraboliche ed ellittiche che permettono di separare le hamiltoniane dell’effettoStark e di un pianeta attorno a una stella doppia o della molecola H+

2 . Le coordinatesotto considerate sono curvilinee ortogonali perche definiscono famiglie di superfici le cuinormali sono in ogni punto tra loro ortogonali

Coordinate cilindriche

L’hamiltoniana nelle coordinate (ρ, φ, z) dove (ρ, φ) sono le coordinate polari nel piano(x, y) si separa se il potenziale e della forma V (ρ) + U(z) e l’hamiltoniana si scrive

H =p2

z

2m+

p2ρ

2m+

p2φ

2mρ2+ V (ρ) + U(z) (17.6.1)

ed e la somma di una hamiltoniana di campo centrale nelle variabili (ρ, φ), discusso nelparagrafo 17.4 e di una hamiltoniana dipendente da z e pz

Coordinate paraboliche

Consideriamo la trasformazione

ξ =√

x2 + y2 − x x =η − ξ

2

η =√

x2 + y2 + x y =√

ξη

(17.6.2)

ove le linee coordinate ξ = c1, η = c2 sono parabole ortogonali tra loro. Una lagrangianaL = 1

2 m (x2 + y2) − V (x, y) diventa

L =m

8

[ξ2 ξ + η

ξ+ η2 ξ + η

η

]− V (17.6.3)

Se il potenziale ha la forma seguente

V =a(√

x2 + y2 − x) + b(√

x2 + y2 + x)

2√

x2 + y2=

a(ξ) + b(η)

ξ + η(17.6.4)

allora la equazione di Hamilton-Jacobi si separa poiche l’hamiltoniana assume la forma

H =2

m

ξp2ξ + ηp2

η

ξ + η+

a(ξ) + b(η)

ξ + η(17.6.5)

346 17. Proprieta dell’azione c©88-08- 9820

Esempi di potenziali separabili sono x(x2 + y2)−1/2 e anche (2x2 + y2)(x2 + y2)−1/2.

Coordinate cilindrico-paraboliche

Si parte da un lagrangiano in coordinate cilindriche (ρ, φ, z) e si introducono coordinate

paraboliche per (ρ, z). Qui ρ =√

x2 + y2 e con r =√

ρ2 + z2 indichiamo la distanzadall’origine. La trasformazione e

ξ =√

ρ2 + z2 − z = r − z z =η − ξ

2

η =√

ρ2 + z2 + z = r + z ρ =√

ξη

(17.6.6)

Se il potenziale ha la forma

V =a(r − z) + b(r + z)

2r=

a(ξ) + b(η)

ξ + η(17.6.7)

l’hamiltoniana si separa poiche si scrive

H =2

m

ξp2ξ + ηp2

η

ξ + η+

p2φ

2m

ξ−1 + η−1

ξ + η+

a(ξ) + b(η)

ξ + η(17.6.8)

Di interesse fisico e l’hamiltoniana di un atomo di idrogeno in campo elettrico costante ilcui potenziale si scrive

V = −α

r+ z = − 2α

ξ + η+

η − ξ

2=

1

2

η2 − ξ2 − 4α

ξ + η(17.6.9)

Coordinate ellittiche

Si considerino sull’asse x due punti equidistanti A1 = (−σ, 0) e A2 = (σ, 0).

r1 = PA1 =√

(x + σ)2 + y2, r2 = PA2 =√

(x − σ)2 + y2 (17.6.10)

Si introducono le coordinate curvilinee ortogonali

ξ =r1 + r2

2σx = σ ξη

η =r1 − r2

2σy = σ

√(ξ2 − 1)(1 − η2)

(17.6.11)

dove ξ > 1 e η < 1. Le linee coordinate ζ = c1 e η = c2 sono ellissi ed iperboli con fuochiin A1 ed A2, vedi paragrafo 3.3. Una lagrangiana L = (2m)−1(x2 + y2) − V (x, y) diventa

L =mσ2

2

[ξ2

ξ2 − 1(ξ2 − η2) +

η2

1 − η2(ξ2 − η2)

]− V (17.6.12)

c©88-08- 9820 17.6. Famiglie di hamiltoniane separabili 347

Se il potenziale ha la forma

V =a(ξ) + b(η)

ξ2 − η2=

σ2

r1r2

[a

(r1 + r2

2σ

)+ b

(r1 − r2

2σ

)](17.6.13)

l’hamiltoniana risulta separabile e si scrive

H =1

2mσ2

p2ξ(ξ

2 − 1) + p2η(1 − η2)

ξ2 − η2+

a(ξ) + b(η)

ξ2 − η2(17.6.14)

Un caso di rilievo e quello di una particella nel potenziale gravitazionale o coulombiano didue particelle poste in A1 ed A2. In tal caso

V = −α1

r1− α2

r2= − 1

ξ2 − η2

[α1 + α2

σξ +

α2 − α1

ση

](17.6.15)

e quindi della forma (17.6.13).

Coordinate cilindrico-ellittiche

Si considerino sull’asse z due punti equidistanti A1 = (0, 0,−σ) e A2 = (0, 0, σ). Se

(ρ, φ, z) sono le coordinate cilindriche di un punto P e se r =√

ρ2 + z2 e la sua distanzadall’origine, le distanze r1, r2 da A1 e A2 sono

r1 = PA1 =√

(z + σ)2 + ρ2, r2 = PA2 =√

(z − σ)2 + ρ2 (17.6.16)

Si passa da (ρ, z) a coordinate ellittiche (ξ, η) come in (17.6.11) ponendo z = σξη, ρ =σ√

(ξ2 − 1)(1 − η2) e lasciando l’angolo φ come terza coordinata. L’hamiltoniana, checontiene un termine aggiuntivo dato dal potenziale centrifugo, e ancora separabile se V hala forma (17.6.13) e si scrive

H =1

2mσ2

p2ξ(ξ

2 − 1) +p2

φ

ξ2 − 1+ p2

η(1 − η2) +p2

φ

1 − η2

ξ2 − η2+

a(ξ) + b(η)

ξ2 − η2(17.6.17)

Nel caso dei due centri si ha ancora a(ξ) = −ξ (α1 + α2)/σ e b(η) = −η (α2 − α1)/σ.

Coordinate polari

Le coordinate polari nello spazio sono date da

x = r sin θ cosφ, y = r sin θ sinφ, z = r cos θ (17.7.18)

dove θ ∈ [0, π], φ ∈ [0, 2π]. La lagrangiana si scrive

L =m

2r2 +

m

2r2θ2 +

m

2r2 sin2 θ φ2 − V (r, θ, φ) (17.6.19)

348 17. Proprieta dell’azione c©88-08- 9820

Se il potenziale e del tipo

V = U(r) +a(θ)

r2+

b(φ)

r2 sin2 θ(17.6.20)

l’hamiltoniana risulta separabile secondo (17.5.13) e si scrive

H =1

2mr2

(r2p2

r + 2mU(r) + p2θ + 2ma(θ) +

p2φ + 2mb(φ)

sin2 θ

)(17.6.21)

Hamiltoniane di Stackel

Una famiglia di hamiltoniane integrabili si ottiene a partire da una matrice invertibile A(q)la cui la colonna k dipende solo dalla coordinata omologa Aik(qk)

Hm(q,p) =∑

k

(A−1)mk(q) fk(qk, pk) (17.6.22)

Da Hm(q,p) = Em(P) segue una equazione di Hamilton-Jacobi separabile se si utilizza laseguente identita

Em =∑

ℓ

Eℓ δℓ,m =∑

ℓ,k

Eℓ Aℓk (A−1)mk (17.6.23)

Infatti sostituendo ad Hm la sua espressione (17.6.22) si ottiene

∑

k

(A−1)mk

(fk(qk, pk) −

∑

ℓ

Eℓ Aℓk(qk))

= 0 (17.6.24)

e la generatrice W =∑

k Wk(qk,P) che trasforma Hm(q,p) in Em(P) si determina risol-vendo le equazioni

fk

(qk,

∂Wk

∂qk

)=∑

ℓ

Eℓ Aℓk(qk) (17.6.25)

Le funzioni Hm formano un insieme completo di integrali primi in involuzione [Hm, Hn] = 0per m 6= n, vedi paragrafo 18.2. Infatti la funzione W e la generatrice di una trasformazionecanonica e scegliendo Em(P) = Pm le parentesi di Poisson tra Hm diventano quelle trai nuovi momenti Pm, che sono nulle. Quando fk(qk, pk) = pk la generatrice e W =∑

ℓk Pℓ

∫ qkAℓk(q′k) dq′k e la trasformazione si scrive

Qi =∑

k

∫ qk

Aik(q′k) dq′k, Pi =∑

k

(A−1)ik(q) pk (17.6.26)

Se inoltre A e costante, si riottiene la trasformazione canonica corrispondente alla trasfor-mazione di coordinate Q = Ap, indicata alla fine del paragrafo 15.1

c©88-08- 9820 17.7. Variabili angolari 349

17.7. VARIABILI ANGOLARI

Per i sistemi separabili in modo esplicito la soluzione della equazione di Hamilton-Jacobie data da (17.5.1) dove Wk sono definiti da (17.5.6). Nel caso di separabilita implicitavalgono le stesse formule con pk(q′k, E, Ek) dove le Ek sono soggette al vincolo (17.5.10).La scelta dei nuovi momenti coniugati resta arbitraria, perche arbitraria e la dipendenza diE1, . . . , Ed da P. Una scelta che rimuove l’arbitrarieta e data dalle variabili definite dallaazione ridotta valutata lungo orbite chiuse indipendenti (cicli base). Queste azioni, definiteintrinsecamente, hanno come coordinate canonicamente coniugate, le variabili angolari θ.

Caso unidimensionale

Si considerano le traiettorie definite da H(q, p) = E, cui corrisponde un moto periodico. Seq e una coordinata cartesiana ad ogni orbita chiusa corrisponde un moto periodico di tipooscillatorio detto librazione. Se q e un angolo, nello spazio delle fasi sono possibili sia orbitechiuse, che corrispondono ad oscillazioni, sia orbite periodiche p(q, E) = p(q + 2π, E), checorrispondono a rotazioni. Sul cilindro anche queste orbite sono chiuse, vedi paragrafo 18.2,ma inequivalenti alle prime. Le coordinate angolo θ e azione , introdotte nel paragrafo2.7, sono definite da

=1

2π

∮p(q, E) dq =

1

2π

∫ϑ(E − H) dq dp, θ =

∂W

∂E

∂E

∂= ωt (17.7.1)

dove ϑ(x) e la funzione a gradino, nulla per x < 0 ed uguale ad 1 per x > 0. L’azione,moltiplicata per 2π, e l’area sottesa dall’orbita ed e una funzione di E che puo essereinvertita in E = E(). La frequenza del moto e ω = ∂E/∂ e si ha ∂W/∂E = t. Comefunzione definita sul piano delle fasi W e multivoca, ma diventa univoca se definita suipercorsi, vedi paragrafo 2.7. Il significato geometrico di W (q, E) e quello dell’area spazzatadal vettore di estremi A = (q, 0), B = (q, p), vedi figura 17.7.1, mentre 2π e l’area totale,corrispondente ad un giro completo. Per interpretare la relazione con l’angolo scriviamoθ/2π come il limite per ∆E → 0 del rapporto tra l’area dell’arco di corona, data da∆W = W (q, E + ∆E) − W (q, E), e l’area 2π ∆ = 2π((E + ∆E) − (E)) della coronacompleta, vedi figura 17.7.1.

L’oscillatore armonico

Per l’oscillatore armonico la cui hamiltoniana e

H =p2

2+ ω2 q2

2(17.7.2)

e l’orbita H = E e una ellisse di semiassi a =√

2E/ω, b =√

2E. L’azione e l’areadell’ellisse divisa per 2π cioe

=1

2ππab =

E

ω(17.7.3)

350 17 Proprieta dell’azione c©88-08- 9820

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@@

CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC

CCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCCC

A

B

A

B

p p

qq

Figura 17.7.1. Significato geometrico di W (q,E) come area (tratteggio scuro), lato sinistro, e dell’angolo

normalizzato θ/2π, lato destro.

Parametrizzando l’ellisse tramite un angolo φ (∗)

q = a cos φ =

√2

ωcos φ, p = −b sinφ = −

√2ω sinφ (17.7.4)

l’azione ridotta W si valuta in modo esplicito e vale

W = 2

∫ φ

0

sin2 φ′ dφ′ = (φ − sinφ cos φ) (17.7.5)

Da (17.7.5) e evidente che W e una funzione ad un solo valore di φ definita sulla retta reale.Se scriviamo φ = 2πn+φ′ dove φ′ = φ mod2π l’azione ridotta W = W0(φ

′)+2nπ diventauna funzione a piu valori di φ′ (coordinata sul toro T, i cui punti sono in corrispondenzabiunivoca con l’orbita). La funzione W0(φ

′) e la sua determinazione principale e n ilnumero di cicli corrispondenti al percorso considerato, vedi paragrafo (2.7). In coordinatecartesiane si ha

W (q, ) =

arc cosq√

ω√2

− q

2

√2ω − ω2q2 + 2πn p < 0

2π − arc cosq√

ω√2

+q

2

√2ω − ω2q2 + 2πn p > 0

(17.7.6)

L’angolo θ coniugato all’azione si ottiene derivando W (q, E) rispetto a

θ =∂W

∂=

arcosq√

ω√2

+ 2πn p < 0

2π − arcosq√

ω√2

+ 2πn p > 0

(17.7.7)

(∗) Questa scelta corrisponde a prendere come positivo il verso orario di rotazione sul cerchio, che e

quello lungo cui il punto si muove. La scelta piu comune del verso antiorario porta alla parametrizzazione

q=√

2Eω−1 sin φ, p=√

2E cos φ.

c©88-08- 9820 17.7. Variabili angolari 351

e si vede che θ = φ. Notiamo che W dato da (17.7.6) e una funzione generatrice F2; lageneratrice di tipo 1 e data da

F1 = F2 − θ = − sin θ cos θ = −ωq2

2tan θ (17.7.8)

se a si sostituisce ωq2/2 cos2 θ in accordo con (17.7.4). Allo stesso risultato si pervieneintegrando la forma differenziale esatta dF1 = pdq − dθ.

Caso multidimensionale

Se l’equazione di Hamilton-Jacobi e separabile in modo esplicito le azioni e gli angoli sonodefinite da

k =1

2π

∮pk(qk, Ek)dqk, θk =

∂Wk

∂k=

∂Wk

∂Ek

∂Ek

∂k(17.7.9)

e la nuova hamiltoniana e

H(1, . . . , d) ≡ K(E1(1), . . . , Ed(d)) = E (17.7.10)

In questo case le frequenze del moto ∂H/∂k per il sistema accoppiato sono diverse dallecorrispondenti frequenze ∂Ek/∂k del sistema disaccoppiato. Se il sistema e separabile manon esplicitamente, si possono ancora definire le variabili azione ed angolo θi, i passandoattraverso un sistema di coordinate normali Qi, Pi, nelle quali la proiezione dell’orbitasu ciascun piano di fase diventa un cerchio. Si definisce ciclo base Γi il percorso, chelascia inalterate le coordinate su tutti i piani di fase tranne Qi, Pi, dove vien descrittauna circonferenza completa parametrizzata da Qi =

√2Ji cos θi e Pi = −

√2Ji sin θi. (il

ciclo base non e un’orbita descritta dal sistema durante il suo moto, a meno che tutte lefrequenze tranne ωi si annullino). L’azione puo essere definita nel sistema di coordinateiniziali, perche la trasformazione alle coordinate normali e canonica e quindi per il teoremadi Poincare Cartan si ha

Ji ≡1

2π

∮PidQi =

1

2π

∮

Γi

d∑

ℓ=1

pℓdqℓ ≡ i (17.7.11)

ed e quindi la somma delle aree dei domini che, sui vari piani coordinati, hanno comebordo la proiezione del ciclo base. Riesprimendo W come funzione delle azioni 1, . . . , d,si calcolano gli angoli θk = ∂W/∂k e si verifica che questi variano di 2π solo quando sidescrive il ciclo base base corrispondente

(∆θk)Γi=

d∑

ℓ=1

∮

Γi

∂pℓ

∂kdqℓ =

∂

∂k

∮

Γi

d∑

ℓ=1

pℓdqℓ = 2π∂i

∂k= 2πδik (17.7.12)

L’azione ridotta W =∫ ∑

pidqi e una funzione multivoca esprimibile come somma di unadeterminazione principale W0 e di un contributo n11 + . . . + ndd, dove nk e il numero divolte che vien percorso il ciclo base Γk.

352 17 Proprieta dell’azione c©88-08- 9820

Oscillatori accoppiati

Come esempio consideriamo un sistema di oscillatori accoppiati la cui hamiltoniana siaH = 1

2p2i + 1

2

∑i,k Vikqiqk, dove V e una matrice definita positiva. In coordinate normali il

moto e periodico in ciascun piano di fase mentre e quasi periodico nelle coordinate iniziali.Se ω2

i sono gli autovalori di V e R e la matrice ortogonale che la diagonalizza, le coordinatenormali ed i corrispondenti momenti sono definiti da q = RQ e p = RP. Nelle nuovecoordinate l’hamiltoniana diventa H = 1

2

∑i(P

2i + ω2

i Q2i ) e la trasformazione alle variabili

angolo e azione e definita da Qi = (2Ji/ωi)1/2 cos θi e da Pi = −(2Jiωi)

1/2 sin θi. Lecoordinate ed i momenti iniziali come funzione delle coordinate angolari sono date da

qi =∑

k

Rik (2Jk/ωk)1/2 cos θk, pi = −∑

k

Rik (2Jkωk)1/2 sin θk, (17.7.13)

Se si tengono fissi tutti gli angoli tranne uno θi, al variare di questo tra 0 e 2π, l’orbitadescrive un ciclo base sul toro. Possiamo verificare che l’azione i definita da (17.7.11) nellecoordinate iniziali come integrale sul ciclo base Γi parametrizzato dall’angolo θi, coincidecon l’azione Ji = (2π)−1

∮PidQi, definita come area nel piano delle coordinate normali

(Qi, Pi)

i =1

2π

∫ 2π

0

∑

ℓ

pℓ∂qℓ

∂θidθi =

∑

ℓ

∑

k,k′

RℓkRℓk′2(ωk′

ωkJkJk′

)1/2 δik

2π

∫ 2π

0

sin θk′ sin θi dθi =

=∑

ℓ

∑

k,k′

RℓkRℓk′

(ωk′

ωkJkJk′

)1/2

δikδik′ =∑

ℓ

RℓiRℓiJi = J i

(17.7.14)