Cardioidi: propriet a e applicazioni

Cardioidi: proprieta e applicazioni

Riccardo Minisola

Siamo quasi tenebra,l’unica cosa che ci resta

sono i ricordi.Jon Kalman Stefansson

A Manuela,alla fine tutto torna a te.

Introduzione

La natura e forse l’esempio piu lampante di ottimizzazione dei risultati. Ognigiorno, anche se non ce ne accorgiamo, ci troviamo di fronte ad ingegnosi sistemiche l’evoluzione ha trovato per arrivare al miglior compromesso tra funzionalita,stabilita e conservazione dell’energia. Possiamo citare, come esempi, i risultatiottenuti da Joseph Plateau sulla stabilita di un liquido saponato1, e quindi irisultati sulle superfici minime, o l’applicazione della curva cicloide alla cadutadi un grave. L’esempio piu vicino a noi e comunque il nostro corpo, trasformatoda millenni di evoluzione in un sinonimo di estrema (anche se non perfetta)funzionalita. Studi condotti non solo da matematici, ma anche da fisici e biolo-gi2, portano a credere che ogni componente del nostro corpo abbia la forma cheha proprio perche l’evoluzione naturale ha trovato in quella struttura il migliorcompromesso tra fuzionalita e dispendio ottimale di energia.

L’organo da cui prende il nome la curva che andremo a studiare in questatesi e l’esempio lampante di quanto detto prima. Nell’uomo, cosı come negli al-tri mammiferi e persino nei pesci, per quanto con un sistema di funzionamentodifferente e differenti dimensioni, il cuore mantiene sempre la stessa forma. Maperche questa forma, e non una struttura sferica o cubica? I risultati3 suggeri-scono che la configurazione ventricolare e un compromesso tra la forma sferica,che necessiterebbe minore energia per il riempimento diastolico del ventricolo,e una forma tubolare che permetterebbe la massima conversione della tensionesistolica del miocardio in pressione cavitaria. La topografia ventricolare si svi-luppa quindi in quella geometria che permette il minimo dispendio energeticonell’economia complessiva del sistema cardiovascolare.

La curva a forma di cuore e stata oggetto di ampi studi da parte dei piugrandi esponenti della matematica per le sue qualita geometriche e fisiche moltointeressanti. Secondo Raymond Clare Archibald venne definita per la primavolta, con la dimostrazione di alcune sue proprieta geometriche come lunghezzae area4, probabilmente attorno al 1691 a opera di Jacob Ozanam. Il nomecardioide appare per la prima volta nel 1707 nell’opera di Philippe de La Hire,che la genera come caso particolare della concoide a base circolare, notandoanche come si trattasse di un caso particolare della lumaca di Pascal. Il nome

1Statique experimentale et theorique des liquides soumis aux seules forces moleculaires,1873

2Jacques Monod, Il Caso e la Necessita, Oscar Mondadori, 2001.3Hutchins, Bulkley, Moore, Piasio, Shape of the Human Cardiac Ventricles, The American

Journal of Cardiology, pp.646-654 vol. 41 issue 4, April 1978, Elsevier.4Data la parametrizzazione

(x = 2a cos t(1 + cos t), 2a sin t(1 + cos t))

si ha area 6πa2 e lunghezza 16a.

5

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proposto da de La Hire viene universalmente accettato su indicazione di JohannCastillon5. Al di fuori della matematica, con risultati in geografia astronomicae in fisica, troviamo importanti lavori di Adolphe Quetelet, Edmond NicolasLaguerre, e addirittura del fisico James Clerk Maxwell.

Negli ultimi due decenni, la cardioide appare in questioni di Algebra Compu-tazionale, dove hanno particolare interesse le curve algebriche piane razionali ounicursali per le quali e possibile determinare parametrizzazioni date mediantepolinomi o rapporti tra polinomi, funzioni che i calcolatori possono elaborarecon una certa facilita. In altre parole, sebbene essi non siano certo le funzionipiu complicate che un computer sia in grado di gestire, con i polinomi si ottieneil migliore rapporto tra qualita del risultato cercato e tempo di elaborazionedegli algoritmi. Risulta, come vedremo, che le curve di genere 0 sono razionalie che la cardioide gode di questa proprieta.

Nel Capitolo 1 accenneremo proprio ad alcuni risultati di questi studi recen-ti: introdurremo alcune definizioni e richiameremo delle proprieta di GeometriaAffine e Proiettiva, accompagnandole con semplici esempi. Mostreremo poi unimportante teorema, relativo alla teoria delle curve algebriche, secondo il qualeuna curva e razionale se e soltanto se e di genere 0 e vedremo attraverso calcoliespliciti che la cardioide e una delle curve che soddisfa tale teorema. Il conte-nuto di questo capitolo e basato sui lavori di Franz Winkler, Michal Bizzarri eMiroslav Lavicka, con riferimento a [Winkler 1, Winkler 2, Bizzarri Lavicka]. IlCapitolo 2 e dedicato ad alcuni risultati della Geometria Differenziale classicadelle curve, con particolare riferimento ad alcune classi di curve piane. Di talirisultati ci serviremo nel Capitolo 3 dove analizzeremo alcune proprieta classi-che della cardioide. Per una trattazione piu esauriente del materiale contenutonei Capitoli 2 e 3 si vedano [Caddeo Gray, Archibald]. Il Capitolo 4 contienealcune curiosita relative alla cardioide e ad altre curve simili.

5Johann Castillon, Ph. Trans. of Royal Society, 1741.

Indice

Introduzione 5

1 Cenni sulle Curve Razionali 11

2 Curve in Rn 172.1 Lunghezza di una curva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.2 Curvatura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2.1 Curvatura in R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.3 Alcune classi notevoli di curve piane . . . . . . . . . . . . . . . . 23

2.3.1 Concoidi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 232.3.2 Epiciclodi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.3.3 Podarie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

3 Cardioidi 293.1 Un po’ di storia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.2 Definizione e Proprieta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.3 Il lavoro di Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

4 Curve ornamentali 354.1 Altre curve a cuore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 354.2 Trifoglio di Brocard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.3 Variazioni grafiche sulla cardioide . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

Ringraziamenti 41

Bibliografia 43

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Elenco delle figure

1.1 Esempio di cubica di genere 1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131.2 Ricerca dei punti singolari di una cardioide . . . . . . . . . . . . 14

2.1 Costruzione della concoide di Nicomede . . . . . . . . . . . . . . 232.2 Concoidi di Nicomede . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 242.3 Lumache di Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.4 Costruzione di un’epicicloide. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.5 Parametrizzazione dell’epicicloide . . . . . . . . . . . . . . . . . . 272.6 Costruzione di una podaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

3.1 Cardioide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.2 Costruzione di una cardioide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.3 Tangenti e normali la cardioide . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.4 Cardioide come podaria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 323.5 Cardioide disegnata dal riflesso della luce sulla superficie del latte 34

4.1 Altre curve a cuore . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.2 n-fogli di Brocard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 374.3 Cardioide come inviluppo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.4 Variazione sulla costruzione di Pedoe . . . . . . . . . . . . . . . . 384.5 Cardioide col metodo di Cremona . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.6 Variazione sulla costruzione di Cremona . . . . . . . . . . . . . . 39

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Capitolo 1

Cenni sulle Curve Razionali

Fin dai primi passi della Geometria Algebrica, curve e superfici algebrichehanno un ruolo centrale nello sviluppo della teoria. L’invenzione dei computerha portato ad applicazioni fondamentali della teoria delle curve algebriche incampi come la Visione Artificiale per la robotica e la biologia e la Progettazionee Produzione Computer-Assistita (CAD e CAM) per l’architettura, l’ingegne-ria, l’industria e la medicina. Proprio a causa di questi sviluppi si e avuta lanecessita di trovare per curve e superfici la parametrizzazione piu adatta a unaelaborazione tramite computer. E noto dall’Analisi Numerica che tra le funzionipiu facilmente elaborate dai calcolatori ci sono i polinomi di grado qualsiasi inun qualsiasi numero di indeterminate. Sebbene essi non siano certo le funzionipiu complicate che un computer sia in grado di gestire, i polinomi restano quelleper le quali si ottiene il miglior rapporto tra qualita del risultato cercato e tempodi elaborazione degli algoritmi.

Hanno quindi particolare interesse le curve algebriche per le quali e possi-bile determinare una parametrizzazione data mediante polinomi o rapporti trapolinomi. Una parametrizzazione di questo tipo e detta razionale e la curvarazionale o unicursale. Uno studio approfondito delle curve razionali viene ef-fettuato con l’ausilio della Geometria Proiettiva e va al di la delle finalita diquesta tesi. Ciononostante menzioneremo qualche definizione e alcuni risul-tati di questa teoria, per mettere in evidenza una proprieta che caratterizzale curve algebriche piane che possono essere descritte mediante parametrizza-zioni razionali. Per trattazioni piu ampie e dettagliate si possono consultare[Winkler 1, Winkler 2, Bizzarri Lavicka], dove appare anche l’intento applicativodella teoria esposta.

La proprieta in questione e data dal seguente

Teorema 1.1. Una curva algebrica ammette una parametrizzazione razionalese e solamente se e di genere 0.

Vogliamo spiegare brevemente l’affermazione contenuta nel teorema e farequalche esempio. Premettiamo alcuni richiami sulla teoria delle curve algebri-che piane. Indichiamo con K un campo algebricamente chiuso a caratteristica01, con K[x, y] (rispettivamente K[x, y, z]) l’anello dei polinomi a variabili x, y(rispettivamente x, y, z) e con A2(K), P2(K) rispettivamente il piano affine eproiettivo.

1Un campo, cioe, in cui m · 1 6= 0, per ogni m 6= 0.

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12 CAPITOLO 1. CENNI SULLE CURVE RAZIONALI

Definizione 1.1. Dicesi curva affine algebrica piana su A2(K) il luogo C dipunti (x, y) ∈ K2 tali che f(x, y) = 0, dove f(x, y) ∈ K[x, y]. Il polinomiof(x, y) prende il nome di polinomio associato alla curva C.

Una curva C puo essere definita da piu polinomi. Due polinomi definisconola stessa curva se e solamente se hanno gli stessi fattori privi di quadrati.

Esempio 1.1. La circonferenza unitaria puo essere definita dal polinomio x2 +y2 − 1 o dal polinomio (x2 + y2 − 1)2.

Definizione 1.2. Una curva proiettiva algebrica piana C∗ su P2(K) e l’insie-me delle radici del polinomio omogeneo f∗(x, y, z) ∈ K[x, y, z]. Il polinomiof∗(x, y, z) e detto polinomio associato alla curva C∗ e omogeneo del polinomiof(x, y).

Definizione 1.3. L’ordine della curva C e definito come

ord(C) = gr(f)

cioe l’ordine (o grado) della curva e uguale al grado del polinomio ad essaassociato.

Definizione 1.4. Una curva C si dice irriducibile se

f(x, y) = k · g(x, y)r r > 1 k ∈ K \ {0}

con g(x, y) polinomio irriducibile. Se non e irriducibile, C si dice riducibile.

Esempio 1.2. L’iperbole x2−y2−1 = 0 e una curva di ordine 2. La curva definitada x4 + y3x− 7xy+ 1 = 0 e di ordine 4. L’iperbole e una curva irriducibile. Lacurva definita da x2 − y2 = 0 e riducibile.

Lemma 1.2. Ogni curva affine su A2(K) ha associata una curva del pianoproiettivo P2(K).

Dimostrazione. Data l’equazione f(x, y) = 0 di C, possiamo ottenere C∗ diequazione f∗(x, y, z) = 0 come

f∗(x, y, z) = fn(x, y) + fn−1(x, y)z + · · ·+ fn−k(x, y)zk + · · ·+ f0(x, y)zn

dove n = gr(f) e fk e il monomio di grado k di f(x, y).

Esempio 1.3. La parabola definita da f(x, y) = ax2+bx−y+c ha associata, nelpiano proiettivo, la curva f∗(x, y, z) = ax2+bxz−yz+cz2 = 0. La circonferenzadefinita da g(x, y) = x2 +y2 +ax+by+c ha come associata nel piano proiettivog∗(x, y, z) = x2 + y2 + (ax+ by)z + cz2.

Definizione 1.5. Sia C∗ una curva su P2(K) data da f∗(x, y, z) = 0. Un puntoP ∈ C∗ e un punto semplice se

∂f∗

∂x(P ) 6= 0 oppure

∂f∗

∂y(P ) 6= 0 oppure

∂f∗

∂z(P ) 6= 0

cioe se almeno una delle derivate parziali non si annulla in P . Se P non esemplice, si dice multiplo o di singolarita per C∗. Sia m ∈ N il numero per cuiper ogni i+ j + k < m le derivate parziali

∂i+j+kf∗

∂xi∂yj∂zk(P ) = 0

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ma almeno una delle derivate parziali di ordine m non si annulla, allora P sidice punto di molteplicita m.

Osserviamo che un punto di una curva C∗ su P2(K) definita da f∗(x, y, z) esemplice o multiplo se e soltanto se e tale per la curva affine f(x, y) = f∗(x, y, 1).

Mediante le definizioni di ordine e punto semplice o multiplo si puo definireil genere di una curva.

Definizione 1.6. Sia C∗ una curva irriducibile di grado n su P2(K) e sianoP1, . . . , Pk i suoi punti singolari di molteplicita r1, . . . , rk. Il genere di C∗ edefinito come

genus(C∗) =1

2

((n− 1)(n− 2)−

k∑i=1

ri(ri − 1)

). (1.1)

Il genere di una curva affine C e uguale al genere della curva proiettiva associataC∗ ad essa associata.

Si puo dimostrare che per ogni curva irriducibile vale la disuguaglianza

k∑i=1

ri(ri − 1) ≤ (n− 1)(n− 2).

Quindi il genere di una curva algebrica irridicibile e un numero intero nonnegativo.

Esempio 1.4. Ci sono molti esempi di curve notevoli di genere 0. Sono di generezero le coniche non degeneri (essendo di ordine 2 si ha 1

2 (2− 2)(2− 1) = 0) e lecubiche irriducibili aventi un punto doppio ( 1

2 [(3−1)(3−2)−2] = 0). La cubicax3 + y3 − 1 = 0 non ha punti doppi (come si vede dalla Figura 1.1) quindi e digenere 1.

Figura 1.1: Esempio di cubica di genere 1

Consideriamo adesso la cardioide, curva di ordine 4 di equazione

f(x, y) = (x2 + y2 − 2ax)2 − 4a2(x2 + y2) = 0 (1.2)

e calcoliamo esplicitamente i suoi punti singolari: le derivate prime sono

∂f

∂x= 4x3 + 4xy2 − 12ax2 − 4ay2

∂f

∂y= 4y3 + 4x2y − 8axy − 8a2y

(1.3)

14 CAPITOLO 1. CENNI SULLE CURVE RAZIONALI

e quelle del second’ordine sono:

∂2f

∂x2= 12x2 + 4y2 − 24ax

∂2f

∂x∂y= 8xy − 8ay

∂2f

∂y2= 12y2 + 4x2 − 8ax− 8a2.

(1.4)

Ricordando la Definizione 1.5, risulta che l’origine (0, 0) e un punto di moltepli-cita 2 della cardioide poiche le derivate prime (1.3) si annullano, ma non tuttele derivate seconde (1.4): infatti non si annulla la derivata seconda rispetto allavariabile y. Se y e diversa da 0, la derivata di f(x, y) rispetto a y si annulla suuna circonferenza che, come si vede nella Figura 1.2, interseca la cardioide in duepunti distinti con x = ±

√a (si vede chiaramente raccogliendo il fattore 4y). In

questi punti la derivata di f(x, y) rispetto a x non si annulla e questi due puntinon sono singolari. Per trovare altre singolarita prendiamo in considerazione la

Figura 1.2: Ricerca dei punti singolari di una cardioide

cardioide proiettiva data da

f∗(x, y, z) = (x2 + y2)2 − 4a(x3 + xy2)z − 4a2y2z2 = 0. (1.5)

Ci interessano quei punti per cui z = 0, cioe quelli per cui si annulla la parte(x2 +y2)2 di grado massimo del polinomio. Chiaramente essi sono quelli per cuiy = −ix o y = ix, ossia i punti ciclici del piano (1, i, 0) e (1,−i, 0). La derivataseconda mista

∂f∗

∂x∂y= 8xy

non si annulla in nessuna delle due singolarita, e pertanto questi punti singolarihanno molteplicita uguale a 2. Abbiamo quindi il seguente

Teorema 1.3. La cardioide ammette (almeno) una parametrizzazione raziona-le.

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Dimostrazione. Calcoliamo il genere della cardioide. Si ha

genus(C) =1

2

((n− 1)(n− 2)−

k∑i=1

ri(ri − 1)

)=

1

2[(4−1)(4−2)−(2+2+2)] = 0.

Quindi, per il Teorema 1.1, risulta che la cardioide e una curva razionale.

Esempio 1.5. Data la cardioide di equazione (x2 + 4y + y2)2 − 16(x2 + y2) =0, si puo verificare con un calcolo diretto che e parametrizzata dalle funzionicomplesse razionali

x(t) = −32−1024i+ 128t− 144it2 − 22t3 + it4

2304− 3072it− 736t2 − 192it3 + 9t4

y(t) = −401024− 256it− 80t2 + 16it3 + t4

2304− 3072it− 736t2 − 192it3 + 9t4.

Ma possiamo trovare anche una parametrizzazione razionale a coefficienti reali,ad esempio

x(t) =−1024t3

256t4 + 32t2 + 1, y(t) =

−2048t4 + 128t2

256t4 + 32t2 + 1.

Come in generale accade per le curve parametrizzate, anche la parametriz-zazione razionale, a differenza della rappresentazione cartesiana implicita, none univoca. A partire da una data equazione implicita possiamo trovare diverseparametrizzazioni razionali, ognuna di esse piu o meno utile all’uso pratico chedobbiamo farne. E facile, comunque, capire se una parametrizzazione razionale epiu o meno buona e modificarla per migliorarne l’utilizzabilita. L’algoritmo perdeterminare una parametrizzazione razionale a partire da un’equazione esplici-ta puo essere assai laborioso (si veda [Winkler 1]). Piu semplice e descrivere ilprocedimento inverso: data la parametrizzazione razionale

x(t) =p(t)

r(t), y(t) =

q(t)

r(t),

vogliamo eliminare il parametro t da queste relazioni facendo in modo che ildenominatore r(t) non si annulli. Abbiamo quindi il sistema di equazioni

x · r(t)− p(t) = 0,

y · r(t)− q(t) = 0,

r(t) · z − 1 = 0.

L’equazione implicita e data da un generatore dell’ideale

I = (x · r(t)− p(t), y · r(t)− q(t), r(t) · z − 1) ∩K[x, y]

che puo essere trovato attraverso l’uso delle basi di Groebner rispetto l’ordinelessicografico x < y < z < t.

L’esempio della cardioide non e scelto a caso: come risulta da [Winkler 1,Winkler 2, Bizzarri Lavicka], la curva di cui e oggetto questa tesi, oltre a farparte da oltre tre secoli dell’elenco delle curve notevoli geometricamente piuinteressanti, e recentemente tornata in auge come curva non elementare sullaquale viene verificata l’efficacia di certi algoritmi nell’ambito della ComputerAlgebra. Vedremo nel seguito alcune proprieta classiche della cardioide.

Capitolo 2

Curve in Rn

In questo capitolo vogliamo richiamare brevemente alcune definizioni e alcunirisultati di cui avremo bisogno nel seguito.

Definizione 2.1. Sia α: (a, b) → Rn un’applicazione con a, b ∈ R e a < b,possiamo scrivere

α(t) = (a1(t), . . . , an(t)) (2.1)

dove a1,. . . , an sono funzioni reali di variabile reale. Se le ai, per ogni i =1, . . . , n, sono differenziabili (differenziabili a tratti) diremo che α e differenzia-bile (differenziabile a tratti).

Definizione 2.2. Diciamo curva parametrizzata un’applicazione differenziabile(eventualmente a tratti)

α : (a, b)→ Rn (2.2)

dove (a, b) e un intervallo aperto di R. Uno o entrambi gli estremi dell’intervallopossono essere all’infinito.

Chiamiamo ancora traccia di α l’insieme dei punti dell’immagine di α. Seper un sottoinsieme S di Rn esiste un intervallo I ⊆ R tale che α : I → Rn e unacurva e α(I) = S, diremo che S e parametrizzato da α. Nel seguito indicheremouna generica curva parametrizzata sia con la scrittura α : (a, b) → Rn sia conla scrittura α(t) = (a1(t), . . . , an(t)).

Definizione 2.3. Sia α(t) = (a1(t), . . . , an(t)) una curva parametrizzata. Ilvettore velocita (o vettore tangente) di α in t e il vettore

α′(t) = (a′1(t), . . . , a′n(t)) (2.3)

La funzione v definita come1 v = ‖α′(t)‖ e detta velocita di α. Il vettoreaccelerazione di α e α′′.

Definizione 2.4. Una curva α : (a, b)→ Rn si dice regolare se e differenziabilee se ‖α′(t)‖ 6= 0, per ogni t ∈ (a, b). Se ‖α′(t)‖ = 1 per ogni t diremo che lacurva α ha velocita unitaria.

1Il calcolo della norma viene effettuato rispetto alla moltiplicazione scalare canonica di Rn.

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18 CAPITOLO 2. CURVE IN RN

Le curve date in questo modo si dicono in forma parametrica. La forma nonparametrica di una curva in Rn e un sistema di n− 1 equazioni

F1(p1, . . . , pn) = · · · = Fn−1(p1, . . . , pn) (2.4)

con p = (p1, . . . , pn) ∈ Rn.Vediamo due esempi semplici di curve in forma parametrica per introdurre

l’ultimo argomento del paragrafo.

Esempio 2.1. La curva piu semplice che e possibile trovare in Rn e la retta. Seessa passa per due punti p e q la sua parametrizzazione naturale e

ρ(t) = (1− t)p + tq, −∞ < t < +∞. (2.5)

Una parametrizzazione unitaria della retta e invece

ρ(s) =(‖p− q‖ − s)p + sq

p− q(2.6)

Esempio 2.2. In R2 l’esempio piu semplice di curva, dopo quello appena visto,e la circonferenza di raggio a e centro (p1, p2) ∈ R2, una cui parametrizzazionepuo essere

γ(t) = (p1 + a cos(t), p2 + a sin(t)) 0 ≤ t < 2π (2.7)

Da questa si ottiene una parametrizzazione a velocita unitaria della circonferen-za ponendo

γ(s) =(p1 + a cos

( sa

), p2 + a sin

( sa

))(2.8)

Si intuisce che, in ognuno dei due esempi precedenti, la parametrizzazionenaturale e quella unitaria definiscono la stessa curva e hanno la stessa traccia.Questo puo succedere anche con parametrizzazioni meno evidentemente legatetra loro. Bisogna quindi capire quando due parametrizzazioni definiscono, ameno di un cambio di variabile o di parametro, la stessa curva.

Definizione 2.5. Siano α: (a, b) → Rn e β: (c, d) → Rn due curve differen-ziabili. Diciamo che β e una riparametrizzazione positiva di α se esiste unafunzione differenziabile h: (c, d)→ (a, b) tale che h′(u) > 0, per ogni u ∈ (c, d),e β = α ◦ h.

Allo stesso modo, diciamo che β e una riparametrizzazione negativa di α seesiste una funzione differenziabile h: (c, d) → (a, b) tale che h′(u) < 0 per ogniu ∈ (c, d) e β = α ◦ h.

Se β e una riparametrizzazione positiva o negativa di α diremo che β e unariparametrizzazione di α.

Tra i vettori velocita di una curva α e di una sua riparametrizzazione c’e unlegame importante.

Lemma 2.1. (Regola della catena per curve) Se β e una riparametrizzazionedi α, vale a dire se β = α ◦ h con h : (c, d)→ (a, b) differenziabile, allora

β′(u) = h′(u)α′ (h(u)) , ∀u ∈ (c, d) (2.9)

Dimostrazione. Discende direttamente dalla regola di derivazione per le funzionicomposte.

2.1. LUNGHEZZA DI UNA CURVA 19

2.1 Lunghezza di una curva

A una generica curva possiamo associare diverse proprieta geometriche. Laprima e piu intuitiva e la lunghezza.

Definizione 2.6. Data una curva α: (a, b)→ Rn, definiamo lunghezza di α laquantita

L(a,b)(α) = L(α) =

∫ b

a

‖α′(t)‖dt (2.10)

La lunghezza di una curva non dipende dalla sua parametrizzazione.

Teorema 2.2. Sia β una riparametrizzazione di α. Allora

L(β) = L(α) (2.11)

Dimostrazione. Dobbiamo considerare sia il caso di una riparametrizzazionepositiva, sia di una riparametrizzazione negativa.

Sia quindi β = α ◦ h con h: (c, d) → (a, b) e h′(u) > 0, per ogni u ∈ (c, d).Per il Lemma 2.1 a pagina 18 abbiamo

‖β′(t)‖ = ‖α′ (h(t)) h′(t)‖ = ‖α′ (h(t)) ‖ |h′(t)| = ‖α′ (h(t)) ‖h′(t)

e tenendo conto della regola per il cambiamento di variabile negli integraliabbiamo

L(α) =

∫ b

a

‖α′(t)‖dt =

∫ d

c

‖α′ (h(u)) ‖h′(u)du =∫ d

c

‖α′ (h(u)) h′(u)‖du =

∫ d

c

‖β′(u)‖du = L(β)

Sia ora β = α◦h con h: (c, d)→ (a, b) e h′(u) < 0, per ogni u ∈ (c, d), allora

‖β′(t)‖ = ‖α′ (h(t)) h′(t)‖ = ‖α′ (h(t)) ‖ |h′(t)| = ‖α′ (h(t)) ‖ (−h′(t))

e il calcolo diventa

L(α) =

∫ b

a

‖α′(t)‖dt =

∫ c

d

‖α′ (h(u)) ‖h′(u)du =

−∫ d

c

‖α′ (h(u)) h′(u)‖du =

∫ d

c

‖β′(u)‖du = L(β)

Definizione 2.7. Sia c un numero fissato con c ∈ (a, b). Diremo ascissacurvilinea sα di una curva α: (a, b)→ Rn a partire da c l’integrale

sα(t) =

∫ t

c

‖α′(u)‖du (2.12)

per t ∈ (c, b). Omettiamo il pedice quando non vi sia pericolo di confusione.

L’ascissa curvilinea indica come varia la lunghezza di una curva al variaredegli estremi di integrazione.


Osservazione 1. Si osservi che dalla definizione discende direttamente

L(d,f)(α) = sα(f)− sα(d) ∀d, f ∈ (a, b)

Teorema 2.3. Sia α: (a, b)→ Rn una curva regolare, allora esiste una ripara-metrizzazione β di α con velocita unitaria.

Dimostrazione. Per il teorema fondamentale del calcolo integrale, la funzioneascissa curvilinea s di α soddisfa alla condizione

ds

dt= s′(t) = ‖α′(t)‖

e dal momento che α e regolare, α′(t) non si annulla mai e dsdt e sempre positiva.

Per il teorema della funzione inversa vale quindi che t → s(t) ammette inversas→ t(s) tale che

dt

ds

∣∣∣∣s(t)

=1

dsdt

∣∣t(s)

Sia quindi β(s) = α (t(s)). Per il Lemma 2.1 a pagina 18 abbiamo

β′(s) =dt

dsα′ (t(s))

da cui

‖β′(s)‖ =

∥∥∥∥ dtds α′ (t(s))∥∥∥∥ =

dt

ds‖α′ (t(s)) ‖ =

dt

ds(s)

ds

dt(t(s)) = 1.

Esempio 2.3. Calcoliamo l’ascissa curvilinea della circonferenza dell’Esempio2.2 a pagina 18. Consideriamo quindi

γ(t) = (p1 + a cos(t), p2 + a sin(t)) 0 ≤ t < 2π

si vede subito cheγ′(t) = (−a sin(t), a cos(t))

per cui

‖γ′(t)‖ =

√a2 sin2(t) + a2 cos2(t) = a.

Dalla definizione di ascissa curvilinea abbiamo

s(t) =

∫ t

0

a du = au|t0 = at.

Si e scelto il valore 0 come uno degli estremi dell’integrale per comodita, maavremmo potuto scegliere qualsiasi altro punto c ∈ [0, 2π). Osserviamo che das(t) = at possiamo ottenere t(s) = s

a e

γ (t(s)) =(p1 + a cos

( sa

), p2 + a sin

( sa

))cioe una parametrizzazione unitaria della circonferenza.

2.2. CURVATURA 21

2.2 Curvatura

Dopo la lunghezza, una delle caratteristiche piu importanti di una curva edi quanto essa si discosti dall’essere una retta. Per misurare questa differenzafacciamo uso della curvatura.

Definizione 2.8. Sia α: (a, b) → Rn una curva con velocita unitaria. Lafunzione κα:(a, b)→ R definita come

κα(s) = ‖α′′(s)‖ , s ∈ (a, b), (2.13)

e detta curvatura di α. Il pedice si omette quando non c’e pericolo di confusione.La quantita ρα = 1

καsi chiama raggio di curvatura di α

Consideriamo la retta come curva di riferimento a conseguenza del seguentelemma.

Lemma 2.4. Sia α: (a, b)→ Rn una curva con velocita unitaria. Allora sonoequivalenti le seguenti affermazioni:

1. κ ≡ 0

2. α′′ ≡ 0

3. α e una retta

Dimostrazione. L’equivalenza di (1) e (2) discende dalla definizione. Per dimo-strare che lo sono anche (2) e (3) supponiamo che α′′ = 0. Integrando (si trattadi un’integrazione di n equazioni differenziali) otteniamo

α(s) = us+ v (2.14)

con u, v vettori costanti e ‖u‖ = 1. Come si vede nell’Esempio 2.1 a pagina 18,questa e una parametrizzazione unitaria di una retta. Viceversa, poiche ogniretta ammette una parametrizzazione unitaria nella forma (2.14) risulta subitoche α′′ = 0.

2.2.1 Curvatura in R2

Dalla Definizione 2.8 discende che la curvatura di una curva in Rn non emai negativa. Tuttavia per le curve in R2 abbiamo una definizione piu fine dicurvatura.

Definizione 2.9. L’endomorfismo J : R2 → R2 definito da

J(x, y) = (−y, x)

e detto struttura complessa di R2.

Geometricamente J corrisponde alla rotazione di un angolo π2 in senso anti-

orario e si vede subito che gode delle seguenti proprieta:


Lemma 2.5. Sia J la struttura complessa di R2. Allora2

J2 = −I(Jp) · (Jq) = p · q

(Jp) · p = 0

dove I e l’applicazione identita e p, q sono punti di R2.

Diamo quindi la seguente definizione:

Definizione 2.10. Sia α: (a, b)→ R2 una curva regolare. La curvatura κ2α diα e definita come

κ2α(t) =α′′(t) · Jα′(t)‖α′(t)‖3

e ρα = 1κ2α

si chiama raggio di curvatura di α.

Lemma 2.6. Se α: (a, b)→ R2 e data nella forma α(t) = (x(t), y(t)), allora

κ2α(t) =x′(t)y′′(t)− x′′(t)y′(t)

(x′2(t) + y′2(t))32

Dimostrazione. Discende direttamente dalla definizione di J e di κ2α.

Per le curve a velocita unitaria, il calcolo della curvatura e piu semplice.

Lemma 2.7. Sia α una curva piana con velocita unitaria, allora

α′′ = κ2αJα′ (2.15)

Dimostrazione. Se si deriva α′ · α′ = 1 si ottiene α′′ · α′ = 0, e dal Lemma 2.5a pagina 22 α′′ deve essere multiplo di Jα′. Dalla Definizione 2.10 a pagina 22segue che il multiplo e proprio κ2α.

La curvatura κ2 viene detta curvatura con segno per distinguerla dallacurvatura κ.

Lemma 2.8. Sia α una curva piana con velocita unitaria. Allora

κα = |κ2α|

Dimostrazione. Dal Lemma 2.7 segue

κα = ‖α′′‖ = ‖κ2αJα′‖ = |κ2α|‖β′‖ = |κ2α|

2Qui e nel seguito con · indichiamo il prodotto scalare di Rn.

2.3. ALCUNE CLASSI NOTEVOLI DI CURVE PIANE 23

2.3 Alcune classi notevoli di curve piane

2.3.1 Concoidi

La Concoide di Nicomede3 e una curva del quart’ordine (per la classificazionegenerale delle curve, e per una trattazione piu esaustiva delle concoidi, si veda[Loria 1]) con poche proprieta geometriche ma che, grazie ai suoi impieghi praticie alla sua importanza nello studio della duplicazione del cubo e della trisezionedell’angolo, e stata inserita, su proposta di Newton, tra le curve fondamentalidella Geometria.

Figura 2.1: Costruzione della concoide di Nicomede

Definizione 2.11. Dati un punto fisso O detto polo, una retta fissa r detta baseed una lunghezza fissa l detta intervallo, si conduca per O una retta arbitrariache intersechi r nel punto M ; a partire da M si porti il segmento MP = l nelverso di OM . Il luogo di punti P cosı descritto prende il nome di prima concoide.Se il segmento MP si porta nel verso opposto, viene generato un secondo luogodi punti chiamato concoide ulteriore. Le due curve, che noi vediamo comeun’unica curva, prendono il nome di concoide.

Lemma 2.9. La rappresentazione in coordinate polari della concoide di Nico-mede e

ρ =a

cosω+ l (2.16)

e quella in coordinate cartesiane e

(x− a)2(x2 + y2)− l2x2 = 0 (2.17)

Dimostrazione. Si assuma O come polo del riferimento polare e la perpendi-colare a O dalla retta di base r come asse polare. Detta a la distanza tra ilpolo e la retta base, l’equazione (2.16) discende immediatamente. L’equazione

3Geometra poco noto nonostante gli importanti risultati sulla duplicazione del cubo e latrisezione degli angoli, vissuto tra il 250 e il 150 a.C.


(a) l > a (b) l = a

(c) l < a

Figura 2.2: Concoidi di Nicomede


(2.17) risulta immediatamente dalla sostituzione usuale x = ρ cos θ, y = ρ sin θ,ρ2 = x2 + y2.

Una possibile parametrizzazione per la concoide di Nicomede e

γ(t) : (a+ l cos t, (a+ l cos t) tan t) .

Si puo generalizzare in maniera naturale questa definizione considerando comebase una circonferenza in luogo di una retta4. In particolare ci interessa quandoil polo giace sulla circonferenza.

(a) l > 2a (b) l < 2a

Figura 2.3: Lumache di Pascal

Definizione 2.12. Siano dati un polo O su una circonferenza C di raggio l eun numero positivo a detto modulo. Sulla circonferenza, che chiameremo base,si prenda una corda qualsiasi OM0 e il proseguimento M0M = l di tale cordain entrambe le direzioni. Il luogo di punti M cosı descritto si chiama concoidedella circonferenza C di polo O e modulo a o lumaca di Pascal5.

Con lo stesso procedimento di prima si vede subito che l’equazione polaredella lumaca di Pascal e ρ = 2a cos θ+ l, che la sua equazione cartesiana risulta(x2 + y2 − 2ax)2 = l2(x2 + y2) e che una sua possibile parametrizzazione e

γ(t) = ((2a cos t+ l) cos t, (2a cos t+ l) sin t) .

2.3.2 Epiciclodi

Una curva molto importante per lo studio della Meccanica Classica e larulletta. Possiamo definire la rulletta, o polare mobile, come il luogo dei puntioccupati nel tempo dai centri istantanei di rotazione di un membro cinematicoin un sistema di riferimento mobile. Detto in altri termini:

4Generalizzazione sicuramente nota agli antichi, formalizzata da Gilles Personne deRobertval e Philippe de La Hire.

5Tale definizione si trova nelle Observations di Roberval, che le diede questo nomeattribuendone la scoperta proprio a Pascal.


Definizione 2.13. Siano date due curve qualsiasi, chiamate rispettivamentebase e generatrice, che abbiano un punto di contatto. Si fissi tale punto P e losi chiami generatore. Si faccia rotolare senza strisciare la generatrice sulla base:il luogo di punti P prende il nome di rulletta.

La definizione di rulletta ne contiene all’interno svariate altre. Proprio acausa della sua generalita non e possibile darne delle equazioni precise. Puoessere ulteriormente generalizzata considerando un punto P qualunque del pianodella generatrice e solidale a essa.

L’epicicloide e un caso particolare di rulletta dove sia la generatrice che labase sono circonferenze con raggi qualsiasi.

Definizione 2.14. Si considerino due circonferenze tangenti esternamente inun punto e si fissi un punto P su una delle due circonferenze, che chiameremogeneratrice, mentre l’altra circonferenza prendera il nome di base. Si facciarotolare senza strisciare la circonferenza generatrice sulla circonferenza di base:il luogo dei punti P e una curva differenziabile che chiameremo epicicloide6.

Figura 2.4: Costruzione di un’epicicloide.

Si osservi la Figura 2.5 per trovare l’equazione parametrica dell’epicicloide.Siano O e C i centri delle due circonferenze di base (di raggio R) e generatrice(di raggio r), siano S il punto di contatto iniziale, B il punto di contatto dopoun certo istante, P il punto fissato sulla generatrice. Sia O l’origine di unriferimento cartesiano e sia l’asse delle ascisse corrispondente alla congiungentei centri dei due cerchi nel momento iniziale. Poiche il rotolamento avviene senzastrisciamento, l’arco SR e di lunghezza pari all’arco BP . Sia θ l’angolo SOB

6Per un esempio animato si veda il codice QR che porta al linkhttp://www.lucciolelanterne.eu/aksjbad/epicycloid1.gif.


tra l’asse delle ascisse e la congiungente i due centri, α l’angolo BCP tra lacongiungente e il raggio CP . I due archi sono dati rispettivamente da Rθ e rα,da cui α = Rθ

r . E evidente, allora, il seguente

Lemma 2.10. L’equazione parametrica dell’epicicloide generata da due circon-ferenze di raggio R e r e data da

x(θ) = (r +R) cos(θ)− r cos

(r +R

rθ

)y(θ) = (r +R) sin(θ)− r sin

(r +R

rθ

). (2.18)

SO

CB

Figura 2.5: Parametrizzazione dell’epicicloide

Le equazioni cartesiana e polare richiedono piu calcoli ma non sono di parti-colare interesse, quindi non vengono date. E evidente che per avere n cuspidi iraggi delle due circonferenze devono essere nel rapporto r = R

n . Piu importanteper il seguito e il seguente teorema7, per la dimostrazione del quale si puo vedere[Loria 2], pagina 165.

Teorema 2.11. Per ogni punto P dell’epicicloide, la retta congiungente P e ilpunto di contatto tra la circonferenza generatrice e la circonferenza di base nelmomento in cui esse generano P e normale all’epicicloide.

2.3.3 Podarie

Definizione 2.15. Siano date una curva Γ e un punto qualsiasi P del piano dellacurva. Diremo podaria della curva Γ, la quale prendera il nome di antipodaria,il luogo di punti P ′ delle proiezioni di P sulle rette tangenti la curva Γ.

La curva Γ ha equazione Γ(t) = (x(t), y(t)) con x(t) e y(t) funzioni derivabiliquasi ovunque. La retta tangente a Γ nel punto t sara quindi data da

y − g(t) =g′(t)

f ′(t)(x− f(t))

7Valido in generale per ogni rulletta della Definizione 2.13.


Figura 2.6: Costruzione di una podaria

mentre la proiezione di P = (x0, y0) sulla tangente si trova sulla retta ad essaperpendicolare e passante per P

y − y0 = −f′(t)

g′(t)(x− x0).

Intersecando le due rette abbiamo

Lemma 2.12. L’equazione parametrica della podaria della curva Γ(t) = (f(t), g(t))e data da

x(t) =x0(f ′(t))2 + (y0 − g(t))f ′(t)g′(t) + f(t)(g′(t))2

(f ′(t))2 + (g′(t))2

y(t) =g(t)(f ′(t))2 + (x0 − f(t))f ′(t)g′(t) + y0(g′(t))2

(f ′(t))2 + (g′(t))2

(2.19)

Citiamo, senza dimostrazione, l’elegante

Teorema 2.13. (Steiner-Habich) Se una curva Γ rotola senza strisciare su unaretta r, e se Υ e la rulletta descritta da un punto M del piano di Γ, possiamofar rotolare su Υ una podaria Π di Γ rispetto a M in modo che M descriva laretta r. La coppia (Υ,Π) prende il nome di coppia ruota-strada8.

8Per un esempio animato si veda il codice QR che porta al linkhttp://www.lucciolelanterne.eu/aksjbad/circulaires1.gif.

Capitolo 3

Cardioidi

3.1 Un po’ di storia

La curva a forma di cuore e stata oggetto di ampi studi da parte dei piugrandi esponenti della matematica per le sue qualita geometriche e fisiche moltointeressanti.

Raymond C. Archibald in [Archibald] ne attribuisce la prima definizione, conla dimostrazione di alcune sue proprieta geometriche come lunghezza e area, aJacob Ozanam nel 1691, mentre Gino Loria in [Loria 1] riporta la testimonian-za di Louis Carre che ne attribuisce l’invenzione a Jacobus Koersma nell’annoprecedente. Nel 1692 John Bernoulli ne mostro le proprieta fisiche nelle sueLectiones. Guillaume Francois Antoine marchese de L’Hopital, allievo di JohnBernoulli famoso per il teorema di Analisi, presento i risultati del maestro nelsuo Analyse des infiniment petits pour l’intelligence des lignes courbes del 1696,seguito da Louis Carre, il padre del primo trattato completo sull’analisi infi-nitesimale, nel 1703. Nuovamente nel 1705 Carre discusse alcune proprieta diun arco di cardioide generato come concoide circolare, senza accorgersi di startrattando proprio questa particolare curva, correzione che gli venne proposta daRene-Antoine Ferchault de Reaumur nel 1708.

Figura 3.1: Cardioide

29

30 CAPITOLO 3. CARDIOIDI

Il nome cardioide appare per la prima volta nel 1707 nell’opera di Philippede La Hire, che la genera come caso particolare della lumaca di Pascal. ColinMacLaurin nel 1718 e nel 1720 propone altre proprieta avanzate della cardioidee per il secolo successivo non si scopre nulla di nuovo sulla curva. E solo nel 1741che il nome, suggerito inizialmente da de La Hire, viene accettato dalla comu-nita internazionale con la proposta del matematico italiano Giovanni FrancescoSalvemini, piu noto come Johann Castillon. Dopo di lui sono Leonhard Eulernel 1748 e Gabriel Cramer nel 17501, a dare nuova vita agli studi sulla curvaproponendo i vecchi risultati ottenuti nei precedenti sessant’anni.

A lavorare sulla cardioide e anche il fisico James Clark Maxwell2 nel 1846 e,nello stesso periodo, troviamo importanti riferimenti sull’argomento e risultatiin Geografia Astronomica di Adolphe Quetelet.

3.2 Definizione e Proprieta

Possiamo definire la cardioide come caso particolare di una qualsiasi del-le classi di curve presentate in precedenza. Scegliamo di definirla come casoparticolare dell’epicicloide, Definizione 2.14 a pagina 26.

Definizione 3.1. L’epicicloide generata3 da una circonferenza generatrice diraggio a uguale alla circonferenza di base e detta cardioide.

Figura 3.2: Costruzione di una cardioide

1Introduction a l’analyse des courbes algebriques.2Ben noto per le equazioni che descrivono completamente le leggi dell’elettromagnetismo.

3Per un esempio animato si veda il codice QR che porta al linkhttp://www.lucciolelanterne.eu/aksjbad/cardioid.gif.

3.2. DEFINIZIONE E PROPRIETA 31

Si vede subito che le equazioni parametrica, implicita e polare della cardioidesono

α(t) = (2a cos(t)(1− cos(t)), 2a sin(t)(1− cos(t))) (3.1)

(x2 + y2 + 2ax)2 = 4a2(x2 + y2) (3.2)

ρ(t) = 2a(1− cos t) (3.3)

Quindi la cardioide e una curva del quart’ordine. Ricordando alcune noteformule trigonometriche abbiamo

α′(t) = (2a (sin(2t)− sin(t)) , 2a(cos(t)− cos(2t))) (3.4)

‖α′(t)‖2 = 8a2(1− cos(t)) (3.5)

α′′(t) = (2a (2 cos(2t)− cos(t)) , 2a (2 sin(2t)− sin(t))) (3.6)

κ2 = 12a2(1− cos(t)) (3.7)

E possibile, cosa rara per una curva, calcolare esattamente l’ascissa curvilinea

che risulta, con l’uso delle formule di bisezione e ricordando che∫ 2π

0| sin( t2 )|dt =

4,

s(t) = 8a

(1− cos

(t

2

))(3.8)

da cui si ottiene facilmente la lunghezza della curva: L = 16a. Per il calcolo del-l’area utilizziamo l’equazione polare ricordando che

∫∫ρ(t) dρ dt su un dominio

D racchiuso da una curva ρ(t) e equivalente a 12

∫ 2π

0ρ2(t) dt. Quindi∫∫

D

ρ dρ dt =1

2

∫ 2π

0

4a2(1− cos(t))2 dt = 6πa2.

Figura 3.3: Tangenti e normali la cardioide

Si osservi la Figura 3.3: siano rispettivamente O e C i centri della circonfe-renza di base e generatrice, R il punto di tangenza tra le due circonferenze, Pun punto della cardioide. La retta congiungente i due centri interseca la gene-ratrice nel punto T , la retta passante per il punto P e il punto R interseca la


circonferenza di base nel punto E. Per il Teorema 2.11 a pagina 27, la retta PEe normale alla cardioide, mentre la retta PT risulta essere la tangente. Quindi

Lemma 3.1. Sia S il punto della base per cui P ≡ R, l’angolo che la tangentealla cardioide forma con la retta PS e la meta dell’angolo polare del puntostesso.

E evidente quindi che la cardioide ha una cuspide in S, non ha flessi e hacome tangente doppia la retta x − a

2 = 0. Per l’equazione delle altre tangentinel punto di parametro t abbiamo, a partire dall’equazione (3.3),

x sin

(3t

2

)+ y cos

(3t

2

)+ a sin

(3t

2

)= 0. (3.9)

Il prolungamento di SO interseca la cardioide nel punto A che chiameremovertice, mentre chiameremo SA asse. Dall’equazione (3.3) discende che tutte lecorde cuspidali4 della cardioide hanno lunghezza fissa 2a. Inoltre le rette PSe OE si intersecano in un punto B della circonferenza di base: il quadrilate-ro PCOB e un parallelogramma e ogni corda cuspidale e bisecata dalla base.Questo ci porta al seguente

Lemma 3.2. La cardioide si ottiene dalla concoide a base circolare definita in2.12 per l = 2a.

Sia ora C il centro della circonferenza di base, O il polo e A l’altro estremo deldiametro per O. Si conduca per il polo una corda OM arbitraria e si trovino leintersezioni P1 e P2 del prolungamento della corda con la cardioide. Si consideriuna circonferenza di centro A e raggio 2a e si conduca il diametro N1N2 ditale circonferenza in modo che sia parallelo a OM . La figura N1N2P1P2 e unrettangolo e i due lati P1N1 e P2N2 saranno tangenti alla seconda circonferenza:di conseguenza (si veda la Figura 3.4)

Figura 3.4: Cardioide come podaria

4Tutte le corde, cioe, passanti per la cuspide.

3.3. IL LAVORO DI MAXWELL 33

Lemma 3.3. La cardioide e la podaria di una circonferenza rispetto ad un suopunto5.

Infine si puo dimostrare6 che la cardioide ha un singolo fuoco nel centro Odella circonferenza di base e che tale fuoco e triplo.

3.3 Il lavoro di Maxwell

Il lavoro del fisico J.C. Maxwell sulla cardioide partı da un’osservazione geo-metrica per sfociare in risultati di ottica. Maxwell suggerı un’estensione dellateoria dei fuochi per le coniche alle curve di grado superiore nel seguente modo:cosı come nell’ellisse (nell’iperbole) ogni punto della curva ha somma (diffe-renza) delle distanze dai due fuochi costante, allo stesso modo curve analoghepossono essere descritte considerando costante la somma (differenza) di m voltela distanza da un fuoco piu n volte la distanza dall’altro fuoco7. Una successivaestensione derivo dal considerare un numero qualsiasi di fuochi invece che duesoltanto.

Un particolare tipo di curva costruito secondo il metodo di Maxwell e l’ovaledi Cartesio, curva di equazione

ρ2 − 2(a+ b cos θ)ρ+ c2 = 0 (3.10)

che ha tre fuochi distinti. Quando uno dei fuochi e all’infinito, possiamo descri-vere la curva con la relazione

mr + nr′ = z

dove r, r′ sono le distanze di ogni punto della curva dai due fuochi restanti.Questa relazione esprime un’importante proprieta ottica dell’ovale di Cartesioall’interno della teoria ondulatoria della luce che puo tradursi nel seguente

Teorema 3.4. Una superficie ottica che separa due mezzi omogenei ha aberra-zione8 nulla se e solamente se la sua forma e uguale all’ovale di Cartesio.

In altri termini, ogni fascio di luce fuoriuscente da un punto qualsiasi del-l’ovale di Cartesio, se diretto verso uno qualsiasi degli altri punti della curva, siriflettera correttamente verso uno dei due fuochi.

Ora, e immediato notare che l’ovale di Cartesio e una delle possibili genera-lizzazioni della cardioide, ottenuta dall’equazione (3.10) con c = 0, a = b. Unacuriosa applicazione di questa proprieta a tale curva e l’apparizione di una car-dioide all’interno di un recipiente conico riempito di un liquido non trasparente,come si vede nella Figura 3.5.

5Si puo dimostrare un lemma simile valido per la lumaca di Pascal.6Laguerre: Sur la Cardioide, 18787Maxwell propose anche un metodo semplice ma ingegnoso per costruire tali curve con

spago e puntine da disegno.8L’aberrazione di un sistema ottico e la differenza tra l’immagine effettiva, reale o virtuale,

formata dal sistema e l’immagine che si voleva ottenere.


Figura 3.5: Cardioide disegnata dal riflesso della luce sulla superficie del latte

Capitolo 4

Curve ornamentali

4.1 Altre curve a cuore

La cardioide non e l’unica curva a forma di cuore. Altre curve piu recentiche stilizzano il cuore sono di Eugene Beutel (1909), di equazione cartesiana

(x2 + y2 − 1)3 = x2y3,

il cuore di Raphael Laporte (1993), che invento la curva a 16 anni per regalarlaalla sua fidanzata trovando l’ingegnosa forma parametrica(

sin3 t, cos t− cos4 t)

o il cuore di Dwight Boddorf (2008), di equazione polare1

ρ = | tan θ|| cot θ|, 0 ≤ θ ≤ π.

Mirabile lo sforzo compiuto nel 2013 da Pierre Daniel per trovare una propriacurva a forma di cuore. L’equazione cartesiana di tale curva, infatti, e

−108− 36y2 − 448x2y + 112x2y2 + 405x4 − 112y3+

+12y4 + 66x4y2 + 224x4y + 128x2y3 + 24y4x2+

+30x6 + 24y5 + 4y6 + x8 − 328x2 + 216y + 8x6y+

+2x6y2 + 8x4y3 + y4x4 = 0.

I grafici delle equazioni precedenti sono tracciati nella Figura 4.1.

1In questo caso, il cuore e solamente una porzione della curva descritta dall’equazione.

35

36 CAPITOLO 4. CURVE ORNAMENTALI

(a) Cuore di Beutel (b) Cuore di Laporte

(c) Cuore di Boddorf (d) Cuore di Daniel

Figura 4.1: Altre curve a cuore

4.2 Trifoglio di Brocard

Henri Brocard si ispiro direttamente alla cardioide per risolvere un problemaposto nelle Nouvelles Annales de Mathematiques2 che recitava: trovare unacurva che rappresenti le tre foglie del trifolium pratense. Partendo da una dellesue possibili equazioni polari, ρ = 1 + cos θ, passo in coordinate cartesianeottenendo (x2 + y2 − x)2 = x2 + y2, mise il centro del riferimento nel verticedella cardioide arrivando a (x2 + y2− 3x+ 2)2 = x2 + y2 + 4x+ 4 e infine tornoalle coordinate cartesiane passando da θ a nθ concludendo con l’equazione

(ρ2 − 3ρ cosnθ + 2)2 = ρ2 − 4ρ cosnθ + 4.

Questa produce una curva ormai ben lontana dalla cardioide originale e piusimile a un n-foglio, come si vede nella Figura 4.2. Per approfondimenti si vedapagina 345 di [Loria 1].

2Nouvelles Annales de Mathematiques, III Ser., T. IV, 1894, p. 58.

4.3. VARIAZIONI GRAFICHE SULLA CARDIOIDE 37

(a) n=3 (b) n=4

Figura 4.2: n-fogli di Brocard

4.3 Variazioni grafiche sulla cardioide

Possiamo assumere, senza rischio di sbagliarci, che Gaston Julia non videmai una rappresentazione dell’insieme di Julia. Allo stesso modo, Robert Frickee Felix Klein riuscirono a disegnare una sola rappresentazione di un insiemelimite. E fu solo nel marzo del 1980 che Benoıt Mandelbrot riuscı finalmente astampare un’immagine sfocata dell’insieme che aveva appena scoperto, dedican-do poi diverse settimane alla progettazione di sistemi che migliorassero la resadi quella stampa.

Al giorno d’oggi, chiunque puo collegarsi a internet e scaricare un program-ma per vedere dettagli di quell’insieme che nemmeno Mandelbrot riuscı mai avisualizzare del tutto. Chiunque puo giocare con pulsanti e menu per creare glioggetti piu strani. Ogni matematico con una base minima di programmazionepuo immaginare un oggetto e vederlo in pochi secondi su uno schermo ad altadefinizione con l’aiuto di un qualsiasi PC standard.

Lo sviluppo tecnologico ha reso disponibili strumenti che fino a pochi de-cenni fa sembravano impensabili, e il poter visualizzare a schermo ogni oggettomatematico ha aiutato a scoprire nuove simmetrie, nuove singolarita, che la solaimmaginazione non avrebbe potuto individuare. Francesco De Comite, dell’U-niversita di Lilla, illustra in [De Comite] come si e avvalso di queste innovazionitecnologiche per ottenere, a partire da un singolo oggetto, nuove famiglie dioggetti in relazione con esso.

Uno degli oggetti piani su cui lavora e la cardioide. De Comite lavora su duedifferenti modi di costruire una cardioide per ottenere oggetti tridimensionali conrisultati sorprendenti. Il primo metodo, inventato da Daniel Pedoe, costruiscela cardioide come inviluppo di una famiglia di circonferenze:

• Si disegni una circonferenza e si scelga un punto su di essa;

• Si disegnino delle circonferenze i cui centri appartengano alla circonferenzainiziale e che passino per il punto scelto;

• L’inviluppo di questa famiglia di circonferenze e una cardioide.

Il risultato e, ovviamente, una curva piana come in Figura 4.3. De Comitepropone di far ruotare ogni circonferenza della famiglia, in tre dimensioni, di un

38 CAPITOLO 4. CURVE ORNAMENTALI

Figura 4.3: Cardioide come inviluppo

angolo che dipende dal raggio. La funzione che descrive la rotazione puo esserearbitraria e ogni scelta definisce un oggetto diverso, un esempio si puo vederein Figura 4.4. E impressionante, dice De Comite, come la figura possa risultarediversa da ogni angolazione e come l’osservatore noti nuove simmetrie ogni voltache muove l’oggetto.

Figura 4.4: Variazione sulla costruzione di Pedoe

L’altro metodo per la costruzione di una cardioide e detto di Cremona, dalmatematico e politico italiano Luigi Cremona:

• Si disegni una circonferenza;

• Sulla circonferenza si prendano n punti equidistanti;

• Numerati i punti da 1 a n, si tracci un segmento che unisca i punti i e(2i)mod n

Anche stavolta il risultato e piano come in Figura 4.5. Sostituendo ognisegmento con un toro il cui diametro eguagli la lunghezza del segmento stesso,

4.3. VARIAZIONI GRAFICHE SULLA CARDIOIDE 39

Figura 4.5: Cardioide col metodo di Cremona

si ottiene un oggetto dalla forma sferica, come si vede in Figura 4.6. Basta unsemplice ragionamento matematico per dimostrarlo, ma il fatto che la scopertasia stata fatta disegnando l’oggetto segna un importante punto a favore dellostudio matematico attraverso la computer grafica.

Figura 4.6: Variazione sulla costruzione di Cremona

Concludendo, il punto centrale del lavoro di De Comite mostra come moltiproblemi di arte matematica possono essere risolti semplicemente visualizzandoil problema stesso. Il matematico puo creare una bozza di programma, visua-lizzare l’oggetto a bassa risoluzione e, se non soddisfatto del primo risultato,ricominciare da capo... con un semplice clic. Ma allo stesso modo puo facilmen-te migliorare il programma e ottenere importanti risultati. Possiamo persinoimmaginare uno sviluppo collaborativo, con un’applicazione che metta in retepiu dispositivi per permettere la collaborazione di piu persone alla risoluzionedel problema3. Non avere paura dello sviluppo tecnologico puo aiutare a gettareluce su problemi altrimenti nascosti all’intuizione.

3Un esperimento simile e stato fatto in Medicina con il progetto Folding@home,http://folding.stanford.edu/.

Ringraziamenti

Ringrazio innanzitutto professor Caddeo che ha avuto la pazienza di aspet-tare piu di un anno perche riuscissi finalmente a mettermi a lavorare su questatesi. Ringrazio anche l’Universita di Cagliari per dare la possibilita a tanti sardicome me di studiare Matematica nella nostra isola, nonostante l’esiguo numerodi iscritti al corso.

Voglio ringraziare ancora quelle persone che mi sono state accanto durante lamalattia: ringrazio quindi mia madre e mio padre con relativi marito e moglie,e mio fratello. Ringrazio poi i miei due coinquilini per l’incredibile avventura diquesti tre anni di convivenza nella buona e nella cattiva sorte. Ringrazio le miedue sorelle, alle quali vanno i miei piu cari abbracci.

Ringrazio Irene e Giulia per il paziente proofreading, per gli utilissimi consiglie le ancor piu utili correzioni.

Ringrazio i colleghi con i quali ho condiviso questi anni di lezioni e teoremie gli amici di Cagliari con cui ho condiviso tutto il resto.

Infine ringrazio Cagliari per essere stata lo sfondo di questa avventura.Grazie a tutti.

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Bibliografia

[Winkler 1] Franz Winkler: Polynomial Algorithms in Computer Algebra,Springer, 1996

[Winkler 2] Franz Winkler: Advances in Algebraic Geometric Computation, J.Kepler University, Austria, 2002

[Bizzarri Lavicka] Michal Bizzarri, Miroslav Lavicka: A Note on the RationParametrization of Algebraic Curves in Mathematica, University of WestBohemia, Plzen

[Archibald] R.C. Archibald: The Cardioide and some of its Related Curves,Kaiser-Wilhelms-Universitat Strassburg, Strasburgo, 1900

[Caddeo Gray] Renzo Caddeo, Alfred Gray: Lezioni di Geometria Differenziale:Curve e Superfici, volume 1, CUEC, Cagliari, 2001

[Loria 1] Gino Loria: Curve Piane Speciali Algebriche e Trascendenti: Teoria eStoria, Ulrico Hoepli, Milano, 1930

[Loria 2] Gino Loria: Curve Piane Speciali Algebriche e Trascendenti: Teoria eStoria, Ulrico Hoepli, Milano, 1930

[Ciani] Edgardo Ciani: Le Linee Diametrali delle Curve Algebriche Piane,Scuola Normale Superiore di Pisa, Pisa, 1889

[Maxwell] J.C. Maxwell: The Scientific Papers of James Clerk Maxwell, DoverPublications, Inc., New York, 1965

[De Comite] Francesco de Comite: Experimental Mathematics, Laboratoired’Informatique Fondamentale de Lille, University of Sciences of Lille,France, 2013

[Oetiker] Tobias Oetiker: The Not So Short Introduction to LATEX 2ε, 2000

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Cardioidi: propriet a e applicazioni

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