Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de...

343
Esercizi svolti di fisica . . Quest’opera è stata rilasciata con licenza Creative Commons Attribuzione - Non commerciale - Condividi allo stesso modo 3.0 Italia. Per leggere una copia della licenza visita il sito web http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/it/ o spedisci una lettera a Creative Commons, PO Box 1866, Mountain View, CA 94042, USA. Andrea de Capoa 11 marzo 2018

Transcript of Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de...

Page 1: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

Esercizi svolti di fisica..

Quest’opera è stata rilasciata con licenza Creative Commons Attribuzione - Non commerciale - Condividi allo stesso modo 3.0 Italia. Per leggere una copia della licenza visita il sito webhttp://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/3.0/it/ o spedisci una lettera a Creative Commons, PO Box 1866, Mountain View, CA 94042, USA.

Andrea de Capoa

11 marzo 2018

Page 2: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

Scheda 1Tabelle, costanti fisiche, mappe concettuali

2

Page 3: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

Scheda 2Mappa degli esercizi

InizioGrandezze Scalari

I01, I03, I04, I05,I17,

Grandezze VettorialiI02, I07, I08, I09

- - I11,- - -

Errori di misuraI06, I16, I19, Lab02,- - I12, I12a, I14,

I15, Lab01, Lab03- - -

BaricentroI10, D10,- - I20,- - -

Cinematica

Cinematica

Grandezze cinematicheI18, C13, C13a,

C19, C20, C37,C37a, C40, C41,

C51- - - C50

Moto rettilineo uniformeC01, C05, C07, C12,

C24, C27, C28, C29, C29a,C29b, C30, C31, C33, C35

C02, C38, C47,

Velocità relativaC18, C21,

C22, C22a, C32C06,

Moto uniformementeaccelerato

C26C04, C09, C11,

C16, C17, C23, C25,C35, C44a, C44b

C45, C48, C49

Moto parabolico

C03, C08, C08a, C10,C14, C34, C42, C43, C39, C46,

Dinamica

Autore: Andrea de Capoa 26 Feb 2017

3

Page 4: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

4 Scheda2. Mappa degli esercizi

Dinamica

Principi della dinamicaD15, D24, D64, CD04,

D06, D18, D34, D50,D52, D56, D59, D60, D63,

D58, D61

Quattro forzeD01, D02, D08, D13, D14, D19,

D20, D21, D22, D25, D33, D35, D36,D37, D38, D39, D43, D45, D47, CD02,

D03, D04, D05, D46,D48, D54, D55, D57, CD01,

D49, D53, D62,

Legge di gravitazione

D42,D44, D51, CD05,

Equilibrio traslazionaleD23, D31, D40,

Equilibrio rotazionaleD27,

D07, D09, D12, D16, D26,D28, D29, D30, D32, CD03,

D41,

Conservazionedell’energia

Conservazionedell’impulso

Relatività

Conservazionedell’energia

Conservazionedell’impulso

Legge di conservazione dell’energiaL01, L02, L03, L04, L05, Ł06, L07, L08, L09,

L10, L11, L12, L13, L14, L15, L16, L17, L18, L19,L20, L21, L22, L23, L25, L26, L27, L28, L31, DL12

L29, L32, DL01, DL02,L24, DL03, DL05, DL11

DL04

Legge di conservazionedell’impulso

P1,

Conservazione dienergia e impulso

LP01

Fluidodinamica

Calorimetria

Page 5: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

5 Scheda2. Mappa degli esercizi

Fluidodinamica

Legge di StevinF09, F11, F13

F10, DF01F06

O25(moto armonico)

Principio di PascalF07

Conservazione della portataF02, F03

Conservazione della portata+ Legge di Bernoulli

F01, F04, F05,F08, F12, F14, DF01

CF01,

Calorimetria

Riscaldamento e transizioni di faseQ02, Q07, Q10, Q12, Q13, Q20,

Q21, Q21a, Q22, Q23, Q27, Q28, Q35,Q01, Q03, Q09, Q16, Q26, LQ01, LQ02

Q06, Q17, Q18, Q30, Q31, Q32,

Dilatazione termicaQ04,Q11,

Q08, Q33,

ConduzioneQ25,

Risc., Trans.,Dilat., Conduz

Q15,Q05, Q14,

Q19, Q24, Q29,

Termodinamica

Termodinamica

Legge dei gas e trasformazioniT25, DT01, DT02,

T01, T07, T08, T20, T26, T26a,T26b,T26c, T27, T28, QT01, FT01

T21, T22, T28,T23

Primo principioT11, T12,

Cicli termodinamicie secondo principio

T05, T06 , T09ban, T10,T13, T14, T15, T16, T17,T18, T19, QT03, QT04, LT01

QT02, QT05, QT06

Page 6: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

6 Scheda2. Mappa degli esercizi

Fenomeni ondulatori

Descrizione epropagazione di un’ondaO03, O04, O06, O07, O11,

O13, O15, O18, O19, O26, O29

Riflessione e rifrazioneO01, O12, O14, O27

InterferenzaO05, O10,

O17, O31

Ottica geometricaO01, O08, O09, O16

Altri fenomeniO20, O23, O28

O22, O24

Elettromagnetismo

ElettrostaticaE11,

Campo e Forza elettriciE03, E03a, E09, DE10

E01, E05,DE22,

Campo e forza magneticiE08, E12,

E18, CE01, CE02,E19, E20, E21,

Campo elettrico e magneticoE07,

Circuiti elettriciE10, E13, E14, E15, E16,E02, E04, E06, E17, EQ01

Relatività

R01

Page 7: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

7 Scheda2. Mappa degli esercizi

2.1 Cinematica

1. Velocità media:Vm = ∆Stot

∆ttot

2. Moto rettilineo uniforme:∆S = V ·∆t

3. Moto uniformemente accelerato:

(a) ∆S = 12a∆t2 + Vi∆t

(b) ∆V = a ·∆t

4. Moto circolare uniforme:

(a) Relazione tra velocità e velocità angolare:V = ωr

(b) Accelerazione centripeta:ac = V 2

r = ω2r

(c) Relazione tra velocità angolare e frequenza:ω = 2πν

(d) Relazione tra frequenza e periodo:ν = 1

T

5. Moto di un pendolo:

T = 2π√

lg

6. Moto armonico:∆S = A cos (ωt)

2.2 Dinamica

1. I tre principi

(a) Primo principio:~V = cost⇔ ~Ftot = 0

(b) Secondo principio:~F = m~a

(c) Terzo principio:~Fab = − ~Fba

2. Forza di gravità:F = mg

3. Forza elastica:F = −k ·∆l

4. Forza attrito radente:F = µFn

5. Forza attrito viscoso:F = αV 2 + βV

6. Forza di archimede:F = ρf · Vimm · g

7. Densità:ρ = m

V

8. Legge di gravitazione universale:F = GM ·m

r2

9. Momento di una forza:~M = ~r × ~F

10. Modulo del momento di una forza:M = rFsen(α)

11. Equilibrio traslazionale:~Ftot = 0

Page 8: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

8 Scheda2. Mappa degli esercizi

12. Equilibrio rotazionale:~Mtot = 0

2.3 Energia e potenza

1. Lavoro di una forza:L = ~F × ~∆S = F ·∆S · cos(α)

2. Energia cinetica:Ec = 1

2mV2

3. Energia potenziale gravitazionale:U = mgh

4. Energia potenziale elastica:Ve = 1

2k∆l2

5. Legge di conservazione dell’energia:Etoti = Etotf

6. Potenza:P = ∆E

∆t

2.4 Calorimetria

1. Relazione tra calore dato ed aumento di temperatura:∆Q = csm∆T

2. Temperatura di equilibrio tra due corpi a contatto:Teq = cs1m1Ti1+cs2m2Ti2

cs1m1+cs2m2

3. Capacità termica:C = csm

4. Trasporto di calore:∆Q∆t = ρSL∆T

5. Dilatazione termica:

(a) lineare:Lf = L0 (1 + λ∆T )

(b) superficiale:Sf = S0 (1 + 2λ∆T )

(c) volumetrica:Vf = V0 (1 + 3λ∆T )

2.5 Dinamica dei fluidi

1. Legge della portata:S · V = cost

2. Principio di Bernoulli:P + 1

2ρV2 + ρgh = cost

3. Legge di Stevin:∆P = −ρg∆h

2.6 Le costanti fisiche più comuni

1. Accelerazione di gravità della Terra:g = 9, 8067 m

s2

2. Costante di gravitazione universale:G = 6, 67428 · 10−11 m3

Kg s2

3. Velocità della luce nel vuoto:c = 299792458 m

s

Page 9: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

9 Scheda2. Mappa degli esercizi

4. Zero assoluto per la temperatura:Tzero = −273, 15 C = 0K

5. Costante di Boltzmann:kB

= 1, 3806488(13) · 10−23 JK

6. Carica dell’elettrone:e = 1, 602176565(35) · 10−19 C

7. Massa dell’elettrone:me = 9, 1093826(16) · 10−31 kg = 511, 00keVc2

8. Massa del protone:mp = 1, 67262 · 10−27 kg = 938, 27MeV

c2

9. Massa del neutronemn = 1, 67439 · 10−27 kg = 939, 55MeV

c2

10. Unità di massa atomicau = 1, 66054 · 10−27 kg

11. Costante dielettrica del vuotoε0 = 8, 8542 · 10−12 F

m

12. Permeabilità magnetica del vuotoµ0 = 1, 25664 · 10−6 H

m

13. Costante di Plankh = 6, 6261 · 10−34 Js

14. Costante universale dei gasR = 8, 3145 J

mol·K

15. Numero di AvogadroNA = 6, 0221 · 1023mol−1

16. Costante di Boltzmannk = 1, 38065 · 10−23 J

K

Page 10: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

10 Scheda2. Mappa degli esercizi

2.7 Proprietá fisiche dei materiali

Materiale Densitá Calore Conducibilitá Resistivitá Punto di Punto di Calore latente Calore latente Coefficiente dispecifico termica fusione ebollizione di fusione di ebollizione dilatazione lineare

( kgm3 ) ( JkgK ) ( W

mK ) Ωm (K) (K) (kJkg ) (kJkg ) ( 1K )

Alluminio 2700 900 237 2, 65 · 10−8 933,47 2792 0,4 10,87 25 · 10−6

Argento 10490 232 429 1, 59 · 10−8 1234,93 2435 104,9 2326Ferro 7874 440 80,2 1, 007 · 10−7 1808 3023 247,2 6262 12 · 10−6

Mercurio (liq.) 13579 140 8,34 9, 62 · 10−7 234,32 629,88 12 309,6Oro 19300 128 317 2, 21 · 10−8 1337,33 3129 63,7 1697 14 · 10−6

Piombo 11340 129 35,3 2, 08 · 10−7 600,61 2022 23,2 858,2Rame 8920 380 390 1, 68 · 10−8 1357,6 2840 205,8 4735 17 · 10−6

Stagno 7310 228 66,6 9, 17 · 10−6 505,08 2875 668,9 2492Ottone 8500 1200 19 · 10−6

Platino 21450 130 71,6 1, 04 · 10−7 2041,4 4098 2615,6 100,5 9 · 10−6

Zinco 7140 390 116 6, 02 · 10−8 692,68 1180 112 1763

Acqua 1000 4186 273,15 373,15 335 2272Metano 0,71682 528 90,8 111,8 334,8 2501

Alcool etilico 159 351,5 108 855

Tabella 2.1: Proprietà fisiche dei materiali

Page 11: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

Scheda 3Generalità: soluzioniProblema di: Generalità - I0001

Testo [I0001] [1 22 ] Esegui le somme indicate qui di seguito, scegliendo a tuopiacimento l’unità di misura del risultato tra le due già presenti.

• 4hm+ 300m =

• 3hm+ 5 cm =

• 3m+ 18mm =

• 9 km2 + 10hm2 =

• 9m2 + 200 cm2 =

• 9m2 + 5 dm2 =

• 12 km3 + 78hm3 =

• 8m3 + 15 cm3 =

• 2m3 + 40 dm3 =

• 45 l + 50 dl =

• 45 l + 50 cl =

• 8 dl + 2 cl =

• 7 kg + 400 g =

• 3 kg + 3hg =

• 3 g + 55mg =

• 3h+ 5min =

• 3min+ 2 sec =

• 3h+ 5 sec =

• 36 kmh + 30 m

s =

• 25 kgm3 + 12 g

cm3 =

• 2 kg·ms2 + 5 g·cm

s2 =

• 8 kg·ms + 5 g·km

h =

Spiegazione Tutte le somme indicate possono essere eseguite in quanto le gran-dezze fisiche coinvolte sono sempre omogenee; ogni volta vengono sommate o duelunghezze, oppure due tempi, oppure due masse, due densità, ecc. Per eseguire lasomma devo trasformare una delle due grandezze nell’altra, preoccupandomi, adogni passaggio, di scrivere qualcosa di diverso ma equivalente.

7 km = 7000m = 700000 cm = 4375Migliaterr = 7, 4 · 10−16 anniluce

Eseguire le conversioni di unità di misura Immaginiamo di convertire in metri laquantità ∆S = 10 km oppure in ore la quantità ∆t = 90min. Il procedimento daseguire prevede i seguenti passaggi, rappresentati poi di seguito:

1. Riscrivere la parte numerica lasciandola immutata.

2. Al posto delle unità di misura che compaiono riscrivere il loro equivalente nellanuova unità di misura: al posto di km scrivo 1000 metri (infatti in un kilometroci sono 1000metri) e al posto di min scrivo h

60 (infatti per scrivere l’equivalentedi un minuto devo prendere un’ora e dividerla per 60)

3. Eseguire le operazioni del caso sui numeri rimasti

12 km = 12 · 1000m = 12000m

90min = 90 · h60

= 1.5h

Nel caso di conversioni più complesse, il procedimento non cambia. Osserviamoquanto segue: la parte numerica viene copiata uguale, la linea di frazione viene co-piata uguale, al posto di km scrivo 1000 m che rappresenta la quantità equivalenteespressa un metri, al posto di h (ore) scrivo 3600 s, quantità ad essa equivalente.

130km

h= 130

1000m

3600 s= 36.11

m

s

Analogamente avremo:

130kg

m3= 130

kg

m ·m ·m= 130

1000 g

100 cm · 100 cm · 100 cm= 0, 13

g

cm3

Svolgimento

• 4hm+ 300m = 4 · 100m+ 300m = 700m;

• 4hm+ 300m = 4hm+ 300 · hm100 = 7hm;

• 3hm+ 5 cm = 3 · 100m+ 5 cm = 3 · 100 · 100 cm+ 5 cm = 300005 cm;

• 3hm+ 5 cm = 3hm+ 5 m100 = 3hm+ 5 hm

100·100 = 3, 00005hm;

• 3m+ 18mm = 3 · 1000mm+ 18mm = 3018mm;

• 3m+ 18mm = 3m+ 18 m1000 = 3, 018m;

• 9 km2 + 10hm2 = 9 · 10hm · 10hm+ 10hm2 = 900hm2 + 10hm2 = 910hm2;

• 9 km2 + 10hm2 = 9 km2 + 10 km10 ·

km10 = 9 km2 + 0, 1 km2 = 9, 1 km2;

• 9m2 + 200 cm2 = 9 · (100 cm)2

+ 200 cm2 = 90000 cm2 + 200 cm2 = 90200 cm2;

• 9m2 + 200 cm2 = 9m2 + 200 m100 ·

m100 = 9m2 + 0, 02m2 = 9, 02m2;

• 9m2 + 5 dm2 = 9 · 10 dm · 10 dm+ 5 dm2 = 900 dm2 + 5 dm2 = 905 dm2;

11

Page 12: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

12 Scheda3. Generalità: soluzioni

• 9m2 + 5 dm2 = 9m2 + 5 · m10 ·m10 = 9m2 + 0, 05m2 = 9, 05m2;

• 12 km3 + 78hm3 = 12 · (10hm)3

+ 78hm3 = 12000hm3 + 78hm3 = 12078hm3;

• 12 km3 + 78hm3 = 12 km3 + 78(km10

)3= 12 km3 + 0, 078 km3 = 12, 078 km3;

• 8m3 + 15 cm3 = 8 · (100 cm)3

+ 15 cm3 = 8000000 cm3 + 15 cm3 = 8000015 cm3;

• 8m3 +15 cm3 = 8m3 +15 m100 ·

m100 ·

m100 = 8m3 +0, 000015 cm3 = 8, 000015 cm3;

• 2m3+40 dm3 = 2·10 dm·10 dm·10 dm+40 dm3 = 2000m3+40 dm3 = 2040 dm3;

• 2m3 + 40 dm3 = 2m3 + 40 · m10 ·m10 ·

m10 = 2m3 + 0, 04m3 = 2, 04m3;

• 45 l + 50 dl = 45 · 10 dl + 50 dl = 500 dl;

• 45 l + 50 dl = 45 l + 50 · l10 = 50 l;

• 45 l + 50 cl = 45 · 100 cl + 50 cl = 4550 cl;

• 45 l + 50 cl = 45 l + 50 · l100 = 45, 5 l;

• 8 dl + 2 cl = 8 · 10 cl + 2 cl = 82 cl;

• 8 dl + 2 cl = 8 dl + 2 dl10 = 8, 2 dl;

• 7 kg + 400 g = 7 · 1000 g + 400 g = 7400 g;

• 7 kg + 400 g = 7 kg + 400 kg1000 = 7, 4 kg;

• 3 kg + 3hg = 3 · 10hg + 3hg = 33hg;

• 3 kg + 3hg = 3 kg + 3 kg10 = 3, 3 kg;

• 3 g + 55mg = 3 · 1000mg + 55mg = 3055mg;

• 3 g + 55mg = 3 g + 55 g1000 = 3, 055 g;

• 3h+ 5min = 3 · 60min+ 5min = 185min;

• 3h+ 5min = 3h+ 5 h60 = 3, 0833h;

• 3min+ 2 sec = 3 · 60 sec+ 2 sec = 182 sec;

• 3min+ 2 sec = 3min+ 2 min60 = 3, 0333min;

• 3h+ 5 sec = 3 · 3600 sec+ 5 sec = 10805 sec;

• 3h+ 5 sec = 3h+ 5 h3600 = 3, 0014h;

• 36 kmh + 30 m

s = 36 1000m3600 s + 30 m

s = 40 ms

• 36 kmh + 30 m

s = 36 kmh + 30 km·3600

1000·h = 144 kmh

• 25 kgm3 + 12 g

cm3 = 25 1000 g100 cm·100 cm·100 cm + 12 g

cm3 = 12, 025 gcm3

• 25 kgm3 + 12 g

cm3 = 25 kgm3 + 12 kg·100·100·100

1000·m·m·m = 12025 kgm3

• 2 kg·ms2 + 5 g·cm

s2 = 2 1000 g·100 cms2 + 5 g·cm

s2 = 200005 g·cms2

• 2 kg·ms2 + 5 g·cm

s2 = 2 kg·ms2 + 5 kg·m

1000·100·s2 = 2, 00005 kg·ms2

• 8 kg·ms + 5 g·km

h = 8 1000 g·km·36001000h + 5 g·km

h = 28805 g·kmh

• 8 kg·ms + 5 g·km

h = 8 kg·ms + 5 kg·m·1000

1000·3600 s = 5, 0014 kg·ms

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Page 13: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

13 Scheda3. Generalità: soluzioni

Problema di: Vettori - I0002

Testo [I0002] [1 2 ] Dati due vettori ~a e ~b rispettivamente di moduli a = 12 eb = 16, disegnateli in modo tale che la loro somma sia un vettore ~c il cui modulovalga c = 28. Ripetete l’esercizio in modo tale che c = 4; c ∼ 10; c = 20; c ∼ 24.

Spiegazione Il modulo della somma di due vettori dipende dai moduli di quei duevettori e dall’angolo compreso tra i due vettori. Visto che il testo dell’esercizio dicequanto valgono i due vettori, per risolvere l’esercizio bisogna indicare quanto valel’angolo tra di essi. Questo è conseguenza della regola del parallelogrammo.

~a

~b ~c = 24

~a

~b

~c = 20

~a

~b ~c = 10

Svolgimento

• Affinchè il vettore somma c = 28 i due vettoridevono essere paralleli e nello stesso verso

• Affinchè il vettore somma c ∼ 24 i due vettoridevono essere posizionati ad un angolo acuto

• Affinchè il vettore somma c = 20 i due vetto-ri devono essere posizionati ad un angolo rettoα = 90

• Affinchè il vettore somma c ∼ 10 i due vettoridevono essere posizionati ad un angolo ottuso

• Affinchè il vettore somma c = 4 i due vettoridevono essere posizionati ad un angolo piattoα = 180

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Problema di: Grandezze fisiche - I0003

Testo [I0003] [1 4 ] In un bicchiere vengono versati un volume VH2O

= 50 cm3

di acqua ed un volume Vo = 50 cm3 di olio. L’acqua ha una densità ρH2O

= 1 kgdm3 e

l’olio ha una densità ρo = 0, 8 gcm3 . Quanto volume di liquido si trova nel bicchiere?

Quanta massa di liquido si trova nel bicchiere?

Spiegazione In questo problema l’unica cosa da sapere è cosa sia la densità di unmateriale. i volumi dei due liquidi sono stati dati dal problema; le masse si ricavanoconoscendo i valori della densità.

Svolgimento Il volume complessivo di liquido è semplicemente

Vtot = VH2O

+ Volio = 100 cm3

La massa dell’acqua è

mH2O

= ρH2O· V

H2O= 1

kg

dm3· 50 cm3

Possiamo vedere che le unità di misura non si semplificano come dovrebbero;dobbiamo quindi convertire di unità di misura prima di poter eseguire i conti

mH2O

= 1kg

dm3· 50

dm3

1000= 0, 05 kg = 50 g

La massa dell’olio è

ma = ρolio · Volio = 0, 8g

cm3· 50 cm3 = 40 g

La massa di liquido nel bicchiere vale

mtot = mH2O

+molio = 90 g

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Page 14: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

14 Scheda3. Generalità: soluzioni

Problema di: Grandezze fisiche - I0004

Testo [I0004] [1 2 ] Un oggetto di cui non conosciamo il materiale, occupa unvolume V = 8, 75 dm3 ed ha la stessa massa di un blocco di ferro che occupa unvolume VFe = 3 dm3. Calcola la massa e la densità del materiale. La densità delferro è ρFe = 7, 874 kg

dm3 .

Spiegazione In questo problema l’unica cosa da sapere è cosa sia la densità di unmateriale, definita come il rapporto tra massa e volume di un qualunque oggettofatto di quel materiale

ρ =M

V

Visto che la densità di un oggetto dipende solo dal materiale di cui è fatto, una voltatrovato il valore della densità del materiale potremo capire quale materiale è.

Svolgimento La massa dell’oggetto di ferro vale

MFe = ρFe · VFe = 7, 874kg

dm3· 3 dm3 = 23, 662 kg

Il problema ci dice che l’oggetto di cui non conosciamo il materiale (indicato conl’indice s) ha la stessa massa dell’oggetto di ferro

Ms = MFe = 23, 662 kg

La densità del materiale vale quindi

ρs =Ms

Vs= 2, 7

kg

dm3

Confrontando questo valore con le tabelle dei materiali troviamo che il materialesconosciuto è alluminio.

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Problema di: Grandezze fisiche - I0005

Testo [I0005] [1 2 ] Un cilindro graduato contiene un volume Vi = 250 cm3

di acqua. Dopo averci immerso un oggetto di rame di densità ρogg = 8, 92 kgdm3 , il

cilindro segna un volume Vf = 375 cm3. Calcola volume e massa dell’oggetto.

Spiegazione Questo problema vogliamo misurare la massa di un oggetto tramiteimmersione in un liquido. Noi ne conosciamo il materiale, quindi la densità. Nel ci-lindro graduato c’è un certo quantitativo di luquido; immergendo l’oggetto il livellodel liquido sale. L’unica cosa da sapere è cosa sia la densità di un materiale, definitacome il rapporto tra massa e volume di un qualunque oggetto fatto di quel materiale

ρ =M

V

Visto che la densità di un oggetto dipende solo dal materiale di cui è fatto, è suffi-ciente confrontare le tabelle dei materiali.

Il volume dell’oggetto lo si ricava per differenza tra i livelli dei liquidi dopo eprima dell’immersione.

La massa semplicemente applicando la formula della densità di un materiale.

Svolgimento Il suo volume si ricava per differenza

VCu = Vf − Vi = 125 cm3 = 0, 125 dm3

Il risultato l’ho trasformato in decimetri cubi per poter meglio fare i conti con leunità di misura nei passaggi successivi.

La massa dell’oggetto vale

MCu = ρCu · VCu = 8, 92kg

dm3· 0, 125 dm3 = 1, 115 kg

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Page 15: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

15 Scheda3. Generalità: soluzioni

Problema di: Baricentro - I0006

Testo [I0006] [1 2 ] Tre libri sono posizionati uno sull’altro. I libri hanno rispet-tivamente massa m1 = 1hg, m2 = 2hg, m3 = 3hg ed hanno tutti lo stesso spessored = 3 cm. A che altezza si trova il baricentro del sistema?

Spiegazione In questo problema abbiamo un sistema formato da tre oggetti distintiposti uno sull’altro. Il baricentro del sistema sarà la media pesata sulla massa, delleposizioni dei baricentri dei singoli oggetti.

Svolgimento La posizione dei baricentri dei singoli oggetti è:

h1 = 1, 5 cm

h2 = 4, 5 cm

h3 = 7, 5 cm

Quindi l’altezza da terra del baricentro del sistema sarà

hb =h1m1 + h2m2 + h3m3

m1 +m2 +m3

hb =1, 5hg · cm+ 9hg · cm+ 22, 5hg · cm

6hg= 5, 5 cm

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Problema di: Vettori - I0007

Testo [I0007] [1 2 ] Esegui le operazioni indicate con i vettori ~a e~b:

~a

~b

~c = ~a+~b

~a

~b

~c = 2~a−~b~a

~b

~c = 3~a− 2~b

Spiegazione In questo esercizio bisogna eseguire due tipi di operazioni con i vet-tori: il prodotto di un vettore per uno scalare e la somma di vettori. Prima si esegueil prodotto di un vettore per uno scalare, e poi si fa la somma dei risultati.

Svolgimento In rosso troverete la soluzione del problema; in blu i vettori necessariper arrivare a trovare tale soluzione.

~a

~b ~c = ~a+~b

~a

~b

2~a

−~b ~c = 2~a−~b

~a

~b

3~a

−2~b ~c = 3~a− 2~b

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Page 16: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

16 Scheda3. Generalità: soluzioni

Problema di: Vettori - I0008

Testo [I0008] [1 2 ] Disegna il vettore che annulla i due vettori disegnati qui diseguito

~a

~b

~a

~b

~a

~b

Spiegazione Il vettore ~c che annulla i vettori indicati ~a e ~b è quello per cui vale larelazione

~a+~b+ ~c = 0

e quindi~c = −~a−~b

Svolgimento

~a

~b

−~a

−~b

~c = −~a−~b

~a

~b

−~a

−~b

~c = −~a−~b

~a

~b

−~a

−~b

~c = −~a−~b

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Problema di: Vettori - I0009

Testo [I0009] [1 1 ] Scomponi i seguenti vettori lungo le direzioni indicate

Spiegazione La scomposizione di un vettore consiste nel trovare i due vettori chesommati danno il vettore dato.

Svolgimento

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Page 17: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

17 Scheda3. Generalità: soluzioni

Problema di: Misure - I0010

Testo [I0010] [1 1 ] Misurate con un righello lo spessore di una moneta da 1euro

Spiegazione Eseguire una misura è un procedimento non banale che deve esse-re fatto con attenzione. Non basta trovare un risultato, bisogna soprattutto saperstimare in modo adegusato gli errori di misura.

Svolgimento Per prima cosa utilizziamo una singola moneta. Sul righello vediamoindicati un po’ più di 2 millimeteri, quindi l’altezza vale

h = 2, 5mm± 0, 5mm

se adesso prendiamo una pila di 10 monete sul righello vediamo indicati un po’più di 23 millimetri.

h10 = 23, 5mm± 0, 5mm

h = 2, 35mm± 0, 05mm

Otteniamo quindi una precisione 10 volte maggiore.

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Problema di: Vettori - I0011

Testo [I0011] [2 2 ] Disegna, e calcolane il valore, il vettore ~F3 che annulla lasomma dei vettori ~F1 e ~F2 di valore rispettivamente F1 = 1, 5 kN e F2 = 800N postiperpendicolari tra loro.

Spiegazione I due vettori dati possono essere sommati. La somma tra il vettorerisultato ed il vettore che voi dovete indicare, deve dare come risultato zero. Quindiil vettore che dovete indicare deve essere uguale e opposto al vettore somma tra idue vettori indicati nel problema.

Svolgimento

~F1

~F2

−~F1

−~F2

~F3 = −~F1 − ~F2

Il modulo del vettore ~F3 deve essere uguale al modulo del vettore ~F1 + ~F2 e sicalcola

|~F1 + ~F2| =√

(1500N)2 + (800N)2 = 1700N

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Page 18: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

18 Scheda3. Generalità: soluzioni

Problema di: Laboratorio - I0012

Testo [I0012] [2 5 ] Hai misurato con un righello il diametro di base e l’altezzadi un cilindro ottenendo d = 20mm ± 1mm e h = 50mm ± 1mm. Quanto vale ilvolume? Quanto vale l’errore assoluto sul volume?

Spiegazione Per calcolare il volume del cilindro semplicemente dovete utilizzarela formula giusta. La parte complessa del lavoro è stabilire il valore dell’errore dimisura sul volume. Per farlo prima dovremo evidenziare gli errori assoluti e relativisulle singole misure prese con il righello.

Svolgimento Per prima cosa calcoliamo il volume del cilindro

V = π ·(d

2

)2

· h = 3, 14159 · 100mm2 · 50mm = 15708mm3

Calcoliamo adesso l’errore relativo sulle due misure fatte col righello

Erel−d =Ea−dd

=1mm

20mm= 0, 05 = 5 %

Erel−h =Ea−hh

=1mm

50mm= 0, 02 = 2 %

Nella formula per calcolare il volume del cilindro si moltiplica il diametro per sestesso ed ancora per l’altezza

V = π ·(d · d2 · 2

)· h

quindi l’errore relativo sul volume sarà la somma degli errori relativi di questegrandezze

Erel−V = Erel−d + Erel−d + Erel−h = 0, 12 = 12%

quindi l’errore assoluto sul volume vale

Ea = Erel−V · V = 1885mm3

Il risultato finale da scrivere sarà quindi

V = 15708mm3 ± 1885mm3

che può essere più saggiamente scritto

V = 15, 7 cm3 ± 1, 9 cm3

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Page 19: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

19 Scheda3. Generalità: soluzioni

Problema di: Laboratorio - I0012a

Testo [I0012a] [2 5 ] Hai misurato con un righello i tre spigoli di un parallele-pipedo, ottenendo a = 20mm ± 1mm, b = 40mm ± 1mm, e h = 10mm ± 1mm.Quanto vale il volume? Quanto valgono gli errori assoluto e relativo sul volume?

Spiegazione Per calcolare il volume del parallelepipedo semplicemente dovete uti-lizzare la formula giusta. La parte complessa del lavoro è stabilire il valore dell’erroredi misura sul volume. Per farlo prima dovremo evidenziare gli errori assoluti e re-lativi sulle singole misure prese con il righello. Poi propagare l’errore sul valore delvolume.

Svolgimento Per prima cosa calcoliamo il volume del parallelepipedo

V = a · b · h = 20mm · 40mm · 10mm = 8000mm3

Calcoliamo adesso l’errore relativo sulle tre misure fatte col righello

Erel−a =Ea−aa

=1mm

20mm= 0, 05 = 5 %

Erel−b =Ea−bb

=1mm

40mm= 0, 025 = 2, 5 %

Erel−h =Ea−hh

=1mm

50mm= 0, 02 = 2 %

Nella formula per calcolare il volume del parallelepipedo si moltiplicano le mi-sure dei tre spigoli quindi l’errore relativo sul volume sarà la somma degli errorirelativi di queste grandezze

Erel−V = Erel−a + Erel−b + Erel−h = 0, 095 = 9, 5%

quindi l’errore assoluto sul volume vale

Ea = Erel−V · V = 760mm3

Il risultato finale da scrivere sarà quindi

V = 8000mm3 ± 760mm3 Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Page 20: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

20 Scheda3. Generalità: soluzioni

Problema di: Laboratorio - I0014

Testo [I0014] [2 6 ] Hai misurato con un righello la base e l’altezza di un ret-tangolo ottenendo b = 10, 0 cm ± 0, 1 cm e h = 5, 0 cm ± 0, 1 cm. Indicando in modocorretto gli errori di misura, calcola l’area ed il perimetro del rettangolo.

Spiegazione Il calcolo dell’area e del perimetro è un conto banale; questo eserciziopunta sulla corretta stima degli errori di misura su tali grandezze.

Svolgimento Cominciamo a calcolarci area e perimetro del rettangolo.

A = b · h = 50 cm2

P = 2(b+ h) = 30 cm

Passiamo adesso alla stima degli errori di misura. Gli errori assoluti sulle due misureci sono già stati dati dal testo del problema.

Ea−base = 0, 1 cm

Ea−alt = 0, 1 cm

Possiamo quindi calcolare gli errori relativi sulle misure della base e dell’altezza delrettangolo.

Er−base =0, 1 cm

10, 0 cm= 0, 01 = 1%

Er−alt =0, 1 cm

5, 0 cm= 0, 02 = 2%

Il calcolo dell’errore sul perimetro prevede che si sommino gli errori assoluti di baseed altezza, visto che per calcolare il perimetro si deve cominciare a calcolare la sommadei suoi lati. La somma dei due lati va poi moltiplicata per 2 per avere il valore delperimetro; per questo motivo moltiplico per 2 anche il valore dell’errore assoluto.

Ea−perim = 2 · (0, 1 cm+ 0, 1 cm) = 0, 4 cm

Il calcolo dell’errore sull’area prevede che si sommino gli errori relativi di base edaltezza, visto che per calcolare l’area si deve calcolare il prodotto dei suoi lati

Er−area = 0, 01 + 0, 02 = 0, 03

Ea−area = A · 0, 03 = 1, 5 cm2

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Page 21: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

21 Scheda3. Generalità: soluzioni

Problema di: Laboratorio - I0015

Testo [I0015] [2 7 ] Un cilindro graduato contiene un volume Vi = 250 cm3 ±1 cm3 di acqua. Dopo averci immerso un oggetto di massa m = 1, 12 kg ± 0, 01 kg, ilcilindro segna un volume Vf = 375 cm3 ± 1 cm3. Calcola volume e densità dell’og-getto.

Spiegazione Questo problema vogliamo misurare la densità di un oggetto tramiteimmersione in un liquido. Noi ne conosciamo la massa e ne misuriamo il volume.Nel cilindro graduato c’è un certo quantitativo di luquido; immergendo l’oggetto illivello del liquido sale. L’unica cosa da sapere è cosa sia la densità di un materiale,definita come il rapporto tra massa e volume di un qualunque oggetto fatto di quelmateriale

ρ =M

V

Visto che la densità di un oggetto dipende solo dal materiale di cui è fatto, è suffi-ciente confrontare le tabelle dei materiali per sapere il tipo di materiale.

Il volume dell’oggetto lo si ricava per differenza tra i livelli dei liquidi dopo eprima dell’immersione. La densità la calcoliamo con la formula

Svolgimento Il volume si ricava per differenza

Vogg = Vf − Vi = 125 cm3

Ea,V = 1 cm3 + 1 cm3 = 2 cm3

Er,V =2 cm3

125 cm3= 0, 024

per cui

Vogg = 125 cm3 ± 2 cm3

La massa è

m = 1, 12 kg ± 0, 01 kg

L’errore relativo sulla massa è

Er,m =0, 01 kg

1, 12 kg= 0, 009

La densità dell’oggetto vale

ρogg =m

V=

1, 12 kg

125 cm3= 0, 00896

kg

cm3

L’errore relativo sulla densità, essendo stata calcolata vacendo la divisione di duegrandezze, si calcola sommando gli errori relativi delle due grandezze.

Er,ρ = Er,m + Er,V = 0, 009 + 0, 024 = 0, 033

possiamo ora calcolare l’errore assoluto sulla densità

Ea,ρ = Er,ρ · ρogg = 0, 033 · 0, 00896kg

cm3= 0, 000296

kg

cm3

La misura della densità dell’oggetto sarà quindi

ρogg = 0, 00900kg

cm3± 0, 00030

kg

cm3

dove l’errore è stato opportunamente arrotondato.

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Page 22: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

22 Scheda3. Generalità: soluzioni

Problema di: Laboratorio - I0016

Testo [I0016] [1 2 ] Se stai misurando il periodo T di un pendolo utilizzandoun cronometro (portata P = 10h; precisione E = 0, 01 s) azionato dalla tua mano,quanto vale l’errore di misura che fai sulla singola misurazione? Come puoi fare,facendo solo una misura, a migliorare la precisione della misura fino a Ea = 0, 02 s

Spiegazione La misura del periodo del pendolo è come tutte le misure affetta daerrore. Essendo il cronometro azionato dalla mano, l’errore che si compie è legatoai riflessi del corpo umano. La scelta di un’opportuna tecnica di misura permette diridurre l’errore che si compie.

Svolgimento Nel fare la misura del periodo del pendolo il cronometro viene azio-nato due volte, quindi l’errore assoluto sulla misura è pari ad doppio del tempo direazione dei riflessi umani

Ea = 2 · 0, 1 s = 0, 2 s

L’errore di misura dello strumento, essendo piccolo rispetto all’imprecisione dovutaai riflessi umani, non viene tenuto in considerazione.

Per migliorare la misura, invece di misurare con il cronometro la durata di unaoscillazione, possiamo misurare la durata di dieci oscillazioni. In questo modo avre-mo che

T10 = 10T ± 0, 2 s

dividendo per 10 avremo la durata di una oscillazione

T1 =10T

10± 0, 2 s

10= T ± 0, 02

ottenendo così una stima della durata di una oscillazione.

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Problema di: Laboratorio - I0017

Testo [I0017] [2 3 ] Due cubi di lato l = 10 cm, uno di argento (di densitàρAg = 10, 5 kg

dm3 ) e l’altro di piombo (di densità ρPb = 11, 3 kgdm3 ), hanno la stessa

massa. Quanto è grande la cavità che ci deve essere all’interno del cubo di piombo?

Spiegazione In questo problema abbiamo due cubi di eguale volume ma materialedifferente. Questo significa che i due cubi non dovrebbero avere la stessa massa.Visto che il testo afferma invece che hanno la stessa massa, questo significa che ilcubo più denso deve avere necessariamente una cavità all’interno ch lo alleggeriscaun po’.

Svolgimento Il problema ci dice che i due cubi hanno lo stesso volume

V = Vcubo = l3 = 1000 cm3 = 1 dm3

e stessa massa, quindi

MPb = MAg

ρPbVPb = ρAgVAg

Il volume dell’argento coincide con il volume del cubo, il volume del piombo èpari al volume del cubo meno il volume della cavità interna vuota, per cui

ρPb (Vcubo − Vcav) = ρAgVcubo

da cui ricavo il volume della cavità

ρPbVcubo − ρPbVcav = ρAgVcubo

−ρPbVcav = ρAgVcubo − ρPbVcubo

ρPbVcavita = ρPbVcubo − ρAgVcubo

Vcav =ρPbVcubo − ρAgVcubo

ρPb

Page 23: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

23 Scheda3. Generalità: soluzioni

Vcav = VcuboρPb − ρAg

ρPb

Vcav = Vcubo

(1− ρAg

ρPb

)

Vcav = 1 dm3

(1− 10, 5

11, 3

)= 0, 93 dm3

Autore: Andrea de Capoa 12 Ott 2016

Problema di: Vettori - I0018

Testo [I0018] [1 2 ] Una barca attraversa un fiume muovendosi in diagonalecon velocità V = 10 m

s . La barca si muove quindi contemporaneamente lungo ladirezione del fiume con velocità Vx = 8 m

s e lungo la direzione tra le due sponde.Con quale velocità si sta avvicinando alla sponda opposta? Disegna tale vettore.

Spiegazione La barca si muove in diagonale tra una sponda e l’altra. Il suo movi-mento può quindi essere scomposto nella somma di due movimenti: il primo lungola direzione del fiume, ed il secondo nella direzione tra una sponda e l’altra.

Vx = 8 ms

Vy =? V = 10 ms

Svolgimento Le due componenti del vettore ~V sono tra loro perpendicolari, quindipossiamo utilizzare il teorema di Pitagora

Vy =√V 2 − V 2

x =

√100

m2

s2− 64

m2

s2= 6

m

s

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Page 24: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

24 Scheda3. Generalità: soluzioni

Problema di: Misure - I0019

Testo [I0019] [1 2 ] Un libro di 500 pagine, misurato con un righello, è spessoh = 3, 5 cm± 0, 1 cm. Quanto è spessa ogni singola pagina? Calcola l’errore assolutoe relativo sulla misura della singola pagina.

Spiegazione La misura fatta con il righello ha una certa precisione. Dividendo peril numero di pagine, anche la relativa precisione cambia.

Svolgimento Lo spessore di una singola pagina risulta essere:

h1 =h

500= 0, 0070 cm± 0, 0002 cm

L’errore relativo è:Er =

EaMis

=0, 0002

0, 0070= 2, 86%

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Problema di: Misure - I0020

Testo [I0020] [2 4 ] Un oggetto è fatto da due cubi di lato L = 80mm di legnidifferenti, rispettivamente di densità ρ1 = 0, 7 g

cm3 e ρ2 = 0, 5 gcm3 . I due cubi sono

attaccati per una delle facce. Indica su di un opportuno sistema di riferimento dovesi trova il baricentro dell’oggetto.

Spiegazione Per determinare la posizione del baricentro di un oggetto è necessariofissare prima un sistema di riferimento e successivamente applicare la formuletta peril calcolo delle coordinate del baricentro.

Svolgimento Utilizziamo come sistema di riferimento un asse x la cui origine sitrova nel punto medio tra i baricentri dei due cubi. Le coordinate dei baricentri deidue cubi risultano quindi essere x1 = −L2 = −4 cm e x2 = +L

2 = 4 cm

I volumi dei due cubi valgono

V = L3 = 512 cm3

Le masse dei due cubi valgono

m1 = ρ1 · V = 358, 4 g

m2 = ρ2 · V = 256 g

La posizione del baricentro risulta quindi essere

xb =m1x1 +m2x2

m1 +m2=−409, 6 g · cm

614, 4 g= −2

3cm ∼ −0, 67 cm

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Page 25: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

25 Scheda3. Generalità: soluzioni

Problema di: Laboratorio - Lab0001

Testo [Lab0001] [2 5 ] Ti trovi su Marte. Hai misurato con un righello la lun-ghezza di un pendolo ottenendo L = 98, 5 cm±0.5 cm. Hai poi misurato cinque volteil periodo di oscillazione del pendolo ottenendo i valori indicati in tabella. Quantovale l’accelerazione di gravità di Marte?

T1

3,23 s 3,22 s 3,22 s 3,23 s 3,24 s

Spiegazione La fisica del pendolo ci dice che

T = 2π

√L

g

La misura di L e di T permette di calcolare g. Le incertezze di misura su L e su T sipropagano di conseguenza sul risultato di g

Svolgimento Cominciamo con il caloclare il valore del periodo di oscillazione delpendolo con i relativi errori

T =2 · 3, 22 s+ 2 · 3, 23 s+ 3, 24 s

5= 3, 228 s

Ea−T =3, 24 s− 3, 22 s

2= 0, 01 s

Er−T =0, 01 s

3, 228 s= 0, 0031

Calcoliamo adesso l’errore di misura si L

Er−L =0, 005m

0, 985 s= 0, 0051

Calcoliamo adesso il valore di g ed il suo errore relativo

gMarte

= 4π2 L

T 2= 3, 732

m

s2

Visto che le due misure sono trate tra loro divise, avremo che

c = Er−L + 2 · Er−T = 0, 133

e quindiEa−g = Er−g · gMarte = 0, 133 · 3, 732

m

s2= 0, 496

m

s2

L’accelerazione di gravità su Marte misurata da te è quindi

gMarte

= 3, 732m

s2π0, 496

m

s2

più sensatamente scritto come

gMarte

= 3, 73m

s2π0, 50

m

s2

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Page 26: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

26 Scheda3. Generalità: soluzioni

Problema di: Laboratorio - Lab0002

Testo [Lab0002] [1 3 ] Hai misurato con un cronometro la durata dell’oscillazio-ne di un pendolo ottenendo i seguenti risultati: T0 = 12, 4 s, T1 = 12, 3 s, T2 = 12, 3 s,T3 = 12, 6 s, T4 = 12, 6 s, T5 = 12, 2 s, T6 = 12, 4 s. Quanto vale il periodo di oscil-lazione di quel pendolo? Quanto vale l’errore assoluto sulla misura? Quanto valel’errore relativo sulla misura?

Spiegazione Per misurare una grandezza fisica spesso è opportuno ripetere la mi-sura molte volte per avere un’idea chiara non solo del valore della grandezza, masoprattutto delle incertezze sperimentali sulla misuta effettuata.

Svolgimento Per prima cosa calcoliamo il valore medio delle misure ottenute:

Tmed =T0 + T1 + T2 + T3 + T4 + T5 + T6

7= 12, 4 s

L’incertezza sperimentale la si calcola ora scrivendo:

Errass =Tmax − Tmin

2= 0, 2 s

Il risultato della misura è quindi

T = 12, 4 s± 0, 2 s

Con un errore relativoErel =

0, 2 s

12, 4 s= 0, 016 = 1, 6%

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Problema di: Laboratorio - Lab0003

Testo [Lab0003] [2 3 ] Vogliamo misurare la velocità di un’auto che viaggiaa circa V = 10 m

s con un errore relativo Er−V = 2%. Per farlo cronometriamo inquanto tempo tale auto percorre una distanza ∆S = 20, 0m±0, 1m. Quale incertezzaassoluta deve avere il cronometro che dovremo utilizzare?

Spiegazione Ogni misura ha sempre un certo livello di incertezza. La misura dellavelocità si ottiene dividendo la misura della distanza percorsa per il tempo trascorso:V = ∆S

∆t . L’errore relativo sulla velocità sarà la somma degli errori relativi sullospostamento e sul tempo.

Svolgimento Considerando che V = ∆S∆t allora avremo

Er−V = Er−∆S + Er−∆t

Er−∆t = Er−V −0, 1m

20, 0m= 1, 5%

L’incertezza del cronometro deve quindi essere al massimo

Ea−∆t = Er−∆t ·∆t = Er−∆t ·∆S

V= 1, 5% · 20m

10 ms

= 0, 03 s

Autore: Andrea de Capoa 10 Feb 2018

Page 27: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

Scheda 4Cinematica: soluzioniProblema di: Cinematica - C0015ban

Testo [C0015ban] [0 9 ] Esercizi banali di Cinematica:

1. Moto rettilineo uniforme

(a) Quanto spazio percorre in un tempo ∆t = 70 s un oggetto che si muovecon velocità costante V = 80 m

s ?[∆S = 5600m]

(b) Quanto spazio percorre in un tempo ∆t = 70 s un oggetto che si muovecon velocità costante V = 80 Km

h ?[∆S = 1555, 6m]

(c) Quanto tempo impiega un pallone da calcio ad arrivare in porta se calciatoad una velocità V = 25 m

s da una distanza ∆S = 30m? Ipotizziamo che ilpallone viaggi sempre alla stessa velocità lungo il suo tragitto.[∆t = 1, 2 s]

2. Moto uniformemente accelerato

(a) Quanto spazio percorre in un tempo di ∆t = 5 s un oggetto che si muovecon un’accelerazione costante a = 2 m

s2 e che parte con una velocità inizialeVi = 5 m

s nella stassa direzione e nello stesso verso dell’accelerazione?[∆S = 50m]

(b) Un oggetto viene fatto cadere dal tetto di una casa partendo da fermo. Searriva a terra dopo un tempo ∆t = 3 s, quanto è alta la casa?[h = 44, 1m]

(c) Un oggetto viene fatto cadere dentro un pozzo partendo da fermo. Searriva al fondo del pozzo dopo un tempo ∆t = 4 s, quanto è profondo ilpozzo?[h = 78, 4m]

3. Moto circolare uniforme

(a) Un oggetto ruota con una frequenza ν = 4Hz lungo un percorso circolaredi raggio r = 2m. Quale accelerazione centripeta subisce?[ac = 1263, 3 m

s2 ]

(b) Un oggetto si muove di moto circolare uniforme con velocità V = 50 ms

lungo un percorso circolare di raggio r = 2m. Con quale velocità angolareω si sta muovendo? Quanto tempo impiega a fare un giro?[ω = 25 rad

s ; ∆t = 0, 25 s]

(c) Un pilota di Formula1 subisce in curva accelerazioni laterali di circa 4g.Se sta facendo curve ad una velocità V = 150 Km

h , quanto vale il raggiodella curva?[r = 44, 3m]

Spiegazione In questo esercizio ho raccolto tutte quelle domande banali che pos-sono essere fatte su questo argomento. Per banale si intende un problema nel qualela domanda consiste semplicemente nel fornire dei dati da inserire in una formula.Non è quindi richiesta alcuna particolare capacità di ragionamento, ne particolaridoti matematiche. Questo esercizio serve unicamente ad aquisire dimestichezza conl’esecuzione dei conti numerici con le unità di misura.

Svolgimento

1. Moto rettilineo uniforme

(a)∆S = V ·∆t = 80

m

s· 70 s = 5600m

(b)

∆S = V ·∆t = 80km

h· 70 s = 80

1000m

3600 s· 70 s = 1555, 6m

(c) Usando la formula inversa

∆t =∆S

V=

30m

25 ms

= 1, 2 s

2. Moto uniformemente accelerato

27

Page 28: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

28 Scheda4. Cinematica: soluzioni

(a)

∆S =1

2a∆t2 + Vi∆t =

1

2· 2 ms2· 25 s2 + 5

m

s· 5 s = 50m

(b)

∆S =1

2a∆t2 + Vi∆t =

1

2· 9, 8 m

s2· 9 s2 + 0

m

s· 3 s = 44, 1m

(c)

∆S =1

2a∆t2 + Vi∆t =

1

2· 9, 8 m

s2· 16 s2 + 0

m

s· 4 s = 78, 4m

3. Moto circolare uniforme

(a)ac = 4π2ν2r = 4 · (3, 14)2 · 16Hz2 · 2m = 1263, 3

m

s2

(b)

ω =V

r=

50 ms

2m= 25

rad

s

T =2πr

V=

2 · 3, 14 · 2m50 m

s

= 0, 25 s

(c)

r =V 2

ac=

(1503,6 ·

ms

)2

4 · 9, 8 ms2

= 44, 3m

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Problema di: Cinematica - C0001

Testo [C0001] [1 3 ] Un’automobile viaggia alla velocità costante V1 = 120 kmh

per un tempo ∆t1 = 2h; successivamente si ferma per un tempo ∆t = 1h, ed infineriparte viaggiando alla velocità costante V2 = 90 km

h per un tempo ∆t2 = 4h. Aquale velocità media ha viaggiato l’automobile?

Spiegazione Il percorso del ciclista è suddiviso in due fasi, in ognuna delle qualisi muove di moto rettilineo uniforme. Indipendentemente da questo, per il calcolodella velocità media serve conoscere lo spazio complessivamente percorso dall’auto,ed il tempo totale da essa impiegato a percorrerlo.

Svolgimento La lunghezza del primo tratto vale

∆S1 = V1 ·∆t1 = 240 km

La lunghezza del secondo tratto vale

∆S2 = V2 ·∆t2 = 360 km

La velocità media tenuta dall’automobile sul percorso complessivo vale:

Vmedia =∆S1 + ∆S2

∆t1 + ∆t+ ∆t2=

240 km+ 360 km

2h+ 1h+ 4h= 85, 71

km

h

Questo calcolo tiene anche conto del fatto che la macchina è stata ferma per uncerto periodo di tempo.

Esercizi concettualmente identici

1. Una persona percorre un tratto di strada lungo ∆S1 = 50metri in un tempo∆t1 = 20 secondi; successivamente percorre un secondo tratto lungo ∆S2 =

30metri in un tempo ∆t2 = 15 secondi. Quale velocità media ha tenuto nelprimo tratto? Quale nel secondo tratto? Quale su tutto il percorso?[Vm1 = 2.5 m

s ; Vm2 = 2 ms ; Vmt = 2.286 m

s ]

Page 29: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

29 Scheda4. Cinematica: soluzioni

2. Un ciclista affronta una salita lunga ∆S1 = 10 km in un tempo ∆t1 = 2h e lasuccessiva discesa lunga ∆S2 = 30 km in un tempo ∆t1 = 0.5h. Quale velocitàmedia ha tenuto in salita? Quale in discesa? Quale sull’intero percorso?[Vms = 5 km

h ; Vmd = 60 kmh ; Vmt = 16 km

h ]

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Problema di: Cinematica - C0002

Testo [C0002] [2 1 ] Un’automobile viaggia alla velocità costante V1 = 120 kmh

e deve superare un camion che viaggia alla velocità costante V2 = 90 kmh . Sapendo

che il camion è lungo l2 = 11m e che la macchina è lunga l1 = 4m, quanto tempodura il sorpasso?

Spiegazione Viaggiando sia l’automobile che il camion a velocità costante l’unicaequazione che ci serve è quella del moto rettilineo uniforme. Per eseguire il sorpasso,la macchina deve percorrere un tratto di strada pari alla somma tra la lunghezza del-la macchina e del camion; la macchina avrà, rispetto al camion, una velocità relativapari alla differenza tra la veocità dell’auto e quella del camion.

Svolgimento dalla legge del moto rettilineo uniforme avremo

∆t =∆S

Vrel=

l1 + l2V1 − V2

=15m

30 kmh

=15m

30 1000m3600 s

= 1, 8 secondi

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Page 30: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

30 Scheda4. Cinematica: soluzioni

Problema di: Cinematica - C0003

Testo [C0003] [2 3 ] Un fucile spara orizzontalmente un proiettile con velocitàiniziale Vix = 800 m

s contro un bersaglio posto alla distanza ∆Sx = 400m. A quanticentimetri sotto la linea di tiro viene colpito il bersaglio?

Spiegazione Il proiettile si muove di moto parabolico, cioè contemporaneamentedi moto rettilineo uniforme in orizzontale e di moto uniformemente accelerato inverticale. Mentre il proiettile si muove in avanti, contemporaneamente cade. Quindisi tratta di sapere di quanto cade nel tempo che impiega il proiettile a raggiungere ilbersaglio

Svolgimento Considerando il moto rettilineo uniforme in orizzontale, calcoliamoin quanto tempo il proiettile raggiunge il bersaglio:

∆t =∆SxVix

=400m

800 ms

= 0, 5 s

Calcoliamo adesso di quanto cade il proiettile nell’intervallo di tempo appena tro-vato. Teniamo presente che la velocità iniziale in verticale Viy = 0; infatti il proiettileveniva sparato orizzontalmente.

∆Sy =1

2g∆t2 + Viy∆t =

1

2· 9, 8 m

s2· 0, 25 s2 = 1, 225m = 122, 5 cm

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Problema di: Cinematica - C0004

Testo [C0004] [2 5 ] Una automobile, partendo da ferma, percorre un tratto distrada ∆S1 muovendosi per un tempo ∆t1 = 10 s con un’accelerazione a = 1, 2 m

s2 .Successivamente percorre un tratto di strada ∆S2 con velocità costante per un tempo∆t2 = 30 s. Quanto è lungo il tratto di strada complessivamente percorso dallamacchina? A quale velocità media ha viaggiato la macchina?

Spiegazione L’automobile si muove inizialmente di moto uniformemente accele-rato partendo da ferma fino ad una certa velocità alla fine del primo tratto. Poimantiene tale velocità costante nel secondo tratto di strada (moto rettilineo unifor-me). La lunghezza del tratto di strada complessivamente percorso è pari alla sommadelle lunghezze dei due tratti percorsi.

Svolgimento Con le equazioni del moto uniformemente accelerato calcoliamo quan-to è lungo il primo tratto di strata e quale velocità raggiunge l’automobile.

∆S1 =1

2a∆t21 + Vi∆t1

∆S1 =1

2· 1, 2 m

s2· 100 s2 + 0m = 60m

Vf = Vi + ∆V = Vi + a ·∆t1

Vf = 0m

s+ 1, 2

m

s2· 10 s = 12

m

s2

Raggiunta questa velocità, l’auto si muove con velocità costante e quindi di motorettilineo uniforme:

∆S2 = Vf ·∆t2 = 12m

s2· 30 s = 360m

Il tratto di strada complessivamente percorso sarà daso dalla somma dei duetratti di strada, e la velocità media tenuta sarà:

∆Stot = ∆S1 + ∆S2 = 420m

Page 31: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

31 Scheda4. Cinematica: soluzioni

Vmedia =∆Stot∆ttot

=420m

40 s

Vmedia = 10, 5m

s

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Problema di: Cinematica - C0005

Testo [C0005] [1 2 ] Un atleta sta correndo una gara sulla distanza L = 10000m

viaggiando a velocità costante V = 5 ms Se ha già corso per un tempo ∆t = 8min

quanto gli manca al traguardo?

Spiegazione L’atleta si sta muovendo di moto rettilineo uniforme in quanto lasua velocità è costante. Calcolandoci quanti metri ha già percorso, per differenzapossiamo trovare quanti metri mancano al traguardo

Svolgimento Prima di tutto convertiamo il tempo di gara in secondi

∆t = 8min = 480 s

Lo spazio già percorso dall’atleta è

∆S = V ·∆t = 5m

s· 480 s = 2400m

La distanza ancora da percorrere è

D = L−∆S = 10000m− 2400m = 7600m

Esercizi concettualmente identici

1. Ipotizziamo che un centometrista corra i 100m della sua gara ad una velocitàcostante V = 9.9 m

s ; quanto dista dal traguardo dopo un tempo ∆t = 3 s dallapartenza?[∆Sr = 70, 3m]

Page 32: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

32 Scheda4. Cinematica: soluzioni

Problema di: Cinematica - C0006

Testo [C0006] [2 3 ] In una partita di calcio un attaccante si dirige verso il por-tiere avversario con velocità costante V1 = 6 m

s ; il pallone si trova tra i due giocatorie si muove verso il portiere con velocità Vp = 2 m

s ; il portiere si muove verso il pal-lone alla velocità V2 = 5 m

s . La distanza tra l’attaccante ed il pallone è ∆S1 = 4m;la distanza tra il pallone ed il portiere è ∆S2 = 8m. Chi arriva prima a prendere ilpallone?

Spiegazione In questo esercizio ci sono due giocatori che si muovono verso unoggetto anch’esso in movimento. Ognuno dei due giocatori si avvicina al pallonecon una velocità data dalla composizione delle velocità del giocatore e del pallone.Per stabilire chi arriva prima sul pallone bisogna stabilire chi impiega meno tempo araggiungerlo.

Svolgimento La velocità con cui l’attaccante si avvicina al pallone vale

V1p = V1 − Vp = 4m

s

La velocità con cui il portiere si avvicina al pallone vale

V2p = V2 + Vp = 7m

s

Il tempo impiegato dall’attaccante a raggiungere il pallone vale

∆t1 =∆S1

V1p=

4m

4 ms

= 1 s

Il tempo impiegato dal portiere a raggiungere il pallone vale

∆t2 =∆S2

V2p=

8m

7 ms

= 1, 14 s

Per questo motivo l’attaccante arriva prima

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Esercizi concettualmente identici

1. Due ciclisti si stanno dirigendo verso il traguardo della corsa. Il ciclista intesta viaggia ad una velocità V1 = 65 km

h , quello che lo segue viaggia ad unavelocità V2 = 70 km

h . Con quale velocità l’inseguitore si sta avvicinando alciclista davanti a lui?[Vrel = 5 km

h ]

2. In un incidente stradale due auto si scontrano frontalmente. Entrambe viag-giavano ad una velocità V = 45 km

h . A quale velocità relativa è avvenuto loscontro?[Vrel = 90 km

h ]

3. In un incidente stradale due auto si tamponano. L’auto che viene tamponataviaggiava ad una velocità V = 45 km

h , l’altra viaggiava ad una velocità V =

65 kmh . A quale velocità relativa è avvenuto lo scontro?

[Vrel = 20 kmh ]

4. Un treno che viaggia alla velocità V = 30 kmh passa in stazione senza fermarsi.

Sul treno un passeggero sta camminando alla velocità V = 30 kmh nello stesso

verso in cui si muove il treno. Le persone in stazione, quardando il passeggeroattraverso i vetri, a quale velocità lo vedono muoversi?[Vrel = 60 km

h ]

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Page 33: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

33 Scheda4. Cinematica: soluzioni

Problema di: Cinematica - C0007

Testo [C0007] [1 3 ] Una persona percorre un tragitto lungo ∆Sa = 100m in untempo ∆ta = 20 s; successivamente si ferma per un intervallo di tempo ∆tb = 10 s

e successivamente un tragitto ∆Sc = 50m in un tempo ∆tc = 25 s. A quale velocitàmedia ha viaggiato nel primo tratto ∆Sa? A quale velocità media ha viaggiato nelsecondo tratto ∆Sc? A quale velocità media ha viaggiato complessivamente?

Spiegazione In questo problema non è possibile specificare in quale tipo di motostia viaggiando la persona; è però possibile calcolare la velocità media tenuta dallapersona in un certo tratto. Attenzione a non fare il classico errore di confondere lavelocità media con la media delle velocità.

Svolgimento Nel primo tratto la velocità media vale

Vm−a =∆Stot∆ttot

=100m

20 s= 5

m

s

Nel secondo tratto la velocità media vale

Vm−c =∆Stot∆ttot

=50m

25 s= 2

m

s

Complessivamente, contando quindi anche la pausa tenuta dalla persona tra idue tragitti, avremo che

Vm−abc =∆Stot∆ttot

=100m+ 50m

20 s+ 10 s+ 25 s= 2, 73

m

s

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Problema di: Cinematica - C0008

Testo [C0008] [2 3 ] Un fucile spara orizzontalmente un proiettile alla veloci-tà iniziale Vix = 800 m

s contro un bersaglio alla distanza ∆Sx = 160m. Di quanticentimetri sotto la linea di tiro la pallottola colpirà il bersaglio? (Si trascuri l’effettodell’attrito con l’aria)

Spiegazione Un proiettile in volo si muove di moto parabolico, cioè di moto rettili-neo uniforme in orizzontale e di moto uniformemente accelerato in verticale. Mentreil proiettile si muove in avanti, contemporaneamente cade verso il basso.

Svolgimento Nello svolgimento di questo problema, indicheremo con una x a pe-dice tutte le grandezze fisiche che hanno a che fare con il movimento in orizzontale,ed indicheremo con una y a pedice tutte le grandezze che hanno a che fare con ilmovimento in verticale.

Il proiettile si muove di moto rettilineo uniforme in orizzontale

∆Sx = Vix∆t

dove con ∆t si intende il tempo di volo del proiettile dal fucile al bersaglio

∆t =∆SxVix

=160m

800 ms

= 0, 2 s

Dobbiamo chiederci adesso di quanto cade un oggetto in quell’intervallo di tem-po. Ricordiamoci che il proiettile veniva sparato orizzontalmente e quindi la compo-nente verticale della veocità del proiettile vale zero.

∆Sy =1

2g∆t2 + Viy∆t =

1

2· 9, 8 m

s2· 0, 04 s2 = 0, 196m = 19, 6 cm

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Page 34: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

34 Scheda4. Cinematica: soluzioni

Problema di: Cinematica - C0008a

Testo [C0008a] [2 3 ] Un fucile spara un proiettile orizzontalmente con velocitàVix = 800 m

s ; il bersaglio viene colpito ∆Sy = 19, 6 cm sotto la linea di tiro. Quantosi trova distante il bersaglio? (Si trascuri l’effetto dell’attrito con l’aria)

Spiegazione Un proiettile in volo si muove di moto parabolico, cioè di moto rettili-neo uniforme in orizzontale e di moto uniformemente accelerato in verticale. Mentreil proiettile si muove in avanti, contemporaneamente cade verso il basso.

Svolgimento Nello svolgimento di questo problema, indicheremo con una x a pe-dice le grandezze fisiche relative al moto in orizzontale, e una y a pedice le grandezzerelative al moto in verticale.

Il proiettile si muove di moto uniformemente accelerato in verticale, quindi

∆Sy =1

2g∆t2 + Viy∆t

dove con ∆t si intende il tempo di volo del proiettile dal fucile al bersaglio. La velo-cità iniziale in verticale è nulla in quanto il proiettile è stato sparato in orizzontale

∆Sy =1

2g∆t2

∆t =

√2∆Syg

=

√2 · 0, 196m

9, 8 ms2

= 0, 2 s

Il proiettile si muove di moto rettilineo uniforme in orizzontale. Utilizzandol’equazione del moto corrispondente avremo la risposta al problema.

∆Sx = Vix∆t = 800m

s· 0, 2 s = 160m

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Problema di: Cinematica - C0009

Testo [C0009] [2 2 ] Un oggetto si trova ad una certa altezza e viene sparatoverso l’alto con una velocità iniziale Vi = 4 m

s . Sapendo che arriverà a terra dopo untempo ∆t = 2 sec, quanto si trovava in alto?

Spiegazione In questo esercizio è facile capire che l’oggetto si muove di moto uni-formementre accelerato dal momento che agisce l’accelerazione di gravità. Bisognaperò stare attenti alla scelta del sistema di riferimento e mantenere i conti coerenticon tale scelta. Se scegliamo di posizionare il sistema di riferimento rivolto versol’alto, allora tutti i vettori verso l’alto devono essere scritti nelle formule con il segnopositivo e tutti i vettori verso il basso con il segno negativo.

Svolgimento Per sapere l’altezza iniziale dell’oggetto, sapendo che da tale altezzaarriva fino a terra, sarà sufficiente calcolare il suo spostamento ∆S, tenendo presenteche tale spostamento, essendo un vettore verso il basso, risulterà di valore negativo.

∆S =1

2g∆t2 + Vi∆t

∆S =1

2·(−9, 8

m

s2

)· 4 s2 + 4

m

s· 2 s

∆S = −19, 6m+ 8m = −11, 6m

L’oggetto ha quindi percorso un certo tragitto (si è mosso verso l’alto per poiricadere) ma si è spostato di 11, 6m dal punto di partenza fino a terra. L’oggetto sitrovava quindi all’altezza di 11,6 m

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Page 35: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

35 Scheda4. Cinematica: soluzioni

Problema di: Cinematica - C0010

Testo [C0010] [2 4 ] Un tennista durante il servizio colpisce orizzontalmente lapallina all’altezza hi = 2m imprimendole una velocità iniziale Vix = 30 m

s . Sapendoche la rete nel punto più alto è alta hr = 1, 07m e che tale rete si trova alla distanza∆Sx = 11, 89m dalla riga di fondo, calcola a quanti centimetri da terra la pallinapassa sopra la rete.

Spiegazione La pallina, lanciata orizzontalmente verso la rete, si muove di motoparabolico, cioè di moto rettilineo uniforme in orizzontale e di moto uniformementeaccelerato in verticale. mentre la pallina di sposta verso la rete, contemporaneamen-te cade; sapendo di quanto cade rispetto all’altezza iniziale dalla quale è partita,possiamo stabilire se passa sopra la rete o no.

Svolgimento Cominciamo con l’analizzare il moto rettilineo uniforme in orizzon-tale

∆Sx = Vix∆t

∆t =∆SxVix

=11, 89m

30 ms

= 0, 396 s

Durante questo intervallo di tempo la pallina cade di

∆Sy =1

2g∆t2 + Viy∆t =

1

2· 9, 8 m

s2· (0, 396 s)

2= 0, 77m = 77 cm

Quindi la pallina passa sopra la rete all’altezza da terra h2 = hi−∆Sy = 1, 23m =

123 cm

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Problema di: Cinematica - C0011

Testo [C0011] [2 4 ] Un’auto ha velocità Vi = 108 kmh e comincia a rallentare fino

alla velocità Vf = 72 kmh . La frenata dura ∆t = 4 sec. Calcola l’accelerazione subita

dall’auto e indicane il verso. Quanta strada ha fatto l’auto durante la frenata?

Spiegazione Questo problema parla di un’automobile che si muove con accelera-zione costante, quindi di moto uniformemente accelerato. Il problema si risolve-rà utilizzando le equazioni del moto uniformemente accelerato. Sarà importantericordarsi di convertire l’unità di misura della velocità per poi eseguire i conti.

Svolgimento Cominciamo con il convertire i valori delle velocità:

Vi = 108km

h= 108

1000m

3600 s= 30

m

s

Vf = 72km

h= 72

1000m

3600 s= 20

m

s

Le equazioni del moto uniformemente accelerato sono:

∆V = a∆t ∆S =1

2a∆t2 + Vi∆t

dalla prima equazione possiamo ricavare l’accelerazione subita dall’automobile

a =∆V

∆t=Vf − Vi

∆t=

20 ms − 30 m

s

4 s=−10 m

s

4 s= −2, 5

m

s2

il segno meno indica che l’accelerazione è opposta alla velocità iniziale dell’auto-mobile, ed è per questo motivo che l’automobile sta rallentando.

Utilizzando adesso la seconda equazione

∆S =1

2·(−2, 5

m

s2

)· 16 s2 + 30

m

s· 4 s = 100m

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Page 36: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

36 Scheda4. Cinematica: soluzioni

Problema di: Cinematica - C0012

Testo [C0012] [1 2 ] Due automobili stanno percorrendo a velocità costantedue strade che si incrociano. La prima automobile dista dall’incrocio ∆S1 = 600m esta viaggiando ad una velocità V1 = 30 m

s . La seconda automobile dista dall’incrocio∆S2 = 800m. A quale velocità deve viaggiare la seconda macchina affinchè si scontricon la prima?

Spiegazione Per prima cosa osserviamo che le due automobili viaggiano a velocitàcostante e quindi si muovono di moto rettilineo uniforme. Questo ci permette di sta-bilire che l’unica formula da utilizzare è quella del moto uniforme ∆S = V ·∆t. Os-serviamo inoltre che affinchè le due auto si scontrino devono arrivare all’incrocio nel-lo stesso istante, quindi il tempo impiegato dalla prima auto ad arrivare all’incrociodeve essere uguale al tempo impiegato dalla seconda auto.

Svolgimento Cominciamo con il calcolare quanto tempo impiega la prima auto perarrivare all’incrocio

∆S1 = V1∆t1

∆t1 =∆S1

V1=

600m

30ms= 20 s

Sapendo che affinchè ci sia uno scontro le due auto devono impiegare lo stessotempo per arrivare all’incrocio

∆t2 = ∆t1 = 20 s

quindi la seconda automobile deve viaggiare alla velocità

V2 =∆S2

∆t2=

800m

20 s= 40

m

s

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Problema di: Cinematica - C0013

Testo [C0013] [1 1 ] Se mi muovo in avanti di ∆S1 = 600m, e poi a destra di∆S2 = 800m, quanti metri ho percorso? Di quanti metri mi sono spostato rispetto alpunto di partenza? Disegna i due spostamenti e lo spostamento totale.

Spiegazione La grandezza fisica chiamata Spostamento è una grandezza vettoriale,cioè ha tre caratteristiche (modulo, direzione e verso) e si può rappresentare con unvettore. In questo problema i due vettori spostamento sono perpendicolari tra loro,quindi il vettore somma altro non è se non l’ipotenusa di un triangolo rettangoloche per cateti ha i due vettori indicati dal problema. Ovviamente il moulo dellospostamento totale è la distanza tra il punto di partenza ed il punto di arrivo, e nonè da confondersi con il numero di metri percorsi. Il numero di metri percorsi è lalunghezza del percorso seguito.

Svolgimento La lunghezza del percorso fatto (cioè il numero di metri percorsi) èla somma delle lunghezza dei due spostamenti

∆ltot = ∆S1 + ∆S2 = 1400m

Lo spostamento totale è la somma vettoriale dei due spostamenti e vale

∆Stot =√

∆S21 + ∆S2

2 =√

360000m2 + 640000m2 = 1000m

∆S1

∆S2

∆Stot

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Page 37: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

37 Scheda4. Cinematica: soluzioni

Problema di: Cinematica - C0013a

Testo [C0013a] [1 1 ] Se mi muovo verso nord di ∆S1 = 600m, e poi versoest di ∆S2 = 300m, ed infine verso sud di ∆S3 = 200m, quanti metri ho percor-so? Di quanti metri mi sono spostato rispetto al punto di partenza? Disegna i trespostamenti e lo spostamento totale.

Spiegazione La grandezza fisica chiamata Spostamento è una grandezza vettoriale,cioè ha tre caratteristiche (modulo, direzione e verso) e si può rappresentare con unvettore che parte dal punto di partenza ed arriva nel punto di arrivo.

Svolgimento La lunghezza del percorso fatto (cioè il numero di metri percorsi) èla somma delle lunghezza dei tre spostamenti

Ltot = ∆S1 + ∆S2 + ∆S3 = 1100m

Lo spostamento totale è la somma vettoriale dei tre spostamenti. Per calcolar-la dobbiamo osservare che lo spostamento richiesto è l’ipotenusa di un triangolorettangolo di cateti rispettivamente a = ∆S2 = 300m e b = ∆S1 −∆S3 = 400m

∆Stot =√

∆a2 + ∆b2 =√

90000m2 + 160000m2 = 5000m

∆~S1

∆~S2

∆~S3

∆~Stot

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Problema di: Cinematica - C0014

Testo [C0014] [2 3 ] Un cannone spara orizzontalmente un proiettile da unapostazione rialzata, con una velocità iniziale orizzontale ~Vix = 200 m

s . Dopo untempo ∆t = 2 s colpisce il suo bersaglio. Quanto distante si trova il bersaglio in lineaorizzontale? Quanto più in basso rispetto all’altezza del cannone?

Spiegazione Il proiettile sparato dal cannone si muove di moto parabolico; mentreil proiettile avanza, contemporaneamente cade. Per risolvere il problema è neces-sario analizzare il moto rettilineo uniforme in orizzontale e il moto uniformementeaccelerato in verticale.

Svolgimento Cominciamo con l’analizzare il moto rettilineo uniforme in orizzon-tale

∆Sx = Vix∆t = 200m

s· 4 s = 800m

Tenendo conto che il proiettile è stato sparato in orizzontale, per cui Viy = 0,durante l’intervallo di tempo il proiettile cade di

∆Sy =1

2g∆t2 + Viy∆t =

1

2· 9, 8 m

s2· 4 s2 = 19, 6m

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Page 38: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

38 Scheda4. Cinematica: soluzioni

Problema di: Cinematica - C0016

Testo [C0016] [2 4 ] Due oggetti vengono lanciati uno verso il basso e l’altroverso l’alto, entrambi con una velocità iniziale Vi = 5 m

s . Se entrambi arrivano aterra dopo un tempo ∆t = 4 s, quanto si trovavano in alto?[ha = 98, 4m; hb = 58, 4m]

Spiegazione In questo problema due oggetti vengono lanciati con la stessa velocitàin due direzioni opposte. Dal momento che arrivano entrambi a terra contempora-neamente, se ne deduce che quello lanciato verso il basso doveva trovarsi più in alto.La particolarità di questo esercizio è che i dati numerici del problema sono gli stessiper entrambi gli oggetti, ma le due situazioni sono di fatto differenti.

Svolgimento L’altezza a cui si trovano i due oggetti coincide con lo spostamentoche fanno.

Per il primo oggetto:

ha = ∆Sa =1

2g∆t2 + Vi−a∆t =

1

2· 9, 8 m

s2· 16 s2 + 5

m

s· 4 s = 98, 4m

Per il secondo oggetto:

hb = ∆Sb =1

2g∆t2 + Vi−b∆t =

1

2· 9, 8 m

s2· 16 s2 − 5

m

s· 4 s = 58, 4m

In questo caso il valore della velocità iniziale viene messo negativo in quanto èun vettore opposto ai vettori spostamento ed accelerazione, i quali sono stati messipositivi.

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Problema di: Cinematica - C0017

Testo [C0017] [2 3 ] Un pallone viene lanciato verso l’alto con una velocitàiniziale Vi = 10 m

s . Dopo quanto tempo non si è spostato?[∆t = 2, 04 s]

Spiegazione In questo problema sul moto uniformemente accelerato viene chiestodi trovare in quanto tempo l’oggetto in questione ha fatto un certo spostamento. dalmomento che il tempo, nell’equazione oraria del moto uniformemente accelerato,compare al secondo grado, allora per risolvere il problema serve saper risolvere leequazioni di secondo grado.

Svolgimento L’equazione del moto uniformemente accelerato è:

∆S =1

2a∆t2 + Vi∆t

altrimenti scrivibile come

1

2a∆t2 + Vi∆t−∆S = 0

Risolvendo l’equazione in funzione del tempo avremo che:

∆t1,2 =−Vi ±

√V 2i + 2a∆S

a

In questo esercizio lo spostamento richiesto all’oggetto è zero, per cui ∆S = 0 equindi

∆t1 = 0

∆t2 =−2Via

=−2 · 10 m

s

−9, 8 ms2

= 2, 04 s

Da notare che il valore dell’accelerazione di gravità è stato messo negativo inquanto diretta dalla parte opposta rispetto alla velocità iniziale. Guardiamo adesso ivalori ottenuti: la prima soluzione indica che l’oggetto non si è spostato nel momento

Page 39: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

39 Scheda4. Cinematica: soluzioni

stesso della partenza... e quasta è la soluzione ovvia. Il secondo risultato riguarda ilcaso in cui l’oggetto, laciato in aria, nel ricadere a terra per un singolo istante si trovanelòla posizione iniziale, e quindi in quell’istante il suo spostamento è nullo.

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Problema di: Cinematica - C0018

Testo [C0018] [1 5 ] Un’auto da corsa alla fine di una gara dista dal traguardo∆S1t = 600m e viaggia a velocità costante V1 = 80 m

s ; una seconda auto dista daltraguardo ∆S2t = 500m e viaggia a velocità costante V2 = 50 m

s . Chi vince la gara?Dopo quanto tempo l’auto più veloce sorpassa quella più lenta? Quando l’auto chevince taglia il traguardo, a che distanza dal traguardo si trova l’auto che perde?[∆t1 = 7, 5 s;∆t2 = 10 s;Vince la prima auto; ∆tsorp = 3, 33 s; d = 125m]

Spiegazione In questo problema entrambe le auto viaggiano a velocità costante,quindi si muovono di moto rettilineo uniforme. L’unica formula da usare sarà quindi∆S = V ·∆t.

Svolgimento Alla prima domanda si risponde stabilendo quale automobile impie-ga meno tempo ad arrivare al traguardo.

∆t1 =∆S1

V1=

600m

80 ms

= 7, 5 s

∆t2 =∆S2

V2=

500m

50 ms

= 10 s

Vince quindi la prima macchina, in quanto, anche se più lontana, ci impiega menotempo a raggiungere il traguardo.

La macchina più veloce si sta avvicinando a quella più lenta, da lei distante

∆Srel = S1 − S2 = 100m

con una velocità relativa

Vrel = V1 − V2 = 30m

s

Il sorpasso avverrà dopo un tempo

∆tsorp =∆SrelVrel

=100m

30 ms

= 3, 33 s

Page 40: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

40 Scheda4. Cinematica: soluzioni

Abbiamo visto che l’auto vincitrice taglia il traguardo dopo ∆t1 = 7, 5 s; in quellostesso tempo l’auto più lenta percorre

∆S2 = V2 ·∆t1 = 50m

s· 7, 5 s = 375m

L’auto dista quindi dal traquardo

d = ∆S2t −∆S2 = 500m− 375m = 125m

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Problema di: Cinematica - C0019

Testo [C0019] [1 1 ] Un ascensore con dentro una persona comincia la suacorsa in salita partendo con accelerazione a = 2 m

s2 . Quanto vale l’accelerazionecomplessiva subita dalla persona?

Spiegazione In questo problema abbiamo una persona che subisce due accele-razioni. L’accelerazione totale sarà semplicemente la somma vettoriale delle dueaccelerazioni subite.

Svolgimento La prima accelerazione che la persona subisce è l’accelerazione digravità verticale verso il basso del valore g = 9, 8 m

s2

La seconda accelerazione che la persona subisce è causata dal movimento del-l’ascensore. visto che l’ascensore si muove verso l’alto con accelerazione a = 2 m

s2 ,allora la persona all’interno dell’ascensore deve percepire un’accelerazione ugualein valore ma rivolta verso il basso.

L’accelerazione totale risulta quindi

atot = g + a = 11, 8m

s2

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Page 41: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

41 Scheda4. Cinematica: soluzioni

Problema di: Cinematica - C0020

Testo [C0020] [1 1 ] Se in macchina eseguo una frenata con accelerazione a =

6 ms2 , quanto vale e verso dove e diretta l’accelerazione totale che subisco?

Spiegazione In questo problema abbiamo una persona che subisce due accele-razioni. L’accelerazione totale sarà semplicemente la somma vettoriale delle dueaccelerazioni subite.

Svolgimento La prima accelerazione che la persona subisce è l’accelerazione digravità verticale verso il basso del valore g = 9, 8 m

s2

La seconda accelerazione che la persona subisce è causata dal movimento dell’au-to. Visto che l’auto frena con accelerazione a = 2 m

s2 indietro rispetto al movimentodell’auto, allora la persona all’interno dell’ascensore deve percepire un’accelerazioneuguale in valore ma rivolta in avanti rispetto al movimento dell’auto.

I due vettori accelerazione sono tra loro perpendicolari, quindi

atot =√g2 + a2 = 11, 5

m

s2

ed è diretta diagonalmente in avanti verso il basso, come si può constatare effet-tuando la somma con il metodo grafico.

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Problema di: Cinematica - C0021

Testo [C0021] [1 3 ] Una moto si muove con velocità costante V1 = 72 kmh inse-

guendo un’auto che si muove con velocità costante V2 = 54 kmh . Sappiamo che in un

certo istante iniziale l’auto ha ∆t = 10min di vantaggio sulla moto. Quanti metri didistanza ci sono tra l’auto e la moto all’istante iniziale? Dopo quanto tempo la motoraggiunge l’auto?

Spiegazione In questo problema abbiamo due corpi che si muovono entrambi dimoto rettilineo uniforme a differenti velocità. La moto insegue l’auto e, visto che simuove più velocemente, prima o poi la raggiunge.

Svolgimento Sappiamo che all’istante iniziale l’auto ha Deltat = 10min di van-taggio sulla moto, quindi l’auto ha già percorso

∆S = Vauto∆t = 54km

h· 10min = 54

km

h· 1h

6= 9 km

e questo valore è il vantaggio dell’auto sulla moto.La moto si avvicina all’auto con una velocità relativa

Vrel = Vmoto − Vauto = 18km

h

Quindi la moto raggiunge l’auto dopo un tempo

∆t =∆S

Vrel=

9 km

18 kmh

= 0, 5h = 30min

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Page 42: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

42 Scheda4. Cinematica: soluzioni

Problema di: Cinematica - C0022

Testo [C0022] [1 1 ] Due lepri si rincorrono rispettivamente alla velocità costan-te V1 = 5 m

s e V2 = 3 ms , e distano inizialmente ∆S = 12m. Dopo quanto tempo il

più veloce raggiunge il più lento?

Spiegazione In questo problema abbiamo due lepri che si muovono entrambe dimoto rettilineo uniforme a differenti velocità. La lepre più veloce insegue la più lentaraggiungendola.

Svolgimento La lepre veloce si avvicina a quella lenta con una velocità relativa

Vrel = V1 − V2 = 2m

s

Quindi lo raggiunge dopo un tempo

∆t =∆S

Vrel=

12m

2 ms

= 6 s

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Problema di: Cinematica - C0022a

Testo [C0022a] [1 1 ] Due lepri, distanti tra loro ∆S = 12m, corrono una versol’altra con velocità costanti V1 = 5 m

s e V2 = 3 ms . Dopo quanto tempo si scontrano?

Spiegazione In questo problema abbiamo due corpi che si muovono entrambi dimoto rettilineo uniforme a differenti velocità. i due corpi di dirigono uno verso l’altrofino a scontrarsi.

Svolgimento Ognuna delle due lepri vede l’altra venirle addosso con una velocitàrelativa

Vrel = V1 + V2 = 8m

s

Quindi si scontrano dopo un tempo

∆t =∆S

Vrel=

12m

8 ms

= 1, 5 s

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Page 43: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

43 Scheda4. Cinematica: soluzioni

Problema di: Cinematica - C0023

Testo [C0023] [2 2 ] Un atleta deve correre una gara lunga ∆Stot = 60m. Par-tendo con una velocità iniziale Vi = 4

m

s, ha già corso per un tempo ∆t = 3 s con

un’accelerazione costante a = 0, 5m

s2. Quanti metri mancano al traguardo?

Spiegazione In questo problema l’atleta ha già percorso un certo tratto di strada.Per sapere quanti metri mancano al traguardo è necessario calcolarsi quanti metriha già percorso e sottrarre questo valore alla lunghezza complessiva della gara. Sa-pendo che l’atleta si muove con accelerazione costante, se ne deduce che si muovedi moto uniformemente accelerato; questa informazione è determinante per saperequali formule utilizzare per calcolarsi quanti metri ha già percorso.

Svolgimento La strada che l’atleta ha già percorso vale:

∆S =1

2a∆t2 + Vi∆t

∆S =1

2· 0, 5 m

s2· 9 s2 + 4

m

s· 3 s = 14, 25m

La strada che deve ancora percorrere vale:

∆Smancante = ∆Stot −∆S = 60m− 14, 25m = 45, 75m

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Problema di: Cinematica - C0024

Testo [C0024] [1 4 ] Giorgio percorre ∆S1 = 7hm e successivamente si muoveper un tempo ∆t1 = 3min viaggiando alla velocità V1 = 4

m

s. Marco percorre una

distanza ∆S2 = 0, 6Miglia e successivamente si muove per un tempo ∆t2 = 0, 1h

viaggiando alla velocità V2 = 2m

s. Chi ha percorso più strada?

Spiegazione In questo problema due persone si muovono... basta calcolare perentrambe quanta strada hanno fatto.

Svolgimento La distanza che ha percorso Giorgio vale:

∆S = ∆S1 + V1 ·∆t1

∆S = 7hm+ 4m

s· 3min = 700m+ 4

m

s· 180 s = 1420m

La distanza che ha percorso Marco vale:

∆S = ∆S1 + V1 ·∆t1

∆S = 0, 6Miglia+ 2m

s· 0, 1h = 0, 6 · 1600m+ 2

m

s· 0, 1 · 3600 s = 1680m

Marco ha fatto un po’ più di strada.

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Page 44: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

44 Scheda4. Cinematica: soluzioni

Problema di: Cinematica - C0025

Testo [C0025] [2 4 ] Un oggetto viene lanciato verso l’alto da un’altezza hi =

30m con una velocità iniziale Vi = 5 ms . Dopo quanto tempo arriva a terra?

Spiegazione In questo problema sul moto uniformemente accelerato viene chiestodi trovare in quanto tempo l’oggetto in questione ha fatto un certo spostamento. dalmomento che il tempo, nell’equazione oraria del moto uniformemente accelerato,compare al secondo grado, allora per risolvere il problema serve saper risolvere leequazioni di secondo grado.

Svolgimento Consideriamo il sistema di riferimento con l’origine nel terreno erivolto verso l’alto.

L’equazione del moto uniformemente accelerato è:

∆S =1

2a∆t2 + Vi∆t

altrimenti scrivibile come

1

2a∆t2 + Vi∆t−∆S = 0

Risolvendo l’equazione in funzione del tempo avremo che:

∆t1,2 =−Vi ±

√V 2i + 2a∆S

a

In questo esercizio lo spostamento richiesto all’oggetto è ∆S = −30m; l’accele-razione di gravità è a = g = −9, 8 m

s2 .

∆t1 = −2, 02 s

∆t2 = 3, 04 s

Da notare che il valore dell’accelerazione di gravità è stato messo negativo inquanto diretta dalla parte opposta rispetto al verso del sistema di riferimento. Guar-diamo adesso i valori ottenuti: la soluzione positiva è la risposta al problema; il

risultato negativo afferma che nel suo movimento l’oggetto si trovava a terra in uncerto istante nel passato. Visto che l’oggetto all’istante iniziale si muoveva versol’alto, questo vuol dire in effetti che proveniva da un punto più un basso.

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Page 45: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

45 Scheda4. Cinematica: soluzioni

Problema di: Cinematica - C0026

Testo [C0026] [1 2 ] Un oggetto viene lasciato cadere, partendo da fermo, in unpozzo, e ne tocca il fondo dopo un tempo ∆t = 2 s. Quanto è profondo il pozzo?

Spiegazione In questo problema sul moto uniformemente accelerato viene chie-sto di trovare di quanto si è spostato l’oggetto in questione nell’intervallo di tempoindicato. E’ sufficiente applicare la formula del moto uniformemente accelerato.

Svolgimento L’equazione del moto uniformemente accelerato è:

∆S =1

2a∆t2 + Vi∆t

L’accelerazione in questione è l’accelerazione di gravità.

∆S =1

2· 9, 8 m

s2· 4 s2 + 0 = 19, 6m

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Problema di: Cinematica - C0027

Testo [C0027] [1 2 ] Un atleta corre una gara alla velocità costante V = 4ms .Sapendo che al traguardo manca ∆S2 = 3800m, e che la gara è iniziata da ∆t =

5min, quanti metri è lunga tutta la gara?

Spiegazione Nel testo del problema viene specificato che l’atleta si muove con ve-locità costante, e quindi di moto rettilineo uniforme. Sapendo da quanto tempo èiniziata la gara e sapendo la velocità dell’atleta ci si può calcolare la distanza giàpercorsa. Sapendo poi la distanza rimanente, possiamo calcolare la lunghezza totaledella gara.

Svolgimento La distanza già percorsa dall’atleta è

∆S1 = V ·∆t = 4m

s· 5min = 4

m

s· 300 s = 1200m

La lunghezza totale della gara è quindi

∆Stot = ∆S1 + ∆S2 = 1200m+ 3800m = 5000m

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Page 46: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

46 Scheda4. Cinematica: soluzioni

Problema di: Cinematica - C0028

Testo [C0028] [1 3 ] Su di un campo da calcio rettangolare di dimensioni l =

100m e h = 70m, Marco e Luigi si muovono da un vertice del rettangolo a quelloopposto. Marco si muove lungo il perimetro, mentre Luigi si muove lungo la diago-nale del campo. Sapendo che Marco corre alla velocità VM = 6 m

s e che Luigi correpiù lento alla velocità VL = 5 m

s , chi arriva prima?

Spiegazione Marco percorre un certo tratto di strada ad una certa velocità. Luigipercorre un tratto di strada più corto viaggiando ad una velocità minore. Per saperechi arriva prima a destinazione bisogna calcolare i tempi che ci impiegano.

Svolgimento La distanza percorsa da Marco è

∆SM = l + h = 170m

La distanza percorsa da Luigi è pari alla lunghezza della diagonale del rettangolo

∆SL =√l2 + h2 ∼ 122m

Il tempo impiegato da Marco è

∆tM =∆SMVM

=170m

6 ms

= 28, 3 s

Il tempo impiegato da Luigi è

∆tL =∆SLVL

=122m

5 ms

= 24, 2 s

Luigi Arriva prima di Marco

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Problema di: Cinematica - C0029

Testo [C0029] [1 4 ] Un corpo si muove come indicato dal seguente graficospazio-tempo. Indica: la massima distanza dal punto di partenza, il numero di orecomplessivo in cui è stato fermo, la velocità media complessiva, la velocità massima.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

2

4

6

8

t(h)

S(km)

Spiegazione Un grafico spazio-tempo indica la distanza di un corpo, in funzione deltempo, dal punto di riferimento. Linee rette indicano velocità costanti; linee versol’alto indicano che il corpo si allontana dal punto di riferimento; linee orizzontaliindicano che il corpo è fermo. La pendenza della retta indica la velocità del corpo.

Svolgimento

• La massima distanza la si ha alla fine del quinto tratto con ∆Smax = 8 km

• I tratti orizzontali del grafico durano ∆tfermo = ∆t2 + ∆t4 = 5h

• La velocità media complessiva la troviamo con Vm =∆Stot∆ttot

=8 km

10h= 0, 8

km

h

• La velocità massima del corpo la si ha nel quinto tratto in quanto è il più ripido.In qul tratto il corpo percorre ∆S5 = 2 km in un tempo ∆t5 = 1h e quindi

avremo una velocità V5 =∆S5

∆t5= 2

km

h

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Page 47: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

47 Scheda4. Cinematica: soluzioni

Problema di: Cinematica - C0029a

Testo [C0029a] [1 4 ] Un corpo si muove come indicato dal seguente graficospazio-tempo. Indica: la massima distanza dal punto di partenza, il numero di orecomplessivo in cui è stato fermo, la velocità media complessiva, la velocità massima.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

2

4

6

8

t(h)

S(km)

Spiegazione Un grafico spazio-tempo indica la distanza di un corpo, in funzione deltempo, dal punto di riferimento. Linee rette indicano velocità costanti; linee versol’alto indicano che il corpo si allontana dal punto di riferimento; linee orizzontaliindicano che il corpo è fermo. La pendenza della retta indica la velocità del corpo.

Svolgimento

• La massima distanza la si ha alla fine del primo tratto con ∆Smax = 6 km

• I tratti orizzontali del grafico durano ∆tfermo = ∆t2 + ∆t4 = 2h

• La velocità scalare media nel percorso di ritorno la troviamo con

Vm =∆S0h→8h

∆t0h→8h=

6 km+ 6 km

8h= 1, 5

km

h

La velocità media vettoriale è invece nulla, visto che il corpo, essendo ritornatoal punto di partenza, non si è spostato

Vm =

∣∣∣∆~Stot

∣∣∣∆ttot

= 0

• La velocità massima del corpo la si ha nel primo tratto in quanto è il più ripido.In quel tratto il corpo percorre ∆S1 = 6 km in un tempo ∆t1 = 2h e quindi

avremo una velocità V1 =∆S1

∆t1= 3

km

h

Problema di: Cinematica - C0029b

Testo [C0029b] [1 4 ] Un corpo si muove come indicato dal seguente graficospazio-tempo. Indica: la massima distanza dal punto di partenza, il numero di orecomplessivo in cui è stato fermo, la velocità media complessiva, la velocità massima.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

2

4

6

8

t(h)

S(km)

Spiegazione Un grafico spazio-tempo indica la distanza di un corpo, in funzione deltempo, dal punto di riferimento. Linee rette indicano velocità costanti; linee versol’alto indicano che il corpo si allontana dal punto di riferimento; linee orizzontaliindicano che il corpo è fermo. La pendenza della retta indica la velocità del corpo.

Svolgimento

• La massima distanza la si ha alla fine del secondo tratto con ∆Smax = 8 km

• I tratti orizzontali del grafico durano ∆tfermo = ∆t3 + ∆t5 = 2h

• La velocità media scalare nel percorso complessivo la troviamo con

Vm =∆S0h→8h

∆t0h→8h=

11 km

10h= 1, 1

km

h

• La velocità massima del corpo la si ha nel primo tratto e nell’ultimo in quantosono i più ripidi. In quei tratti il corpo percorre ∆S1 = 4 km in un tempo

∆t1 = 2h e quindi avremo una velocità V1 =∆S1

∆t1= 2

km

h

Autore: Andrea de Capoa 9 Mar 2016

Page 48: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

48 Scheda4. Cinematica: soluzioni

Problema di: Cinematica - C0030

Testo [C0030] [1 3 ] Una bicicletta viaggia per un tempo ∆t1 = 2h alla velocitàV1 = 20 km

h e successivamente per un tempo ∆t2 = 3h alla velocità V2 = 30 kmh .

Quale velocità media ha tenuto?

Spiegazione La bicicletta percorre due tratti di strada differenti a due velocità dif-ferenti. Dal momento che per calcolare una velocità media devo calcolarmi la lun-ghezza del percorso totale e la durata del percorso totale, devo prima calcolarmi ledistanze percorse dalla bicicletta.

Svolgimento La lunghezza del primo percorso è

∆S1 = V1 ·∆t1 = 20km

h· 2h = 40 km

La lunghezza del secondo percorso è

∆S2 = V2 ·∆t2 = 30km

h· 3h = 90 km

La velocità media su tutto il percorso vale

Vm =∆Stot∆ttot

=130 km

5h= 26

km

h

Autore: Andrea de Capoa 9 Mar 2016

Problema di: Cinematica - C0031

Testo [C0031] [1 4 ] Un ciclista affronta una salita lunga ∆S1 = 10 km ad unavelocità media Vm1 = 10 m

s e la successiva discesa lunga ∆S2 = 30 km in un tempo∆t2 = 40min. In quanto tempo ha percorso il tratto in salita? Quale velocità mediaha tenuto in discesa? Quale sull’intero percorso?

Spiegazione Il percorso del ciclista è suddiviso in due fasi, ognuna delle quali vedeil ciclista muoversi di moto rettilineo uniforme. Indipendentemente da questo, peril calcolo della velocità media serve conoscere lo spazio complessivamente percorsodal ciclista, ed il tempo totale da egli impiegato a percorrerlo.

Svolgimento Il tempo impiegato dal ciclista a percorrere il primo tratto vale

∆t1 =∆S1

V1=

10000m

10 ms

= 1000 s

La velocità media tenuta nel primo tratto vale

V2 =∆S2

∆t2=

30000m

40 · 60 s= 12, 5

m

s

La velocità media tenuta dall’automobile sul percorso complessivo vale:

Vmedia =∆S1 + ∆S2

∆t1 + ∆t2=

10 km+ 30 km

1000 s+ 40 · 60 s= 11, 76

m

s

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Page 49: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

49 Scheda4. Cinematica: soluzioni

Problema di: Cinematica - C0032

Testo [C0032] [1 1 ] Dopo quanto tempo si scontrano due auto, entrambe cheviaggiano una contro l’altra alla velocità costante V = 80 km

h , se distano tra loro∆S = 2 km?

Spiegazione In questo problema due auto viaggiano con velocità costante unacontro l’altra. Il moto è quindi moto rettilineo uniforme.

Svolgimento Le due auto si avvicinano alla velocità

Vrel = V + V = 160km

h

Il tempo che impiegheranno quindi a scontrarsi è

∆t =∆S

Vrel=

2 km

160 kmh

= 0, 0125km

h

Autore: Andrea de Capoa 4 Apr 2016

Problema di: Cinematica - C0033

Testo [C0033] [1 3 ] Un ciclista affronta una salita lunga ∆S1 = 21 km ad unavelocità media Vm1 = 7 m

s e la successiva discesa lunga ∆S2 = 30 km ad una velocitàmedia Vm2 = 15 m

s . In quanto tempo ha percorso il tratto in salita? In quanto tempoha percorso il tratto in discesa? Quale velocità media ha tenuto sull’intero percorso?

Spiegazione In questo esercizio abbiamo un ciclista che si muove di moto rettilineouniforme per ognuno dei vari tratti di strada.

Svolgimento Per il tempo impiegato in salita avremo:

∆t1 =∆S1

V1=

21000m

7 ms

= 3000 s

Per il tempo impiegato in discesa avremo:

∆t2 =∆S2

V2=

30000m

15 ms

= 2000 s

Lavelocità media su tutto il percorso sarà

Vm =∆S1 + ∆S2

∆t1 + ∆t2=

51000m

5000 s= 10, 2

m

s

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Page 50: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

50 Scheda4. Cinematica: soluzioni

Problema di: Cinematica - C0034

Testo [C0034] [2 3 ] Un fucile spara un proiettile orizzontalmente con velocitàVix = 200 m

s ; il bersaglio si trova 2 cm sotto la linea di tiro e viene colpito nel centro.Quanto si trova distante il bersaglio?

Spiegazione Un proiettile in volo si muove di moto parabolico, cioè di moto rettili-neo uniforme in orizzontale e di moto uniformemente accelerato in verticale. Mentreil proiettile si muove in avanti, contemporaneamente cade verso il basso.

Svolgimento Nello svolgimento di questo problema, indicheremo con una x a pe-dice tutte le grandezze fisiche che hanno a che fare con il movimento in orizzontale,ed indicheremo con una y a pedice tutte le grandezze che hanno a che fare con ilmovimento in verticale.

Il proiettile viene sparato orizzontalmente e quindi la componente verticale del-la veocità del proiettile vale zero. Il moto di caduta è un moto uniformementeaccelerato, quindi

∆Sy =1

2g∆t2 + Viy∆t

∆Sy =1

2g∆t2

∆t =

√2∆Syg

=

√2 · 0, 02m

9, 8 ms2

= 0, 0639 s

Il proiettile si muove di moto rettilineo uniforme in orizzontale

∆Sx = Vix∆t = 200m

s· 0, 0639 s = 12, 78m

Autore: Andrea de Capoa 17 Mag 2017

Problema di: Cinematica - C0035

Testo [C0035] [1 1 ] Un atleta corre una gara lunga ∆Stot = 10000m alla velo-cità V = 4 m

s . Sapendo che al traguardo manca ∆S2 = 4000m, da quanto tempo lagara è iniziata?

Spiegazione L’atleta si sta muovendo di moto rettilineo uniforme in quanto la suavelocità è costante. Calcolandoci quanti metri ha già percorso, e successivamentequanto tempo è stato impiegato a percorrerli.

Svolgimento La distanza già percorsa è

D = ∆Stot −∆S2 = 10000m− 4000m = 6000m

Essa è stata percorsa in un tempo

∆t =D

V= 1500 s

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Page 51: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

51 Scheda4. Cinematica: soluzioni

Problema di: Cinematica - C0036

Testo [C0036] [2 4 ] Un’automobile sta viaggiando alla velocità Vi = 36 kmh

e comincia a frenare con accelerazione costante a = 0.5 ms2 . Dopo quanto tempo si

ferma? Quanto spazio ha percorso da quando ha cominciato a frenare?

Spiegazione Questo problema parla di un’automobile che si muove con accelera-zione costante, quindi di moto uniformemente accelerato. Il problema si risolveràutilizzando le equazioni del moto uniformemente accelerato. Sarà importante ri-cordarsi di convertire l’unità di misura della velocità per poi eseguire i conti. Fateattenzione ai segni da assegnare alle grandezze fisiche.

Svolgimento Cominciamo con il convertire il valore della velocità:

Vi = 36km

h= 108

1000m

3600 s= 10

m

s

Le equazioni del moto uniformemente accelerato sono:

∆V = a∆t ∆S =1

2a∆t2 + Vi∆t

dalla prima equazione possiamo ricavare la durata della frenata

∆t =∆V

a=Vf − Vi

a=

0 ms − 10 m

s

−0, 5 ms2

= 20 s

il segno meno dato all’accelerazione indica che essa è opposta alla velocità inizia-le dell’automobile, ed è per questo motivo che l’automobile sta rallentando.

Utilizzando adesso la seconda equazione

∆S =1

2·(−0, 5

m

s2

)· 400 s2 + 10

m

s· 20 s = 100m

Autore: Andrea de Capoa 17 Giu 2017

Problema di: Cinematica - C0037

Testo [C0037] [1 2 ] Un oggetto si sta inizialmente muovendo alla velocità Vi =

10 ms . Esso subisce un’accelerazione costante a = 2 m

s2 nella stessa direzione dellavelocità ma con verso opposto, per un tempo ∆t = 3 s. Quale sarà la sua velocitàfinale?

Spiegazione In questo esercizio il corpo si muove con accelerazione costante, equindi di moto uniformemente accelerato.

Svolgimento Indichiamo positivi i valori dei vettori con verso uguale alla velocitàiniziale dell’oggetto. La variazione di velocità causata dalla presenza dell’accelera-zione è

∆V = a ·∆t = −2m

s2· 3 s = −6

m

s

cioè un vettore opposto alla velocità iniziale del corpo.La velocità finale sarà

~Vf = ~Vi + ∆~V

cioè

~Vf = ~Vi + ∆~V = 10m

s− 6

m

s= 4

m

s

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Page 52: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

52 Scheda4. Cinematica: soluzioni

Problema di: Cinematica - C0037a

Testo [C0037a] [1 2 ] Un oggetto si sta inizialmente muovendo alla velocitàVi = 10 m

s . Esso subisce un’accelerazione costante a = 2 ms2 nella stessa direzione

della velocità e con lo stesso verso, per un tempo ∆t = 3 s. Quale sarà la sua velocitàfinale?

Spiegazione In questo esercizio il corpo si muove con accelerazione costante, equindi di moto uniformemente accelerato.

Svolgimento La variazione di velocità causata dalla presenza dell’accelerazione è

∆V = a ·∆t = 2m

s2· 3 s = 6

m

s

nella stessa direzione e verso del’accelerazione. La velocità finale sarà

~Vf = ~Vi + ∆~V

cioèVf = Vi + ∆V = 10

m

s+ 6

m

s= 16

m

s

Il segno più è stato messo in quanto la variazione di velocità è un vettore con lostesso verso della velocità iniziale del corpo.

Autore: Andrea de Capoa 23 Lug 2017

Problema di: Cinematica - C0038

Testo [C0038] [2 3 ] Un treno sta percorrendo a velocità costante V = 160 kmh

la linea ferroviaria Torino-Milano. All’istante ti = 900 s il treno si trova a Si = 50 km

dal punto di riferimento. Scrivi la legge oraria del moto. Dove si troverà il trenoall’istante t1 = 1800 s ? Dove si troverà quando sarà trascorso in tempo ∆t = 1, 5h

dopo l’istante t1?

Spiegazione In questo esercizio parliamo di moto rettilineo uniforme in quantola velocità è stata definita costante. L’unica formula da utilizzare sarà l’equazioneoraria del moto

∆S = v ·∆t

Svolgimento L’equazione oraria del moto è

∆S = v ·∆t

che nel nostro caso possiamo scrivere come

Sf − Si = v · (tf − ti)

Se l’asse cartesiano su cui avvieme il movimento lo indichiamo con la lettera x,la generica posizione x al tempo t la indichiamo con

xf − xi = v · (tf − ti)

x− xi = v · (t− ti)

x = 160km

h· (t− 0, 25h) + 50 km

x = 160km

h· t+ 10 km

Autore: Andrea de Capoa 23 Lug 2017

Page 53: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

53 Scheda4. Cinematica: soluzioni

All’istante t1 il treno si troverà nella posizione

x1 = 160km

h· 0, 5h+ 10 km = 90 km

All’istante t2 = t1 + ∆t = 7200 s il treno si troverà nel punto

x2 = 160km

h· 2h+ 10 km = 370 km

Autore: Andrea de Capoa 19 Set 2017

Problema di: Cinematica - C0039

Testo [C0039] [2 2 ] Un cannone spara un proiettile con una velocità inizialeVi = 500 m

s ; nel punto di massima altezza il proiettile ha velocità Vf = 300 ms . Quanto

vale il modulo della variazione di velocità? Quanto tempo ha impiegato il proiettilea raggiungere il punto di massima altezza?

Spiegazione In questo problema si parla di un moto uniformemente accelerato.L’accelerazione è l’accelerazione di gravità g = 9, 8 m

s2 . Per sapere di quanto varia ilvettore velocità è necessario disegnare i vettori ~Vi e ~Vf e sottrarli tra loro. Il tempoimpiegato lo si trova poi facilmente utilizzando la definizione di accelerazione

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1

2

3

4

5

6

∆Sx

∆Sy

~Vi

~Vf

Fig. 4.1: Traiettoria di un proiettile che si muove di moto parabolico. In arancione è rappresentato il vettorevelocità, sempre tangente alla traiettoria del proiettile.

Page 54: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

54 Scheda4. Cinematica: soluzioni

~Vi

~Vf

~∆V = ~Vf − ~Vi

Svolgimento Un moto parabolico è la com-posizione di un moto rettilineo uniforme inorizzontale con un moto uniformemente acce-lerato in verticale. La componente orizzontaledella velocità è quindi costante. Nel punto dimassima altezza la ~Vf è quindi la componen-te orizzontale di ~Vi. E’ evidente che la varia-zione di velocità corrisponde alla componenteverticale della velocità iniziale

~∆V = ~Viy = ~Vi − ~Vf

Ne segue che il modulo della variazione di velocità lo si calcolerà

∆V =√V 2i − V 2

f = 400m

s

Il tempo impiegato a raggiungere il punto di massima altezza lo si trova con

∆t =∆V

g=

400 ms

9, 8 ms2

= 40, 8 s

Autore: Andrea de Capoa 20 Set 2017

Problema di: Cinematica - C0040

Testo [C0040] [1 1 ] Una persona si trova su di un ascensore. Se l’ascensore simuove con un’accelerazione a = 2 m

s2 verso l’alto, quale accelerazione complessivapercepisce la persona?

Spiegazione In questo esercizio si chiede di determinare quanto vale l’accelerazio-ne percepitra dalla persona all’iterno del sistema di riferimento dell’ascensore. Vistoche l’acensore subisce un’accelerazione, la persona all’interno percepisce un’accele-trazione opposta, che si va a sommare con l’accelerazione di gravità.

Svolgimento L’accelerazione percepita dalla persona è

a = 9, 8m

s2+ 2

m

s2= 11

m

s2

verso il basso

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2017

Page 55: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

55 Scheda4. Cinematica: soluzioni

Problema di: Cinematica - C0041

Testo [C0041] [1 1 ] Una persona si trova su di un ascensore. Se l’ascensore simuove con un’accelerazione a = 2 m

s2 verso il basso, quale accelerazione complessivapercepisce la persona?

Spiegazione In questo esercizio si chiede di determinare quanto vale l’accelerazio-ne percepitra dalla persona all’iterno del sistema di riferimento dell’ascensore. Vistoche l’acensore subisce un’accelerazione, la persona all’interno percepisce un’accele-trazione opposta, che si va a sommare con l’accelerazione di gravità.

Svolgimento L’accelerazione percepita dalla persona è

a = 9, 8m

s2− 2

m

s2= 7

m

s2

verso il basso

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Problema di: Cinematica - C0042

Testo [C0042] [2 3 ] Un cannone spara un proiettile con una velocità inizialeVi = 500 m

s ; nel punto di massima altezza il proiettile ha velocità Vh = 300 ms . Quan-

to vale il modulo della velocità Vf del proiettile al momento dell’impatto al suolo?Quanto vale il modulo della variazione di velocità? Quanto tempo ha impiegato ilproiettile a raggiungere il punto di impatto al suolo?

Spiegazione In questo problema si parla di un moto uniformemente accelerato.L’accelerazione è l’accelerazione di gravità g = 9, 8 m

s2 . Per sapere di quanto varia ilvettore velocità è necessario disegnare i vettori ~Vi e ~Vf e sottrarli tra loro. Il tempoimpiegato lo si trova poi facilmente utilizzando la definizione di accelerazione

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1

2

3

4

5

6

∆Sx

∆Sy

~Vi

~Vh

~Vf

Fig. 4.2: Traiettoria di un proiettile che si muove di moto parabolico. In arancione è rappresentato il vettorevelocità, sempre tangente alla traiettoria del proiettile.

Page 56: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

56 Scheda4. Cinematica: soluzioni

~Vi

~Vf ~∆V = ~Vf − ~Vi

Svolgimento Un moto parabolico è la com-posizione di un moto rettilineo uniforme inorizzontale con un moto uniformemente acce-lerato in verticale. La componente orizzonta-le della velocità è quindi costante. Nel puntodi massima altezza la ~Vh è quindi la compo-nente orizzontale di ~Vi e di ~Vf . Inoltre sap-piamo che la velocità finale del proiettile de-ve esserein modulo uguale alla velocità inizia-le. La differenza è nel verso della componenteverticale della velocità.

Vf = Vi = 500m

s

E’ evidente che la variazione di velocità corrisponde al doppio della componenteverticale della velocità finale

~∆V = 2~Vfy = ~Vf − ~Vi

Ne segue che il modulo della variazione di velocità lo si calcolerà

∆V = 2√V 2f − V 2

h = 800m

s

Il tempo impiegato a raggiungere il punto di massima altezza lo si trova con

∆t =∆V

g=

800 ms

9, 8 ms2

= 81, 6 s

Autore: Andrea de Capoa 20 Set 2017

Problema di: Cinematica - C0043

Testo [C0043] [2 3 ] Un cannone spara orizzontalmente un proiettile con unavelocità iniziale Vix = 100 m

s . Quanto vale il modulo della velocità Vf del proiettiledopo un tempo ∆t = 15 s?

Spiegazione In questo problema si parla di un moto uniformemente accelerato.L’accelerazione è l’accelerazione di gravità g = 9, 8 m

s2 . Per sapere quanto vale ilvettore velocità finale è necessario disegnare i vettori ~Vix e ~Vy e sommarli tra loro.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

1

2

3

4

5

6

∆Sx

∆Sy

~Vix

~Vf

Fig. 4.3: Traiettoria di un proiettile che si muove di moto parabolico. In arancione è rappresentato il vettorevelocità, sempre tangente alla traiettoria del proiettile.

Page 57: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

57 Scheda4. Cinematica: soluzioni

~Vix

~Vf

~Vy

Svolgimento Un moto parabolico è la com-posizione di un moto rettilineo uniforme inorizzontale con un moto uniformemente acce-lerato in verticale. La componente orizzontaledella velocità è quindi costante. Sappiamo che

Vy = Viy + ∆V = 0 + a ·∆t

E’ evidente che la velocità finale è data da

Vf =√V 2ix + V 2

y =√V 2ix + (g ·∆t)2

Vf =

√1002

m2

s2+(

9, 8m

s2· 15 s

)2

= 178m

s

Autore: Andrea de Capoa 20 Set 2017

Problema di: Cinematica - C0044a

Testo [C0044a] [2 4 ] Un corpo si muove come indicato dal seguente grafi-co velocità-tempo. Indica: la velocità massima, il numero di ore in cui l’oggetto havelocità costante, l’accelerazione massima, la distanza percorsa, la velocità media.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

2

4

6

8

t(h)

V (kmh )

Spiegazione Un grafico velocità-tempo indica la velocità di un corpo in movimentoin funzione del tempo. Linee rette indicano accelerazioni costanti. La pendenza del-la retta indica l’accelerazione del corpo. Le linee verso l’alto indicano accelerazionipositive (nello stesso verso della velocità); le linee verso il basso indicano accelera-zioni negative (con verso opposto della velocità); linee orizzontali indicano che ilcorpo ha accelerazione nulla e quindi velocità costante. Lo spostamento effettuatocorrisponde all’area racchiusa sotto la curva.

Svolgimento

• La velocità massima corrisponde al maggior valore assunto nel grafico: Vmax =

6 kmh

• L’oggetto ha avuto velocità costante tra l’istante t1 = 6h e l’istante t2 = 10h

quando cioè il grafico è una retta orizzontale; quindi ∆t = 4h

• L’accelerazione massima la si ha quando il grafico ha la massima pendenza,cioè tra gli istanti t1 = 4h e t2 = 6h e vale

amax =∆V2

∆t= 2

km

h2

• La distanza percorsa corrisponde all’area racchiusa sotto la curva, cioè:

∆S =

(0 km

h + 2 kmh

)· 4h

2+

(2 km

h + 6 kmh

)· 2h

2+ 6

km

h· 4h = 36 km

Page 58: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

58 Scheda4. Cinematica: soluzioni

• La velocità media sarà quindi

Vm =∆Stot∆ttot

=36 km

10h= 3, 6

km

h

Autore: Andrea de Capoa 9 Mar 2016

Problema di: Cinematica - C0044b

Testo [C0044b] [2 4 ] Un corpo si muove come indicato dal seguente grafi-co velocità-tempo. Indica: la velocità massima, il numero di ore in cui l’oggetto havelocità costante, l’accelerazione massima, la distanza percorsa, la velocità media.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

2

4

6

8

t(h)

V (kmh )

Spiegazione Un grafico velocità-tempo indica la velocità di un corpo in movimentoin funzione del tempo. Linee rette indicano accelerazioni costanti. La pendenza del-la retta indica l’accelerazione del corpo. Le linee verso l’alto indicano accelerazionipositive (nello stesso verso della velocità); le linee verso il basso indicano accelera-zioni negative (con verso opposto della velocità); linee orizzontali indicano che ilcorpo ha accelerazione nulla e quindi velocità costante. Lo spostamento effettuatocorrisponde all’area racchiusa sotto la curva.

Svolgimento

• La velocità massima corrisponde al maggior valore assunto nel grafico: Vmax =

4 kmh

• L’oggetto ha avuto velocità costante tra l’istante t1 = 6h e l’istante t2 = 10h

quando cioè il grafico è una retta orizzontale; quindi ∆t = 4h

• L’accelerazione massima la si ha quando il grafico ha la massima pendenza,cioè tra gli istanti t1 = 5h e t2 = 6h e vale

amax =∆V2

∆t2= −2

km

h2

• La distanza percorsa corrisponde all’area racchiusa sotto la curva, cioè:

∆S =

(0 km

h + 4 kmh

)· 5h

2+

(4 km

h + 2 kmh

)· 1h

2+ 2

km

h· 4h = 21 km

Page 59: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

59 Scheda4. Cinematica: soluzioni

• La velocità media sarà quindi

Vm =∆Stot∆ttot

=21 km

10h= 2, 1

km

h

Autore: Andrea de Capoa 9 Mar 2016

Problema di: Cinematica - C0045

Testo [C0045] [2 4 ] Un’automobile esce da un parcheggio partendo da fermacon una accelerazione costante. Contemporaneamente un camion le si sta avvicinan-do, e si trova Sic = 30m dietro di lei viaggiando alla velocità Vc = 20 m

s . Con qualeaccelerazione deve muoversi l’auto per non essere tamponata dal camion?

Spiegazione In questo problema conosciamo la posizione e la velocità di due mez-zi nell’istante iniziale. Possiamo quindi utilizzare le equazioni orarie del moto persapere se i due mezzi occuperanno la stessa posizione nello stesso istante.

Svolgimento Consideriamo come istante iniziale ti = 0 s. Indichiamo con l’indicec il camion e con l’indice a l’automobile. Avremo:

Sc = Vc · t+ Sci

Sa =1

2· a · t2 + Vai · t

Lo scontro non avviene seSa > Sc

1

2· a · t2 + Vai · t > Vc · t+ Sci

1

2· a · t2 − Vc · t− Sci > 0

a · t2 − 2Vc · t− 2Sci > 0

t2 − 2Vca· t− 2Sci

a> 0

I due mezzi non si scontrano se

4=V 2c

a2+

2Scia

< 0

Sapendo che l’accelerazione dell’auto deve essere positiva e che Sic < 0

Page 60: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

60 Scheda4. Cinematica: soluzioni

V 2c < −2Scia

a >V 2c

−2Sci=

400 m2

s2

60m= 6, 67

m

s2

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Problema di: Cinematica - C0046

Testo [C0046] [2 4 ] Un proiettile viene lanciato dal tetto di un palazzo, con unavelocità iniziale Vi = 15 m

s inclinata verso l’alto rispetto all’orizzontale di un angoloα = 30, verso un palazzo di uguale altezza distante ∆Sx = 40m. Quanti metri sottoal tetto viene colpito il secondo palazzo?

Spiegazione Il proiettile si muove di moto uniformemente accelerato. Con i dati sipuò ricavare il calore delle componenti verticale ed orizzontale della velocità.

Svolgimento Le due componenti orizzontale e verticale della velocità iniziale sonoVix = Vi cosα = 14, 7 ms

Viy = Vi sinα = 8, 5 ms

Il problema chiede di calcolare lo spostamento verticale del proiettile quando haraggiunto il secondo palazzo. Il tempo che ci impiega è

∆t =∆SxVi cosα

=40m

14, 7 ms

= 2, 72 s

Ora possiamo calcolare lo spostamento verticale

∆Sy =1

2a∆t2 + Viy∆t =

1

2·(−9, 8

m

s2

)· 7, 4 s2 + 8, 5

m

s· 2, 72 s = −13, 1m

Page 61: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

61 Scheda4. Cinematica: soluzioni

Problema di: Cinematica - C0047

Testo [C0047] [2 3 ] Due automobili si muovono perpendicolarmente tra loropartendo dalla stessa posizione con velocità costanti rispettivamente Va = 12 m

s eVb = 16 m

s Quanto distano tra loro dopo un tempo ∆t = 5 s?

Spiegazione In questo problema due auto viaggiano con velocità costante in dire-zioni perpendicolari tra loro. Il moto è quindi moto rettilineo uniforme. La distanzatra loro sarà quindi il segmento che unisce le loro posizioni. Questo segmento è l’i-potenusa di un triangolo rettangolo i cui cateti sono gli spostamenti dal punto dipartenza.

Svolgimento Lo spostamento delle due auto vale:

∆Sa = Va ·∆t = 60m

∆Sb = Vb ·∆t = 80m

La distanza tra le due auto varrà

L =√

∆S2a + ∆S2

b = 100m

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Problema di: Cinematica - C0048

Testo [C0048] [3 4 ] Un automobilista sta viaggiando alla velocità Vi = 90 kmh .

Ad un certo punto si accorge di un ostacolo sulla strada alla distanza d = 140m.A causa dei tempi di reazione, comincia a frenare dopo un tempo ∆t1 = 0, 2 s. Daquando comincia a frenare impiega un tempo ∆t2 = 10 s prima di fermarsi. Colpiràl’ostacolo?

Spiegazione In questo esercizio, l’auto si muove di moto rettilineo uniforme neltempo in cui l’autista si accorge che deve frenare. Successivamente l’auto di muovedi moto uniformemente accelerato.

Svolgimento Fino a quando l’autista non comincia a frenare, l’auto percorrerà untragitto

∆S1 = Vi ·∆t1 = 90km

h· 0, 2 s = 25

m

s· 0, 2 s = 5m

L’auto comincia adesso a frenare. Indicando con ∆V2 la variazione di velocitàavuta dall’auto nella fase di decelerazione, l’accelerazione con cui l’auto frena è

a =∆V2

∆t2=

(0− 25) ms10 s

= −2, 5m

s2

L’auto quindi percorre un tragitto

∆S2 =1

2a∆t22 + Vi∆t2

∆S2 = −1

2· 2.5 m

s2· 100 s2 + 25

m

s· 10 s = 125m

L’auto quindi, dal momento in cui l’autista si accorge dell’ostacolo, fino al mo-mento in cui si ferma, percorre in tutto

∆Stot = ∆S1 + ∆S2 = 130m

Quindi l’auto riesce a fermarsi prima di colpire l’ostacolo.

Autore: Andrea de Capoa 20 Gen 2018

Page 62: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

62 Scheda4. Cinematica: soluzioni

Autore: Andrea de Capoa 31 Gen 2018

Problema di: Cinematica - C0049

Testo [C0049] [3 4 ] Dalla terrazza di un palazzo, alta Si1 = 40m da terra, vienelanciato un oggetto verso il basso con velocità iniziale Vi1 = 5 m

s . Contemporanea-mente viene lanciato da terra un secondo oggetto con velocità iniziale verso l’altopari a Vi2 = 15 m

s . A quale altezza da terra si scontrano?

Spiegazione Entrambi gli oggetti si muovono di moto uniformemente accelerato.

Svolgimento Gli oggetti si scontreranno nell’istante in cui si troveranno nella stes-sa posizione. Quindi

S1 = S2

−1

2g∆t2 + Vi2∆t = −1

2g∆t2 − Vi1∆t+ Si1

Vi2∆t = −Vi1∆t+ Si1

Quindi i due oggetti si scontrano dopo un tempo

∆t =Si1

(Vi2 + Vi1)= 2 s

La posizione degli oggetti dopo sue secondi di volo è quindi

S2 = −1

2g∆t2 + Vi2∆t = −19, 6m+ 30m = 10, 4m

Ovviamente la scelta dell’equazione del moto del secondo oggetto è del tutto equi-valente alla scelta dell’equazione del moto del primo oggetto.

Autore: Andrea de Capoa 31 Gen 2018

Page 63: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

63 Scheda4. Cinematica: soluzioni

Problema di: Dinamica - C0050

Testo [C0050] [3 3 ] Un’auto di massa m = 700 kg sta percorrendo una curvadi raggio r = 20m alla velocità iniziale Vi = 6 m

s . Mentre percorre la curva acceleracostantemente in modo da arrivare dopo un tempo ∆t = 4 s alla velocità Vf = 10 m

s

continuando sulla stessa curva. Quanto vale l’accelerazione complessiva che subiscel’auto nell’istante finale?

Spiegazione L’auto sta facendo un percorso circolare ed è quindi soggetta ad unaaccelerazione centripeta che dipende dalla velocità ed ad un’accelerazione tangen-ziale che fa incremnentare il modulo della velocità tangenziale. Ovviamente, istanteper istante, la velocità tangenziale aumenta e di conseguenza aumenta anche l’acce-lerazione centripeta necessaria per mantenere l’auto lungo la traiettoria della curva.Istante per istante l’accelerazione sarà la somma vettoriale delle due accelerazioni.

Svolgimento L’accelerazione tangenziale è

at =∆V

∆t= 1

m

s2

L’accelerazione centripeta nell’istante finale sarà

ac−f =V 2f

r= 5

m

s2

L’accelerazione complessiva sarà quindi

a =√a2t + a2

c =√

26m

s2= 5, 1

m

s2

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Problema di: Cinematica - C0051

Testo [C0051] [2 2 ] Un pendolo su di un ascensore fermo oscilla con un periodoT0 = 1 s. Quanto vale il periodo di oscillazione mentre l’ascensore sale con accelera-

zione a = 1, 2 ms2 ? [Un pendolo semplice ha periodo T = 2π

√l

g, dove l è la lunghezza del

pendolo e g l’accelerazione che muove il pendolo]

Spiegazione Sull’ascensore in moto accelerato verso l’alto, l’accelerazione percepi-ta è maggiore e quindi il periodo di oscillazione risulta minore

Svolgimento Dalla formula del periodo del pendolo semplice avremo

T 20 = 4π2 l

g

da cui

l =gT 2

0

4π2

Il periodo del pendolo del pendolo sull’ascensore in accelerazione verso l’altorisulta

T 2 = 4π2 l

g + a

T 2 =g

g + aT 2

0

T =

√g

g + aT0 =

√√√√9, 8 ms2

11m

s2

· 1 s = 0, 89 s

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Page 64: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

Scheda 5Dinamica: soluzioniProblema di: Dinamica - D0001

Testo [D0001] [2 6 ] Un blocco di massa m = 20 kg fermo su un piano oriz-zontale con coefficiente di attrito statico µstatico = 3 viene spinto verso destra. Es-so comincia a muoversi sotto l’azione di una forza F con un’accelerazione totaleatot = 5ms2 . Quanto vale il coefficiente di attrito dinamico tra il piano orizzontale el’oggetto?

1. Calcola la forza di gravità che agisce sull’oggetto.

2. Calcola la massima forza di attrito statico che può agire sull’oggetto.

3. Quanto vale la forza che fa cominciare a muovere l’oggetto?

4. Quale forza totale subisce l’oggetto mentre si muove?

5. Quanto vale la forza di attrito dinamico sull’oggetto

6. Quanto vale il coefficiente di attrito dinamico tra il piano e l’oggetto?

Spiegazione In questo esercizio abbiamo un oggetto che, inizialmente fermo, co-mincia a muoversi sotto l’azione di una forza F .

~F

~Fa

~Fg

Inizialmente l’oggetto è fermo perchè la forza di attrito statico impedisce all’og-getto di muoversi. In questa situazione la somma di tutte le forze è nulla ~Ftot = 0.Quando la forza F è sufficientemente intensa da vincere l’attrito statico, allora l’og-getto comincia a muoversi. In quell’istante l’attrito statico diventa dinamico e quindimeno intenso. Di conseguenza la forza che spinge l’oggetto è ora maggiore della for-za che lo frena, quindi la forza totale non è nulla. Visto che la forza totale non è nulla,allora l’oggetto si muove di conseguenza con una certa accelerazione.

Svolgimento La forza di gravità che agisce sull’oggetto è

Fg = mg = 20 kg · 9, 8ms2

= 196N

La massima forza d’attrito statico è generata dal fatto che c’è una forza che schiaccial’oggetto sul piano orizzontale. In questo caso tale forza è la forza di gravità.

Fs−max = µFg = 3 · 196N = 588N

La forza da fare per spostare l’oggetto deve essere tale da vincere la forza d’attrito.Quindi la forza vale

F = 588N

Mentre l’oggetto si muove subisce un’accelerazione

atot = 5m

s2

e quindi una forza

Ftot = 20 kg · 5ms2

= 100N

La forza totale che subisce l’oggetto è data da

Ftot = F − Fdin

Dovete infatti tenere presente che adesso che l’oggetto si muove, l’attrito statico nonesiste più e viene sostituito da quello dinamico. Quindi

Fdin = F − Ftot = 588N − 100N = 488N

Il coefficiente di attrito dinamico sarà quindi

µdin =FdinFg

=488N

196N= 2, 49

giustamente minore del valore del coefficiente di attrito statico.

64

Page 65: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

65 Scheda5. Dinamica: soluzioni

Esercizi concettualmente identici

1. Un blocco di ferro pesa Fp = 98N fermo su un piano orizzontale con coeffi-ciente di attrito statico µstatico = 3 viene spinto verso destra. Qual’è il valoredella forza che si deve applicare per far muovere l’oggetto? Nel momento incui comincia a muoversi, subisce un’accelerazione atot = 5

m

s2. Quale forza

totale sta subendo l’oggetto? Quanto vale, di conseguenza, la forza di attritodinamico che agisce sul blocco di ferro? Quanto vale il coefficiente di attritodinamico tra l’oggetto ed il piano su cui striscia?[F = 294N ; Ftot = 50N ; Fad = 244N ; µd = 2, 49]

2. Un oggetto di massa m = 3 kg viene fatto strisciare su di un piano orizzontalecon coefficiente di attrito dinamico µd = 0.5 spinto da una forza F = 50N .Quanto vale la forza di gravità che agisce sull’oggetto? Quanto vale la forzadi attrito che frena l’oggetto? Quanto vale la reazione vincolare fatta dal pianoorizzontale per sorreggere l’oggetto? Quanto vale la forza totale che spingel’oggetto? Quanto vale l’accelerazione totale subita dall’oggetto?[Fg = 29, 4N ; Fatt = 14, 7N ; Rv = 29, 4N ; Ftot = 35, 3N ; atot = 11, 77 m

s2 ]

3. Un oggetto di massa m = 10 kg è fermo su di un piano orizzontale con coeffi-ciente di attrito statico µs = 0.5 e con coefficiente di attrito dinamico µd = 0, 3.Per spostarlo lo spingete con una forza F . Quanto vale la forza di gravitàche agisce sull’oggetto? Quanto vale la forza F che bisogna fare per spostarel’oggetto quando è fermo? Quanto vale la forza di attrito dinamico che frenal’oggetto mentre si muove? Quanto vale la forza totale che spinge l’oggettomentre si muove? Quanto vale la sua accelerazione totale?[Fg = 98N ; F = 49N ; Fad = 29, 4N ; Ft = 19, 6N ; at = 1, 96 m

s2 ]

4. Un blocco di massam = 50 kg fermo su un piano orizzontale con coefficiente diattrito statico µstatico = 2 viene spinto verso destra. Esso comincia a muoversisotto l’azione di una forza F con accelerazione atot = 0, 5 m

s2 . Calcola la forzadi gravità che agisce sull’oggetto. Calcola la forza di attrito statico sull’oggetto.Quanto vale la forza che serve per far cominciare a muovere l’oggetto? Oral’oggetto si sta muovendo. Quale forza totale subisce l’oggetto mentre si muo-ve? Sapendo la forza totale che spinge l’oggetto, e conoscendo la forza F ad

esso applicata, quanto vale la forza di attrito dinamico sull’oggetto? Quantovale il coefficiente di attrito dinamico tra il piano orizzontale e l’oggetto?[Fg = 490N ; Fas = 980N ; F = 980N pari alla forza di attrito statico; F2 = 25N ;Fad = 955N ; µd = 1, 95]

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Page 66: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

66 Scheda5. Dinamica: soluzioni

Problema di: Dinamica - D0002

Testo [D0002] [1 4 ] Quale percentuale del volume di una statuetta di legno didensità ρ = 0, 7 g

cm3 rimane immersa nell’acqua quando galleggia?

Spiegazione Abbiamo un oggetto di legno che sta galleggiando e quindi si trovain equilibrio statico. La somma della forza di gravità e della forza di archimede deveessere nulla, quindi queste due forze devono essere uguali.

Svolgimento

1. La forza di gravità che agisce sull’oggetto deve essere uguale alla forza diarchimede:

Fg = FArch

moggg = ρacquaVimmg

mogg = ρacquaVimm

2. La massa dell’oggetto può essere scritta come

mogg = ρoggVogg

3. La precedente formula diventa quindi

ρoggVogg = ρacquaVimm

VimmVogg

=ρoggρacqua

VimmVogg

=0, 7 g

cm3

1 gcm3

= 0, 7 = 70%

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Problema di: Dinamica - D0003

Testo [D0003] [2 3 ] Un oggetto si muove su di un piano orizzontale con velo-cità costante, sotto l’azione di una forza F = 100N . Se il coefficiente di attrito tra ilpiano e l’oggetto vale µd = 1, 5 quanto vale la massa dell’oggetto?

Spiegazione Abbiamo un oggetto che si muove spinto da una forza e che viaggiacon velocità costante, mentre la forza di attrito radente con il piano orizzontale losta frenando. La forza che schiaccia l’oggetto contro la superficie è in questo caso laforza di gravità sull’oggetto.

Svolgimento

1. Il primo principio della dinamica mi dice che la forza F deve essere uguale allaforza di attrito:

Fa = F

2. Da qui, sapendo che in questo esercizio la forza di attrito è generata dalla forzadi gravità:

µdFschiaccia = F

µdmg = F

3. In fine trovo la massa dell’oggetto

m =F

µdg=

100N

1, 5 · 9, 8ms2= 6, 8 kg

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Page 67: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

67 Scheda5. Dinamica: soluzioni

Problema di: Dinamica - D0004

Testo [D0004] [2 2 ] Un oggetto di ferro di massa m = 2 kg è appeso ad unamolla di costante elastica k = 10 N

cm e contemporaneamente viene tirato verso il bas-so da una calamita che esercita una forza magnetica Fm = 50N . Visto che l’oggettoè fermo, di quanto si è allungata la molla?

Spiegazione Visto che l’oggetto in questione è fermo, allora la somma delle forzeche agiscono su di lui è zero. Sull’oggetto agiscono la forza di gravità verso il basso,la forza elastica verso l’alto e la forza magnetica verso il basso.

Svolgimento Visto che la somma delle forze che agiscono sull’oggetto è zero

Fel = Fg + Fm

k ·∆l = mg + F

∆l =mg + F

k=

2 kg · 9, 8 ms2 + 50N

10 Ncm

= 6, 96 cm

Esercizi concettualmente identici

1. Una mongolfiera di massa mm = 120 kg e volume V = 3000m3, trattenuta dauna corda fissata a terra, si trova ad un’altezza h = 100m da terra. Su di es-sa ci sono 2 persone ognuna aventi massa mp = 70 kg. In questo momento lamongolfiera è ferma. La densità dell’aria vale ρaria = 1, 3 kg

m3 e la densità del-l’aria calda vale ρaria−calda = 1, 08 kg

m3 . Quanto vale la massa complessiva dellamogolfiera (massa della mongolfiera + massa delle persone + massa dell’ariacalda)? Quanto vale e verso dove è diretta la forza di gravità complessiva cheagisce sulla mogolfiera? Quanto vale e verso dove è diretta la forza di Archi-mede che agisce sulla mongolfiera? Quanto vale la tensione sul filo?[m = 3500 kg; Fg = 34300N ; FA = 38220N ; T = 3220N ; ]

2. Un oggetto di massa m = 500 kg e volume V = 100 dm3 schiaccia una mollacon costante elastica k = 800 N

cm . Quanto vale la forza di gravità che agisce

sull’oggetto? Di quanto si accorcia la molla? Se immergo l’oggetto e la molla inun liquido la molla si accorcia di più o di meno? Perchè? La densità dell’acquaè ρ

H2O= 1 kg

dm3 . Di quanto si accorcia la molla se l’oggetto è immerso in acqua?[Fg = 4900N ; ∆l = 6, 125 cm; La molla si accorcia di meno, visto che si aggiunge laforza di Archimede che spinge l’oggettoin alto; ∆l = 4, 9 cm]

3. Un oggetto di densità ρ = 0.7 kgdm3 è completamente immerso in un liquido di

densità ρ = 0.9 kgdm3 . Il suo volume totale è Vtot = 30 dm3. Quanto vale la

massa dell’oggetto? Quanto vale la forza di gravitá che agisce sull’oggetto?Quanto vale la forza di Archimede che agisce sull’oggetto? Quanto vale laforza totale che lo spinge verso l’alto? Una volta che l’oggetto è arrivato insuperficie (e quindi si ferma) quanto vale la forza di Archimede che agisce sudi esso? Quanto vale il volume della parte immersa dell’oggetto?[m = 21 kg; Fg = 205, 8N ; FA = 264, 6N ; Ftot = 58, 8N ; FA2

= 205, 8N ;V = 23, 33 dm3]

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Page 68: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

68 Scheda5. Dinamica: soluzioni

Problema di: Dinamica - D0005

Testo [D0005] [1 2 ] Un oggetto di massa m = 2 kg è appeso ad una molla dicostante elastica k = 10 N

cm . Di quanto si allunga la molla?

~Fg

~Fel

Spiegazione Appendendo l’oggetto alla molla, la molla si al-lunga. Non focalizziamoci sul fatto che per un certo tempo l’og-getto appeso oscillerà, ma concentriamoci sulla posizione finaleche l’oggetto assume, cioè quando l’oggetto si ferma. Quandol’oggetto è fermo è in equilibrio

Svolgimento Quando l’oggetto appeso alla molla è fermo, al-lora è in equilibrio e quindi la somma delle forze deve valerezero. La forza elastica è quindi uguale alla forza di gravità.

Fel = Fg

k ·∆l = mg

∆l =mg

k=

2 kg · 9, 8 ms2

10 Ncm

= 1, 96 cm

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Problema di: Dinamica - D0006

Testo [D0006] [2 3 ] Una slitta di massa m1 = 0, 12 kg scivola senza attrito suun piano orizzontale tirato da un filo di massa trascurabile che, passando attraversouna carrucola, è a sua volta attaccato ad un peso di massa m2 = 0, 02 kg. Tale pesoviene tirato verso il basso dalla forza di gravità. Con quale accelerazione si muove ilsistema?

Spiegazione Il pesino m2 viene spinto verso il basso dalla forza di gravità; taleforza fa però muovere sia il pesino che la slitta con la stessa accelerazione. Quindiper il secondo principio della dinamica la forza di gravità sul pesino dovrà essereuguale alla massa totale del sistema moltiplicato la sua accelerazione.

Svolgimento La forza di gravità che agisce sul pesino è

Fg2 = m2g = 0, 02 kg · 9, 8ms2

= 1, 96N

Per il secondo principio della dinamica

Ftot = mtot · atot

avremo cheFg2 = (m1 +m2)a

m2g = (m1 +m2)a

a =m2

m1 +m2g

a =0, 02 kg

0, 14 kg· 9, 8m

s2= 1, 4

m

s2

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Page 69: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

69 Scheda5. Dinamica: soluzioni

Problema di: Dinamica - D0007

Testo [D0007] [2 4 ] Una sbarra orizzontale è libera di ruotare intorno ad unperno centrale. Essa è sottoposta all’azione di tre forze: una forza F1 = 30N versoil basso posta ad una distanza b1 = 30 cm dal perno sul suo lato sinistro, una forzaF2 = 10N verso il basso posta ad una distanza b2 = 30 cm dal perno sul suo latodestro, ed una forza F3 = 40N verso il basso posta ad una distanza b3 sul suo latodestro. Calcola quanto valgono la distanza b3 e la reazione vincolare Rv del pernoaffinché la sbarra possa rimanere ferma.

Spiegazione In questo esercizio abbiamo una sbarra sottoposta complessivamentea quattro forze. Visto che la sbarra è ferma avremo che la somma di tutte le forze cheagiscono sulla sbarra è nulla, e la somma di tutti i momenti che agiscono sulla sparraè nulla.

Svolgimento Cominciamo con l’affermare che la somma di tutte le forze è zero;la somma delle forze verso l’alto deve quindi essere uguale alla somma delle forzeverso il basso.

Rv = F1 + F2 + F3

Per cuiRv = 80N

Adesso affermiamo che la somma di tutti i momenti è zero; la somma dei momen-ti orari deve essere uguale alla somma dei momenti antiorari. Consideriamo il pernocome punto di rotazione del sistema e di conseguenza togliamo dall’equazione ilmomento della reazione vincolare.

M1 = M2 +M3

F1b1 = F2b2 + F3b3

F1b1 − F2b2 = F3b3

b3 =F1b1 − F2b2

F3=

900N cm− 300N cm

40N= 15 cm

Problema di: Dinamica - D0008

Testo [D0008] [1 3 ] Un vaso di massa trascurabile contenente V = 15 dm3 diacqua di mare (ρ = 1, 03 kg

dm3 ) è appeso al soffitto con una molla di costante elasticak = 100 N

m . Di quanto si allunga la molla?

Spiegazione In questo problema la forza di gravità tira il vaso verso il basso mentrela molla si allunga e so spinge verso l’alto. Consideriamo trascurabile la massa delvaso. Per risolvere il problema i servirà conoscere il valore della densità dell’acquasalata ρ

H2O= 1, 03 kg

dm3 .

Svolgimento Consideriamo con indicare la massa di acqua presente nel vaso con

mH2O

= ρH2O· V

La forza di gravità verso il basso vale

Fg = ρH2O· V · g

la forza elastica che tira verso l’alto vale

Fel = k ·∆l

Per cui, eguagliando le due forze

k ·∆l = ρH2O· V · g

∆l =ρH2O· V · gk

=1, 03 kg

dm3 · 15 dm3 · 9, 8 ms2

k = 100 Nm

= 1, 5m

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Page 70: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

70 Scheda5. Dinamica: soluzioni

Esercizi concettualmente identici

1. Una molla di costante elastica k = 5 Ncm viene schiacciata verso il basso da un

oggetto di massa m = 12 kg. Di quanto si accorcia la molla?[∆l = 23, 2 cm]

2. Un oggetto di massa m = 20 kg viene messo sopra una molla facendola ac-corciare di ∆l = 2 cm. Quanto vale la forza di gravità che agisce sull’oggetto?Quanto vale la forza fatta dalla molla per sorreggere l’oggetto? Quanto vale lacostante elastica della molla?[Fg = 196N ;Fe = 196N ; k = 98 N

cm ]

3. Un oggetto di massa m = 5 kg viene appeso ad una molla di costante elasticak = 16Nm attaccata al soffitto. Quanto vale la forza di gravità che agisce sull’og-getto? Di quanto si allunga la molla?[Fg = 49N ; ∆l = 306, 25 cm;]

4. Un’automobile di massa m = 800 kg si appoggia su quattro ammortizzatori dicostante elastica k = 100 N

cm . Di quanto vengono compressi tali ammortizzatoria causa del peso dell’automobile?[∆l = 19, 6 cm]

5. Un’edificio costruito com m = 200000 kg di materiale edile si appoggia su 16molle di costante elastica k = 10000 N

cm . Di quanto si comprimono tali molle acausa del peso dell’edificio?

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Problema di: Dinamica - D0009

Testo [D0009] [2 4 ] Due persone stanno sollevando una trave di forma irrego-lare, di massa m = 50 kg e lunga l = 2m tenendola per i suoi estremi. Il baricentrodella trave si trova a d = 70 cm da uno degli estremi della trave stessa. Quantovalgono le forze fatte dalle due persone?

Spiegazione Le forze che le due persone devono fare servono per tenere la sbarrain equilibrio rotazionale e traslazionale. Eseguito uno schema della situazione, lasoluzione del problema si ottiene imponendo due condizioni: la somma di tutte leforze è zero, e la somma di tutti i momenti è zero. In particolare per la seconda equa-zione, visto che la sbarra è ferma, possiamo scegliere come punto di rotazione quelloche preferiamo; la scelta più comoda sarà di considerare come punto di rotazioneuno degli estremi della sbarra.

Svolgimento Impostiamo la condizione di equilibrio rotazionale, scegliendo co-me punto di rotazione il punto di applicazione della forza F1, quella più vicina albaricentro della trave

M2 = Mg

F2l = mgd

F2 =mgd

l=

50 kg · 9, 8 ms2 · 0, 7m

2m= 171, 5N

Impostiamo la condizione di equilibrio traslazionale

F1 + F2 = mg

F1 = mg − F2 = 50 kg · 9, 8 ms2− 171, 5N = 318, 5N

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Page 71: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

71 Scheda5. Dinamica: soluzioni

Problema di: Dinamica - D0010

Testo [D0010] [1 2 ] Tre cubi omogenei di lato l = 10 cm e di massa m1 = 9 kg,m2 = 5 kg, m3 = 2 kg, sono posti nell’ordine uno sopra all’altro. A quale altezza sitrova il baricentro del sistema?

Spiegazione Il baricentro di un sistema di corpi è il centro delle masse del siste-ma. I tre cubi hanno stessa forma e volume, ma masse differenti in quanto fatti dimateriali differenti. Il baricentro di ogni cubo si trova nel centro geometrico del cu-bo stesso, quindi per trovare il baricentro del sistema basta utilizzare l’opportunaformuletta.

Svolgimento Le altezze dei baricentri dei singoli cubi sono

y1 = 5 cm

y2 = 15 cm

y3 = 25 cm

Il baricentro del sistema si trova all’altezza

yb =m1y1 +m2y2 +m3y3

m1 +m2 +m3=

45 kg cm+ 75 kg cm+ 50 kg cm

16 kg= 10, 625 cm

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Problema di: Dinamica - D0012

Testo [D0012] [2 5 ] Una sbarra di ferro lunga l = 2m il cui baricentro si trovaa d = 50 cm da uno degli estremi, viene appoggiata su due molle poste agli estremidella sbarra, le quali si schiacceranno della stessa quantità ∆l = 6 cm. Sapendo chela prima molla ha costante elastica k1 = 1000 N

cm , quanto vale la costante elasticadell’altra molla e quanto vale la massa della sbarra?

Spiegazione Questo è un problema di equilibrio. Visto che la sbarra è ferma, lasomma delle forze è zero e la somma dei momenti è zero; queste due condizionipermetteranno di risolvere il problema.

Svolgimento Cominciamo con l’imporre la condizione di equilibrio rotazionale;consideriamo il baricentro della sbarra come punto di rotazione.

F2b2 = F1b1

Dove F1 e F2 sono le forze esercitate dalle due molle e b1 e b2 sono i rispettivi braccirelativi al baricentro della sbarra.

F2 =F1b1b2

=k1∆l · dl − d

=1000 N

cm · 6 cm · 0, 5m1, 5m

= 2000N

k2 =F2

∆l=

2000N

6 cm= 333, 3

N

cm

Adesso imponiamo la condizione di equilirio traslazionale (somma delle forzeuguale a zero)

Fg = F1 + F2

mg = F1 + F2

mg = k1∆l + k2∆l

m =k1∆l + k2∆l

g=

6000N + 2000N

9, 8 ms2

= 816, 3 kg

Page 72: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

72 Scheda5. Dinamica: soluzioni

Problema di: Dinamica - D0013

Testo [D0013] [1 3 ] Un cubo di ferro di densità ρFe = 7874 kgm3 , e di lato l =

20 cm si trova sul fondo di una piscina piena di acqua di densità ρH2O

= 1000 kgm3 .

Qual è la minima forza necessaria per sollevarlo dal fondo della piscina?

Spiegazione Sul cubo di ferro agiscono la forza di gravità verso il basso e la forzadi Archimede verso l’alto. Visto che la forza di gravità è maggiore della forza diarchimede, per sollevare l’oggetto dobbiamo fare una forza maggiore o al minimouguale a quella necessaria per sorreggerlo e tenerlo in equilibrio.

Svolgimento Il volume e la massa dell’oggetto valgono

VFe = l3 = 8000 cm3 = 0, 008m3

mFe = ρFeVFe = 7874kg

m3· 0, 008m3 = 63 kg

La forza di gravità vale

Fg = mg = 63 kg · 9, 8 ms2

= 617, 3N

Essendo l’oggetto completamente immerso nell’acqua

FArc = ρH2O

VFeg = 1000kg

m3· 0, 008m3 · 9, 8 m

s2= 78, 4N

Infine la forza che devo fare per sorreggere il blocco e tenerlo in equilibrio vale

T = Fg − FArc = 617, 3N − 78, 4N = 538, 9N

Esercizi concettualmente identici

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

1. Sul fondo di una piscina piena d’acqua è legato con un filo elastico un pallon-cino del volume V = 10 dm3 e di massa m = 500 g. Si nota che il palloncinotira l’elastico verso l’alto e l’elastico si è allungato di ∆l = 20 cm. Quanto vale everso dove è diretta la forza di gravità che agisce sul palloncino? Quanto valee verso dove è diretta la forza di Archimede che agisce sul palloncino? Qualeforza deve fare l’elastico per tenere fermo il palloncino? Quanto vale la costan-te elastica dell’elastico?[Fg = 4, 9N diretta verso il basso; Farch = 98N diretta verso l’alto; Fel = 93, 1N

diretta verso il basso; k = 4, 6505 Ncm .]

2. Con una fionda voglio lanciare un sasso di massa m = 150 g verticalmenteverso l’alto. La costante elastica dell’elastico della fionda è k = 6 N

cm e il miobraccio sta allungando l’elastico di ∆l = 15 cm. Quanta forza sta facendo l’ela-stico della fionda? Quanto vale la forza di gravità che agisce sul sasso? Quantaforza sta facendo il mio braccio per riuscire ad allungare quell’elastico?[Fe = 90N ; Fg = 1, 47N ; F = 88, 53N ]

3. Un oggetto di densità ρ = 0.7 kgdm3 , volume V = 10 dm3 sta galleggiando in un

contenitore pieno d’acqua. La densità dell’acqua vale ρH2O

= 1000 kgm3 . Quanto

vale la massa dell’oggetto? Quanto vale la forza di gravità che agisce sull’og-getto? Quanto deve valere la forza di archimede che agisce sull’oggetto vistoche l’oggetto galleggia? Quanto vale il volume della parte immersa dell’ogget-to?[m = 7 kg; Fg = 68, 6N ; Fa = 68, 6N ; V = 7 dm3]

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Page 73: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

73 Scheda5. Dinamica: soluzioni

Problema di: Dinamica - D0014

Testo [D0014] [1 1 ] Se un oggetto di volume V = 9 cm3 galleggia sull’acquaimmerso per i 2

3 del suo volume, quanto vale la forza di Archimende che agisce sudi lui? [ρacqua = 1 kg

dm3 ]

Spiegazione L’oggetto subisce la forza di Archimede in quanto è immerso nell’ac-qua. In questo esercizio è sufficiente applicare la formula della forza di Archimede.

Svolgimento Il calcolo della forza è:

FArc = ρH2O

Vimmg = ρH2O

2

3Voggg = 1000

kg

m3· 2

3· 0, 000009m3 · 9, 8 m

s2

FArc = 0, 0588N

Volendo essere più precisi potremmo considerare anche la parte dell’oggetto chesi trova fuori dall’acqua, pari ad un terzo del volume dell’oggetto, in quanto è im-mersa nell’aria

FArc−aria = ρariaVimmg = ρaria1

3Voggg = 1, 3

kg

m3· 1

3· 0, 000009m3 · 9, 8 m

s2

FArc−aria = 0, 0000392N

La forza di Archimade totale sarà la somma delle due forze

FArch−tot = FArc + FArc−aria = 0, 0588392N

tenendo presente che enrambe le forze sono dirette verso l’alto.

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Problema di: Dinamica - D0015

Testo [D0015] [1 1 ] Un ciclista di massam = 60 kg corre in pianura alla velocitàcostante V = 35 km

h . Se le forze d’attrito con l’aria hanno un valore Fa = 500N ,quanto vale la forza in avanti che il ciclista fa spingendo sui pedali? Spiegane ilperchè. Quanto vale l’accelerazione con la quale si muove la bicicletta?

Spiegazione In questo problema dobbiamo semplicemente applicare il primo prin-cipio della dinamica.

Svolgimento Dal momento che il ciclista si muove con velocità costante, possiamoapplicare il primo principio della dinamica, per cui la somma di tutte le forze è nulla.

Ftot = 0

Sul ciclista, in orizzontale, agiscono soltanto due forze, quella di attrito e quelladel ciclista. Visto che sono opposte, e che la loro somma deve fare zero, allora le dueforze sono uguali. Per cui

Fattrito = 500N

Dalla definizione di accelerazione avremo che se la velocità è costante, alloral’accelerazione è nulla

a = 0m

s2

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Page 74: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

74 Scheda5. Dinamica: soluzioni

Problema di: Dinamica - D0016

Testo [D0016] [2 4 ] Una sbarra orizzontale di massa trascurabile è inchiodatanel suo centro. Due forze di intensità F1 = F2 = 20N vengono applicate alla sbarraverso il basso rispettivamente alla distanza b1 = 20 cm a sinistra e b2 = 30 cm adestra del centro. Dove devo applicare una forza F3 = 2N veso il basso in mododa ottenere equilibrio rotazionale? Quanto vale e verso dove è diretta la reazionevincolare del chiodo?

Spiegazione In questo problema abbiamo una sbarra in equilibrio sotto l’azionedi quattro forze. La Reazione vincolare del chiodo impone l’equilibrio traslazionale,per cui la somma delle forze è zero. Le altre tre forze sono tali da ottenere l’equilibriorotazionale, per cui la somma dei momenti è zero. Imponendo queste due condizioniotteniamo le risposte alle domande del problema.

Svolgimento La reazione vincolare del chiodo deve essere rivolta verso l’alto, inquanto tutte le altre tre forze sono rivolte verso il basso.

Rv = F1 + F2 + F3 = 42N

Il momento della forza F1 è

M1 = F1b1 = 20N · 20 cm = 400N cm antiorario

Il momento della forza F2 è

M2 = F2b2 = 20N · 30 cm = 600N cm orario

Il momento della forza F3 deve quindi essere antiorario e per questo la forzaF3 deve essere posizionata a sinistra del centro della sbarra. Dalla condizione diequilibrio rotazionale avremo

M3 = M2 −M1

F3b3 = M2 −M1

b3 =M2 −M1

F3=

200N cm

2N= 100 cm

Esercizi concettualmente identici

1. Per sollevare un oggetto della massa m = 150 kg uso una sbarra lunga l =

2m. Da un lato della sbarra posiziono l’oggetto. Il fulcro della leva si trovaa r1 = 20 cm da dove l’oggetto è posizionato. All’estremo opposto io applicouna forza F . A quale distanza viene applicata la forza F dal fulcro? Quantovale il momento della forza di gravità che agisce sull’oggetto? Quanto devevalere la forza F per sollevare l’oggetto?[r = 180 cm; MFg = 29400N · cm; F = 163, 3N ;]

2. Immaginate una sbarra orizzontale senza peso con un perno nel suo centro. Lasbarra è libera di ruotare intorno al suo centro. Applicate sul lato destro dellasbarra una forza F1 = 100N verso il basso ad una distanza b1 = 20 cm. Ap-plicate ora una seconda forza F2 = 70N verso il basso sul lato sinistro dellasbarra ad una distanza b2 = 30 cm. Quanto vale e in quale verso fa ruotare ilmomento della forza F1? Quanto vale e in quale verso fa ruotare il momentodella forza F2? Quanto vale e in quale verso fa ruotare il momento totale ap-plicato sulla sbarra?[M1 = 2000Ncm orario; M2 = 2100Ncm antiorario; Mt = 100Ncm antiorario]

3. Una sbarra orizzontale senza peso con un perno nel suo centro è libera di ruo-tare intorno al suo centro. Rispetto al centro, sul lato destro della sbarra èapplicata una forza F1 = 300N verso il basso ad una distanza b1 = 10 cm; unaseconda forza F2 = 60N è applicata verso il basso sul lato sinistro della sbarraad una distanza b2 = 0, 3m; una terza forza F3 = 10N è applicata verso ilbasso sul lato destro della sbarra ad una distanza b3 = 4 dm. Quanto valgono ein quale verso fanno ruotare i momenti delle forze F1, F2, e F3? Quanto vale ein quale verso fa ruotare il momento totale applicato sulla sbarra? Se vogliamoapplicare una forza F4 ad una distanza b4 = 16 cm dal centro sul lato destro,per equilibrare il sistema dal punto di vista della rotazione, quanto deve valeree verso dove deve essere diretta?[M1,or = 3000Ncm;M2,an = 1800Ncm;M3,or = 400Ncm;Mtot,or = 1600Ncm;F4 = 100N verso l’alto.]

Page 75: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

75 Scheda5. Dinamica: soluzioni

4. Una tavola di massa m = 10 kg e lunga l = 180 cm viene sollevata da due per-sone che la tengono dai bordi. Sulla tavola è appoggiato un oggetto di massam1 = 5000 g ad una distanza d = 36 cm dal bordo sinistro. Quale forza devonofare le due persone?[Fs = 88, 2N ; Fd = 58, 8N ]

5. un trampolino di lunghezza l = 3m è vincolato ad un estremo da due pernidistanti tra loro d = 1m. Se una persona di massa m = 80 kg si mette sullapunta del trampolino, quanto valgono le reazioni vincolari dei due perni?

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Problema di: Dinamica - D0017ban

Testo [D0017ban] [1 18 ] Esercizi banali di Dinamica:

1. Calcolo di forze

(a) Quanto vale la forza di gravità che agisce su di una macchina di massam = 800 kg?[Fg = 7840N ]

(b) Quanto vale la forza di Archimede che agisce su di un oggetto di densitàρ = 0, 7 g

cm3 e di volume V = 5 cm3 completamente immerso nell’acqua?[FArch = 0, 049N ]

(c) Se una molla esercita una forza F = 100N e la vedo accorciarsi di ∆l =

2 cm, quanto vale la costante elastica di quella molla?[k = 50 N

cm ]

(d) Una macchina di massa m = 800 kg sta facendo una curva di raggio r =

20m ad una velocità V = 50ms . Quale forza centrifuga spinge l’auto versol’esterno della curva?[Fc = 10000N ]

(e) Una moto da corsa di massa m = 100 kg viaggia alla velocità V = 70 Kmh

lungo una curva di raggio r = 50m. Quanto vale la forza centripeta chesubisce la moto?[Fc = 756, 17N ]

2. Calcolo di Momenti di una forza

(a) Una forza F = 500N viene applicata ad una distanza r = 2m da un puntofisso e formante un angolo α = 90 con la retta che unisce il punto fissoed il punto di applicazione della forza. Quanto vale il momento di quellaforza?[M = 1000Nm]

(b) Una forza F = 100N viene applicata ad una distanza r = 3m da un puntofisso e formante un angolo α = 30 con la retta che unisce il punto fisso

Page 76: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

76 Scheda5. Dinamica: soluzioni

ed il punto di applicazione della forza. Quanto vale il momento di quellaforza?[M = 150Nm]

(c) Una forza F = 50N viene applicata ad una distanza r = 3m da un puntofisso e formante un angolo α = 180 con la retta che unisce il punto fissoed il punto di applicazione della forza. Quanto vale il momento di quellaforza?[M = 0Nm]

(d) Ad un pendolo con asta, senza massa, di lunghezza l = 30 cm è appeso unoggetto di massa m = 10 kg. Il pendolo è inclinato di un angolo α = 45

rispetto alla verticale. Quanto vale il momento della forza di gravità cheagisce sull’oggetto?[M = 20, 8Nm]

(e) Immaginate una sbarra orizzontale senza peso con un perno nel suo cen-tro. La sbarra è libera di ruotare intorno al suo centro. Applicate sul latodestro della sbarra una forza F1 = 300N verso il basso ad una distanzab1 = 10 cm dal perno. Applicate ora una seconda forza F2 = 60N verso ilbasso sul lato sinistro della sbarra ad una distanza b2 = 30 cm dal perno.Applicate ora una terza forza F3 = 10N verso il basso sul lato destro del-la sbarra ad una distanza b3 = 40 cm dal perno. Indica quanto valgono ein quale verso fanno ruotare: il momento della forza F1, il momento del-la forza F2, il momento della forza F3, il momento totale applicato sullasbarra.[M1−o = 30Nm; M2−a = 18Nm; M3−o = 4Nm; Mtot−o = 16Nm.]

(f) Su di una sbarra verticale, che come punto fisso la sua estremità inferio-re, viene applicata orizzontalmente una forza F1 = 10N verso destra adun’altezza h1 = 2m. Una seconda forza orizzontale F2 = 30N viene ap-plicata verso sinistra ad un’altezza h2 = 70 cm. Quanto vale il momentodella prima forza? Quanto vale il momento della seconda forza? Quantovale il momento totale applicato alla sbarra?[M1−o = 20Nm; M2−a = 21Nm; Mtot−a = 1Nm]

Spiegazione In questo esercizio ho raccolto tutte quelle domande banali che pos-sono essere fatte su questo argomento. Per banale si intende un problema nel qualela domanda consiste semplicemente nel fornire dei dati da inserire in una formula.Non è quindi richiesta alcuna particolare capacità di ragionamento, ne particolaridoti matematiche. Questo esercizio serve unicamente ad aquisire dimestichezza conl’esecuzione dei conti numerici con le unità di misura.

Svolgimento

1. Calcolo di forze

(a)Fg = mg = 800 kg · 9, 8 m

s2= 7840N

(b)

FArch = ρfluido · Vfluido−spostato · g = 1g

cm3· 5 cm3 · 9, 8 m

s2= 0, 049N

(c) Utilizzando la formula inversa

k =F

∆l=

100N

2 cm= 50

N

cm

(d)

Fc = mV 2

r= 800Kg ·

2500m2

s2

20m= 10000N

(e)

Fc = mV 2

r= 100Kg ·

4900 1000·1000m2

3600·3600 s2

50m= 756, 17N

2. Calcolo di Momenti di una forza

(a)M = 500N · 2m · sen(90) = 1000Nm

(b)M = 100N · 3m · sen(30) = 150Nm

Page 77: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

77 Scheda5. Dinamica: soluzioni

(c)M = 50N · 3m · sen(180) = 0Nm

(d)M = 10 kg · 9, 8 m

s2· 0, 3m · sen(45) = 20, 8Nm

(e)M1−orario = F1 · b1 · sen(90) = 300N · 0, 1m · 1 = 30Nm

M2−antiorario = F2 · b2 · sen(90) = 60N · 0, 3m · 1 = 18Nm

M3−orario = F3 · b3 · sen(90) = 10N · 0, 4m · 1 = 4Nm

Mtot−orario=M1−orario+M3−orario−M2−antiorario=16Nm

Esercizi concettualmente identici

1. Su di una sbarra verticale, che come punto fisso la sua estremità inferiore, vieneapplicata orizzontalmente una forza F1 = 10N verso destra ad un’altezza h1 =

2m. Una seconda forza orizzontale F2 = 30N viene applicata verso sinistra adun’altezza h2 = 70 cm. Quanto vale il momento della prima forza? Quantovale il momento della seconda forza? Quanto vale il momento totale applicatoalla sbarra?[M1−o = 20Nm; M2−a = 21Nm; Mtot−a = 1Nm]

2. Su di una sbarra verticale, che come punto fisso la sua esttremità inferiore, vie-ne applicata orizzontalmente una forza F1 = 10N verso destra ad un’altezzah1 = 2m. Una seconda forza orizzontale F2 = 30N viene applicata verso si-nistra ad un’altezza h2 = 70 cm. Una terza forza orizzontale F3 = 30N vieneapplicata verso sinistra ad un’altezza h3 = 50 cm. Quanto valgono i momentidella prima forza, della seconda e della terza forza? Quanto vale il momentototale applicato alla sbarra?[M1−o = 20Nm; M2−a = 21Nm; M3−a = 15Nm; Mtot−a = 16Nm]

3. Su di una sbarra orizzontale senza peso di lunghezza l = 50 cm applichiamouna forza F = 100N verso il basso nell’estremo destro della sbarra. Quantovale il momento della forza rispetto al punto centrale della sbarra? Quanto

vale il momento della forza rispetto all’estremo sinistro della sbarra? Rispettoa quale punto il momento della forza è nullo?[ M1−o = 25Nm; M2−o = 50Nm; Rispetto all’estremo destro.]

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Page 78: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

78 Scheda5. Dinamica: soluzioni

Problema di: Dinamica - D0018

Testo [D0018] [2 1 ] A quale velocità minima deve andare una motocicletta perfare il giro della morte su di una pista circolare di raggio r = 10m?[V = 9, 9 m

s ]

Spiegazione Durante il giro della morte, la motocicletta è soggetta a due forze: laforza di gravità verso il basso e la forza centrifuga che schiaccia la moto contro lapista. La moto non si stacca dalla pista quando la forza centrifuga è per lo menouguale alla forza di gravità.

Svolgimento Eguagliando le due forze che agiscono sulla moto avremo:

Fc = Fg

mV 2

r= mg

V 2

r= g

V =√gr =

√9, 8

m

s2· 10m = 9, 9

m

s

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Problema di: Dinamica - D0019

Testo [D0019] [1 2 ] Quanto vale la forza di gravità che agisce su di un oggettodi ferro (ρFe = 7, 874 kg

dm3 ) di volume V = 5 dm3?

Spiegazione In questo problema bisogna semplicemente mettere i valori nelle for-mule e fare i conti. l’unica particolarità è quella di notare che per calcolare la forzadi gravità bisogna avere la massa dell’oggetto, mentre il problema fornisce soltantoil suo volume. Avendo però specificato il materiale, è come se il problema ci avesseanche indicato il valore della densità dell’oggetto.

Svolgimento La massa dell’oggetto vale

m = ρ · V = 7874kg

m3· 0, 005m3 = 39, 37 kg

Quindi la forza di gravità vale

Fg = mg = 39, 37 kg · 9, 8 ms2

= 385, 862N

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Page 79: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

79 Scheda5. Dinamica: soluzioni

Problema di: Dinamica - D0020

Testo [D0020] [1 3 ] Un oggetto di massa m = 100 kg e volume V = 5 dm3

si trova sul fondo di una piscina piena di acqua (ρacqua = 1 kgdm3 ). Quanto vale la

densità dell’oggetto? Quanto valgono la forza di gravità e la forza di Archimede cheagiscono sull’oggetto? Se sollevo l’oggetto con una forza F2 = 2000N , con qualeforza totale l’oggetto si muove?

Spiegazione Questo esercizio si risolve semplicemente mettendo i dati all’internodelle formule ed eseguendo una somma di vettori.

Svolgimento La densità dell’oggetto vale

ρogg =m

V=

100 kg

5 dm3= 20

kg

dm3

La forza di gravità che agisce sull’oggetto vale

Fg = mg = 100 kg · 9, 8 ms2

= 980N

La forza di Archimede vale

FArc = ρfVfsg = 1kg

dm3· 5 dm3 · 9, 8 m

s2= 49N

Sommando tutte le forze, tenendo conto che la forza di gravità spinge verso ilbasso e le altre due verso l’alto, avremo che la forza totale verso l’alto vale

Ftot = 1069N

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Problema di: Dinamica - D0021

Testo [D0021] [1 6 ] Una statua d’oro (m = 19, 3 kg ; V = 1 dm3) viene lanciatain mare (ρ

H2O−mare = 1, 02 kg

dm3 ). Calcola la densità dell’oro. Calcola la forza digravità, di Archimede e totale che agiscono sulla statua. Se attacco alla statua unpallone di massamp = 1, 7 kg e volume Vp = 40 dm3, quanto vale la forza totale sullastatua?

Spiegazione Abbiamo un oggetto immerso nell’acqua che subisce quindi due for-ze: la forza di gravità verso il basso e la forza di Archimede verso l’alto.

Svolgimento La densità dell’oro vale

ρAu =m

V=

19, 3 kg

1 dm3= 19, 3

kg

dm3

La forza di gravità, di Archimede e totale che agiscono sull’oggetto valgono

Fg = mg = 19, 3 kg · 9, 8 ms2

= 189, 1N

FArc = ρfVfsg = 1, 02kg

dm3· 1 dm3 · 9, 8 m

s2= 10N

Ftot = Fg − FArc = 179, 1N

Attaccando poi il pallone, cambiano di conseguenza la massa del sistema ed ilvolume dello stesso. I nuovi valori di forza di gravità, di Archimede e totale sono:

Fg2 = (m+mp) g = (19, 3 kg + 1, 7 kg) · 9, 8 ms2

= 205, 8N

FArc2 = ρfVfsg = 1, 02kg

dm3·(1 dm3 + 40 dm3

)· 9, 8 m

s2= 409, 8N

Ftot2 = FArc2 − Fg2 = 204N

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Page 80: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

80 Scheda5. Dinamica: soluzioni

Problema di: Dinamica - D0022

Testo [D0022] [1 2 ] Un oggetto di massa m = 500 g si muove di moto circolareuniforme di raggio r = 20 cm ad una velocità V = 4 m

s attaccato ad una molla dicostante elastica k = 10 N

cm . Quanto vale la forza centrifuga che tira la molla? Diconseguenza, di quanto si è allungata la molla?

Spiegazione In questo esercizio un oggetto si muove di moto circolare uniforme.Per muoversi in tale modo, serve una forza centripeta, e tale forza è data da unamolla.

Svolgimento La forza centrifuga che tira la molla vale

Fc = mV 2

r= 0, 5 kg ·

16 m2

s2

0, 2m= 40N

Eguagliano poi la forza centripeta con la forza elatrica avremo:

Fe = Fc

k ·∆l = mV 2

r

∆l =mV 2

kr=

0, 5 kg · 16 m2

s2

1000 Nm · 0, 2m

= 0, 04m

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Problema di: Dinamica - D0023

Testo [D0023] [1 2 ] Una carrucola sta sorreggendo un oggetto di massa m =

6 kg. L’oggetto è attaccato all’asse centrale della carrucola ed entrambi i capi dellacorda intorno alla carrucla vengono tirati verso l’alto. Quanto vale la tensione sulfilo che tiene la carrucola?

Spiegazione Il cavo che tiene la carrucola tira verso l’alto sia sul lato destro chesul lato sinistro della carrucola. Il doppio della tensione del filo sarà quindi pari allaforza con cui la carrucola viene tirata verso il basso

~T ~T

m

~Fg

Svolgimento Imponendo l’equilibrio statico avremo

2T = Fg

T =mg

2=

6 kg · 9, 8 ms2

2= 29, 4N

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Page 81: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

81 Scheda5. Dinamica: soluzioni

Problema di: Dinamica - D0024

Testo [D0024] [1 7 ] Domande di teoria di dinamica

1. Principi della dinamica

(a) Se vedo un oggetto che si muove sempre con lastessa velocità ~v, quale forza agisce su di lui?

(b) Se vedo un oggetto che cambia la sua velocità ~v,quale ne è stata la causa?

(c) Se spingo un oggetto con una forza ~F , quale forzasubisco?

(d) Guardando un oggetto, da cosa capisco se sta su-bendo una forza oppure no?

(e) Se su di un oggetto non agisce alcuna forza, possodire che è sicuramente fermo?

(f) Se un oggetto è fermo, posso dire che su di lui agisceuna forza totale nulla?

(g) Se su di un oggetto agisce una forza totale nulla,posso dire che è fermo?

Spiegazione In questo esercizio sono raccolte una serie di domande di teoria

Svolgimento

1. Principi della dinamica

(a) Se vedo un oggetto che si muove sempre con la stessa velocità ~v, qualeforza agisce su di lui?[Ftot = 0]

(b) Se vedo un oggetto che cambia la sua velocità ~v, quale ne è stata la causa?[L’azione di una forza che ha causato un’accelerazione e quindi un cambio divelocità.]

(c) Se spingo un oggetto con una forza ~F , quale forza subisco?[−~F per il terzo principio della dinamica.]

(d) Guardando un oggetto, da cosa capisco se sta subendo una forza oppureno?[Lo capisco dal fatto che veda o meno cambiare la sua velocità.]

(e) Se su di un oggetto non agisce alcuna forza, posso dire che è sicuramentefermo?[No, perché potrebbe muoversi di moto rettilineo uniforme.]

(f) Se un oggetto è fermo, posso dire che su di lui agisce una forza totalenulla?[Si, per il primo principio della dinamica]

(g) Se su di un oggetto agisce una forza totale nulla, posso dire che è fermo?[No, potrebbe muoversi di moto rettilineo uniforme.]

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Page 82: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

82 Scheda5. Dinamica: soluzioni

Problema di: Dinamica - D0025

Testo [D0025] [1 4 ] Un palloncino è legato con una molla di costante elasticak = 5 N

cm al fondo di una piscina e quindi tenuto fermo sotto l’acqua. Sapendo cheil suo volume è V = 1 dm3 e che la sua massa è m = 400 g, di quanto si allunga lamolla?

~Fg

~FArc

~Fel

Spiegazione In questo problema il palloncino è fermo,quindi la somma di tutte le forze che agiscono su di essoè nulla. Le forze in gioco sono tre: la forza elastica dellamolla, la forza di gravità e la forza di Archimede. La for-za di gravità è verso il basso; quella di Archimede versol’alto. La forza elastica deve adattarsi allo scopo di renderenulla la somma delle forze. Considerando che parliamo diun palloncino ci aspettiamo (ma dobbiamo poi confermarlocon i conti) che la forza elastica sia rivolta verso il basso, inquanto, se lasciato libero, ci aspettiamo che quel palloncinosi muova verso l’alto per andare a galleggiare.

Svolgimento La condizione di equilibrio traslazionale è:

Fg + Fel = FArc

tenendo conto che il palloncino è tutto immerso, e quindi il volume di fluidospostato è pari al volume dell’oggetto

m · g +K ·∆l = ρH2O· Vogg · g

da cui, con la formula inversa

K ·∆l = ρH2O· Vogg · g −m · g

∆l =ρH2O· Vogg · g −m · g

K

∆l =1 kgdm3 · 1 dm3 · 9, 8 m

s2 − 0, 4 kg · 9, 8 ms2

5 Ncm

= 1, 176 cm

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Page 83: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

83 Scheda5. Dinamica: soluzioni

Problema di: Dinamica - D0026

Testo [D0026] [2 6 ] Una sbarra orizzontale è realizzata unendo quattro cubi dilato l = 10 cm e di masse rispettivamente m1 = 1 kg, m2 = 2 kg,m3 = 3 kg,m4 = 4 kg.La sbarra è sorretta da due fili attaccati nel centro del primo e del quarto oggetto.Calcola il baricentro della sbarra e le forze F1 ed F2 che devono fare i due fili affinchèla sbarra stia ferma.

Spiegazione Questo problema è un problema di equilibrio. La sbarra è ferma equindi non trasla e non ruota. Il problema si risolve imponendo l’equilibrio trasla-zionale e l’equilibrio rotazionale. Una delle forze del problema è la forza di gravitàche agisce sulla sbarra; il problema può essere risolto in due modi: o consideriamoquattro diverse forze di gravità applicare ognuna nel baricentro di ognuno dei quat-tro cubi, oppure consideriamo una sola forza di gravità applicata nel baricentro dellasbarra. Lo schema dell’esercizio è il seguente:

~F1

~F2

~Fg

La soluzione più facile per risolvere il problema è quella di considerare la sbarracome un solo oggetto damtot = 10 kg; calcolarne la posizione del baricentro, in mododa sapere dove mettere la forza di gravità; ed infine impostare le due equazionidell’equilibrio.

Svolgimento Cominciamo con il determinare la posizione del baricentro della tra-ve. Mettiamo un sistema di riferimento come mostrato in figura

0.0 10.0 20.0 30.0 40.0

xB =x1m1 + x2m2 + x3m3 + x4m4

m1 +m2 +m3 +m4

xB =5 cm · 1 kg + 15 cm · 2 kg + 25 cm · 3 kg + 35 cm · 4 kg

10 kg= 25 cm

Stabilita la posizione del baricentro della sbarra, punto nel quale applicheremo laforza di gravità, dobbiamo ora imporre le condizioni dell’equilibrio.

La condizione di equilibrio rotazionale deve essere imposta solo dopo avere iden-tificato il punto di rotazione rispetto al quale calcoliamo i momenti delle forze. Co-ne punto di rotazione scegliamo il baricentro del primo cubo. La condizione diequilibrio rotazionale diventa

M2 = Mg

F2 · b2 = Fg · bg

F2 =Fg · bgb2

=mtotg · bg

b2

F2 =10 kg · 9, 8 m

s2 · 25 cm

35 cm= 70N

La condizione di equilibrio traslazionale è

Ftot = 0

F1 + F2 = Fg

F1 = Fg − F2 = 10 kg · 9, 8 ms2− 70N = 28N

Page 84: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

84 Scheda5. Dinamica: soluzioni

Problema di: Dinamica - D0027

Testo [D0027] [1 2 ] Una sbarra orizzontale è tenuta ferma da un chiodo nelsuo centro. Sula lato sinistro, ad una distanza b1 = 18 cm viene applicata una forzaF1 = 30N verso il basso. Sul lato destro, ad una distanza b2 = 12 cm viene applicatauna forza F2 verso il basso. Quanto vale la forza F2 per tenere ferma la sbarra?

Spiegazione Questo problema è un problema di equilibrio rotazionale, in quantole forze in questione non sono posizionate nel punto di rotazione della sbarra. Lasbarra è ferma e quindi non ruota. Il problema si risolve imponendo l’equilibriorotazionale.

Svolgimento Il momento della forza M1 = F1 · b1, antiorario, deve essere uguale almomento della forza M2 = F2 · b2 che è invece orario.

M2 = M1

F2 · b2 = F1 · b1

F2 =F1 · b1b2

=30N · 18 cm

12 cm= 45N

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Problema di: Dinamica - D0028

Testo [D0028] [2 4 ] Una trave di legno di massa m = 2 kg e di lunghezzal = 1m è sorretta ai bordi da due persone. Sulla trave si trova un ogetto di massam2 = 1 kg ad una distanza b1 = 20 cm dal bordo sinistro della trave. Quanto valgonole forze che fanno le due persone?

Spiegazione In questo problema abbiamo una sbarra in equilibrio sotto l’azionedi quattro forze. La sbarra è ferma per cui la somma delle forze è zero e la sommadei momenti è zero. Imponendo queste due condizioni otteniamo le risposte alledomande del problema.

Svolgimento Imponendo l’equilibrio traslazionale avremo

F1 + F2 = Fg + Fg1

Assumendo come punto di rotazione il punto di applicazione della forza F1 chesi trova sull’estremo sinistro della sbarra, avremo che M1 = 0, Mg1 = orario, Mg2 =

orario, M2 = antiorario, e quindi

0 +Mg +Mg2 = M2

Fg ·l

2+ Fg1 · b1 = F2 · l

da cui si ricava F2

F2 =mg l2 +m1gb1

l= 17, 64N

Calcolata F2 possiamo adesso calcolare F1 dalla prima formula scritta:

F1 = mg +m1g − F2 = 11, 76N

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Page 85: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

85 Scheda5. Dinamica: soluzioni

Problema di: Dinamica - D0029

Testo [D0029] [2 4 ] Una trave orizzontale di massa m = 10 kg e lunga l =

200 cm è libera di ruotare attorno ad un perno fisso posto nella sua estremità sinistra.La trave viene tirata verso il basso da una forza F1 = 100N posta ad una distanzab1 = 30 cm dal perno. Una forza F2 viene poi applicata al fondo della trave perequilibrarla e non farla ruotare. La reazione vincolare del perno fisso tiene la trave inequilibrio traslazionale. Quanto valgono e verso dove sono diretti i momenti dellaforza F1 e della forza di gravità? Quanto deve valere e in quale verso deve esserediretto il momento della forza F2? Calcola la forza F2 ed il valore della reazionevincolare.

Spiegazione La trave in questione è ferma, quindi l’esercizio si risolve imponendosia l’equilibrio traslazionale che quello rotazionale. Sulla trave agiscono quattro for-ze: la forza di gravità verso il basso, la forza F1 verso il basso, la forza F2 verso l’altoe la reazione vincolare del chiodo verso l’alto.

Rv

FgF1

F2b1 b2

Svolgimento Cominciamo con l’equilibrio rotazionale e analizziamo il verso di tut-ti i momenti delle forze presenti. Consideriamo il chiodo come il punto di rotazionedella sbarra. Le forze F1 ed F2 generano momenti M1 ed M2; la forza di gravitàFg = mg = 98N genera un momento Mg ; la reazione vincolare Rv non genera alcunmomento in quanto è applicata nel punto di rotazione.

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

M1−orario = F1 · b1 = 3000Ncm

Mg−orario = mgl

2= 9800Ncm

Imponendo la condizione di equilibrio rotazionale abbiamo:

M2−antiorario = M1 +Mg = 12800Ncm

F2 =M2

l= 64N

Dove la forza F2 deve essere verso l’alto. la condizione di equilibrio traslazionaòle è

Rv = F1 + Fg − F2 = 134N

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Page 86: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

86 Scheda5. Dinamica: soluzioni

Problema di: Dinamica - D0030

Testo [D0030] [2 3 ] Una trave orizzontale lunga l = 2m è libera di ruotareattorno ad un perno fisso posto nella sua estremità sinistra. La trave viene tirataverso il basso da una forza F1 = 100N posta ad una distanza b1 = 30 cm dal perno eda una forza F2 = 200N posta ad una distanza c = 40 cm dalla prima forza. Calcolala forza F3 da applicare al fondo della trave per equilibrarla e non farla ruotare.

Spiegazione La trave in questione è ferma e non deve ruotare, quindi l’eserciziosi risolve imponendo l’equilibrio rotazionale. Sulla trave agiscono quattro forze: laforza F1 verso il basso, la forza F2 verso il basso, la forza F3 verso l’alto e la reazionevincolare del chiodo verso l’alto.

Rv

F1 F2

F3b1 b2

Svolgimento Cominciamo con l’equilibrio traslazionale e analizziamo il verso ditutti i momenti delle forze presenti. Consideriamo il chiodo come il punto di rota-zione della sbarra. Le forze F1 ed F2 generano momentiM1 edM2; la forza di gravitàFg = mg = 98N genera un momento Mg ; la reazione vincolare Rv non genera alcunmomento in quanto è applicata nel punto di rotazione.

M1−orario = F1 · b1 = 100N · 30 cm = 3000N cm

M2−orario = F2 · b2 = F2 · (c+ b1) = 200N · 70 cm = 14000N cm

Imponendo la condizione di equilibrio rotazionale abbiamo:

M3−antiorario = M1 +M2 = 17000N cm

F3 =M3

l=

17000N cm

200 cm= 85N Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Page 87: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

87 Scheda5. Dinamica: soluzioni

Problema di: Dinamica - D0031

Testo [D0031] [1 4 ] In una giostra dei seggiolini tenuti da una catena si muo-vono di moto circolare uniforme in orizzontale con frequenza ν = 0, 25Hz descri-vendo un cerchio di raggio r = 3m. Una persona seduta nel seggiolino ha una massam = 70 kg. Quanta forza deve fare la catena per sorreggere quel seggiolino?

Spiegazione L’oggetto si muove di moto circolare uniforme, quindi la forza di gra-vità sommata alla forza esercitata dalla catena danno la forza centripeta che fa muo-vere il seggiolino di moto circolare. Nel sistema di riferimento della persona sulseggiolio, egli sente la forza di gravità, la forza esercitata dalla catena e la forza cen-trifuga dovuta alla rotazione. Il problema si risolverà imponendo un’equilibrio traqueste tre forze. Il risultato dell’esercizio rappresenta di fatto il peso della persona.

Svolgimento Imponendo l’equilibrio tra forza centrifuga, forza di gravità e reazio-ne vincolare della catena avremo

~Rv = ~Fg + ~Fg

La forza di gravità è verticale verso il basso; la forza centripeta è orizzontale versol’esterno della curva. La reazione vincolare è sulla stessa direzione della somma delledue precedenti forze, ma ha verso opposto. Per passare dall’equazione vettorialea quella scalare dovremo utilizzare il teorema di pitagora dove il modulo di ~Rv èl’ipotenusa di un triangolo i cui cateti sono uguali ai moduli di ~Fg e ~Fg ; per cui

Rv =√F 2g + F 2

c =√m2g2 +m2 · ω4r2

sapendo che nel moto circolare uniforme

ω = 2 · π · ν = 1.57rad

s

possiamo quindi calcolare la reazione vincolare della catena

Rv = m ·√g2 + ω4r2 = 70 kg ·

√96, 04

m2

s4+ 54, 68

m2

s4= 859, 4N

Problema di: Dinamica - D0032

Testo [D0032] [2 4 ] Immaginate di tenere in mano un sasso di massa m = 1 kg

mentre tenete l’avambraccio fermo in posizione orizzontale. Il sasso si trova ad unadistanza b1 = 30 cm dal gomito. Il muscolo bicipite, che esprime una forza versol’alto, è attaccato all’avambraccio ad una distanza b2 = 5 cm dal gomito. Quantovale la forza di gravità sul sasso? Quanto vale la forza che deve fare il muscolo persorreggere il sasso? Quale forza agisce sul gomito?

Spiegazione L’avambraccio del nostro problema si può modellizzare come una tra-ve orizzontale bloccata da un perno (il gomito) su un lato, spinta verso l’alto da unaforza F2 applicata vicina al perno, e spinta verso il basso da una forza Fg applicatalontano dal perno. Visto che l’avambraccio è fermo, allora la somma delle forze e lasomma dei momenti che agiscono su di esso sono nulle.

Svolgimento Indicando con Rv la forza che tiene l’avambraccio attaccato al gomi-to, l’equazione dell’equilibrio traslazionale è

F2 = Rv + Fg

dove la forza di gravità sul sasso vale

Fg = mg = 1 kg · 9, 8 ms2

= 9, 8N

Indichiamo il gomito come punto di rotazione del sistema (nei conti che seguonoho ipotizzato di disegnare il gomito della persona sulla sinistra e la relativa manosulla destra). La forza Fg genera un momento Mg orario; la forza F2 genera unmomento M2 antiorario. L’equazione dell’equilibrio traslazionale è

M2 = Mg

QuindiF2b2 = Fgb1

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Page 88: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

88 Scheda5. Dinamica: soluzioni

F2b2 = mgb1

F2 =Fgb1b2

=9, 8N · 30 cm

5 cm= 58, 8N

Riprendendo adesso la prima formula

Rv = F2 − Fg = 58, 8N − 9, 8N = 49N

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Problema di: Dinamica - D0033

Testo [D0033] [1 2 ] Faccio più fatica a sorreggere un oggetto di ferro di densitàρFe = 7874 kg

m3 e volume VFe = 2 dm3 o ad allungare una molla di costante elasticak = 30 N

cm dalla lunghezza li = 10 cm alla lunghezza lf = 15 cm?

Spiegazione In questo esercizio viene chiesto di confrontare i valori di due forzedifferenti per dire quale delle due è più intensa. Le due forze sono la forza di gravitàsull’oggetto di ferro e la forza elastica sulla molla.

Svolgimento La forza di gravità vale

Fg = mg = 2 dm3 · 7874kg

m3· 9, 8 m

s2= 0, 002m3 · 7874

kg

m3· 9, 8 m

s2= 154, 33N

La forza elastica della molla vale

Fel = k ·∆l = k · (lf − li) = 30N

cm· 5 cm = 150N

la forza elastica è quindi maggiore

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Page 89: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

89 Scheda5. Dinamica: soluzioni

Problema di: Dinamica - D0034

Testo [D0034] [2 2 ] Ad una macchina di Atwood sono appese due massem1 =

2 kg ed m2 = 5 kg. Con quale accelerazione si muove il sistema?

Spiegazione Una macchiuna di Atwood è costituita da una carrucola con perno fis-so a cui sono appese due masse. Nel sistema agiscono due forze di gravità entrambeverso il basso che, rispetto alla direzione del filo, risultano opposte.

Svolgimento La forza totale che agisce lungo la direzione del filo è

Ftot = m2g −m1g = (m2 −m1)g

Per il secondo principio della dinamica abbiamo che

Ftot = mtota

(m2 −m1)g = (m2 +m1)a

Per cui l’accelerazione con cui si muove il sistema è

a =m2 −m1

m2 +m1g

a =3 kg

8 kb· 9, 8m

s2= 3, 675

m

s2

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Problema di: Dinamica - D0035

Testo [D0035] [1 4 ] Se vuoi mantenere un sasso sott’acqua senza che tocchi ilfondo, devi fare una forza verso l’alto o verso il basso? Disegna le forze sull’oggettoe motiva la tua risposta. Immagina adesso di fare la stessa cosa con un pallone diplastica, devi fare una forza verso l’alto o verso il basso? Disegna le forze sull’oggettoe motiva la tua risposta.

Spiegazione In questo esercizio si richiede di analizzare la condizione di equilibrioper un corpo immerso in un liquido. Per rispondere alle domande devi disegnare leforze che agiscono sui corpi e poi disegnare la forza che devi fare tu al fine di creareuna condizione di equilibrio traslazionale.

Svolgimento Nel caso del sasso, abbiamo una forza di gravità verso il basso mag-giore della forza di Archimede verso l’alto. Per avere equilibrio ~Ftot = 0 tu dovraifare una forza verso l’alto.

Nel caso del pallone, abbiamo una forza di gravità verso il basso minore dellaforza di Archimede verso l’alto. Per avere equilibrio ~Ftot = 0 tu dovrai fare unaforza verso il basso.

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Page 90: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

90 Scheda5. Dinamica: soluzioni

Problema di: Dinamica - D0036

Testo [D0036] [1 1 ] Ad una molla di costante elastica k = 50 Nm viene appeso

un oggetto di massa m = 4 kg. Di quanto si allunga la molla?

~Fg

~Fel

Spiegazione In questo problema la forza di gravità tira l’og-getto verso il basso mentre la molla si allunga e lo spinge versol’alto. Essendo l’oggetto fermo, allora la forza totale che agiscesull’oggetto è nulla.

Svolgimento L’oggetto è fermo, quindi la forza totale cheagisce è nulla.

Fel − Fg = 0

per cuik ·∆l = m · g

∆l =m · gk

=4 kg · 9, 8 m

s2

50 Nm

= 0, 784m

Autore: Andrea de Capoa 10 Apr 2017

Problema di: Dinamica - D0037

Testo [D0037] [1 2 ] Su di una macchina sale una persona di massa m = 80 kg.Di quanto si abbassa la macchina se le quattro molle su cui poggia hanno costanteelastica k = 100 N

cm?

Spiegazione In questo problema la forza di gravità tira la persona verso il bassomentre le quattro molle si schiacciano e spingono verso l’alto. Essendo il sistemafermo, allora la forza totale che agisce su di esso è nulla. Le quattro molle insieme,schiacciandosi, aumentano la forza che fanno per compensare l’aumento del pesodovuto alla presenza della persona.

Svolgimento Il sistema è fermo, quindi la forza totale che agisce è nulla.

4Fel − Fg = 0

per cui4k ·∆l = m · g

∆l =m · g4k

=80 kg · 9, 8 m

s2

4 · 100 Nm

= 1, 96 cm

Autore: Andrea de Capoa 10 Apr 2017

Page 91: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

91 Scheda5. Dinamica: soluzioni

Problema di: Dinamica - D0038

Testo [D0038] [1 1 ] Un oggetto del peso di Fp = 40N si sposta su di un pianoorizzontale con coefficiente di attrito dinamico µd = 0, 02, sotto l’azione di una forzaF = 20N nella direzione del moto. Qual è la forza totale che agisce su di esso?

Spiegazione Il peso dell’oggetto lo schiaccia contro il piano, generando una forzadi attrito. Sulla linea del movimento abbiamo quindi due forze opposte: la forzaesterna che spinge l’oggetto nella direzione del moto e la forza di attrito ad essaopposta.

Svolgimento

Ftot = F − Fa = F − µdFp = 20N − 0, 02 · 40N = 19, 2N

Autore: Andrea de Capoa 18 Mag 2017

Problema di: Dinamica - D0039

Testo [D0039] [1 1 ] Un oggetto di massa m = 2 kg si sposta su di un pianoorizzontale con coefficiente di attrito dinamico µd = 0, 2, sotto l’azione di una forzaF = 20N nella direzione del moto. Qual è la forza totale che agisce su di esso?

Spiegazione Il peso dell’oggetto lo schiaccia contro il piano, generando una forzadi attrito. Sulla linea del movimento abbiamo quindi due forze opposte: la forzaesterna che spinge l’oggetto nella direzione del moto e la forza di attrito ad essaopposta.

Svolgimento

Ftot = F − Fa = F − µdFg = F − µdmg = 20N − 0, 2 · 2 kg · 9, 8 ms2

= 16, 1N

Autore: Andrea de Capoa 18 Mag 2017

Page 92: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

92 Scheda5. Dinamica: soluzioni

Problema di: Dinamica - D0040

Testo [D0040] [1 2 ] Un pendolo di massa m = 300 g viene tirato in orizzontaleda una forza F = 6N . Quanto vale la tensione del filo che sorregge il peso?

θ

~Fg

~F~Tm

∆h

Spiegazione In questo problema abbiamotre forze disposte su di un piano: la forza digravità verso il basso, la forza esterna in oriz-zontale (immaginiamo verso destra) e la ten-sione del filo in diagonale lungo il filo. In unacondizione di equilibrio la somma delle treforze è nulla. La forza di gravità è compensa-ta dalla componente verticale della tensionedel filo; la forza esterna è compensata dallacomponente orizzontale della tensione del fi-lo. É inoltre importante notare che il triango-lo rettangolo formato dalle tre forze è simile al triangolo rettangolo formato dal filo(ipotenusa) e dalle sue due proiezioni verticale ed orizzontale (i due cateti).

Svolgimento La tensione del filo è in modulo pari alla somma della forza di gravitàe della forza esterna

T =√F 2g + F 2 =

√m2g2 + F 2 =

√0, 09 kg2 · 96, 04

m2

s4+ 36N2

T = 6, 68N

Autore: Andrea de Capoa 18 Mag 2017

Problema di: Dinamica - D0041

Testo [D0041] [3 3 ] Un pendolo di massa m = 700 g e di lunghezza L = 2m

viene tirato in orizzontale da una forza F = 8N . Quanto vale la tensione del filo chesorregge il peso? Di quanto si solleva il peso?

θ

~Fg

~F~T

m

∆h

Spiegazione In questo problema abbiamotre forze disposte su di un piano: la forza digravità verso il basso, la forza esterna in oriz-zontale (immaginiamo verso destra) e la ten-sione del filo in diagonale lungo il filo. In unacondizione di equilibrio la somma delle treforze è nulla. La forza di gravità è compensa-ta dalla componente verticale della tensionedel filo; la forza esterna è compensata dallacomponente orizzontale della tensione del fi-lo. É inoltre importante notare che il triango-lo rettangolo formato dalle tre forze è simile al triangolo rettangolo formato dal filo(ipotenusa) e dalle sue due proiezioni verticale ed orizzontale (i due cateti).

Svolgimento La tensione del filo è in modulo pari alla somma della forza di gravitàe della forza esterna

T =√F 2g + F 2 =

√m2g2 + F 2 =

√0, 49 kg2 · 96, 04

m2

s4+ 64N2

T = 10, 54N

Consideriamo adesso il triangolo rettangolo formato dal filo (ipotenusa) e dallesue due proiezioni verticale ed orizzontale (i due cateti) Il cateto verticale lo si trovasfruttando la similitudine tra triangoli e la conseguente proporzionalità tra i lati.

y : Fg = L : T

per cui

y = L · FgT

= L · Fg√Fg2 + F 2

Page 93: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

93 Scheda5. Dinamica: soluzioni

La massa attaccata al pendolo si è quindi sollevata di una quantità

∆h = L− y = L ·

(1− Fg√

Fg2 + F 2

)= 0, 70m

Autore: Andrea de Capoa 18 Mag 2017

Problema di: Dinamica - D0042

Testo [D0042] [2 2 ] Sapendo che la massa di Marte valeM = 6, 39 ·1023kg ed ilsuo raggio vale R = 3390 km, calcola il valore dell’accelerazione di gravità di Marte.Come cambierebbe tale accelerazione se avessimo un pianeta "X" di raggio doppio econ il doppio della massa?

Spiegazione L’accelerazione di gravità la si trova imponendo l’uguaglianza tra laformula della forza di gravità sulla superficie di un pianeta e la legge di gravitazioneuniversale.

Svolgimento L’accelerazione di gravità sulla superficie del pianeta la si trova scri-vedo:

m · gMarte

= GM

Marte·m

R2Marte

g = GM

Marte

R2Marte

= 3, 7m

s2

Nel caso di un oianeta il raggio fosse il doppio rispetto al valore di Marte, e fossedoppia anche la massa, l’accelerazione di gravità verrebbe divisa per 2, infatti:

gx = GMx

R2x

= G2 ·M

Marte

(2 ·RMarte

)2 =

1

2GM

Marte

R2Marte

=1

2gMarte

Autore: Andrea de Capoa 18 Mag 2017

Page 94: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

94 Scheda5. Dinamica: soluzioni

Problema di: Dinamica - D0043

Testo [D0043] [1 4 ] Una sfera rotola su di un piano inclinato, senza strisciaree con velocità costante. Sapendo che la reazione vincolare del piano vale Rv = 17N

e che le forze di attrito valgono Fa = 9, 8N , calcolate la massa della sfera ed ilcoefficiente di attrito del piano.

~V = const

~Fg

~Rv

~Fa

θ

Spiegazione La sfera si muove con ve-locità costante, quindi per il primo prin-cipio della dinamica la somma delle forzesu di essa è nulla. Lo schema delle for-ze è rappresentato qui a lato. La reazionevincolare e la forza di attrito sono tra loroperpendicolari.

Svolgimento Visto lo schema delle forzeavremo:

−~Fg = ~Rv + ~Fa

e di conseguenzaFg =

√R2v + F 2

a =√

385N2 = 19, 6N

La massa del corpo sarà quindi

m =Fgg

=19, 6N

9, 8 ms2

= 2 kg

La forza che schiaccia la sfera contro il piano inclinatpo è pari alla reazione vin-colare del piano, quindi il coefficiente di attrito dinamico sarà

µd =FaRv

= 0, 58

Autore: Andrea de Capoa 18 Mag 2017

Problema di: Dinamica - D0044

Testo [D0044] [3 4 ] In quale punto, sulla linea tra la Terra e la Luna, deveessere messo un satellite affinchè subisca a causa dei due corpi celesti una forza digravità complessiva nulla?

Spiegazione Il satellite in questione si deve trovare sul segmento di congiunzionetra due corpi celesti; in questo modo subisce due forze di gravità aventi stessa dire-zione ma verso opposto. Affinchè le forze siano uguali è necessario che il satellite sitrovi più distante dal corpo celeste con più massa.

Svolgimento Indichiamo con r la distanza del satellite dalla Terra. Indichiamo cond la distanza della Terra dalla Luna. Per avere che il satellite sia sulla congiungentedei due corpi celesi dobbiamo avere 0 < r < d

Eguagliamo adesso le due forze di gravità che agscono sul satellite.

GMTm

r2= G

MLm

(d− r)2

da cuiMT

r2=

ML

(d− r)2

r2

MT=

(d− r)2

ML

ML

MTr2 = d2 − 2dr + r2

(1− ML

MT

)r2 − 2dr + d2 = 0

Indichiamo per comodità a =ML

MTProcediamo con i calcoli ed avremo

r =d±

√d2 − d2(1− a)

1− a

r = d1±√a

1− a

Page 95: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

95 Scheda5. Dinamica: soluzioni

Escludiamo adesso la soluzione che non rappresenta una posizione che sia tra idue corpi celesti, rimane

r = d1−√a

1− aNel nostro problema r è la distanza del satellite dalla Terra, d è la distanza della

Luna dalla Terra, a è il rapporto tra la assa della luna e quella della Terra. Avremoquindi

a = ML

MT= 0, 0123

d = 384400 km

r = 384400 km1−√

0, 0123

1− 0, 0123= 346020 km

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Problema di: Dinamica - D0045

Testo [D0045] [1 2 ] Un’automobile di massam = 800 kg si appoggia su quattroammortizzatori di costante elastica k = 100 N

cm . Di quanto vengono compressi taliammortizzatori a causa del peso dell’automobile?

Spiegazione In questo problema la forza di gravità tira il vaso verso il basso l’au-tomobile, mentre le quattro molle attaccate alle ruote spingono verso l’alto. Visto chel’automobile è ferma, vuol dire che la somma delle forze su di lei è nulla.

Svolgimento La somma delle forze sulla macchina è nulla, quindi

Fg = 4 · Fel

M · g = 4 · k ·∆l

∆l =m · g4k

∆l =800 kg · 9, 8 m

s2

4 · 100 Ncm

= 19, 6 cm

Autore: Andrea de Capoa 20 Lug 2017

Page 96: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

96 Scheda5. Dinamica: soluzioni

Problema di: Dinamica - D0046

Testo [D0046] [2 3 ] A due molle identiche, montate in serie, di massa m =

0, 2 kg e costante elastica K = 2 Ncm è appeso un oggetto di massa M = 1 kg. Di

quanto si allungano complessivamente le due molle?

Spiegazione In questo problema la forza di gravità tira le due molle verso il basso.La seconda molla deve solo sostenere il peso dell’oggetto, mentre la prima molla de-ve sostenere anche il peso della seconda molla. La prima molla quindi si allungheràpiù della seconda.

Svolgimento Per la seconda molla vale la condizione di equilibrio:

K ·∆l2 = M · g ⇒ ∆l2 =M · gK

Per la prima molla vale la condizione di equilibrio:

K ·∆l1 = (M +m) · g ⇒ ∆l1 =(M +m) · g

K

L’allungamento totale ottenuto sarà quindi

∆ltot = ∆l1 + ∆l2 =M · gK

+(M +m) · g

K

∆ltot =(2M +m) · g

K=

2, 2 kg · 9, 8 ms2

2 Ncm

= 10, 8 cm

Autore: Andrea de Capoa 20 Lug 2017

Problema di: Dinamica - D0047

Testo [D0047] [1 3 ] Una macchina di massa m = 800 kg sta facendo una curvadi raggio r = 20m su asfalto bagnato e con le gomme lisce. Tra l’asfalto e le ruoteil coefficiente di attrito è µ = 0, 2. Quanto vale la forza di gravità che agisce sullamacchina? Quanto vale l’attrito dell’auto sull’asfalto? A quale velocità massima puòandare la macchina per non uscire di strada?

Spiegazione Un’automobile percorre una curva di moto circolare uniforme graziealla forza di tipo centripeto fornita dalla forza di attrito delle ruote con l’asfalto.

Svolgimento La forza di gravità e la forza di attrito radente sull’auto valgono

Fg = mg = 800 kg · 9, 8 ms2

= 7840N

Fa = µFg = 0, 2 · 7840N = 1568N

La forza centripeta necessaria per fare la curva dipende dalla velocità dell’autoed è data dalla forza di attrito delle ruote con l’asfalto.

Fc = Fa ⇒ mV 2

r= µmg

V =

õmgr

m=

√1568N · 20m

800 kg= 6, 261

m

s

Se l’auto viaggia a velocità superiore esce di strada.

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Page 97: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

97 Scheda5. Dinamica: soluzioni

Problema di: Dinamica - D0048

Testo [D0048] [2 4 ] Un oggetto di massa m = 2 kg si trova fermo su di unpiano inclinato senza attrito, inclinato di θ = 30 rispetto all’orizzontale, bloccatotramite un cavo inestensibile ad una molla di costante elastica k = 5 N

cm . Di quantosi allunga la molla?

θ

~Fg

~Fg‖~Fg⊥

~T

~Rv

~Fel

~T

Spiegazione Il peso è soggetto allaforza di gravià verticale verso il bas-so. Per analizzare lo schema delle for-ze è utile scomporre tale forza lungo lelinee parallela e perpendiolare al pia-no inclinato. Il piano inclinato esercitasul peso una reazione vincolare ugua-le alla forza premente ~Fg⊥. A spingerelungo il piano rimane la relativa com-ponente della forza di gravità ~Fg‖. Lamolla viene tirata verso l’alto dal filo,e quindi lei tira verso il basso.

Svolgimento Dal momento che il sistema è fermo, allora la somma delle forze deveessere nulla. L’equazione dell’equilibrio deve essere applicata ad entrambi i puntisignificativi: il baricentro dell’oggetto e la punta della molla. Avremo quindi che:

Fg‖ − T = 0

Rv − Fg⊥ = 0

Fel − T = 0

Fg · sin θ − T = 0

Rv − Fg · cos θ = 0

Fel − T = 0

Risolvendo il sistema si ottiene che

Fel = m · g · sin θ

∆l =m · g · sin θ

k=

2 kg · 9, 8 ms2 · sin(30)

5 Ncm

= 1, 96 cm

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Page 98: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

98 Scheda5. Dinamica: soluzioni

Problema di: Dinamica - D0049

Testo [D0049] [3 5 ] Un oggetto di massa m = 2 kg si trova fermo su di unpiano inclinato. Il piano ha un coefficiente di attrito statico µs = 0, 1 ed è inclinato diθ = 30 rispetto all’orizzontale. L’oggetto è bloccato tramite un cavo inestensibile aduna molla di costante elastica k = 5 N

cm . Di quanto si allunga la molla?

θ

~Fg

~Fg‖~Fg⊥

~T

~Rv

~Fel

~T

Spiegazione Il peso è soggetto allaforza di gravià verticale verso il bas-so. Per analizzare lo schema delle for-ze è utile scomporre tale forza lungo lelinee parallela e perpendiolare al pia-no inclinato. Il piano inclinato esercitasul peso una reazione vincolare ugua-le alla forza premente ~Fg⊥. A spingerelungo il piano rimane la relativa com-ponente della forza di gravità ~Fg‖. Lamolla viene tirata verso l’alto dal filo,e quindi lei tira verso il basso. La presenza della forza di attrito statico complicale cose. L’attrito statico è una reazione vincolare che si adatta alla forza che ten-de a spostare l’oggetto, cercando di annullarla. Nello schema in figura non è statarappresentata la forza di attrito statico. In questo esercizio, se la forza che spingel’oggetto supera il valore della forza di attrito statico Fattr = µs · ~Fg⊥ allora l’oggettocomincierà a muoversi.

Svolgimento Dal momento che il sistema è fermo, allora la somma delle forze deveessere nulla. L’equazione dell’equilibrio deve essere applicata ad entrambi i puntisignificativi: il baricentro dell’oggetto e la punta della molla. Avremo quindi che:

−µs · Fg⊥ ≤ Fg‖ − T ≤ µs · Fg⊥Rv − Fg⊥ = 0

Fel − T = 0

Risolvendo ora il sistema si ottiene che

µs · Fg⊥ + Fg‖ ≥ Fel ≥ −µs · Fg⊥ + Fg‖

mg [µs cos(θ) + sin(θ)] ≥ Fel ≥ mg [−µs cos(θ) + sin(θ)]

11, 50N ≥ Fel ≥ 4, 05N

Si ottiene quindi una condizione di equilibrio per un intervallo di posizioni del-l’oggetto, corrispondenti ad un allungamento della molla

2, 3 cm ≥ ∆l ≥ 0, 81 cm

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Page 99: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

99 Scheda5. Dinamica: soluzioni

Problema di: Dinamica - D0050

θ

Testo [D0050] [2 2 ] Un oggetto di massam = 2 kg si trova su di un carrello posizionato fer-mo su di un piano inclinato inclinato di θ = 30

rispetto all’orizzontale. Il sistema inizialmente èfermo. L’oggetto è appoggiato ad una molla di co-stante elastica k = 5 N

cm , parallela al piano inclina-to. Di quanto si allunga la molla quando si lasciail carrello libeo di muoversi?

~Fg

~Rv

~Fg⊥

~Fel~Fg‖

θ

Spiegazione L’oggetto nel carrelloè soggetto alla forza di gravità verti-cale verso il basso. Per analizzare loschema delle forze è utile scompor-re tale forza lungo le linee parallelae perpendiolare al piano inclinato. Ilpiano inclinato esercita sul peso unareazione vincolare uguale alla forzapremente ~Fg⊥. A spingere lungo ilpiano rimane la relativa componen-te della forza di gravità ~Fg‖. Il car-rello è fermo e la pallina schiaccia lamolla con una forza pari a ~Fg‖. Nel momento in cui il carrello viene lasciato libero dicadere, il peso della pallina lungo la direzione del moto si annulla, quindi la mollanon viene più schiacciata e ritorna della lunghezza iniziale.

Svolgimento Dal momento che il sistema è inizialmente fermo, allora la sommadelle forze sull’oggetto deve essere nulla. L’equazione dell’equilibrio è quindi:Rv − Fg⊥ = 0

Fel − Fg‖ = 0

Il calcolo dell’allungamento della molla rispetto alla posizione a riposo mi da diconseguenza l’allungamento della molla quando il sistema viene lasciato libero.

k ·∆l = mg sin θ

∆l =mg sin θ

k=

2 kg · 9, 8 ms2 ·

12

5 Ncm

= 3, 92 cm

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Page 100: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

100 Scheda5. Dinamica: soluzioni

Problema di: Dinamica - D0051

Testo [D0051] [3 4 ] Una navicella spaziale di forma cilindrica con altezza h =

10m e massa m2 = 500 kg è in orbita intorno alla Terra. La base inferiore si trovaad una distanza d = 408 km dal centro della Terra (di raggio R

T= 6371 km e massa

MT

= 5, 97219 · 1024 kg). Quanto pesa un oggetto di massa m1 = 1 kg su tale base?

Spiegazione Una navicella in orbita è in caduta libera e quindi l’accelerazione per-cepita dagli oggetti al suo interno dovrebbe essere nulla, e di conseguenza è nulloil loro peso. Questo è quanto giustamente si studia a scuola quando si introduconoi sistemi di riferimento non inerziali. Quando però si fa questo esempio, spesso siassume un ascensore in caduta libera e tutto torna bene perchè l’accelerazione subitadall’ascensore e quella subita dalla persona all’interno è la stessa, pari all’accelera-zione di gravità g supposta appunto costante. Detto questo il professore fa poi l’e-sempio dell’aereoplano in caduta libera e della stazione spaziale, magari mostrandodei filmati che effettivamente dimostrano un’assenza di peso.

Detto questo possiamo comunque approfondire l’argomento e chiederci se nelnostro problema effettivamente l’astronave e l’oggetto sul suo fondo subiscono lastessa accelerazione. In caso contrario il peso non risulterebbe nullo!

Svolgimento Utilizziamo la legge di gravitazione universale. L’accelerazione per-cepita da un corpo la indichiamo con

g = GM

T

R2

dove R è la distanza del baricentro del corpo dal centro della Terra e MT

è la massadella Terra.

La base della nostra navicella si trova ad una distanza dal centro della Terra paria r = 6779000m

Detta a l’accelerazione che percepisce l’oggetto sul fondo dell’astronave avremo:

P = m1 · a

P = m1 ·

(GM

T

(r)2 −G

MT(

r + h2

)2)

P = GMTm1 ·

(1

(r)2 −

1(r + h

2

)2)

P = GM

Tm1

r2·

(1− 1(

1 + h2r

)2)

P = 6, 67408 · 10−11 m3

kg · s2

5, 97219 · 1024 kg · 1 kg(6779000m)

2 ·(

1− 1

1 + 1, 48 · 10−6

)

P ' 8.67 · 1, 48 · 10−6N ' 12, 8 · 10−6N = 12, 8µN

Per questo motivo si dice comunemente che gli esperimenti sulla stazione spa-ziale sono fatti in un contesto di microgravità.

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Page 101: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

101 Scheda5. Dinamica: soluzioni

Problema di: Dinamica - D0052

Testo [D0052] [2 2 ] Un ascensore si muove verso l’alto con accelerazione a =

2 ms2 . Una persona di massa m = 70 kg si trova al suo interno in piedi sopra una

bilancia. Qunto peso segna la bilancia?

Spiegazione In questo esercizio semplicemente applichiamo il secondo principiodella dinamica. Noi infatti sappiamo quali forze agiscono sulla persona e sappiamocon quale accelerazione si muove la persona.

Svolgimento Sulla persona agiscono due forze: la forza di gravità verso il basso ela reazione vincolare della bilania verso l’alto. Possiamo quindi scrivere il secondoprincipio della dinamica

Ftot = m · a

T − Fg = m · a

T = m · g +m · a = m (g − a)

T = 70 kg ·(

9, 8m

s2+ 2

m

s2

)= 826N

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Problema di: Dinamica - D0053

Testo [D0053] [3 4 ] In una gara automobilistica un’auto affronta una curvaparabolica di raggio r = 40m, inclinata di α = 15 rispetto all’orizzontale. Sapendoche il coefficiente di attrito delle ruote sull’asfalto è µ = 0, 6, quale velocità massimapuò tenere l’auto senza perdere aderenza con la strada?

Spiegazione Abbiamo un problema di dinamica sul moto circolare e sul piano in-clinato. L’auto subisce una forza centrifuga e la forza di gravità, entrambe non alli-neate con il piano stradale. L’auto viene schiacciata verso il basso dalle componentidi entrambe le forze e spinto lateralmente dalle altre componenti delle stesse forze.

Svolgimento Nella direzione perpendicolare alla strada ci sono tre forze che agi-scono: la componente della forza di gravità

Fg⊥ = mg · cosα

la componente della forza centrifuga

Fc⊥ = mV 2

rsinα

ed infine la reazione vincolare del piano stradale

Rv = Fg⊥ + Fc⊥

Rv = mg · cosα+mV 2

rsinα

Contemporaneamente l’auto deve essere in equilibrio sulla linea parallela al pia-no stradale, su cui agisce l’altra componente forza di gravità

Fg‖ = mg sinα

l’altra componente della forza centrifuga

Fc‖ = mV 2

rcosα

Page 102: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

102 Scheda5. Dinamica: soluzioni

e la forza di attrito radenteFa = µRv

QuindiFa = Fc‖ − Fg‖

µ (Fg⊥ + Fc⊥) = Fc‖ − Fg‖

µ

(mg · cosα+m

V 2

rsinα

)= m

V 2

rcosα−mg sinα

µg · cosα+ g sinα =V 2

rcosα− µV

2

rsinα

g (µ · cosα+ sinα) =V 2

r(cosα− µ sinα)

V =

√gr (µ · cosα+ sinα)

(cosα− µ sinα)

Autore: Andrea de Capoa 18 Dicc 2017

Problema di: Cinematica - D0054

Testo [D0054] [2 3 ] Un oggetto di massa m = 2 kg striscia su di un pianoorizzontale con coefficiente di attrito dinamico µd = 2 spinto da una forza F = 50N .Con quale accelerazione si sta muovendo??

Spiegazione In questo problema si applica il secondo principio della dinamicain quanto si conoscono le forze che agiscono sull’oggetto e si chiede di calcolarnel’accelerazione.

Svolgimento La forza che schiaccia l’oggetto contro il piano orizzontale è la forzadi gravità.

Fg = mg = 2 kg · 9, 8 ms2

= 19, 6N

Lungo la linea del movimento agiscono quindi due forze opposte: la forza ester-na che spinge l’oggetto e la forza di attrito dinamico. La forza totale che agiscesull’oggetto lungo la linea del moto è quindi

Ftot = F − Fatt = F − µdFg = 50N − 39, 2N = 10, 8N

L’accelerazione con cui l’oggetto si muove è quindi

a =Ftotm

=10, 8N

2 kg= 5, 4

m

s2

Autore: Andrea de Capoa 9 Gen 2018

Page 103: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

103 Scheda5. Dinamica: soluzioni

Problema di: Dinamica - D0055

~F

α

Testo [D0055] [2 4 ] Un oggetto di massam = 2 kg

viene trascinato su di un piano con coefficiente di attritodinamico µ = 0.2 da una forza F = 5N inclinata di unangolo α = 30 verso l’alto rispetto all’orizzontale. Conquale accelerazione si muove l’oggetto?

~Fg

~F‖

~F⊥ ~F

~Fa

~Rv α

Spiegazione La forza che trascina il blocco deveessere scomposta lungo la linea del movimento elungo la linea perpendicolare al movimento. Laforza di attrito si oppone al movimento ed è deter-minata dalla forza con cui l’oggetto viene schiac-ciato contro il piano. Il piano reagisce alla forzache schiaccia con la reazione vincolare verso l’alto.La forza di attrito è proporzionale alla forza cheschiaccia, quindi alla reazione vincolare del piano.Infatti, se consideriamo la linea perpendicolare alpiano, su tale linea l’oggetto è fermo, e quindi la forza totale è nulla. La reazionevincolare eguaglia di conseguenza la forza che chiaccia.

Svolgimento Se consideriamo la linea del movimento, avremo

F‖ − µ (mg − F⊥) = ma

F cosα− µ (mg − F sinα)

m= a

a =4, 33N − 0, 2 · (19, 6N − 2, 5N)

2 kg= 0, 455

m

s2

Autore: Andrea de Capoa 3 Feb 2018

Problema di: Dinamica - D0056

Testo [D0056] [2 3 ] Un oggetto di mas-sa M = 20 kg striscia senza attrito su di unpiano orizzontale. L’oggetto è tirato da unacorda inestensibile che, tramite una carrucolamobile, sorregge un peso di massa m = 5 kg.Con quale accelerazione si sta muovendo ilsistema?

Spiegazione In assenza di attriti, l’unica forza che mette in movimento il sistema èla forza di gravità sul pesino di massam. Il problema si risolve applicando il secondoprincipio della dinamica ai due blocchi.

Svolgimento Sul blocco appeso agiscono la forza di gravità in basso e due tensionidel filo in alto.

mg − 2T = ma

Sul blocco che scivola in orizzontale avremo

T = Ma

Quindi

mg − 2Ma = ma

da cui

a · (m+ 2M) = mg

a = g · m

m+ 2M= 9, 81

m

s2· 5

45= 1, 09

m

s2

Autore: Andrea de Capoa 5 Feb 2018

Page 104: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

104 Scheda5. Dinamica: soluzioni

Problema di: Dinamica - D0057

Testo [D0057] [2 4 ] Un oggetto di mas-sa M = 20 kg striscia su di un piano oriz-zontale con coefficiente di attrito µ = 0, 05.L’oggetto è tirato da una corda inestensibi-le che, tramite una carrucola mobile, sorreg-ge un peso di massa m = 5 kg. Con qualeaccelerazione si sta muovendo il sistema?

Spiegazione La forza che mette in movimento il sistema è la forza di gravità sulpesino di massa m. Il problema si risolve applicando il secondo principio della di-namica ai due blocchi. Sul blocco che scivola il orizzontale agisce anche la forza diattrito radente dinamico.

Svolgimento Sul blocco appeso agiscono la forza di gravità in basso e due tensionidel filo in alto.

mg − 2T = ma (5.1)

Sul blocco che scivola in orizzontale avremo

T − Fattr = Ma

T − µMg = Ma

T = Ma+ µMg

Quindi, sostituendo quest’ultima equazione nella 5.1

mg − 2 (Ma+ µMg) = ma

da cui, risolvendo l’equazione, otteniamo

a · (m+ 2M) = g · (m− 2µM)

a = g · (m− 2µM)

m+ 2M= 9, 81

m

s2· 2, 5

45= 0, 545

m

s2

Ovviamente quanto calcolato vale solo se

m− 2µM > 0

in quanto l’accelerazione del blocco deve essere verso destra. Quindi solo se

µ <m

2M= 0, 1

Autore: Andrea de Capoa 5 Feb 2018

Page 105: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

105 Scheda5. Dinamica: soluzioni

Problema di: Dinamica - D0058

Testo [D0058] [3 4 ] Una navicella spaziale di massa m1 = 4000 kg deve recu-perare un satellite artificiale di massa m2 = 2000 kg. Per farlo lo aggancia con unafune di lunghezza L = 60m e tira la fune con una forza F = 4N . Il satellite è fermorispetto alla navicella. Dopo quanto tempo la navicella recupera il satellite?

Spiegazione Quando la navicella tira il satellite, per il terzo principio il satellitetira la navicella. Entrambi gli oggetti si muovono di moto uniformemente acceleratoe la somma dei loro spostamenti deve essere pari alla loro distanza iniziale.

Svolgimento Le accelerazioni con cui si muovono i due oggetti sonoa1 = Fm1

= 10−3 ms2

a2 = Fm2

= 2 · 10−3 ms2

utilizzando le equazioni del moto avremo

L =1

2a1∆t2 +

1

2a2∆t2

L =1

2(a1 + a2) ∆t2

2L

(a1 + a2)= ∆t2

∆t2 =2L

(a1 + a2)=

120m

3 · 10−3 ms2

= 40000 s2

∆t = 200 s

Autore: Andrea de Capoa 5 Feb 2018

Problema di: Dinamica - D0059

Testo [D0059] [2 3 ] Due oggetti di massam1 = 20 kg edm2 = 30 kg, sono legatida un filo inestensibile e liberi di scivolare su di un piano orizzontale senza attrito.Uno dei due viene tirato orizzontalmete da una forza F = 100N e di conseguenzatrascina l’altro. Con quale accelerazione si muove il sistema?

Spiegazione In questo problema semplicemente applichiamo la seconda legge del-la dinamica ai due corpi in movimento.

Svolgimento L’accelerazione del sistema avrà verso concorde alla forza ~F che agi-sce sul primo oggetto. La tensione del filo agisce orizzontalmente su entrambi i bloc-chi con verso opposto. Sul primo oggetto agiscono quindi due forze. Sul secondooggetto agisce solo la tensione del filo. Avremo quindiF − T = m1a

T = m2a

Risolvendo il sistema avremoF −m2a = m1a

T = m2aa = Fm1+m2

T = F m2

m1+m2

Abbiamo quindi ottenuto la tensione del filo e l’accelerazione del sistema. Nu-mericamente avremo a = 100N

50 kg = 2 ms2

T = 100N · 30 kg50 kg = 60N

Autore: Andrea de Capoa 6 Feb 2018

Page 106: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

106 Scheda5. Dinamica: soluzioni

Problema di: Dinamica - D0060

Testo [D0060] [2 4 ] tre oggetti di massa m1 = 20 kg ed m2 = 30 kg ed m3 =

50 kg, sono legati da un filo inestensibile e liberi di scivolare su di un piano oriz-zontale senza attrito. Quello più avanti viene tirato orizzontalmete da una forzaF = 100N e di conseguenza trascina gli altri. Con quale accelerazione si muove ilsistema?

Spiegazione In questo problema semplicemente applichiamo la seconda legge del-la dinamica ai due corpi in movimento.

Svolgimento L’accelerazione del sistema avrà verso concorde alla forza ~F che agi-sce sul primo oggetto. Le tensioni dei fili agiscono orizzontalmente su tutti i bloc-chi con verso opposto. Sul primo oggetto agiscono quindi due forze. Sul secondooggetto agiscono due forze. Sul terzo agisce solo la tensione del filo. Avremo quindi

F − T1 = m1a

T1 − T2 = m2a

T2 = m3a

Risolvendo il sistema avremoF = m1a+m2a+m3a = (m1 +m2 +m3) a

T2 = F · m3

(m1+m2+m3)

T1 = F · m2+m3

(m1+m2+m3)

Abbiamo quindi ottenuto la tensione del filo e l’accelerazione del sistema. Nu-mericamente avremoa = 100N

100 kg = 1 ms2

T1 = 100N · 80 kg100 kg = 80NT2 = 100N · 50 kg

100 kg = 50N

Problema di: Dinamica - D0061

θ

Testo [D0061] [3 3 ] Un oggetto a forma di pa-rallelepipedo con base b = 5 cm, altezza h e profon-dità non conosciuta, viene posizionalto su di un pia-no inclinato inclinato di un angolo α = 30 rispettoall’orizzontale, come mostrato in figura. Per qua-le valore dell’altezza l’oggetto si ribalterà? [Suggeri-mento: ribaltarsi in questo caso significa ruotare intornoallo spigolo più in basso del parallelepipedo.]

~Fg

~Fg‖

~Fg⊥

θ

Spiegazione Cominciamo con il dire che laforza di gravità agisce nel baricentro dell’og-getto, verticale verso il basso. In questo pro-blema dobbiamo analizzare se il parallelepi-pedo inizia o no una rotazione. Se lo facesse,il punto di rotazione sarebbe necessariamen-te lo spigolo inferiore del parallelepipedo. Intal caso la reazione vincolare del piano sareb-be necessariamente sullo spigolo di appoggioe quindi sul punto di rotazione. La reazionevincolare non contribuisce quindi alla rota-zione dell’oggetto. Rimangono le due com-ponenti della forza di gravità lungo le dire-zioni parallela e perpendicolare al piano in-clinato. Entrambe generano due momenti, uno orario ed uno antiorario. L’ogget-to inizierà la rotazione se il momento orario della forza parallela al piano risultamaggiore del momento antiorario della componente perpendicolare al piano.

Autore: Andrea de Capoa 6 Feb 2018

Page 107: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

107 Scheda5. Dinamica: soluzioni

Svolgimento La condizione per la rotazione dell’oggetto è

M‖ > M⊥

Fg sinα · h2> Fg cosα · b

2

h cosα > b sinα

L’angolo in questione è minore dell’angolo retto, quindi

h > b tanα

h >5√3cm

Autore: Andrea de Capoa 7 Feb 2018

Problema di: Dinamica - D0062

~F

Testo [D0062] [3 4 ] Due blocchi dimassa M = 2 kg ed m = 1 kg, sono posticome mostrato in figura, liberi di scivola-re senza attrito su di un piano orizzontalespinti dalla forza ~F . Tra i due blocchi c’è invece attrito ed il coefficiente di attrito statico vale µs = 2. Quanto deve valere laminima forza ~F affinchè il blocco più piccolo non cada?

~F ~Rv~Rv

~Fa

~Fg

Spiegazione La spinta ~F determina tra idue blocchi una coppia di reazioni vincola-ri che per il terzo principio della dinamicasono uguali ed opposte. Tali reazioni deter-minano una forza di attrito verso l’alto chesi oppone alla forza di gravità.

Svolgimento analizzando le forze sullalinea orizzontale avremo F −Rv = M · a

Rv = m · a

da cui si ottiene a = FM+m

Rv = F · mM+m

Se il blocco più piccolo non cade allora

Fg = Fas

mg < µsRv

mg < µsF ·m

M +m

Page 108: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

108 Scheda5. Dinamica: soluzioni

F >(M +m)g

µs

Autore: Andrea de Capoa 10 Feb 2018

Problema di: Dinamica - D0063

Testo [D0063] [2 3 ] Un blocco di massa m = 10 kg scivola senza attrito su diun piano inclinato di un angolo θ = 30 ed è spinto contro il piano da una forzaorizzontale F = 100N . Con quale accelerazione si muove il blocco?

~a

~Fg

~F

~Rv

θ

Spiegazione L’analisi dello schema di forze avvie-ne su due assi perpendicolari tra loro: quello paral-lelo al piano inclinato e quello perpendicolare al pia-no inclinato. Sull’asse parallelo agiscono la compo-nente della forza di gravità verso il basso e la com-ponente della forza ~F verso l’alto. Sull’asse perpen-dicolare le componenti della forza ~F e della forza digravità entrambe schiacciano l’oggetto contro il pia-no, mentre il piano inclinato esercita una reazionevincolare Rv che equilibria le due forze precedenti. L’accelerazione del sistema è ov-viamente liungo il piano inclinato, essendo quella la linea del moto. A priori nonpossiamo sapere se verso l’alto o verso il basso, in quanto dipende dal valore dellaforza ~F , dalla massa dell’oggetto e dall’inclinazione del piano. Scegliete in modo ar-bitrario il disegno del verso dell’accelerazioone; se avrete sbagliato, ve ne accorgeretequando l’accelerazione vi verrà un valore negativo.

~a

~Fg‖~Fg⊥

~F‖

~F⊥

~Rv

~a

θ

Svolgimento Per poter studiare il problema ènecessario scomporre tutte le forze lungo le duedirezioni interessanti del problema: quelle paralle-la e perpendicolare al piano inclinato. Dall’analisidello schema di forze sull’asse parallelo al pianoavremo

F cos θ − Fg sin θ = ma

a =F cos θ −mg sin θ

m=

100N ·√

3

2− 98N · 1

210 kg

= 3, 76m

s2

Page 109: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

109 Scheda5. Dinamica: soluzioni

É ovviamente possibile anche calcolare la reazione vincolare del piano

Rv = F⊥ + Fg⊥

Rv = F sin θ + Fg cos θ

Rv = 100N · 1

2+ 98N ·

√3

2= 89, 87N

Autore: Andrea de Capoa 18 Mag 2017

Problema di: generalità - dinamica - ID0001

Testo [ID0001] [1 3 ] A due chiodi messi alla stessa altezza viene legata unacorda. Al centro della corda viene appeso un oggetto. La corda assume quindi unaforma a V. Sulla corda c’è una tensione T = 1700N ; La componente orizzontale ditale forza vale Tx = 1500N . Quanto vale la massa dell’oggetto?

~T

~Ty

~T

~Ty

~Fg

~Tx~Tx

Spiegazione Abbiamo una corda che sostiene un peso.La forza di gravità spinge verso il basso; la corda devespingere verso l’alto con una forza uguale in modulo. Lacorda spinge in diagonale; spinge cioè dal punto dove èattaccato il peso, verso il punto dove è attaccato il chio-do. Abbiamo quindi due forze, chiamate Tensione, chehanno una componente verticale ed una orizzontale. Ledue componenti orizzontali si annullano tra loro perchésono opposte; le due componenti verticali si sommano erappresentano la forza che sostiene il peso.

Svolgimento Utilizziamo il teorema di Pitagora per calcolare la componente verti-cale della tensione del filo.

Ty =√T 2 − T 2

x =√

17002N2 − 15002N2 = 800N

Imponendo la condizione di equilibrio traslazionale

Fg = 2 · Ty

m · g = 2 · Ty

m =2 · Tyg

=1600N

9, 8 ms2

= 163, 3 kg

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Page 110: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

110 Scheda5. Dinamica: soluzioni

Problema di: Cinematica - Dinamica - CD0001

Testo [CD0001] [2 7 ] Per un tempo ∆t = 4 s, un oggetto di massa m = 20 kg

viene spinto partendo da fermo da una forza F = 100N strisciando su di un pianocon coefficiente di attrito dinamico µd = 0, 1 . Successivamente ~F si annulla.

1. Quanto valgono la forza di gravità e di attrito che agiscono sull’oggetto?

2. Quanto valgono la forza totale che spinge l’oggetto e la sua accelerazione?

3. Quanto spazio avrà percorso e a quale velocità sta viaggiando alla fine dell’in-tervallo di tempo?

4. Con quale accelerazione si muove quando ~F si annulla, e dopo quanto temposi ferma?

Spiegazione Un oggetto sta strisciando spinto da una certa forza; l’attrito lo frena.In questo primo momento l’oggetto si muove di moto uniformemente accelerato,aumentando progressivamente la sua velocità. Nel momento che la forza che lospinge sparisce, rimane soltanto l’attrito che frena l’oggetto fino a farlo fermare.

Svolgimento

1. La forza di gravità che agisce sull’oggetto è

Fg = mg = 20 kg · 9, 8m

s2= 196N

2. La forza d’attrito che subisce l’oggetto è

Fa = µFg = 0, 1 · 196N = 19, 6N

3. La forza totale che spinge l’oggetto è

Ftot = 100N − 19, 6N = 80, 4N

4. L’accelerazione dell’oggetto è

atot =Ftotm

=80, 4N

20 kg= 4, 02

m

s2

5. Alla fine dell’intervallo di tempo avrà percorso

∆S =1

2· atot ·∆t2 + V0∆t = 32, 16m

6. Alla fine dell’intervallo di tempo viaggia alla velocità

V1 = atot ·∆t+ V0 = 16, 08m

s

7. Quando la forza F si annulla la forza totale è quella di attrito, quindi

a =Ftotm

= −0, 98m

s2

8. Si ferma dopo

∆t =∆V

a=

0− V1

a= 65, 63 s

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Page 111: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

111 Scheda5. Dinamica: soluzioni

Problema di: Cinematica - Dinamica - CD0002

Testo [CD0002] [1 3 ] In un giorno di sole, un’automobile sta percorrendo unacurva di raggio r = 48m. Sapendo che il coefficiente di attrito tra la gomma e l’a-sfalto asciutto vale µ = 0, 6, a quale velocità massima può viaggiare senza uscire distrada? In caso di pioggia, il coefficiente di attrito scende fino al valore µ = 0, 4; aquale velocità deve scendere l’autista per rimanere in strada?

Fig. 5.1: Un’auto in curva

Spiegazione Nel muoversi in curvala macchina subisce la forza centrifu-ga, che, al fine di non avere inciden-ti, deve essere contrastata dalla forzadi attrito dei pneumatici sull’asfalto.Se le due forze sono almeno uguali, lamacchina riesce a seguire la curva. At-tenzione soltanto al significato dei va-lori che otterrete: tali valori sono cal-colati teoricamente e rappresentano ivalori massimi... non certo quelli di si-curezza. Bastano infatti piccole e sem-plici variazioni nell’inclinazione dellastrata o nella qualità dell’asfalto o nella qualità della pulizia del suolo stradale, che ireali valori di sicurezza per le velocità dell’auto sono sicuramente più bassi.

Svolgimento La forza centrifuga sull’auto deve essere uguale alla forza di attritogenerata dal peso dell’auto sull’asfalto asciutto.

mV 2

r= µmg

Semplificando la massa e risolvendo per trovare la velocità avremo (indicando conil simbolo a il caso di asfalto asciutto):

Va =õgr = 16, 8

m

s= 60, 5

km

h

Ripetendo esattamente gli stessi conti nel caso di asfalto bagnato avremo (indi-cando con il simbolo b il caso di asfalto bagnato):

Vb =õgr = 13, 7

m

s= 49, 4

km

h

Se analizziamo adesso il fatto che la massa dell’auto non rientra nel problema, inquanto si semplifica nei conti, possiamo affermare che questi conti rimangono validiper qualunque automobile.

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Page 112: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

112 Scheda5. Dinamica: soluzioni

Problema di: Cinematica - Dinamica - CD0003

Testo [CD0003] [2 4 ] Un ciclista con la sua bicicletta ha una massa comples-siva m = 60 kg e nel rettilineo (nel quale la bicicletta è in posizione verticale) il suobaricento si trova ad un’altezza h = 100 cm da terra. Il ciclista affronta poi una curvaad una velocità V = 10 m

s inclinato di un angolo di α = 30 rispetto alla verticale.Quanto vale il momento della forza di gravità che tende a far cadere la bicicletta?Quanto vale il momento della forza centrifuga che mantiene in equilibrio il ciclista?Quanto vale il raggio della curva che sta facendo?[ Mfg = 294Nm; Mfc = −294Nm; r = 17, 7m]

Spiegazione Una bicicletta, mentre si muove in un rettilineo, è in posizione ver-ticale. Se percorre una curva, deve inclinarsi. Guardando la bicicletta da dietro econsiderando il punto di appoggio delle ruote sull’asfalto, se si muove troppo pianola bicicletta ruota in senso orario e cade; se si muove troppo veloce la bicicletta ruotain senso antiorario, si raddrizza e poi cade dalla parte opposta. La rotazione orariache fa cadere la bici verso l’interno della curva è data dal momento della forza digravità; la rotazione antioraria è invece data dal momento della forza centrifuga.

Svolgimento Il momento della forza di gravità vale

MFg = Fg · h · sen(α) = 60 kg · 9, 8 ms2· 1m · sen(30) = 294Nm

Per mantenere la bicicletta in equilibrio il momento della forza centrifuga deveessere uguale a quello della forza di gravità, in quanto i due momenti sono opposti.

MFc = 294Nm

Ma sappiamo anche che

MFc = Fc · h · sen(α)

da cui

Fc =MFc

h · sen(90 − α)=

294Nm

1m · 0, 866= 339, 5N

Visto che conosciamo la forza centrifuga e la velocità della bicicletta, allora pos-siamo risalire al raggio della curva

r =mV 2

Fc=

60 kg · 100m2

s2

339, 5N= 17, 7m

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Page 113: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

113 Scheda5. Dinamica: soluzioni

Problema di: Cinematica - Dinamica - CD0004

Testo [CD0004] [1 2 ] Un ragazzo fa roteare un mazzo di chiavi con una fre-quenza ν = 4Hz; il raggio del cerchio percorso dalle chiavi è lungo r = 0, 2m, aquale velocità angolare ruotano le chiavi? Se le chiavi hanno una massa m = 0, 1 kg,quanto vale la forza che mette in tensione il cordino?[ω = 25, 13 rad

s ; F = 12, 6N ]

Spiegazione Il mazzo di chiavi è sottoposto a due accelerazioni, quella centrifugae quella di gravità, perpendicolari tra loro.

Svolgimento La velocità angolare del mazzio di chiavi è

ω = 2πν = 2 · 3, 14 · 4Hz = 25, 13rad

s

La forza centrifuga vale

Fc = mω2r = 0, 1 kg · (25, 13)2 rad2

s2· 0, 2m = 12, 63N

La forza di gravità vale

Fg = mg = 0, 1 kg · 9, 8 ms2

= 0, 98N

La forza totale sarà quindi

Ftot =√F 2c + F 2

g =

√(12, 63N)

2+ (0.98N)

2= 12, 67N

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Problema di: Cinematica - Dinamica - CD0005

Testo [CD0005] [2 2 ] Caronte, satellite di Plutone, ruota intorno ad esso conun’orbita circolare di raggio r = 19571 km in un tempo T = 6, 3872 giorni. Quantovale la massa di Plutone?

Spiegazione Caronte compie un’orbita che assumiamo essere circolare e quindisi muove di moto circolare uniforme. L’accelerazione centripeta necessaria a talemovimento è data dall’attrazione gravitazionale tra i due oggetti.

Svolgimento Impostiamo il problema affermando che la forza centripeta su Ca-ronte è data dalla legge di gravitazione universale

MC · ω2 · r = GMC ·MP

r2

dove MC e MP sono le masse di Caronte e Plutone, r è il raggio dell’orbita di Ca-ronte, ω è la velocità angolare del moto di Caronte e G la costante di gravitazioneuniversale.

Svolgendo i passaggi algebrici avremo

MP =ω2 · r3

G

MP =4π2 · r3

T 2 ·Gdove T è il periodo di rivoluzione di Caronte. Facciamo le opportune conversio-

ni:r = 19571 km = 19571000m

T = 6, 3872 giorni = 6, 3872 · 24 · 3600 s = 551854 s

A questo punto è possibile inserire i dati

MP =4 · 3, 142 · (19571000m)3

(551854 s)2 · 6, 674 · 10−11m3

kg · s2

Page 114: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

114 Scheda5. Dinamica: soluzioni

MP = 1, 45 · 1022 kg

Questo risultato vale se ipotizziamo inoltre che Plutone abbia una massa moltomaggiore di Caronte, cosa non corretta. In tal caso la massa calcolata è in realtà lamassa del sistema Plutone + Caronte.

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Problema di: Cinematica - Dinamica - CD0006

Testo [CD0006] [2 2 ] Immaginate di scavare un tunnel che attraversi tuttoil pianeta Terra passando per il suo centro. Ipotizziamo che la Terra sia una sferaperfetta ed omogenea. Se lasciamo cadere un oggetto nel tunnel, di che tipo di motosi muoverà?

Spiegazione Per capire di che tipo di moto si muove, bisogna costruirsi la leggeoraria del moto. Dobbiamo quindi capire quale accelerazione subisce l’oggetto.

Svolgimento Immaginiamo che l’oggetto si trovi ad una certa distanza r dal centrodella terra. La forza che agisce sull’oggetto è la forza di gravità generata su di essodalla sola massa che si trova a distanze dal centro della Terra minori di quella del-l’oggetto. Il guscio sferico esterno infatti non contribuisce. Quindi, indicando con mla massa dell’oggetto e con M la massa della porzione di Terra a distanze dal centroinferiori a quella dell’oggetto, avremo

~F = −Gm ·Mr2

~ur

~a = −GMr2~ur = −G

43πr

3

r2~ur = −G4

3πr~ur

Il segno meno indica che l’accelerazione è sempre rivolta verso il centro dellaTerra, e quindi opposta al versore ~ur.

Dall’equazione per l’accelerazione si deduce che il moto deve essere di tipo ar-monico.

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Page 115: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

115 Scheda5. Dinamica: soluzioni

Problema di: Dinamica - CD0007

Testo [CD0007] [2 2 ] Un satellite artificiale viaggia su di un’orbita circolaread un’altezza h = 500 km dalla superficie terrestre. Determinare la velocità ed ilperiodo del’orbita.

Spiegazione Il satellite in questione sta percorrendo un’orbita circolare la cui forzacentripeta è data dalla forza di gravità del pianeta Terra.

Svolgimento Indichiamo conMT

la massa della Terra; conm la massa del satellite,con R

T= 6371 km il raggio della Terra; con r = R

T+ h = 6871 km la distanza del

satellite dal centro della Terra; con V la velocità del satellite. Essendo qui la forza digravità una forza di tipo centripeto possiamo scrivere

GM

Tm

r2= m

V 2

r

da cui

V =

√GM

T

r=

√6, 67 · 10−11Nm2

kg2 · 5, 97 · 1024 kg

6, 871 · 106m= 7613

m

s

Il periodo dell’orbita sarà quindi

T =2πr

V=

2π · 6871 · 103m

7613 ms

= 5671 s

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Page 116: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

Scheda 6Leggi di conservazione: soluzioniProblema di: Meccanica - L0001

Testo [L0001] [1 3 ] Un oggetto di massa m = 50 kg viaggia ad una velocitàVi = 10ms . Ad un certo punto viene spinto da una forza F = 100N per una distanza∆S = 24m nella stessa direzione e nello stesso verso del movimento.

1. Quanto lavoro ha fatto la forza? Quel lavoro è negativo o positivo?

2. Quanta energia cinetica ha l’oggetto all’inizio e dopo l’azione della forza?

3. A quale velocità finale viaggia l’oggetto?

Spiegazione L’oggetto sta viaggiando ad una certa velocità, quindi ha energia ci-netica. L’azione della forza è quella di fare un lavoro sull’oggetto, cioè dargli dell’e-nergia in modo da far aumentare la sua energia cinetica.

Svolgimento

1. Il lavoro fatto dalla forza è

L = F ∆S = 100N · 24m = 2400 J

2. Le energie cinetiche dell’oggetto all’inizio e alla fine sono

Eci =1

2mV 2

i =1

2· 50 kg · 100

m2

s2= 2500 J

Ecf = Eci + L = 4900 J

3. Per trovare la velocità finale dell’oggetto scriveremo

Ecf =1

2mV 2

f ⇒ Vf =

√2Ecfm

= 14m

s

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Problema di: Leggi di Conservazione - L0002

Testo [L0002] [1 2 ] Se lascio cadere un oggetto inizialmente fermo da un’altez-za hi = 8m, con quale velocità arriverà a terra?

Spiegazione L’oggetto che cade partendo da fermo, accelera aumentando la suavelocità. Durante la caduta vale la legge di conservazione dell’energia meccani-ca; man mano che l’altezza diminuisce, e quindi diminuisce l’energia potenzialegravitazionale dell’oggetto, aumenta l’energia cinetica dell’oggetto, e quindi la suavelocità.

Svolgimento Per la legge di conservazione dell’energia

Eci + Ui = Ecf + Uf

1

2mV 2

i +mghi =1

2mV 2

f +mghf

L’altezza finale raggiunta dall’oggetto è nulla; la velocità iniziale dell’oggetto è nulla.

mghi =1

2mV 2

f

da cuighi =

1

2V 2f

da quest’ultima equazione troviamo la velocità finale dell’oggetto

Vf =√

2ghi = 12, 52m

s

Esercizi concettualmente identici

1. Un oggetto di massa m = 4 kg si muove senza attrito su di un piano orizzon-tale con la velocità V = 5 m

s . Ad un certo punto l’oggetto incontra una mollacomprimendola di ∆l = 0, 2m. Quanto vale la costante elastica della molla?[k = 2500 N

m ]

116

Page 117: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

117 Scheda6. Leggi di conservazione: soluzioni

Problema di: Leggi di Conservazione - L0003

Testo [L0003] [1 2 ] Se lascio cadere un oggetto di massa m = 1 kg inizialmentefermo da un’altezza hi = 8m, e arriva a terra con una velocità Vf = 10 m

s ; quantaenergia si è dissipata sotto forma di calore a causa dell’attrito con l’aria?

Spiegazione L’oggetto che cade partendo da fermo, perde energia potenziale gra-vitazione in quanto diminuisce la sua altezza. Contemporaneamente aumenta l’e-nergia cinetica dell’oggetto e, a causa del lavoro della forza d’attrito con l’aria, vienedissipato del calore. Vale la legge di conservazione dell’energia totale.

Svolgimento Per la legge di conservazione dell’energia totale

Eci + Ui = Ecf + Uf +Q

Il termine Q è dovuto all’effetto della forza di attrito che converte parte dell’energiacinetica dell’oggetto in calore.

1

2mV 2

i +mghi =1

2mV 2

f +mghf +Q

L’altezza finale raggiunta dall’oggetto è nulla; la velocità iniziale dell’oggetto è nulla.

mghi =1

2mV 2

f +Q

da cui troviamo il calore prodotto

Q = mghi −1

2mV 2

f

Q = 1 kg · 9, 8 ms2· 8m− 1

2· 1 kg · 100

m2

s2= 28, 4 J

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Problema di: Cinematica - Dinamica - L0004

Testo [L0004] [1 1 ] Un oggetto di massa m = 500 kg si sta muovendo su diun piano orizzontale con velocità iniziale Vi = 10 m

s . Gradualmente rallenta a causadelle forze di attrito fino alla velocità Vf = 4 m

s . Quanta energia è stata dispersa sottoforma di calore?

Spiegazione L’oggetto muovendosi in orizzontale non varia mai la sua energiapotenziale gravitazionale. Le forze d’attrito trasformano parte dell’energia cineticadell’oggetto in calore.

Svolgimento L’energia cinetica iniziale dell’oggetto è

Eci =1

2mV 2

i =1

2· 500 kg · 100

m2

s2= 25000 J

L’energia cinetica finale dell’oggetto è

Ecf =1

2mV 2

f =1

2· 500 kg · 16

m2

s2= 4000 J

Il calore prodotto dalle forze d’attrito è quindi

∆Q = Eci − Ecf = 21000 J

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Page 118: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

118 Scheda6. Leggi di conservazione: soluzioni

Problema di: Leggi di conservazione - L0005

Testo [L0005] [1 2 ] Un oggetto si sta muovendo in salita su di un piano incli-nato con attrito, con una velocità iniziale Vi = 10 m

s . Gradualmente rallenta fino afermarsi. Sapendo che l’oggetto si è sollevato, rispetto all’altezza iniziale, fino all’al-tezza hf = 3m e che il calore generato dalle forze di attrito è stato Q = 2J , quantovale la massa dell’oggetto?

Spiegazione L’oggetto, muovendosi sul piano inclinato, perde la sua energia cine-tica che viene trasformata in parte in energia potenziale gravitazionale (l’oggetto sitrova infatti più in alto) ed in parte in calore (a causa delle forze di attrito). Per que-sto esercizio vale la legge di conservazione dell’energia; l’applicazione di tale leggeci porterà alla soluzione del problema.

Svolgimento La legge di conservazione dell’energia ci permette di scrivere chel’energia totale iniziale del sistema è uguale all’energia totale finale del sistema:

Etot−i = Etot−f

Da cui1

2mV 2

i +mghi =1

2mV 2

f +mghf +Q

A questo punto bisogna notare che alcuni di questi termini sono nulli. In partico-lare l’altezza iniziale dell’oggetto hi = 0 in quanto prendiamo come sistema di rife-rimento proprio l’altezza iniziale dell’oggetto, e la velocità finale dell’oggetto Vi = 0.L’equazione precedente diventa

1

2mV 2

i = mghf +Q

da cui

1

2mV 2

i −mghf = Q

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

m(1

2V 2i − ghf ) = Q

m =Q(

12V

2i − ghf

) =2 J

12 · 100 m2

s2 − 9, 8 ms2 · 3m

= 0, 097 kg = 97 g

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Page 119: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

119 Scheda6. Leggi di conservazione: soluzioni

Problema di: Leggi di conservazione - L0006

Testo [L0006] [1 4 ] Un blocco di pietra di massa m = 40 kg scivola lungo unadiscesa partendo con una velocità iniziale Vi = 5 m

s . All’inizio si trovava all’altezzahi = 10m per poi scendere fino all’altezza hf = 2m.

1. Calcola le energie cinetica e potenziale gravitazionale iniziali del blocco.

2. Quanta energia cinetica finale avrebbe il blocco se non ci fosse attrito?

3. Se l’energia cinetica finale del blocco fosse metà di quella iniziale, quanta ener-gia si è persa a causa delle forze d’attrito?

Spiegazione Il blocco di pietra si muove in discesa nel rispetto della legge di con-servazione dell’energia totale del sistema. Se le prime due domande semplicemen-te chiedono di eseguire un conto conoscendo una formula, nella terza domandasi chiede di applicare la legge di conservazione dell’energia in assenza di attrito.Nell’ultima domanda si richiede di fare la stessa cosa ma considerando gli effettidell’attrito.

Svolgimento Considerati i dati, l’energia cinetica iniziale dell’oggetto vale

Eci =1

2mV 2

i = 500 J

Considerati i dati, l’energia potenziale gravitazionale iniziale dell’oggetto vale

Ui = mghi = 3920 J

Considerati i dati, l’energia potenziale gravitazionale finale dell’oggetto vale

Uf = mghf = 784 J

La legge di conservazione dell’energia, considerando il caso di assenza di attrito,ci permette di affermare che

Eci + Ui = Ecf + Uf

per cuiEcf = Eci + Ui − Uf

e quindiEcf = 3636 J

Nel caso in cui teniamo conto dell’attrito, l’esercizio ci dice che l’energia cineticafinale dell’oggetto vale Ecf = 250 J , per cui

Eci + Ui = Ecf + Uf +Q

per cuiQ = Eci + Ui − Ecf − Uf

e quindiQ = 3386 J

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Page 120: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

120 Scheda6. Leggi di conservazione: soluzioni

Problema di: Leggi di conservazione - L0007

Testo [L0007] [1 7 ] Un proiettile di massa m = 15 g viene sparato da un fucilein diagonale verso l’alto posizionato al livello del suolo. Al momento dello sparoriceve una spinta F = 100N per un tragitto ∆S = 60 cm pari alla lunghezza dellacanna del fucile. Quando arriva nel punto di massima altezza ha ancora una velocitàVf = 20ms . trascuriamo gli effetti dell’attrito con l’aria.

1. Quanto lavoro ha ricevuto il proiettile al momento dello sparo?

2. Trascura la variazione di energia potenziale dovuta al percorso della pallotto-la all’interno del fucile; quanta energia cinetica ha il proiettile in uscita dallacanna del fucile?

3. Quanta energia cinetica ha il proiettile nel punto di massima altezza?

4. Quanta energia potenziale gravitazionale ha il proiettile nel punto di massimaaltezza?

5. A quale altezza è arrivato il proiettile?

Spiegazione Il proiettile riceve energia all’interno del fucile. Appena ne esce, simuove nell’aria nel rispetto della legge di conservazione dell’energia.

Svolgimento Cominciamo con il convertire la massa del proiettile inm = 0, 015 kg.

1. Per calcolare il lavoro delle forze di attrito avremo

L = F ·∆S = 100N · 0, 6m = 60 J

2. Il proiettile, inizialmente fermo nel fucile, aquista energia cinetica in quantoviene fatto su di lui un lavoro. Per cui Eci = 60 J

3. Nel punto di massima altezza

Ecf =1

2mV 2

i =1

2· 0, 015 kg · 400

m2

s2= 3 J

4. Per la legge di conservazione dell’energia

Eci + Ui = Ecf + Uf

Uf = Eci + Ui − Ecf = 57 J

5. Utilizzando la formula dell’energia potenziale gravitazionale

hf =Ufmg

=57 J

0, 015 kg · 9, 8 ms2

= 387, 76m

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Page 121: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

121 Scheda6. Leggi di conservazione: soluzioni

Problema di: Leggi di conservazione - L0008

Testo [L0008] [1 4 ] Un oggetto di massa m = 5 kg ha inizialmente un’ener-gia potenziale gravitazionale Ui = 100J e sta cadendo con una velocità Vi = 10ms .Cadendo a terra, cioè fino ad un’altezza hf = 0m, l’oggetto ha colpito e compressouna molla, inizialmente a riposo, di costante elastica k = 200 N

cm . Quando la mollaraggiunge la sua massima compressione l’oggetto è nuovamente fermo.

1. A quale altezza si trova inizialmente l’oggetto?

2. Quanta energia cinetica ha l’oggetto inizialmente?

3. Quanta energia potenziale gravitazionale ha l’oggetto quando arriva a terra?

4. Quanta energia potenziale elastica ha la molla inizialmente?

5. Quanta energia cinetica ha l’oggetto alla fine del suo movimento?

6. Quanta energia potenziale elastica ha immagazzinato la molla nel momento dimassima compressione?

7. Di quanto si è compressa la molla?

Spiegazione Questo problema tratta di un oggetto che,trovandosi inizialmente aduna certa altezza, ha una certa energia potenziale gravitazionale. Cadendo, per lalegge di conservazione dell’energia, trasforma la sua energia potenziale gravitazio-nale in energia cinetica e poi, successivamente, la sua energia cinetica in energiapotenziale elastica.

Svolgimento

1. Conoscendo l’energia potenziale gravitazionale dell’oggetto e la sua massa,avremo che

hi =Uimg

=100 J

5 kg · 9, 8 ms2

= 2, 04m

2. Per l’energia cinetica avremo

Eci =1

2mV 2

i =1

2· 5 kg · 100

m2

s2= 250 J

3. Essendo il terreno ad altezza zero

Uf = mghf = 0J

4. La molla inizialmente è del tutto scarica, quindi

Vel.i =1

2k (∆l)

2= 0J

5. Alla fine della caduta l’oggetto è nuovamente fermo, quindi

Ecf =1

2mV 2

f = 0 J

6. Per la legge di conservazione dell’energia

Eci + Ui + Vel.i = Ecf + Uf + Vel.f

250 J + 100 J + 0 J = 0J + 0 J + Vel.f

Vel.f = 350 J

7. Utilizzando infine la formula inversa dell’energia potenziale elastica finale

∆l2 =2Vel.fk

=2 · 350 J

20000Nm= 0, 035m2

∆l = 0, 187m = 18, 7 cm

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Page 122: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

122 Scheda6. Leggi di conservazione: soluzioni

Problema di: Leggi di conservazione - L0009

Testo [L0009] [1 2 ] Un motore di potenza P = 2 kW solleva un oggetto dimassa m = 500 kg da un’altezza hi = 2m fino ad un’altezza hf = 32m. Quantotempo ci impiega?

Spiegazione Il motore in questione, visto che sta sollevando un oggetto, gli stafornendo energia potenziale gravitazionale. Conoscendo la potenza del motore po-tremo calcolarci in quanto tempo tale energia viene fornita.

Svolgimento L’energia fornita all’oggetto vale

L = ∆U = Uf − Ui

L = mghf −mghi = mg∆h = 500 kg · 9, 8 ms2· 30m = 147000 J

Il tempo impiegato dal motore sarà quindi

∆t =L

P=

147000 J

2000Watt= 73, 5 s

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Problema di: Leggi di conservazione - L0010

Testo [L0010] [1 2 ] Un tuffatore salta dalla piattaforma alta hi = 10metri. Conquale velocità l’atleta entra in acqua?

Spiegazione Durante il tuffo vale la legge di conservazione dell’energia. Il proble-ma si risolve applicando tale legge.

Svolgimento Impostiamo la legge di conservazione dell’energia.

Eci + Ui = Ecf + Uf

1

2mV 2

i +mghi =1

2mV 2

f +mghf

Il tuffatore parte da fermo, quindi Vi = 0; consideriamo inoltre il livello dell’ac-qua ad altezza hf = 0 Avremo quindi

mghi =1

2mV 2

f

Facendo la formula inversa avremo

V 2f =

mghi12m

= 2ghi

Vf =√

2ghi = 14m

s

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Page 123: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

123 Scheda6. Leggi di conservazione: soluzioni

Problema di: Leggi di conservazione - L0011

Testo [L0011] [1 2 ] In quanto tempo un motore di potenza P = 30W puòsollevare un oggetto di massa m = 4 kg di un’altezza ∆h = 5m?

Spiegazione Per poter aumentare la sua altezza, l’oggetto deve ricevere energiapotenziale gravitazionale. Tale energia viene fornita dal motore.

Svolgimento Applicando la legge di conservazione dell’energia, possiamo affer-mare che l’energia potenziale gravitazionale iniziale più il lavoro fatto dal motore èuguale all’energia potenziale gravitazionale finale.

Ui + L = Uf

L = Uf − Ui

Il lavoro fatto dal motore è dato dalla potenza del motore per il tempo di funzio-namento del motore.

P ·∆t = ∆U

∆t =mg∆h

P

∆t =4 kg · 9, 8 m

s2 · 5m30W

= 6, 53 s

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Problema di: Leggi di Conservazione - L0012

Testo [L0012] [1 2 ] Quale altezza raggiunge un oggetto lanciato da terra verti-calmente verso l’alto con una velocità iniziale V0 = 25 m

s ?

Spiegazione Nel muoversi verso l’alto l’oggetto converte energia cinetica in ener-gia potenziale gravitazionale. Vale infatti la legge di conservazione dell’energia. Inquesto esercizio trascuriamo gli effetti dell’attrito con l’aria.

Svolgimento Per la legge di conservazione dell’energia totale

Eci + Ui = Ecf + Uf

1

2mV 2

i +mghi =1

2mV 2

f +mghf

La velocità finale raggiunta dall’oggetto è nulla; l’altezza iniziale dell’oggetto ènulla in quanto l’oggetto parte da terra.

1

2mV 2

i = mghf

hf =12mV

2i

mg=V 2i

2g=

625 m2

s2

2 · 9, 8 ms2

= 31, 9m

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Page 124: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

124 Scheda6. Leggi di conservazione: soluzioni

Problema di: Leggi di Conservazione - L0013

Testo [L0013] [1 3 ] Un’automobile di massam = 1000 kg rallenta in uno spazio∆S = 50m dalla velocità Vi = 20ms fino alla velocità Vf = 10ms . Quanto valgonole energie cinetiche iniziale e finale dell’automobile? Quanto lavoro hanno fatto leforze d’attrito? Quanto valgono le forze d’attrito?

Spiegazione In questo esercizio un’auto si muove ed ha quindi energia cinetica.L’automobile rallenta in quanto la forza d’attrito, facendo un lavoro, converte partedell’energia cinetica della macchina in calore.

Svolgimento Le energie cinetiche iniziale e finale della macchina sono

Eci =1

2mV 2

i = 500 kg · 400m2

s2= 200 kJ

Ecf =1

2mV 2

i = 500 kg · 100m2

s2= 50 kJ

Dalla legge di conservazione dell’energia, l’energia cinetica iniziale sommata al la-voro delle forze di attrito deve essere uguale all’energia cinetica finale.

Eci + L = Ecf

L = Ecf − Eci = 50 kJ − 200 kJ = −150 kJ

Il lavoro viene giustamente negativo in quanto la forza di attrito è sempre oppostaallo spostamento dell’oggetto. La forza di attrito media, considerando che l’angolotra lo spostamento e la forza è 180, sarà

Fa =L

∆S · cos(180)=−150000 J

50m · (−1)= 3000N

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Problema di: Leggi di Conservazione - L0014

Testo [L0014] [1 4 ] Esercizi banali:

1. Quanto lavoro viene fatto su di un oggetto che si é spostato di ∆S = 50m

rallentato da una forza d’attrito F = 100N?[L = −5000 J]

2. Quanto lavoro compie la forza centripeta che fa muovere un oggetto di motocircolare uniforme?[L = 0J]

3. Quanto consuma una lampadina di potenza P = 150W tenuta accesa per untempo ∆t = 2h?[∆E = 300 J]

4. Per quanto tempo deve funzionare un motore di potenza P = 2000W per poterfornire un’energia ∆E = 500 J?[∆t = 0, 25 s]

Spiegazione In questo esercizio ho raccolto tutte quelle domande banali che pos-sono essere fatte su questo argomento. Per banale si intende un problema nel qualela domanda consiste semplicemente nel fornire dei dati da inserire in una formula.Non è quindi richiesta alcuna particolare capacità di ragionamento, ne particolaridoti matematiche. Questo esercizio serve unicamente ad aquisire dimestichezza conl’esecuzione dei conti numerici con le unità di misura.

Svolgimento

1. Tenendo presente che la forza di attrito è sempre opposta al vettore velocità equindi al vettore spostamento, l’angolo tra i due vettori della formula è α =

180. Per cui

L = ~Fx ~∆S = F ·∆S · cos(α) = 100N · 50m · cos(180) = −5000 J

Page 125: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

125 Scheda6. Leggi di conservazione: soluzioni

2. Una forza centripeta è sempre perpendicolare al vettore velocità e quindi alvettore spostamento, l’angolo tra i due vettori della formula è α = 90. Per cui

L =~(F )x ~∆S = F ·∆S · cos(α) = 100N · 50m · cos(180) = 0 J

3. Utilizzando la formula della potenza:

∆E = P ·∆t = 150W · 3600 s = 540000 J = 540 kJ

4. Utilizzando la formula della potenza:

∆t =∆E

P=

500 J

2000W= 0, 25 s

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Problema di: Leggi di Conservazione - L0015

Testo [L0015] [1 5 ] Un pallone di massa m = 0, 4 kg si trova ad una altezzahi = 1m da terra e viene calciato verticalmente verso l’alto alla velocità Vi = 15 m

s .

1. Quanta energia cinetica e quanta energia potenziale gravitazionale ha il pallo-ne all’inizio?

2. Qanto vale l’energia totale che ha quel pallone?

3. Quanta energia cinetica e quanta energia potenziale gravitazionale ha il pallo-ne nel punto di massima altezza?

4. A quale altezza arriva il pallone?

5. Se il pallone avesse avuto una massa doppia a quale altezza sarebbe arrivato?

.

Spiegazione Questo è un esercizio guidato, nel quale i vari passaggi che si fareb-bero in un normale esercizio sono qui presentati come singole domande. Il pallone sitrova ad una certa altezza ed ha quindi una certa energia potenziale gravitazionale;parte anche verso l’alto con una certa velocità iniziale ed ha quindi una certa energiacinetica. Visto che parte verticalmente, nel punto di massima altezza sarà fermo.

Svolgimento Rispondiamo alle domande una alla volta:

1. L’energia cinetica iniziale è

Eci =1

2mV 2

i =1

2· 0, 4 kg · 225

m2

s2= 45 J

L’energia potenziale gravitazionale è

Ui = mghi = 0, 4 kg · 9, 8 ms2· 1m = 3, 9 J

2. Visto che nel sistema c’è un solo oggetto che ha solo energia cinetica e poten-ziale gravitazionale, allora l’energia totale del sistema è

Etot = Ui + Eci = 48, 9 J

Page 126: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

126 Scheda6. Leggi di conservazione: soluzioni

3. Nel punto di massima altezza il pallone è fermo e quindi ha energia cineticapari a zero

Ecf = 0

Per la legge di conservazione dell’energia, il pallone ha energia potenzialegravitazionale finale pari a

Uf + Ecf = Ui + Eci

Uf = 48, 9 J

4. Conoscendo l’energia potenziale gravitazionale finale posso conoscere l’altez-za raggiunta

hf =Ufmg

=48, 9 J

0, 4 kg · 9, 8 ms2

= 12, 5m

5. Nella legge di conservazione dell’energia si semplifica la massa dell’oggettoche è quindi ininfluente sul risultato dell’altezza raggiunta

Uf + Ecf = Ui + Eci

1

2mV 2

i +mghi =1

2mV 2

f +mghf

m

(1

2V 2i + ghi

)= m

(1

2V 2f + ghf

)1

2V 2i + ghi =

1

2V 2f + ghf

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Problema di: Leggi di Conservazione - L0016

Testo [L0016] [1 2 ] Un proiettile viene sparato in aria con la velocità inizialeVi = 100 m

s . Trascurando l’effetto dell’aria, a quale altezza arriverebbe il proiettile?

Spiegazione Il proiettile parte verso l’alto con una certa velocità iniziale e quindicon una certa energia cinetica. Mentre sale, il lavoro della forza di gravità conver-te tale energia cinetica in energia potenziale gravitazionale. il problema si risolveimponendo la legge di conservazione dell’energia totale.

Svolgimento Per la legge di conservazione dell’energia

Eci + Ui = Ecf + Uf

1

2mV 2

i +mghi =1

2mV 2

f +mghf

L’altezza iniziale dell’oggetto è nulla; la velocità finale dell’oggetto è nulla.

1

2mV 2

i = mghf

da cui1

2V 2i = ghf

da quest’ultima equazione troviamo l’altezza finale dell’oggetto

hf =V 2i

2g= 510m

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Page 127: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

127 Scheda6. Leggi di conservazione: soluzioni

Problema di: Leggi di Conservazione - L0017

Testo [L0017] [1 2 ] Un pendolo formato da un filo di lunghezza l = 1m ed unamassa legata al fondo, viene inclinato in modo da sollevare la massa di ∆h = 10 cm,e viene tenuto inizialmente fermo. Con quale velocità il pendolo viaggerà quando lamassa avrà raggiunto la sua minima altezza?

Spiegazione Questo problema è concettualmente identico al problema di un og-getto in caduta libera. Mentre il peso scende, il lavoro della forza di gravità convertel’energia potenziale gravitazionale dell’oggetto in energia cinetica.

Svolgimento Per la legge di conservazione dell’energia

Eci + Ui = Ecf + Uf

1

2mV 2

i +mghi =1

2mV 2

f +mghf

Sappiamo che la velocità iniziale è nulla e conosciamo il valore del dislivello∆h = hf − hi, per cui

− (mghf −mghi) =1

2mV 2

f

−mg∆h =1

2mV 2

f

−2g∆h = V 2f

Vf =√−2g∆h

Se la massa era stata sollevata di ∆h = 10 cm, allora essa è poi scesa di ∆h = −10 cm.Sostituendo i valori nella formula avremo

Vf =

√−2 · 9, 8 m

s2· (−10 cm) = 1, 4

m

s

Problema di: Leggi di Conservazione - L0018

Testo [L0018] [1 2 ] Di quanto viene compressa una molla di costante elasticak = 100 N

m se a comprimerla è un oggetto di massa m = 49 kg lanciato orizzontal-mente alla velocità Vi = 10 m

s ?

Spiegazione Questo problema è concettualmente identico al problema di un ogget-to in caduta libera, con l’unica differenza determinata dal fatto che invece dell’ener-gia potenziale gravitazionale dovremo tenere conto dell’energia potenziale elasticadella molla.

Svolgimento Per la legge di conservazione dell’energia

Eci + Vei = Ecf + Vef

1

2mV 2

i +1

2k∆l2i =

1

2mV 2

f +1

2k∆l2f

La molla inizialmente è scarica, mentre l’oggetto, quando ha compresso comple-tamente la molla, è fermo.

1

2mV 2

i =1

2k∆l2f

da cui semplificando posso calcolare la variazione di lunghezza della molla

mV 2i = k∆l2f

∆lf =

√m

kVi

∆lf =

√49 kg

100 Nm

10m

s= 7 cm

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Page 128: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

128 Scheda6. Leggi di conservazione: soluzioni

Problema di: Leggi di Conservazione - L0019

Testo [L0019] [1 3 ] Su di una catapulta viene posizionata una pietra di massam = 30 kg, comprimendo di ∆l = 50 cm una molla di costante elastica k = 6000Nm .

1. Quanta energia potenziale elastica è immagazzinata nella molla?

2. Con quanta energia cinetica la pietra viene lanciata?

3. A quale velocità viaggia la pietra nel momento in cui viene lanciata?

.

Spiegazione Una catapulta funziona secondo il principio per cui prima viene im-magazzinata energia nella molla (in generale un qualunque dispositivo elastico) e poirilasciata al proiettile sotto forma di energia cinetica.

Svolgimento L’energia potenziale elastica immagazzinata è

Vel =1

2k∆l2 =

1

2· 6000

N

m· 0, 025m2 = 750 J

L’energia cinetica del proiettile sarà esattamente quella immagazzinata dalla mol-la

Eci = Vel = 750 J

Dalla formula inversa dell’energia cinetica

Vi =

√2Ecm

=

√1500 J

30 kg= 7, 07

m

s

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Problema di: Leggi di Conservazione - L0020

Testo [L0020] [1 4 ] Un oggetto di massa m = 5 kg ha inizialmente un’ener-gia potenziale gravitazionale Ui = 100J e sta cadendo con una velocità Vi = 10ms .Cadendo a terra, cioè fino ad un’altezza hf = 0m, l’oggetto ha colpito e compressouna molla, inizialmente a riposo, di costante elastica k = 200 N

cm . Quando la mollaraggiunge la sua massima compressione l’oggetto è nuovamente fermo.

1. A quale altezza si trova inizialmente l’oggetto?

2. Quanta energia cinetica ha l’oggetto inizialmente?

3. Quanta energia potenziale gravitazionale ha l’oggetto quando arriva a terra?

4. Quanta energia potenziale elastica ha la molla inizialmente?

5. Quanta energia cinetica ha l’oggetto alla fine del suo movimento?

6. Quanta energia potenziale elastica ha immagazzinato la molla nel momento dimassima compressione?

7. Di quanto si è compressa la molla?

.[hi = 2, 04m; Eci = 250 J ; Uf = 0 J ; Vi = 0 J ; Eci = 0 J ; Vel−f = 350 J ; ∆l =

3, 5 cm.]

Spiegazione Un’esercizio guidato sulla legge di conservazione dell’energia

Svolgimento Utilizzando la formula inversa dell’energia potenziale gravitazionale

hi =Uimg

=100 J

5 kg · 9, 8 ms2

= 2, 04m

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Page 129: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

129 Scheda6. Leggi di conservazione: soluzioni

La sua energia cinetica iniziale vale

Eci =1

2mV 2

i =1

2· 5 kg · 100

m2

s2= 250 J

Essendo arrivato a terra l’energia potenziale finale è nulla

Uf = 0

Inizialmente la molla è completamente scarica, quindi

Vel−i = 0

Alla fine del movimento l’oggetto è fermo, quindi

Ecf = 0

Tutta l’energia è quindi nella molla nel momento di massima compressione

Vel−f = Eci + Ui = 350 J

Utilizzando la formula inversa dell’energia potenziale elastica trovo di quanto diè compressa la molla

∆lf =

√2Vel−fk

=

√2 · 350 J

200 Ncm

= 3, 5 cm

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Problema di: Leggi di Conservazione - L0021

Testo [L0021] [1 2 ] Quanta energia devo dare ad un oggetto di massam = 2 kg

che si muove con velocità Vi = 10 ms per fargli raddoppiare la velocità?

Spiegazione Un oggetto si muove e quindi ha energia cinetica. L’energia da daresarà la differenza tra l’energia cinetica finale e quella iniziale.

Svolgimento L’energia cinetica iniziale dell’oggetto vale

Eci =1

2mV 2

i =1

2· 2 kg · 100

m2

s2= 100 J

L’energia cinetica finale dell’oggetto, quando la velocità è raddoppiata, vale

Ecf =1

2mV 2

f =1

2· 2 kg · 400

m2

s2= 400 J

L’energia da dare valeL = Ecf − Eci = 300 J

Esercizi concettualmente identici

1. Quanta energia devo dare ad un oggetto di massa m = 20 kg per sollevarlodall’altezza iniziale hi = 50m fino all’altezza hf = 75m?[∆U = 2940 J]

2. Quanta energia devo dare ad un oggetto di massa m = 20 kg per aumentare lasua velocità da un valore Vi = 15ms fino ad un valore Vf = 25ms ?[∆Ec = 78400 J]

3. Un blocco di cemento di massa m = 500 kg è tenuto da una gru ad un’altezzahi = 10m e poi appoggiato dentro un pozzo ad una profondità hf = −5m

sotto il livello del terreno. Quanto valgono le energie potenziali gravitazionaliiniziale e finale del blocco di cemento? Quanta energia potenziale gravitazio-nale ha aquisito l’oggetto a causa del suo spostamento?[Ui = 49000 J ;Uf = −29500 J ; ∆U = −78500 J]

Page 130: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

130 Scheda6. Leggi di conservazione: soluzioni

Problema di: Leggi di Conservazione - L0022

Testo [L0022] [1 4 ] Un proiettile di massa m = 15 g viene sparato da un fucilein diagonale verso l’alto posizionato al livello del suolo. Al momento dello sparoriceve una spinta F = 100N per un tragitto ∆S = 60 cm pari alla lunghezza dellacanna del fucile. Quando arriva nel punto di massima altezza ha ancora una velocitàVf = 20ms . Quanto lavoro ha ricevuto il proiettile al momento dello sparo? Trascurala variazione di energia potenziale dovuta al percorso della pallottola all’interno delfucile; quanta energia cinetica ha il proiettile in uscita dalla canna del fucile? Quantaenergia cinetica ha il proiettile nel punto di massima altezza? Quanta energia po-tenziale gravitazionale ha il proiettile nel punto di massima altezza, se trascuriamol’attrito con l’aria? A quale altezza è arrivato il proiettile?[L = 60 J ; Eci = 60 J ; Ecf = 3 J ; Uf = 57 J ; hf = 388m]

Spiegazione Il proiettile subisce una forza da parte del fucile, e si sposta lungola canna del fucile. Il fucile fa quindi un lavoro sul proiettile. Tale lavoro vieneaquisito dal proiettile sotto forma di energia cinetica. Nel muoversi verso l’altola forza di gravità trasforma l’energia cinetica del proiettine in energia potenzialegravitazionale.

Svolgimento Il lavoro ricevuto, tenendo conto che la forza impressa sul proiettilee lo spostamento dello stesso sono paralleli e nello stesso verso, vale

L = F ·∆l = 100N · 0, 6m = 60 J

L’energia cinetica della pallottola in uscita dal fucile sarà pari al lavoro fatto dallaforza

Eci = L = 60 J

L’energia cinetica della pallottola nel punto di massima altezza vale

Ecf =1

2mV 2

f =1

2· 0, 015 kg · 400

m2

s2= 3 J

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Per la legge di conservazione dell’energia, l’energia potenziale gravitazionale nelpunto di massima altezza vale

Ecf + Uf = Eci

Uf = Eci − Ecf = 57 J

l’altezza raggiunta vale

hf =Ufmg

=57 J

0, 015 kg · 9, 8 ms2

= 388m

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Page 131: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

131 Scheda6. Leggi di conservazione: soluzioni

Problema di: Leggi di Conservazione - L0023

Testo [L0023] [1 3 ] Un corpo di massa m = 2 kg, sulla cima di una collina,viaggia con velocità iniziale Vi = 10 m

s ed ha un’energia potenziale gravitazionaleUi = 1000 J . Frenato dalle forze d’attrito, arriva in fondo alla collina ad altezza hf =

0m con una velocità finale Vf = 20 ms . Di quante volte è aumentata l’energia cinetica

(raddoppiata, triplicata, quadruplicata)? Quanta energia si è trasformata in calore?

Spiegazione In questo esercizio si applica la legge di conservazione dell’energia.Inizialmente il sistema fisico ha l’energia cinetica e potenziale gravitazionale del-l’oggetto. Alla fine il sistema fisico ha l’energia conetica e energia potenziale gravi-tazionale dell’oggetto ed il calore prodotto dalle forze di attrito. L’oggetto ha persoenergia potenziale gravitazionale, la quale è stata trasformata una parte in energiacinetica ed in parte in calore.

Svolgimento Le energie cinetiche iniziali e finali dell’oggetto valgono

Ec−i =1

2mV 2

i =1

2· 2 kg · 100

m2

s2= 100 J

Ec−f =1

2mV 2

f =1

2· 2 kg · 400

m2

s2= 400 J

L’energia cinetica è quindi quadruplicata. Inizialmente l’energia totale, calcolatautilizzando i valori iniziali, è

Etot = Ec−i + Ui = 1100 J

Visto che hf = 0m allora Uf = mghf = 0J . Quindi:

Q+ Ec−f + Uf = Etot

Q = Etot − Ec−f = 700 J

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Problema di: Leggi di Conservazione - L0024

Testo [L0024] [3 5 ] Ad una molla, di lunghezza a riposo L0 = 20 cm e costanteelastica k = 10 N

m , viene appeso un oggetto di massa m = 100 g. Dalla posizione diequilibrio raggiunta, l’oggetto viene sollevato di ∆x = +5 cm. Lasciato libero, fino aquale altezza minima si abbassa?

Spiegazione In questo esercizio bisogna applicare la legge di conservazione dell’e-nergia. Inizialmente il sistema, quando si trova fermo in equilibrio, ha dell’energiapoteniale elastica in quanto la molla è allungata rispetyto alla posizione a riposo, edha dell’energia potenziale gravitazionale in quanto l’oggetto si trova ad una certaaltezza da terra.

Risulta importante in un sistema come questo, la scelta del sistema di riferimentorispetto al quale misuriamo le singole altezze. La scelta più comoda è quella in cuilo zero delle altezze si trova nel punto più in alto in cui viene posizionato il pesino.Per questo motivo, quando lasceremo il pesino libero di cadere, esso oscillerà tral’altezza zero ed un’opportuna altezza negativa.

Svolgimento Cominciamo con il calcolarci di quanto si allunga la molla sotto l’a-zione del pesino. In condizioni di equilibrio la forza di gravità verso il basso saràuguale alla forza elastica verso l’alto

Fg = Fel

m · g = k ·∆l

∆l =m · gk

∆l =0, 1 kg · 9, 8 m

s2

10 Nm

= 0, 098m = 9, 8 cm

Nel nostro sistema di riferimento, il pesino si trova ad altezza zero e poi vienesollevato fino all’altezza iniziale

hi = ∆x

Page 132: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

132 Scheda6. Leggi di conservazione: soluzioni

Il problema chiede di trovare l’altezza minima hf raggiunta dal pesino. Impostia-mo la legge di conservazione dell’energia. Definiamo lo stato iniziale come il puntopiù in alto raggiunto dal pesino. Definiamo come stato finale il punto più in bassoraggiunto dal pesino. In entrambi i casi l’energia cinetica del pesino è nulla.

L’energia potenziale gravitazionale è

U = m · g · h

L’energia potenziale elastica è

V =1

2k (∆l − h)

2

La legge di conservazione dell’energia diventa

m · g · hi +1

2k (∆l − hi)2

= m · g · hf +1

2k (∆l − hf )

2

m · g · (hi − hf ) =1

2k (∆l − hf )

2 − 1

2k (∆l − hi)2

m · g · (hi − hf ) =1

2k[(∆l − hf )

2 − (∆l − hi)2]

2m · gk

(hi − hf ) = (∆l − hf + ∆l − hi) · (∆l − hf −∆l + hi)

2m · gk

(hi − hf ) = (2∆l − hf − hi) · (−hf + hi)

2m · gk

(hi − hf )− (2∆l − hf − hi) · (−hf + hi) = 0

(hi − hf )[2m · gk− (2∆l − hf − hi)

]= 0

(hi − hf )(

2m · gk− 2∆l + hf + hi

)= 0

di qui troviamo le due soluzioni per hf coincidenti con gli stati iniziale e finaledel problema hi − hf = 0

2m·gk − 2∆l + hf + hi = 0

hf = hi

hf = −hi − 2m·gk + 2∆l

Se adesso andiamo a riprendere il risultato iniziale sull’equilibrio raggiunto dallamolla con il peso ad essa appeso ∆l = m·g

k otteniamohf = hi = +5 cm

hf = −hi = −5 cm

Proviamo adesso a rifare lo stesso esercizio mettendo l’origine del sistema di rife-rimento nel punto in cui l’estremità della molla si trova prima che venga appeso l’og-getto. La formula per l’energia poteniale gravitazionale non cambia, mentre quellaper l’energia poteniale elastica diventa:

L’energia potenziale elastica è

V =1

2k (h)

2

infatti la coordinata stessa dell’altezza rappresenta anche la variazione di lunghezzadella molla. La legge di conservazione dell’energia diventa adesso:

m · g · hi +1

2k (hi)

2= m · g · hf +

1

2k (hf )

2

m · g (hi − hf ) =1

2k (hf )

2 − 1

2k (hi)

2

2mg

k(hi − hf ) = (hf + hi) (hf − hi)

2mg

k(hi − hf )− (hf + hi) (hf − hi) = 0

2mg

k(hi − hf ) + (hf + hi) (hi − hf ) = 0

(hi − hf )

[2mg

k+ (hf + hi)

]= 0

di qui troviamo le due soluzioni per hf coincidenti con gli stati iniziale e finaledel problema

Page 133: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

133 Scheda6. Leggi di conservazione: soluzioni

hi − hf = 0

2mgk + hf + hi = 0

Teniamo adesso presente che rispetto alla posizione a riposo della molla, l’altessainiziale hi = −∆l + ∆x; inoltre vale sempre che l’allungamento della molla dovutoal posizionamento del pesino vale ∆l = mg

k . Avremo quindi:hf = hi = −∆l + ∆x

hf = −hi − 2mgk = ∆l −∆x− 2mg

khf = hi = −mgk + ∆x = −4, 8 cm

hf = −mgk −∆x = −14, 8 cm

Questi valori di fatto rappresentano gli stessi punti di partenza e di arrivo per l’o-scillazione del pesino ottenuti precedentemente. Si vede infatti che i valori di altezzaottenuti sono ricavabili dai precedenti con una semplice traslazione del sistema diriferimento, che è esattamente quello che abbiamo fatto all’inizio.

Autore: Andrea de Capoa 26 Feb 2016

Problema di: Leggi di Conservazione - L0025

Testo [L0025] [1 4 ] Un oggetto cade da una certa altezza. Trascuriamo l’effettodell’aria. Rispondi alle seguenti domande:

• Come variano l’energia potenziale gravitazionale e l’energia cinetica dell’og-getto? Come varia l’energia totale dell’oggetto?

Consideriamo adesso il caso della presenza dell’aria.

• In che modo la forza di attrito interviene sulle trasformazioni energetiche delfenomeno in questione? Vale ancora la legge di conservazione dell’energiatotale?

Spiegazione Durante la caduta di un oggetto, l’energia da esso posseduta subi-sce una serie di trasformazioni. Per sapere come avvengono tali trasformazioniè sufficiente comprendere i concetti teorici alla base del fenomeno della legge diconservazione dell’energia.

Svolgimento

• Come varia l’energia potenziale gravitazionale dell’oggetto? La formula per l’e-nergia potenziale gravitazionale è U = mgh. Diminuendo l’altezza da terradiminuisce l’energia potenziale gravitazionale.

• Come varia l’energia cinetica dell’oggetto? Man mano che l’oggetto scende, tra-sforma la sua energia potenziale gravitazionale in energia cinetica. L’oggettova infatti sempre più veloce. L’energia cinetica aumenta.

• Come varia l’energia totale dell’oggetto? Per la legge di conservazione dell’ener-gia, l’energia totale di un sistema isolato si conserva.

Consideriamo adesso il caso della presenza dell’aria.

• In che modo la forza di attrito interviene sulle trasformazioni energetiche del fenome-no in questione? La forza di attrito trasforma l’energia cinetica dell’oggetto incalore, rallentandolo.

Page 134: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

134 Scheda6. Leggi di conservazione: soluzioni

• Vale ancora la legge di conservazione dell’energia totale? La legge di conservazionedell’energia totale è sempre valida

Autore: Andrea de Capoa 12 Ott 2016

Problema di: Leggi di Conservazione - L0026

Testo [L0026] [1 4 ] Un elastico inizialmente fermo, di massa m = 40 g e co-stante elastica k = 5 N

cm , si trova all’altezza hi = 2m e viene lanciato verso l’alto.L’energia necessaria è data dall’elastico stesso essendo stato allungato di ∆l = 10 cm.

1. Quanta energia potenziale elastica è immagazzinata nell’elastico?

2. Quanta energia cinetica avrà l’elastico nel punto di massima altezza?

3. Calcola l’energia potenziale gravitazionale e l’altezza che avrà l’elastico nelpunto di massima altezza?

.

Spiegazione In questo problema vale la legge di conservazione dell’energia tota-le. L’energia Porenziale elastica dell’elastico viene convertita in energia cinetica esuccessivamente l’energia cinetica in energia potenziale gravitazionale.

Svolgimento L’energia potenziale elastica immagazzinata è

Vel−i =1

2k∆l2 =

1

2· 500

N

m· 0, 01m2 = 2, 5 J

Nel punto di massima altezza l’elastico sarà fermo, e quindi con Ecf = 0.L’elastico si è scaricato dell’energia in esso immagazzinata e quindi Vel−f = 0.Per la legge di conservazione dell’energia avremo che

Ui + Eci + Vi = Uf + Ecf + Vf

mghi + 0 + Vel−i = Uf + 0 + 0

da cui

Uf = mghi = 0, 04 kg · 9, 8 ms2· 2m+ 2, 5 J = 3, 284 J

L’altezza raggiunta sarà quindi calcolabile utilizzando la formula inversa

hf =Ufm · g

=3, 284 J

0, 04 kg · 9, 8 ms2

= 8, 38m

Page 135: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

135 Scheda6. Leggi di conservazione: soluzioni

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Problema di: Leggi di Conservazione - L0027

Testo [L0027] [1 2 ] Un atleta di salto con l’asta durante la sua corsa viaggia aduna velocità Vi = 9ms , quanto salterebbe in alto se riuscisse a convertire tutta la suaenergia cinetica in energia potenziale gravitazionale?

Spiegazione L’atleta ha energia cinetica a causa della sua corsa. Grazie all’astariesce a convertire il moto in orizzontale in un moto in verticale e trasformare lasua energia cinetica in energia potenziale gravitazionale. Vale quindi la legge diconservazione dell’energia.

Svolgimento Per la legge di conservazione dell’energia

Eci + Ui = Ecf + Uf

1

2mV 2

i +mghi =1

2mV 2

f +mghf

La velocità finale nel punto di massima altezzaa è nulla e quindi è nulla l’energiacinetica finale. L’atleta si trova al suolo, quindi è nulla l’altezza iniziale e di conse-guenza è nulla l’energia potenziale gravitazionale iniziale. L’altezza finale raggiuntadall’atleta.

mghf =1

2mV 2

i

da cuighf =

1

2V 2i

da quest’ultima equazione troviamo l’altezzi finale

hf =V 2i

2g=

81 m2

s2

2 · 9, 8 ms2

= 4, 13m

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Page 136: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

136 Scheda6. Leggi di conservazione: soluzioni

Problema di: Leggi di Conservazione - L0028

Testo [L0028] [1 2 ] Un oggetto di massa m = 4 kg si muove senza attrito su diun piano orizzontale con la velocità V = 5 m

s . Ad un certo punto l’oggetto incontrauna molla comprimendola di ∆l = 0, 2m. Quanto vale la costante elastica dellamolla?

Spiegazione L’oggetto che si muove ha energia cinetica; incontrando la molla tra-sferisce la sua energia alla molla trasformandola in energia potenziale elastica. Valequindi la legge di conservazi9one dell’energia.

Svolgimento Per la legge di conservazione dell’energia

Eci + Vi = Ecf + Vf

1

2mV 2

i +1

2k∆l2i =

1

2mV 2

f +1

2k∆l2f

L’oggetto comprime la molla che inizialmente era scarica. Quando l’oggetto siferma ha perso tutta la sua energia cinetica in quanto l’ha trasferita alla molla.

1

2mV 2

i =1

2k∆l2f

da cui

k =m · V 2

i

∆l2f

k =4 kg · 25 m2

s2

0, 04m2= 2500

N

m

Autore: Andrea de Capoa 3 Mag 2017

Problema di: Meccanica - L0029

Testo [L0029] [2 3 ] Un oggetto di massa m = 2 kg viene lasciato cadere dauna certa altezza. Arrivato a terra, penetra nel terreno per un tratto d = 0, 5m.Assumendo che le forze di attrito con il terreno abbiano un valore medio Fa = 500N ,da quale altezza è caduto l’oggetto?

Spiegazione Questo oggetto cade, quindi perde energia potenziale gravitazionalee la trasforma in energia cinetica. Nel tratto in cui penetra nel terreno, perde ulterior-mente energia potenziale gravitazionale, ma a causa del lavoro delle forze di attritoperde anche l’energia cinetica, la quale viene convertita in calore.

Svolgimento La legge di conservazione dell’energia appicata a questo contesto è:

Ui + Eci = Uf + Ecf + ∆Q

mghi +1

2mV 2

i = −mgd+1

2mV 2

f + Fa · d

da cui

hi =−mgd+ 1

2mV2f + Fa · d− 1

2mV2i

mg

Considerato che l’oggetto parte ed arriva con velocità nulla

hi = −d+Fa · dmg

= d

(Famg− 1

)

hi = 0, 5m ·(

500N

19, 6N− 1

)= 12, 26m

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Page 137: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

137 Scheda6. Leggi di conservazione: soluzioni

Problema di: Leggi di Conservazione - L0031

Testo [L0031] [1 2 ] Un blocco di cemento di massa m = 500 kg è tenuto dauna gru ad un’altezza hi = 10m e poi appoggiato dentro un pozzo ad una profon-dità hf = −5m sotto il livello del terreno. Di quanto è variata l’energia potenzialegravitazionale dell’oggetto a causa del suo spostamento?

Spiegazione Il blocco di cemento cambia la sua altezza e quindi cambia il suovalore di energia potenziale gravitazionale.

Svolgimento L’energia potenziale gravitazionale iniziale dell’oggetto vale

Ui = mghi = 500 kg · 9, 8 ms2· 10m = 49000 J

L’energia potenziale gravitazionale finale dell’oggetto vale

Uf = mghf = 500 kg · 9, 8 ms2· (−5m) = −24500 J

Quindi∆U = Uf − Ui = 73500 J

Autore: Andrea de Capoa 19 Nov 2017

Problema di: Leggi di Conservazione - L0032

Testo [L0032] [2 2 ] Ad una macchina di Atwood senta attrito sono appesi duecorpi di massa m1 = 2 kg e m2 = 3 kg. Il corpo più leggero è inizialmente fermoappoggiato a terra, mentre quello più pesante si trova a h = 2m da terra. Con qualevelocità il più pesante toccherà terra?

Spiegazione In questo problema vale la legge di conservazione dell’energia.

Svolgimento Nell’ipotesi di attriti trascurabili avremo

Ec1−i + U1−i + Ec2−i + U2−i = Ec1−f + U1−f + Ec2−f + U2−f

Inizialmente il sistema è fermo, quindi Ec1−i = Ec2−i = 0. Inoltre il primo corposi trova a terra con U1−i = 0.

U2−i = Ec1−f + U1−f + Ec2−f + U2−f

Nello stato finale il secondo corpo si troverà a terra con U2−f = 0 mentre il primosi troverà all’altezza h. Mentre i corpi si muovono, essi avranno la stessa velocitàvisto che sono collegati da una corda inestensibile. Avremo quindi

m2gh =1

2m1V

2f +m1gh+

1

2m2V

2f

(m2 −m1) gh =1

2(m1 +m2)V 2

f

V 2f =

2 (m2 −m1) gh

(m1 +m2)

Vf =

√2 (m2 −m1) gh

(m1 +m2)

Vf =

√2 · 1 kg · 9, 8 m

s2 · 2m5 kg

= 2, 8m

s

Page 138: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

138 Scheda6. Leggi di conservazione: soluzioni

Autore: Andrea de Capoa 19 Nov 2017

Problema di: Dinamica - DL0001

Testo [DL0001] [2 3 ] Un corpo striscia con velocità iniziale Vi = 20 ms su di un

piano con coefficiente di attrito µd = 0.5. Quale velocità avrà dopo aver percorso∆S = 30m.

Spiegazione In questo esercizio la forza di attrito che frena l’oggetto, sta converten-do la sua energia cinetica in calore. Vale quindi la legge di conservazione dell’energiatotale.

Svolgimento La forza di attrito in questo caso è causata dalla forza di gravità cheschiaccia l’oggetto sul piano. Detta m la massa dell’oggetto, per calcolare il caloreprodotto avremo:

∆Q = Fatt ·∆S = µd ·m · g ·∆S

La legge di conservazione dell’energia totale ci dice, tenendo conto che laltezza acui si trova il corpo non cambia, che

Eci = Ecf + ∆Q

da cui1

2mV 2

i =1

2mV 2

f + µd ·m · g ·∆S

V 2i = V 2

f + 2µd · g ·∆S

ed infineV 2f = V 2

i − 2µd · g ·∆S

V 2f = 400

m2

s2− 20, 5 · 9, 8 m

s2· 30m = 106

m2

s2

Vf = 10, 3m

s

Autore: Andrea de Capoa 17 Mag 2017

Page 139: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

139 Scheda6. Leggi di conservazione: soluzioni

Problema di: Dinamica - DL0002

Testo [DL0002] [2 5 ] Disegna lo schema di un sistema di sollevamento a car-rucola mobile per sollevare un peso di massa m = 10 kg. Indica il valore della forza~F che devi esercitare sull’estremità del cavo e lo spostamento ∆S dell’estremità delcavo, sapendo che la massa si solleva di ∆h = 20 cm.

∆h

~T ~T

m

~Fg

~F

~T∆s

Spiegazione Un sistema di carrucole mobili è una mac-china semplice il cui funzionamento si basa sul concettodi equilibrio statico ~Ftot = 0 Il sistema di carrucole di cuisi parla è il seguente.

Svolgimento Analizzando l’estremità del cavo e lacarrucola mobile possiamo scrivere il seguente sistema:2T = Fg

T = F

da cui2F = Fg

F =1

2Fg = 49N

Vale sempre la legge di conservazione dell’energia.Per cui, indicando con L il lavoro della forza F avremoche

Ui + L = Uf

L = Uf − Ui = mg(hf − hi) = mg∆h = Fg∆h

F∆S = Fg∆h

∆S =FgF

∆h = 40 cm

Problema di: Dinamica - DL0003

Testo [DL0003] [3 5 ] Un pendolo di massa m = 900 g e lunghezza L = 1m

viene tirato in orizzontale da una forza F = 10N . Quanto vale la tensione del filoche sorregge il peso? Di quanto si solleva il peso? Quanta energia viene fornita alpeso per sollevarlo?

Spiegazione In questo problema abbiamo tre forze disposte su di un piano: la forzadi gravità verso il basso, la forza esterna in orizzontale (immaginiamo verso destra)e la tensione del filo in diagonale lungo il filo. In una condizione di equilibrio lasomma delle tre forze è nulla. La forza di gravità è compensata dalla componenteverticale della tensione del filo; la forza esterna è compensata dalla componente oriz-zontale della tensione del filo. É inoltre importante notare che il triangolo rettangoloformato dalle tre forze è simile al triangolo rettangolo formato dal filo (ipotenusa) edalle sue due proiezioni verticale ed orizzontale (i due cateti).

Svolgimento La tensione del filo è in modulo pari alla somma della forza di gravitàe della forza esterna

T =√F 2g + F 2 =

√m2g2 + F 2 =

√0, 81 kg2 · 96, 04

m2

s4+ 100N2

T = 13, 3N

Consideriamo adesso il triangolo rettangolo formato dal filo (ipotenusa) e dallesue due proiezioni verticale ed orizzontale (i due cateti) Il cateto verticale lo si trovasfruttando la similitudine tra triangoli e la conseguente proporzionalità tra i lati.

y : Fg = L : T

per cui

y = L · FgT

= L · Fg√Fg2 + F 2

Autore: Andrea de Capoa 18 Mag 2017

Page 140: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

140 Scheda6. Leggi di conservazione: soluzioni

La massa attaccata al pendolo si è quindi sollevata di una quantità

∆h = L− y = L ·

(1− Fg√

Fg2 + F 2

)= 0, 68m

L’energia data all’oggetto è quindi immagazzinata da esso sotto forma di energiapotenziale gravitazionale

E = ∆U = m · g ·∆h = 0, 9 kg · 9, 8 ms2· 0, 68m = 6 J

θ

~Fg

~F

~T

m

∆h

Autore: Andrea de Capoa 18 Mag 2017

Problema di: Dinamica - DL0004

Testo [DL0004] [4 3 ] Un oggetto è posto sulla cima di una superficie semisferi-ca. Esso comincia a scivolare senza attrito lungo tale superficie. In quale punto essosi stacca dalla suprficie?

Spiegazione La migliore spiegazione possibile è nel video riportato qui sotto.

Fig. 6.1: Guarda il video youtu.be/hDSZ4Nf-REw

Svolgimento

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Page 141: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

141 Scheda6. Leggi di conservazione: soluzioni

Problema di: Dinamica - DL0005

Testo [DL0005] [3 4 ] Un pendolo di massa m = 300 g e lunghezza L = 1m

viene spostato dalla posizione di equilibrio di un angolo θi = 45. Quando è lasciatolibero di oscillare, partendo da fermo, quale tensione esercita la corda quando il pesosi trova ad un angolo θf = 30 dalla posizione di equilibrio?

Spiegazione Nel sistema fisico in questione, quello cioè di un pendolo semplice,le leggi che lo descrivono sono la legge di conservazione dell’energia e la secondalegge della dinamica. Con queste due leggi riusciremo a risolvere il problema. Disicuro, visto che il percorso del peso è circolare, l’accelerazione lungo il filo deve

essere un’accelerazione centripeta a =V 2

r. La forza di gravità, essendo sempre

verticale, dovrà essere scomposta in due vettori, uno tangente al percorso circolare,ed uno parallelo al filo del pendolo.

Svolgimento Cominciamo con lo scrivere la legge di conservazione dell’energia tralo stato iniziale e lo stato finale indicati dai due angoli θi e θf

1

2mV 2

i +mghi =1

2mV 2

f +mghf

Sapendo che Vi = 0 e indicando con lo zero delle altezze il punto di rotazione,avremo

−mgL cos θi =1

2mV 2

f −mgL cos θf

2mgL (cos θf − cosθi) = mV 2f

Scomponendo la forza di gravità nelle sue due componenti avremoFg‖ = Fg cos θ

Fg⊥ = Fg sin θ

Per cui, applicando il secondo principio della dinamica lungo il filo del pendolo

T − Fg⊥ = mV 2f

L

T = mV 2f

L+mg sin θf

Utilizziamo adesso la legge di conservazione dell’energia

T =mV 2

f +mgL sin θf

L

T =2mgL (cos θf − cosθi) +mgL sin θf

L

T = mgL · 2 cos θf − 2cosθi + sin θfL

T = mg (2 cos θf − 2cosθi + sin θf )

T = 0, 3 kg · 9, 8ms2

(√3−√

2 + 0, 5)

= 2, 4N

θ

~Fg

~T

m

Autore: Andrea de Capoa 2 Dic 2017

Page 142: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

142 Scheda6. Leggi di conservazione: soluzioni

Problema di: Dinamica - DL0011

Testo [DL0011] [3 3 ] Un pendolo semplice è realizzato con una corda di lun-ghezza L = 2m con all’estremità una massa m = 2 kg. Tale pendolo sta oscillandoattaccato ad un chiodo all’altezza hc = 3m. Il massimo valore dell’altezza raggiuntadal pendolo è hi = 1, 4m. Sapendo che la corda può sopportare al massimo unatensione Tmax = 30N , il pendolo si romperà?

Spiegazione Il questo esercizio abbiamo un pendolo che oscilla. La massa attacca-ta al filo esegue un moto circolare, in quanto essa si trova sempre alla stessa distanzadal chiodo. La forza che agisce sulla massa sarà in ogni istante la somma della forzadi gravità e della forza esercitata dal filo. Con i dati del problema è possibile calcolarequale sarà la forza massima esercitata richiesta dalla massa per eseguire il movimen-to; se tale forza massima è maggiore della tensione di rottura del filo, allora il filo sispezzerà.

Svolgimento1

2mV 2

i +mghi =1

2mV 2

f +mghf

considerando che nel punto più alto dell’oscillazione del pendolo la velocità èVi = 0 e che il pendolo nel suo percorso verso il punto più basso scende di ∆h =

hf − hi = −0, 4m

mV 2f = −2mg∆h

Utilizzando adesso il secondo principio della dinamica. L’oggetto appeso al filosegue un percorso perfettamente circolare, quindi è sottoposto ad una accelerazionecentripeta

ac =V 2

r

per cui

T −mg = mV 2f

r

T −mg =−2mg∆h

r

T =−2mg∆h

r+mg = mg

[−2∆h

r+ 1

]= 27, 44N

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Page 143: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

143 Scheda6. Leggi di conservazione: soluzioni

Problema di: Dinamica - DL0012

Testo [DL0012] [1 4 ] Un’auto di massa m = 500 kg rallenta dalla velocità Vi =

252 kmh fino alla velocità Vf = 108 km

h in uno spazio ∆S = 100m. Quanta energiacinetica ha l’auto prima e dopo la frenata? Quanto lavoro ha fatto la forza d’attritodelle ruote con l’asfalto? Calcola la forza e l’accelerazione d’attrito.

Spiegazione Un’auto si sta muovendo con una certa energia cinetica. Una forzadi attrito cornverte parte di quell’energia cinetica in calore, riducendo la velocitàdell’auto

Svolgimento Per prima cosa convertiamo le unità di misura della velocità

Vi = 252km

h= 252

1000m

3600 s= 80

m

s

Vf = 108km

h= 108

1000m

3600 s= 30

m

s

L’energia cinetica iniziale dell’auto vale

Eci =1

2mV 2

i =1

2· 500 kg · 6400

m2

s2= 1225 kJ

Ecf =1

2mV 2

f =1

2· 500 kg · 900

m2

s2= 225 kJ

La perdita di energia cinetica sarà pari al lavoro fatto dalle forze di attrito

L = Ecf − Eci = −1000 J

La forza d’attrito sarà

Fa =L

∆S=−1000 J

100m= −10N

dove quel meno indica che la forza è opposta allo spostamento dell’auto.L’accelerazione che ne consegue sarà

a =Fam

=−10N

500 kg= −0, 02

m

s2

Esercizi concettualmente identici

1. Un oggetto di massa m = 50 kg viaggia ad una velocità V = 10ms . Ad un certopunto viene spinto da una forza F = 100N per una distanza ∆S = 24m nellastessa direzione e nello stesso verso del movimento. Quanta energia cineticaha l’oggetto all’inizio? Quanto lavoro ha fatto la forza? Quel lavoro è negativoo positivo? Quanta energia cinetica ha l’oggetto dopo l’azione della forza? Aquale velocità finale viaggia l’oggetto?[Eci = 2500 J ; Lpos = 2400 J ; Ecf = 4900 J ; V = 14 m

s ]

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Page 144: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

144 Scheda6. Leggi di conservazione: soluzioni

Problema di: Leggi di conservazione - LP0001

Testo [LP0001] [3 4 ] Un oggetto di massa m1 = 50 kg viaggia ad una velocitàV1 = 11 m

s lungo un piano inclinato senza attrito. Inizialmente l’oggetto si trovaall’altezza hi = 5m da terra. Alla fine del piano inclinato si sposta in orizzontalefino a quando urta contro un oggetto di massa m2 = 100 kg inizialmente fermo.Nell’ urto di due oggetti rimangono attaccati. Con quale velocità viaggeranno dopol’urto?

Spiegazione Questo problema è di fatto separato in due problemi distinti; nellaprima parte abbiamo infatti un oggetto che cade lungo un piano inclinato senza at-trito, e nella seconda abbiamo l’urto anelastico dei due oggetti. Per cui dobbiamoprima capire con quale velocitá arriva l’oggetto al fondo del piano inclinato, perpoi studiare l’urto anelastico e capire con quale velocità si muove il blocco dei dueoggetti.

Svolgimento Cominciamo con l’impostare la legge di conservazione dell’energia:

1

2mV 2

i +mghi =1

2mV 2

f +mghf

Raccogliendo la massa e semplificandola

12V

2i + ghi

12

= V 2f

Vf =

√12mV

2i +mghi12m

Per la legge di conservazione della quantità di moto, la quantità di moto totaleiniziale è uguale alla quantità di moto totale finale.

P1i + P2i = Ptot.f

m1iV1i +m2iV2i = mtotVf

In questa equazione si vede che dopo l’urto è presente un solo oggetto la cui massaè pari alla somma delle masse dei due oggetti prima dell’urto.

Vf =m1iV1i +m2iV2i

mtot

Vf =50 kg · 11ms − 100 kg · 1 m

s

150 kg= 3

m

s

Il meno nella formula indica che il secondo oggetto viaggia in direzione oppostarispetto al primo; il fatto che il risultato sia positivo indica che il blocco dei dueoggetti viaggia, dopo l’urto, nello stesso verso del primo blocco prima dell’urto.

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Page 145: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

145 Scheda6. Leggi di conservazione: soluzioni

Problema di: Leggi di conservazione - P0001

Testo [P0001] [1 2 ] Un oggetto che ha massa m1 = 50 kg viaggia ad una ve-locità V1 = 11 m

s . Ad un certo punto urta contro un oggetto di massa m2 = 100 kg

che viaggia nel verso opposto ad una velocità V2 = 1 ms . Nell’urto di due oggetti

rimangono attaccati. A quale velocità finale si muove il blocco?

Spiegazione Ognuno dei due oggetti si sta muovendo, e quindi ha una certa quan-tità di moto. Visto che quando urtano tra loro rimangono attaccati, allora si tratta diun urto anelastico nel quale si conserva la sola quantità di moto.

Svolgimento Vale la legge di conservazione della quantità di moto; quindi la quan-tità di moto totale iniziale è uguale alla quantità di moto totale finale.

P1i + P2i = Ptot.f

m1iV1i +m2iV2i = mtotVf

In questa equazione si vede che dopo l’urto è presente un solo oggetto la cui massaè pari alla somma delle masse dei due oggetti prima dell’urto.

Vf =m1iV1i +m2iV2i

mtot

Vf =550kgms − 100 kgm

s

150 kg= 3

m

s

Il meno nella formula indica che il secondo oggetto viaggia in direzione oppostarispetto al primo; il fatto che il risultato sia positivo indica che il blocco dei dueoggetti viaggia, dopo l’urto, nello stesso verso del primo blocco prima dell’urto.

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Page 146: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

Scheda 7Fluidodinamica: soluzioniProblema di: Fluidodinamica - F0001

Testo [F0001] [2 3 ] In un tubo orizzontale di sezione S1 = 10 cm2 scorre del-l’acqua ad una velocità V1 = 8 m

s con una pressione P1 = 150000Pa. Ad un certopunto la sezione del tubo aumenta fino al valore S2 = 16 cm2. Quanto valgono lavelocità e la pressione dell’acqua nella parte larga del tubo?

Spiegazione Un fluido incomprimibile si sta muovendo dentro un tubo. Assu-mendo che si possano trascurare tutti i fenomeni di attrito, il fluido è soggetto siaalla legge di conservazione della portata che alla legge di Bernoulli.

Svolgimento Applicando la legge di conservazione della portata possiamo scrive-re:

S1V1 = S2V2

V2 =S1V1

S2=

10 cm2 · 8 ms

16 cm2= 5 m

s

Utilizzando poi la legge di Bernoulli possiamo scrivere:

1

2ρH2O

V 21 + ρ

H2Ogh1 + P1 =

1

2ρH2O

V 22 + ρ

H2Ogh2 + P2

Visto che il tubo è orizzontale, allora h1 = h2 e quindi i due termini corrispon-denti si possono semplificare. Anche se non so quanto valgono, in quanto non so ache altezza si trova il tubo, so però che sono uguali e in questo caso si semplificano.

1

2ρH2O

V 21 + P1 =

1

2ρH2O

V 22 + P2

Sostituendo adesso il valore V2 quanto calcolato precedentemente

12ρH2O

V 21 + P1 = 1

2ρH2OV 2

1S21

S22

+ P2

12ρH2O

V 21 − 1

2ρH2OV 2

1S21

S22

+ P1 = P2

P2 = 12ρH2O

V 21

(1− S2

1

S22

)+ P1

P2 = 121000 kg

m3 64m2

s2

(1− 100 cm4

256 cm4

)+ 150000Pa

P2 = 169500Pa

Esercizi concettualmente identici

1. In un tubo orizzontale di sezione S1 = 20 cm2 scorre dell’acqua con velocitàV1 = 5

m

se con una pressione P1 = 200000Pa. Questo tubo ha una strozzatura

nel centro, di sezione S2 = 4 cm2. Quanto scorre veloce l’acqua nella strozza-tura? Quanto vale la pressione nella strozzatura?[V2 = 25

m

s; P2 = 199500Pa]

2. In un tubo di sezione S1 = 8 cm2, dell’acqua scorre con una velocità V1 = 2m

sed ad una pressione P1 = 12000Pa. Se in un secondo tratto del tubo la suasezione aumenta passando ad un valore S2 = 10 cm2, a quale velocitá viaggeràl’acqua? Se il tubo è posto in orizzontale, Quanto vale la pressione nella partelarga del tubo?

3. Se in un tubo orizzontale un fluido di densità ρ = 5kg

m3aumenta la sua velocità

passando da un valore Vi = 5m

sad un valore Vf = 15

m

s, di quanto varia la

pressione del fluido?[∆P = −500Pa]

146

Page 147: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

147 Scheda7. Fluidodinamica: soluzioni

Problema di: Fluidodinamica - F0002

Testo [F0002] [1 2 ] In un tubo di sezione S1 = 10 cm2 scorre dell’acqua convelocità V1 = 3 m

s . Questo tubo ha una strozzatura nel centro, di sezione S2 = 4 cm2.Quanto vale la portata del tubo? Quanto vale la velocità con cui l’acqua scorre nellastrozzatura?

Spiegazione L’acqua è un liquido e quindi incomprimibile. Vale quindi la legge diconservazione della portata.

Svolgimento La portata del tubo è

Q = S1 · V1 = 10 cm2 · 3 ms

= 0, 001m2 · 3 ms

= 0, 003m3

s

Per la legge di conservazione della portata avremo che

S2 · V2 = S1 · V1

V2 =S1 · V1

S2=

10 cm2 · 3 ms

4 cm2= 7, 5

m

s

Esercizi concettualmente identici

1. In un tubo di sezione S1 = 10 cm2 scorre dell’acqua con velocità V = 3 ms .

Questo tubo ha una strozzatura nel centro, di sezione S2 = 4 cm2. Quantoscorre veloce l’acqua nella strozzatura?

2. Di quanto devo diminuire la sezione S1 = 600 cm2 di un tubo per far aumenta-re la velocità del fluido che ci scorre dentro da un valore V1 = 5 m

s ad un valoreV2 = 8 m

s ?

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Problema di: Fluidodinamica - F0003

Testo [F0003] [1 2 ] Il letto di un canale di irrigazione è profondo h1 = 2m elargo l1 = 10m, e l’acqua al suo interno scorre con una velocità V1 = 0, 2 m

s ; se inun certo tratto la profondità e la larghezza del canale si dimezzano, a quale velocitàscorrerà l’acqua in questo secondo tratto? Quanto vale la portata del canale?

Spiegazione L’acqua è un liquido incomprimibile, vale quindi la legge di conser-vazione della portata. Con i dati a disposizione, assumiamo che la sezione del canaleabbia una forma rettangolare; il canale, inizialmente di una certa dimensione, dimi-nuisce ad un certo punto la lua sezione, causando, per la legge di conservazione dellaportata, un aumento della velocità dell’acqua.

Svolgimento La sezione iniziale del canale vale

S1 = l1 · h1 = 10m · 2m = 20m2

La sezione finale del canale vale

S2 = l2 · h2 =l12· h1

2= 5m · 1m = 5m2

La portata del canale è

Q = S1 · V1 = 20m2 · 0, 2 ms

= 4m3

s

Per la legge di conservazione della portata avremo che

S2 · V2 = S1 · V1

V2 =S1 · V1

S2=

20m2 · 0, 2 ms

5m2= 0, 8

m

s

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Page 148: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

148 Scheda7. Fluidodinamica: soluzioni

Problema di: Fluidodinamica - F0004

Testo [F0004] [2 2 ] Un vaso cilindrico di sezione S1 = 10 cm2 contiene dell’ac-qua fino ad un certo livello. Nel vaso viene applicato un foro di sezione S2 = 1mm2

ad un’altezza ∆h = 40 cm inferiore al livello dell’acqua. Con quale velocità V2 escel’acqua dal foro?

Spiegazione Trattandosi di un fluido incomprimibile che si muove, per questoesercizio sarà necessario utilizzare l’equazione di Bernoulli e la legge di conserva-zione della portata. Nell’applicazione delle equazioni, sarà conveniente considerarecome punto iniziale la superficie dell’acqua nel vaso, e come punto finale il foro.

Svolgimento Applicando la legge di conservazione della portata possiamo scrive-re:

S1V1 = S2V2

V1 =S2V2

S1

Applicando l’equazione di Bernoulli possiamo scrivere:

1

2ρH2O

V 21 + ρ

H2Ogh1 + P1 =

1

2ρH2O

V 22 + ρ

H2Ogh2 + P2

Cominciamo con il considerare che sia la superficie dell’acqua che il foro si tro-vano a contatto con l’aria dell’atmosfera e quindi alla stessa pressione. Quindi

1

2ρH2O

V 21 + ρ

H2Ogh1 =

1

2ρH2O

V 22 + ρ

H2Ogh2

Possiamo quindi ora semplificare ρH2O

ed ottenere

1

2V 2

1 + gh1 =1

2V 2

2 + gh2

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Avevamo ricavato V1 nell’equazione della portata e lo sostituiamo adesso nell’e-quazione di Bernoulli riorganizzando i termini

1

2

S22V

22

S21

− 1

2V 2

2 = gh2 − gh1

Teniamo adesso presente che h1 − h2 = ∆h e raccogliamo a fattor comune 12V

22

1

2V 2

2

(S2

2

S21

− 1

)= −g∆h

da cui, cambiando i segni

V 22 =

2g∆h

1− S22

S21

V2 =

√√√√ 2g∆h

1− S22

S21

V2 =

√2 · 9, 8ms2 · 0, 4m

1− 1mm2

10 cm2

=

√7, 84m

2

s2

1− 11000

= 2, 8m

s

Notate come il termine a denominatore che contiene le due sezioni risulti esseremolto piccolo e quindi praticamente trascurabile.

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Page 149: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

149 Scheda7. Fluidodinamica: soluzioni

Problema di: Fluidodinamica - F0005

Testo [F0005] [2 3 ] Un tubo orizzontale di sezione S1 = 10 cm2 è percorso daacqua alla pressione P1 = 150000Pa che si muove alla velocità V1 = 8 m

s . All’altraestremità del tubo la pressione vale P2 = 169500Pa. Con quale velocità l’acqua escedal tubo? Quale sezione ha il tubo in uscita?

Spiegazione Trattandosi di un fluido incomprimibile che si muove, per questoesercizio sarà necessario utilizzare l’equazione di Bernoulli e la legge di conserva-zione della portata.

Svolgimento Applicando l’equazione di Bernoulli possiamo scrivere:

1

2ρH2O

V 21 + ρ

H2Ogh1 + P1 =

1

2ρH2O

V 22 + ρ

H2Ogh2 + P2

Cominciamo con il considerare che il tubo è orizzontale e quindi h1 = h2. I duetermini contenenti l’altezza sono quindi uguali e si possono semplificare.

1

2ρH2O

V 21 + P1 =

1

2ρH2O

V 22 + P2

da cui possiamo ricavare la velocità del liquido.

1

2ρH2O

V 22 = P1 − P2 +

1

2ρH2O

V 21

V 22 =

2

ρH2O

(P1 − P2) + V 21

V2 =

√2

ρH2O

(P1 − P2) + V 21 = 5

m

s

Applicando la legge di conservazione della portata possiamo rispondere allaseconda domanda del problema. Possiamo infatti scrivere:

S1V1 = S2V2

e calcolarci la sezione della seconda estremità del tubo

S2 =S1V1

V2= 16 cm2

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Page 150: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

150 Scheda7. Fluidodinamica: soluzioni

Problema di: Fluidodinamica - F0006

Testo [F0006] [3 2 ] Un tubo a forma di U contiene acqua ( ρH2O

= 1000 kgm3 )

nella sezione di sinistra e olio ( ρolio = 800 kgm3 ) nella sezione di destra. I liquidi sono

fermi. Sapendo che la colonna di olio ha un’altezza ∆h = 20 cm, di quanti centimetrila colonnina di olio si trova più in alto della colonnina di acqua?

Spiegazione Con fluidi fermi utilizziamo l’equazione di Stevin. Le due colonnedi liquido sono ferme perché sviluppano nel punto di contatto la stessa pressione; ilproblema si risolve eguagliando le pressioni sviluppate dalle due colonne di liquido.

Svolgimento Consideriamo il punto di contatto dei due liquidi come origine delsistema di riferimento e quindi come punto ad altezza zero. Le due pressioni nelpunto di contatto dei liquidi sono

PH2O

= Polio

Patm + ρH2O

g∆hH2O

= Patm + ρoliog∆holio

e semplificando prima la pressione atmosferica Patm e successivamente g

ρH2O

∆hH2O

= ρolio∆holio

da cui ricavo l’altezza della colonnina d’acqua ed il dislivello tra le due colonnine

∆hH2O

=ρolio∆holioρH2O

= 16 cm

d = ∆holio −∆hH2O

= 4 cm

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Problema di: Fluidodinamica - F0007

Testo [F0007] [1 2 ] Le due sezioni di un torchio idraulico valgono rispetti-vamente S1 = 50 cm2 ed S2 = 5 cm2. Sapendo che sulla sezione maggiore vieneappoggiato un peso di massa m = 50 kg, quale forza devo fare sulla seconda sezioneper mantenere l’equilibrio?

Spiegazione Il torchio idraulico rimane in equilibrio quando le pressioni sulle duesezioni sono uguali. Questa è l’affermazione che permetterà di risolvere il proble-ma. Il risultato finale dell’esercizio dimostra che il torchio idraulico è di fatto unamacchina semplice che permette di fare tanto lavoro con una piccola forza.

SvolgimentoP2 = P1

F2

S2=F1

S1

La forza F1 è la forza di gravità che agisce sul peso, quindi

F2 =mg · S2

S1=

50 kg · 9, 8 ms2 · 5 cm

2

50 cm2= 49N

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Page 151: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

151 Scheda7. Fluidodinamica: soluzioni

Problema di: Fluidodinamica - F0008

Testo [F0008] [2 3 ] Un tubo orizzontale in cui scorre acqua ( ρH2O

= 1000 kgm3 ),

ha una sezione iniziale S1 = 100 cm2. Successivamente il tubo si stringe diventandodi sezione S2 = 60 cm2. La pressione nel tratto iniziale del tubo vale P1 = 400000Pa,mentre nella sezione più stretta vale P2 = 300000Pa. Quanto valgono le due velocitàdell’acqua nei due tratti del tubo?

Spiegazione Questo problema di fluidodinamica lo risolviamo utilizzando il prin-cipio di Bernoulli e la legge di conservazione della portata. Visto che le richiestedel problema sono due, e due sono le leggi fisiche a nostra disposizione, possiamoprocedere con la soluzione del problema.

Svolgimento Cominciamo con lo scrivere entrambe le equazioni a nostra disposi-zione. Essendo le equazioni contemporaneamente vere, esse costituiscono un siste-ma di due equazioni in due incognite ( V1 e V2 ), indicato con la parentesi graffa.S1V1 = S2V2

1

2ρH2O

V 21 + ρ

H2Ogh1 + P1 =

1

2ρH2O

V 22 + ρ

H2Ogh2 + P2

(7.1)

Visto che il tubo di questo esercizio è orizzontale, allora h1 = h2 ed i termini conle altezze si semplificano in quanto uguali.S1V1 = S2V2

1

2ρH2O

V 21 + P1 =

1

2ρH2O

V 22 + P2

(7.2)

Entrambe le incognite si trovano in entrambe le equazioni, quindi devo risolvereil sistema con, per esempio, il metodo di sostituzione. Cominciamo con il ricavareV1 dalla prima equazione

V1 =S2V2

S1

1

2ρH2O

V 21 + P1 =

1

2ρH2O

V 22 + P2

(7.3)

Adesso sostituiamolo nella seconda equazioneV1 =

S2V2

S1

1

2ρH2O

S22V

22

S21

+ P1 =1

2ρH2O

V 22 + P2

(7.4)

Adesso raggruppiamo i termini che contengono V2 e spostando le pressioni adestra dell’uguale

V1 =S2V2

S1

1

2ρH2O

S22V

22

S21

− 1

2ρH2O

V 22 = P2 − P1

(7.5)

Raccogliamo a fattor comune e cambiamo di segnoV1 =

S2V2

S1

1

2ρH2O

V 22

(1− S2

2

S21

)= P1 − P2

(7.6)

Infine risolviamoV2 =

√√√√ P1 − P2

12ρH2O

(1− S2

2

S21

) =

√100000Pa

121000 kg

m3 (1− 0, 36)= 23, 72

m

s

V1 =S2V2

S1=S2V2

S1= 14, 23

m

s

(7.7)

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Page 152: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

152 Scheda7. Fluidodinamica: soluzioni

Problema di: Fluidodinamica - F0009

Testo [F0009] [1 3 ] Un subacqueo si trova immerso nelle acque ferme di unlago alla profondità h1 = −20m rispetto al livello del mare. La pressione atmosfericavale Patm = 100000Pa. A quale pressione si trova? A quale profondità deve arrivareper raddoppiare la pressione a cui si trova?

Spiegazione Visto che questo problema tratta di un fluido fermo, la legge fisica cheutilizzeremo è la legge di Stevino ∆P = −ρg∆h

Svolgimento Cominciamo con il considerare il percorso che fa il subacqueo parten-do dalla superficie del mare ( h0 = 0 ; P0 = Patm = 100000Pa ) fino alla profonditàh1

∆P = −ρg∆h

(P1 − P0) = −ρg (h1 − h0)

P1 = −ρg (h1 − h0) + P0

P1 = −1000kg

m3· 9, 8 m

s2· (−20m) + 100000Pa = 296000Pa

A questo punto il subacqueo scende ulteriormente in profondità fino a raddop-piare la pressione a cui si trova. la pressione raggiunta sarà:

P2 = 2P1 = 592000Pa

Considerando adesso il percorso dalla profondità h1 fino alla profondità h2 avre-mo che

P2 − P1 = −ρg (h2 − h1)

P2 − P1

−ρg= (h2 − h1)

h2 = −P2 − P1

ρg+ h1

h2 = − 296000Pa

1000 kgm3 · 9, 8 m

s2

− 20m = −50, 2m

Esercizi concettualmente identici

1. Un tubo in cui scorre acqua è lungo l = 4m ed è inclinato verso l’alto di α =

30. Il tubo ha una sezione Si = 0, 3 dm2 ed al fondo abbiamo un rubinetto disezione Sf = 3 cm2 che butta acqua in una vasca. L’acqua esce dal tubo con unavelocità Vf = 2ms . Con quale velocità l’acqua entra nel tubo? Quale pressioneabbiamo all’ingresso nel tubo?[V = 0, 2ms ; P = 117620Pa]

2. Quale pressione deve sopportare una persona che si immerge nell’oceano finoad una profondità di ∆h = −100m?[1099600Pa]

3. Se mi immergo ad una profondità ∆h = −50m nell’oceano, a quale pressionevengo sottoposto?[599800Pa]

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Page 153: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

153 Scheda7. Fluidodinamica: soluzioni

Problema di: Fluidodinamica - F0010

Testo [F0010] [2 4 ] In un cilindro verticale versiamo mercurio, acqua e olio. Lacolonna di mercurio è alta L

Hg= 5 cm; la colonna d’acqua è alta L

H2O= 20 cm

e la colonna d’olio è alta Lolio

= 15 cm. La pressione atmosferica vale Patm =

100000Pa. Trovate la pressione sul fondo della colonna di liquido. Le densità deiliquidi utilizzati sono: ρ

olio= 800 kg

m3 ; ρH2O

= 1000 kgm3 ; ρ

Hg= 13579 kg

m3 .

Spiegazione Visto che questo problema tratta di un fluido fermo, la legge fisica cheutilizzeremo è la legge di Stevino ∆P = −ρg∆h

Svolgimento L’unico valore di pressione che conosciamo è quello dell’atmosfera incima alla colonnina di liquido; per questo motivo sarà conveniente fissare li il nostrosistema di riferimento e assegnare a quell’altezza il valore h0 = 0m. Di conseguenzafissiamo i valori delle altezze a cui si trovano le linee di separazione tra i diversiliquidi ed il fondo del cilindro:

ha = h0 − Lolio = −15 cm

hb = ha − LH2O= −35 cm

hc = hb − LHg = −40 cm

Immaginiamo adesso di trovarci sulla superficie della colonna di liquido e dispostarci verso il basso. Dalla legge di Stevino abbiamo che

∆P0→a = −ρg∆h

0→a = −ρg (ha − h0)

∆P0→a = −800kg

m3· 9, 8 m

s2· (−15 cm− 0 cm) = 1176Pa

∆Pa→b = −ρg∆h

a→b = −ρg (hb − ha)

∆Pa→b = −1000

kg

m3· 9, 8 m

s2· (−35 cm+ 15 cm) = 1960Pa

∆Pb→c = −ρg∆h

b→c = −ρg (hc − hb)

∆Pb→c = −13579

kg

m3· 9, 8 m

s2· (−40 cm+ 35 cm) = 6653, 71Pa

La pressione sulla linea di separazione tra l’olio e l’acqua vale

Pa = P0 + ∆P0→a

Pa = 100000Pa+ 1176Pa = 101176Pa

La pressione sulla linea di separazione tra l’acqua e il mercurio vale

Pb = P0 + ∆P0→a + ∆Pa→b

Pb = 100000Pa+ 1176Pa+ 1960Pa = 103136Pa

La pressione sul fondo della colonnina di liquido vale

Pc = P0 + ∆P0→a + ∆P

a→b + ∆Pb→c

Pc = 100000Pa+ 1176Pa+ 1960Pa+ 6653, 71Pa = 109789, 71Pa

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Page 154: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

154 Scheda7. Fluidodinamica: soluzioni

Problema di: Fluidodinamica - F0011

Testo [F0011] [1 1 ] Sapendo che un sottomarino in immersione sta subendouna pressione P = 280000Pa, a quale profonditá si trova rispetto alla superficie?

Spiegazione Visto che questo problema tratta di un fluido fermo, la legge fisica cheutilizzeremo è la legge di Stevino ∆P = −ρg∆h

Svolgimento La pressione sulla superficie del mare ad altezza h0 = 0 vale P0 =

100000Pa. Il sottomarino si trova alla pressione P1 = 280000Pa. Utilizzando lalegge di Stevin avremo che

∆P = −ρg∆h

(P1 − P0) = −ρg (h1 − h0)

(P1 − P0)

−ρg= h1

(P0 − P1)

ρg= h1

Utilizzando il valore di densità dell’acqua salata avremo

h1 =−180000Pa

1030 kgm3 · 9, 8 m

s2

h1 = −17, 83m

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Problema di: Fluidodinamica - F0012

Testo [F0012] [2 4 ] Un contenitore cilindrico viene riempito d’acqua fino all’al-tezza hi = 30 cm dal fondo. All’altezza hf = 5 cm dal fondo viene praticato un picco-lo foro, di dimensione trascurabile rispetto alla superficie della base del contenitore.Con quale velocità l’acqua esce dal foro?

Spiegazione Mentre l’acqua esce dal foro, il livello dell’acqua nel contenitore siabbassa. Praticamente osserviamo un movimento di fluido che dalla superficie sisposta verso il foro. Utilizziamo quindi il teorema di bernoulli.

Svolgimento Utilizziamo l’equazione di bernoulli:

1

2ρV 2

f + ρghf + Pf =1

2ρV 2

i + ρghi + Pi

Teniamo presente che entrambi i lati del flusso di acqua sono a contatto con l’ariae quindi entrambi alla pressione atmosferica Patm

per cui Pi = Pf = Patm si semplificano nell’equazione

1

2ρV 2

f + ρghf =1

2ρV 2

i + ρghi

1

2ρV 2

f −1

2ρV 2

i = ρghi − ρghf

A questo punto dobbiamo capire quanto vale la velocità dell’acqua sulla superfi-cie del contenitore. Per questo utilizziamo la legge di conservazione della portata.

SiVi = SfVf

per cui

Vi =SfSiVf

ottenendo

Page 155: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

155 Scheda7. Fluidodinamica: soluzioni

1

2ρV 2

f −1

2ρS2f

S2i

V 2f = ρghi − ρghf

1

(1−

S2f

S2i

)V 2f = ρg (hi − hf )

per cui

V 2f =

ρg (hi − hf )

12ρ(

1− S2f

S2i

)Vf =

√√√√ ρg (hi − hf )

12ρ(

1− S2f

S2i

)Se adesso ci soffermiamo sul termine(

1−S2f

S2i

)

dobbiamo considerare che la superficie del foro è molto più piccola della superficiedel contenitore, per cui tutto il termine vale 1(

1−S2f

S2i

)= 1

Per cui otteniamo la formula finale

Vf =

√g (hi − hf )

12

=√

2g∆h = 2, 21m

s

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Problema di: Fluidodinamica - F0013

Testo [F0013] [1 2 ] Un medico misura la pressione sanguigna ad un pazientealtro H = 180 cm mentre è sdraiato su di un lettino, ed ottiene Pcuore = 115mmHg.Quando il paziente si alza in piedi, il suo cuore si trova all’altezza hc = 1, 5m da

terra. La densità del sangue è ρs = 1060kg

m3. Quanto vale la pressione del sangue

all’altezza del cervello del paziente?

Spiegazione La pressione misurata con il paziente sdraiato corrisponde alla pres-sione all’altezza del cuore. La pressione del sangue nel cervello è la stessa essendo ilcervello alla stessa altezza del cuore. Quando il paziente si alza la testa si trova piùin alto e quindi la pressione del sangue diminuisce.

Svolgimento La pressione all’altezza del cuore valePcuore = 115mmHg = 15332Pa

Utilizzando la legge di Stevin abbiamo

Ptesta = Pcuore − ρsg∆h = Pcuore − ρsg (H − hc)

Ptesta = 15332Pa− 1060kg

m3· 9, 8 m

s2· 0, 3m = 12216Pa

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Page 156: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

156 Scheda7. Fluidodinamica: soluzioni

Problema di: Fluidodinamica - F0014

Testo [F0014] [2 2 ] Nella conduttura di una centrale idroelettrica, realizzatacon un tubo di sezione costante, scorre l’acqua che produrrà poi corrente elettrica.Se la superficie del lago si trova alla quota h1 = 1500m s.l.m. ed il fondo dellaconduttura si trova ∆h = 200m più in basso, con quale pressione l’acqua esce dallaconduttura?

Spiegazione In questo problema di fluidodinamica si utilizzano la legge di conser-vazione della portata ed il principio di bernoulli.

Svolgimento Nel problema si specifica che la conduttura ha sezione costante, quin-di per la legge di conservazione della portata le velocità di ingresso ed uscita dell’ac-qua sono le stesse. Guardiamo adesso il principio di Bernoulli

1

2ρV 2

i + ρghi + Pi =1

2ρV 2

f + ρghf + Pf

Essa diventa la legge di Stevin

ρghi + Pi = ρghf + Pf

Pf = ρghi − ρghf + Pi = Pi − ρg∆h

Pf = 100000Pa+ 1000kg

m3· 9, 8 m

s2· 200m = 2060000Pa

Autore: Andrea de Capoa 11 Mar 2018

Problema di: Leggi di Conservazione - CF0001

Testo [CF0001] [3 5 ] Un contenitore cilindrico è riempito di liquido fino adun’altezza H = 50 cm. Ah un’altezza h = 25 cm è praticato un foro piccolo rispettoalla sezione del cilindro. A quale distanza dal cilindro cade il liquido?

Spiegazione In questo problema abbiamo un fluido incomprimibile in movmento,quindi sicuramente l’equazione di Bernoulli sarà da utilizzare. Con questa equa-zione, possiamo ricavare la velocità di uscita del fluido dal foro. A questo punto ilproblema diventa un problema di cinematica sul moto parabolico che ogni singolamolecola compie fuori dal contenitore.

Svolgimento Cominciamo con il calcolare qual’è la velocità di uscita del fluido dalcilindro utilizzando la legge di Bernoulli e la legge di conservazione della portata.

1

2ρV 2

i + ρghi + Pi =1

2ρV 2

f + ρghf + Pf

SiVi = SfVfVi =

SfSiVf

1

2ρV 2

f −1

2ρV 2

i = ρghi − ρghf + Pi − PfVi =

SfSiVf

1

2ρV 2

f −1

2ρS2f

S2i

V 2f = ρghi − ρghf + Pi − Pf

Vi =SfSiVf

1

(1−

S2f

S2i

)V 2f = ρg (hi − hf ) + Pi − Pf

Consideriamo adesso che il liquido si trova sempre a pressione atmosferica sianel foro, sia sulla superficie nella parte alta del contenitore, quindi Pi = Pf . Consi-deriamo poi che il foro è estremamente più piccolo della sezione del cilindro, quindiSf << Si e di conseguenza

Page 157: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

157 Scheda7. Fluidodinamica: soluzioni

(1− S2

i

S2f

)∼ 1

Consideriamo infine il termine, il quale, considerati i dati del problema, vale L =

hi − hf = H − h. Quindi avremoVi =

SfSiVf

1

2ρV 2

f = ρg (H − h) ⇒ V 2f = 2g (H − h)

Passiamo adesso all’analisi del moto parabolico del liquido in uscita dal foro.Considerato che la velocità iniziale del liquido è orizzontale, l’equazione del moto è∆Sy = −1

2g∆t2 + h

∆Sx = Vf∆t∆t =

√2h

g

∆Sx = Vf∆t

La gittata del flusso è quindi

∆Sx =√

2g (H − h) ·

√2h

g= 2√h (H − h)

Con i dati del problema avremo

∆Sx = 50 cm

Autore: Andrea de Capoa 9 Feb 2017

Problema di: Fluidodinamica - DF0001

Testo [DF0001] [2 2 ] Su di un bicchiere interamente riempito di acqua, pro-fondo h = 4, 5 cm e di sezione S = 20 cm2, viene appoggiato un disco di plastica dimassa m = 3 g. Il bicchiere viene poi capovolto e si vede che il disco non cade. Conquanta forza il disco viene schiacciato contro il bicchiere?

Fig. 7.1: Guarda il video you-tu.be/gl5ZULcGcKY

Spiegazione In questo problema abbiamo un di-sco di plastica in equilibrio sotto l’azione di tre for-ze: la forza di gravità sul disco verso il basso, laforza di pressione dovuta all’aria sotto il disco equindi diretta verticale verso l’alto, e la forza dipressione della colonna d’acqua sopra il disco di-retta verticale verso il basso. Il problema chiede ilvalore della reazione vincolare del bicchiere.

Svolgimento Considerato che, una volta capo-volto, la parte superiore non contiene aria e quindinon esiste pressione atmosferica sopra la colonnadi acqua, possiamo dire che la pressione dovuta all’acqua sul disco di plastica è uni-camente riconducibile alla colonna di acqua. La pressione dell’acqua nel punto dicontatto con il disco di plastica è quindi

Pacqua = ρgh = 1000kg

m3· 9, 8 m

s2· 0, 045m = 441Pa

La forza di gravità è

Fg = mg = 0, 003 g · 9, 8 ms2

= 0, 0294N

La condizione di equilibrio statico del disco di plastica si scrive:

Fg + Facqua +Rv = Faria

Fg + Pacqua · S +Rv = Patm · S

Page 158: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

158 Scheda7. Fluidodinamica: soluzioni

Rv = Patm · S − Pacqua · S − Fg = (Patm − Pacqua) · S − Fg = 49, 75N

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Page 159: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

Scheda 8Calorimetria: soluzioniProblema di: Calorimetria - Q0001

Testo [Q0001] [2 3 ] Quanta energia mi serve per innalzare la temperatura diun oggetto di ferro di ∆T = 50K sapendo che ha una massam = 10 kg e che si trovaad una temperatura Ti = 300K? Se la temperatura iniziale fosse stata Ti = 1800K

sarebbe servita più energia? [rispondi indicando anche il perchè]

Spiegazione Inizialmente abbiamo un oggetto di ferro di una certa massa e che sitrova ad una certa temperatura. Gradualmente gli forniamo del calore e vogliamoche aumenti la sua temperatura. Innanzi tutto dobiamo chiederci quali siano i feno-meni fisici che accadono in questa situazione. Visto che l’oggetto dovrà passare dauna temperatura iniziale Ti = 300K ad una finale Tf = 350K noi siamo sicuri chel’oggetto si trova allo stato solido e che non subisce alcuna transizione di fase. Latemperatura di fusione del ferro è infatti Tfus = 1808K, molto più alta delle tempe-rature assunte dall’oggetto. L’unico fenomeno che avviene è quindi il riscaldamentodell’oggetto.

Svolgimento

∆Q = csm∆T = 440J

kgK10kg 50K = 220 kJ

Se la temperatura iniziale fosse stata Ti = 1800K allora sarebbe avvenuta ancheuna transizione di fase e ci sarebbe voluta molta più energia.

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Problema di: Calorimetria - Q0002

Testo [Q0002] [1 2 ] Quale potenza ha un fornelletto che sta scaldando unamassa m = 5 kg di acqua da un tempo ∆t = 60 s facendone aumentare la temperatu-ra di ∆T = 50K, sapendo che quell’acqua si trovava inizialmente alla temperaturaTi = 20C?

Spiegazione Inizialmente abbiamo una certa massa di acqua che si trova ad unacerta temperatura. Gradualmente gli forniamo del calore e vediamo che aumentala sua temperatura. Innanzi tutto dobiamo chiederci quali siano i fenomeni fisiciche accadono in questa situazione. Visto che l’oggetto è passato da una temperaturainiziale Ti = 20C ad una finale Ti = 70C noi siamo sicuri che l’acqua si trova allostato liquido e che non subisce alcuna transizione di fase. Le temperature di fusionee di ebollizione dell’acqua sono infatti ruspettivamente Tfus = 0C e Teb = 100C.L’unico fenomeno che avviene è quindi il riscaldamento dell’oggetto.

Svolgimento Il calore fornito all’acqua dal fornelletto è dato da

∆Q = P ∆t

; con i dati del problema possiamo anche dire che

∆Q = csm∆T

da cuiP =

csm∆T

∆t

P =4186 J

kgK 5kg 50K

60s= 17 kW

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

159

Page 160: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

160 Scheda8. Calorimetria: soluzioni

Problema di: Calorimetria - Q0003

Testo [Q0003] [2 2 ] Quanta energia serve per innalzare la temperatura di m =

10 kg di acqua dal valore iniziale Ti = 80 C fino al valore finale Tf = 130 C?

Spiegazione Per aumentare la temperatura di un materiale è necessario fornirglidel calore. Daremo quindi del calore per portare inizialmente l’acqua fino alla tem-peratura Teb = 100 C alla quale l’acqua comincia a bollire. Continuiamo a fornirecalore e l’acqua rimarrà alla stessa temperatura fino a quando si sarà trasformatatutta in vapore acqueo. Fornendo ulteriore calore possiamo finalmente innalzare latemperatura dell’acqua fino alla temperatura finale Tf = 130 C.

Svolgimento La quantità di energia necessaria per aumentare la temperatura del-l’acqua da Ti = 80 C fino alla temperatura di ebollizione Teb = 100 C vale

∆Q1 = cs ·m ·∆T = 4186J

kgK· 10 kg · 20K = 837, 2 kJ

La quantità di energia necessaria per far bollire completamente l’acqua vale

∆Q2 = Qlat−eb ·m = 2272kJ

kg· 10 kg = 22720 kJ

La quantità di energia necessaria per aumentare la temperatura dell’acqua da Teb =

100 C fino a Tf = 130 C vale

∆Q3 = cs ·m ·∆T = 4186J

kgK· 10 kg · 30K = 1255, 8 kJ

La quantità totale di energia che bisogna quindi fornire all’acqua è

∆Qtot = ∆Q1 + ∆Q2 + ∆Q3 = 24813 kJ

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Problema di: Calorimetria - Q0004

Testo [Q0004] [1 2 ] Due sbarre di eguale lunghezza li = 3m, una di ferro el’altra di alluminio, vengono scaldate di ∆T = 50K. Ammettendo che nessuna delledue raggiunga il punto di fusione, di quanto una risulterà più lunga dell’altra?

Spiegazione Il fenomeno fisico descritto da questo esercizio è quello della dilata-zione termica lineare. Entrambe le sbarre si allungano in quanto aumenta la lorotemperatura, ma essendo di materiali differenti, una si allungherà più dell’altra.

Svolgimento La prima sbarra si allunga di

∆lFe = λFeli∆T

∆lFe = 12 · 10−6 1

K· 3m · 50K = 18 · 10−4m = 1, 8mm

La seconda sbarra si allunga di

∆lAl = λAlli∆T

∆lAl = 25 · 10−6 1

K· 3m · 50K = 37, 5 · 10−4m = 3, 75mm

La differenza di lunghezza tra le due sbarre sarà quindi

d = ∆lAl −∆lFe = 1, 95mm

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Page 161: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

161 Scheda8. Calorimetria: soluzioni

Problema di: Calorimetria - Q0005

Testo [Q0005] [2 3 ] Una sbarra di ferro di massa m = 15 kg, lunga li = 3m

alla temperatura Ti = 1600K viene immersa in una vasca riempita con una massamH2O = 100 kg d’acqua alla temperatura TH2O = 300K. Di quanto si accorcia lasbarra?

Spiegazione Il fenomeno fisico di cui tratta l’esercizio è la dilatazione termica li-neare. In questo caso la variazione di temperatura della sbarra avviene in quantoessa è stata immersa nell’acqua e raggiunge con essa l’equilibrio termico.

Svolgimento La temperatura di equilibrio raggiunta tra acqua e ferro vale

Teq =csFemFeTi−Fe + cs

H2OmH2O

Ti−H2O

csFemFe

+ csH2O

mH2O

Teq =136140000 J

425200 JK

= 320, 18K

L’acqua si scalda quindi di ∆TH2O

= 20, 18K e non inizia a bollire.Il ferro si raffredda di ∆T

Fe= −279, 82K

La sbarra si accorcia quindi di

∆lFe

= λFeli∆T

∆lFe

= 12 · 10−6 1

K· 3m · (−279, 82K) = −10, 1 · 10−3m = −10, 1mm

Esercizi concettualmente identici

1. Un oggetto di ferro di massa m1 = 20 kg alla temperatura iniziale T1i = 300K,un oggetto di argento di massa m2 = 10 kg alla temperatura iniziale T2i =

350K ed un oggetto d’oro di massa m3 = 1 kg alla temperatura iniziale T3i =

325K vengono messi a contatto. Quale temperatura di equilibrio raggiunge-ranno i tre oggetti?[Teq = 310, 6K]

Problema di: Calorimetria - Q0006

Testo [Q0006] [3 4 ] Ad un oggetto di ferro di massa m = 2kg, alla temperaturainiziale Ti = 600K vengono forniti ∆Qtot = 2000 kJ di calore. Quanti kilogrammidi ferro riesco a fare fondere?

Spiegazione Il ferro alla temperatura iniziale indicata nel problema è solido. For-nendogli calore l’oggetto comincerà a scaldarsi, se arriva alla temperatura di fusioneallora l’oggetto comincierà a fondere.

Svolgimento Il ferro fonde alla temperatura Tfus = 1808K. L’energia necessa-ria per scaldare l’oggetto dalla temperatura iniziale fino alla temperatura di fusionevale:

∆Q1 = csm∆T = csm (Tfus − Ti)

∆Q1 = 440J

kg ·K· 2 kg · 1208K = 1063040 J = 1063, 04 J

L’energia fornita complessivamente è molto maggiore, quindi avanza del caloreche verrà utilizzato per far fondere il ferro. Nel complesso avanzano

∆Q2 = ∆Qtot −∆Q1 = 936, 96 kJ

Utilizzando la legge della transizione di fase, con questa quantità di calore èpossibile calcolare quanta massa di ferro è possibile far fondere.

mf =∆Q2

Qlat−fus=

936, 96 kJ

247, 2 kJkg

= 3, 79 kg

Tutto il ferro a disposizione viene quindi fuso, in quanto con l’energia a disposi-zione saremmo in grado di fondere molto più dei 2 kg di ferro a disposizione.

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Page 162: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

162 Scheda8. Calorimetria: soluzioni

Problema di: Calorimetria - Q0007

Testo [Q0007] [1 1 ] Un blocco di ferro solido di massa m = 50 kg si tro-va alla temperatura di fusione. Quanto calore devo fornire se voglio fondere unapercentuale p = 10% del blocco di ferro?

Spiegazione Visto che il blocco di ferro si trova già alla temperatura di fusione,tutto il calore che forniamo serve per fondere del ferro.

Svolgimento La quantità di ferro che vogliamo fondere è

mf = m · p = 50 kg · 0, 1 = 5 kg

La quantità di calore necessaria per fonderlo vale

∆Q = Qlat−fus ·mf = 247, 2kJ

kg· 5 kg = 1236 kJ

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Problema di: Calorimetria - Q0008

Testo [Q0008] [3 2 ] Di quanto devo scaldare una sbarra di alluminio di lun-ghezza iniziale lAl−i = 2000mm ed una sbarra di ferro di lunghezza iniziale lFe−i =

2001mm affinchè raggiungano la stessa lunghezza?

Spiegazione Ammettendo che le due sbarre, scaldandosi, non fondano, entrambesi dilatano aumentando la loro lunghezza. L’alluminio si dilata più di quanto facciail ferro; quindi è possibile che le due sbarre abbiano alla fine la stessa lunghezza.Il punto chiave del problema è che l’aumento di temperatura delle due sbarre è lostesso (probabilmente sono state messe nello stesso forno).

Svolgimento Per prima cosa chiamiamo x la differenza di lunghezza delle duesbarre; quindi x = lFe − lAl

Visto che le lunghezze finali delle due sbarre devono essere uguali, allora

lAl−f = lFe−f

∆lAl = ∆lFe + x

λAllAl−i∆T = λFelFe−i∆T + x

(λAllAl−i − λFelFe−i) ∆T = x

∆T =x

λAllAl−i − λFelFe−i= 38, 5K

Esercizi concettualmente identici

1. Una sbarra di rame e una d’oro lunghe entrambe li = 50 cm si trovano in unostretto contenitore lungo lc = 100.01 cm. Di quanto posso scaldare al massimole due sbarre?[∆t = 6, 45K]

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Page 163: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

163 Scheda8. Calorimetria: soluzioni

Problema di: Calorimetria - Q0009

Testo [Q0009] [2 2 ] Quanta energia mi serve per portare una massa m = 5 kg

di ferro dalla temperatura Ti = 2000 C alla temperatura Tf = 4000 C?

Spiegazione Per scaldare una massa di ferro è necessario fornire del calore. Con-siderando le temperature in gioco, la massa di ferro all’inizio è liquida, alla fine ègassosa; per questo motivo, olytre a fornire l’energia per scaldare, bisogna anchefornire l’energia per fare bollire il ferro.

Svolgimento La temperatura di ebollizione del ferro è Teb = 3273K; quella difusione è Tfus = 1808K.

Il calore necessario per portare il ferro alla temperatura di ebollizione è

∆Q1 = csm∆t = csm (Teb − Ti)

∆Q1 = 440J

kgK· 5 kg · (3273− 2273)K = 2800600 J = 2200 kJ

Il calore necessario per far bollire quel ferro è

∆Qeb = Qlatm = 6262kJ

kg· 5 kg = 31310 kJ

Il calore necessario per arrivare adesso alla temperatura finale è

∆Q2 = csm∆t = csm (Tf − Teb)

∆Q2 = 440J

kgK· 5 kg · 1000K = 1599400 J = 2200 kJ

Il calore totale che bisogna fornire è quindi

∆Qtot = ∆Q1 + ∆Qeb + ∆Q2 = 35710 kJ

Autore: Andrea de Capoa 18 Feb 2016

Esercizi concettualmente identici

1. Quanta energia mi serve per innalzare la temperatura di un oggetto di piombofino alla temperatura Tf = 4000K sapendo che ha una massa m = 2 kg e chesi trova ad una temperatura Ti = 30K?[∆Q = 2787060 J]

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Page 164: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

164 Scheda8. Calorimetria: soluzioni

Problema di: Calorimetria - Q0010

Testo [Q0010] [2 2 ] Quanta energia mi serve per portare una massa m = 5 kg

di acqua dalla temperatura Ti = 20 C alla temperatura Tf = 130 C?

Spiegazione L’acqua inizialmente è in forma liquida. Per portarla alla temperaturainiziale bisogna scaldarla e farla bollire. Dobbiamo quindi calcolare tutto il calore perfarla scaldare e tutto il calore per farla bollire.

Svolgimento Il calore per farla scaldare vale

∆Q1 = csm∆t = 4186J

kgK· 5 kg · (130 C − 20 C) = 2302300J = 2302, 3 kJ

Il calore per farla bollire vale

∆Qeb = Qlat−ebm = 2272kJ

kg· 5 kg = 11360 kJ

Il calore totale che serve vale quindi

∆Qtot = ∆Q1 + ∆Qeb = 13662, 3 kJ

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Problema di: Calorimetria - Q0011

Testo [Q0011] [2 2 ] Quanta energia serve per far allungare di ∆l = 0, 1mm

una sbarra di alluminio di lunghezza li = 200 cm e massa m = 0, 5 kg?

Spiegazione In questo problema i fenomeni fisici coinvolti sono due: riscaldamen-to e dilatazione termica. Assumiamo ovviamente che la sbarra non fonda mentreviene riscaldata.

Svolgimento Sapendo che la sbarra viene scaldata possiamo scrivere

∆Q = csm∆T

inoltre la sbarra si dilata, quindi

∆l = λli∆T

Entrambi i fenomeni capitano contemporaneamente, quindi le due formule val-gono contemporaneamente. Ricavando ∆T dalla seconda equazione con una formu-la inversa, e inserendolo nella prima otteniamo:

∆Q = csm∆l

λli

∆Q = 900J

kgK· 0, 5 kg · 0, 1mm

25 · 10−6 1K · 2000mm

= 900 J

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Page 165: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

165 Scheda8. Calorimetria: soluzioni

Problema di: Calorimetria - Q0012

Testo [Q0012] [1 2 ] In quanto tempo un forno della potenza P = 500W puòfar aumentare di ∆T = 20K la temperatura di una massa m = 20 kg di acqua?

Spiegazione In questo problema, ammettendo che non avvenga alcuna trasforma-zione di fase durante il riscaldamento, l’unico fenomeno che accade è il riscalda-mento dell’acqua. Il calore che serve a scaldare quell’acqua viene dato in un certointervallo di tempo dal forno. L’intervallo di tempo sarà tanto più piccolo quantopiù potente è il forno.

Svolgimento Il calore necessario per scaldare l’acqua è

∆Q = csm∆T

Tale calore viene dato dal forno di potenza

P =∆Q

∆t

quindi

∆t =∆Q

P=csm∆T

P

∆t =4186 J

kgK · 20 kg · 20K

500W= 3348, 8 s

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Problema di: Calorimetria - Q0013

Testo [Q0013] [1 1 ] Un oggetto di materiale sconosciuto e di massa m1 = 5 kg

alla temperatura iniziale Ti1 = 350K viene messo a contatto con un oggetto dellostesso materiale e di massa m2 = 30 kg alla temperatura iniziale Ti2 = 300K. Qualetemperatura di equilibrio raggiungeranno i due oggetti?

Spiegazione Per calcolare la temperatura di equilibrio tra due oggetti messi a con-tatto abbiamo una sola formula da utilizzare

Svolgimento Utilizziamo la giusta formula:

Teq =csm1Ti1 + csm2Ti2

csm1 + csm2

Essendo i due oggetti fatti dello stesso materiale, i calori specifici sono stati indi-cati con lo stesso simbolo cs che poi possiamo raccogliere a fattor comune.

Teq =cs (m1Ti1 +m2Ti2)

cs (m1 +m2)

Adesso possiamo semplificare i calori specifici.

Teq =m1Ti1 +m2Ti2

m1 +m2=

1750 kgK + 9000 kgK

35 kg= 307, 14K

Esercizi concettualmente identici

1. Quale temperatura raggiungono due oggetti entrambi di argento di massam1 =

0, 1 kg e m2 = 0, 2 kg alle temperature iniziali T1i = 400K e T2i = 300K messia contatto?[Teq = 333, 3K]

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Page 166: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

166 Scheda8. Calorimetria: soluzioni

Problema di: Calorimetria - Q0014

Testo [Q0014] [2 1 ] Posso scaldare una sbarra di ferro della lunghezza li =

50 cm e che si trova alla temperatura Ti = 350K per farla allungare fino alla lun-ghezza lf = 50, 1 cm?

Spiegazione In questo problema noi dobbiamo fornire del calore per fare aumen-tare la temperatura della sbarra e di conseguenza farla dilatare. Per ottenere la di-latazione richiesta dal problema, serve aumentare la temperatura di un certo valore;bisogna però controllare che a causa del tentato aumento di temperatura la sbarranon cominci a fondere invece che allungarsi.

Svolgimento L’aumento di temperatura necessario per allungare la sbarra è:

∆T =∆l

λli=

1mm

12 · 10−6 1K · 50 cm

= 1667K

Tale aumento non è però possibile, in quanto la sbarra arriverebbe alla tempera-tura finale

Tf = Ti + ∆T = 2017K

che è superiore alla temperatura di fuzione del ferro. Per questo motivo la sbarra,arrivata alla temperatura Tfus = 1808K, comincerebbe a fondere.

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Problema di: Calorimetria - Q0015

Testo [Q0015] [1 17 ] Esercizi banali di:

1. Riscaldamento

(a) Che massa ha un oggetto di rame se dandogli un calore ∆Q = 1000 J lasua temperatura aumenta di ∆T = 20K?[m = 131, 6 g]

(b) Quanta energia mi serve per innalzare la temperatura di un oggetto diferro di ∆T = 50K sapendo che ha una massa m = 10 kg e che si trova aduna temperatura Ti = 300K?[∆Q = 2200 J]

(c) Quanta energia mi serve per innalzare la temperatura di un oggetto diferro fino alla temperatura Tf = 350K sapendo che ha una massa m =

10 kg e che si trova ad una temperatura Ti = 300K?[∆Q = 2200 J]

2. Capacità termica

(a) Un oggetto di ferro di massa m1 = 2 kg alla temperatura iniziale T1i =

300K viene messo a contatto con un oggetto di rame di massa m2 = 3 kg

alla temperatura iniziale T2i = 320K. Qual’è la capacità termica dei dueoggetti?[CFe = 880 J

K ;CCu = 1140 JK .]

3. Temperatura di equilibrio

(a) Quale temperatura raggiungono un oggetto di argento di mAg = 0, 1 kg

alla temperatura iniziale Ti,Ag = 350K ed un oggetto d’oro di mAu =

0, 2 kg alla temperatura iniziale Ti,Au = 400K messi a contatto?[Teq = 376, 2K]

(b) Un oggetto di ferro di massa m1 = 2 kg alla temperatura iniziale T1i =

300K viene messo a contatto con un oggetto di rame di massa m2 = 3 kg

alla temperatura iniziale T2i = 320K. Quale temperatura di equilibrio

Page 167: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

167 Scheda8. Calorimetria: soluzioni

raggiungeranno i due oggetti?[Teq = 311, 3K.]

4. Transizioni di fase

(a) Quanta energia serve per far fondere una massa m = 20 kg di ghiaccioalla temperatura di fusione?[∆Q = 6700 kJ]

(b) Quanta energia serve per far fondere una massa m = 10 kg di rame allatemperatura di fusione?[∆Q = 2058 kJ]

(c) Quanta energia serve per far bollire una massa m = 5 kg di acqua allatemperatura di ebollizione?[∆Q = 11360 kJ]

(d) Quanta energia devo dare ad una massa m = 50 kg di oro che si trovanoalla temperatura T = 3129K per farle compiere la transizione di fase?[∆Q = 84850 kJ]

5. Dilatazione termica

(a) Di quanto si allunga una sbarra d’oro della lunghezza iniziale li = 10 cm

se aumentiamo la sua temperatura di ∆T = 20K?[∆l = 2, 8 · 10−5m]

(b) Di quanto si accorcia una sbarra d’oro della lunghezza iniziale li = 10 cm

se diminuiamo la sua temperatura di ∆T = 10K?[∆l = −1, 4 · 10−5m]

(c) Di quanto si allunga una sbarra di rame di lunghezza iniziale li = 30 cm

se aumentiamo la sua temperatura di ∆T = 30K?[∆l = 1, 53 · 10−4m]

(d) Di quanto devo scaldare una sbarra di rame di lunghezza iniziale li =

20m per allungarla di ∆l = 1, 7mm?[∆T = 0, 5K]

(e) Di quanto può aumentare la temperatura di una sbarra di ferro di lun-ghezza iniziale li = 10m se non voglio che la sua lunghezza aumenti dipiù di 1 millimetro?[∆T = 8, 33K]

6. Trasmissione del calore

(a) Una finestra rettangolare di vetro spesso l = 3mm è larga b = 0, 5m e altah = 1, 2m. Se dentro casa c’è una temperatura Tin = 26C e fuori unatemperatura Tout = 12C, quanta energia passa attraverso quella finestraogni ora? La conducibilità termica del vetro è ρ = 1 W

K·m .[∆Q = 30240 kJ]

Spiegazione In questo esercizio ho raccolto tutte quelle domande banali che pos-sono essere fatte su questo argomento. Per banale si intende un problema nel qualela domanda consiste semplicemente nel fornire dei dati da inserire in una formula.Non è quindi richiesta alcuna particolare capacità di ragionamento, ne particolaridoti matematiche. Questo esercizio serve unicamente ad aquisire dimestichezza conl’esecuzione dei conti numerici con le unità di misura.

Svolgimento

1. Riscaldamento

(a) Utilizzando la formula inversa

m =∆Q

cs−Cu ∆T=

1000 J

380 JkgK · 20K

= 131, 6 g

(b) Considerato che tra le temperatire iniziali e finali non avviene per il ferroalcuna transizione di fase

∆Q = csm∆T = 440J

kgK· 10 kg · 50K = 2200 J

(c) Considerato che tra le temperatire iniziali e finali non avviene per il ferroalcuna transizione di fase

∆Q = csm∆T = 440J

kgK· 10 kg · 50K = 2200 J

Page 168: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

168 Scheda8. Calorimetria: soluzioni

2. Capacità termica

(a) CFe = cs−FemFe = 440 JkgK · 6 kg = 2640 J

K

(b)

CFe = cs−FemFe = 440J

kgK· 2 kg = 880

J

K

CCu = cs−CumCu = 380J

kgK· 3 kg = 1140

J

K

3. Temperatura di equilibrio

(a)

Teq =cs1m1Ti1 + cs2m2Ti2

cs1m1 + cs2m2

Teq =232 J

kgK · 0, 1 kg · 350K + 128 JkgK · 0, 2 kg · 400K

232 JkgK · 0, 1 kg + 128 J

kgK · 0, 2 kg

Teq = 376, 2K

(b)

Teq =cs−FemFeTi−Fe + cs−CumCuTi−Cu

cs−FemFe + cs−CumCu

Teq =440 J

kgK · 2 kg · 300K + 380 JkgK · 3 kg · 320K

440 JkgK · 2 kg + 380 J

kgK · 3 kg

Teq = 311, 3K

4. Transizioni di fase

(a) ∆Q = Qlat−fus ·m = 335 kJkg · 20 kg = 6700 kJ

(b) ∆Q = Qlat−fus ·m = 205, 8 kJkg · 10 kg = 2058 kJ

(c) ∆Q = Qlat−eb ·m = 2271 kJkg · 5 kg = 11360 kJ

(d) La temperatura indicata è la temperatura di fusione dell’oro, per cui

∆Q = Qlatfus ·m = 1697kJ

kg· 50 kg = 84850 kJ

5. Dilatazione termica

(a) ∆l = λAuli∆T = 14 · 10−6 1K · 0, 1m · 20K = 2, 8 · 10−5m

(b) ∆l = λAuli∆T = 14 · 10−6 1K · 0, 1m · (−10K) = −1, 4 · 10−5m

(c) ∆l = λCuli∆T = 17 · 10−6 1K · 0, 3m · 30K = 1, 53 · 10−4m

(d) Utilizzando la formula inversa

∆T =∆l

λCu · li=

0, 0017m

17 · 10−6 1K · 20m

= 5K

(e) Utilizzando la formula inversa

∆T =∆l

λCu · li=

0, 001m

17 · 10−6 1K · 10m

= 8, 33K

6. Trasmissione del calore

(a)

∆Q = ρ · Sl·∆T ·∆t = ρ · bh

l·∆T ·∆t

∆Q = 1W

K ·m· 0, 6m2

0, 003m· 14C · 3600 s = 30240 kJ

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Page 169: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

169 Scheda8. Calorimetria: soluzioni

Problema di: Calorimetria - Q0016

Testo [Q0016] [2 2 ] Un fornelletto di potenza P = 1000W sta scaldando unamassa m = 5 kg di acqua facendone aumentare la temperatura di ∆T = 45K.Quanto tempo ci impiega?

Spiegazione Il fornello fornisce calore all’acqua, la quale, dice il testo, non subiscealcuna transizione di fase. Stabilito quanto calore è necessario, tanto più il fornello èpotente, tanto meno tempo ci impiega.

Svolgimento Il calore necessario vale

∆Q = csm∆T = 4186J

kgK· 5 kg · 45K = 941850 J

Il tempo impiegato dal fornello vale

∆t =∆Q

P=

941850 J

1000W= 941, 85 s

Esercizi concettualmente identici

1. Un fornelletto di potenza P = 1000W sta scaldando una massa di acqua facen-done aumentare la temperatura di ∆t = 45K in un tempo ∆t = 30 s. Quantamassa di acqua sta scaldando?

2. Un fornelletto di potenza P = 1000W sta scaldando una massa m = 5 kg diacqua da un tempo ∆t = 60 s. Di quanto aumenta la temperatura dell’acqua?

3. Di quanto aumenta la temperatura di m = 10 kg di piombo che si trovanoinizialmente alla temperatura Ti = 350K, se vengono messi in un forno dipotenza P = 1000W per un tempo ∆t = 2min?

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Problema di: Calorimetria - Q0017

Testo [Q0017] [3 2 ] Ad una sbarra di ferro di massa m = 50 kg alla tempera-tura Ti = 1500K forniamo ∆Q = 12000 kJ di energia. Quanti kilogrammi di ferroriusciamo a far fondere?

Spiegazione Alla temperatura a cui si trova il ferro, il calore che diamo serve perfar scaldare quel ferro. Raggiunta la temperatura di fusione, il calore che avanzaverrà utilizzato per far fondere parte del ferro.

Svolgimento Il calore necessario a scaldare la sbarra fino alla temperatura di fusio-ne del ferro è

∆Qris = csm∆t = csm (Tfus − Ti)

∆Qris = 440J

kgK· 50 kg · (1808K − 1500K) = 6776 kJ

Avanzano per la fusione

∆Qfus = ∆Q−∆Qris = 12000 kJ − 6776 kJ = 5224 kJ

Questo calore fa fondere una certa massa di ferro

mfus =∆QfusQlat−fus

=5224 kJ

247, 2 kJkg

= 21, 13 kg

Esercizi concettualmente identici

1. Ad un blocco di ghiaccio di massa m = 10 kg alla temperatura iniziale Ti =

−10C fornisco una quantità di calore ∆Q = 500 kJ . Quanto ghiaccio riesco afar sciogliere?

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Page 170: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

170 Scheda8. Calorimetria: soluzioni

Problema di: Calorimetria - Q0018

Testo [Q0018] [3 2 ] Un pezzo di ferro di massa m = 5 kg alla temperatura Ti =

1600K viene immerso in un volume V = 2 litri di acqua liquida alla temperatura diebollizione. Quanta massa di acqua diventerà vapore?

Spiegazione In questo esercizio abbiamo un oggetto di ferro immerso nell’acqua.Visto che l’acqua si trova alla temperatura di ebollizione Teb = 100C, e che il ferroha una temperatura maggiore, il ferro cederà calore all’acqua. In questa situazione,il ferro si raffredderà, mentre la temperatura dell’acqua rimarrà costante visto cheavviene il fenomeno dell’ebollizione. La temperatura finale del ferro sarà quindiuguale a quella di ebollizione dell’acqua.

Svolgimento Calcoliamo prima di tutto quanto calore il ferro cede all’acqua.

∆Q = csm∆T = 440J

kgK· 5 kg · (273, 15K − 1600K) = −2919070 J

Ovviamente il segno meno indica solamente che questo calore è in uscita dall’og-getto di ferro. Calcoliamo adesso quanta acqua passa allo stato gassoso grazie a quelcalore ceduto

meb =∆Q

Qlat−eb=

2919, 070 kJ

2272 kJkg

= 1, 28 kg

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Problema di: Calorimetria - Q0019

Testo [Q0019] [2 2 ] Una sbarra di ferro di massa m = 15 kg, lunga li = 2m allatemperatura Ti = 1600K viene immersa in una vasca riempita con mH2O = 100 kg

d’acqua alla temperatura TH2O = 300K. Di quanto si accorcia la sbarra?

Spiegazione In questo esercizio una sbarra di ferro calda viene immersa in acquafredda. L’acqua si scalda ed il ferro si raffredda, quindi il ferro si contrae. Calcolandoprima la temperatura raggiunta dal ferro, si può poi calcolare di quanto di dilata lasbarra di ferro.

Svolgimento La temperatura di equilibrio raggiunta dal ferro è

Teq =cs−FemfeTFe + cs−H2OmH2OTH2O

cs−Femfe + cs−H2OmH2O

Teq =440 J

kgK · 15 kg · 1600K + 4186 JkgK · 100 kg · 300K

440 JkgK · 15 kg ·+4186 J

kgK · 100 kg

Teq =136140000 J

425200 JK

= 320, 18K

Possiamo adesso calcolare la dilatazione della sbarra di ferro

∆l = λFeli∆T = 12 · 10−6 1

K· 2m · (320, 18K − 1600K) = 31mm

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Page 171: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

171 Scheda8. Calorimetria: soluzioni

Problema di: calorimetria - Q0020

Testo [Q0020] [1 4 ]

1. Cos’è il calore? Cos’è la temperatura di un oggetto?

2. Come varia la temperatura di un corpo durante una transizione di fase?

3. Cosa succede alle molecole di una sostanza durante una transizione di fase?

4. Cosa può succedere ad una sostanza solida se le forniamo calore?

Spiegazione Queste sono domande di teoria... o le sai o le devi ripassare

Svolgimento

1. Il calore è una forma di energia. La temperatura di un oggetto è un indicedell’energia cinetica media delle molecole dell’oggetto.

2. Non cambia, rimane costante.

3. Durante una transizione di fase si formano o si spezzano i legami tra le mole-cole

4. Dando calore ad un solido, esso può scaldarsi e di conseguenza dilatarsi, o, sesiamo alla temperatura di una transizione di fase, può fondere o sublimare.

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Problema di: calorimetria - Q0021

Testo [Q0021] [1 2 ] Due oggetti dello stesso materiale, di massa m1 = 5 kg edm2 = 15 kg, e con temperature T1 = 300 C e T2 = 500 C, vengono messi a contatto.Senza fare calcoli, cosa puoi dire della temperatura che raggiungeranno? Perchè?

Spiegazione Due oggetti a contatto si scambiano calore. Il più caldo darà calore alpiù freddo fino a che non raggiungono la stessa temperatura. La differente capaci-tà termica dei due oggetti determinerà quale dei due cambia maggiormente la suatemperatura.

Svolgimento Visti i valori delle temperatuire iniziali, il primo oggetto si scalderàmentre il secondo si raffredderà. Visto che i due oggetti sono dello stesso materiale,per determinare la capacità termica contano solo le masse dei due oggetti. Quindi

C1 < C2

Il primo oggetto cambierà maggiormente la sua temperatura di quanto farà il se-condo oggetto. La media delle due temperature è T = 400 C. Visto che il primooggetto deve scaldarsi molto ed il secondo raffreddarsi meno, allora la temperaturadi equilibrio raggiunta sarà

400 C < Teq < 500 C

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Page 172: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

172 Scheda8. Calorimetria: soluzioni

Problema di: calorimetria - Q0021a

Testo [Q0021a] [1 2 ] Due oggetti dello stesso materiale, di massa m1 = 5 kg

ed m2 = 15 kg, e di temperatura T1 = 500 C e T2 = 300 C, sono messi a contatto.Senza fare calcoli, cosa puoi dire della temperatura che raggiungeranno?

Svolgimento L’esercizio è assolutamente identico all’esercizio [Q0021] solo che quiil primo oggetto, quello cioè che cambia maggiormente la sua temperatura, è quel-lo più caldo che si raffredda, mentre il secondo, quello che cambia di poco la suatemperatura, è quello più freddo. Quindi

300 C < Teq < 400 C

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Problema di: calorimetria - Q0022

Testo [Q0022] [1 4 ]

1. Cosa succede se mettiamo due corpi, con temperatura differente, a contatto traloro? Perchè?

2. Le molecole di un oggetto possono rimanere ferme?

3. Se fornisco energia ad un corpo e lo vedo fondere, come è stata utilizzataquell’energia?

4. Esiste un limite inferiore alla temperatura che può avere un oggetto? Quale?

Spiegazione Queste sono domande di teoria... o le sai o le devi ripassare

Svolgimento

1. Il più caldo cede calore al più freddo fino a quando raggiungono la stessatemperatura.

2. No, le molecole si muovono sempre, e la loro velocità è legata alla loro tempe-ratura.

3. Durante la fusione di un corpo, l’energia fornita viene utilizzata per rompere ilegami tra le molecole.

4. Si, esiste un limite inferiore per la temperatura, ed esso corrisponde a Tzero =

0K = −273, 15 C. Visto che la temperatura è legata all’energia cinetica dellemolecole, tale limite ideale alla temperatura corrisponderebbe ad una situazio-ne di molecole ferme.

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Page 173: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

173 Scheda8. Calorimetria: soluzioni

Problema di: Calorimetria - Q0023

Testo [Q0023] [1 2 ] Un oggetto di ferro alla temperatura iniziale Ti1 = 350K

viene messo a contatto con un oggetto di rame alla temperatura iniziale Ti2 = 300K.Quale temperatura di equilibrio raggiungeranno i due oggetti, sapendo che hannola stessa massa?

Spiegazione Per calcolare la temperatura di equilibrio tra due oggetti messi a con-tatto abbiamo una sola formula da utilizzare. Teniamo comunque presente che lemasse dei due oggetti sono uguali.

Svolgimento Utilizziamo la giusta formula:

Teq =cs1mTi1 + cs2mTi2

cs1m+ cs2m

Avendo i due oggetti la stessa massa, tale grandezza è stata indicata con la stessalettera per i due oggetti in modo da raccogliere a fattor comune.

Teq =m (cs1Ti1 + cs2Ti2)

m (cs1 + cs2)

Adesso possiamo semplificare i calori specifici.

Teq =cs1Ti1 + cs2Ti2

cs1 + cs2=

440 Jkg·K · 350K + 380 J

kg·K · 300K

820 Jkg·K

= 326, 8K

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Problema di: Calorimetria - Q0024

Testo [Q0024] [2 3 ] Un termometro a mercurio è costituito da una piccolaampolla che contiene mercurio. Da tale ampolla esce un tubicino di sezione S =

0, 2mm2. La quantità totale di mercurio nel termometro è m = 30 g. Inizialmente iltermometro si trova a Ti = 20 C. Il coefficiente di dilatazione termica volumetricodel mercurio è δ = 0, 18 · 10−3 1

K . Di quanti millimetri sale il livello del mercurio neltubicino se in una giornata calda siamo a Tf = 35 C

Spiegazione Il livello del mercurio nel tubicino sale in quanto il mercurio, scaldan-dosi, si dilata ed aumenta il suo volume. Il volume in più rispetto a prima è quelloche si è posizionato nel tubicino ed ha quindi forma cilindrica si sezione S

Svolgimento Cominciamo con il calcolarci il volume iniziale del mercurio:

Vi =m

ρ=

30 g

13, 579 gcm3

= 2, 21 cm3

Calcoliamo adesso la variazione di temperatura del mercurio (ricordandoci chestiamo calcolando una variazione di temperatura e quindi K = C).

∆T = Tf − Ti = 15 C = 15K

Calcoliamo adesso la variazione di volume del mercurio

∆V = δVi∆T = 0, 18 · 10−3 1

K· 2, 21 cm3 · 15K = 0, 006 cm3 = 6mm3

Possiamo infine calcolarci di quanto è salita la colonnina di mercurio.

h =∆V

S=

6mm3

0, 2mm2= 30mm

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Page 174: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

174 Scheda8. Calorimetria: soluzioni

Problema di: Calorimetria - Q0025

Testo [Q0025] [1 2 ] Una stufa elettrica mantiene in una stanza una temperaturaTint = 24 C, mentre all’esterno la temperatura è Text = 4 C. Il calore si disperdeattraverso una finestra di vetro (ρvetro = 1 W

m·K ) rettangolare (b = 1, 5m e h = 1, 8m)spessa l = 3mm. Il costo dell’energia è C = 0, 18 e

kWh ; quanto costa riscaldare lastanza per un tempo ∆t = 3h?

Spiegazione Visto che c’è una differenza di temperatura tra la superficie internaed esterna del vetro, allora attraverso di esso si muove del calore. Il calore quindiesce dalla stanza e deve essere rimpiazzato da nuovo calore proveniente dalla stufaelettrica.

Svolgimento La superficie della finestra è

S = bh = 2, 7m2

La potenza dissipata attraverso il vetro è data da

∆Q

∆t= ρ

S

l∆T = 1

W

m ·K2, 7m2

3mm20K = 18000W = 18 kW

L’energia necessaria per compensare tale perdita è

∆Q = P ·∆t = 54 kWh

Tale energia elettrica costa

Costo = C ·∆Q = 0, 18e

kWh= 9, 72e

Ovviamente è un costo molto alto... ecco perchè nessuno scalda gli appartamenticon stufette elettriche.

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Problema di: Calorimetria - Q0026

Testo [Q0026] [2 3 ] Fornendo ∆Q = 3000 kJ an un oggetto di piombo allatemperatura iniziale Ti = 280K, riesco a portarlo alla temperatura di fusione e fon-derlo interamente. Quanta massa di piombo liquido mi trovo alla temperatura difusione?

Spiegazione Per scaldare una massa di piombo è necessario fornire del calore. Perfonderla è necessario del calore. apendo che con il calore a disposizione riesco ascaldare il piombo fino alla temperatura di fusione, e riesco poi anche a fonderlotutto, il problema si risolve eguagliando il calore a disposizione con quello necessarioa scaldare prima, e fondere poi, il piombo

Svolgimento Il calore necessario a scaldare il piombo è

∆Q = cs ·m ·∆T

considerando che il piombo lo devo scaldare fino alla temperatura di fusione

∆Qris = cs ·m · (Tfus − Ti)

IL calore necessario per far fondere il piombo è

∆Qfus = Qlat,fus ·m

Il calore ∆Q indicato nel testo dell’esercizio serve sia per scaldare che per fondereil ferro, quindi

∆Q = ∆Qris + ∆Qfus

per cui

∆Q = cs ·m · (Tfus − Ti) +Qlat,fus ·m

∆Q = m · [cs · (Tfus − Ti) +Qlat,fus]

ed infine

Page 175: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

175 Scheda8. Calorimetria: soluzioni

m =∆Q

cs · (Tfus − Ti) +Qlat,fus

m =3000000 J

129 Jkg·K · (600, 61K − 280K) + 23, 2 kJ

kg

= 67, 64 kg

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Problema di: Calorimetria - Q0027

Testo [Q0027] [1 2 ] Le temperature di fusione e di ebollizione del ferro sono:Tfus = 1808K; Teb = 3023K. Le seguenti sostanze sono solide, liquide o gassose?

• 10 kg di ferro a T = 1600K; 20 kg di ferro a T = 1890 C

• 20 kg di ferro a T = 1600 C; 10 kg di ferro a T = 3023K

Spiegazione Per sapere se una sostanza è solida, liquida o gassosa, è necessarioguardare la sua temperatura e conoscere le temperature di fusione ed ebollizione ditale sostanza. La massa non ha alcuna importanza nel determinare quale sia lo statofisico della sostanza.

Svolgimento Analizziamo le informazioni che ci sono state date

• 10 kg di ferro alla temperatura T = 1600K. La sostanza ha una temperaturainferiore a quella di fusione: la sostanza è solida.

• 20 kg di ferro alla temperatura T = 1890 C. La sostanza ha una temperaturasuperiore a quella di fusione, ma inferiore a quella di ebollizione: la sostanza èliquida.

• 20 kg di ferro alla temperatura T = 1600C. La sostanza ha una temperaturasuperiore a quella di fusione, ma inferiore a quella di ebollizione: la sostanza èliquida.

• 10 kg di ferro alla temperatura T = 1808K. La sostanza ha una temperatu-ra pari alla temperatura di fusione: la sostanza è in parte solida ed in parteliquida; i due stati della materia sono presenti contemporaneamente.

Autore: Andrea de Capoa 2 Mar 2016

Page 176: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

176 Scheda8. Calorimetria: soluzioni

Problema di: Calorimetria - Q0028

Testo [Q0028] [1 3 ] Rispondi alle seguenti domande.

1. Perché l’alchool etilico bolle alla temperatura di circa Teb−1 = 80C mentrel’acqua bolle alla temperatura di Teb−2 = 100C

2. Se prendo una certa massa di ferro alla temperatura T = 1600K, è solida,liquida, gassosa o plasma? Spiega perchè.

3. L’acqua alla temperatura T = 327K è solida, liquida, gassosa o plasma? Spiegaperchè.

Spiegazione In questo esercizio vengono presentate tre situazioni in cui bisognaapplicare i concetti studiati in calorimetria.

Svolgimento

1. Il valore della temperatura di ebollizione di una sostanza dipende da quan-to sono forti i legami chimici tra le molecole di quella sostanza. L’acqua bol-le ad una temperatura superiore a qulla dell’alchool, quindi i legami chimi-ci tra le molecole dell’acqua sono più forti dei legami chimici tra le molecoledell’alchool.

2. La temperatura di fusione del ferro è Tfus−Fe = 1808K. Il testo della doman-

da specifica che il ferro ha una temperatura inferiore alla sua temperatura difusione, quindi è necessariamente solido.

3. La temperatura di fusione dell’acqua è Tfus−H2O

= 273, 15K, mentre quella diebollizione è T

eb−H2O= 373, 15K. La temperatura dell’acqua in questo eserci-

zio è maggiore della temperatura di fusione, ma minore della temperatura diebollizione, quindi la sostanza è liquida.

Autore: Andrea de Capoa 10 Mar 2016

Problema di: Calorimetria - Q0029

Testo [Q0029] [2 3 ] Ad un oggetto di ferro di massa m = 5 kg, ed alla tempe-ratura T = 300K, fornisco una quantità di calore ∆Q = 4400J . Di quanto aumentail suo volume?

Spiegazione Se forniamo ad un pezzo di ferro solido del calore senza che il pez-zo di ferro cominci a fondere, allora questo si scalda e si dilata. Possiamo quindicalcolarci di quanto aumenta il suo volume a causa della dilatazione termica.

Svolgimento L’oggetto di ferro si trovava alla temperatura Ti = 300K, quindiinizialmente si scalda. Calcoliamoci di quanto aumenta la sua temperatura.

∆T =∆Q

cs ·m=

4400 J

440 JkgK · 5 kg

= 2K

L’oggetto si trovava inizialmente alla temperatura Ti = 300K e quindi non arrivaalla temperatura di fusione del ferro Tfus = 1808K. Gli unici fenomeni che accadonosono il riscaldamento e la dilatazione termica.

Calcoliamoci adesso il volume iniziale del ferro, conoscendone la densità, e lavariazione del suo volume.

Vi =m

ρFe

=5 kg

7874 kgm3

= 6, 35 · 10−4m3

∆V = 3λVi∆T = 36 · 10−6 1

K· 6, 35 · 10−4m3 · 2K = 4, 572 · 10−8m3

La formula finale dell’esercizio facendo solo conti letterali sarebbe

∆V = 3λ · mρFe

· ∆Q

cs ·m=

ρFe

· ∆Q

cs

Autore: Andrea de Capoa 16 Ott 2016

Page 177: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

177 Scheda8. Calorimetria: soluzioni

Problema di: Calorimetria - Q0030

Testo [Q0030] [3 4 ] In un contenitore termicamente isolato sono presenti unamassa mg = 500 g di ghiaccio alla temperatura Tig = 0C ed una massa mv = 600 g

di vapore acqueo alla temperatura Tiv = 100C. Calcola la temperatura di equilibriodel sistema e quanto vapore rimane.

Spiegazione In natura il calore si sposta dagli oggetti più caldi verso gli oggettipiù freddi. Il vapore fonde il ghiaccio cedendogli calore; il vapore, cedendo calore,si condensa.

Svolgimento La quantità di calore che serve per fondere il ghiaccio è

∆Qfus = Qlat−fus ·m = 335kJ

kg· 0, 5 kg = 167500 J

Per poi portare il liquido alla temperatura di fusione servono

∆Q0→100

= csm∆T = 4186J

kgK· 0, 5 kg · 100K = 209300 J

Il calore totale sottratto al vapore è quindi

∆Q = ∆Qfus + ∆Q0→100 = 376800 J

Sottraendo questa quantità di calore al vapore, la quantità di vapore che riesco afar condensare è

mcond =∆Q

Qlat−eb=

376, 8 kJ

2272 kJkg

= 0, 166 kg

Rimane quindi una massa di vapore pari a

m = mv −mcond = 434 g

Autore: Andrea de Capoa 22 Nov 2016

Problema di: Calorimetria - Q0031

Testo [Q0031] [3 4 ] Una sbarra di ferro di massa m = 3 kg alla temperaturaTi−ferro = 800K viene fatta raffreddare per immersione in una vasca d’acqua al-la temperatura Ti−acqua = 300K. Quale quantità minima di acqua devo usare perraffreddare il ferro senza che l’acqua cominci a bollire?

Spiegazione Il ferro e l’acqua a contatto raggiungeranno la stessa temperatura.Tanto meno acqua utilizzerò, tanto più alta sarà la temperatura di equilibrio rag-giunta. La minima quantità di acqua utilizzabile corrisponderà alla massima tem-peratura raggiungibile. Visto che vogliamo che l’acqua non cominci a bollire, alloratale temperatura è quella di ebollizione dell’acqua.

Svolgimento Il ferro e l’acqua a contatto raggiungeranno la stessa temperatura:

Teq =cs−FemFeTi−Fe + cs−H2OmH2OTi−H2O

cs−FemFe + cs−H2OmH2O

(cs−FemFe + cs−H2OmH2O) · Teq = cs−FemFeTi−Fe + cs−H2OmH2OTi−H2O

cs−FemFeTeq + cs−H2OmH2OTeq = cs−FemFeTi−Fe + cs−H2OmH2OTi−H2O

cs−H2OmH2OTeq − cs−H2OmH2OTi−H2O = cs−FemFeTi−Fe − cs−FemFeTeq

mH2O · (cs−H2OTeq − cs−H2OTi−H2O) = cs−FemFeTi−Fe − cs−FemFeTeq

mH2O =cs−Fe ·mFe (Ti−Fe − Teq)cs−H2O · (Teq − Ti−H2O)

mH2O =440 J

kg·K · 3 kg (800K − 373, 15K)

4186 Jkg·K · (373, 15K − 300K)

= 1, 84 kg

Autore: Andrea de Capoa 22 Nov 2016

Page 178: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

178 Scheda8. Calorimetria: soluzioni

Problema di: Calorimetriaa - Q0032

Testo [Q0032] [3 3 ] In un contenitore termicamente isolato sono presenti unamassa mg = 500 g di ghiaccio alla temperatura Tig = 0C ed una massa mv = 600 g

di vapore acqueo alla temperatura Tiv = 100C. Calcola la temperatura di equilibriodel sistema e quanto vapore rimane.

Spiegazione In natura il calore si sposta dagli oggetti più caldi verso gli oggettipiù freddi. Il vapore fonde il ghiaccio cedendogli calore; il vapore, cedendo calore,si condensa.

Svolgimento La quantità di calore che serve per fondere il ghiaccio è

∆Qfus = Qlatfus ·m = 335kJ

kg· 0, 5 kg = 167500 J

Per poi portare il liquido alla temperatura di fusione serve

∆Q0→100

= csm∆T = 4186J

kgK· 0, 5 kg · 100K = 209300 J

Il calore totale sottratto al vapore è quindi

∆Q = ∆Qfus + ∆Q0→100 = 376800 J

Sottraendo questa quantità di calore al vapore, la quantità di vapore che riesco afar condensare è

mcond =∆Q

Qlateb=

376, 8 kJ

2272 kJkg

= 0, 166 kg

Rimane quindi una massa di vapore pari a

m = mv −mcond = 434 g

Autore: Andrea de Capoa 21 Nov 2016

Problema di: Calorimetria - Q0033

Testo [Q0033] [3 3 ] Un muro è costituito da due strati: il primo di intonaco(ρint = 0, 8 W

mK ) spesso Lint = 3 cm; il secondo di mattone forato (ρint = 0, 4 WmK )

spesso Lint = 10 cm. Sapendo che la temperatura sul lato interno del muro è Tint =

25 C, e sul lato esterno Text = 15 C, trovate la temperatura sulla superficie diseparazione tra il mattone ed intonaco.

Spiegazione Il calore si muove dai luoghi più caldi verso quelli più freddi. La leggedella conducibilità termica descrive questo spostamento nel problema in questione.

Svolgimento Considerando le temperature avremo

∆Tmuro = ∆Tma + ∆Tin

Considerato che per ogni superficie scelta il calore che attraversa uno strato dimuro ogni secondo è lo stesso che poi attraversa lo strato successivo, avremo che

∆Q

S∆t=

∆TinρinLin

=∆TmaρmaLma

quindi

∆Tmuro = ∆Tma + ∆TmaρmaLinρinLma

∆Tmuro · ρinLma = ∆TmaρinLma + ∆TmaρmaLin

∆Tma = ∆TmuroρinLma

ρinLma + ρmaLin

∆Tma = 10 C · 8

9, 4= 8, 5 C

La temperatura richiesta è quindi

T = Tin −∆Tma = 16, 9C

Page 179: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

179 Scheda8. Calorimetria: soluzioni

Problema di: Calorimetria - Q0034

Testo [Q0034] [3 4 ] Un muro è costituito da tre strati: il primo di intonaco(ρint = 0, 8 W

mK ) spesso Lint = 3 cm; il secondo di mattone forato (ρint = 0, 4 WmK )

spesso Lint = 10 cm; il terzo di legno forato (ρint = 0, 2 WmK ) spesso Lint = 5 cm.

Sapendo che la temperatura sul lato interno del muro è Tint = 25 C, e sul latoesterno Text = 15 C, trovate la temperatura sulla superficie di separazione tra ilmattone e legno.

Spiegazione Il calore si muove dai luoghi più caldi verso quelli più freddi. La leggedella conducibilità termica descrive questo spostamento nel problema in questione.

Svolgimento Indichiamo il legno con le, l’intonaco con in ed il mattone con ma.Considerando le temperature avremo

∆Tmuro = ∆Tin + ∆Tma + ∆Tle

Considerato che per ogni superficie scelta il calore che attraversa uno strato dimuro ogni secondo è lo stesso che poi attraversa lo strato successivo, avremo che

∆Q

S∆t=

∆TinρinLin

=∆TmaρmaLma

=∆TleρleLle

quindi

∆Tmuro = ∆Tle + ∆TleρleLmaρmaLle

+ ∆TleρleLinρinLle

∆Tmuro · ρinρmaLle = ∆Tle · ρinρmaLle + ∆Tle · ρinρleLma + ∆Tle · ρmaρleLin

∆Tle = ∆TmuroρinρmaLle

ρinρmaLle + ρinρleLma + ρmaρleLin

Autore: Andrea de Capoa 2 Feb 2018

∆Tle = 10 C · 1, 6

1, 6 + 1, 6 + 0, 16= 4, 8 C

La temperatura richiesta sarà quindi

T = Tin −∆Tle = 21, 2C

Autore: Andrea de Capoa 2 Feb 2018

Page 180: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

180 Scheda8. Calorimetria: soluzioni

Problema di: Calorimetria - Q0035

Testo [Q0035] [1 4 ] Rispondi alle seguenti domande:

1. Cosa indica la temperatura di un oggetto?

2. Perchè esiste un limite inferiore alla temperatura?

3. Un bicchiere d’acqua si trova alla temperatura T = 30 C: cosa posso dire sullatemperatura di una singola molecola d’acqua di quel bicchiere?

Spiegazione Queste sono domande di teoria... bisogna semplicemente aver stu-diato per poter rispondere.

Svolgimento

1. La temperatura di un oggetto indica l’energia cinetica media delle sue moleco-le.

2. L’energia cinetica di un oggetto è sempre una quantità positiva o nulla. Perquesto motivo esiste un limite inferiore all’energia coinetica media di un grup-po di molecole, e quindi un limite inferiore per la loro temperatura.

3. Se un bicchiere l’acqua ha una temperatura T = 30 C significa che la mediadelle temperature delle molecole ha questo valore. Le singole molecole hannodiverse temperature a seconda della distribuzione di Maxwell dal valore del-la temperatura di fusione fino al valore della temperatura di ebollizione. Laprobabilità che una molecola abbia una determinata temperatura diminuisceall’aumentare della distanza tra la temperatura della molecola ed il valore ditemperatura media.

Autore: Andrea de Capoa 2 Feb 2018

Problema di: Leggi di calorimetria e leggi di conservazione - LQ0001

Testo [LQ0001] [2 3 ] Un corpo ferro di massa m = 20 kg si trova in una piccolapiscina, fermo ed immerso nell’acqua, all’altezza dal fondo hi = 50 cm. Nella piscinaci sono m2 = 50 kg di acqua. La piscina è termicamente isolata dal mondo esterno.Ad un certo punto l’oggetto comincia a cadere verso il fondo della piscina fino afermarsi sul fondo. Di quanto si scalda l’acqua della piscina?

Spiegazione L’oggetto che cade perde energia potenziale gravitazionale, che, es-sendo trasferita all’acqua sotto forma di calore, ne fa innalzare la temperatura.

Svolgimento Il volume dell’oggetto di ferro è

VFe =m

ρFe=

20 kg

7874 kgm3

= 2, 54 · 10−3m3

L’oggetto è sceso verso il fondo, ed un eguale volume di acqua è salita dal fondofino all’altezza h = 50 cm. Le variazioni di energia potenziale gravitazionale e laconseguente produzione di calore sono

∆UFe = mg∆h = 20 kg · 9, 8 ms2· 0, 5m = 98 J

∆UH2O = mg∆h = ρH2OVFeg∆h = 1000kg

m3·2, 54·10−3m3·9, 8 m

s2·(−0, 5m) = −12, 45 J

∆Q = ∆UFe + ∆UH2O = 85, 55 J

Di conseguenza l’aumento di temperatura dell’acqua, ammettendo che non cisiano dispersioni nell’ambiente circostante, e considerando che tale aumento avveràanche nell’oggetto di ferro, sarà

∆T =∆Q

csH2OmH2O + csFemFe

=85, 55 J

4186 JkgK · 50 kg + 440 J

kgK · 20 kg= 4 · 10−4K

Autore: Andrea de Capoa 20 Ott 2016

Page 181: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

181 Scheda8. Calorimetria: soluzioni

Problema di: Leggi di calorimetria e leggi di conservazione - LQ0002

Testo [LQ0002] [2 2 ] Un corpo di ferro ha massa m = 20 kg e temperaturainiziale Ti = 400K. Esso striscia, fino a fermarsi, su di un piano orizzontale, con unavelocità iniziale Vi = 4 m

s . Ammettendo che tutto il calore prodotto sia utilizzato perscaldare il corpo, di quanto aumenta la sua temperatura?

Spiegazione Le forze di attrito trasformano l’energia cinetica dell’oggetto in calore.Il calore è trasferito all’oggetto che di conseguenza aumenta la sua temperatura. ILproblema chiede di strascurare il calore trasferito al piano di appoggio edf all’aria.

Svolgimento La quantità di energia cinetica persa dall’oggetto è

∆Ec =1

2mV 2

f −1

2mV 2

i = 10 kg · 16m2

s2= −160 J

Il calore in ingresso nell’oggetto è quindi

∆Q = −∆Ec = 160 J

Di conseguenza l’aumento di temperatura del corpo di ferro, ammettendo chenon ci siano dispersioni nell’ambiente circostante, sarà

∆T =∆Q

csm=

160 J

440 JkgK · · · 20 kg

= 1, 82 · 10−2K

Autore: Andrea de Capoa 26 Nov 2016

Page 182: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

Scheda 9Termodinamica: soluzioniProblema di: Termodinamica - T0001

Testo [T0001] [2 2 ] Se un certo quantitativo di gas che si trova alla temperaturaT1 = 380K compie una trasformazione isobara passando da un volume V1 = 10 cm3

ad un volume V2 = 20 cm3, quale temperatura ha raggiunto?

Spiegazione Questo esercizio parla di un certo quantitativo di gas, che si trova aduna temperatura Ti = 380K, all’interno di un certo contenitore di volume Vi =

10 cm3. Ad un certo punto il conteniore del gas aumenta il suo volume fino a rad-doppiare e raggiunge il volume Vf = 20 cm3. Durante questa trasformazione per unqualche meccanismo, che adesso non ci interessa, la pressione del gas non cambiamai: il gas sta compiendo infatti una trasformazione isobara che vuol dire a pressionecostante. Durante questa trasformazione in cui cambia il volume, cambia anche latemperatura del gas: quale temperatura avrà il gas alla fine della trasformazione?

Svolgimento La legge dei gas perfetti mi descrive lo stato del gas in un certo istan-te, per cui la posso applicare sia nel momento iniziale della trasformazione che inquello finale. Se lo faccio ottengo il seguente sistema:

PVf = NKTf

PVi = NKTi

Per risolvere questo sistema il modo più comodo è sicuramente quello di scrivereuna terza equazione dividendo le due equazioni del sistema:

PVfPVi

=NKTfNKTi

da cui, semplificando, si ottieneVfVi

=TfTi

ed infine

Tf =VfTiVi

Inserendo a questo punto i dati del problema nella formula finale otteniamo:

Tf =20 cm3 · 380K

10 cm3= 760K

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

182

Page 183: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

183 Scheda9. Termodinamica: soluzioni

Problema di: Termodinamica - T0002

Testo [T0002] [1 14 ]

1. Da dove prende energia un gas che compie lavoro durante una espansioneisobara? X) dal suo interno; Y) dall’esterno; Z) dal lavoro che compie; W) laproduce.

2. In un gas, durante una trasformazione isocora, al diminuire della tempe-ratura: X) il volume aumenta; Y) il volume diminuisce; Z) il volume rimaneinvariato; W) il volume puó aumentare quanto diminuire.

3. C’è scambio di calore durante una compressione adiabatica? X) si; Y) no; Z)forse; W) a volte.

4. Il gas cede calore durante una compressione isobara? X) si; Y) no; Z) forse;W) a volte.

5. Da dove prende energia un gas che compie lavoro durante una espansioneadiabatica? X) dal suo interno; Y) dall’esterno; Z) dal lavoro che compie; W) laproduce.

6. Di un gas, durante una trasformazione adiabatica, cambia: X) solo il volume;Y) solo la temperatura; Z) solo la pressione; W) Sia il volume che temperaturache pressione.

7. In un gas, durante una trasformazione isoterma, al diminuire della pres-sione: X) il volume aumenta; Y) il volume diminuisce; Z) il volume rimaneinvariato; W) il volume può aumentare quanto diminuire.

8. In un gas, durante una trasformazione adiabatica, al diminuire della pres-sione: X) il volume aumenta; Y) il volume diminuisce; Z) il voume rimaneinvariato; W) il volume può aumentare quanto diminuire.

9. In un gas, durante una trasformazione isocora, al diminuire della tempera-tura: X) il gas fa lavoro; Y) il riceve lavoro; Z) il gas diminuisce la sue energiainterna; W) la press.

10. In un gas, durante una trasformazione ciclica: X) il volume aumenta; Y) il vo-lume diminuisce; Z) il volume rimane invariato; W) il volume può aumentaree diminuire per ritornare al valore iniziale.

11. Un ciclo di carnot è composto da: X) due isoterme e due isocore; Y) due isocoree due adiabatiche; Z) due isoterme e due adiabatiche; W) quattro isoterme.

12. Una trasformazione ciclica è una trasformazione in cui: X) il gas si muove dimoto circolare uniforme; Y) il gas non scambia calore con l’esterno; Z) gli statiiniziale e finale della trasformazione coincidono; W) Gli stati iniziale e finaledella trasformazione cambiano ciclicamente.

13. Il rendimeno di un qualunque ciclo termodinamico è dato dal: X) lavoro fattofratto calore assorbito; Y) lavoro fatto più calore assorbito; Z) lavoro fatto menocalore assorbito; W) solo lavoro fatto.

14. In un gas, durante una trasformazione isobara, al diminuire della tempera-tura: X) il volume aumenta; Y) il volume diminuisce; Z) il volume non varia;W) il volume sia aumenta che diminuire.

Spiegazione A tutte queste domande è possibile rispondere conoscendo pochi sem-plici concetti di termodinamica.

1. la legge fondamentale dei gas perfetti

PV = NKT

2. le quattro principali trasformazioni termodinamiche: isoterma, isocora, isobaraed adiabatica

3. la legge fondamentale della termodinamica

∆U = δQ− δL

4. il legame tra variazione di volume e lavoro fatto: se il gas si espande fa lavoroverso l’esterno; se si comprime riceve lavoro dall’esterno

5. il legame tra temperatura ed energia interna: queste due variabili di stato sonodirettamente correlate tra loro, se varia una, varia in proporzione anche l’altra.

Page 184: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

184 Scheda9. Termodinamica: soluzioni

Svolgimento

1. Da dove prende energia un gas che compie lavoro durante una espansioneisobara? Y) dall’esterno

(a) Cominciamo con il constatare che il gas cede lavoro all’esterno in quantosi espande;

(b) se osserviamo il grafico di un’espansione isobara, vediamo che la tempe-ratura aumenta, e quindi aumenta anche l’energia interna;

(c) se il gas cede lavoro ed aumenta la sua energia interna, l’unica soluzioneè che riceva dell’energia dall’esterno sotto forma di calore.

2. In un gas, durante una trasformazione isocora, al diminuire della tempera-tura: Z) il volume rimane invariato

(a) Le trasformazioni isocore sono quelle in cui il volume rimane invariatoper definizione;

3. C’è scambio di calore durante una compressione adiabatica? Y) no

(a) Le trasformazioni adiabatiche sono quelle in cui non c’è scambio di caloreper definizione;

4. Il gas cede calore durante una compressione isobara? X) si

(a) In una compressione il gas riceve lavoro;

(b) in una compressione isobara, consultando il grafico, il gas diminuisce lasua temperatura e quindi la sua energia interna;

(c) se il gas riceve lavoro e diminuisce la sua energia interna, l’unica possibi-lità è che ceda calore all’esterno

5. Da dove prende energia un gas che compie lavoro durante una espansioneadiabatica? X) dal suo interno

(a) In una trasformazione adiabatica no c’è scabio di calore, quindi per da-re lavoro all’esterno durante l’espansione, quell’energia può essere presasolo dall’energia interna con conseguente diminuzione della temperatura.

6. Di un gas, durante una trasformazione adiabatica, cambia: W) Sia il volumeche temperatura che pressione

(a) Se anche una sola delle tre variabili indicate dovesse rimanere costan-te, la trasformazione non si chiamerebbe adiabatica ma isocora, oppureisoterma, oppure isobara.

7. In un gas, durante una trasformazione isoterma, al diminuire della pressio-ne: X) il volume aumenta

(a) Dalla legge dei gas, se la temperatura non cambia, pressione e volumesono inversamente proporzionali.

8. In un gas, durante una trasformazione adiabatica, al diminuire della pres-sione: X) il volume aumenta

(a) il grafico di una trasformazione adiabatica mostra in modo semplice quel-lo che succede. La curva adiabatica è simile a quella isoterma, ma piùripida.

9. In un gas, durante una trasformazione isocora, al diminuire della tempera-tura: Z) il gas diminuisce la sue energia interna;

(a) Il fatto che la trasformazione sia isocora è irrilevante: se diminuisce latemperatura di un gas vuol dire che diminuisce la sua energia interna.

10. In un gas, durante una trasformazione ciclica: W) il volume può aumentare ediminuire per ritornare al valore iniziale

(a) Una trasformazione ciclica è caratterizzata dal fatto che le variabili di sta-to variano, ma, indipendentemente dalle loro variazioni, alla fine dellatrasformazione assumono nuovamente i valori iniziali.

11. Un ciclo di carnot è composto da: Z) due isoterme e due adiabatiche

(a) Qui non c’è nulla da capire: si chiama ciclo di Carnot quella trasformazio-ne ciclica formata da due isoterme e due adiabatiche.

Page 185: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

185 Scheda9. Termodinamica: soluzioni

12. Una trasformazione ciclica è una trasformazione in cui: Z) gli stati iniziale efinale della trasformazione coincidono

(a) In questa domanda altro non si chiede se non la definizione di trasforma-zione ciclica.

13. Il rendimeno di un qualunque ciclo termodinamico è dato dal: X) lavoro fattofratto calore assorbito

(a) Il rendimento di un ciclo rappresenta la percentuale di calore assorbitoche viene trasformata in lavoro; di qui la formula indicata nella risposta.

14. In un gas, durante una trasformazione isobara, al diminuire della tempera-tura: Y) il volume diminuisce

(a) Se osserviamo il grafico, le trasformazioni isobare sono segmenti orizzon-tali. Nel caso di diminuzione della temperatura, il punto che rappresentalo stato del gas deve spostarsi verso sinistra, indicando di conseguenzauna diminuzione del volume.

15. Di quanto varia una variabile di stato di un gas durante una trasformazione?W) Dipende dagli stati iniziale e finale della trasformazione

(a) Le variabili di stato sono definite tali in quanto la loro variazione dipendedagli stati iniziali e finali della trasformazione senza che sia importante iltipo di trasformazione per passare da uno stato all’altro.

16. Di quanto varia una variabile non di stato di un gas durante una trasforma-zione? X) Dipende dalla trasformazione che subisce il gas

(a) Le variabili non di stato, per definizione di variabile di stato, dipendonodalla trasformazione per passare da uno stato all’altro e non dipendonounicamente dai due stati.

17. In un gas, durante una trasformazione isobara, al diminuire della tempera-tura: Y) il calore esce

(a) Al diminuire della temperatura l’energia interna di un gas diminuisce

(b) In una isobara, al diminuire della temperatura, diminuisce il volume delgas che, quindi, riceve lavoro.

(c) Se il gas riceve energia sotto forma di lavoro, e contemporaneamente hameno energia interna, l’unica spiegazione è che sia uscita dal gas dell’e-nergia sotto forma di calore.

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Page 186: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

186 Scheda9. Termodinamica: soluzioni

Problema di: Termodinamica - T0003

Testo [T0003] [1 12 ]

1. Il rendimeno di un qualunque ciclo termodinamico è: X) minore o uguale a1; Y) maggiore o uguale a 1; Z) uguale a 1; W) nessuna delle precedenti.

2. La legge dei gas perfetti: X) non contiene il volume del gas; Y) non contiene latemperatura del gas; Z) non contiene l’energia interna del gas; W) non contienela pressione del gas.

3. Di un gas, durante una trasformazione isocora, non cambia: X) il volume; Y)la temperatura; Z) la pressione; W) l’energia interna.

4. Di un gas, durante una trasformazione isoterma, non cambia: X) la tempera-tura; Y) il volume; Z) la pressione; W) l’energia interna.

5. Di un gas, durante una trasformazione isobara, non cambia: X) il volume; Y)la temperatura; Z) la pressione; W) l’energia interna.

6. Il rendimeno di un ciclo di Carnot: X) è sempre maggiore di 1; Y) dipendesolo dalla temperatura finale del gas; Z) dipende dalle temperature a cui vienescambiato il calore; W) dipende solo dalla temperatura iniziale del gas.

7. Il calore scambiato ad alta temperatura, rispetto a quello scambiato a bassatemperatura è: X) più pregiato; Y) meno pregiato; Z) egualmente pregiato; W)dipende dai casi.

8. Per aumentare la tempratura di un gas è sufficiente: X) comprimerlo; Y) farloespandere; Z) aumentarne la pressione; W) aumentarne l’energia interna.

9. Per aumentare l’energia interna di un gas è sufficiente: X) comprimerlo; Y)fargli compiere una trasformazione isocora; Z) farlo espandere; W) fargli com-piere una espansione isobara.

10. Un gas compie sicuramente del lavoro se: X) viene compresso; Y) si espande;Z) si scalda; W) nessuna delle precedenti.

11. C’è scambio di calore durante una compressione isoterma? X) si; Y) no; Z)forse; W) a volte.

Spiegazione A tutte queste domande è possibile rispondere conoscendo pochi sem-plici concetti di termodinamica.

1. la legge fondamentale dei gas perfetti

PV = NKT

2. le quattro principali trasformazioni termodinamiche: isoterma, isocora, isobaraed adiabatica

3. la legge fondamentale della termodinamica

∆U = δQ− δL

4. il legame tra variazione di volume e lavoro fatto: se il gas si espande fa lavoroverso l’esterno; se si comprime riceve lavoro dall’esterno

5. il legame tra temperatura ed energia interna: queste due variabili di stato sonodirettamente correlate tra loro, se varia una, varia in proporzione anche l’altra.

Svolgimento

1. Il rendimeno di un qualunque ciclo termodinamico è: W) nessuna delle prece-denti: minore di 1

(a) Questo viene affermato nella seconda legge della termodinamica.

2. La legge dei gas perfetti: Z) non contiene l’energia interna del gas

(a) Basta leggere la formula della legge dei gas perfetti PV = NKT

3. Di un gas, durante una trasformazione isocora, non cambia: X) il volume

(a) Questa è la definizione di trasformazione isocora

Page 187: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

187 Scheda9. Termodinamica: soluzioni

4. Di un gas, durante una trasformazione isoterma, non cambia: X) la tempera-tura

(a) Questa è la definizione di trasformazione isoterma

5. Di un gas, durante una trasformazione isobara, non cambia: Z) la pressione

(a) Questa è la definizione di trasformazione isobara

6. Il rendimeno di un ciclo di Carnot: Z) dipende dalle temperature a cui vienescambiato il calore

(a) Oltre ad essere un principio valido in linea generale, basta guardare laformula del rendimento del ciclo di Carnot: η

Carnot= 1− Tbassa

Talta

7. Il calore scambiato ad alta temperatura, rispetto a quello scambiato a bassatemperatura è: X) più pregiato;

(a) Con il calore scambiato ad alta temperatura è possibile ottenere cicli conrendimenti maggiori.

8. Per aumentare la tempratura di un gas è sufficiente: W) aumentarne l’energiainterna

(a) Energia interna di un gas e temperatura sono strettamente legati insieme,in particolare sono tra loro direttamente proporzionali

9. Per aumentare l’energia interna di un gas è sufficiente: W) fargli compiere unaespansione isobara

(a) Se un gas compie un’espansione isobara, osservando il grafico o la leggedei gas perfetti, si nota che la temperatura aumenta e quindi aumental’energia interna.

10. Un gas compie sicuramente del lavoro se: Y) si espande

(a) il lavoro prodotto da un gas è sempre legato alla variazione di volume diquel gas. Nel caso di espansione il gas cede sempre lavoro all’esterno

11. C’è scambio di calore durante una compressione isoterma? X) si

(a) In una compressione il gas riceve lavoro, ma visto che l’energia internanon cambia durante un’isoterma, allora quell’energia in ingresso deveimmediatamente uscire sotto forma di calore.

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Page 188: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

188 Scheda9. Termodinamica: soluzioni

Problema di: Termodinamica - T0004

Testo [T0004] [1 18 ]

1. Da quale variabile di stato dipende l’energia interna di un gas?

2. In quali modi posso fornire energia ad un gas?

3. Come varia l’energia interna di un gas durante una trasformazione isoterma?Perchè?

4. Durante una espansione il gas compie o riceve lavoro? e durante una compres-sione?

5. Quanto calore scambia un gas durante una trasformazione adiabatica?

6. Quando un gas fa lavoro verso l’esterno?

7. Quando un gas riceve del lavoro dall’esterno?

8. Disegna un ciclo di Carnot, indicandone le trasformazioni e i flussi di energiadurante ogni trasformazione.

9. C’è scambio di calore durante una espansione isoterma? Quel calore entra nelgas o esce?

10. Come cambia la temperatura di un gas durante una compressione adiabatica?e durante un’espansione adiabatica?

11. Da dove prende energia un gas che compie lavoro durante una espansioneadiabatica?

12. Da dove prende energia un gas che compie lavoro durante una espansioneisoterma?

13. In una trasf. isocora: δL =?∆U =? Se il gas cede calore, da dove prendequell’energia? Che conseguenza ha questo sulla temperatura?

14. In una trasf. isoterma: ∆U =?δL =? Da dove viene presa l’energia per com-piere lavoro?

15. In una trasf. adiabatica: δQ =?∆U =? Da dove viene presa l’energia percompiere lavoro?

16. Cos’è il rendimento di un ciclo? Quanto vale per il ciclo di Carnot? Disegna ildiagramma che descrive il flusso di calore da una sorgente ad alta temperaturaad una a bassa temperatura durante un ciclo termodinamico. Modifica queldiagramma per descrivere un ciclo frigorifero.

17. Il calore scambiato ad alta temperatura è più o meno pregiato di quello scam-biato a bassa temperatura? Perchè?

18. Cosa rappresenta la superficie dell’area delimitata da una trasformazione cicli-ca in un diagramma Pressione-Volume?

Spiegazione A tutte queste domande è possibile rispondere conoscendo pochi sem-plici concetti di termodinamica.

1. la legge fondamentale dei gas perfetti

PV = NKT

2. le quattro principali trasformazioni termodinamiche: isoterma, isocora, isobaraed adiabatica

3. la legge fondamentale della termodinamica

∆U = δQ− δL

4. il legame tra variazione di volume e lavoro fatto: se il gas si espande fa lavoroverso l’esterno; se si comprime riceve lavoro dall’esterno

5. il legame tra temperatura ed energia interna: queste due variabili di stato sonodirettamente correlate tra loro, se varia una, varia in proporzione anche l’altra.

Page 189: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

189 Scheda9. Termodinamica: soluzioni

Svolgimento

1. Da quale variabile di stato dipende l’energia interna di un gas?

(a) L’energia interna dipende dalla temperatura. La temperatura di un gasindica infatti la velocità delle molecole del gas e di conseguenza la loroenergia cinetica, cioè l’energia interna del gas.

2. In quali modi posso fornire energia ad un gas?

(a) Si può fornire energia ad un gas o tramite uno scambio di calore o trami-te uno scambio di lavoro, come indicato dalla legge fondamentale dellatermodinamica ∆U = δQ− δL

3. Come varia l’energia interna di un gas durante una trasformazione isoterma?Perchè?

(a) in una trasformazione isoterma la temperatura non cambia e quindi noncambia neanche l’energia interna.

4. Durante una espansione il gas compie o riceve lavoro? e durante una compres-sione?

(a) Durante una espansione il gas compie lavoro; durante una compressionelo riceve.

5. Quanto calore scambia un gas durante una trasformazione adiabatica?

(a) Zero, perché si chiama adiabatica quella trasformazione nella quale nonc’è scambio di calore con l’esterno

6. Quando un gas fa lavoro verso l’esterno?

(a) Quando si espande

7. Quando un gas riceve del lavoro dall’esterno?

(a) Quando si comprime

8. Disegna un ciclo di Carnot, indicandone le trasformazioni e i flussi di energiadurante ogni trasformazione.

(a) Dovete disegnare una espansione isoterma (esce lavoro ed entra calore),successivamente un’espansione adiabatica (esce lavoro), successivamenteuna compressione isoterma (entra lavoro ed esce calore), ed infine unacompressione adiabatica (entra lavoro)

9. C’è scambio di calore durante una espansione isoterma? Quel calore entra nelgas o esce?

(a) Si. In una trasformazione isoterma non cambia l’energia interna del gas,quindi visto che nell’espansione esce del lavoro, quell’energia deve esserepresa dal calore in ingresso.

10. Come cambia la temperatura di un gas durante una compressione adiabatica?e durante un’espansione adiabatica?

(a) In una compressione del lavoro entra; visto che la trasformazione è adia-batica e non scambia calore, quel lavoro diventa energia interna del gas equindi la temperatura aumenta.

11. Da dove prende energia un gas che compie lavoro durante una espansioneadiabatica?

(a) Visto che la trasformazione è adiabatica ed il gas non scambia calore, secede lavoro prende quell’energia dall’energia interna.

12. Da dove prende energia un gas che compie lavoro durante una espansioneisoterma?

(a) In un’espanzione isoterma l’energia interna del gas non cambia, quindi seil gas cede lavoro, prende quell’energia dall’esterno sotto forma di calore.

13. In una trasf. isocora: δL =?∆U =? Se il gas cede calore, da dove prendequell’energia? Che conseguenza ha questo sulla temperatura?

Page 190: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

190 Scheda9. Termodinamica: soluzioni

(a) In una trasformazione isocora il volume non cambia, quindi ∆L = 0.Dalla legge fondamentale della termodinamica otteniamo che ∆U = δQ.Quindi se il gas cede calore lo prende dall’energia interna e quindi latemperatura diminuisce

14. In una trasf. isoterma: ∆U =?δL =? Da dove viene presa l’energia per com-piere lavoro?

(a) In una trasformazione isoterma la temperatura non cambia, quindi ∆U =

0. Dalla legge fondamentale della termodinamica otteniamo che δQ =

−δL. Quindi se il gas cede lavoro prende quell’energia dal calore in in-gresso

15. In una trasf. adiabatica: δQ =?∆U =? Da dove viene presa l’energia percompiere lavoro?

(a) Per definizione di adiabatica δQ = 0; quindi ∆U = −δL. l’energia percompiere lavoro viene quindi presa dall’energia interna.

16. Cos’è il rendimento di un ciclo? Quanto vale per il ciclo di Carnot? Disegna ildiagramma che descrive il flusso di calore da una sorgente ad alta temperaturaad una a bassa temperatura durante un ciclo termodinamico. Modifica queldiagramma per descrivere un ciclo frigorifero.

(a) Il rendimento di un ciclo è il rapporto tra il lavoro fatto dal ciclo ed ilcalore da esso assorbito: η = δL

δQass

(b) per il ciclo di Carnot la formula precedente, calcolata su due isoterme edue adiabatiche, diventa ηcarnot = 1− Tbassa

Talta

(c) Dalla sorgente ad alta temperatura viene assorbito del calore; una partedi questo viene trasformato in lavoro, la parte restante data ad un pozzodi calore a bassa temperatura.

(d) Nel ciclo frigorifero, l’utilizzo di una piccola quantità di lavoro permettedi assorbire del calore a bassa temperatura e metterlo, insieme al lavoro,in un luogo ad alta temperatura.

17. Il calore scambiato ad alta temperatura è più o meno pregiato di quello scam-biato a bassa temperatura? Perchè?

(a) Il calore scambiato ad alta temperatura è più pregiato in quanto con essosi riescono ad ottenere rendimenti maggiori

18. Cosa rappresenta la superficie dell’area delimitata da una trasformazione cicli-ca in un diagramma Pressione-Volume?

(a) Come verificabile anche in base all’unità di misura dell’area in un similegrafico, l’area di un ciclo termodinamico indica il lavoro fatto dal ciclo.

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Page 191: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

191 Scheda9. Termodinamica: soluzioni

Problema di: Termodinamica - T0005

Testo [T0005] [1 2 ] Un gas compie un ciclo termodinamico formato da due iso-bare e due isocore. Il ciclo comincia con un’espansione isobara che parte dallo statoA(3m3; 8 atm); successivamente abbiamo un raffreddamento isocoro; la compressio-ne isobara inizia invece dallo stato B(5m3; 3 atm); infine un riscaldamento isocoro.Quanto lavoro ha fatto il ciclo?

Spiegazione Dopo aver disegnato il ciclo termodinamico nel piano PV dobbiamocalcolare il lavoro fatto in ognuna delle quattro trasformazioni del ciclo e calcolareinfine il lavoro totale.

Svolgimento Il grafico del ciclo termodinamico è il seguente:

1 2 3 4 5 6 7

2

4

6

8

10

V

P

Il lavoro svolto nelle due isocore è nullo. Nell’espansione isobara il lavoro vale

L = P ·∆V = 8 atm · 2m3 = 1600000 J

Nella compressione isobara il lavoro vale

L = P ·∆V = 3 atm · (−2m3) = −600000 J

Il lavoro fatto dal ciclo vale quindi

L = 1000000 J

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Page 192: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

192 Scheda9. Termodinamica: soluzioni

Problema di: Termodinamica - T0006

Testo [T0006] [1 5 ] Un ciclo termodinamico assorbe calore δQass ad alta tem-peratura, cede calore δQced a bassa temperatura, e cede lavoro δL. Il tutto è fatto conun certo rendimento η. Esegui i seguenti esercizi:

1. Sapendo che δQass = 5000 J e che δQced = 3500 J , quanto valgono δL ed η?

2. Sapendo che δQass = 5000 J e che δL = 2000 J , quanto valgono δQced ed η?

3. Sapendo che δL = 5000 J e che η = 0, 4, quanto valgono δQass e δQced?

Spiegazione Un ciclo termodinamico serve a trasformare del calore in lavoro. sol-tanto due formule descrivono questo processo:

δQass = δQced + δL η =δL

δQass

In tutte le domande del testo vengono forniti due dati; di conseguenza con le dueequazioni a disposizione possiamo trovare gli altri due.

Svolgimento

1. δL = δQass − δQced = 1500 J η = δLδQass

= 1500 J5000 J = 0, 3 = 30%

2. δQced = δQass − δL = 3000 J η = δLδQass

= 2000 J5000 J = 0, 4 = 40%

3. δQass = δLη = 12500 J ∆Qced = δQass − δL = 7500 J

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Problema di: Termodinamica - T0007

Testo [T0007] [2 2 ] Durante una trasformazione isocora, un gas alla pressioneiniziale Pi = 25000Pa passa da una temperatura Ti = 380K ad una temperaturaTf = 450K; quale pressione Pf ha raggiunto?

Spiegazione Abbiamo un gas che compie una trasformazione isocora durante laquale aumenta la temperatura. Sia per lo stato iniziale del gas che per quello finalevale la legge dei gas perfetti. Impostando il sistema risolviamo l’esercizio.

Svolgimento La legge dei gas perfetti mi descrive lo stato del gas in un certo istan-te, per cui la posso applicare sia nel momento iniziale della trasformazione chein quello finale. Se lo faccio ottengo il seguente sistema, nel quale, essendo unatrasformazione isocora, non facciamo differenza tra volume iniziale e finale:

PfV = NKTf

PiV = NKTi

Per risolvere questo sistema il modo più comodo è sicuramente quello di scrivereuna terza equazione dividendo le due equazioni del sistema:

PfV

PiV=NKTfNKTi

da cui, semplificando, si ottiene

PfPi

=TfTi

ed infine

Pf =PiTfTi

=25000Pa · 450K

380K= 29605Pa

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Page 193: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

193 Scheda9. Termodinamica: soluzioni

Problema di: Termodinamica - T0008

Testo [T0008] [2 2 ] Durante una trasformazione isoterma, un gas alla pressioneiniziale Pi = 25000Pa passa da un volume Vi = 10 cm3 ad un volume Vf = 20 cm3;quale pressione Pf ha raggiunto?

Spiegazione Abbiamo un gas che compie una trasformazione isoterma durante laquale aumenta il volume. Sia per lo stato iniziale del gas che per quello finale vale lalegge dei gas perfetti. Impostando il sistema risolviamo l’esercizio.

Svolgimento La legge dei gas perfetti mi descrive lo stato del gas in un certo istan-te, per cui la posso applicare sia nel momento iniziale della trasformazione chein quello finale. Se lo faccio ottengo il seguente sistema, nel quale, essendo unatrasformazione isoterma, non facciamo differenza tra temperatura iniziale e finale:

PfVf = NKT

PiVi = NKT

Per risolvere questo sistema il modo più comodo è sicuramente quello di scrivereuna terza equazione con il metodo di sostituzione:

PfVf = PiVi

da cui, semplificando, si ottiene

Pf =PiViVf

=25000Pa · 10 cm3

20 cm3= 12500Pa

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Problema di: Termodinamica - T0009ban - Autore: Andrea de Capoa

Testo [T0009ban] [1 5 ] Esercizi banali:

1. Quanto lavoro fa un gas a pressione P = 5000Pa in una espansione isobarapassando da un volume Vi = 50m3 ad un volume Vf = 66m3?[L = 80 kJ]

2. Una macchina termica funziona seguendo un ciclo di Carnot tra una tempera-tura T1 = 500K ed una inferiore T2 = 300K. Quanto vale il rendimento dellamacchina?[η = 20%]

3. Un gas, espandendosi, produce un lavoro δL = 500 J assorbendo contempora-neamenre una quantitá di calore δQ = 300 J . Di quanto é variata la sua energiainterna?[∆U = −200 J]

Spiegazione In questo esercizio ho raccolto tutte quelle domande banali che pos-sono essere fatte su questo argomento. Per banale si intende un problema nel qualela domanda consiste semplicemente nel fornire dei dati da inserire in una formula.Non è quindi richiesta alcuna particolare capacità di ragionamento, ne particolaridoti matematiche. Questo esercizio serve unicamente ad aquisire dimestichezza conl’esecuzione dei conti numerici con le unità di misura.

Svolgimento

1. La formula per il lavoro di una trasformazione isobara è

δL = P ·∆V = 5000Pa · 16m3 = 80000 J

2. La formula del rendimento del ciclo di Carnot è

η = 1− TbassaTalta

= 1− 300K

500K=

2

5= 0, 4 = 40%

Page 194: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

194 Scheda9. Termodinamica: soluzioni

3. in una trasformazione termodinamica, la variazione di energia interna dipendedal calore che entra e dal lavoro che esce.

∆U = δQ− δL = −200 J

La temperatura del gas è quindi diminuita.

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Problema di: Termodinamica - T0010

Testo [T0010] [1 2 ] Un ciclo di Carnot assorbe δQass = 1000 J alla tempera-tura T1 = 1000K e cede calore alla temperatura T2 = 400K. Quanto lavoro vieneprodotto?

Spiegazione Un ciclo termodinamico assorbe calore per trasformarne una parte inlavoro. In un ciclo di Carnot il rendimento del ciclo, cioè la percentuale di caloretrasformata in lavoro, dipende unicamente dalle temperature a cui viene scambiatoil calore.

Svolgimento Il rendimento del ciclo di Carnot è:

η = 1− TbassaTalta

= 1− 4

10=

6

10= 0, 6 = 60%

Il lavoro prodotto sarà quindi

δL = ηδQass = 0, 6 · 1000 J = 600 J

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Page 195: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

195 Scheda9. Termodinamica: soluzioni

Problema di: Termodinamica - T0011

Testo [T0011] [1 6 ] Un gas subisce una trasformazione termodinamica. Levariabili coinvolte in tale trasformazione sono sei: la variazione di pressione, la va-riazione di volume, la variazione di temperatura, la variazione di energia interna,il lavoro scambiato, il calore scambiato. Sapendo se sono positive, negative o nulledue di queste, trova se sono positive, negative o nulle tutte le altre. le varie coppiedi informazioni da cui devi partire sono elencate qui sotto.

1. Riscaldamento isobaro

2. Riscaldamento isocoro

3. Riscaldamento adiabatico

Spiegazione In questo esercizio ci vengono fornite due informazioni sull’anda-mento di due variabili del gas durante una trasformazione; dobbiamo dedurre l’an-damento di tutte le altre variabili. Per fare questo utilizziamo soltanto quattro infor-mazioni:

1. La legge dei gas perfetti: PV = NKT

2. Il primo principio della termodinamica ∆U = δQ− δL

3. La legge che lega energia interna e temperatura: esse sono infatti direttamenteproporzionale ∆U ↔ ∆T

4. Il concetto per cui un gas si espande se e solo se compie lavoro verso l’esternoδL↔ ∆V

La soluzione dell’esercizio la presentiamo sotto forma di schema.

Svolgimento

Riscaldamento isobaro

Riscaldamento∆T > 0

Isobaro∆P = 0

∆V > 0

il gas si espande

δL > 0

il lavoro esce

∆U > 0

l’energia internaaumenta

δQ > 0

il calore entra

∆U↔

∆T

∆U

=δQ−δL

PV

=NKT

δL↔

∆V

Page 196: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

196 Scheda9. Termodinamica: soluzioni

Riscaldamento isocoro

Isocoro∆V = 0

Riscaldamento∆T > 0

∆P > 0

la pressioneaumenta ∆U > 0

l’energia internaaumenta

δL = 0

il lavoro nonviene scambiato

δQ > 0

il calore entra

δL↔

∆V

∆U

=δQ−δL

∆U↔

∆T

PV

=NKT

Riscaldamento adiabatico

AdiabaticoδQ = 0

Riscaldamento∆T > 0

∆P > 0

la pressioneaumenta

∆U > 0

l’energia internaaumenta

δL < 0

il lavoro entra

∆V < 0

il volumediminuisce

δL↔ ∆V∆U

=δQ−δL

∆U ↔ ∆T

PV

=NKT

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Page 197: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

197 Scheda9. Termodinamica: soluzioni

Problema di: Termodinamica - T0012

Testo [T0012] [1 6 ] Un gas subisce una trasformazione termodinamica. Levariabili coinvolte in tale trasformazione sono sei: la variazione di pressione, la va-riazione di volume, la variazione di temperatura, la variazione di energia interna,il lavoro scambiato, il calore scambiato. Sapendo se sono positive, negative o nulledue di queste, trova se sono positive, negative o nulle tutte le altre. le varie coppiedi informazioni da cui devi partire sono elencate qui sotto.

1. Espansione isobara

2. Espansione isoterma

3. Espansione adiabatica

Spiegazione In questo esercizio ci vengono fornite due informazioni sull’anda-mento di due variabili del gas durante una trasformazione; dobbiamo dedurre l’an-damento di tutte le altre variabili. Per fare questo utilizziamo soltanto quattro infor-mazioni:

1. La legge dei gas perfetti: PV = NKT

2. Il primo principio della termodinamica ∆U = δQ− δL

3. La legge che lega energia interna e temperatura: esse sono infatti direttamenteproporzionale ∆U ↔ ∆T

4. Il concetto per cui un gas si espande se e solo se compie lavoro verso l’esternoδL↔ ∆V

La soluzione dell’esercizio la presentiamo sotto forma di schema.

Svolgimento

Espansione isobara

Espansione∆V > 0

Isobara∆P = 0

∆T > 0

il gas si scalda

∆U > 0

l’energia internaaumenta

δL > 0

il lavoro esce

δQ > 0

il calore entra

∆U↔

∆T

∆U

=δQ−δL

PV

=NKT

δL↔

∆V

Page 198: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

198 Scheda9. Termodinamica: soluzioni

Espansione isoterma

Espansione∆V > 0

Isoterma∆T = 0

∆P < 0

la pressionediminuisce ∆U = 0

l’energia internarimane costante

δL > 0

il lavoro esce

δQ > 0

il calore entra

δL↔

∆V

∆U

=δQ−δL

∆U↔

∆T

PV

=NKT

Espansione adiabatica

AdiabaticaδQ = 0

Espansione∆V > 0

δL > 0

il lavoro esce

∆P < 0

la pressionediminuisce

∆U < 0

l’energia internadiminuisce

∆T < 0

la temperaturadiminuisce∆U ↔ ∆T

∆U

=δQ−δL

δL↔ ∆V

PV

=NKT

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Page 199: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

199 Scheda9. Termodinamica: soluzioni

Problema di: Termodinamica - T0013

Testo [T0013] [1 4 ]

1. In quanti e quali modi un gas può scambiare energia con il mondo esterno?

2. Cos’è una trasformazione ciclica?

3. Cosa succede, dal punto di vista energetico, durante una trasformazione cicli-ca?

4. Perchè la società umana ha bisogno delle trasformazioni cicliche?

5. Cosa posso dire sul valore del rendimento di una trasformazione ciclica?

Spiegazione Queste sono domande di teoria... o le sai o le devi ripassare

Svolgimento

1. Un gas può scambiare energia in due modi: tramite il calore e il lavoro.

2. Una trasformazione ciclica è una trasformazione in cui il gas parte da un certostato iniziale per ritornare alla fine nello stesso stato iniziale.

3. Durante una trasformazione ciclica il gas assorbe calore da un luogo ad altatemperatura; una parte la trasforma in lavoro ed il restante lo cede in un luogoa bassa temperatura.

4. La società umana ha bisogno di energia sotto forma di lavoro; purtroppo lefonti energetiche disponibili ci forniscono calore, e quindi serve qualcosa chetrasformi parte di quel calore in lavoro.

5. Il rendimento di un ciclo termodinamico è sempre η < 1

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Problema di: Termodinamica - T0014

Testo [T0014] [1 4 ] Domande di teoria

1. In quanti e quali modi un gas può scambiare energia con l’esterno?

2. A cosa serve una trasformazione ciclica?

3. Perchè la società umana ne ha bisogno?

4. Elenca le strategie utili a risolvere i problemi energetici dell’umanità.

5. Quali variabili descrivono lo stato fisico di un gas? Quale formula le lega traloro?

Spiegazione Queste sono domande di teoria... o le sai o le devi ripassare.

Svolgimento

1. Un gas può scambiare energia in due modi: tramite il calore e il lavoro.

2. Una trasformazione ciclica è una trasformazione in cui il gas parte da un cer-to stato iniziale per ritornare alla fine nello stesso stato iniziale. Serve pertrasformare una parte del calore assorbito in lavoro.

3. La società umana funziona consumando energia di tipo lavoro, mentre le princi-pali fonti energetiche forniscono invece energia di tipo calore. Abbiamo bisognodei cicli termodinamici per convertire iol calore in lavoro.

4. I problemi energetici dell’umanità sono legati al consumo di energia prodot-ta tramite l’utilizzo di combustibili fossili e uranio. Quello che possiamo fa-re è: non consumare energia inutilmente; produrre energia utilizzando fontirinnovabili; utilizzare tecnologie con rendimenti energetici maggiori.

5. Le variabili sono: Pressione, Volume, Temperatura, Numero di molecole, Ener-gia interna. La legge dei gas perfetti

P · V = N ·K · T

Page 200: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

200 Scheda9. Termodinamica: soluzioni

lega tra loro tali variabili. K è la costante di Boltzmann. La temperatura,che indica l’energia cinetica media delle molecole, è poi direttamente lagataall’energia interna del gas che è l’energia cinetica totale delle molecole del gas.

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Problema di: Termodinamica - T0015

Testo [T0015] [1 3 ] Domande di teoria

1. Se scaldo una pentola chiusa con un coperchio, che tipo di trasformazione stafacendo il gas all’interno? Perchè?

2. Un subacqueo si immerge in apnea scendendo di ∆h = −30m. Che tipo ditrasformazione fa l’aria nei suoi polmoni? Percè?

3. Un ciclo termodinamico assorbe una quantità di calore ∆Qass = 500 J ad altatemperatura, e produce lavoro con un rendimento η = 20 %. Quanto lavoro haprodotto? Quanto calore cede a bassa temperatura?

Spiegazione Queste sono domande di teoria... o le sai o le devi ripassare.

Svolgimento

1. In gas fa una trasformazione isocora perchè il volume del contenitore noncambia.

2. Il gas fa una trasformazione isoterma perchè il gas nei polmoni dell’apneista,essendo sempre a contatto con il suo corpo, è sempre alla temperatura di circa37 C.

3. Il lavoro prodotto èδL = η · δQass = 100 J

Il calore ceduto a bassa temperatura è

δQced = δQass − δLfatto = 400 J

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Page 201: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

201 Scheda9. Termodinamica: soluzioni

Problema di: Termodinamica - T0016

Testo [T0016] [1 3 ] Domande di teoria

1. Una nebulosa nello spazio si comprime a causa della forza di gravità. Che tipodi trasformazione termodinamica fa? Perché?

2. Un frigorifero raffredda l’aria al suo interno. Che tipo di trasformazione ter-modinamica subisce tale aria? Perché?

3. Un ciclo termodinamico assorbe una quantità di calore ∆Qass = 500 J ad altatemperatura, e produce ∆L = 200 J di lavoro. Quanto vale il rendimento delciclo? Quanto calore viene ceduto a bassa temperatura?

Spiegazione Queste sono domande di teoria... o le sai o le devi ripassare.

Svolgimento

1. In gas fa una trasformazione adiabatica perchè il gas non ha nessuno intornocon cui possa scambiare calore.

2. Il gas fa una trasformazione isocora perchè il frigorifero non cambia il suovolume.

3. Il rendimento del ciclo è

η =δL

δQass= 0, 4 = 40%

Il calore ceduto a bassa temperatura è

δQced = δQass − δLfatto = 300 J

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Problema di: Termodinamica - T0017

Testo [T0017] [1 3 ] Domande di teoria

1. Del gas compresso esce molto velocemente da una bomboletta e si espande. Chetipo di trasformazione termodinamica subisce tale gas? Perché?

2. Del gas viene compresso molto lentamente dentro una bomboletta. Che tipo ditrasformazione termodinamica subisce tale gas? Perché?

3. Un ciclo termodinamico cede una quantità di calore ∆Qced = 500 J a bassatemperatura, e produce ∆L = 200 J di lavoro. Quanto vale il rendimento delciclo? Quanto calore viene assorbito ad alta temperatura?

Spiegazione Queste sono domande di teoria... o le sai o le devi ripassare.

Svolgimento

1. In gas fa una trasformazione adiabatica perchè la trasformazione è tanto rapidada non dare tempo al gas di scambiare calore con l’esterno.

2. Il gas fa una trasformazione isoterma perchè la trasformazione è tanto lenta dapermettere al gas di mantenere l’equilibrio termico con l’esterno.

3. Il calore assorbito ad alta temperatura è

δQass = δQced + δLfatto = 700 J

Il rendimento del ciclo è

η =δL

δQass=

2

7= 28, 6%

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Page 202: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

202 Scheda9. Termodinamica: soluzioni

Problema di: Termodinamica - T0018

Testo [T0018] [2 5 ] Un ciclo termodinamico assorbe calore δQass ad alta tem-peratura, cede calore δQced a bassa temperatura, e cede lavoro δL. Il tutto è fatto conun certo rendimento η. Esegui i seguenti esercizi:

1. Sapendo che δQass = 5000 J e che η = 0, 2, quanto valgono δL e δQced?

2. Sapendo che δL = 4000 J e che δQced = 6000 J , quanto valgono δQass ed η?

3. Sapendo che δQced = 8000 J e che η = 0, 2, quanto valgono δQass e δL?

Spiegazione Un ciclo termodinamico serve a trasformare del calore in lavoro. sol-tanto due formule descrivono questo processo:

δQass = δQced + δL η =δL

δQass

In tutte le domande del testo vengono forniti due dati; di conseguenza con le dueequazioni a disposizione possiamo trovare gli altri due.

Svolgimento

1. δL = ηδQass = 0, 2 · 5000 J = 1000 J δQced = δQass − δL = 4000 J

2. δQass = δQced + δL = 10000 J η = δLδQass

= 0, 4 = 40%

3. δQass = δQced1−η = 10000 J δL = ηδQass = 2000 J

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Problema di: Termodinamica - T0019

Testo [T0019] [2 2 ] Quant’è la minima quantità di lavoro che bisogna utiliz-zare, con un ciclo di Carnot, per sottrarre δQ = 180 J da un gas alla temperaturaTb = −3C e spostarlo in un ambiente alla temperatura Ta = 27C.

Spiegazione Per sottrarre calore da un gas e portarlo in un luogo a temperaturasuperiore, bisogna utilizzare un ciclo frigorifero. Il testo del problema suggerisce diutilizzare un ciclo frigorifero di Carnot.

Svolgimento Il rendimento del Ciclo di Carnot è

ηc = 1− TbTa

= 1− 270

300= 0, 1

Dalla definizione di ciclo termodinamico abbiamoδL = δQTa · ηcδQTb = δQTa − δL

Svolgendo i conti abbiamo: δQTa =

δL

ηc

δQTb =δL

ηc− δL

e quindi

δQTb = δL ·(

1

ηc− 1

)δL = δQTb ·

ηc1− ηc

= 10 J · 0, 1

0, 9= 20 J

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Page 203: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

203 Scheda9. Termodinamica: soluzioni

Problema di: Termodinamica - T0020

Testo [T0020] [2 4 ] Una massa m = 560 g di azoto gassoso (PM = 28 gmole ) si

trova alla temperatura iniziale Ti = 270K. Essa è contenuta in un cilindro metallicodi sezione S = 1000 cm2 e di altezza h = 1m. A quale pressione si trova il gas? Se latemperatura aumenta di ∆T = 30 C, a quale pressione arriva il gas?

Spiegazione Con i dati a disposizione è possibile calcolarsi quante molecole ci sononel gas e di conseguenza il valore di pressione a cui si trova. Visto che il contenitoreè di metallo, e che l’aumento di temperatura del contenitore lo fa dilatare in modotrascurabile ai fini dello stato del gas, possiamo affermare che il gas compie unatrasformazione isocora.

Svolgimento Cominciamo a calcolarci quante molecole di azoto ci sono nel gas.

N =m

PM·NA =

560 g

28 gmole

· 6, 022 · 1023mole−1 = 1, 2044 · 1025

La suoerficie di base del cilindro è

S = 1000 cm2 = 0, 1m2

La pressione a cui si trova il gas è quindi

P =NKT

V=NKT

V=NKT

Sh

P =1, 2044 · 1025 · 1, 381 · 10−23 J

K · 270K

0, 1m2 · 1m= 4491hPa

Vediamo adesso di quanto aumenta la pressione durante la trasformazione iso-cora. Noi sappiamo che la legge dei gas vale sia nell’istante iniziale che nell’istantefinale della trasformazione, quindiPi · V = N ·K · Ti

Pf · V = N ·K · Tf

nel quale ho indicato con V il volume sempre uguale in tutti gli istanti dellatrasformazione. Ricavando V nella prima equazione e sostituendolo nella secondaavremo V = N ·K·Ti

Pi

Pf · N ·K·TiPi= N ·K · Tf

Da cui si ricava, semplificando N ·K

Pf =Pi · TfTi

Pf =4491hPa · 300K

270K= 4990hPa

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Page 204: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

204 Scheda9. Termodinamica: soluzioni

Problema di: Termodinamica - T0021

Testo [T0021] [3 3 ] Un contenitore è separato da una sottile paratia in duevolumi uguali nei quali sono contenuti due gas, rispettivamente alla pressione PiA =

1, 5 · 105 Pa e PiB = 3, 3 · 105 Pa. Assumendo che il contenitore sia mantenuto atemperatura costante e che i due gas siano in equilibrio termico con il contenitore,quale pressione si avrà all’interno del contenitore dopo la rimozione della paratia diseparazione?

Spiegazione Nell’esercizio in questione abbiamo due gas inizialmente separati chesuccessivamente si mescolano tra loro. Rimossa la paratia di separazione, ognunodei due gas occuperà tutto lo spazio a disposizione. Essendo il contenitore a tempe-ratura costante, la trasformazione termodinamica che avviene è un’isoterma. Per lalegge di Dalton, la pressione complessiva sul contenitore è la somma delle pressioniparziali dei due gas.

Svolgimento Per una trasformazione isoterma noi possiamo scriverePfVf = NKT

PiVi = NKT

Per trasformazioni quasistatiche come quelle ideali che consideriamo, la leggedei gas perfetti vale infatti in ogni istante della trasformazione, e quindi vale sianell’istante iniziale che nell’istante finale della trasformazione. Trattandosi di unatrasformazione isoterma non si è fatta distinzione tra la temperatura iniziale e quellafinale, per cui Ti = Tf = T

Dal sistema si ricava

PfVf = PiVi

Pf =PiViVf

Tale formula è applicabile ad entrambi i gas dell’esercizio, che per comoditàindicheremo con A e B.

Per la legge di Dalton

Pf = PfA + PfB =PiAViAVfA

+PiBViBVfB

Dai dati dell’esercizio sappiamo che il contenitore era inizialmente diviso a metà,per cui

ViAVfA

=ViBVfB

=1

2

Quindi

Pf =1

2· 1, 5 · 105 Pa+

1

2· 3, 3 · 105 Pa = 2, 4 · 105 Pa

Autore: Andrea de Capoa e Boero Errica 11 Ott 2016

Page 205: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

205 Scheda9. Termodinamica: soluzioni

Problema di: Termodinamica - T0022

Testo [T0022] [3 4 ] Un contenitore è separato da una sottile paratia in duevolumi uguali nei quali sono contenuti due gas, rispettivamente ossigeno O2 allapressione PiA = 1, 4 · 105 Pa e idrogeno H2 alla pressione PiB = 2, 8 · 105 Pa. Assu-mendo che il contenitore sia mantenuto alla temperatura costante T = 200 C e che idue gas siano in quilibrio termico con il contenitore, quale pressione si avrà all’inter-no del contenitore dopo la rimosione della paratia di separazione? Quale pressionesi avrà poi dopo che un dispositivo elettrico fa scoccare una scintilla attraverso lamiscela di idrogeno e ossigeno?

Spiegazione Nella prima parte dell’esercizio in questione abbiamo due gas inizial-mente separati che successivamente si mescolano tra loro. Rimossa la paratia diseparazione, ognuno dei due gas occuperà tutto lo spazio a disposizione. Essendoil contenitore a temperatura costante, la trasformazione termodinamica che avvieneè un’isoterma. Per la legge di Dalton, la pressione complessiva sul contenitore è lasomma delle pressioni parziali dei due gas.

Nella seconda parte dell’esercizio, la scintilla farà reagire insieme l’idrogeno el’ossigeno cambiano il numero di molecole presenti nel contenitore, mantenendo co-stanti il volume del contenitore e la sua temperatura. Il testo dell’esercizio affermainfatti che il contenitore è mantenuto a temperatura costante, quindi il calore prodot-to dalla reazione viene assorbito dal contenitore e poi disperso verso l’esterno dallamacchina che mantiene costante la temperatura del contenitore.

Svolgimento Per una trasformazione isoterma di un generico gas composto da unnumero N di molecola alla temperatura costante T , possiamo scrivere

PfVf = NKT

PiVi = NKT

Per trasformazioni quasistatiche come quelle ideali che consideriamo, la leggedei gas perfetti vale infatti in ogni istante della trasformazione, e quindi vale sianell’istante iniziale che nell’istante finale della trasformazione. Trattandosi di una

trasformazione isoterma non si è fatta distinzione tra la temperatura iniziale e quellafinale, per cui Ti = Tf = T

Dal sistema si ricavaPfVf = PiVi

Pf =PiViVf

Tale formula è applicabile ad entrambi i gas dell’esercizio, che per comoditàindicheremo con A e B.

Per la legge di Dalton

Pf = PfO2+ PfH2

=PiO2

ViO2

VfO2

+PiH2

ViH2

VfH2

Dai dati dell’esercizio sappiamo che il contenitore era inizialmente diviso a metà,per cui

ViO2

VfO2

=ViH2

VfH2

=1

2

Quindi

Pf =1

2· 1, 4 · 105 Pa+

1

2· 2, 8 · 105 Pa = 2, 1 · 105 Pa

Se osserviamo asesso i valori iniziali di volume, pressione, temperatura e numerodi molecole dei due gas, avremo che ViO2

= ViH2= Vi, TiO2

= TiH2= T

PiO2Vi = NiO2

KT

PiH2Vi = NiH2

KT

da cui

PiO2ViO2

= PiH2ViH2

NiO2

NiH2

=PiO2

PiH2

=1

2

Questo significa che idrogeno ed ossigeno sono nelle esatte proporzioni per rea-gire in modo tale che utte le molecole di idrogeno si combinano con tutte le molecole

Page 206: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

206 Scheda9. Termodinamica: soluzioni

di ossigeno a formare molecole di acqua. Essendo il contenitore alla temperatureT = 200C, l’acqua prodotta dalla reazione rimane allo stato gassoso. Il numero dimolecole presente nel contenitore cambia, in quanto ogni tre molecole di reagenti sene producono due di prodotti della reazione. Questo ci permette di scrivere

NH2O

NH2+O2

=2

3

Indichiamo con Pi2 = Pf il valore di pressione che ha il gas prima della reazionechimica, e Pf2 il valore di pressione dopo che è avvenuta la reazione chimica.

Dopo la reazione chimica, raggiunto l’equilibrio termico con il contenitore, po-tremo scrivere

Pf2V = Nf2KT

Pi2V = Ni2KT

da cui si ricavaPf2

Pi2=

NH2O

NH2+O2

Pf2 = Pi2NH2O

NH2+O2

= 2, 1 · 105 Pa · 2

3= 1, 4 · 105 Pa

Autore: Andrea de Capoa 11 Ott 2016

Problema di: Termodinamica - T0023

Testo [T0023] [4 4 ] Un gas monoatomico (γ = 53 ) fa una trasformazione dallo

statoTA = 300K; PA = 100000Pa; VA = 3m3

allo statoTB = 400K; PB = 200000Pa; VB = 2m3

Calcolate la variazione di entropia.

Spiegazione Il problema chiede la variazione di entropia del gas tra due stati. Dalmomento che l’entropia è una variabile di stato, la sua variazione dipende unicamen-te dagli stati finale ed iniziale e non dalle trasformazioni avvenute. Possiamo quindisceglierci le trasformazioni che con maggiore facilità ci permettono di calcolare lavariazione di entropia.

Svolgimento Consideriamo una trasformazione adiabatica che porti il gas da unostato A ad uno stato C ed in particolare dalla temperatura TA alla temperatura TC =

TB . Per tale trasformazione la variazione di entropia è nulla in quanto non avvienescambio di calore. Consideriamo poi una trasformazione isoterma che porti dallostato C allo stato B. La corrispondente variazione di entropia è

∆S =δQ

T= NK ln(

VCVB

)

Per la serie delle due trasformazioni vale:PAPC

=

(VCVA

)γPCPB

=VBVC

e quindi PA · VCVB · PB

=V γCV γA

PC =VB · PBVC

Page 207: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

207 Scheda9. Termodinamica: soluzioni

PA · V γAVB · PB

= V γ−1C

PC =VB · PBVC

(PA · V γAVB · PB

) 1γ−1

= VC

PC =VB · PBVC

Il numero di molecole presenti nel gas è

N =PA · VAK · TA

∆S =PA · VATA

ln

(PA · V γAVB · PB

) 1γ−1

VB

∆S =

PA · VATA

ln

(PA · V γAPB · V γB

) 1γ−1

∆S =100000Pa · 3m3

300Kln

(3

53

2 · 2 53

) 52

∆S =2500Pa ·m3

Kln

(3

53

283

)

∆S = −43, 43J

K

Autore: Andrea de Capoa 11 Ott 2016

Problema di: Termodinamica - T0025

Testo [T0025] [1 4 ] Rispondi alle seguenti domande:

1. In quale direzione si muove naturalmente il calore? In che modo possiamoinvertire tale direzione?

2. Indica quali relazioni valgono, tra le variabili energetiche dei gas, durante letrasformazioni: espansione adiabatica, riscaldamento isocoro e compressioneisoterma. Scrivile ed enunciane il significato.

3. Perchè un gas ideale esercita sempre una certa pressione sulle pareti del conte-nitore che lo racchiude?

4. Lo pneumatico di un’automobile, una volta gonfiato fino ad un certo livello,non aumenta più il suo volume. Perchè immettendo altra aria al suo internoaumenta la pressione?

Spiegazione Queste sono domande di teoria sul fenomeno della riflessione. Vannosemplicemente studiate!

Svolgimento

1. Il calore in natura si muove spontaneamente dai corpi più caldi verso quellipiù freddi. Il processo può avvenire al contrario con un ciclo frigorifero grazieal fatto che introduciamo nel sistema una certa quantità di lavoro.

2. (a) Espansioe adiabatica: ∆U = −δL; il lavoro fatto viene preso dall’energiainterna dal gas

(b) Riscaldamento isocoro: ∆U = δQ; il calore fornito al gas viene utilizzatoper aumentare l’energia interna del gas

(c) Compressione isoterma: δQ = δL; il lavoro ricevuto dal gas viene imme-diatamente ridato al mondo esterno sotto forma di calore

Page 208: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

208 Scheda9. Termodinamica: soluzioni

3. Le molecole del gas, urtando contro le pareti del contenitore, esercitano su diesso una forza proporzionale al numero di urti che avvengono contro tali paretiogni secondo.

4. Nella situazione indicata abbiamo una trasformazione a volume e temperaturacostanti. Data la legge dei gas perfetti

P · V = N ·K · T

le uniche variabili che possono cambiare valore sono P e N . La pressione del-lo pneumatico aumenta in quanto il numero di molecole presenti all’internoaumenta.

Autore: Andrea de Capoa 20 Feb 2017

Problema di: Termodinamica - T0026

Testo [T0026] [2 5 ] Disegna un ciclo termodinamico formato da due isotermee due isocore. Indica per ogni trasformazione se gli scambi di calore e di lavoro sonoin uscita od in ingresso nel gas. Indica per ogni trasformazione se l’energia internadel gas aumenta o diminuisce.

Spiegazione Per questo problema è necessario aver compreso il primo principiodella termodinamica ed i significati di trasformazione isocora e isoterma. L’equazioneda utilizzare sarà sempte ∆U = δQ − δL Bisogna poi ricordare che le variazioni ditemperatura sono direttamente proporzionali alle variazioni di energia interna, e cheun gas compie lavoro verso l’esterno quando si espande.

Svolgimento Il ciclo termodinamico in questione è formato dalle seguenti quat-tro trasformazioni: un riscaldamento isocoro, un’espansione isoterma, un raffredda-mento isocoro ed una compressione isoterma. Il grafico del ciclo è il seguente:

0.5 1 1.5 2

0.5

1

1.5

2

a

bc

dV

P

Per le quattro trasformazioni avremo:

Page 209: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

209 Scheda9. Termodinamica: soluzioni

1. Riscaldamento isocoro.

• Il volume non cambia, quindi il lavoro scambiato è nullo: δL = 0.

• Il gas si riscalda, quindi l’energia interna aumenta: ∆U > 0

• Ne segue che δQ > 0 e quindi il calore entra e va ad aumentare l’energiainterna del gas.

2. Espansione isoterma.

• Il volume aumenta, quindi il lavoro scambiato è positivo (esce): δL > 0.

• Il gas mantiene costante la temperatura, quindi l’energia interna non va-ria: ∆U = 0

• Ne segue che δQ > 0 e quindi il calore entra e viene trasformato in lavoroverso l’esterno.

3. Raffreddamento isocoro.

• Il volume non cambia, quindi il lavoro scambiato è nullo: δL = 0.

• Il gas si raffredda, quindi l’energia interna diminuisce: ∆U < 0

• Ne segue che δQ < 0 e quindi il calore esce facendo diminuire l’energiainterna del gas.

4. Compressione isoterma.

• Il volume diminuisce, quindi il lavoro è negativo (entra): δL < 0.

• La temperatura è costante, quindi l’energia interna non varia: ∆U = 0

• Ne segue che δQ < 0 e quindi il calore esce provenendo dal lavoro iningresso nel gas.

Autore: Andrea de Capoa 6 Mar 2017

Problema di: Termodinamica - T0026a

Testo [T0026a] [2 5 ] Disegna un ciclo termodinamico formato da due isotermee due adiabatiche. Indica per ogni trasformazione se gli scambi di calore e di lavorosono in uscita od in ingresso nel gas. Indica per ogni trasformazione se l’energiainterna del gas aumenta o diminuisce.

Spiegazione Per questo problema è necessario aver compreso il primo principiodella termodinamica ed i significati di trasformazione adiabatica e isoterma. L’equa-zione da utilizzare sarà sempre ∆U = δQ−δL Bisogna poi ricordare che le variazionidi temperatura sono direttamente proporzionali alle variazioni di energia interna, eche un gas compie lavoro verso l’esterno quando si espande.

Svolgimento Il ciclo termodinamico in questione è formato dalle seguenti quattrotrasformazioni: una compressione isoterma, una compressione adiabatica, un’espan-sione isoterma, una espansione adiabatica. Il grafico del ciclo è il seguente:

0.5 1 1.5 2

0.5

1

1.5

2

a

c

b

d

V

P

Per le quattro trasformazioni avremo:

1. Compressione isoterma.

Page 210: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

210 Scheda9. Termodinamica: soluzioni

• Il volume diminuisce, quindi il lavoro scambiato è negativo: δL < 0.

• la temperatura non varia, quindi l’energia interna non varia: ∆U = 0

• Ne segue che δQ < 0 e quindi il calore esce dal gas.

2. Compressione abiabatica.

• Il volume diminuisce, quindi il lavoro scambiato è negativo: δL < 0.

• La trasformazione è adiabatica, quindi il calore scambiato è nullo δQ = 0

• Ne segue che ∆U > 0: energia interna e temperatura del gas aumentano.

3. Espansione isoterma.

• Il volume aumenta, quindi il lavoro scambiato è positivo: δL > 0.

• Il gas compie una trasformazione isoterma e quindi non cambia la tempe-ratura; quindi l’energia interna rimane invariata: ∆U = 0

• Ne segue che δQ > 0 e quindi il calore entra nel gas.

4. Espansione adiabatica.

• Il volume aumenta, quindi il lavoro scambiato è positivo: δL > 0.

• La trasformazione è adiabatica, quindi il calore scambiato è nullo δQ = 0

• Ne segue che ∆U < 0: energia interna e temperatura diminuiscono.

Autore: Andrea de Capoa 6 Mar 2017

Problema di: Termodinamica - T0026b

Testo [T0026b] [2 5 ] Disegna un ciclo termodinamico formato da due adiabati-che, una isobara ed un’isocora. Indica per ogni trasformazione se gli scambi di caloree di lavoro sono in uscita od in ingresso nel gas. Indica per ogni trasformazione sel’energia interna del gas aumenta o diminuisce.

Spiegazione Per questo problema è necessario aver compreso il primo principiodella termodinamica ed i significati di trasformazione adiabatica e isocora e isobara.L’equazione da utilizzare sarà sempre ∆U = δQ − δL Bisogna poi ricordare che levariazioni di temperatura sono direttamente proporzionali alle variazioni di energiainterna, e che un gas compie lavoro verso l’esterno quando si espande.

Svolgimento Il ciclo termodinamico in questione è formato dalle seguenti quattrotrasformazioni: una compressione adiabatica, una espansione isobara, una espansio-ne adiabatica, un raffreddamento isocoro. Il grafico del ciclo è il seguente:

0.5 1 1.5 2

0.5

1

1.5

2

a

b

c

dV

P

Per le quattro trasformazioni avremo:

1. Compressione abiabatica.

Page 211: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

211 Scheda9. Termodinamica: soluzioni

• Il volume diminuisce, quindi il lavoro scambiato è negativo: δL < 0.

• La trasformazione è adiabatica, quindi il calore scambiato è nullo δQ = 0

• Ne segue che δU > 0: energia interna e la temperatura del gas aumentano.

2. Espansione isobara.

• Il volume aumenta, quindi il lavoro scambiato è positivo (esce): δL > 0.

• La temperatura aumenta, quindi ∆U > 0. Lo si vede bene dal diagrammain quanto ci si sposta da isoterme inferiori ad isoterme superiori.

• Ne segue che δQ > 0 e quindi il calore entra nel gas.

3. Espansione adiabatica.

• Il volume aumenta, quindi il lavoro scambiato è positivo: δL > 0.

• La trasformazione è adiabatica, quindi il calore scambiato è nullo δQ = 0

• Ne segue che ∆U < 0: energia interna e temperatura diminuiscono.

4. Raffreddamento isocoro.

• Il volume non cambia, quindi il lavoro scambiato è nullo: δL = 0.

• Il gas si raffredda, quindi l’energia interna diminuisce: ∆U < 0

• Ne segue che δQ < 0 e quindi il calore esce facendo diminuire l’energiainterna del gas.

Autore: Andrea de Capoa 6 Mar 2017

Problema di: Termodinamica - T0026c

Testo [T0026c] [2 6 ] Disegna un ciclo termodinamico formato da due adiabati-che e due isocore. Indica per ogni trasformazione se gli scambi di calore e di lavorosono in uscita od in ingresso nel gas. Indica per ogni trasformazione se l’energiainterna del gas aumenta o diminuisce.

Spiegazione Per questo problema è necessario aver compreso il primo principiodella termodinamica ed i significati di trasformazione adiabatica e isocora. L’equazio-ne da utilizzare sarà sempre ∆U = δQ − δL Bisogna poi ricordare che le variazionidi temperatura sono direttamente proporzionali alle variazioni di energia interna, eche un gas compie lavoro verso l’esterno quando si espande.

Svolgimento Il ciclo termodinamico in questione è formato dalle seguenti quattrotrasformazioni: una compressione adiabatica, un riscaldamento isocoro, una espan-sione adiabatica, un raffreddamento isocoro. Il grafico del ciclo è il seguente:

0.5 1 1.5 2

0.5

1

1.5

2

a

bc

dV

P

Per le quattro trasformazioni avremo:

1. Compressione adiabatica.

Page 212: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

212 Scheda9. Termodinamica: soluzioni

• Il volume diminuisce, quindi il lavoro scambiato è negativo: δL < 0.

• La trasformazione è adiabatica, quindi il calore scambiato è nullo δQ = 0

• Ne segue che δU > 0: energia interna e la temperatura del gas aumentano.

2. Riscaldamento isocoro.

• Il volume non cambia, quindi il lavoro scambiato è nullo: δL = 0.

• Il gas si riscalda, quindi l’energia interna aumenta: ∆U > 0

• Ne segue che δQ > 0 e quindi il calore entra facendo aumentare l’energiainterna del gas.

3. Espansione adiabatica.

• Il volume aumenta, quindi il lavoro scambiato è positivo: δL > 0.

• La trasformazione è adiabatica, quindi il calore scambiato è nullo δQ = 0

• Ne segue che ∆U < 0: energia interna e temperatura diminuiscono.

4. Raffreddamento isocoro.

• Il volume non cambia, quindi il lavoro scambiato è nullo: δL = 0.

• Il gas si raffredda, quindi l’energia interna diminuisce: ∆U < 0

• Ne segue che δQ < 0 e quindi il calore esce facendo diminuire l’energiainterna del gas.

Autore: Andrea de Capoa 6 Mar 2017

Problema di: Termodinamica - T0027

Testo [T0027] [2 2 ] Alla partenza di un viaggio, quando la temperatura è Ti =

15, le ruote di un’auto sono gonfiate alla pressione Pi = 2 atm. Dopo molti kilometrile ruote si sono scaldate fino alla temperatura Tf = 45. Quale pressione hannoraggiunto?

Spiegazione Abbiamo un gas che compie una trasformazione isocora, in quantoil volume della gomma della guota non cambia, durante la quale aumenta la tem-peratura. Sia per lo stato iniziale del gas che per quello finale vale la legge dei gasperfetti. Impostando il sistema risolviamo l’esercizio.

Svolgimento La legge dei gas perfetti mi descrive lo stato del gas in un certo istan-te, per cui la posso applicare sia nel momento iniziale della trasformazione chein quello finale. Se lo faccio ottengo il seguente sistema, nel quale, essendo unatrasformazione isocora, non facciamo differenza tra volume iniziale e finale:

PfV = NKTf

PiV = NKTi

Per risolvere questo sistema il modo più comodo è sicuramente quello di scrivereuna terza equazione dividendo le due equazioni del sistema:

PfV

PiV=NKTfNKTi

da cui, semplificando, si ottiene

PfPi

=TfTi

ed infine

Pf =PiTfTi

=2 atm · (273, 15 + 45)K

(273, 15 + 15)K= 2, 2 atm

Page 213: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

213 Scheda9. Termodinamica: soluzioni

Problema di: Termodinamica - T0028

Testo [T0028] [2 3 ] Un frigorifero ha una porta di superficie S = 1, 5m2. Ini-zialmente spento e aperto, l’aria al suo interno ha una temperatura Ti = 22. Unavolta in funzione l’aria al suo interno raggiunge la temperatura Tf = 4. Con qualeforza la porta viene schiacciata conto il frigorigero e tenuta chiusa?

Spiegazione Abbiamo un gas che compie un raffreddamento isocoro, in quanto ilvolume del frigorifero non cambia. Sia per lo stato iniziale del gas che per quellofinale vale la legge dei gas perfetti. Impostando il sistema risolviamo l’esercizio. Laporta è tenuta chiusa dalla differenza di pressione che si genera tra l’aria all’internoe l’aria all’esterno.

Svolgimento La legge dei gas perfetti mi descrive lo stato del gas in un certo istan-te, per cui la posso applicare sia nel momento iniziale della trasformazione chein quello finale. Se lo faccio ottengo il seguente sistema, nel quale, essendo unatrasformazione isocora, non facciamo differenza tra volume iniziale e finale:

PfV = NKTf

PiV = NKTi

Per risolvere questo sistema il modo più comodo è sicuramente quello di scrivereuna terza equazione dividendo le due equazioni del sistema:

PfV

PiV=NKTfNKTi

da cui, semplificando, si ottiene

PfPi

=TfTi

La pressione dell’aria all’interno del frigo inizialmente è pari a quella atmosfericache assumiamo essere Patm = 1 atm

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Pf =PatmTfTi

=1 atm · (273, 15 + 4)K

(273, 15 + 22)K= 0, 94 atm

La forza esercitata sulla porta del frigo è quindi

F = ∆P · S = 0, 06 atm · 1, 5m2 = 9 kN

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Page 214: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

214 Scheda9. Termodinamica: soluzioni

Problema di: Termodinamica - T0029

Testo [T0028] [3 3 ] Un contenitore cilindrico di superficie di base S = 10 cm2

contiene una mole di gas alla pressione Pi = 2 · 105 Pa ed alla temperatura Ti =

300K. Il cilindro è chiuso da un pistone tenuto in posizione da una molla di costanteelastica k = 100 N

mm . Di quanto si solleva il pistone se scaldiamo il gas fino allatemperatura Tf = 400K?

Spiegazione In questo problema abbiamo una trasformazione termodinamica dif-ferente dalle quattro standard di cui di solito si tratta. Non è ovviamente isoterma inquanto è scritto nel testo che la tempèeratura aumenta; non è isobara ne isocora inquanto l’aumento di temperatura implica un aumento del prodotto P · V nella leggedei gas. Un aumento di V però implica lo schiacciamento della molla che tiene ilcilindro, e quindi un aumento della pressione esercitata. P e V , visto il sistema fisicoche è stato costruito, sono tra loro legati.

Svolgimento Cominciamo con il determinare la relazione che intercorre tra il vo-lume e la pressione del gas. Un aumento del volume del gas implica un aumentodell’altezza del cilindro che corrisponde alla compressione della molla e quindi adun aumento della pressione.

∆h =∆V

S

∆P =k ·∆hS

=k ·∆VS2

Utilizzando la legge dei gas avremoPiVi = NKTi

PfVf = NKTfPiVi = NKTi(Pi + k·∆h

S

)· (Vi + S ·∆h) = NKTf

Ricaviamo Vi dalla prima equazione sostituendo poi nella seconda, ed avremo

Vi = NKTiPi(

Pi + k·∆hS

)·(NKTiPi

+ S ·∆h)

= NKTf

Consideriamo adesso la seconda equazione

NKTi + Pi · S ·∆h+ ∆h · k ·NKTiPi · S

+ k∆h2 = NKTf

Per comodità indichiamo con X = ∆h l’incognita da trovare

k ·X2 +

(Pi · S +

k ·NKTiPi · S

)·X −NK∆T = 0

mettendo tutto in unità standard e trascurando di scriverle1, avremo

105X2 +

(2 · 105 · 10−3 +

105 · 8, 314 · 300

2 · 105 · 10−3

)·X − 8, 314 · 100 = 0

105X2 +(200 + 12, 471 · 105

)X − 831, 4 = 0

1Questo ovviamente non è corretto da un punto di vista matematico; lo faccio solo per non renderetroppo pesante la scrittura e facilitare la comprensione.

Autore: Andrea de Capoa 4 Feb 2018

Page 215: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

215 Scheda9. Termodinamica: soluzioni

Problema di: Dinamica - DT0001

Testo [DT0001] [1 5 ] Un contenitore cilindrico è chiuso in verticale da un pi-stone mobile di massa m = 1 kg e di superficie S = 1 dm3. All’inizio il conteni-tore è alto hi = 3 dm. Nel contenitore è presente un gas perfetto alla temperatutaT = 27C. Quante molecole ci sono nel gas? Se sul pistone appoggiamo un peso dimassa M = 19 kg, mantenendo costante la temperatura del gas, quanto risulterà altoil contenitore alla fine?

r

hi

rhf

Spiegazione In questo problema siparla di un gas che effettua una tra-sformazione isoterma. Bisognerà quin-di utilizzare la legge dei gas perfetti. Ilvolume del gas lo si ricava sapendo cheil contenitore è cilindrico con area di ba-se S ed altezza h. La pressione del gasla ottengo sapendo che è pari alla pres-sione atmosferica aumentata della pres-sione dovuta al peso del pistone e dellamassa poi aggiunta sul pistone.

Svolgimento Indichiamo il volume del gas, negli istanti finale e iniziale:

Vf = S · hf

Vi = S · hi = 1 dm3 · 3 dm = 3 dm3

Indichiamo anche le pressioni negli istanti iniziali e finali:

Pi = Patm +m · gS

= 100000Pa+1 kg · 9, 8 m

s2

1 dm3= 109800Pa

Pf = Patm +(m+M) · g

S= 100000Pa+

11 kg · 9, 8 ms2

1 dm3= 207800Pa

Utilizziamo la legge dei gas per calcolare il numero di molecole del gas

n =Pi · ViKT

=109800Pa · 0, 003m3

1, 38 · 10−23J

K· 300K

= 8 · 1021

Consideriamo adesso la trasformazione isoterna. Avremo chePiVi = NKT

PfVf = NKT

da cuiVf =

Pi · ViPf

S · hf =Pi · S · hi

Pf

hf =Pi · hiPf

=109800Pa · 3 dm

207800Pa= 1, 6 dm

Autore: Andrea de Capoa 15 Lug 2017

Page 216: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

216 Scheda9. Termodinamica: soluzioni

Problema di: Dinamica - Termodinamica - DT0002

Testo [DT0002] [1 2 ] Un contenitore cilindrico è chiuso in verticale da un pi-stone mobile di massa m = 10 kg e di superficie S = 2 dm2. Il contenitore è altoh = 4 dm. Nel contenitore è presente un gas perfetto alla temperatuta T = 27C.Quante molecole ci sono nel gas?

r

h

Spiegazione In questo problema si parla di un gasche ha un certo volume, una certa pressione ed unacerta temperatura. Con la legge dei gas perfetti pos-siamo calcolare il numero di molecole presenti nelgas.

Svolgimento Indichiamo il volume del gas:

V = S · h = 2 dm2 · 4 dm = 8 dm3

Indichiamo la pressione del gas:

P = Patm +m · gS

= 100000Pa+10 kg · 9, 8 m

s2

2 dm2= 104900Pa

Utilizziamo la legge dei gas per calcolare il numero di molecole del gas

n =P · VKT

=149000Pa · 0, 008m3

1, 38 · 10−23J

K· 300K

= 2 · 1023

Autore: Andrea de Capoa 18 Lug 2017

Problema di: Calorimetria - Termodinamica QT0001

Testo [QT0001] [2 4 ] In un contenitore di ferro chiuso, di massa mFe = 1 kg,ci sono maria = 3 kg di aria. La temperatura iniziale del ferro è Ti−Fe = 10 C, equella dell’aria è Ti−aria = 30 C. Il calore specifico dell’aria a volume costante ècs−aria = 0, 72 J

kgK . Calcola il rapporto tra le pressioni finale ed iniziale x =PfPi

alraggiungimento dell’equilibrio termico.

Spiegazione I due corpi a contatto raggiungono una temperatura di equilibrio.in questo caso il gas scalda il contenitore, e per questo motivo il gas si raffredda.Calcolando la temperatura di equilibrio, si conoscono le due temperature, inizialee finale, del gas. Visto che il gas è chiuso in un contenitore di ferro, allora fa unatrasformazione isocora; sapendolo posso arrivare a dare la risposta al problema.

Svolgimento La temperatura di equilibrio raggiunta è

Teq =cs−ariamariaTi−aria + cs−FemFeTi−Fe

maria +mFe

Teq =0, 72 J

kgC · 3 kg · 30 C + 440 JkgC · 1 kg · 10 C

0, 72 JkgC · 3 kg + 440 J

kgC · 1 kg=

4464, 8 J

442, 16 JC

= 10, 1 C

Visto che il gas fa una trasformazione isocora indicheremo con la stessa lettera Vsia il volume iniziale che quello finalePiV = NKTi

PfV = NKTeq⇒ Pf

Pi=TeqTi

Per poter fare questo conto dobbiamo però trasformare le temperature in Kelvin

PfPi

=(10, 1 + 273, 15)K

(30 + 273, 15)K= 0, 934

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Page 217: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

217 Scheda9. Termodinamica: soluzioni

Problema di: Calorimetria - Termodinamica QT0002

Testo [QT0002] [3 5 ] Una centrale elettrica di potenza P = 500MW funzionacon un ciclo termodinamico di rendimento η = 0, 35. Per raffreddarla viene utiliz-zato un piccolo fiume dal quale si preleva una portata d’acqua C = 5 · 104 kg

s . Diquanto si scalda quell’acqua?

Spiegazione La centrale elettrica produce una certa potenza, quindi una certa quan-tità di energia nel tempo. La centrale elettrica funziona con un ciclo termodinamicoche assorbe calore ad alta temperatura, una parte la trasforma in lavoro (energiaelettrica) ed il restante lo cede a bassa temperatura. Questo calore ceduto deve esse-re portato via dalla centrale grazie all’impianto di raffreddamento. Il calore ceduto,viene infatti dato all’acqua presa dal fiume. Tale acqua quindi si scalda.

Svolgimento Il calore che scalda l’acqua è il calore ceduto dalla centrale nel suociclo termodinamico

δQced = δQass − δL

Sappiamo anche che in un ciclo termodinamico

δQass =δL

η

quindi

δQced =δL

η− δL = δL

1− ηη

Visto che la centrale ha una potenza P = δL∆t

δQced = P∆t1− ηη

Questo calore serve a scaldare l’acqua dell’impianto di raffreddamento. La por-tata dell’acqua in ingresso nella centrale è

C =∆m

∆t

Quindi la massa di acqua che posso scaldare è

∆m = C∆t

Il problema chiede di calcolare di quanto di scalda l’acqua del sistema di raffred-damento:

∆T =δQcedcs ·∆m

∆T =P∆t 1−η

η

cs · C∆t=P 1−η

η

cs · C

∆T =5 · 108W · 0,65

0,35

4186 Jkg·K · 5 · 104 kg

s

= 4, 4K

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Page 218: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

218 Scheda9. Termodinamica: soluzioni

Problema di: Termodinamica - QT0003

Testo [QT0003] [2 3 ] Una macchina termica di rendimento η = 0, 2 viene utiliz-zata come frigorifero per raffreddare una massam = 2 kg di acqua dalla temperaturainiziale Ti = 20 C alla temperatura finale Tf = 4 C. Quanto lavoro impiega?

Spiegazione Una macchina frigorifera assorbe calore da un luogo bassa tempera-tura per portarlo in un luogo ad alta temperatura. Dal momento che in natura que-sto fenomeno accadrebbe in modo spontaneo solo al contrario, per poterci riuscirela macchina frigorifera deve assorbire una certa quantità di lavoro dall’esterno. Inquesto caso la macchina frigorifera prende calore dall’acqua, raffreddandola.

Svolgimento Viste le temperature iniziali e finali dell’acqua, l’unico fenomeno ca-lorimetrico che avviene è il raffreddamento, quindi la quantità di calore che bisognaassorbire dall’acqua vale

δQ = csm∆T = 4186J

kgK· 2 kg · (−16C) = 133952J

A questa energia di deve sommare il lavoro assorbito dalla macchina termica persapere quanto calore viene fornito al luogo con temperatura alta. Avremo quindi

η =δL

δL+ δQ

δL = ηδL+ ηδQ

(1− η) δL = ηδQ

δL =η

1− ηδQ

δL = 33488 J

La formula finale per questo esercizio, per non fare calcoli intermedi, risultaessere

δL = csm∆Tη

1− η

Autore: Andrea de Capoa 21 Nov 2016

Page 219: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

219 Scheda9. Termodinamica: soluzioni

Problema di: Termodinamica - QT0004

Testo [QT0004] [2 3 ] Una macchina termica di rendimento η = 0, 2 viene utiliz-zata come frigorifero per raffreddare una massam = 2 kg di acqua dalla temperaturainiziale Ti = 20 C alla temperatura finale Tf = −18 C. Quanto lavoro impiega?

Spiegazione Una macchina frigorifera assorbe calore da un luogo bassa tempera-tura per portarlo in un luogo ad alta temperatura. Dal momento che in natura que-sto fenomeno accadrebbe in modo spontaneo solo al contrario, per poterci riuscire lamacchina frigorifera deve assorbire una certa quantità di lavoro dall’esterno. In que-sto caso la macchina frigorifera prende calore dall’acqua, raffreddandola e facendolacongelare.

Svolgimento Viste le temperature iniziali e finali dell’acqua, i due fenomeni calori-metrici che avviengono sono il raffreddamento e la solidificazione, quindi la quantitàdi calore che bisogna assorbire dall’acqua vale

δQraffr = csm∆T = 4186J

kgK· 2 kg · (38C) = 318136J

δQsolid = Qlatfus ·m = 335kJ

kg· 2 kg = 670 kJ

Il calore totale da sottrarre all’acqua è quindi

δQ = δQraffr + δQsolid = 988136 J

A questa energia di deve sommare il lavoro assorbito dalla macchina termica persapere quanto calore viene fornito al luogo con temperatura alta. Avremo quindi

η =δL

δL+ δQ

δL = ηδL+ ηδQ

(1− η) δL = ηδQ

δL =η

1− ηδQ

δL = 247034 J

La formula finale per questo esercizio, per non fare calcoli intermedi, risultaessere

∆L = m(csm∆T +Qlatfus

) η

1− η

Autore: Andrea de Capoa 21 Nov 2016

Page 220: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

220 Scheda9. Termodinamica: soluzioni

Problema di: Termodinamica - QT0005

Testo [QT0005] [3 5 ] Una macchina termica di rendimento η = 0, 2 e potenzaP = 100W viene utilizzata come frigorifero per raffreddare una massa m = 2 kg

di acqua dalla temperatura iniziale Ti = 20 C alla temperatura finale Tf = 4 C.Quanto tempo ci impiega?

Spiegazione Una macchina frigorifera assorbe calore da un luogo bassa tempera-tura per portarlo in un luogo ad alta temperatura. Dal momento che in natura que-sto fenomeno accadrebbe in modo spontaneo solo al contrario, per poterci riuscirela macchina frigorifera deve assorbire una certa quantità di lavoro dall’esterno. Inquesto caso la macchina frigorifera prende calore dall’acqua, raffreddandola.

Svolgimento Viste le temperature iniziali e finali dell’acqua, l’unico fenomeno ca-lorimetrico che avviene è il raffreddamento, quindi la quantità di calore che bisognaassorbire dall’acqua vale

δQ = csm∆T = 4186J

kgK· 2 kg · (−16C) = 133952J

A questa energia di deve sommare il lavoro assorbito dalla macchina termica persapere quanto calore viene fornito al luogo con temperatura alta. Avremo quindi

η =δL

δL+ δQ

δL = ηδL+ ηδQ

(1− η) δL = ηδQ

δL =η

1− ηδQ

δL = 33488 J

Della macchina termica noi conosciamo la potenza, quindi

∆t =δL

P= 334, 88 s

La formula finale per questo esercizio, per non fare calcoli intermedi, risultaessere

∆t =η

1− ηcsm∆T

P

Autore: Andrea de Capoa 21 Nov 2016

Page 221: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

221 Scheda9. Termodinamica: soluzioni

Problema di: Termodinamica - QT0006

Testo [QT0006] [3 4 ] Una macchina termica di rendimento η = 0, 2 e potenzaP = 100W viene utilizzata come frigorifero per raffreddare una massa m = 2 kg diacqua dalla temperatura iniziale Ti = 20 C alla temperatura finale Tf = −18 C.Quanto tempo ci impiega?

Spiegazione Una macchina frigorifera assorbe calore da un luogo bassa tempera-tura per portarlo in un luogo ad alta temperatura. Dal momento che in natura que-sto fenomeno accadrebbe in modo spontaneo solo al contrario, per poterci riuscire lamacchina frigorifera deve assorbire una certa quantità di lavoro dall’esterno. In que-sto caso la macchina frigorifera prende calore dall’acqua, raffreddandola e facendolacongelare.

Svolgimento Viste le temperature iniziali e finali dell’acqua, i due fenomeni calori-metrici che avviengono sono il raffreddamento e la solidificazione, quindi la quantitàdi calore che bisogna assorbire dall’acqua vale

δQraffr = csm∆T = 4186J

kgK· 2 kg · (38C) = 318136J

δQsolid = Qlatfus ·m = 335kJ

kg· 2 kg = 670 kJ

Il calore totale da sottrarre all’acqua è quindi

δQ = δQraffr + δQsolid = 988136 J

A questa energia di deve sommare il lavoro assorbito dalla macchina termica persapere quanto calore viene fornito al luogo con temperatura alta. Avremo quindi

η =δL

δL+ δQ

δL = ηδL+ ηδQ

(1− η) δL = ηδQ

δL =η

1− ηδQ

δL = 247034 J

Della macchina termica noi conosciamo la potenza, quindi

∆T =δL

P= 2470, 34 s

La formula finale per questo esercizio, per non fare calcoli intermedi, risultaessere

∆T =η

1− ηm(csm∆T +Qlatfus

)P

Autore: Andrea de Capoa 21 Nov 2016

Page 222: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

222 Scheda9. Termodinamica: soluzioni

Problema di: Dinamica - LT0001

Testo [LT0001] [2 5 ] Una macchina termica funziona con un ciclo di Carnot trale temperature Tb = 20C e Ta = 600C. Tale macchina brucia una massa m = 100 g

di benzina dal potere calorifico C = 43, 6 · 106 Jkg , per sollevare un peso M = 10 kg.

Di quanto si riesce a sollevare tale peso?

Spiegazione Una macchina termica serve per convertire parte del calore assorbitoin lavoro. In questo esercizio il lavoro prodotto viene utilizzato per sollevare un pesodi una certa altezza.

Svolgimento In questo esercizio calcoleremo nell’ordine:

1. Il calore assorbito che deriva dalla combustione della benzina

2. Il rendimento del ciclo di Carnot

3. Il lavoro prodotto dalla macchina

4. l’altezza di cu si è sollevato il peso

δQass = m · C = 4, 36 J

η = 1− TbTa

= 1− 293, 15K

873, 15K= 0, 687

δL = η · δQass = 2, 996 J

Questo lavoro va ad aumentare l’energia potenziale gravitazionale del peso, quin-di scriveremo

δL = mg∆h

da cui∆h =

δL

mg=

2, 996 J

10 kg · 9, 8 ms2

= 30, 6 cm

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Problema di: Fluidodinamica - Termodinamica - FT0001

Testo [FT0001] [2 3 ] Un subacqueo con capacità polmonare Vi = 5 dm3 sta perandare a hf = −30m di profondità sul livello del mare. Quanti litri d’aria si troverànei polmoni a quella profondità?

Spiegazione Mente il subacqueo cala in profondità, per la legge di Stevin la pres-sione a cui è sottoposto aumenta. L’aria nei suoi polmoni viene quindi compressa, equesto accade a temperatura costante, visto che i corpo di un uomo mantiene semprela temperatura costante.

Svolgimento Cominciamo con il calcolarci a quale pressione l’uomo viene sotto-posto raggiunta la profondità prevista. Per la legge di Stevin

Pf = Pi − ρg (hf − hi)

Pf = 100000Pa− 1030kg

m3· 9, 8 m

s2· (−30m− 0m) = 402820Pa

Teniamo adesso conto che il gas nei polmoni subisce una trasfornazione isoterma,per cui

PfVf = NKT

PiVi = NKT

e quindiPfVf = PiVi

Vf =PiViPf

Vf =100000Pa · 5 dm3

402820Pa= 1, 24 dm3

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Page 223: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

Scheda 10Fenomeni ondulatori: soluzioniProblema di: Fenomeni Ondulatori - O0001

Testo [O0001] [1 1 ] Calcola l’angolo limite per riflessione totale per un raggioluminoso che passa dall’acqua all’aria. Gli indici di rifrazione di acqua e aria sonorispettivamente nH2O = 1.33 e naria ∼ 1

Spiegazione Nel passaggio da un materiale ad un’altro la luce cambia la sua velo-cità e quindi cambia direzione di propagazione. Nel passaggio dall’acqua all’aria ilraggio luminoso cambia direzione di propagazione aumentando l’angolo che formacon la perpendicolare alla superficie di separazione tra aria e acqua. L’angolo di inci-denza della luce è quindi, in questo caso, minore dell’angolo di rifrazione. Visto cheil massimo valore per l’angolo di rifrazione è r = 90, in corrispondenza di questovalore si trova il valore dell’angolo limite di incidenza oltre il quale non può esistereil raggio rifratto.

Svolgimento A partire dalla legge di Snell, per un raggio luminoso che passa dal-l’acqua all’aria, impongo che il valore dell’angolo di rifrazione sia r = 90.

sen(i)

sen(90)=VacquaVaria

sen(i) =1

1, 33

i = arcsen(0, 752) = 48, 75

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Problema di: Fenomeni Ondulatori - O0002

Testo [O0002] [1 3 ] Costruisci l’immagine di un oggetto generata da una lentesferica convergente, sia nel caso che l’oggetto si trovi tra la lente ed il fuoco, sia nelcaso che si trovi oltre il fuoco.

Spiegazione Ogni lente crea un’immagine degli oggetti intorno ad essa. Le leggidell’ottica geometrica mi permettono di costruire geometricamente tale immagine.

Svolgimento Lo schema delle ottiche è il seguente:

Una volta disegnati la lente, il suo asse ottico, i due fuochi e l’oggetto, doveteseguire il percorso di due raggi luminosi che partono dallo stesso punto dell’oggetto.

223

Page 224: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

224 Scheda10. Fenomeni ondulatori: soluzioni

Il primo, parallelo all’asse ottico, attraversando la lente viene deviato verso il fuocodella lente; il secondo, passando per il centro della lente, prosegue in linea retta. Idue raggi luminosi, oppure i loro prolungamenti, si incontrano nel punto in cui siforma l’immagine. Disegnando l’oggetto alla sinistra della lente avremo quindi:

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Problema di: Fenomeni Ondulatori - O0003

Testo [O0003] [1 1 ] L’eco di un forte urlo viene percepito dalla persona che haurlato dopo un intervallo di tempo ∆t = 0, 2 s. Sapendo che il suono in aria viaggiaalla velocità Vs = 344 m

s , quanto è distante la parete sulla quale il suono si è riflesso?

Spiegazione L’eco altro non è se non la riflessione di un suono. La persona che staurlando emette un suono che raggiunge la parete di fronte alla persona e poi tornaindietro fino alle orecchie della stessa persona.

Svolgimento Il suono in questo esercizio si sta muovendo sempre nell’aria, e viag-gia quindi con velocità costante. Lo spazio percorso dal suono è pari al doppiodella distanza della persona dalla parete, quindi, utilizzando l’equazione del motorettilineo uniforme:

2d = Vs∆t

d =Vs∆t

2=

344 ms · 0, 2 s2

= 34, 4m

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Page 225: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

225 Scheda10. Fenomeni ondulatori: soluzioni

Problema di: Fenomeni Ondulatori - O0004

Testo [O0004] [1 1 ] Un suono emesso da un altoparlante viene percepito dauna persona ad una distanza r1 = 20m con un’intensità I1 = 120 J

m2s . con qualeintensità verrà invece percepito da una persona alla distanza r2 = 30m?

Spiegazione Il suono emesso dall’altoparlante si propaga nell’aria con un fronted’onda sferico. L’intensità dell’onda, durante la sua propagazione, diminuisce infunzione del quadrato della distanza percorsa secondo la legge

I2I1

=r21

r22

Infatti l’energia complessiva dell’onda, che assumiamo costante, man mano chel’onda si propaga sidistribuisce lungo un fronte d’onda rappresentato da una super-ficie sferica il cui valore dipende appunto dal quadrato del raggio della sfera.

Svolgimento Utilizzando l’opportuna formula avremo semplicemente:

I2I1

=(r1)

2

(r2)2

I2 =(r1)

2

(r2)2 I1 =

400m2

900m2· 120

J

m2s= 53.33

J

m2s

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Problema di: Fenomeni Ondulatori - O0005

Testo [O0005] [1 2 ] Quanto vale la terza frequenza di risonanza su di unacorda, fissata ai due estremi, lunga l = 6m, sulla quale le onde viaggiano alla velocitàV = 50 m

s ? Disegna l’onda sulla corda.

Spiegazione Su di una corda fissata ai due estremi solo alcune onde si possonopropagare. Visto che i due estremi sono fissi, devono coincidere con i nodi dell’ondastazionaria, per cui la lunghezza della corda deve essere un multiplo intero dellasemilunghezza d’onda.

Svolgimento La lunghezza d’onda dell’ennesima onda stazionaria su di una cordafissata agli estremi vale

λn =2l

n= 4m

La frequenza dell’ennesima onda stazionaria su di una corda fissata agli estremi vale

νn =V

λn= 12, 5Hz

Il disegno dell’onda sulla corda è

λ = 2l3

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Page 226: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

226 Scheda10. Fenomeni ondulatori: soluzioni

Problema di: Fenomeni Ondulatori - O0006

Testo [O0006] [1 1 ] Un suono emesso da un altoparlante viene percepito daAndrea ad una distanza rA = 20m con un’intensità IA = 120 J

m2s . Marco si trovaalla distanza d = 5m da Andrea, sulla line tra Andrea e l’altoparlante. Con qualeintensità il suono verrà percepito da Marco?

Spiegazione Il suono emesso dall’altoparlante si propaga nell’aria con un fronted’onda sferico. L’intensità dell’onda, durante la sua propagazione, diminuisce infunzione del quadrato della distanza percorsa secondo la legge

I2I1

=r21

r22

Infatti l’energia complessiva dell’onda, che assumiamo costante, man mano chel’onda si propaga si distribuisce lungo un fronte d’onda rappresentato da una super-ficie sferica il cui valore dipende appunto dal quadrato del raggio della sfera.

Svolgimento Utilizzando l’opportuna formula avremo semplicemente:

IMIA

=r2A

r2M

IM =r2A

r2M

IA

La distanza a cui Marco si trova dalla sorgente è

rM = rA − d = 15m

IM =400m2

225m2· 120

J

m2s= 213.33

J

m2s

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Problema di: Fenomeni Ondulatori - O0007

Testo [O0007] [1 1 ] Un suono emesso da un altoparlante viene percepito daAndrea ad una distanza rA = 20m con un’intensità IA = 120 J

m2s . Dietro ad Andreail suono prosegue ed incontra un muro alla distanza d = 40m dalla sorgente, riflet-tendosi su di esso e raggiungendo nuovamente Andrea. Con quale intensità Andreasente il suono riflesso?

Spiegazione Il suono emesso dall’altoparlante si propaga nell’aria con un fronted’onda sferico. L’intensità dell’onda, durante la sua propagazione, diminuisce infunzione del quadrato della distanza percorsa secondo la legge

I2I1

=r21

r22

Tutto il problema si riduce quindi a capire l’esatta lunghezza del percorso fattodal suono.

Svolgimento Definiamo I2 l’intensità del suono riflesso percepito da Andrea; defi-niamo r2 la distanza percorsa dal suono, dalla sorgente fino alla parete e poi ancorafino alla posizione di Andrea. Utilizzando l’opportuna formula avremo semplice-mente:

I2IA

=r2A

r22

La distanza del percorso fatto dal suono riflesso è

r2 = d+ (d− rA) = 60m

I2 =r2A

r22

IA =400m2

3600m2· 120

J

m2s= 13.33

J

m2s

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Page 227: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

227 Scheda10. Fenomeni ondulatori: soluzioni

Problema di: Fenomeni Ondulatori - O0008

Testo [O0008] [1 2 ] Un oggetto è posto ad una distanza da una lente sfericaconvergente tale per cui l’immagine generata risulta di dimensioni doppie rispet-to all’oggetto. Sapendo che la distanza focale della lente vale f = 30 cm, a qualedistanza dalla lente si trova l’oggetto?

Spiegazione Ogni lente crea un’immagine degli oggetti intorno ad essa. Le leggidell’ottica geometrica mi permettono di costruire geometricamente tale immagine.L’immagine risulta ingrandita o rimpicciolita a seconda di dove si trova l’oggettorispetto al fuoco della lente.

Svolgimento Per una lente convergente, la formula dell’ingrandimento ottenuto è

G =f

f − p

da cui

G · (f − p) = f

Gf −Gp = f

Gp = Gf − f

p =f · (G− 1)

G

Calcolando adesso p otteniamo

p =30 cm · (2− 1)

2= 15 cm

L’immagine risulterà virtuale.

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Problema di: Fenomeni Ondulatori - O0009

Testo [O0009] [1 2 ] Un oggetto è posto di fronte ad una lente convergente aduna distanza p = 20 cm. La distanza focale della lente è f = 15 cm. A quale distanzadalla lente si forma l’immagine? Quanto vale il fattore di ingrandimento?

Spiegazione Ogni lente crea un’immagine degli oggetti intorno ad essa. Le leggidell’ottica geometrica mi permettono di costruire geometricamente tale immagine.L’immagine risulta ingrandita o rimpicciolita a seconda di dove si trova l’oggettorispetto al fuoco della lente. Vale la legge dei punti coniugati, che mette in relazionela distanza dell’oggetto dalla lente, la distanza focale e la distanza dell’immaginedalla lente.

Svolgimento Per una lente convergente, la formula dell’ingrandimento ottenuto è

G =f

f − p=

15 cm

15 cm− 20 cm= −3

L’immagine risulta capovolta ed ingrandita del triplo. Utilizzando adesso lalegge dei punti coniugati per trovare la distanza q dell’immagine dalla lente

1

p+

1

q=

1

f

1

q=

1

f− 1

p

1

q=p− ffp

q =fp

p− f=

15 cm · 20 cm

20 cm− 15 cm= 60 cm

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Page 228: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

228 Scheda10. Fenomeni ondulatori: soluzioni

Problema di: Fenomeni Ondulatori - O0010

Testo [O0010] [1 2 ] Calcola la velocità di un’onda su una corda fissata ai dueestremi e lunga l = 12m, sapendo che la quinta frequenza di risonanza è ν5 = 9Hz?Disegna l’onda sulla corda.

Spiegazione Su di una corda fissata ai due estremi solo alcune onde si possonopropagare. Visto che i due estremi sono fissi, devono coincidere con i nodi dell’ondastazionaria, per cui la lunghezza della corda deve essere un multiplo intero dellasemilunghezza d’onda.

Svolgimento La lunghezza d’onda dell’ennesima onda stazionaria su di una cordafissata agli estremi vale

λn =2l

n

λ5 =2l

5= 4, 8m

La velocità dell’onda stazionaria sulla corda fissata agli estremi vale

V = λ5ν5 = 43, 2m

s

Il disegno dell’onda sulla corda è

λ = 2l5

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Problema di: Onde - O0011

Testo [O0011] [1 4 ]

1. Cos’è un’onda?

2. Indica la differenza tra onde trasversali ed onde longitudinali

3. Indica la differenza tra onde meccaniche ed onde elettromagnetiche

4. Disegna un’onda ed indicane tutte le variabili che la descrivono

Spiegazione Queste sono domande di teoria... o le sai o le devi ripassare

Svolgimento

1. Un’onda è un movimento di energia.

2. In un’onda trasversale l’oscillazione avviene su di una linea perpendicolarealla direzione di propagazione dell’onda, per le onde longitudinali tale oscilla-zione è parallela alla direzione di propagazione dell’onda.

3. Un’onda meccanica è data dall’oscillazione del mezzo entro il quale si propaga;in un’onda elettromagnetica ciò che oscilla è un campo elettromagnetico e nonil materiale entro cui l’onda si propaga

4. Le variabili che descrivono un’onda sono:

(a) l’ampiezza (il massimo valore dell’oscillazione)

(b) la frequenza (il numero di oscillazioni al secondo)

(c) la lunghezza d’onda (la distanza tra un picco ed il picco successivo)

(d) la velocità (il numero di metri al secondo)

(e) il periodo (la durata di una oscillazione)

(f) l’intensità (l’energia che incide su di una certa superficie in un certo inter-vallo di tempo)

Page 229: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

229 Scheda10. Fenomeni ondulatori: soluzioni

λ

A ~V

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Problema di: Onde - O0012

Testo [O0012] [1 1 ] Un raggio di luce passa dall’aria all’acqua con un angolodi incidenza i = 45. L’indice di rifrazione dell’aria è naria = 1, 0003, mentre quellodell’acqua è n

H2O= 1, 33. Con quale angolo di rifrazione il raggio entra nell’acqua?

Spiegazione Semplicemente il fenomeno della rifrazione

Svolgimentosin(r)

sin(i)=narianH2O

sin(r) =1, 0003

1, 33·√

(2)

2= 0, 53182

r = arcsin(0, 53182) = 32, 13

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Page 230: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

230 Scheda10. Fenomeni ondulatori: soluzioni

Problema di: Onde - O0013

Testo [O0013] [1 4 ] Rispondi alle seguenti domande:

1. Cos’è un’onda? Quali tipi di onde conosci?

2. Da cosa dipende la velocità di un’onda?

3. Elenca, spiegandone il significato, le grandezze fisiche con cui descriviamoun’onda.

Spiegazione Queste sono domande di teoria... se non le sai ripassa la teoria

Svolgimento

1. Un’onda è un movimento di energia. Le onde si dividono in meccaniche (so-no l’oscillazione del materiale in cui si propagano) ed elettromagnetiche (sonol’oscillazione di un campo elettromagnetico). Le onde si dividono anche intrasversali e longitudinali, a seconda che l’oscillazione delle molecole sia per-pendicolare o parallela alla direzione di propagazione dell’onda.

2. La velocità di un’onda dipende dal materiale in cui si propaga. Esiste però ilfenomeno della dispersione della luce, per il quale l’indice di rifrazione ha unalieve dipendenza dalla frequenza dell’onda incidente.

3. Le grandezze fisiche con cui descrivo un’onda sono:

• ampiezza: la massima distanza di una molecola dal punto di equilibrio

• lunghezza d’onda: la lunghezza di un’oscillazione completa

• frequenza: il numero di oscillazioni al secondo

• periodo: la durata diuna singola oscillazione

• velocità: il numero di metri percorsi in un secondo

• intensità: l’energia incidente su una superficie in un intervallo di tempo

Problema di: Onde - O0014

Testo [O0014] [1 4 ] Domande di teoria:

1. Quali fenomeni accadono quando un’onda passa da un materiale ad uno dif-ferente? Elencali e spiegali.

2. Perchè il suono non si può propagare nel vuoto?

3. Cosa vuol dire vedere un oggetto? Perchè al buio non vediamo niente? Perchènon vedo nulla delle cose che stanno dietro ad un muro?

Spiegazione Queste sono domande di teoria... se non le sai ripassa la teoria

Svolgimento

1. I fenomeni che accadono sono due: la riflessione e la rifrazione. L’onda inci-dente si divide in due onde, una riflessa ed una rifratta. L’onda riflessa tornaindietro con un angolo uguale all’angolo di incidenza; l’onda rifratta proseguenel nuovo materiale cambiando angolo.

2. Un suono é l’oscillazione di un materiale. Nel vuoto non c’é nulla e quindinulla puó oscillare; nel vuoto non puó esistere alcun suono.

3. Vedere un oggetto significa ricevere negli occhi la luce di quell’oggetto. Al buionon c’é luce e quindi non ci possono essere immagini. Se tra un oggetto ed inostri occhi c’é un muro, allora l’oggetto non lo vediamo perché la luce vienebloccata dal muro e non arriva ai nostri occhi.

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Page 231: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

231 Scheda10. Fenomeni ondulatori: soluzioni

Problema di: Onde - O0015

Testo [O0015] [1 2 ] Un raggio di luce verde (ν = 6 · 1014Hz) attraversa per-pendicolarmente una lastra di vetro con indice di rifrazione n = 1, 4. Sapendo chela lastra di vetro è spessa d = 3mm, quante oscillazioni compie il raggio luminosonell’attraversare tale lastra?

Spiegazione Il problema parla di un raggio di luce e, dicendoci che è verde, ci for-nisce il valore della sua frequenza. Conoscendo poi l’indice di rifrazione del vetro, difatto conosciamo la velocità della luce in quel vetro. Possiamo quindi determinare lalunghhezza d’onda di quella luce nel vetro. Sapendo lo spessore del vetro possiamoinfine determinare quante volte tale lunghezza d’onda è contenuta nello spessore delvetro.

Svolgimento La velocità della luce nel vetro è

V =c

n=

299792458 ms

1, 4= 214137470

m

s

La lunghezza d’onda della luce è

λ =V

ν=

214137470 ms

6 · 1014Hz= 3, 57 · 10−7m = 357nm

Il numero di oscillazioni complete fatte dall’onda nell’attraversare il vetro è quindi

n =d

λ= 8403

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Problema di: Fenomeni Ondulatori - O0016

Testo [O0016] [1 1 ] Costruisci l’immagine di un oggetto generata da una lentesferica divergente. Indica se l’immagine è dritta e se è reale.

Spiegazione Ogni lente crea un’immagine degli oggetti intorno ad essa. Le leggidell’ottica geometrica mi permettono di costruire geometricamente tale immagine.

Svolgimento Lo schema dell’ottica è il seguente:

F

F

p f

q

Fig. 10.1: Costruzione dell’immagine di una lente divergente. Con F sono indicati i fuochi della lente, con f ladistanza focale, con p la distanza dell’oggetto dalla lente, con q la distanza dell’immagine dalla lente. L’immaginerisulta dritta e virtuale.

Una volta disegnati la lente, il suo asse ottico, i due fuochi e l’oggetto, dovete se-guire il percorso di due raggi luminosi che partono dallo stesso punto dell’oggetto.Il primo, parallelo all’asse ottico, attraversando la lente viene deviato e diverge comese provenisse dal fuoco della lente; il secondo, passando per il centro della lente, pro-segue in linea retta. I due raggi luminosi, oppure i loro prolungamenti, si incontranonel punto in cui si forma l’immagine. Avremo un’immagine dritta e virtuale.

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Page 232: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

232 Scheda10. Fenomeni ondulatori: soluzioni

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Problema di: Fenomeni Ondulatori - O0017

Testo [O0017] [2 2 ] Un’asticella lunga l = 150 cm, oscilla con un’estremo fis-so l’altro libero. La velocità di un’onda nell’asticella è V = 24 m

s . Calcola la terzafrequenza di risonanza dell’asticella.

Spiegazione Un’asticella che viene fatta oscillare mantenendola fissa ad uno de-gli estremi, oscilla in modo stazionario mantenendo un nodo (assenza di oscillazio-ne) sul punto fisso ed un ventre (massima oscillazione) nel punto libero dalla parteopposta. Solo le onde della lunghezza d’onda giusta.

Svolgimento Per un’asticella bloccata ad un estremo e lasciata libera all’altro, laprima frequenza di risonanza si ottiene quando l’onda ha una lunghezza d’ondapari a quattro volte la lunghezza dell’asticella.

λ1 = 4 l

La seconda frequenza di risonanza si ottiene quando l’onda ha una lunghezzad’onda pari a quattro terzi della lunghezza dell’asticella.

λ2 =4

3l

La terza frequenza di risonanza si ottiene quando l’onda ha una lunghezza d’on-da pari a quattro quinti della lunghezza dell’asticella.

λ3 =4

5l

La terza frequenza di risonanza è quindi

ν3 =V

λ3=

24 ms

45 · 1, 5m

= 20Hz

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Page 233: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

233 Scheda10. Fenomeni ondulatori: soluzioni

Problema di: Fenomeni Ondulatori - O0018

Testo [O0018] [1 2 ] Sapendo che gli indici di rifrazione di aria e acqua sonorispettivamente na = 1, 00029 e n

H2O= 1, 33 calcola lo spessore di aria che un rag-

gio di luce deve attraversare per impiegare lo stesso tempo che impiegherebbe adattraversare uno spessore ∆L

H2O= 20 cm.

Spiegazione In questo esercizi abbiamo due raggi di luce che si muovono in duemateriali differenti. La velocità della luce dipende solo dal materiale in cui si pro-paga; quindi i due raggi luminosi viaggiano con velocità costante di moto rettilineouniforme. Per risolvere il problema è sufficiente imporre la condizione per cui i dueraggi luminosi impiegano lo stesso tempo a fare il loro percorso.

Svolgimento Sappiamo che la velocità della luce in un certo materiale è V = cn

dove c è la velocità della luce nel vuoto e n è l’indice di rifrazione della luce.Il tempo impiegato dalla luce ad attraversare uno strato ∆L di acqua è

∆tH2O

=∆L

VH2O

=∆L

cnH2O

Analogalmente per l’aria

∆taria =∆S

Varia=

∆S

cnaria

dove ∆S è la lunghezza del percorso della luce nell’aria. Avremo che

∆S

cnaria =

∆L

cnH2O

∆S = ∆LnH2O

naria= 26, 6 cm

Autore: Andrea de Capoa 29 Feb 2016

Problema di: Onde - O0019

Testo [O0019] [1 4 ] Rispondi alle seguenti domande:

1. Quali differenze ed analogie ci sono tra la luce visibile, i gaggi X con cui fai unalastra e le onde radio per le telecomunicazioni?

2. Perchè d’estate preferisco indossare vestiti bianchi e non neri?

3. Come mai d’estate in generale le temperature sono alte, mentre d’inverso ingenerale le temperature sono basse?

4. Qual’è la principale differenza tra la luce diffusa da un muro e la luce riflessada uno specchio?

Spiegazione Queste sono domande di teoria... se non le sai ripassa la teoria

Svolgimento

1. Le onde elencate sono tutte onde elettromagnetiche e sono quindi la stessa co-sa; l’unica differenza è il valore della loro frequenza. Elencate in ordine difrequenza le onde elettromagnetiche sono: onde radio, microonde, infrarossi,luce visibile, ultravioletti, raggi X, raggi gamma.

2. Un oggetto è nero se assorbe tutti i raggi luminosi che incidono su di esso,trasformando la loro energia in calore. UN oggetto è bianco quando riflettetutta la radiazione luminosa incidente. Se mi vesto di nero in una giornatacalda avrò molto più caldo di quanto ne avrei vestendomi di bianco.

3. D’estate, rispetto a quanto accade di inverno, i raggi luminosi tendono ad illu-minare una superficie inferiore di quanto illuminano durente l’inverno. L’in-tensità luminosa sul terreno è quindi maggiore, con un conseguente riscalda-mento del materiale illuminato

4. La luce diffusa, dopo essere stata assorbita dal muro, vene riemessa in tuttele direzioni. La luce riflessa da uno specchio, invece, ritorna dindietro con unangolo di riflessione ben determinato e quindi con una direzione unica.

Page 234: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

234 Scheda10. Fenomeni ondulatori: soluzioni

Autore: Andrea de Capoa 3 mar 2016

Problema di: Onde - O0020

Testo [O0020] [1 3 ] Rispondi alle seguenti domande.

1. Indica quale grandezza fisica dell’onda determina: il colore della luce visibile;la luminosità della luce visibile; il volume di un suono; la tonalità del suono?

2. Con un puntatore laser indico un punto su di un muro. Tutti nella stanza ve-dono quel punto. Sto parlando di un fenomeno di riflessione o di diffusione?Perchè?

3. Descrivi un fenomeno fisico in cui sia presente l’effetto Doppler.

Spiegazione In questo esercizio vengono presentate due domande di teoria percui bisogna semplicemente studiare l’argomento, ed una situazione in cui bisognaapplicare i concetti studiati.

Svolgimento

1. Parlando del suono, la frequenza ne indica la tonalità, l’ampiezza ne indica ilvolume. Per la luce, la frequenza ne indica il colore, l’ampiezza ne indica laluminosità.

2. La luce del puntatore laser arriva su di un punto del muro e viene poi vista datutte le persone della stanza. Questo vuol dire che da quel punto la luce si èpropagata in tutte le direzioni, quindi si parla del fenomeno della diffuzione

3. Qunado sentiamo il suono della sirena di un’ambulanza, lo sentiamo acutose l’ambulanza si avvicina a noi, mentre lo sentiamo basso se l’ambulanza siallontana da noi. Allo stesso modo, quando guardiamo la luce proveniente dauna stella, tale luce è un po’ più blu se la stella si avvicina a noi, mentre lavediamo un po’ più rossa se la stella si sta allontanando.

Autore: Andrea de Capoa 10 Mar 2016

Page 235: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

235 Scheda10. Fenomeni ondulatori: soluzioni

Problema di: Onde - O0021

Testo [O0021] [1 6 ] Rispondi alle seguenti domande.

1. Immaginiamo di irradiare la superficie di un metallo con un fascio di luce mo-nocromatica. L’energia dei singoli fotoni è E = 5, 0 · 10−19 J . Il lavoro diestrazione è Ψ = 3, 6 · 10−19 J . Quale delle seguenti affermazioni è vera?

(a) Dal metallo non escono elettroni

(b) Dal metallo escono elettroni con energia cinetica nulla

(c) Dal metallo escono elettroni con energia cinetica Ec = 1, 4 · 10−19 J

(d) Dal metallo escono elettroni con energia cinetica Ec = 6, 4 · 10−19 J

2. In una fibra ottica monomodale un segnale viene attenuato man mano che sipropaga lungo la fibra stessa. Quale di questi fattori NON determina un’atte-nuazione del segnale?

(a) La presenza di impurità all’interno della fibra

(b) La presenza di curve nel percorso della fibra

(c) La presenza di interconnessioni tra fibre

(d) La scelta dei valori degli indici di rifrazione del nucleo e del mantello dellafibra

3. Un raggio luminoso passa da un materiale con indice di rifrazione n1 = 1, 41

verso un materiale con indice di rifrazione n2. Affinchè possa esserci riflessionetotale quali delle seguenti affermazioni è vera?

(a) n2 sia minore di n1

(b) n2 sia maggiore di n1

(c) n2 sia uguale a n1

(d) n2 può assumere qualunque valore.

4. Riguardo ai fenomeni della fluorescenza e della fosforescenza, indica qualedelle seguenti affermazioni è FALSA:

(a) Il fenomeno della fluorescenza non ha la stessa durata del fenomeno dellafosforescenza

(b) Entrambi i fenomeni iniziano con il salto energetico di un elettrone da unlivello energetico inferiore ad uno superiore.

(c) A differenza della fluorescenza, il fenomeno della fosforescenza coinvolgeanche le cariche elettriche del nucleo dell’atomo.

(d) In entrambi i fenomeni la radiazione luminosa emessa ha energia inferioredella radiazione eccitante iniziale

Spiegazione In questo esercizio vengono presentate domande di teoria per cuibisogna semplicemente studiare l’argomento.

Svolgimento

1. Immaginiamo di irradiare la superficie di un metallo con un fascio di lucemonocromatica. l’energia dei singoli fotoni è E = 5, 0 · 10−19 J . Il lavoro diestrazione è Ψ = 3, 6 · 10−19 J . Quale delle seguenti affermazioni è vera?

(a) Dal metallo escono elettroni con energia cinetica Ec = 1, 4 · 10−19 J

2. In una fibra ottica monomodale un segnale viene attenuato man mano che sipropaga lungo la fibra stessa. Quale di questi fattori NON determina un’atte-nuazione del segnale?

(a) La scelta dei valori degli indici di rifrazione del nucleo e del mantello dellafibra

3. Un raggio luminoso passa da un materiale con indice di rifrazione n1 = 1, 41

verso un materiale con indice di rifrazione n2. Affinchè possa esserci riflessionetotale quali delle seguenti affermazioni è vera?

(a) n2 sia minore di n1

4. Riguardo ai fenomeni della fluorescenza e della fosforescenza, indica qualedelle seguenti affermazioni è FALSA:

Page 236: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

236 Scheda10. Fenomeni ondulatori: soluzioni

(a) A differenza della fluorescenza, il fenomeno della fosforescenza coinvolgeanche le caiche elettriche del nucleo dell’atomo.

Autore: Andrea de Capoa 10 Mar 2016

Problema di: Onde - O0022

Testo [O0022] [2 4 ] Da una lastra di zinco irradiata con luce ultravioletta,vengono estratti degli elettroni. Il lavoro di estrazione degli elettroni dallo zincoè L = 6, 84 · 10−19 J . Calcolare il valore della frequenza di soglia della radiazio-ne incidente. Calcolare inoltre la velocità degli elettroni estratti da una radiazioneincidente di lunghezza d’onda λ = 271nm

Spiegazione Un elettrone all’interno di un metallo riceve energia da un quanto diradiazione elettromagnetica. Uscito dal metallo, l’elettrone avrà un’energia cineticapari all’energia ricevuta meno l’energia utilizzata nel processo di estrazione.

Svolgimento L’energia minima del fotone che è in grado di estrarre un elettrone èesprimibile con la formula

hν = L

e quindi

ν =L

h=

6, 84 · 10−19 J

6, 626 · 10−34 Js= 1, 03 · 1015Hz

L’energia dell’elettrone estratto da una radiazione di lunghezza d’onda λ = 271nm

sarà

Ec =h

λ− L =

6, 626 · 10−34 Js · 299792458 ms

271 · 10−9m− 6, 84 · 10−19 J = 0, 49 · 10−19 J

La sua velocità sarà quindi

V =

√2E

m=

√2 · 0, 49 · 10−19 J

9, 1 · 10−31 kg= 328159

m

s

Autore: Andrea de Capoa 10 Mar 2016

Page 237: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

237 Scheda10. Fenomeni ondulatori: soluzioni

Problema di: Onde - O0023

Testo [O0023] [1 5 ] Dopo aver brevemente illustrato le caratteristiche del mo-dello atomico di Bohr, calcolare la frequenza della radiazione emessa da un atomocorrispondente alla terza riga della serie di Balmer.

Spiegazione In questo problema si chiede di descrivere brevemente il modello ato-mico di Bohr in modo da giustificare la struttura della formula utilizzata per risolverel’esercizio.

Svolgimento Il modello atomico di Bohr prevede l’esistenza di orbite circolari quan-tizzate per gli elettroni intorno al nucleo. Le variazioni di energia degli elettroni al-l’interno del nucleo corrispondono a salti degli elettroni da un’orbita all’altra. Di quisi giustifica sia la stabilità degli atomi, sia gli spettri a righe dei vari elementi.

ν =me4

8ε20h3

(1

nf− 1

ni

)

ν =9, 11 · 10−31 kg ·

(1, 60 · 10−19C

)48 ·(8, 85 · 10−12 C2

Nm2

)2 · (6, 63 · 10−34Js)3

(1

25− 1

4

)= 434, 1nm

Autore: Andrea de Capoa 19 Giu 2016

Problema di: Onde - O0024

Testo [O0024] [2 10 ] Una fibra ottica immersa in aria ha le seguenti caratteri-stiche: diametro del nucleo dc = 50µm, indice di rifrazione del nucleo n1 = 1, 527,diametro del mantello dm = 125µm, indice di rifrazione del mantello n2 = 1, 517.Nella fibra si propagano segnali luminosi di lunghezza d’onda λ = 1300nm. De-terminare il numero dei modi di propagazione ed il cono di accettazione. Indicarein modo sintetico perchè la presenza di più modi di propagazione determina unaattenuazione del segnale e come dovrebbe essere modificata la fibra per renderlamonomodale.

Spiegazione In questo esercizio si tratta di una fibra ottica. I dati del problemasono già sufficienti per calcolare le grandezze richieste utilizzando le opportuneformule.

Svolgimento Il cono di accetazione è determinato da

NA =√n2

1 − n22 =

√1, 5272 − 1, 5172 = 0, 1745

Il numero di modi di propagazione è dato da

M =π2d2N2

A

2λ2

M =π2(125µm)2

(1, 5272 − 1, 5172

)2(1, 3µm)2

= 1388

L’attenuazione del segnale è dovuta al fatto che per ogni modo di propagazionela velocità del segnale lungo l’asse della fibra è differente. Durante la propagazionel’impulso luminoso si allarga lungo l’asse della fibra, perdendo quindi di intensità.Stabiliti i materiali di cui è fatta la fibra, per rendere la fibra monomodale è sufficientediminuire il diametro del core in modo tale da rendere M = 1

Autore: Andrea de Capoa 14 Set 2016

Page 238: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

238 Scheda10. Fenomeni ondulatori: soluzioni

Problema di: Onde - O0025

Testo [O0025] [4 5 ] In un tubo a forma di "U" aperto da entrambi i lati è pre-sente dell’acqua. Inizialmente la differenza di livello dell’acqua nei due bracci deltubo è ∆hi = 10 cm. Il tubo è pieno di acqua per una lunghezza L = 1m. Inizial-mente l’acqua è ferma. Calcolate la frequenza con cui il livello dell’acqua cominceràad oscillare all’interno del tubo.

Spiegazione In questo esercizio il livello del liquido nei due bracci del tubo è dif-ferente. Questo significa che il peso della colonna di liquido più alta mette in movi-mento tutto il liquido nel tubo. La coilonna di liquido più alta comincia ad abbassarsimentre quella più alta a sollevarsi. Quando i due livelli sono uguali, il liquido ha as-sunto la massima velocità e continua il suo movimento; il braccio del tubo nel qualela colonna di liquido era inizialmente bassa, adesso contiene una colonna di liquidopiù alta. Si innesca un movimento oscillatorio caratterizzato da una certa frequenzadi oscillazione. Per trovare la frequenza di oscillazione è sufficientre trovare la re-lazione tra l’accelerazione del liquido e l’altezza del dislivello di liquido tra le duecolonne.

Svolgimento Cominciamo con il fissare un sistema di riferimento. Noi sappiamoche il liquido nella posizione iniziale occupa due bracci del tubo. Le due colonnedi liquido sono una più alta dell’altra. Concentriamo la nostra attenzione sui li-velli di liquido nelle due colonne. Durante l’ocillazione il liquido si sposta da unacolonna all’altra; il livello del liquido in ognuna delle due colonne oscilla quindiintorno ad un’altezza che si trova, nell’istante iniziale, a metà altezza tra le due co-lonne. Fissiamo il centro dell’oscillazione del livello del liquido come nostro puntodi riferimento.

Per cui, all’inizio, la colonna più alta si trova all’altezza ∆xi = ∆h2 e quella più

bassa all’altezza ∆xf = −∆h2

Per ottenere l’equazione del moto partiamo da

F = ma

dove m è la massa totale di liquido nel tubo, a è l’accelerazione con cui si muove illiquido nel tubo e F è la forza con cui l’acqua in eccesso da un lato del tubo vienetirata verso il basso. Ciò che innesca il movimento è infatti la forza di gravità; matale forza agisce in verso opposto nei due bracci del tubo, per cui la risultante dellaforza di gravità coincide con la forza che si applica alla sola acqua in eccesso in unlato del tubo.

La forza di gravità che spinge l’acqua nel tubo è quindi soltanto quella che agiscesull’eccesso di acqua in un lato del tubo, per cui

ρ · S · 2∆x · g = ρ · L · S · a

da cui

a =2g

L∆x

L’accelerazione è direttamente proporzionale alla posizione del livello del liqui-do. Questa equazione indica che siamo di fronte ad un moto armonico che prevedeun’oscillazione intorno ad un punto di equilibrio il cui periodo vale

T = 2π

√L

2g

La frequenza è quindi

ν =1

√2g

L

Autore: Andrea de Capoa 14 Set 2016

Page 239: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

239 Scheda10. Fenomeni ondulatori: soluzioni

Problema di: Onde - O0026

Testo [O0026] [1 1 ] Una lampadina ad incandescenza di potenza P = 100W

emette luce in maniera isotropa. Se viene posta al centro di una stanza cubica di latoL = 7m. Quanta energia arriverà in un tempo ∆t = 10min sul soffitto della stanza?

Spiegazione La lampadina emette luce, quindi emette una certa quantità di ener-gia ogni secondo. La difficoltà di questo esercizio è solo nel capire quale frazione deltotale dell’energia emessa incide sul soffitto.

Svolgimento L’energia totale emessa nel tempo indicato dal testo dell’esercizio è

∆E = P ·∆t = 100W · 10min = 100W · 600 s = 60 kJ

Consideriamo adesso che la lampadina si trova nel centro di una stanza cubica.Vista la simmetria della situazione possiamo affermare che ogni lato del cubo prendela stessa quantità di energia, quindi l’energia che incide sul soffitto è data da

∆Esoff =∆E

6= 10 kJ

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Problema di: Onde - O0027

Testo [O0027] [1 4 ] Rispondi alle seguenti domande:

1. Come determini la direzione del raggio riflesso in una riflessione?

2. Che differenza c’è tra riflessione e diffusione?

3. In quale istante avviene la riflessione di un’onda?

4. Nel fenomeno della riflessione, perchè non cambia la velocità dell’onda?

Spiegazione Queste sono domande di teoria sul fenomeno della riflessione. Vannosemplicemente studiate!

Svolgimento

1. Il raggio incidente viene riflesso ad un angolo di riflessione uguale all’angolo diincidenza; inoltre i raggi incidente e riflesso, e la perpendicolare alla superficiedi riflessione si trovano su di uno stesso piano.

2. Nel fenomeno della diffuzione i raggi incidenti vengono riemessi in tutte ledirezioni possibili e non nella sola direzione possibile definita dalle regole dellariflessione.

3. La riflessione avviene nell’istante in cui un’onda prova a cambiare il materialedi propagazione e quindi la sua velocità.

4. L’onda riflessa si trova nello stesso materiale dell’onda incidente, quindi la suavelocità non cambia.

Autore: Andrea de Capoa 20 Feb 2017

Page 240: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

240 Scheda10. Fenomeni ondulatori: soluzioni

Problema di: Onde - O0028

Testo [O0028] [1 4 ] Rispondi alle seguenti domande:

1. Quali fenomeni fisici sono legati al funzionamento di lenti e specchi?

2. Come si forma un’onda stazionaria?

3. Per quale motivo se una persona si sta allontanando da noi, sentiamo la suavoce di un volume minore?

4. In che modo cambia il suono di una sirena se tale sirena si sta avvicinando odallontanando da noi? Per quale motivo?

Spiegazione Queste sono domande di teoria sul fenomeno della riflessione. Vannosemplicemente studiate!

Svolgimento

1. Le lenti funzionano grazie al fenomeno della rifrazione; gli specchi grazie alfenomeno della riflessione.

2. Un’onda stazionaria si forma a causa dell’interferenza di due onde identicheche viaggiano in direzione opposta.

3. L’energia dei suoni che emettiamo si trova su di un fronte d’onda sferico che,avanzando, aumenta la sua superficie. La stessa energia si trova quindi su disuperfici sempre più grandi e quindi l’intensità dell’onda diminuisce. Detta Sla superficie del fronte d’onda, ∆E

∆t la potenza emessa dalla sorgente sonora,l’intensità dell’onda sonora è infatti

I =∆E

S ·∆t

4. A causa dell’effetto Doppler, la frequenza di un’onda viene percepita in mo-do differente a seconda che l’osservatore si stia avvicinando od allontanandodalla sorgente. Quando sorgente ed osservatore si avvicinano, l’osservatore

riceve un’onda di frequenza maggiore rispetto a quella che riceverebbe se fos-se in quiete rispetto alla sorgente. Viceversa nel caso che l’osservatore si stiaallontanando dalla sorgente.

Autore: Andrea de Capoa 20 Feb 2017

Page 241: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

241 Scheda10. Fenomeni ondulatori: soluzioni

Problema di: Fenomeni Ondulatori - O0029

Testo [O0029] [1 1 ] Una nave manda un impulso sonar verso il basso permisurare la profondità del fondale. L’impulso torna alla nave dopo un tempo ∆t =

1, 2 s. Sapendo che il suono in acqua viaggia alla velocità Vs = 1400 ms , quanto è

profondo il fondale?

Spiegazione L’eco altro non è se non la riflessione di un suono. Un sonar mandaun impulso verso il basso che fa eco sul fondale.

Svolgimento Il suono in questo esercizio si sta muovendo sempre nell’acqua, eviaggia quindi con velocità costante. Lo spazio percorso dal suono è pari al dop-pio della prondità del fondale, quindi, utilizzando l’equazione del moto rettilineouniforme:

2h = Vs∆t

h =Vs∆t

2=

1400 ms · 1, 2 s2

= 840m

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Problema di: Onde - O0031

Testo [O0013] [2 2 ] In figura è mostrato lo spettro di frequenze (con le fre-quenze indicate su scala logaritmica) di un suono prodotto da aria che passa in untubo aperto ad entrambe le estremità. Le due linee evidenziate corrispondono allefrequenze ν1 = 829Hz e ν2 = 2088Hz. Sapendo che il suono viaggia ib aria allavelocità V = 340 m

s , quanto è lungo il tubo?

Spiegazione Nel grafico in in fgura sono rappresentati i picchi di maggiore inten-sità per le frequenze di risonanza del tubo. Essendo il tubo aperto ai due lati, l’ondastazionaria che in esso si forma ha un massimo (ventre) su entrambe le aperture. Trauna frequenza di risonanza e la successiva, quindi, ci deve essere una differenza paria mezza lunghezza d’onda. Guardando tutti i picchi presenti nel grafico, si vede chei due segnati indicano la seconda e la quinta frequenza di risonanza. Per la secondafrequenza di risonanza la lunghezza del tubo è pari alla lunghezza d’onda del suono.

Svolgimento Indicando con l’indice n l’ennesima onda di risonanza, avremo

L = λ2 =Vsuonoν2

=340 m

s

829Hz= 0, 41m

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Page 242: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

Scheda 11Elettromagnetismo: soluzioniProblema di: Elettromagnetismo - E0001

Testo [E0001] [2 3 ] Due sfere con carica elettrica C = 10µC sono poste alladistanza d = 30 cm. Calcolare la forza con la quale le sfere si respingono quando sonoin quiete e quando si muovono parallelamente con velocità costante V = 90000kms .

Spiegazione Le due sfere cariche si respingono tra loro a causa della forza di Cou-lomb. Quando poi le due cariche si muovono, generano un campo magnetico; ognu-na delle due cariche si muove quindi nel campo magnetico generato dall’altra, equindi subisce una forza magnetica. Essendo le cue cariche con velocità paralle-le nello stesso verso, allora la forza magnetica è attrattiva e si oppone alla forza diCoulomb repulsiva.

Svolgimento Per risolvere il problema è sufficiente calcolare le due forze con leopportune le formule.

Forza di Coulomb

Fc = KQ2

d2= 9 · 109Nm

2

C2· 10−10C2

0, 09m2= 10N

Il vettore che definisce la posizione di una carica rispetto all’altra è perpendicola-re alla velocità delle cariche. Il campo magnetico generato da una delle due carichein moto sull’altra è quindi

B =µ0

QV

d2= 10−7Ns

2

C2

10−5C · 90000000ms0, 09m2

= 10−3 T

La forza magnetica e la forza totale agenti tra le due cariche risultano

Fm = QV B = 0, 9N

F = Fc − Fm = 9, 1N

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Problema di: Elettrotecnica - E0002

Testo [E0002] [2 7 ] Un circuito elettrico è formato da due resistenze R2 = 6 Ω

ed R3 = 12 Ω in parallelo, messe in serie con altre due resistenze R1 = 6 Ω ed R4 =

2 Ω. il circuito è alimentato da un generatore ∆V = 24V olt. Calcola le differenze dipotenziale agli estremi di ogni resistenza e la corrente elettrica che le attraversa

Spiegazione Un circuito elettrico in cui sono presenti solo resistenze ed un genera-tore. Si risolve utilizzando le leggi di Ohm.

∆V

R1i1

R2

i2

R3

i3

R4i4

Svolgimento Applicando le leggi di Ohm

1. Le resistenza R2 ed R3 sono in parallelo, per cui

1

R23=

1

R2+

1

R3=

1

6 Ω+

1

12 Ω=

1

4 Ω

2. La resistenza totale del circuito vale quindi

Rtot = R1 +R23 +R4 = 12 Ω

3. La corrente che esce dal generatore sarà quindi

i = i1 = i4 =∆V

Rtot= 2A

242

Page 243: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

243 Scheda11. Elettromagnetismo: soluzioni

4. La caduta di potenziale agli estremi della resistenza R1 sarà

∆V1 = R1 · i1 = 12V olt

5. La caduta di potenziale agli estremi della resistenza R4 sarà

∆V4 = R4 · i4 = 4V olt

6. La caduta di potenziale agli estremi delle resistenze R2 ed R3 sarà

∆V2 = ∆V3 = ∆V −∆V1 −∆V4 = 8V olt

7. La corrente che parra per le resistenze R2 ed R3 sarà quindi rispettivamente

i2 =∆V2

R2= 1, 333A

ei3 =

∆V3

R3= 0, 666A

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Problema di: Elettrostatica - E0003

Testo [E0003] [1 2 ] Due protoni si trovano alla distanza d = 2 · 10−9m; traloro si trova un elettrone posto alla distanza r1 = 8 · 10−10m. Quanto vale la forzacomplessiva che agisce sull’elettrone?

P+ e− P+

Spiegazione La forza che agisce su due cariche elettriche è la forza di Coulomb.In questo esercizio ognuno dei due protoni esercita una forza sull’elettrone. Questedue forze sono tra loro parallele e opposte e terdono quindi a cancellarsi.

F2F1P+

1 P+2

e−

Svolgimento Tenendo presente che il protone e l’elettrone hanno la stessa carica,indicata con e, la forza che il primo protone esercita sull’elettrone vale.

F1 = Ke2

r21

= 9 · 109 Nm2

C2· 1, 6 · 10−19 C · 1, 6 · 10−19 C

64 · 10−20m2= 3, 6 · 10−10N

Tenendo conto che la distanza tra il secondo protone e l’elettrone vale

r2 = d− r1 = 12 · 10−10m

la forza che il secondo protone esercita sull’elettrone vale

F2 = Ke2

r22

= 9 · 109 Nm2

C2· 1, 6 · 10−19 C · 1, 6 · 10−19 C

144 · 10−20m2= 1, 6 · 10−10N

La forza complessiva sull’elettrone, diretta verso il primo protone, vale quindi

Ftot = F1 − F2 = 2 · 10−10N

Page 244: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

244 Scheda11. Elettromagnetismo: soluzioni

Problema di: Elettrostatica - E0003a

Testo [E0003a] [1 2 ] Un protone ed un nucleo di elio si trovano alla distanzad = 2 · 10−9m; tra loro si trova un elettrone posto alla distanza r1 = 8 · 10−10m dalprotone. Quanto vale la forza complessiva che agisce sull’elettrone?

Spiegazione La forza che agisce su due cariche elettriche è la forza di Coulomb.In questo esercizio il protone esercita una forza attrattiva sull’elettrone esattamentecome il nucleo di elio. Queste due forze sono tra loro parallele e opposte e tendonoquindi a cancellarsi.

F2F1P+

1H++e

e−

Svolgimento Tenendo presente che il protone e l’elettrone hanno la stessa carica,indicata con e, la forza che il protone esercita sull’elettrone vale.

F1 = Ke2

r21

= 9 · 109 Nm2

C2· 1, 6 · 10−19 C · 1, 6 · 10−19 C

64 · 10−20m2= 3, 6 · 10−10N

Tenendo conto che la distanza tra il nucleo di elio e l’elettrone vale

r2 = d− r1 = 12 · 10−10m

la forza che il nucleo di elio esercita sull’elettrone vale

F2 = Ke2

r22

= 9 · 109 Nm2

C2· 2 · 1, 6 · 10−19 C · 1, 6 · 10−19 C

144 · 10−20m2= 3, 2 · 10−10N

La forza complessiva sull’elettrone, diretta verso il primo protone, vale quindi

Ftot = F1 − F2 = 0, 4 · 10−10N

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Problema di: Elettrotecnica - E0004

Testo [E0004] [2 5 ] Un circuito elettrico, alimentato da un generatore ∆V =

24V olt, è formato dalle resistenze R1 = 6 Ω in serie con il parallelo tra R2 = 8 Ω edR3 = 4 Ω. Calcola la corrente elettrica che attraversa ogni resistenza ed i potenzialinei punti A, B e T

∆V

i

R1i1

R2

+− ∆V2

i2R3

+− ∆V3

VT

VA

VB

Spiegazione Un circuito elet-trico in cui sono presenti solo re-sistenze ed un generatore. Sirisolve utilizzando le leggi diOhm. Essendoci un solo genera-tore, cominciamo con il calcolarcila resistenza complessiva del cir-cuito e la corrente che attraversail generatore.

Svolgimento Applicando le leg-gi di Ohm

1. Le resistenza R2 ed R3 sono in serie, per cui R23 = R2 +R3 = 12 Ω

2. La resistenza totale del circuito è data dal parallelo di R1 con R23 e vale quindi

1

Rtot=

1

R1+

1

R23=

1

4 Ω

Rtot = 4 Ω

3. La corrente che esce dal generatore sarà quindi

i =∆V

Rtot= 6Ampere

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Page 245: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

245 Scheda11. Elettromagnetismo: soluzioni

4. Essendo T la terra del circuito: VT = 0V olt

5. Il Potenziale nel punto A sarà: VA = VT + ∆V = 24V olt

6. La differenza di potenziale tra i punti A e T sarà ∆V1 = VA − VT = 24V olt

7. La corrente che attraversa la resistenza R1 varrà

i1 =∆V1

R1=

24V

6 Ω= 4Ampere

8. Nel puntoA la somma delle correnti in ingresso deve essere uguale alla sommadelle correnti in uscita, da cui

i2 = i− i1 = 6A− 4A = 2A

9. Agli estremi di R2 la caduta di potenziale sarà ∆V2 = R2i2 = 16V olt

10. Il potenziale nel punto B sarà VB = VA −∆V2 = 8V olt

11. Agli estremi di R3 la caduta di potenziale sarà ∆V3 = R3i2 = 8V olt

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Problema di: Elettrostatica - E0005

Testo [E0005] [2 3 ] Quattro cariche elettriche si trovano ai vertici di un quadra-to di lato l = 2m. tre di queste valgono Q+ = +8µC ed una Q− = −8µC. Quantovale il campo elettrico nel centro del quadrato? Quanto vale la forza che agirebbe sudi una carica q = 2µC posta nel centro del quadrato?

Spiegazione La forza che agisce sulle cariche elettriche è la forza di Coulomb. inquesto esercizio ognuna delle quattro cariche emette nel centro del quadrato un cam-po elettrico. I vettori campo delle cariche si sommano tra loro con le regole dei vettoriper avere il campo elettrico complessivo nel centro del quadrato. Calcoliamo primail campo elettrico complessivo nel centro del quadrato e poi la forza che agisce sullacarica posta nel centro.

E

E

E

E

Q+ Q+

Q+ Q−

Fig. 11.1: Schema delle forze in gioco.

Svolgimento Cominciamo con l’osservare che, a meno del segno, tutte le cari-che elettriche hanno lo stesso valore numerico e la stessa distanza dal centro. Tale

Page 246: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

246 Scheda11. Elettromagnetismo: soluzioni

distanza corrisponde a metà della diagonale del quadrato per cui

r =1

2

√l2 + l2 =

l√2

I moduli dei vettori campo elettrico nel centro del quadrato saranno quindi iden-tici e varranno

E = KQ

r2= 9 · 109 Nm

2

C2· 8µC

2m2= 36 · 103 N

CLe direzioni ed i versi dei vettori sono mostrati in figura 11.1Appare evidente che due dei vettori si cancella tra loro ed altri due si sommano

perfettamente, per cui

Etot = 2E = 72 · 103 N

CLa forza che subisce la carica negativa nel centro è opposta al vettore campo

elettrico e vale

F = qE = 2µC · 72 · 103 N

C= 0, 144N

Etot

F

Q+ Q+

Q+ Q−

q−

Fig. 11.2: Schema delle forze in gioco.

Problema di: Elettrotecnica - E0006

Testo [E0006] [2 15 ] Dato il circuito elettrico in figura, determinarne il fun-zionamento per ogni configurazione degli interruttori. Le resistenze hanno valoreR0 = 36 Ω, R1 = 12 Ω, R2 = 6 Ω, R3 = 18 Ω; ∆V = 240V . [A seconda di come so-no messi gli interruttori dovere calcolare le correnti elettriche in tutti i rami, ed i valori delpotenziale nei punti A e B.]

∆V

i

t0

R0i0

t2

t1

R1

i1

R2

+

∆V2

i2

R3

+

∆V3

VT

VA

VB

Fig. 11.3: Esercizio: E0006

Spiegazione A seconda di come sono posizionati gli interruttori, alcuni rami delcircuito esisteranno oppure no. Bisogna quindi considerare tutte le possibili posizio-ni degli interruttori, disegnare il corrispondente circuito, ed infine analizzarlo.

Svolgimento

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Page 247: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

247 Scheda11. Elettromagnetismo: soluzioni

1. -[t0 aperto; t1 aperto; t2 aperto]- in questo caso non c’è alcun percorso chiusonel quale possa circolare la corrente

2. -[t0 chiuso; t1 aperto; t2 aperto]- in questo caso non c’è alcun percorso chiusonel quale possa circolare la corrente

3. -[t0 aperto; t1 chiuso; t2 aperto]- in questo caso il circuito risulta essere:

∆V

i

R0i0

R1

i1

VT

VA

Fig. 11.4: [t0 aperto; t1 chiuso; t2 aperto]

Per cui avremo che la resistenza totale del circuito vale

Rtot = R0 +R1 = 48 Ω

Essendoci di fatto solo una maglia, tutte le correnti devono necessariamenteessere uguali

i = i0 = i1 =∆V

Rtot= 5Ampere

Per trovare il potenziale nel punto A possiamo partire dalla terra e seguire siail percorso che passa dal generatore, sia il percorso opposto

VA = VT + ∆V −R0i0 = 0V olt+ 240V olt− 180V olt = 60V olt

4. -[t0 chiuso; t1 chiuso; t2 aperto]- in questo caso il circuito risulta essere:

∆V

i

R1

i1

VT

VA

Fig. 11.5: [t0 chiuso; t1 chiuso; t2 aperto]

In questo caso

i = i1 =∆V

R1=

20

VA = VT + ∆V = 240V

5. -[t0 aperto; t1 aperto; t2 chiuso]- in questo caso il circuito risulta essere:

Anche in questo caso c’è soltanto una maglia e quindi avremo

Rtot = R0 +R2 +R3 = 60 Ω

i = i0 = i2 =∆V

Rtot= 4Ampere

Il potenziale nel punto A vale

VA = VT + ∆V −R0i0 = 96V

Il potenziale nel punto B vale

VB = VA −R2i2 = 72V

Page 248: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

248 Scheda11. Elettromagnetismo: soluzioni

∆V

i

R0i0

R2

+

∆V2

i2

R3

+

∆V3

VT

VA

VB

Fig. 11.6: [t0 aperto; t1 aperto; t2 chiuso]

6. -[t0 chiuso; t1 aperto; t2 chiuso]- in questo caso il circuito risulta essere:

In questo circuito c’è una sola maglia, per cui

Rtot = R2 +R3 = 24 Ω

i = i2 =∆V

Rtot= 10Ampere

VA = VT + ∆V = 240V

VB = VT + ∆V −R2i2 = 180V

7. -[t0 aperto; t1 chiuso; t2 chiuso]- in questo caso il circuito risulta essere:

In questo circuito abbiamo due rami del circuito in parallelo tra di loro, mentrele resistenze R2 ed R3 sono in serie tra di loro. La resistenza R0 è in serie con ilresto del circuito

R23 = R2 +R3 = 24 Ω

∆V

i

R2

+

∆V2

i2

R3

+

∆V3

VT

VA

VB

Fig. 11.7: [t0 chiuso; t1 aperto; t2 chiuso]

1

R123=

1

R1+

1

R23

R123 =R1R23

R1 +R23= 8 Ω

Rtot = R0 +R123 = 44 Ω

i = i0 =∆V

Rtot=

60

11Ampere

VA = VT + ∆V −R0i0 =480

11V ∼ 43, 64V

i1 =∆V1

R1=VA − VTR1

∼ 3, 64A

i2 =∆V23

R23=VA − VTR23

∼ 4, 36A

VB = VA −R2i2 = 21, 83V

Page 249: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

249 Scheda11. Elettromagnetismo: soluzioni

∆V

i

R0i0

R1

i1

R2

+

∆V2

i2

R3

+

∆V3

VT

VA

VB

Fig. 11.8: [t0 aperto; t1 chiuso; t2 chiuso]

8. -[t0 chiuso; t1 chiuso; t2 chiuso]- in questo caso il circuito risulta essere:

In questo circuito abbiamo due rami del circuito in parallelo tra di loro, mentrele resistenze R2 ed R3 sono in serie tra di loro

R23 = R2 +R3 = 24 Ω

1

Rtot=

1

R1+

1

R23

Rtot =R1R23

R1 +R23= 8 Ω

i =∆V

Rtot= 30Ampere

VA = VT + ∆V = 240V

i1 =∆V1

R1=VA − VTR1

= 20Ampere

i2 =∆V23

R23=VA − VTR2 +R3

= 10Ampere

VB = VA −R2i2 = 180V

∆V

i

R1

i1

R2

+

∆V2

i2

R3

+

∆V3

VT

VA

VB

Fig. 11.9: [t0 chiuso; t1 chiuso; t2 chiuso]

É evidente che il funzionamento del circuito varia notevolmente a seconda diquali interruttori sono stati effettivamente chiusi. In particolare nel caso l’interrutto-re t0 sia aperto, il potenziale VA dipende dalla configurazione degli interruttori.

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Page 250: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

250 Scheda11. Elettromagnetismo: soluzioni

Problema di: Elettromagnetismo - E0007

Testo [E0007] [1 2 ] Disegna sul tuo foglio un campo elettrico ~E uniforme versodestra ed uno magnetico uniforme ~B verticale entrante nel foglio. Disegna adessoun elettrone che si muove parallelo al vostro foglio e verso l’alto. A quale velocitàdeve andare affichè si muova con velocità costante?

Spiegazione L’elettrone, muovendosi sia in un campo elettrico che in un campomagnetico, subisce due forze. Tali forze, vista la posizione dei vettori, sono tra lo-ro opposte. Affinchè l’elettrone viaggi con velocità costrante, le due forze oppostedevono essere uguali.

Svolgimento Chiamiamo e la carica elettrica dell’elettrone. La forza elettrica vale

F = e · E

La forza magnetica valeF = e · V ·B

per cui

e · E = e · V ·B

V =E

B

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Problema di: Elettromagnetismo - E0008

Testo [E0008] [1 2 ] Quattro cariche elettriche identiche, tutte positive del va-lure q = 4µC si muovono sul tuo foglio, come mostrato in figura, lungo un per-corso circolare di raggio r = 10 cm e con velocità V = 10 m

s . Quanto vale e dove èdiretto il campo magnetico che generano nel centro della spira? Quanto vale la for-za magnetica che subisce una carica negativa che entra perpendicolarmente al tuofoglio?

q+

q+q+

q+

q−

Fig. 11.10: Figura esercizio E0008

Spiegazione Ogni carica elettrica che si muove emette un campo magnetico; unacarica elettrica che si muove in un campo magnetico subisce una forza. In questoesercizio quattro cariche positive si muovono e generano nel punto centrale un cam-po magnetico. Tale campo interagirà poi con la carica elettrica negativa generandosu di essa una forza. per risolvere l’esercizio bisogna prima calcolarci i campi ge-nerati dalle quattro cariche, sommarli, ed infine calcolarci la forza magnetica sullacarica negativa.

Svolgimento Prendiamo in considerazione la prima carica: Con la regola della ma-no destra determiniamo che il campo magnetico generato nel centro del cerchio è unvettore perpendicolare al foglio e che esce dal foglio. Il valore è

B =µ0

4πqV · sen(α)

r2

Page 251: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

251 Scheda11. Elettromagnetismo: soluzioni

B = 10−7Tsm

C· 4µC

10 ms · sen(90)

0, 01m2= 4 · 10−4T

Se adesso consideriamo le altre tre cariche notiamo che esse generano campi ma-gnetici assolutamente identici. Il campo magnetico totale nel centro del percorsocircolare sarà quindi quattro volte quello della singola carica

B = 1, 6 · 10−3T

Per quanto riguarda la forza sulla carica negativa, per prima cosa dobbiamo nota-re che la velocità della carica è un vettore parallelo al campo magnetico che abbiamocalcolato. Per questo motivo la formula della forza magnetica

F = qV Bsen(α)

ci dice che la forza risulta nulla in quanto sen(0) = 0

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Problema di: Elettromagnetismo - E0009

Testo [E0009] [1 4 ] Due cariche elettriche Q1 = 4µC e Q2 = −4µC si trovanosu di una linea orizzontale alla disanza d = 2m. Sulla stessa linea, ad altri due metridalla carica negativa, una carica di prova q3 = −2µC. Quanto vale il campo elettricototale sulla carica q3? Quanto vale la forza che subisce la carica q3.

Q1 Q2 q3

Spiegazione Ogni carica elettrica emette un campo elettrico; una carica elettricaimmersa in un campo elettrico subisce una forza. In questo esercizio dobbiamo cal-colare il campo elettrico emesso dalle due cariche nel punto in cui metto la carica diprova. Successivamente ci calcoliamo la forza esercitata sulla carica di prova.

Svolgimento Lo schema dei campi elettrici e della forza è il seguente:

~E2~E1

~FQ1 Q2 q3

I campi delle due cariche sulla carica di prova, e la loro somma vettoriale, valgono:

E1 = KQ1

r21

= 9 · 109 Nm2

C2

4 · 10−6C

16m2= 2, 25 · 103 N

C

E2 = KQ2

r22

= 9 · 109 Nm2

C2

4 · 10−6C

4m2= 9 · 103 N

C

Etot = E2 − E1 = 6, 75 · 103 N

C

La forza che la carica di prova subisce vale

F = q3Etot = 2 · 10−6C · 6, 75 · 103 N

C= 13, 5 · 10−3N

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Page 252: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

252 Scheda11. Elettromagnetismo: soluzioni

Problema di: Elettrotecnica - E0010

Testo [E0010] [1 2 ] Un impianto elettrico è alimentato da una tensione ∆V =

220V . Per rispettare il contratto di fornitura, l’alimentazione viene staccata quandonel circuito entra una corrente maggiore di Imax = 15A. Se nella casa sono accesiuna lavatrice di potenza Plav = 1, 5 kW , due stufe elettriche di potenza Ps = 700W

ed un televisore di potenza Pt = 200W , quante lampadine da Pl = 30W possonoancora accendere?

Spiegazione In questo circuito elettrico abbiamo un generatore da ∆V = 220V cheal massimo può erogare una corrente Imax = 15A. C’è quindi un limite alla massimapotenza erogabile. Se la somma di tutte le potenze degli utilizzatori (lavatrice, stu-fette, televisore e lampadine) è superiore alla potenza massima erogabile, il circuitosi stacca.

Svolgimento La potenza massima erogabile è

Pmax = ∆V · Imax = 3300W

La potenza dei vari utilizzatori, escluse le lampadine, è

P = Plav + Pt + 2 ∗ Ps = 1500W + 200W + 1400W = 3100W

La potenza disponibile per le lampadine, ed il numero di lampadine che possoaccendere sono quindi

Pdisp = Pmax − P = 200W

n =PdispPl

= 6, 67

Questo sinifica che posso accendere n = 6 lampadine e non sette.

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Problema di: Elettrostatica - E0011

Testo [E0011] [1 1 ] Tre sfere conduttrici identiche hanno carica elettrica rispet-tivamente Q1 = 12µC e Q2 = Q3 = 0. La prima sfera sarà messa a contatto con laseconda e poi da essa separata. La seconda spera sarà infine messa a contatto con laterza e poi separata. Quale sarà la carica elettrica della terza sfera?

Spiegazione Elettrizzazione per contatto. La prima sfera carica la seconda e poi laseconda carica la terza.

Svolgimento Quando le prime due sfere si toccano, essendo conduttori identici, sidividono la carica elettrica, quindi:

Q1′ = Q2′ = 6µC

Quando la seconda sfera tocca la terza, essendo conduttori identici, si dividonola carica elettrica, quindi:

Q2′′ = Q3′′ = 3µC

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Page 253: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

253 Scheda11. Elettromagnetismo: soluzioni

Problema di: Elettrostatica - E0012

Testo [E0012] [1 2 ] Un elettrone si muove con un’energia E = 3000 eV per-pendicolarmente al campo magnetico terrestre B = 50µT . Quanto vale la forzamagnetica che subisce?

Spiegazione Forza magnetica su di una carica in moto. In questo esercizio unacarica si muove dentro un campo magnetico e di conseguenza subisce una forza. E’sufficiente quindi utilizzare la formula opportuna.

Svolgimento La forza subita dalla particella è

F = q · V ·B · sinα

L’angolo α = 90 in quanto la particella si muove perpendicolarmente al campomagnetico e quindi sinα = 1. La carica q = 1, 6 · 10−19C è la carica dell’elettrone Ilcampo magnetico B è un dato del problema. Per poter utilizzare la formula bisognasolo più determinare la velocità della particella conoscendone l’energia. L’energiadella particella è

E = 3000 eV = 3000 · 1, 6 · 10−19 J = 4, 8 · 10−16 J

Dall’energia cinetica Ec = 12mV

2 ricavo poi la velocità della particella.

V =

√2E

m=

√2 · 4, 8 · 10−16 J

9, 1 · 10−31 kg= 3, 25 · 107 m

s

Infine troviamo la forza che agisce sulla particella

F = 1, 6 · 10−19 C · 3, 25 · 107 m

s· 50 · 10−6 T

F = 2, 6 · 10−16N

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Problema di: Elettrostatica - E0013

Testo [E0013] [1 4 ] Una lampadina di resistenza R1 = 48 Ω è montata in se-rie con una seconda resistenza R2. Il circuito è alimentato con una batteria ∆V =

12V olt. Quanto deve valere R2 affinchè la potenza dissipata dalla lampadina siaP1 = 2W ?

Spiegazione Il circuito elettrico è formato da due resistenze in serie alimentate dauna batteria. Per risolvere il problema semplicemente si utilizzano in sequenza leequazioni che descrivono i circuiti.

Svolgimento Cominciamo con il determinare la corrente elettrica che vogliamo farpassare attraverso la lampadina visto che conosciamo la potenza che vogliamo siaassorbita da tale lampadina possiamo utilizzare la formula per l’effetto Joule.

P = Ri2 ⇐ i =

√P1

R1= 0, 2A

La differenza di potenziale agli estremi della lampadina è quindi

∆V1 = R1 · i = 9, 8V

La differenza di potenziale agli estremi della resistenza R2 sarà quindi

∆V2 = ∆V −∆V1 = 2, 2V

Possiamo adesso calcolare la resistenza R2

R2 =∆V2

i=

2, 2V

0, 2A= 11 Ω

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Page 254: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

254 Scheda11. Elettromagnetismo: soluzioni

Problema di: Elettrostatica - E0014

Testo [E0014] [1 4 ] Una lampadina da 24V ; 6W è collegata ad una batteria condei cavi elettrici di rame di resistività ρ = 0, 17 · 10−7 Ωm e di sezione S = 0, 1mm2.Il circuito è alimentato con una batteria ∆V = 24V olt. Quanto deve essere lungo ilfilo affinche la potenza dissipata dalla lampadina sia P = 5W ?

Spiegazione Il circuito elettrico è formato da due resistenze in serie alimentate dauna batteria. Per risolvere il problema semplicemente si utilizzano in sequenza leequazioni che descrivono i circuiti. Indichiamo con R1 la lampadina e con R2 laresistenza del filo.

∆V

i

R1

R2

Svolgimento Cominciamo con il determinare la resistenza della lampadina a par-tire dai dati tecnici del costruttore.

R1 =∆V 2

1

P1=

(24V )2

6W= 96 Ω

Determiniamo ora la corrente elettrica che vogliamo far passare attraverso la lam-padina, visto che conosciamo la potenza che vogliamo sia assorbita da tale lampadi-na.

i =

√P1

R1=

√5W

96 Ω= 0, 23A

La differenza di potenziale agli estremi della lampadina è quindi

∆V1 = R1 · i = 96 Ω · 0, 23A = 21, 9V

La differenza di potenziale agli estremi della resistenza R2 sarà quindi

∆V2 = ∆V −∆V1 = 2, 1V

Possiamo adesso calcolare la resistenza R2

R2 =∆V2

i=

2, 1V

0, 23A= 9, 1 Ω

Utilizzando la seconda legge di Ohm troviamo infine la lunghezza del filo

l =R2 · Sρ

=9, 1 Ω · 10−7m2

0, 17 · 10−7 Ωm= 53, 7m

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Page 255: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

255 Scheda11. Elettromagnetismo: soluzioni

Problema di: Elettrotecnica - E0015

Testo [E0015] [1 3 ] Due lampadine identiche R = 120 Ω sono alimentate da ungeneratore di tensione ∆V = 12V . Calcola la corrente che le attraversa nel caso sianomontate in serie e nel caso siano montate in parallelo. In quale caso le lampadinerisulteranno più luminose?

Spiegazione In questo esercizio dobbiamo semplicemente calcolare la corrente chepassa in due differenti circuiti e vedere in quale dei due le lampadine sono attraver-sate da una maggiore corrente. Per risolvere l’esercizio servirà unicamente la primalegge di Ohm e le regole per le resistenze in serie ed in parallelo.

Svolgimento

Resistenze in serie La corrente che esce dal generatore attraversa tutta la primaresistenza e successivamente la seconda resistenza. Chiamando i1 la corrente per laprima resistenza e i2 la corrente per la seconda resistenza avremo:

Rtot = R1 +R2 = 2R = 240 Ω

itot = i1 = i2 =∆V

Rtot= 0, 05A = 50mA

R1 R2i

VA VB

Resistenze in parallelo La corrente che esce dal generatore si divide metà sullaprima resistenza e metà sulla seconda resistenza. Ogni resistenza ha ai suoi estremi lastessa differenza di potenziale ∆V . Chiamando i1 la corrente per la prima resistenzae i2 la corrente per la seconda resistenza avremo:

i1 =∆V

R= 0, 1A = 100mA

R1

R2

i

VA VB

Conclusioni Montando le due lampadine in parallelo esse sono attraversate da unamaggiore corrente e quindi si illuminano di più.

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Page 256: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

256 Scheda11. Elettromagnetismo: soluzioni

Problema di: Elettrotecnica - E0016

Testo [E0016] [1 3 ] Nel ramo di circuito in figura, viene montata una lampadi-na di resistenza R = 6 Ω; le tensioni sui due morsetti sono VA = 28V e VB = 4V . Il

costo dell’energia è C = 0, 18e

kWh. Quanto spendo per tenere la lampadina accesa

un tempo ∆t = 4h ? Quanta carica elettrica ha attraversato la resistenza in questointervallo di tempo?

Spiegazione In questo ramo di circuito dobbiamo calcolarci la corrente che attra-versa la resistenza, quindi la potenza dissipata dalla resistenza, quindi l’energia dis-sipata nel tempo indicato, quindi il costo di tale energia. Avendo il valore dellacorrente e del tempo possiamo sapere quanta carica ha attraversato la resistenza.

Ri

VA VB

Svolgimento La corrente e la carica che attraversano la resistenza sono

i =∆V

R=

24V

6 Ω= 4A

∆Q = i ·∆t = 4A · 4h = 16Ah = 57600As = 57600C

La potenza dissipata, l’energia consumata ed il suo costo D sono

P = R · i2 = 6 Ω · 16A2 = 96W

∆E = P ·∆t = 96W · 4h = 384Wh = 0, 384 kWh

D = ∆E · C = 0, 384 kWh · 0, 18e

kWh= 0, 06912e

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Problema di: Elettrotecnica - E0017

Testo [E0017] [2 6 ] Nel circuito in figura R0 = 4 kΩ, R1 = 3 kΩ, R2 = 4 kΩ,R3 = 2 kΩ, ∆V = 12V , VT = 0V . Calcola la resistenza totale Rtot, la corrente i inuscita dal generatore, il valore di tensione VA nel punto A. Verificato che VA = 4V ,calcola poi le correnti i1 e i2 nei due rami senza il generatore, e il valore di tensioneVB nel punto B.

∆V

i

R0

R1

i1

R2i2

R3

VT

VA VB

Spiegazione In questo circuito abbiamo solo un generatore di tensione continuaed una serie di resistenze. Le uniche formule di cui abbiamo quindi bisogno sono laprima legge di Ohm e le formule per sommare le resistenze in serie ed in parallelo.In questi circuiti si parte sempre con il determinare la resistenza totale del circuito ela corrente in uscita dal generatore. Successivamente si deve ragionare per trovare ivalori di potenziale in ogni punto e le correnti in tutti i vari rami.

Svolgimento La resistenza nel secondo ramo è R23 = R2 +R3 = 6 kΩ

R23 è in parallelo con R1 e quindi la resistenza equivalente sarà:

1

R123=

1

R1+

1

R23=

1

2 kΩ

R123 = 2 kΩ

I due rami tra loro in parallelo, sono in serie con la resistenza R0

Rtot = R0 +R123 = 6 kΩ

Page 257: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

257 Scheda11. Elettromagnetismo: soluzioni

La corrente in uscita dalla batteria sarà quindi

i =∆V

Rtot= 2mA

Il valore del potenziale nel punto A sarà

VA = VT + ∆V −R0i = 0V + 12V − 4 kΩ · 2mA = 4V

La corrente che passa nel primo ramo sarà

i1 =∆VATR1

=4

3A

La corrente che passa nel secondo ramo sarà

i2 =∆VATR23

=2

3A

Il potenziale nel punto B sarà

VB = VA −R2 · i2 = 4V − 4 kΩ · 2

3A =

4

3V

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Problema di: Elettromagnetismo - E0018

Testo [E0018] [2 3 ] Sono dati quattro lunghi fili conduttoriA,B, C eD percorsida una corrente i = 10A e disposti tra loro parallelamente; essi sono perpendicolariad un piano (per esempio quello del tuo foglio). I quattro fili intersecano il pianoin quattro punti disposti ai vertici di un quadrato di lato l = 5m, come mostrato infigura. Le correnti diA eB escono dalla superficie, quelle dei fili C eD entrano nellasuperficie. Calcolare il campo magnetico prodotto dai quattro fili nel punto centraledel quadrato.

A B

D C

Spiegazione Cominciamo con l’osservare che il problema mi chiede il campo ma-gnetico prodotto dai quattro fili in un certo punto dello spazio. E’ sicuramente veroche tra i fili si esercitano delle forze, ma questo fenomeno non è l’oggetto di studioin questo esercizio. Dal momento che tutti i fili sono rettilinei e lunghi, allora la leggeper calcolarsi i campi magnetici prodotti è la legge di Biot-Savart

B =µ0

i

r

dove r è la distanza del punto in analisi dal filo conduttore, corrispondente a metàdella lunghezza della diagonale del quadrato. Ogni filo genererà un suo campo ma-gnetico; nel punto in analisi il campo magnetico totale sarà la somma vettoriale deicampi magnetici dei singoli fili.

Page 258: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

258 Scheda11. Elettromagnetismo: soluzioni

Svolgimento Prima di eseguire ogni tipo di conto cominciamo con l’osservare cheil centro del quadrato è equidistante da tutti i vertici e che in tutti i fili scorre la stessacorrente elettrica. Per questo motivo il modulo dei campi magnetici dei vari fili ènecessariamente uguale.

B =µ0

i

l√

22

=µ0

π

i

l√

2

Lo stesso ragionamento non possiamo farlo per la direzione ed il verso dei quat-tro campi magnetici e dobbiamo necesariamente farci un disegno per capire comesono disposti i quattro vettori ~Bi. Il disegno in figura 11.11 mostra la disposizionedei quattro campi magnetici.

A B

D C

~BA

~BC

~BB

~BD

Fig. 11.11: I quattro vettori ~Bi generati dai quattro fili. I vettori ~BA e ~BC sono perfettamente sovrapposti l’unosull’altro. In questo schema sono stati disegnati affiancati per meglio far comprendere la loro effettiva diposizione; lostesso vale per i vettori ~BB e ~BD .

Come potete vedere i quattro campi magnetici sono disposti a due a due parallelie nello stesso verso. Procediamo adesso a svolgere la somma dei vettori, per cui,come mostrato in figura 11.12, avremo che

B1 = BA +BC =µ0

π

√2i

l

B2 = BB +BD =µ0

π

√2i

l

Dobbiamo adesso sommare i vettori ~B1 e ~B2

Esendo essi disposti sulle diagonali del quadrato, ne consegue che tra loro sonoperpendicolari, quindi la risultante sarà

Btot =√B2

1 +B22 =

µ0

π

2i

l

A B

D C

~B1

~B2

~Btot

Fig. 11.12: I vettori ~B1 = ~BA + ~BC e ~B2 = ~BB + ~BD . Il vettore in rosso rappresenta la somma dei quattrovettori ~Btot = ~B1 + ~B2

Mettendo i valori avremo

Btot =4π10−7 T ·m

A

π

20A

5m= 16 · 10−7 T

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Page 259: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

259 Scheda11. Elettromagnetismo: soluzioni

Problema di: Elettromagnetismo - E0019

Testo [E0019] [3 5 ] Sono dati quattro lunghi fili conduttoriA,B, C eD percorsida una corrente i = 10A e disposti tra loro parallelamente; essi sono perpendicolariad un piano (per esempio quello del tuo foglio). I quattro fili intersecano il pianoin quattro punti disposti ai vertici di un quadrato di lato l = 5m, come mostrato infigura. Le correnti diA eB escono dalla superficie, quelle dei fili C eD entrano nellasuperficie. Calcolare il campo magnetico prodotto dai quattro fili nel punto mediodel segmento CD.

A B

D CM

Spiegazione Cominciamo con l’osservare che il problema mi chiede il campo ma-gnetico prodotto dai quattro fili in un certo punto dello spazio. E’ sicuramente veroche tra i fili si esercitano delle forze, ma questo fenomeno non è l’oggetto di studioin questo esercizio. Dal momento che tutti i fili sono rettilinei e lunghi, allora la leggeper calcolarsi i campi magnetici prodotti è la legge di Biot-Savart

B =µ0

i

r

dove r è la distanza del punto in analisi dal filo conduttore. Ogni filo genererà unsuo campo magnetico; nel punto in analisi il campo magnetico totale sarà la sommavettoriale dei campi magnetici dei singoli fili.

Svolgimento Cominciamo con il disegnare i quattro campi magnetici generati daiquattro fili; il disegno in figura 11.13 mostra la disposizione dei quattro campi ma-gnetici.

A B

D CM

~BA

~BC

~BB

~BD

Fig. 11.13: I quattro vettori ~Bi generati dai quattro fili. ~BC e ~BD i cancellano tra loro.

Come potete vedere i campi magnetici ~BC e ~BD sono uguali e opposti. Il fattoche siano opposti lo si vede dalla geometria del problema; il fatto che siano ugualilo si vede dal fatto che il punto analizzato è equidistante dai due fili C e D nei qualiscorre la stessa corrente.

Prima di procedere con la somma dei due vettori rimanenti, consideriamo iltriangolo DAM . Si ha che

DAM = arctanDM

AD= arctan 0, 5

Procediamo adesso a svolgere la somma dei due vettori rimanenti. Oservandola figura 11.12, avremo che l’angolo tra il vettore ~BA e il segmento CD, esattamentecome l’angolo tra il vettore ~BB e il segmento CD è

α = DAM = arctan 0, 5

Page 260: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

260 Scheda11. Elettromagnetismo: soluzioni

L’angolo DAM è cioè uguale all’angolo che il vettore ~BA forma con il segmentoCD. Lo si può vedere dal fatto che la direzione di ~AD ruotata di un angolo DAMcouncide con la direzione di ~AM e quindi un vettore orizzontale perpendicolare a~AD ruotato dello stesso angolo deve avere la stessa direzione di ~BA che sappiamo

essere perpendicolare a ~AM .Il vettore somma ~Btot coinciderà con la somma delle componenti orizzontali di

~BA e ~BB in quanto le loro componenti verticali si annullano tra loro.

Btot = 2 ·BA · cosα = 2 ·BA · cos (arctan 0, 5) =4√5·BA

A B

D CM

~BA

~BB

~Btot

Fig. 11.14: Il vettore in rosso rappresenta la somma dei quattro vettori ~Btot = ~BA + ~BB

Il modulo del vettor ~BA lo calcolo con la legge di Biot-Savart

BA =µ0

i

r=µ0

i√l2

4 + l2=µ0

i

l√

54

=µ0

π

i

l√

5

BA =4 · π · 10−7 Tm

A

π

10A

5m√

5=

8√5· 10−7 T

Mettendo i valori avremo

Btot =4√5· 8√

5· 10−7 T · = 6, 4 · 10−7 T Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Page 261: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

261 Scheda11. Elettromagnetismo: soluzioni

Problema di: Elettromagnetismo - E0020

Testo [E0020] [3 3 ] Un lungo filo orizzontale trasporta una corrente i = 60A.Un secondo filo costituito di rame (densità ρ = 8930 kg

m3 ), avente il diametro d =

3, 00mm e percorso da una corrente, è mantenuto sospeso in equilibrio sotto il pri-mo filo. Se i due fili si trovano a una distanza di h = 5, 0 cm, determina il versodi circolazione e l’intensità della corrente che percorre il secondo filo affinchè essorimanga in sospensione sotto il primo filo.

Spiegazione L’esercizio parla di un filo in equilibrio; questo significa che la sommadi tutte le forze che agiscono sul filo è nulla. In questo caso bisogna eguagliare laforza di gravità sul filo con la forza di attrazione magnetica tra i due fili.

Svolgimento Chiamiamo il filo superiore a e quello inferiore b. Cominciamo con ildeterminare il verso della corrente nel filo b. Visto che la forza di gravità attrae il filoverso il basso, l’attrazione magnetica deve essere verso l’alto. Questo accade se lecorrenti nei due fili sono concordi, in modo che la forza magnetica sia rivolta versol’alto.

Detto questo bisogna impostare la condizione di equilibrio1

Fg = Fm

m · g =µ0

2π· ia · ib

hL

la massa m del filo inferiore, visto che ne conosciamo il materiale, la possiamoscrivere in funzione della densità del filo; quindi m = ρπr2 · L = ρπd

2

4 L Per cui,indicando con L la grenerica lunghezza del filo inferiore, avremo

ρπd2

4Lg =

µ0

2π· ia · ib

hL

ib =ρπ2d2hg

2µ0ia

1La stada più semplice è in generale quella di disegnare i vettori con il verso giusto e poi scriverel’equazione in forma scalare.

ib =8930 kg

m3 · π2 · 9 · 10−6m2 · 0, 05m · 9, 81 ms2

8 · π · 10−7 mkgs2A2 60A

ib =8930 kg · π · 9 · 10−6 · 0, 05 · 9, 81 m

s2

8 · 10−7 mkgs2A 60

ib =8930π · 9 · 0, 05 · 9, 81

480· 10A

ib = 2580A

Questo risultato significa ovviamente che la forza di gravità è troppo intensaper essere equilibrata dalla forza magnetica; infatti la corrente necessaria per farlovaporizzerebbe il rame del filo scaldandolo per effetto Joule.

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Page 262: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

262 Scheda11. Elettromagnetismo: soluzioni

Problema di: Elettromagnetismo - E0021

Testo [E0021] [3 3 ] Un solenoide indefinito è costituito di 800 spire per metrodi lunghezza e ha un diametro d = 20, 0 cm. All’interno del solenoide un protonesi muove di moto spiraliforme con velocità di modulo V = 2, 00 · 105 m

s e direzioneinclinata di un angolo α = 30 rispetto all’asse del solenoide. Calcola la minimaintensità di corrente che deve circolare nel solenoide se si vuole che il protone lopercorra senza mai urtare le sue pareti.

Spiegazione Un protone si muove in un campo magnetico uniforme descriven-do una traiettoria spiraliforme. Visto che il campo magnetico è generato da un so-lenoide, allora il raggio del moto del protone deve essere minore del raggio dellaspira.

Svolgimento La componente della velocità che contribuisce a generare un motocircolare è

V⊥ = V sinα

Il raggio del moto perpendicolare al campo magnetico lo si ottiene eguagliandola forza centripeta con la forma magnetica, per cui

Fm = qV B sinα = mV 2 sin2 α

r= Fc

da cuir =

mV sinα

qB

Il campo magnetico generato dal solenoide è B = µ0ni dove n è la densità dispire ed i la corrente che lo attraversa. Quindi

r =mV sinα

qµ0ni

Imponiamo adesso la condizione del problema

r <d

2

da cui

mV sinα

qµ0ni<d

2

qµ0ni

mV sinα>

2

d

i >2mV sinα

µ0qnd

Svolgendo ora i conti

i >2 · 1, 67 · 10−27 kg · 2, 00 · 105 m

s · 0, 54π · 10−7 kgm

s2A2 · 1, 6 · 10−19 C · 800 1m · 0, 2m

i >1, 67 kgm

s

4π · 1, 6kgmCs2A2 · 80

· 104

i >1, 67

512π· 103A = 10, 4A

Il risultato evidenzia come, tanto maggiore è la corrente nel solenoide, tanto mag-giore è il campo magnetico prodotto, tanto minore il raggio della traiettoria dellaparticella.

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Page 263: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

263 Scheda11. Elettromagnetismo: soluzioni

Problema di: Cinematica - Elettromagnetismo - CE0001

Testo [CE0001] [2 2 ] Quanto vale il raggio della traiettoria circolare di un elet-trone che entra perpendicolarmente in un campo magneticoB = 10−6 T alla velocitàV = 90000 m

s ?

Spiegazione Una carica che si muove all’interno di un campo magnetico subisceuna forza che, viste le caratteristiche dell’interazione magnetica, è sempre perpendi-colare alla velocità della carica. Questa forza è quindi sempe una forza centripeta.La carica si muove quindi di moto circolare uniforme

Svolgimento Per risolvere il problema è sufficiente eguagliare la forza magneticaalla forza centripeta subita dalla particella (indicando con e il valore della caricaelettrica dell’elettrone).

mV 2

r= eV B

da cui

r =mV

eB=

9.1 · 10−31kg · 9 · 104ms

1, 6 · 10−19C · 10−6 T= 51, 2 · 10−2m

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Problema di: Cinematica - Elettromagnetismo - CE0002

Testo [CE0002] [2 2 ] Quanto vale la velocità con cui si muove un elettroneall’interno di un atomo di idrogeno?

Spiegazione Assumendo che l’elettrone compia un orbita circolare intorno al nu-cleo, visto che la forza di tipo centripeto che subisce l’elettrone è la forza di Coulomb,il problema si risolve eguagliando la formula della forza centripeta con la formuladella forza di Coulomb

Svolgimento Indicando con e il valore della carica elettrica dell’elettrone, con me

la sua massa, con V la sua velocità, e con r il raggio dell’atomo, avremo che:

meV2

r=Ke2

r2

da cui

V =

√Ke2

mer=

√9 · 109 Nm2

C2 · (1, 6 · 10−19C)2

9.1 · 10−31kg · 10−10m

V = 1.59 · 106m

s

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Page 264: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

264 Scheda11. Elettromagnetismo: soluzioni

Problema di: Dinamica - Elettromagnetismo - DE0010

Testo [DE0010] [1 1 ] Due cariche elettriche uguali, con eguale carica elettrica emassa, di carica Q = 4µC si trovano alla disanza d = 2m. Quale massa devono ave-re affinchè l’attrazione gravitazionale tra loro equilibri la repulsione elettrostatica?[K = 9 · 109 Nm2

C2 ; G = 6, 67 · 10−11 Nm2

kg2 ]

Q Q

Fig. 11.15: Figura esercizio DE0010

Spiegazione Tra le due cariche elettriche agiscono due forze: la repulsione dovutaalla forza di Coulomb e l’attrazione gravitazionale dovuta alla loro massa. Si trattadi stabilire quanto deve valere la massa delle due particelle affinchè le due forze, cheovviamente sono opposte, siano anche uguali.

Svolgimento Eguagliando le due forze avremo

GM1M2

d2= K

Q1Q2

d2

Le particelle hanno stessa massa e carica elettrica, quindi M1 = M2 = M e Q1 =

Q2 = Q da cui

M2 =K ·Q2

G

M =

√K ·Q2

G= Q

√K

G

Mettiamo adesso i valori numerici all’interno della formula

M = 4 · 10−6C ·

√√√√ 9 · 109 Nm2

C2

6, 67 · 10−11 Nm2

kg2

= 4, 65 · 104 kg

Il fatto che il valore delle masse sia risultato molto grande è dovuto al fatto chel’interazione gravitazionale è estremamente più debole dell’interazione elettroma-gnetica.

~Fc~Fg

Q1 Q2

Fig. 11.16: Figura esercizio DE0010

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Page 265: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

265 Scheda11. Elettromagnetismo: soluzioni

Problema di: Elettromagnetismo - DE0022

Testo [DE0022] [3 4 ] Due sfere di massa m = 15 g, elettrizate con la stessacarica Q, sono appese con due fili entrambi lunghi l = 20 cm. nella condizione diequilibrio tali fili formano un angolo θ = 60. Quanto vale la carica elettrica sulledue sfere?

Spiegazione Le due sfere si respingono. Nella posizione di equilibrio ogni sferaè soggetta ad una forza elettrostatica che genera un momento antiorario ed un mo-mento orario è invece generato dall forza di gravità. Nella condizione di equilibrio idue momenti si equivalgono.

Svolgimento

α

~F~F

~Fg~Fg

Consideriamo il filo sulla destra nel disegno. Il momento della forza di gravitàrispetto al punto in cui i due fili sono attaccati è orario e vale

Mg = Fg · l · sinα

Il momento della forza di Coulomb rispetto al punto in cui i due fili sono attaccati èantiorario e vale

Mc = Fc · l · sin(90− α) = Fc · l · cosα

Quindi la condizione di equilibrio è

Fc · l · cosα = Fg · l · sinα

KQ2

(r)2 · cosα = m · g · sinα

La distanza tra le due cariche è

r = 2 · l sinα

KQ2

(2 · l sinα)2 · cosα = m · g · sinα

Q2 =4 · l2 ·m · g · sin3 α

K · cosα

Q =

√4 · l2 ·m · g · sin3 α

K · cosα

Q =

√√√√4 · 0, 04m2 · 0, 015 kg · 9, 8 ms2 ·

18

9 · 109Nm2

C2 ·√

32

Q = 6, 1µC

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Page 266: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

266 Scheda11. Elettromagnetismo: soluzioni

Problema di: Elettrotecnica - Calorimetria - EQ0001

Testo [EQ0001] [2 2 ] Un riscaldatore elettrico è fatto da resistenzaR = 10 Ω ali-mentata da una differenza di potenziale costante ∆V = 24V olt. Se immersa in unamassa m = 2 kg di acqua, in quanto tempo la scalda di ∆T = 20K? [Comincia con ilcalcolare quanta energia deve essere data all’acqua e a disegnare il circuito del riscaldatore.]

Spiegazione La resistenza, per effetto joule, dissipa calore che, assorbito dall’ac-qua, la riscalda.

Svolgimento La quantità di calore necessaria a scaldare l’acqua è data da

∆Q = cs ·m ·∆T

Considerato che tale calore proviene dalla resistenza a causa dell’effetto joule,allora

∆Q = P ·∆t P =∆V 2

R

e quindiP ·∆t = cs ·m ·∆T

∆V 2

R·∆t = cs ·m ·∆T

Possiamo adesso ricavare la soluzione del problema

∆t = cs ·m ·∆T ·R

∆V 2

∆t = 4186J

kg ·K· 2 kg · 20K · 10 Ω

576V olt2= 2907 s

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Page 267: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

Scheda 12Relatività: soluzioniProblema di: relatività Ristretta - R0001

Testo [R0001] [2 15 ]

1. Quali sono i due principi su cui si fonda la teoria della relatività ristretta e inche modo essi determinano tale teoria?

2. Sappiamo che con le trasformate di Lorentz la luce ha sempre la stessa velocitàin tutti i sistemi di riferimento. Mostra a partire dalle trasformate di Lorentztale affermazione.

3. Oltre alla velocità della luce, quale grandezza fisica è invariante sotto l’azionedelle trasformate di Lorentz?

4. Ridefinendo la massa, si è arrivati a comprenderne la vera natura. Qual è talenatura e come si è arrivati a comprenderla?

5. Cosa si intende per dilatazione dei tempi e contrazione delle distanze?

Spiegazione Utilizzate queste domande come traccia per il vostro studio. Per ognidomanda fornirò una risposta estremamente concisa ma esauriente nei concetti. Dalmomento che in un’interrogazione, magari all’esame di maturità, le domande sonospunti per poter parlare in modo approfondito di un argomento, nelle mie rispostevi fornirò anche le indicazioni per gli approfondimenti.

Svolgimento

1. la teoria della relatività si basa sul principio di costanza della velocità della lucee sul principio di relatività ristretta. [Enunciate i due principi.] Per rispettare ilprincipio di costanza della velocità della luce è necessario utilizzare le trasfor-mate di Lorentz per passare da un sistema di riferimento ad un’altro. [Scrivetele trasformate.] [Potete raccontare come esse fossero già state scritte precedentementead Einstain ma che solo lui ebbe la capacità di comprenderne il reale significato.] Ac-cettate tali trasformate, le precedenti leggi fisiche non risultano più in accordo

con il principio di relatività, in quanto non risultano invarianti sotto le trasfor-mate di Lorentz. per renderle tali è necessario ridefinire la massa. [Indicate ilmodo in cui la massa viene ridefinita.] Detto questo, all’interno della teoria, lavelocità della luce assume un significato molto profondo legato alla strutturadello spazio-tempo; essa è infatti la velocità della causalità, la massima velocitàalla quale una informazione può viaggiare attraverso lo spazio. le trasformatedi Lorentz di fatto preservano l’ordine degli eventi causalmente connessi.

2. Dalle trasformate di Lorentz è possibile ricavare la legge di composizione dellevelocità. [Scrivete le trasformate di Lorentz e ricavate la legge di composizione dellevelocità; per semplicità fatelo solo nel caso unidimensionale.] Utilizzando tale leggenel caso di due osservatori inerziali che osservano lo stesso raggio di luce, ot-teniamo sempre la stessa velocità. [Disegnate i due osservatori ed il raggio di luce;fate i conti.]

3. La distanza spaziotemporale tra due eventi

s2 = ∆x2 − c2∆t2

è invariante sotto l’azione delle trasformate di Lorentz. Essa stabilisce se dueeventi dello spaziotempo possano o meno essere connessi da un rapporto dicausa ed effetto. [Scrivete le trasformate di Lorentz e dimostrare che s2 è invariante.][Eseguite l’esperimento concettuale del treno colpito dai due fulmini.]

4. La ridefinizione della massa ha comportato la ridefinizione di molte grandezzee leggi fisiche, prime tra tutte la quantità di moto ed i principi della dinamica.[Indicate in che modo tali concetti siano stati ridefiniti.] A questo punto, calco-landosi il lavoro di una forza su di una particella si ottiene la formulazionedell’energia cinetica della particella come

Ecin = Etot − Eriposo

dove l’energia totale della particella in funzione della sua velocità è di fattoequivalente alla sua massa

m =E

c2

267

Page 268: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

268 Scheda12. Relatività: soluzioni

La massa è quindi il modo in cui si manifesta l’energia confinata in una certaregione di spazio (in questo caso la particella). Questo concetto è comunqueancora più generale, in quanto il discorso non si limita alla sola energia cinetica,ma a tutte le forme di energia presenti in tale regione di spazio.

5. I fenomeni di dilatazione dei tempi e contrazione delle distanze sono una diret-ta conseguenza dell’utilizzo delle trasformate di Lorentz nel passaggio da unsistema di riferimento inerziale ad un altro. In un certo sistema di riferimentoun osservatore fermo misurerà la durata di un fenomeno con il suo orologioottenendo un certo risultato. Egli è fermo rispetto al fenomeno, cioè vedràaccadere l’inizio e la fine di tale fenomeno nello stesso luogo. Un secondo os-servatore, in moto rispetto al primo osservatore, vedrà il fenomeno iniziare efinire in luoghi differenti, e misurerà per la durata dello stesso fenomeno untempo maggiore di un fattore γ. [Dimostrate quanto detto con un esperimentoteorico.]

Analogalmente la distanza tra due punti dello spazio viene misurata in modidifferenti da osservatori differenti. Un osservatore fermo rispetto ai due puntidello spazio misurererà una certa distanza tra i punti; un secondo osservatore,in moto rispetto al primo, e che si muove da un punto del segmento all’altro,misurererà una distanza inferiore. [Eseguite ora i due esperimenti concettuali chemostrano questi fenomeni.]

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Page 269: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

Scheda 13Meccanica quantistica: soluzioniProblema di: Meccanica quantistica - H0001

Testo [H0001] [2 19 ] Rispondi alle seguenti domande.

1. Cos’è un corpo nero?

2. Nomina alcuni fenomeni fisici che hanno condotto alla quantizzazione delleonde elettromagnetiche

3. Quale idea innovativa è stata introdotta da Max Plank per spiegare lo spettrodi radiazione di corpo nero?

4. Cosa accomuna la descrizione della radiazione di corpo nero e dell’effetto fo-toelettrico?

5. Nell’effetto fotoelettrico troviamo l’equazione E = hν − φ. Indica il significatodi ognuno dei quattro termini presenti.

6. Ipotizziamo di far incidere un’onda elettromagnetica di determinata intensitàe frequenza, sulla superficie di un metallo, e di non vedere alcun elettrone inuscita dal metallo. Cosa devo fare, e perchè, al fine di riuscire ad estrarre unelettrone dal metallo?

7. Descrivi sinteticamente quali problematiche presenta il modello atomico diRutherford.

8. Quale idea di base permette di spiegare gli spettri a righe di emissione e assor-bimento degli atomi?

9. Come si giustifica il fatto che, ipotizzando orbite circolari, il raggio dell’orbitadi un elettrone intorno al nucleo è proporzionale a n2 con n ∈ N?

10. Quale semplice equazione mostra un legame tra il comportamento corpusco-lare ed ondulatorio di una particella?

11. Perchè nell’esperimento delle due fessure misurare da quale fessura passa l’e-lettrone fa sparire la figura di interferenza sullo schermo?

12. Nell’esperimento delle due fessure si vede che gli elettroni che attraversano lacoppia di fessure formano sullo schermo di rivelazione una figura di interfe-renza. Esattamente quali sono le due cose che hanno interferito tra loro?

13. In quale modo la meccanica quantistica descrive un sistema fisico?

14. Considera un sistema fisico formato da una particella che si muove verso unoschermo dotato di quattro differenti fessure e lo attraversa. Cosa posso affer-mare sullo stato fisico della particella, riguardo alla fessura che ha attraversato?

15. Considera un sistema fisico formato da una particella che si muove verso unoschermo dotato di quattro differenti fessure e lo attraversa. Se misuro la po-sizione della particella per sapere da quale fessura effettivamente passa, cosasuccede allo stato fisico della particella?

16. Considera una particella che attraversa una fessura di larghezza L. Il fatto chela particella abbia attraversato la fessura è una misura della sua posizione?

17. Considera una particella che attraversa una fessura di larghezza L, ed immagi-nate di stringere tale fessura. cosa succede alla componente dell’impulso lungotale fessura?

18. In meccanica quantistica si parla di sovrapposizione di stati. E’ corretto afferma-re che se uno stato fisico è rappresentato dalla sovrapposizione dello stato A edello stato B, con funzione d’onda φ = φA + φB allora significa che noi nonsappiamo in quale stato si trova il sistema, e solo dopo aver fatto una misu-ra possiamo sapere in quale dei due stati si trovava effettivamente il sistemaprima della misura?

19. Cosa afferma il principio di indeterminazione di Heisemberg?

Spiegazione Queste sono domande di teoria... l’unico modo per rispondere cor-rettamente è aver studiato.

269

Page 270: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

270 Scheda13. Meccanica quantistica: soluzioni

Svolgimento

1. Definisco corpo nero un qualunque sistema fisico in grado di assorbire ogniradiazione elettromagnetica incidente.

2. Lo spettro di emissione del corpo nero, l’effetto fotoelettrico e l’effetto Comp-ton

3. L’idea di Plank consiste nell’ipotizzare che la radiazione elettromagnetica scam-bi energia solo in quantità discrete in funzione della frequenza della radiazione.L’energia dei singoli pacchetti energetici è data da E = hν

4. La descrizione della radiazione di corpo nero e dell’effetto fotoelettrico sonoaccomunate dal descrivere l’energia del fotone come E = hν

5. Nell’equazioneE = hν − φ

E rappresenta l’energia cinetica dell’elettrone emesso, h è la costante di plank,ν è la frequenza della radiazione incidente, φ è l’energia di estrazione dell’elet-trone dal metallo.

6. Se non vedo elettroni estratti dalla superficie del metallo significa che l’energiadei singoli fotoni legati alla radiazione elettromagnetica non è sufficientementeelevata. Aumentare l’intensità dell’onda non risolve il problema in quanto si-gnificherebbe aumentare il numero di fotoni. Ciò che bisogna fare è aumentarela frequenza della radiazione in modo che aumenti l’energia del singolo fotoneE = hν

7. Nel modello atomico di Rutherford gli elettroni ruotano intorno ad un nucleocentrale e non ci sono vincoli sull’energia, e di conseguenza sul raggio del-l’orbita, che tale elettrone può avere. Le problematiche di tale modello sonoprincipalmente due:

(a) L’elettrone intorno al nucleo si muove di moto accelerato e quindi deveemettere radiazione di sincrotrone; l’elettrone perderebbe in tal caso ener-gia e diminuirebbe il raggio dell’orbita fino a collassare sul nucleo. Ovvia-

mente questo non accade in quanto la materia, per come la conosciamo,esiste.

(b) Potendo, nel modello di Rutherford, assumere valori di energia in modocontinuo, l’elettrone può assorbire ed emettere radiazione elettromagne-tica di qualunque energia. L’analisi degli spettri di emissione ed assorbi-mento mostrano invece che la radiazione viene assorbita ed emessa in va-lori discreti. Ogni elemento assorbe ed emette fotoni solo in determinatefrequenze.

8. Gli spettri di emissione ed assorbimento a righe sono giustificati dal fatto chegli elettroni in un atomo si trovano su livelli energetici discreti e ben determina-ti. Gli elettroni emettono/assorbono energia passando da un’orbita ad un’altrae quindi da un’energia ben determinata ad un’altra. L’energia della radiazio-ne emessa/assorbita è pari alla differenza di energia tra le orbite dell’elettroneprima e dopo l’assorbimento/emissione della radiazione.

9. Il raggio dell’orbita è quantizzato in quanto l’elettrone può trovarsi solo suorbite la cui circonferenza sia pari ad un numero intero di volte la lunghezzad’onda1

2πrn = nλ

con n ∈ N

10. Ad ogni particella è associabile una lunghezza d’onda λ, detta lunghezza d’on-da di De Broglie, dipendente dall’impulso p della particella

λ =h

p

11. Nell’esperimento delle due fessure, la figura di interferenza si forma grazie allapresenza contemporanea di due stati fisici, ognuno dei quali rappresentantel’eletrone che passa in una determinata fessura, che interferiscono tra loro. Nelmisurare in quale fessura passa l’elettrone, noi lo facciamo transire in uno statofisico in cui è presente solo uno dei due stati, quindi non è più possibile alcunfenomeno di interferenza.

1Qui la domanda va completata indicando tutti i passaggi matematici utilizzati.

Page 271: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

271 Scheda13. Meccanica quantistica: soluzioni

12. Nell’esperimento delle due fessure gli elettroni coinvolti si trovano in uno statofisico di sovrapposizione dello stato di elettrone che attraversa la prima fessurae dello stato di elettrone che attraversa la seconda fessura. I due stati sonocontemporaneamente presenti e possono interferire tra loro.

13. In meccanica quantistica un sistema fisico è descritto da una funzione d’on-da. Eseguendo una misura su tale stato fisico, con la funzione d’onda pos-siamo ricavare la probabilità di ottenere per tale misura un determinato risul-tato. L’evoluzione nel tempo di tale stato fisico è descritta dall’equazione diSchrodinger applicata alla funzione d’onda di tale stato fisico.

14. Non avendo eseguito alcuna misura di posizione, la particella si trova in unostato fisico dato dalla sovrapposizione di quattro differenti stati fisici, ognunoche descrive la particella che passa da una determinata fessura. Indichiamocon a, b, c, d le quattro fessure. Assumendo che la probabilità di passare daogni fessura sia equivalente, la funzione d’onda della particella sarà

ψ =1

2ψa +

1

2ψb +

1

2ψc +

1

2ψd

15. Prima della misura lo stato fisico della particella è la sovrapposizione di quattrostati, ognuno che descrive la particella passante per una determinata fessura

ψ =1

2ψa +

1

2ψb +

1

2ψc +

1

2ψd

Misurare la posizione della particella fa transire lo stato fisico in uno degli statiche descrivono la particella che passa da una determinata fessura. Ipotizzandoche il risultato della misura sia che la particella è passata dalla fessura a, lafunzione d’onda della particella sarà ora

ψ = ψa

16. Se affermo che in un certo istante una particella ha attraversato una determina-ta fessura, di fatto sto dicendo che sapevo dove si trovava, quindi di fatto ho ef-fettuato una misura della sua posizione. Visto che la fessura ha una lunghezzaL, allora la misura presenta un’incertezza sulla posizione pari a

∆x =L

2

17. Far passare una particella attraverso una fessura equivale a misurarne la po-sizione con una certa incertezza proporzionale alla larghezza della fessura.Stringendo la fessura, diminuisce l’incertezza sulla misura della posizione, edi conseguenza, per il principio di indeterminazione di Heisemberg, aumental’incertezza sulla misura contemporanea della componente dell’impulso lungoil piano della fessura.

18. No, quanto affermato nella domanda non è corretto. Per come è posta la do-manda, infatti, sembra che la particella si trovi sempre o nello stato A o nellostato B, e sembra che il concetto di sovrapposizione sia legato alla nostra igno-ranza (non-conoscenza) sull’effettivo stato della particella. In realtà se uno sta-to fisico è descritto dalla sovrapposizione di due stati, entrambi gli stati sono ef-fettivamente contemporaneamente presenti in determivate proporzioni; è soloa seguito di una nostra misura che lo stato transisce verso uno solo dei due statiche prima si sovrapponevano, con probabilità che dipende dalle proporzionicon cui sono presenti i due stati.

19. Il principio di indeterminazione di Heisemberg afferma che esistono coppie digrandezze fisiche tali per cui non è possibile misurarle contemporaneamentecon arbitraria precisione. Se per esempio consideriamo la posizione e l’impulsodi una particella, il prodotto delle loro incertezze di misura sarà sempre

∆x∆p ≥ h

Autore: Andrea de Capoa 27 Mag 2016

Page 272: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

272 Scheda13. Meccanica quantistica: soluzioni

Problema di: Meccanica quantistica - H0002

Testo [H0002] [4 12 ] Rispondi alle seguenti domande.

1. Quali fenomeni fisici hanno portato alla comprensione della natura corpuscola-re della radiazione elettromagnetica, e cosa si intende esattamente per “naturacorpuscolare” della radiazione elettromagnetica.

2. La natura ondulatoria delle particelle permette di superare le problematiche in-site nel modello atomico di Rutherford e di arrivare al modello di Bohr. Spiegaquali siano tali problematiche e descrivi come esse vengano superate.

3. Utilizzando come esempio l’esperimento delle due fessure di cui devi dare bre-ve descrizione, indica come nella meccanica quantistica venga descritto lo statodi un certo sistema fisico e cosa significhi fare una misura su di esso.

4. Enuncia il principio di indeterminazione di Heisemberg

Spiegazione Queste sono domande di teoria... l’unico modo per rispondere cor-rettamente è aver studiato.

Svolgimento

1. Due fenomeni fisici che hanno portato alla comprensione della natura corpu-scolare della luce sono la radiazione di corpo nero e l’effetto fotoelettrico. Lospettro di radiazione di corpo nero, misurato sperimentalmente, ha un anda-mento completamente differente da quanto previsto dalla teoria classica dell’e-lettromagnetismo. Solo assumendo che la luce possa scambiare energia con lamateria in pacchetti di energia

Eγ = hν

le discrepanze tra dati sperimentali e previsioni teoriche si annullano. L’effettofotoelettrico descrive il modo in cui la radiazione elettromagnetica è in gradodi estrarre un elettrone da un metallo; l’energia dell’elettrone estratto dipende

dalla frequenza della radiazione incidente e non dalla sua intensità secondo laformula

Ec = hν − φ

Come per lo spettro di corpo nero, anche in questo caso l’energia della radia-zione elettromagnetica è scambiata soltanto per pacchetti discreti.

2. Il modello atomico di Rutherford non funziona per due principali motivi. Inprimo luogo una carica elettrica accelerata emette radiazione di sincrotronee quindi perde energia. La sua orbita dovrebbe quindi ridurre gradualmen-te il raggio fino a collassare sul nucleo, cosa che ovviamente non avviene. Insecondo luogo, potendo l’elettrone ruotale a qualunque distanza dal nucleo,esso può scambiare energia in modo continuo; lo spettro di assorbimento ri-sulterebbe uno spettro continuo e non uno spettro a righe come mostrato daidati sperimentali. Uno spettro a righe è giustificabile solo ipotizzando orbite,e conseguenti livelli energetici, discreti. La presenza di livelli energetici discre-ti implicherebbe inoltre l’esistenza di un livello energetico di minima energiasotto il quale l’elettrone non può andare, impedendo che l’elettrone possa col-lassare sul nucleo. Per giustificare la presenza di livelli energetici discreti bastaconsiderare che ad ogni elettrone è associabile una lunghezza d’onda

λ =h

mV

Questo implica che la lunghezza dell’orbita dell’elettrone intorno al nucleodebba essere un multiplo intero della lunghezza d’onda dell’elettrone.

2πr = nλ

con n ∈ N. I raggi delle orbite, e di conseguenza le loro energie, risultanoquindi discretizzati.

3. Nell’esperimento delle due fessure un elettrone viene mandato attraverso duefessure e, sullo schermo di rivelazione posto oltre le fessure, si vede una figuradi interferenza. Questo viene spiegato dal fatto che la funzione d’onda del-l’elettrone è la sovrapposizione di due differenti stati, quello in cui l’elettrone

Page 273: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

273 Scheda13. Meccanica quantistica: soluzioni

passa nella fessura di sinistra e quello in cui passa nella fessura di destra. Idue stati, oltre le fessure, interferiscono tra loro per formare la figura di interfe-renza. Se misuriamo attraverso quale fessura l’elettrone effettivamente passa,facciamo transire la funzione d’onda da sovrapposizione di due stati differentiin uno solo dei due stati. L’elettrone quindi passa da una sola delle due fessuree dopo di essa non sono più presenti due stati che possono interferire tra loro,quindi non è più presente sullo schermo la figura di interferenza.

4. Il principio di indeterminazione afferma che esistono coppie di grandezze fi-siche che non possono essere misurate contemporaneamente con arbitrariaprecisione, per cui

∆x∆p ≤ h

Autore: Andrea de Capoa 31 Mag 2016

Page 274: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

Scheda 14Esperienze svolte di laboratorio

274

Page 275: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

Scheda 15Esperimenti di calorimetria15.1 Misura del coefficiente di dilatazione termica li-

neare

15.1.1 Apparato sperimentale

Per questa misura disponiamo di:

• Una sbarra cava di alluminio

• Un bollitore per produrre vapore acqueo

• Un termometro

• Un comparatore (precisione 0, 01mm; portata 10mm

• Un tubo in gomma

Con il bollitore produciamo vapore acqueo e, utilizzando il tubo in gomma, lofacciamo passare all’interno della sbarra cava. Il vapore scalderà la sbarra che, comeconseguenza, si allungherà. Con il termometro misuriamo prima la temperatura ini-ziale della sbarra (coincidente con la temperatura dell’ambiente), e successivamentela temperatura dell’acqua calda in uscita dalla sbarra; con il comparatore misuriamol’allungamento della sbarra. Assumiamo che la temperatura della sbarra riscaldatasia uguale alla temperatura dell’acqua che esce dalla sbarra.

15.1.2 Dati sperimentali e loro elaborazione

In tabella 15.1 sono mostrati scritti in nero i dati sperimentali presi in laboratorio.Scritti in blu sono i valori delle varie grandezze fisiche calcolati a partire dai datisperimentali.

Consideriamo la prima riga della tabella dei dati. Cominciamo con il calcolare glierrori relativi di tutte le misure.

Er−li =1mm

500mm= 0, 002 = 0, 2%

Er−∆l =0, 01mm

0, 67mm= 0, 015 = 1, 5%

Er−Ti =1 C

24 C= 0, 042 = 4, 2%

Er−Tf =5 C

75 C= 0, 067 = 6, 7%

Calcoliamo adesso la variazione di temperatura della sbarra

∆T = Tf − Ti = 51C

Ea−∆T = 1C + 5C = 6C

Er−∆T =6C

51C= 0, 118 = 11, 8%

Possiamo adesso calcolare il coefficiente di dilatazione lineare

λ =∆l

li∆T= 26, 3 · 10−6 1

K

Er−λ = 0, 2% + 1, 5% + 11, 8% = 13, 5%

Ea−λ = λ · Er−λ = 3, 6 · 10−6 1

K

I conti relativi alle righe successive della tabella sono del tutto analoghi.

15.1.3 Conclusioni

Abbiamo misurato il coefficiente di dilatazione lineare dell’alluminio ottenendo unvalore compatibile con quello riportato nelle tabelle ufficiali.

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

275

Page 276: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

276 Scheda15. Esperimenti di calorimetria

n li Er−li Ti Er−Ti Tf Er−Tf ∆l Er−δl ∆T Er−δT λ Er−lambda

[mm] [mm] [C] [C] [C] [C] [mm] [mm] [C] [C] [ 1K ] [ 1

K ]1 500± 1 0, 2% 24± 1 4, 2% 75± 5 6, 7% 0, 67± 0, 01 1, 5% 51± 6 11, 8% 26, 3 · 10−6 ± 3, 6 · 10−6 13, 5%

Tabella 15.1: Dati sperimentali: li è la lunghezza iniziale della sbarra; Ti è la temperatura iniziale della sbarra; Tf è la temperatura finale della sbarra; ∆l è l’allungamento della sbarra. Con questi dati abbiamo calcolato la variazionedi temperatura della sbarra ∆T ed il coefficiente di dilatazione lineare λ.

Page 277: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

Scheda 16Esperimenti di meccanica16.1 Verifica del secondo principio della dinamica

16.1.1 Apparato sperimentale

Per questa misura disponiamo di:

• Una rotaia senza attrito

• Un carrello che scorra sulla rotaia tirato da un pesino in caduta. ChiameremoM la massa del carrello e m la massa del pesino

• Due sensori a fotocellula ed un multitimer (misuratore di tempi ed intervalli ditempo sulla base dei segnali dei sensori

Il pesino, cadendo, tira il carrello. Il carrello con una linguetta di metallo lungal = 4 cm = 0, 04m aziona il sensore; il multitimer registra l’istante nel quale il sen-sore viene azionato e l’intervallo di tempo che impiega la linguetta del carrello adazionare il sensore. Il carrello ha quindi fatto uno spostamento lungo l nel tempo ∆t

misurato dallo strumento.

16.1.2 Scopo e svolgimento

Lo scopo dell’esperienza è verificare la correttezza del secondo principio della dina-mica:

Ftot = mtot · a

Per fare questo prima di tutto calcoliamo l’accelerazione che dovrebbe avere ilcarrello considerando la precedente legge. Dal momento che usiamo una rotaia sullaquale il carrello può viaggiare con un attrito trascurabile, non terremo conto delleforze di attrito. L’unica forza che agisce lungo la linea del moto del carrello è la forzadi gravità sul pesino Fg = mg. il sistema in movimento è però costituito dal pesinoe dal carrello, entrambi che si muovono con la stessa accelerazione, per cui

Fg = (M +m) · a

aattesa =m

M +m· g

Questo dato andrà confrontato con il valore misurato utilizzando la rotaia senzaattrito.

La rotaia misura i due istanti di tempo ta e tb nei quali il carrello attraversa la loroposizione. Per cui, per passare dalla posizione del primo sensore alla posizione delsecondo sensore il carrello impiega un periodo di tempo

∆t = tb − ta

Possiamo inoltre misurare la velocità del carrello negli istanti nei quali raggiunge laposizione dei sensori

Va =l

∆ta

Vb =l

∆tb

Con questi dati siamo in grado di misurare l’accelerazione effettivamente avuta dalcarrello

amisurata =∆V

∆t

I due valori di accelerazione ottenuti dovranno essere in accordo, altrimenti lalegge è falsa.

16.1.3 Dati sperimentali e loro elaborazione

In tabella 16.1 sono mostrati scritti in nero i dati sperimentali presi in laboratorio.Scritti in tabella 16.2 sono i valori delle varie grandezze fisiche calcolati a partire daidati sperimentali. Consideriamo la prima riga della tabella dei dati. La massa totaledel sistema vale

Mtot = M +m = 392 g ± 1 g;Er = 0, 3%

Adesso possiamo calcolarci l’accelerazione attesa del sistema

aattesa =m

M +mg = 0, 625

m

s2± 0, 002

m

s2;Er = 0, 3%

Adesso ci possiamo calcolare l’accelerazione effettivamente misurata dallo stru-mento. Cominciamo con l’intervallo di tempo impiegato dal carrello per andare da

277

Page 278: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

278 Scheda16. Esperimenti di meccanica

un sensore all’altro

∆t = tb − ta = 0, 606 s± 0, 002;Er = 0, 3%

Le velocità a cui andava il carrello nei punti in cui sono stati posizionati i sensorisono

Va =l

∆ta= 0, 526 s± 0, 007 s;Er = 1, 3%

Vb =l

∆tb= 0, 909 s± 0, 021 s;Er = 2, 3%

Quindi la variazione di velocità è stata

∆V = Vb − Va = 0, 383m

s± 0, 028

m

s;Er = 7, 2%

Siamo adesso in grado di calcolare l’accelerazione misurata dallo strumento.

amisurata =∆V

∆t

amisurata = 0, 632m

s2± 0, 048

m

s2;Er = 7, 5%

I conti relativi alle righe successive della tabella sono del tutto analoghi.

16.1.4 Conclusioni

Come si può vedere dalla tabella 16.2 l’accelerazione attesa del sistema è in perfettoaccordo con l’accelerazione misurata dallo strumento, quindi non abbiamo elementiper affermare che il secondo principio della dinamica sia falso.

Page 279: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

279 Scheda16. Esperimenti di meccanica

n m M g l ta tb ∆ta ∆tb

[g] [g] [ms2 ] [m] [m] [s] [s] [s]1 25 367± 1 9, 807± 0, 001 0, 04 0, 838± 0, 001 1, 444± 0, 001 0, 076± 0, 001 0, 044± 0, 001

3 25 367± 1 9, 807± 0, 001 0, 04 0, 847± 0, 001 1, 454± 0, 001 0, 076± 0, 001 0, 044± 0, 001

Tabella 16.1: Dati sperimentali: m è la massa del pesino; M è la massa del carrello; g è l’accelerazione di gravità; l è la lunghezza della linguetta di metallo che oscura la fotocellula del sensore;ta e tb sono i due istanti nei quali ilcarrello passa dai due sensori; ∆ta e ∆tb sono gli intervalli di tempo impiegati dai carrelli per percorrere una distanza l quando arrivano ai due sensori. Dove l’errore non è segnato è perchè il valore ha un’incertezza sperimentale del tuttotrascurabile, in quanto misure di grandezze di oggetti creati in laboratori specializzati con strumentazioni di precisione ordini di grandezza superiori alle nostre.

n aattesa = mm+M g ∆t Va Vb ∆V amisurata

[ms2 ] [s] [ms ] [ms ] [ms ] [ms2 ]1 0.625± 0.002 0, 606± 0, 002 0, 526± 0, 007 0, 909± 0, 021 0, 383± 0, 028 0, 632± 0.048

2 0.625± 0.002 0, 607± 0, 002 0, 526± 0, 007 0, 909± 0, 021 0, 383± 0, 028 0, 631± 0.048

Tabella 16.2: Prima elaborazione: misura dell’accelerazione del sistema delle due masse ottenuta dallo strumento. ∆t è l’intervallo di tempo impiegato dal carrello a spostarsi dal primo sensore al secondo; Va e Vb sono le due velocitàdel carrello in prossimità dei due sensori; δV è la variazione di velocità avuta dal carrello da un sensore all’altro; a è l’accelerazione del sistema.

Page 280: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

280 Scheda16. Esperimenti di meccanica

16.2 Determinazione della legge per calcolare il perio-do del pendolo

16.2.1 Scopo

il moto del pendolo è un moto periodico. Vogliamo in questa esperienza determinarela legge per calcolare il periodo di un pendolo di lunghezza nota.

16.2.2 Apparato sperimentale

Per questa esperienza disponiamo di:

1. un metro per misurare delle lunghezze (portata: 3metri; sensibilità: 1mm)

2. un cronometro per misurare il periodo del pendolo (sensibilità: 0, 01 s)

3. del filo per costruire pendoli di differenti lunghezze

4. un pesino da appendere al filo per realizzare un pendolo.

16.2.3 Svolgimento

Per prima cosa cerchiamo di determinare quali sono le grandezze fisiche determi-nanti per calcolare il periodo di un pendolo. In linea di principio potremmo con-siderare la massa del pesino, la lunghezza del pendolo, l’accelerazione di gravità,l’angolo di partenza. Con due semplici esperimenti possiamo escudere la massa delpesino e l’angolo di partenza. Per escludere l’importanza della massa è infatti suf-ficiente prendere un determinato pendolo di lunghezza fissa e misurare i periodi dioscillazione di masse differenti attaccate allo stesso filo. Come si può notare il pe-riodo del pendolo non cambia qualunque sia la massa applicata al filo. Allo stessomodo possiamo procedere per escludere l’angolo di partenza, perlomeno per piccolivalori dell’angolo. Rimangono quindi la lunghezza del pendolo e l’accelerazione digravità. l’unico modo di costruire una formula in modo tale che le unità di misu-ra siano consistenti è quello di scrivere che il periodo del pendolo è proporzionale

alla radice quadrata del rapporto tra la lunghezza del pendolo e l’acc elerazione digravità.

T = a ·

√l

g

Non ci rimane adesso che fare un esperimento per misurare il valore di a. Facen-do la formula inversa per ricavare a avremo

a = T ·√g

l

Basterà eseguire molte misure contemporanee di T e l ed avremo di conseguen-za molte misure del valore di a desiderato. Nella tabella 16.3 sono mostrati i datisperimentali ed una loro prima elaborazione.

n l T g a = T ·√

gl

[m] [s] [ms2 ]1 0.897± 0.001 2, 04± 0, 20 9, 807± 0, 001 6, 35

2 1.080± 0.001 2, 00± 0, 20 9, 807± 0, 001 6, 03

3 1.766± 0.001 2, 61± 0, 20 9, 807± 0, 001 6, 14

4 2.190± 0.001 2, 92± 0, 20 9, 807± 0, 001 6, 17

Tabella 16.3: Misura del periodo e della lunghezza di un pendolo al fine di determinare la formula per calcolareil periodo del pendolo in funzione della sua lunghezza.

Il risultato per il valore di a risulta quindi essere

a = 6.17± 0.16

Calcoli teorici che esulano dal programma di studio delle scuole superiori, che ilvalore corretto per piccole oscillazioni di un pendolo è

ateorico = 2π = 6, 28

perfettamente in linea con i risultati del nostro esperimento.

Page 281: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

281 Scheda16. Esperimenti di meccanica

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Page 282: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

Scheda 17Schede di esperienze di laboratorio

282

Page 283: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

Scheda 18Studio di una molla18.1 Misura della costante elastica

Descrivi cosa sia una costante elastica. Enuncia e spiega la formula della forza ela-stica e dell’energia potenziale elastica. Indica la formula del periodo di oscillazionedi una molla.

18.1.1 Metodo degli allungamenti

Materiale utilizzato

Descrivi quali materiali hai utilizzato. Disegna uno schema dell’apparato sperimen-tale in modo tale che risulti chiara non solo la disposizione degli oggetti, ma anche illoro utilizzo.

Strumenti utilizzati

Descrivi quali strumenti di misura hai utilizzato e indicane la portata e la sensibilità.

Procedimento

Devi applicare una forza conosciuta alla molla (appendendo ad essa un pesino) emisurare il conseguente allungamento. Per ogni misura trova il valore della costanteelastica k della molla. Descrivi il procedimento da te seguito. Inserisci i dati ottenutinella tabella 18.1 riempiendo tutte le caselle della tabella.

Con i dati ottenuti riempi adesso la tabella 18.2. Indica in che modo hai calcolatoil’errore assoluto su kmedio

Conclusioni

Riportate il risultato di questo primo esperimento e scrivete qui eventuali commenti.

n Fg ∆l k

m Fg Ea,Fg Er,Fg ∆l Ea,∆l Er,∆l k Ea,k Er,k

[kg] [N] [N] [%] [cm] [cm] [%][Ncm

] [Ncm

][%]

12345

Tabella 18.1: Dati sperimentali sull’allungamento di una molla.

kmedio Ea,km Er,km[Ncm

] [Ncm

][%]

Tabella 18.2: Analisi finale dei dati sperimentali sull’allungamento di una molla. Calcolo del valor medio deivalori di k.

18.1.2 Metodo dell’oscillazione

Materiale utilizzato

Descrivi quali materiali hai utilizzato. Disegna uno schema dell’apparato sperimen-tale in modo tale che risulti chiara non solo la disposizione degli oggetti, ma anche illoro utilizzo.

Strumenti utilizzati

Descrivi quali strumenti di misura hai utilizzato e indicane la portata e la sensibilità.

283

Page 284: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

284 Scheda18. Studio di una molla

Procedimento

Applica un peso di massa conosciuta alla molla, e falla oscillare verticalmente, mi-surando il conseguente periodo di oscillazione. Per ogni misura trova il valore dellacostante elastica k della molla. Descrivi il procedimento da te seguito. Inserisci i datiottenuti nella tabella 18.3 riempiendo tutte le caselle della tabella.

n m ∆t k

m Ea,m Er,m ∆t Ea,∆t Er,∆t k Ea,k Er,k

[kg] [kg] [%] [s] [s] [%][Ncm

] [Ncm

][%]

12345

Tabella 18.3: Dati sperimentali sull’oscillazione di una molla.

Con i dati ottenuti riempi adesso la tabella 18.4.

kmedio

kmedio Ea,k Er,k[Ncm

] [Ncm

][%]

Tabella 18.4: Analisi finale dei dati sperimentali sull’oscillazione di una molla. Calcolo del valor medio dei valoridi k.

Conclusioni

Riportate il risultato di questo secondo esperimento e scrivete qui eventuali com-menti.

18.1.3 Conclusioni

I due valori ottenuti per la costante elastica k sono

ka = ...N

cm± ... N

cm

eko = ...

N

cm± ... N

cm

Indica se i due valori sono in accordo oppure no. Se le due misure hanno errori moltodifferenti tra loro indicane il perché.

Autore: Andrea de Capoa 17 Feb 2016

Page 285: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

Scheda 19Misura dell’accelerazione di gravità tramite il pendolo19.1 Scopo dell’esperienza

Misura del valore dell’accelerazione di gravità utilizzando un pendolo.

19.2 Contesto teorico

Un pendolo semplice è costituito da unfilo di massa trascurabile e di lunghezzal con appeso un peso di una certa massam. Il periodo di oscillazione del pendo-lo è calcolabile tramite l’equazione scrit-ta qui a lato. Tale equazione vale solonell’ipotesi di piccole oscillazioni.

Inserisci qui la formula per calcolare il periodo del

pendolo semplice

Per misurare l’accelerazione di gravità utilizzeremo quindi la formula ricavatanel seguente modo:

Inserisci qui i passaggi per ottenere la formula inversa

19.3 Materiali e strumenti utilizzati

I materiali utilizzati per eseguire gli esperimenti sono:

Inserisci qui i materiali che hai utilizzato

Gli strumenti utilizzati sono:

Inserisci qui nome e caratteristiche degli strumenti utilizzati

• Primo strumento:

• Secondo Strumento:

19.4 Tecnica di misura

Cominciamo con il misurare la lunghezza del pendolo. Tale lunghezza è la distanzatra il punto A: e il punto B:Facciamo compiere al pendolo n = oscillazioni e ne misuriamo il periodo Tn.Facciamo questo con lo scopo di

Inserisci qui il motivo per cui misuri il periodo di n oscillazioni e non quello si una oscillazione

Ripetiamo la misura di Tn molte volte inserendo i dati nella tabella 19.1.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11Tn

Tabella 19.1: Elenco delle misure effettuate sul periodo di oscillazione Tn

19.5 Analisi dei dati

La lunghezza del pendolo utilizzato vale:

285

Page 286: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

286 Scheda19. Misura dell’accelerazione di gravità tramite il pendolo

Inserisci qui la misura L della lunghezza del pendolo ed i rispettivi errori assoluti e relativi

Con le misure dei periodi di oscillazione Tn ricavo la misuta del periodo di oscil-lazione Tn ed i relativi errori di misura.

Inserisci qui la descrizione di quali calcoli esegui per trovare Tn ed i rispettivi errori assoluti e relativi

Calcoliamo adesso la durata di una oscillazione T 1

Inserisci qui la descrizione di quali calcoli esegui per trovare T 1 ed i rispettivi errori assoluti e relativi

Possiamo adesso calcolare il valore dell’accelerazione di gravità che otteniamodai dati del nostro esperimento

Inserisci qui la descrizione di quali calcoli esegui per trovare g ed i rispettivi errori assoluti e relativi

19.6 Conclusioni

Inserisci qui le conclusioni della tua esperienza, confrontando il valore da te ottenuto con il valore riportato dai

libri di testo.

19.7 Autore della scheda

Inserisci qui i toi dati: Nome e Cognome, Classe, Data.

19.8 Valutazione del docente

Questa sezione verrà compilata dal docente.

Autore: Andrea de Capoa 17 Mag 2016

Page 287: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

Scheda 20Correlazione tra periodo e lunghezza del pendolo20.1 Scopo dell’esperienza

Analizzare la correlazione tra il periodo del pendolo e la sua lunghezza.

20.2 Contesto teorico

Un pendolo semplice è costituito da unfilo di massa trascurabile e di lunghezzal con appeso un peso di una certa massam. Il periodo di oscillazione del pendo-lo è calcolabile tramite l’equazione scrit-ta qui a lato. Tale equazione vale solonell’ipotesi di piccole oscillazioni.

Inserisci qui la formula per calcolare il periodo del

pendolo semplice

Per analizzare la relazione tra il periodo del pendolo semplice e la sua lunghezzautilizzeremo la formula ricavata nel seguente modo:

Inserisci qui i passaggi per ottenere la formula da utilizzare

20.3 Materiali e strumenti utilizzati

I materiali utilizzati per eseguire gli esperimenti sono:

Inserisci qui i materiali che hai utilizzato

Gli strumenti utilizzati sono:

Inserisci qui nome e caratteristiche degli strumenti utilizzati

• Primo strumento:

• Secondo Strumento:

20.4 Tecnica di misura

Cominciamo con il misurare la lunghezza del pendolo. Tale lunghezza è la distanzatra il punto A: e il punto B:Facciamo compiere al pendolo n = oscillazioni e ne misuriamo il periodo Tn.Facciamo questo con lo scopo di

Inserisci qui il motivo per cui misuri il periodo di n oscillazioni e non quello si una oscillazione

Ripetiamo questa misura molte volte, cambiando ogni volta la misura della lun-ghezza del pendolo, inserendo i dati nell’elenco in tabella 20.1.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11l

Tn

Tabella 20.1: Elenco delle misure effettuate sul periodo di oscillazione Tn

287

Page 288: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

288 Scheda20. Correlazione tra periodo e lunghezza del pendolo

20.5 Analisi dei dati

Con le misure dei periodi di oscillazione Tn ricavo la misuta del periodo di oscilla-

zione T1 =Tnn

e calcoliamo T 21 . Costruiamo adesso una nuova tabella in modo da

avere una proporzionalità diretta tra le due grandezze che stiamo analizzando.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11l

T 21

Tabella 20.2: Elenco delle misure effettuate: si studia l’andamento di T 2 in funzione di l

Adesso indicate i dati sperimentali in figura e provate a verificare con un righel-lo se tali dati si dispongono su di una linea retta passante per l’origine. Provate adisegnare tale linea e calcolare dal grafico il valore del coefficiente angolare.

0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4

2

4

6

8

l

T 21

Fig. 20.1: Riporta su questo grafico i dati sperimentali e traccia la retta di regressione.

20.6 Conclusioni

Inserisci qui le conclusioni della tua esperienza, confrontando il valore da te ottenuto con il valore riportato dai

libri di testo.

20.7 Autore della scheda

Inserisci qui i toi dati: Nome e Cognome, Classe, Data.

20.8 Valutazione del docente

Questa sezione verrà compilata dal docente.

Autore: Andrea de Capoa 17 Mag 2016

Page 289: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

Scheda 21Misura della costante elastica di una molla21.1 Scopo dell’esperienza

Misura della costante elastica di una molla tramite la misura dell’aoscillazione ar-monica di un peso as essa collegata.

21.2 Contesto teorico

Un oscillatore armonico può essere rea-lizzato tramite un peso attaccato ad unamolla e messo in oscillazione. Il perio-do dell’oscillazione è ricavabile tramite laformula scritta qui a lato.

Inserisci qui la formula per calcolare il periodo

dell’oscillatore armonico.

Per misurare la costante elastica della molla utilizzeremo quindi la formula rica-vata nel seguente modo:

Inserisci qui i passaggi per ottenere la formula inversa

21.3 Materiali e strumenti utilizzati

I materiali utilizzati per eseguire gli esperimenti sono:

Inserisci qui i materiali che hai utilizzato

Gli strumenti utilizzati sono:

Inserisci qui nome e caratteristiche degli strumenti utilizzati

• Primo strumento:

• Secondo Strumento:

21.4 Tecnica di misura

Cominciamo con il misurare la massa del pesino applicato alla molla: essa valeM = ±

Facciamo compiere all’oscillatore n = oscillazioni e ne misuriamo il perio-do Tn. Facciamo questo con lo scopo di

Inserisci qui il motivo per cui misuri il periodo di n oscillazioni e non quello si una oscillazione

Ripetiamo questa misura molte volte ed inseriamo i dati nell’elenco in tabella21.1.

Tabella 21.1: Elenco delle misure effettuate sul periodo di oscillazione Tn

289

Page 290: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

290 Scheda21. Misura della costante elastica di una molla

21.5 Analisi dei dati

Con le misure dei periodi di oscillazione Tn ricavo la misuta del periodo di oscilla-zione Tn ed i relativi errori di misura.

Inserisci qui la descrizione di quali calcoli esegui per trovare Tn ed i rispettivi errori assoluti e relativi

Calcoliamo adesso la durata di una oscillazione T 1

Inserisci qui la descrizione di quali calcoli esegui per trovare T 1 ed i rispettivi errori assoluti e relativi

Possiamo adesso calcolare il valore della costante elastica della molla che ottenia-mo dai dati del nostro esperimento

Inserisci qui la descrizione di quali calcoli esegui per trovare k ed i rispettivi errori assoluti e relativi

21.6 Conclusioni

Inserisci qui le conclusioni della tua esperienza.

21.7 Autore della scheda

Inserisci qui i toi dati: Nome e Cognome, Classe, Data.

21.8 Valutazione del docente

Questa sezione verrà compilata dal docente.

Autore: Andrea de Capoa 17 Mag 2016

Page 291: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

Scheda 22Misura della costante elastica di una molla22.1 Scopo dell’esperienza

Inserisci qui lo scopo dell’esperienza.

22.2 Contesto teorico

Inserisci qui lo schema delle forze ed i conti per arrivare alla formula di k.

22.3 Materiali e strumenti utilizzati

I materiali utilizzati per eseguire gli esperimenti sono:

Inserisci qui i materiali che hai utilizzato

Gli strumenti utilizzati sono:

Inserisci qui nome e caratteristiche degli strumenti utilizzati

• Primo strumento:

• Secondo Strumento:

22.4 Tecnica di misura

Descrivi con precisione tutto ciò che hai fatto per effettuare la presa dei dati.

291

Page 292: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

292 Scheda22. Misura della costante elastica di una molla

22.5 I dati raccolti

Scrivi qui la tabella con tutti i dati dell’esperimento indicati al suo interno (sia i dati raccolti che le grandezze

calcolate successivamente).

22.6 Analisi dei dati e conclusione

Descrivi che operazioni fai per raggiungere lo scopo dell’esperimento a partire dai dati raccolti. indica il valore

misurato della costante k.

22.7 Autore della scheda

Inserisci qui i toi dati: Nome e Cognome, Classe, Data.

22.8 Valutazione del docente

Questa sezione verrà compilata dal docente.

Autore: Andrea de Capoa 7 Feb 2018

Page 293: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

Scheda 23Verifica della legge dei gas23.1 Scopo dell’esperienza

Verifica della legge dei gas perfetti durante una trasformazione isoterma

23.2 Contesto teorico

Un gas si dice perfetto quando le interazioni tra le molecole del gas non vi sonointerazioni. Esse si muovono in modo indipendente le une dalle altre.

Scrivi qui la legge dei gas perfetti.

23.2.1 Il metodo sperimentale

1. Per verificare la legge dei gas perfetti misuriamo le variabili del gas in uno statoiniziale

2. Facciamo compiere al gas una trasformazione isoterma fino a raggiungere undeterminato volume.

3. Utilizzando la legge dei gas prediciamo quale sarà il valore atteso della pres-sione nello stato finale del gas.

4. Misuriamo la pressione del gas nello stato finale della trasformazione utiliz-zando gli strumenti.

5. Confrontiamo il valore misurato con il valore predetto.

Inserisci qui i passaggi per calcolare il valore della pressione finale a partire dai dati iniziali

23.3 Materiali e strumenti utilizzati

In questa esperienza l’unico materiale è il gas all’interno del contenitore: l’aria.Gli strumenti utilizzati per fare le misure sono:

Inserisci qui nome e caratteristiche degli strumenti utilizzati

• Primo strumento:

• Secondo strumento:

• Terzo strumento:

• Quarto strumento:

293

Page 294: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

294 Scheda23. Verifica della legge dei gas

23.4 Tecnica di misura

Misuriamo la pressione atmosferica nella stanza

Patm = ± .

Misuriamo le variabili del gas nello stato iniziale. Il barometro sullo strumentomisura un ∆P tra l’atmostera e laria nel cilindro graduato. Il barometro a muromisura la pressione dell’aria nella stanza.

∆Pi = ± .

Vi = ± .

Ti = ± .

Misuriamo le variabili del gas nello stato finale.

∆Pf = ± .

Vf = ± .

Tf = ± .

23.5 Analisi dei dati

Cominciamo con il calcolare i valori di pressione Pi e PfPi = ± .

Pf = ± .

Con le misure fatte sullo stato iniziale del gas calcoliamo la nostra previsionesullo stato finale del gas.

Inserisci qui il calcolo di Pfcalc a partire dai dati iniziali Patm, Pi, Vi, Vf

Calcoliamo adesso l’errore di misura su Pfcalc

Inserisci qui la descrizione di quali calcoli esegui per trovare l’errore su Pfcalc

Page 295: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

295 Scheda23. Verifica della legge dei gas

23.6 Conclusioni

Confrontiamo il valore Pf misurato con il valore Pfcalc calcolato con la legge dei gas.

Inserisci qui le conclusioni della tua esperienza.

23.7 Autore della scheda

Inserisci qui i toi dati: Nome e Cognome, Classe, Data.

23.8 Valutazione del docente

Questa sezione verrà compilata dal docente.

Autore: Andrea de Capoa 6 Novembre 2017

Page 296: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

Scheda 24Misura delle caratteristiche di un circuito Ohmico24.1 Scopo dell’esperienza

Vogliamo verificare la prima legge di Ohm e la legge della somma di resistenze in se-rie, attraverso la misura delle grandezze Vx, Rtot e i nel circuito presentato in figura,misurando precedentemente R1, R2 e ∆V = VB − VA.

VAR1

VxR2

i VB

24.2 Contesto teorico

Il circuito elettrico mostrato in figura è co-stituito da una coppia di resistenze in se-rie alimentata da una differenza di poten-ziale applicata tra i punti A e B. Le leg-gi necessarie ad analizzare il circuito so-no scritte nel riquadro a lato. Partendodal presupposto di conoscere i valori diR1, R2 e ∆V = VB − VA, ed utilizzandotali formule, possiamo calcolarci le gran-dezze Rtot, i e Vx nel modo indicato nelriquadro qui sotto.

Inserisci qui le formule che utilizziamo per

descrivere questo circuito.

Inserisci qui i passaggi per calcolare le grandezze indicate.

Inserisci qui i passaggi per calcolare gli errori su tali grandezze.

24.3 Materiali e strumenti utilizzati

I materiali utilizzati per eseguire gli esperimenti sono:

Inserisci qui i materiali che hai utilizzato

Gli strumenti utilizzati sono:

Inserisci qui nome e caratteristiche degli strumenti utilizzati

• Strumento:

296

Page 297: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

297 Scheda24. Misura delle caratteristiche di un circuito Ohmico

24.4 Misura dei componenti costituenti il circuito

Misuriamo come prima cosa le seguenti grandezze ed otteniamo i dati mostrati nelriquadro qui sotto

• R1 = ( ± ) Ω

• R2 = ( ± ) Ω

• ∆V = ( ± )V olt

24.5 Calcolo delle caratteristiche del circuito

Come le misure fin qui effettuate, possiamo calcolare i valori delle grandezze cercate.In questo modo nui facciamo una previsione sui valori che stiamo per misurare conlo strumento per poi confrontare tale previsione con le misure.

• Rtot = ( ± ) Ω

• i = ( ± )A

• Vx = ( ± )V olt

24.6 Misura delle caratteristiche del circuito

Utilizzando lo strumento di misura, misuriamo le caratteristiche del circuito.

• Rtot = ( ± ) Ω

• i = ( ± )A

• Vx = ( ± )V olt

24.7 Conclusioni

Inserisci qui le conclusioni della tua esperienza, confrontando il valore misurato ed il valore calcolato delle

caratteristiche del circuito.

24.8 Autore della scheda

Inserisci qui i toi dati: Nome e Cognome, Classe, Data.

24.9 Valutazione del docente

Questa sezione verrà compilata dal docente.

Autore: Andrea de Capoa 29 Mar 2017

Page 298: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

Scheda 25Compiti in classe25.1 Esercizi utilizzati nei compiti in classe

Compito in classe Classe 1CAT; n1 .

[I0011] [2 2 ] Disegna, e calcolane il valore, il vettore ~F3 che annulla la som-ma dei vettori ~F1 e ~F2 di valore rispettivamente F1 = 1, 5 kN e F2 = 800N postiperpendicolari tra loro.

[C0004] [2 5 ] Una automobile, partendo da ferma, percorre un tratto di stra-da ∆S1 muovendosi per un tempo ∆t1 = 10 s con un’accelerazione a = 1, 2 m

s2 .Successivamente percorre un tratto di strada ∆S2 con velocità costante per un tem-po ∆t2 = 30 s. Quanto è lungo il tratto di strada complessivamente percorso dallamacchina? A quale velocità media ha viaggiato la macchina?

[D0004] [2 2 ] Un oggetto di ferro di massam = 2 kg è appeso ad una molla dicostante elastica k = 10 N

cm e contemporaneamente viene tirato verso il basso da unacalamita che esercita una forza magnetica Fm = 50N . Visto che l’oggetto è fermo, diquanto si è allungata la molla?

[D0016] [2 4 ] Una sbarra orizzontale di massa trascurabile è inchiodata nelsuo centro. Due forze di intensità F1 = F2 = 20N vengono applicate alla sbarraverso il basso rispettivamente alla distanza b1 = 20 cm a sinistra e b2 = 30 cm adestra del centro. Dove devo applicare una forza F3 = 2N veso il basso in mododa ottenere equilibrio rotazionale? Quanto vale e verso dove è diretta la reazionevincolare del chiodo?

[L0004] [1 1 ] Un oggetto di massa m = 500 kg si sta muovendo su di unpiano orizzontale con velocità iniziale Vi = 10 m

s . Gradualmente rallenta a causadelle forze di attrito fino alla velocità Vf = 4 m

s . Quanta energia è stata dispersasotto forma di calore?

Compito in classe Classe 1CAT; n2 .

[I0003] [1 4 ] In un bicchiere vengono versati un volume VH2O

= 50 cm3 diacqua ed un volume Vo = 50 cm3 di olio. L’acqua ha una densità ρ

H2O= 1 kg

dm3 el’olio ha una densità ρo = 0, 8 g

cm3 . Quanto volume di liquido si trova nel bicchiere?Quanta massa di liquido si trova nel bicchiere?

[C0005] [1 2 ] Un atleta sta correndo una gara sulla distanza L = 10000m

viaggiando a velocità costante V = 5 ms Se ha già corso per un tempo ∆t = 8min

quanto gli manca al traguardo?

[D0003] [2 3 ] Un oggetto si muove su di un piano orizzontale con velocitàcostante, sotto l’azione di una forza F = 100N . Se il coefficiente di attrito tra il pianoe l’oggetto vale µd = 1, 5 quanto vale la massa dell’oggetto?

[D0007] [2 4 ] Una sbarra orizzontale è libera di ruotare intorno ad un pernocentrale. Essa è sottoposta all’azione di tre forze: una forza F1 = 30N verso il bassoposta ad una distanza b1 = 30 cm dal perno sul suo lato sinistro, una forza F2 = 10N

verso il basso posta ad una distanza b2 = 30 cm dal perno sul suo lato destro, ed unaforza F3 = 40N verso il basso posta ad una distanza b3 sul suo lato destro. Calcolaquanto valgono la distanza b3 e la reazione vincolare Rv del perno affinché la sbarrapossa rimanere ferma.

[L0010] [1 2 ] Un tuffatore salta dalla piattaforma alta hi = 10metri. Conquale velocità l’atleta entra in acqua?

298

Page 299: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

299 Scheda25. Compiti in classe

Compito in classe Classe 1CAT; n3 .

[I0006] [1 2 ] Tre libri sono posizionati uno sull’altro. I libri hanno rispetti-vamente massa m1 = 1hg, m2 = 2hg, m3 = 3hg ed hanno tutti lo stesso spessored = 3 cm. A che altezza si trova il baricentro del sistema?

[C0008] [2 3 ] Un fucile spara orizzontalmente un proiettile alla velocità ini-ziale Vix = 800 m

s contro un bersaglio alla distanza ∆Sx = 160m. Di quanti cen-timetri sotto la linea di tiro la pallottola colpirà il bersaglio? (Si trascuri l’effettodell’attrito con l’aria)

[D0008] [1 3 ] Un vaso di massa trascurabile contenente V = 15 dm3 di acquadi mare (ρ = 1, 03 kg

dm3 ) è appeso al soffitto con una molla di costante elastica k =

100 Nm . Di quanto si allunga la molla?

[D0009] [2 4 ] Due persone stanno sollevando una trave di forma irregolare,di massa m = 50 kg e lunga l = 2m tenendola per i suoi estremi. Il baricentro dellatrave si trova a d = 70 cm da uno degli estremi della trave stessa. Quanto valgono leforze fatte dalle due persone?

[F0001] [2 3 ] In un tubo orizzontale di sezione S1 = 10 cm2 scorre dell’acquaad una velocità V1 = 8 m

s con una pressione P1 = 150000Pa. Ad un certo punto lasezione del tubo aumenta fino al valore S2 = 16 cm2. Quanto valgono la velocità e lapressione dell’acqua nella parte larga del tubo?

Compito in classe Classe 1CAT; n4 .

[I0004] [1 2 ] Un oggetto di cui non conosciamo il materiale, occupa un volu-me V = 8, 75 dm3 ed ha la stessa massa di un blocco di ferro che occupa un volumeVFe = 3 dm3. Calcola la massa e la densità del materiale. La densità del ferro èρFe = 7, 874 kg

dm3 .

[C0001] [1 3 ] Un’automobile viaggia alla velocità costante V1 = 120 kmh per

un tempo ∆t1 = 2h; successivamente si ferma per un tempo ∆t = 1h, ed infineriparte viaggiando alla velocità costante V2 = 90 km

h per un tempo ∆t2 = 4h. Aquale velocità media ha viaggiato l’automobile?

[D0010] [1 2 ] Tre cubi omogenei di lato l = 10 cm e di massa m1 = 9 kg,m2 = 5 kg, m3 = 2 kg, sono posti nell’ordine uno sopra all’altro. A quale altezza sitrova il baricentro del sistema?

[D0012] [2 5 ] Una sbarra di ferro lunga l = 2m il cui baricentro si trova ad = 50 cm da uno degli estremi, viene appoggiata su due molle poste agli estremidella sbarra, le quali si schiacceranno della stessa quantità ∆l = 6 cm. Sapendo chela prima molla ha costante elastica k1 = 1000 N

cm , quanto vale la costante elasticadell’altra molla e quanto vale la massa della sbarra?

[L0005] [1 2 ] Un oggetto si sta muovendo in salita su di un piano inclinatocon attrito, con una velocità iniziale Vi = 10 m

s . Gradualmente rallenta fino a fermar-si. Sapendo che l’oggetto si è sollevato, rispetto all’altezza iniziale, fino all’altezzahf = 3m e che il calore generato dalle forze di attrito è stato Q = 2 J , quanto vale lamassa dell’oggetto?

Page 300: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

300 Scheda25. Compiti in classe

Compito in classe Classe 1CAT; n5 .

[incluso nell’esercizio D0026]

[C0007] [1 3 ] Una persona percorre un tragitto lungo ∆Sa = 100m in untempo ∆ta = 20 s; successivamente si ferma per un intervallo di tempo ∆tb = 10 s

e successivamente un tragitto ∆Sc = 50m in un tempo ∆tc = 25 s. A quale velocitàmedia ha viaggiato nel primo tratto ∆Sa? A quale velocità media ha viaggiato nelsecondo tratto ∆Sc? A quale velocità media ha viaggiato complessivamente?

[D0005] [1 2 ] Un oggetto di massa m = 2 kg è appeso ad una molla dicostante elastica k = 10 N

cm . Di quanto si allunga la molla?

[D0026] [2 6 ] Una sbarra orizzontale è realizzata unendo quattro cubi di latol = 10 cm e di masse rispettivamente m1 = 1 kg, m2 = 2 kg,m3 = 3 kg,m4 = 4 kg.La sbarra è sorretta da due fili attaccati nel centro del primo e del quarto oggetto.Calcola il baricentro della sbarra e le forze F1 ed F2 che devono fare i due fili affinchèla sbarra stia ferma.

[F0011] [1 1 ] Sapendo che un sottomarino in immersione sta subendo unapressione P = 280000Pa, a quale profonditá si trova rispetto alla superficie?

Compito in classe Classe 1CAT; n6 .

[I0012] [2 5 ] Hai misurato con un righello il diametro di base e l’altezza di uncilindro ottenendo d = 20mm± 1mm e h = 50mm± 1mm. Quanto vale il volume?Quanto vale l’errore assoluto sul volume?

[C0003] [2 3 ] Un fucile spara orizzontalmente un proiettile con velocità ini-ziale Vix = 800 m

s contro un bersaglio posto alla distanza ∆Sx = 400m. A quanticentimetri sotto la linea di tiro viene colpito il bersaglio?

[D0013] [1 3 ] Un cubo di ferro di densità ρFe = 7874 kgm3 , e di lato l = 20 cm

si trova sul fondo di una piscina piena di acqua di densità ρH2O

= 1000 kgm3 . Qual è la

minima forza necessaria per sollevarlo dal fondo della piscina?

[L0001] [1 3 ] Un oggetto di massa m = 50 kg viaggia ad una velocità Vi =

10ms . Ad un certo punto viene spinto da una forza F = 100N per una distanza∆S = 24m nella stessa direzione e nello stesso verso del movimento.

1. Quanto lavoro ha fatto la forza? Quel lavoro è negativo o positivo?

2. Quanta energia cinetica ha l’oggetto all’inizio e dopo l’azione della forza?

3. A quale velocità finale viaggia l’oggetto?

[F0003] [1 2 ] Il letto di un canale di irrigazione è profondo h1 = 2m e largol1 = 10m, e l’acqua al suo interno scorre con una velocità V1 = 0, 2 m

s ; se in un certotratto la profondità e la larghezza del canale si dimezzano, a quale velocità scorreràl’acqua in questo secondo tratto? Quanto vale la portata del canale?

Page 301: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

301 Scheda25. Compiti in classe

Compito in classe Classe 1CAT; n7 .

[Lab0002] [1 3 ] Hai misurato con un cronometro la durata dell’oscillazione diun pendolo ottenendo i seguenti risultati: T0 = 12, 4 s, T1 = 12, 3 s, T2 = 12, 3 s, T3 =

12, 6 s, T4 = 12, 6 s, T5 = 12, 2 s, T6 = 12, 4 s. Quanto vale il periodo di oscillazionedi quel pendolo? Quanto vale l’errore assoluto sulla misura? Quanto vale l’errorerelativo sulla misura?

[C0009] [2 2 ] Un oggetto si trova ad una certa altezza e viene sparato versol’alto con una velocità iniziale Vi = 4 m

s . Sapendo che arriverà a terra dopo un tempo∆t = 2 sec, quanto si trovava in alto?

[D0025] [1 4 ] Un palloncino è legato con una molla di costante elastica k =

5 Ncm al fondo di una piscina e quindi tenuto fermo sotto l’acqua. Sapendo che il suo

volume è V = 1 dm3 e che la sua massa è m = 400 g, di quanto si allunga la molla?

[D0029] [2 4 ] Una trave orizzontale di massa m = 10 kg e lunga l = 200 cm èlibera di ruotare attorno ad un perno fisso posto nella sua estremità sinistra. La traveviene tirata verso il basso da una forza F1 = 100N posta ad una distanza b1 = 30 cm

dal perno. Una forza F2 viene poi applicata al fondo della trave per equilibrarla enon farla ruotare. La reazione vincolare del perno fisso tiene la trave in equilibriotraslazionale. Quanto valgono e verso dove sono diretti i momenti della forza F1

e della forza di gravità? Quanto deve valere e in quale verso deve essere diretto ilmomento della forza F2? Calcola la forza F2 ed il valore della reazione vincolare.

[L0018] [1 2 ] Di quanto viene compressa una molla di costante elastica k =

100 Nm se a comprimerla è un oggetto di massa m = 49 kg lanciato orizzontalmente

alla velocità Vi = 10 ms ?

Compito in classe Classe 1CAT; n8 .

[I0008] [1 2 ] Disegna il vettore che annulla i due vettori disegnati qui diseguito

~a

~b

~a

~b

~a

~b

[C0006] [2 3 ] In una partita di calcio un attaccante si dirige verso il portiereavversario con velocità costante V1 = 6 m

s ; il pallone si trova tra i due giocatori e simuove verso il portiere con velocità Vp = 2 m

s ; il portiere si muove verso il pallonealla velocità V2 = 5 m

s . La distanza tra l’attaccante ed il pallone è ∆S1 = 4m; ladistanza tra il pallone ed il portiere è ∆S2 = 8m. Chi arriva prima a prendere ilpallone?

[D0020] [1 3 ] Un oggetto di massa m = 100 kg e volume V = 5 dm3 si trovasul fondo di una piscina piena di acqua (ρacqua = 1 kg

dm3 ). Quanto vale la densità del-l’oggetto? Quanto valgono la forza di gravità e la forza di Archimede che agisconosull’oggetto? Se sollevo l’oggetto con una forza F2 = 2000N , con quale forza totalel’oggetto si muove?

[D0028] [2 4 ] Una trave di legno di massa m = 2 kg e di lunghezza l = 1m

è sorretta ai bordi da due persone. Sulla trave si trova un ogetto di massa m2 = 1 kg

ad una distanza b1 = 20 cm dal bordo sinistro della trave. Quanto valgono le forzeche fanno le due persone?

[L0003] [1 2 ] Se lascio cadere un oggetto di massa m = 1 kg inizialmentefermo da un’altezza hi = 8m, e arriva a terra con una velocità Vf = 10 m

s ; quantaenergia si è dissipata sotto forma di calore a causa dell’attrito con l’aria?

Page 302: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

302 Scheda25. Compiti in classe

Compito in classe Classe 1CAT; n9 .

[ID0001] [1 3 ] A due chiodi messi alla stessa altezza viene legata una corda.Al centro della corda viene appeso un oggetto. La corda assume quindi una forma aV. Sulla corda c’è una tensione T = 1700N ; La componente orizzontale di tale forzavale Tx = 1500N . Quanto vale la massa dell’oggetto?

[CD0002] [1 3 ] In un giorno di sole, un’automobile sta percorrendo una curvadi raggio r = 48m. Sapendo che il coefficiente di attrito tra la gomma e l’asfaltoasciutto vale µ = 0, 6, a quale velocità massima può viaggiare senza uscire di strada?In caso di pioggia, il coefficiente di attrito scende fino al valore µ = 0, 4; a qualevelocità deve scendere l’autista per rimanere in strada?

[D0030] [2 3 ] Una trave orizzontale lunga l = 2m è libera di ruotare attornoad un perno fisso posto nella sua estremità sinistra. La trave viene tirata verso ilbasso da una forza F1 = 100N posta ad una distanza b1 = 30 cm dal perno e da unaforza F2 = 200N posta ad una distanza c = 40 cm dalla prima forza. Calcola la forzaF3 da applicare al fondo della trave per equilibrarla e non farla ruotare.

[L0002] [1 2 ] Se lascio cadere un oggetto inizialmente fermo da un’altezzahi = 8m, con quale velocità arriverà a terra?

[F0010] [2 4 ] In un cilindro verticale versiamo mercurio, acqua e olio. Lacolonna di mercurio è alta L

Hg= 5 cm; la colonna d’acqua è alta L

H2O= 20 cm

e la colonna d’olio è alta Lolio

= 15 cm. La pressione atmosferica vale Patm =

100000Pa. Trovate la pressione sul fondo della colonna di liquido. Le densità deiliquidi utilizzati sono: ρ

olio= 800 kg

m3 ; ρH2O

= 1000 kgm3 ; ρ

Hg= 13579 kg

m3 .

Compito in classe Classe 1CAT; n10 .

[I0014] [2 6 ] Hai misurato con un righello la base e l’altezza di un rettangoloottenendo b = 10, 0 cm± 0, 1 cm e h = 5, 0 cm± 0, 1 cm. Indicando in modo correttogli errori di misura, calcola l’area ed il perimetro del rettangolo.

[C0027] [1 2 ] Un atleta corre una gara alla velocità costante V = 4ms . Sapendoche al traguardo manca ∆S2 = 3800m, e che la gara è iniziata da ∆t = 5min, quantimetri è lunga tutta la gara?

[D0006] [2 3 ] Una slitta di massa m1 = 0, 12 kg scivola senza attrito su unpiano orizzontale tirato da un filo di massa trascurabile che, passando attraversouna carrucola, è a sua volta attaccato ad un peso di massa m2 = 0, 02 kg. Tale pesoviene tirato verso il basso dalla forza di gravità. Con quale accelerazione si muove ilsistema?

[D0032] [2 4 ] Immaginate di tenere in mano un sasso di massa m = 1 kg

mentre tenete l’avambraccio fermo in posizione orizzontale. Il sasso si trova ad unadistanza b1 = 30 cm dal gomito. Il muscolo bicipite, che esprime una forza versol’alto, è attaccato all’avambraccio ad una distanza b2 = 5 cm dal gomito. Quantovale la forza di gravità sul sasso? Quanto vale la forza che deve fare il muscolo persorreggere il sasso? Quale forza agisce sul gomito?

[L0009] [1 2 ] Un motore di potenza P = 2 kW solleva un oggetto di massam = 500 kg da un’altezza hi = 2m fino ad un’altezza hf = 32m. Quanto tempo ciimpiega?

Page 303: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

303 Scheda25. Compiti in classe

Compito in classe Classe 1CAT; n11 .

[I0007] [1 2 ] Esegui le operazioni indicate con i vettori ~a e~b:

~a

~b

~c = ~a+~b

~a

~b

~c = 2~a−~b~a

~b

~c = 3~a− 2~b

[C0029] [1 4 ] Un corpo si muove come indicato dal seguente grafico spazio-tempo. Indica: la massima distanza dal punto di partenza, il numero di ore comples-sivo in cui è stato fermo, la velocità media complessiva, la velocità massima.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

2

4

6

8

t(h)

S(km)

[C0011] [2 4 ] Un’auto ha velocità Vi = 108 kmh e comincia a rallentare fino

alla velocità Vf = 72 kmh . La frenata dura ∆t = 4 sec. Calcola l’accelerazione subita

dall’auto e indicane il verso. Quanta strada ha fatto l’auto durante la frenata?

[D0022] [1 2 ] Un oggetto di massa m = 500 g si muove di moto circolareuniforme di raggio r = 20 cm ad una velocità V = 4 m

s attaccato ad una molla dicostante elastica k = 10 N

cm . Quanto vale la forza centrifuga che tira la molla? Diconseguenza, di quanto si è allungata la molla?

[DL0012] [1 4 ] Un’auto di massa m = 500 kg rallenta dalla velocità Vi =

252 kmh fino alla velocità Vf = 108 km

h in uno spazio ∆S = 100m. Quanta energiacinetica ha l’auto prima e dopo la frenata? Quanto lavoro ha fatto la forza d’attritodelle ruote con l’asfalto? Calcola la forza e l’accelerazione d’attrito.

Compito in classe Classe 1CAT; n12 .

[I0015] [2 7 ] Un cilindro graduato contiene un volume Vi = 250 cm3 ± 1 cm3

di acqua. Dopo averci immerso un oggetto di massam = 1, 12 kg±0, 01 kg, il cilindrosegna un volume Vf = 375 cm3 ± 1 cm3. Calcola volume e densità dell’oggetto.

[C0029a] [1 4 ] Un corpo si muove come indicato dal seguente grafico spazio-tempo. Indica: la massima distanza dal punto di partenza, il numero di ore comples-sivo in cui è stato fermo, la velocità media complessiva, la velocità massima.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

2

4

6

8

t(h)

S(km)

[D0021] [1 6 ] Una statua d’oro (m = 19, 3 kg ; V = 1 dm3) viene lanciata inmare (ρ

H2O−mare = 1, 02 kg

dm3 ). Calcola la densità dell’oro. Calcola la forza di gravità,di Archimede e totale che agiscono sulla statua. Se attacco alla statua un pallone dimassa mp = 1, 7 kg e volume Vp = 40 dm3, quanto vale la forza totale sulla statua?

[L0019] [1 3 ] Su di una catapulta viene posizionata una pietra di massa m =

30 kg, comprimendo di ∆l = 50 cm una molla di costante elastica k = 6000Nm .

1. Quanta energia potenziale elastica è immagazzinata nella molla?

2. Con quanta energia cinetica la pietra viene lanciata?

3. A quale velocità viaggia la pietra nel momento in cui viene lanciata?

.

[F0007] [1 2 ] Le due sezioni di un torchio idraulico valgono rispettivamenteS1 = 50 cm2 ed S2 = 5 cm2. Sapendo che sulla sezione maggiore viene appoggia-to un peso di massa m = 50 kg, quale forza devo fare sulla seconda sezione permantenere l’equilibrio?

Page 304: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

304 Scheda25. Compiti in classe

Compito in classe Classe 1CAT; n13 .

[I0018] [1 2 ] Una barca attraversa un fiume muovendosi in diagonale con ve-locità V = 10 m

s . La barca si muove quindi contemporaneamente lungo la direzionedel fiume con velocità Vx = 8 m

s e lungo la direzione tra le due sponde. Con qualevelocità si sta avvicinando alla sponda opposta? Disegna tale vettore.

[C0030] [1 3 ] Una bicicletta viaggia per un tempo ∆t1 = 2h alla velocitàV1 = 20 km

h e successivamente per un tempo ∆t2 = 3h alla velocità V2 = 30 kmh .

Quale velocità media ha tenuto?

[CD0001] [2 7 ] Per un tempo ∆t = 4 s, un oggetto di massa m = 20 kg vienespinto partendo da fermo da una forza F = 100N strisciando su di un piano concoefficiente di attrito dinamico µd = 0, 1 . Successivamente ~F si annulla.

1. Quanto valgono la forza di gravità e di attrito che agiscono sull’oggetto?

2. Quanto valgono la forza totale che spinge l’oggetto e la sua accelerazione?

3. Quanto spazio avrà percorso e a quale velocità sta viaggiando alla fine dell’in-tervallo di tempo?

4. Con quale accelerazione si muove quando ~F si annulla, e dopo quanto temposi ferma?

[D0036] [1 1 ] Ad una molla di costante elastica k = 50 Nm viene appeso un

oggetto di massa m = 4 kg. Di quanto si allunga la molla?

[L0026] [1 4 ] Un elastico inizialmente fermo, di massa m = 40 g e costanteelastica k = 5 N

cm , si trova all’altezza hi = 2m e viene lanciato verso l’alto. L’energianecessaria è data dall’elastico stesso essendo stato allungato di ∆l = 10 cm.

1. Quanta energia potenziale elastica è immagazzinata nell’elastico?

2. Quanta energia cinetica avrà l’elastico nel punto di massima altezza?

3. Calcola l’energia potenziale gravitazionale e l’altezza che avrà l’elastico nelpunto di massima altezza?

.

Compito in classe Classe 1CAT; n14 .

[I0016] [1 2 ] Se stai misurando il periodo T di un pendolo utilizzando un cro-nometro (portata P = 10h; precisione E = 0, 01 s) azionato dalla tua mano, quantovale l’errore di misura che fai sulla singola misurazione? Come puoi fare, facendosolo una misura, a migliorare la precisione della misura fino a Ea = 0, 02 s

[C0031] [1 4 ] Un ciclista affronta una salita lunga ∆S1 = 10 km ad una ve-locità media Vm1 = 10 m

s e la successiva discesa lunga ∆S2 = 30 km in un tempo∆t2 = 40min. In quanto tempo ha percorso il tratto in salita? Quale velocità mediaha tenuto in discesa? Quale sull’intero percorso?

[C0032] [1 1 ] Dopo quanto tempo si scontrano due auto, entrambe cheviaggiano una contro l’altra alla velocità costante V = 80 km

h , se distano tra loro∆S = 2 km?

[D0037] [1 2 ] Su di una macchina sale una persona di massa m = 80 kg.Di quanto si abbassa la macchina se le quattro molle su cui poggia hanno costanteelastica k = 100 N

cm?

[L0027] [1 2 ] Un atleta di salto con l’asta durante la sua corsa viaggia aduna velocità Vi = 9ms , quanto salterebbe in alto se riuscisse a convertire tutta la suaenergia cinetica in energia potenziale gravitazionale?

Page 305: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

305 Scheda25. Compiti in classe

Compito in classe Classe 1CAT; n15 .

[I0019] [1 2 ] Un libro di 500 pagine, misurato con un righello, è spesso h =

3, 5 cm ± 0, 1 cm. Quanto è spessa ogni singola pagina? Calcola l’errore assoluto erelativo sulla misura della singola pagina.

[C0033] [1 3 ] Un ciclista affronta una salita lunga ∆S1 = 21 km ad una ve-locità media Vm1 = 7 m

s e la successiva discesa lunga ∆S2 = 30 km ad una velocitàmedia Vm2 = 15 m

s . In quanto tempo ha percorso il tratto in salita? In quanto tempoha percorso il tratto in discesa? Quale velocità media ha tenuto sull’intero percorso?

[D0038] [1 1 ] Un oggetto del peso di Fp = 40N si sposta su di un pianoorizzontale con coefficiente di attrito dinamico µd = 0, 02, sotto l’azione di una forzaF = 20N nella direzione del moto. Qual è la forza totale che agisce su di esso?

[DL0001] [2 3 ] Un corpo striscia con velocità iniziale Vi = 20 ms su di un

piano con coefficiente di attrito µd = 0.5. Quale velocità avrà dopo aver percorso∆S = 30m.

[L0028] [1 2 ] Un oggetto di massa m = 4 kg si muove senza attrito su di unpiano orizzontale con la velocità V = 5 m

s . Ad un certo punto l’oggetto incontra unamolla comprimendola di ∆l = 0, 2m. Quanto vale la costante elastica della molla?

Compito in classe Classe 1CAT; n16 .

[C0035] [1 1 ] Un atleta corre una gara lunga ∆Stot = 10000m alla velocitàV = 4 m

s . Sapendo che al traguardo manca ∆S2 = 4000m, da quanto tempo la garaè iniziata?

[D0040] [1 2 ] Un pendolo di massa m = 300 g viene tirato in orizzontale dauna forza F = 6N . Quanto vale la tensione del filo che sorregge il peso?

[D0043] [1 4 ] Una sfera rotola su di un piano inclinato, senza strisciare e convelocità costante. Sapendo che la reazione vincolare del piano vale Rv = 17N e chele forze di attrito valgono Fa = 9, 8N , calcolate la massa della sfera ed il coefficientedi attrito del piano.

[L0006] [1 4 ] Un blocco di pietra di massa m = 40 kg scivola lungo unadiscesa partendo con una velocità iniziale Vi = 5 m

s . All’inizio si trovava all’altezzahi = 10m per poi scendere fino all’altezza hf = 2m.

1. Calcola le energie cinetica e potenziale gravitazionale iniziali del blocco.

2. Quanta energia cinetica finale avrebbe il blocco se non ci fosse attrito?

3. Se l’energia cinetica finale del blocco fosse metà di quella iniziale, quanta ener-gia si è persa a causa delle forze d’attrito?

[L0029] [2 3 ] Un oggetto di massam = 2 kg viene lasciato cadere da una certaaltezza. Arrivato a terra, penetra nel terreno per un tratto d = 0, 5m. Assumendoche le forze di attrito con il terreno abbiano un valore medio Fa = 500N , da qualealtezza è caduto l’oggetto?

Page 306: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

306 Scheda25. Compiti in classe

Compito in classe Classe 2CAT; n1 .

[Q0002] [1 2 ] Quale potenza ha un fornelletto che sta scaldando una massam = 5 kg di acqua da un tempo ∆t = 60 s facendone aumentare la temperaturadi ∆T = 50K, sapendo che quell’acqua si trovava inizialmente alla temperaturaTi = 20C?

[T0001] [2 2 ] Se un certo quantitativo di gas che si trova alla temperaturaT1 = 380K compie una trasformazione isobara passando da un volume V1 = 10 cm3

ad un volume V2 = 20 cm3, quale temperatura ha raggiunto?

[O0001] [1 1 ] Calcola l’angolo limite per riflessione totale per un raggio lu-minoso che passa dall’acqua all’aria. Gli indici di rifrazione di acqua e aria sonorispettivamente nH2O = 1.33 e naria ∼ 1

[O0003] [1 1 ] L’eco di un forte urlo viene percepito dalla persona che haurlato dopo un intervallo di tempo ∆t = 0, 2 s. Sapendo che il suono in aria viaggiaalla velocità Vs = 344 m

s , quanto è distante la parete sulla quale il suono si è riflesso?

[E0003] [1 2 ] Due protoni si trovano alla distanza d = 2 · 10−9m; tra lo-ro si trova un elettrone posto alla distanza r1 = 8 · 10−10m. Quanto vale la forzacomplessiva che agisce sull’elettrone?

P+ e− P+

Compito in classe Classe 2CAT; n2 .

[Q0003] [2 2 ] Quanta energia serve per innalzare la temperatura dim = 10 kg

di acqua dal valore iniziale Ti = 80 C fino al valore finale Tf = 130 C?

[T0007] [2 2 ] Durante una trasformazione isocora, un gas alla pressioneiniziale Pi = 25000Pa passa da una temperatura Ti = 380K ad una temperaturaTf = 450K; quale pressione Pf ha raggiunto?

[O0004] [1 1 ] Un suono emesso da un altoparlante viene percepito da unapersona ad una distanza r1 = 20m con un’intensità I1 = 120 J

m2s . con quale intensitàverrà invece percepito da una persona alla distanza r2 = 30m?

[O0009] [1 2 ] Un oggetto è posto di fronte ad una lente convergente ad unadistanza p = 20 cm. La distanza focale della lente è f = 15 cm. A quale distanzadalla lente si forma l’immagine? Quanto vale il fattore di ingrandimento?

[E0009] [1 4 ] Due cariche elettriche Q1 = 4µC e Q2 = −4µC si trovano sudi una linea orizzontale alla disanza d = 2m. Sulla stessa linea, ad altri due metridalla carica negativa, una carica di prova q3 = −2µC. Quanto vale il campo elettricototale sulla carica q3? Quanto vale la forza che subisce la carica q3.

Q1 Q2 q3

Page 307: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

307 Scheda25. Compiti in classe

Compito in classe Classe 2CAT; n3 .

[Q0004] [1 2 ] Due sbarre di eguale lunghezza li = 3m, una di ferro e l’altradi alluminio, vengono scaldate di ∆T = 50K. Ammettendo che nessuna delle dueraggiunga il punto di fusione, di quanto una risulterà più lunga dell’altra?

[Q0006] [3 4 ] Ad un oggetto di ferro di massa m = 2kg, alla temperaturainiziale Ti = 600K vengono forniti ∆Qtot = 2000 kJ di calore. Quanti kilogrammidi ferro riesco a fare fondere?

[T0006] [1 5 ] Un ciclo termodinamico assorbe calore δQass ad alta tempera-tura, cede calore δQced a bassa temperatura, e cede lavoro δL. Il tutto è fatto con uncerto rendimento η. Esegui i seguenti esercizi:

1. Sapendo che δQass = 5000 J e che δQced = 3500 J , quanto valgono δL ed η?

2. Sapendo che δQass = 5000 J e che δL = 2000 J , quanto valgono δQced ed η?

3. Sapendo che δL = 5000 J e che η = 0, 4, quanto valgono δQass e δQced?

[O0007] [1 1 ] Un suono emesso da un altoparlante viene percepito da Andreaad una distanza rA = 20m con un’intensità IA = 120 J

m2s . Dietro ad Andrea il suonoprosegue ed incontra un muro alla distanza d = 40m dalla sorgente, riflettendosisu di esso e raggiungendo nuovamente Andrea. Con quale intensità Andrea sente ilsuono riflesso?

[E0002] [2 7 ] Un circuito elettrico è formato da due resistenze R2 = 6 Ω edR3 = 12 Ω in parallelo, messe in serie con altre due resistenze R1 = 6 Ω ed R4 = 2 Ω.il circuito è alimentato da un generatore ∆V = 24V olt. Calcola le differenze dipotenziale agli estremi di ogni resistenza e la corrente elettrica che le attraversa

Compito in classe Classe 2CAT; n4 .

[Q0019] [2 2 ] Una sbarra di ferro di massa m = 15 kg, lunga li = 2m allatemperatura Ti = 1600K viene immersa in una vasca riempita con mH2O = 100 kg

d’acqua alla temperatura TH2O = 300K. Di quanto si accorcia la sbarra?

[T0010] [1 2 ] Un ciclo di Carnot assorbe δQass = 1000 J alla temperatu-ra T1 = 1000K e cede calore alla temperatura T2 = 400K. Quanto lavoro vieneprodotto?

[O0008] [1 2 ] Un oggetto è posto ad una distanza da una lente sferica con-vergente tale per cui l’immagine generata risulta di dimensioni doppie rispetto al-l’oggetto. Sapendo che la distanza focale della lente vale f = 30 cm, a quale distanzadalla lente si trova l’oggetto?

[O0011] [1 4 ]

1. Cos’è un’onda?

2. Indica la differenza tra onde trasversali ed onde longitudinali

3. Indica la differenza tra onde meccaniche ed onde elettromagnetiche

4. Disegna un’onda ed indicane tutte le variabili che la descrivono

[E0010] [1 2 ] Un impianto elettrico è alimentato da una tensione ∆V = 220V .Per rispettare il contratto di fornitura, l’alimentazione viene staccata quando nel cir-cuito entra una corrente maggiore di Imax = 15A. Se nella casa sono accesi unalavatrice di potenza Plav = 1, 5 kW , due stufe elettriche di potenza Ps = 700W

ed un televisore di potenza Pt = 200W , quante lampadine da Pl = 30W possonoancora accendere?

Page 308: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

308 Scheda25. Compiti in classe

Compito in classe Classe 2CAT; n5 .

[Q0010] [2 2 ] Quanta energia mi serve per portare una massa m = 5 kg diacqua dalla temperatura Ti = 20 C alla temperatura Tf = 130 C?

[Q0012] [1 2 ] In quanto tempo un forno della potenza P = 500W può faraumentare di ∆T = 20K la temperatura di una massa m = 20 kg di acqua?

[T0008] [2 2 ] Durante una trasformazione isoterma, un gas alla pressioneiniziale Pi = 25000Pa passa da un volume Vi = 10 cm3 ad un volume Vf = 20 cm3;quale pressione Pf ha raggiunto?

[O0002] [1 3 ] Costruisci l’immagine di un oggetto generata da una lentesferica convergente, sia nel caso che l’oggetto si trovi tra la lente ed il fuoco, sia nelcaso che si trovi oltre il fuoco.

[E0008] [1 2 ] Quattro cariche elettriche identiche, tutte positive del valure q =

4µC si muovono sul tuo foglio, come mostrato in figura, lungo un percorso circolaredi raggio r = 10 cm e con velocità V = 10 m

s . Quanto vale e dove è diretto il campomagnetico che generano nel centro della spira? Quanto vale la forza magnetica chesubisce una carica negativa che entra perpendicolarmente al tuo foglio?

q+

q+q+

q+

q−

Compito in classe Classe 2CAT; n6 .

[Q0020] [1 4 ]

1. Cos’è il calore? Cos’è la temperatura di un oggetto?

2. Come varia la temperatura di un corpo durante una transizione di fase?

3. Cosa succede alle molecole di una sostanza durante una transizione di fase?

4. Cosa può succedere ad una sostanza solida se le forniamo calore?

[Q0013] [1 1 ] Un oggetto di materiale sconosciuto e di massa m1 = 5 kg

alla temperatura iniziale Ti1 = 350K viene messo a contatto con un oggetto dellostesso materiale e di massa m2 = 30 kg alla temperatura iniziale Ti2 = 300K. Qualetemperatura di equilibrio raggiungeranno i due oggetti?

[T0011] [1 6 ] Un gas subisce una trasformazione termodinamica. Le variabi-li coinvolte in tale trasformazione sono sei: la variazione di pressione, la variazionedi volume, la variazione di temperatura, la variazione di energia interna, il lavo-ro scambiato, il calore scambiato. Sapendo se sono positive, negative o nulle duedi queste, trova se sono positive, negative o nulle tutte le altre. le varie coppie diinformazioni da cui devi partire sono elencate qui sotto.

1. Riscaldamento isobaro

2. Riscaldamento isocoro

3. Riscaldamento adiabatico

[O0010] [1 2 ] Calcola la velocità di un’onda su una corda fissata ai due estre-mi e lunga l = 12m, sapendo che la quinta frequenza di risonanza è ν5 = 9Hz?Disegna l’onda sulla corda.

[E0005] [2 3 ] Quattro cariche elettriche si trovano ai vertici di un quadrato dilato l = 2m. tre di queste valgono Q+ = +8µC ed una Q− = −8µC. Quanto vale ilcampo elettrico nel centro del quadrato? Quanto vale la forza che agirebbe su di unacarica q = 2µC posta nel centro del quadrato?

Page 309: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

309 Scheda25. Compiti in classe

Compito in classe Classe 2CAT; n7 .

[Q0005] [2 3 ] Una sbarra di ferro di massa m = 15 kg, lunga li = 3m al-la temperatura Ti = 1600K viene immersa in una vasca riempita con una massamH2O = 100 kg d’acqua alla temperatura TH2O = 300K. Di quanto si accorcia lasbarra?

[QT0001] [2 4 ] In un contenitore di ferro chiuso, di massa mFe = 1 kg, cisono maria = 3 kg di aria. La temperatura iniziale del ferro è Ti−Fe = 10 C, equella dell’aria è Ti−aria = 30 C. Il calore specifico dell’aria a volume costante ècs−aria = 0, 72 J

kgK . Calcola il rapporto tra le pressioni finale ed iniziale x =PfPi

alraggiungimento dell’equilibrio termico.

[T0012] [1 6 ] Un gas subisce una trasformazione termodinamica. Le variabi-li coinvolte in tale trasformazione sono sei: la variazione di pressione, la variazionedi volume, la variazione di temperatura, la variazione di energia interna, il lavo-ro scambiato, il calore scambiato. Sapendo se sono positive, negative o nulle duedi queste, trova se sono positive, negative o nulle tutte le altre. le varie coppie diinformazioni da cui devi partire sono elencate qui sotto.

1. Espansione isobara

2. Espansione isoterma

3. Espansione adiabatica

[O0005] [1 2 ] Quanto vale la terza frequenza di risonanza su di una corda,fissata ai due estremi, lunga l = 6m, sulla quale le onde viaggiano alla velocitàV = 50 m

s ? Disegna l’onda sulla corda.

[E0001] [2 3 ] Due sfere con carica elettricaC = 10µC sono poste alla distanzad = 30 cm. Calcolare la forza con la quale le sfere si respingono quando sono inquiete e quando si muovono parallelamente con velocità costante V = 90000kms .

Compito in classe Classe 2CAT; n8 .

[Q0007] [1 1 ] Un blocco di ferro solido di massa m = 50 kg si trova alla tem-peratura di fusione. Quanto calore devo fornire se voglio fondere una percentualep = 10% del blocco di ferro?

[Q0014] [2 1 ] Posso scaldare una sbarra di ferro della lunghezza li = 50 cm

e che si trova alla temperatura Ti = 350K per farla allungare fino alla lunghezzalf = 50, 1 cm?

[T0013] [1 4 ]

1. In quanti e quali modi un gas può scambiare energia con il mondo esterno?

2. Cos’è una trasformazione ciclica?

3. Cosa succede, dal punto di vista energetico, durante una trasformazione cicli-ca?

4. Perchè la società umana ha bisogno delle trasformazioni cicliche?

5. Cosa posso dire sul valore del rendimento di una trasformazione ciclica?

[O0012] [1 1 ] Un raggio di luce passa dall’aria all’acqua con un angolo diincidenza i = 45. L’indice di rifrazione dell’aria è naria = 1, 0003, mentre quellodell’acqua è n

H2O= 1, 33. Con quale angolo di rifrazione il raggio entra nell’acqua?

[CE0002] [2 2 ] Quanto vale la velocità con cui si muove un elettrone all’in-terno di un atomo di idrogeno?

Page 310: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

310 Scheda25. Compiti in classe

Compito in classe Classe 2CAT; n9 .

[Q0009] [2 2 ] Quanta energia mi serve per portare una massa m = 5 kg diferro dalla temperatura Ti = 2000 C alla temperatura Tf = 4000 C?

[T0005] [1 2 ] Un gas compie un ciclo termodinamico formato da due iso-bare e due isocore. Il ciclo comincia con un’espansione isobara che parte dallo statoA(3m3; 8 atm); successivamente abbiamo un raffreddamento isocoro; la compressio-ne isobara inizia invece dallo stato B(5m3; 3 atm); infine un riscaldamento isocoro.Quanto lavoro ha fatto il ciclo?

[O0015] [1 2 ] Un raggio di luce verde (ν = 6 · 1014Hz) attraversa perpen-dicolarmente una lastra di vetro con indice di rifrazione n = 1, 4. Sapendo che lalastra di vetro è spessa d = 3mm, quante oscillazioni compie il raggio luminosonell’attraversare tale lastra?

[E0012] [1 2 ] Un elettrone si muove con un’energia E = 3000 eV perpendi-colarmente al campo magnetico terrestre B = 50µT . Quanto vale la forza magneticache subisce?

[E0013] [1 4 ] Una lampadina di resistenza R1 = 48 Ω è montata in serie conuna seconda resistenza R2. Il circuito è alimentato con una batteria ∆V = 12V olt.Quanto deve valereR2 affinchè la potenza dissipata dalla lampadina sia P1 = 2W ?

Compito in classe Classe 2CAT; n10 .

[Q0023] [1 2 ] Un oggetto di ferro alla temperatura iniziale Ti1 = 350K vienemesso a contatto con un oggetto di rame alla temperatura iniziale Ti2 = 300K. Qualetemperatura di equilibrio raggiungeranno i due oggetti, sapendo che hanno la stessamassa?

[T0019] [2 2 ] Quant’è la minima quantità di lavoro che bisogna utilizzare, conun ciclo di Carnot, per sottrarre δQ = 180 J da un gas alla temperatura Tb = −3C espostarlo in un ambiente alla temperatura Ta = 27C.

[O0016] [1 1 ] Costruisci l’immagine di un oggetto generata da una lentesferica divergente. Indica se l’immagine è dritta e se è reale.

[E0015] [1 3 ] Due lampadine identiche R = 120 Ω sono alimentate da ungeneratore di tensione ∆V = 12V . Calcola la corrente che le attraversa nel caso sianomontate in serie e nel caso siano montate in parallelo. In quale caso le lampadinerisulteranno più luminose?

[EQ0001] [2 2 ] Un riscaldatore elettrico è fatto da resistenza R = 10 Ω ali-mentata da una differenza di potenziale costante ∆V = 24V olt. Se immersa in unamassa m = 2 kg di acqua, in quanto tempo la scalda di ∆T = 20K? [Comincia con ilcalcolare quanta energia deve essere data all’acqua e a disegnare il circuito del riscaldatore.]

Page 311: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

311 Scheda25. Compiti in classe

Compito in classe Classe 2CAT; n11 .

[Q0011] [2 2 ] Quanta energia serve per far allungare di ∆l = 0, 1mm unasbarra di alluminio di lunghezza li = 200 cm e massa m = 0, 5 kg?

[Q0025] [1 2 ] Una stufa elettrica mantiene in una stanza una temperaturaTint = 24 C, mentre all’esterno la temperatura è Text = 4 C. Il calore si disperdeattraverso una finestra di vetro (ρvetro = 1 W

m·K ) rettangolare (b = 1, 5m e h = 1, 8m)spessa l = 3mm. Il costo dell’energia è C = 0, 18 e

kWh ; quanto costa riscaldare lastanza per un tempo ∆t = 3h?

[T0020] [2 4 ] Una massa m = 560 g di azoto gassoso (PM = 28 gmole ) si trova

alla temperatura iniziale Ti = 270K. Essa è contenuta in un cilindro metallico disezione S = 1000 cm2 e di altezza h = 1m. A quale pressione si trova il gas? Se latemperatura aumenta di ∆T = 30 C, a quale pressione arriva il gas?

[O0017] [2 2 ] Un’asticella lunga l = 150 cm, oscilla con un’estremo fisso l’al-tro libero. La velocità di un’onda nell’asticella è V = 24 m

s . Calcola la terza frequenzadi risonanza dell’asticella.

[E0017] [2 6 ] Nel circuito in figura R0 = 4 kΩ, R1 = 3 kΩ, R2 = 4 kΩ, R3 =

2 kΩ, ∆V = 12V , VT = 0V . Calcola la resistenza totale Rtot, la corrente i in uscitadal generatore, il valore di tensione VA nel punto A. Verificato che VA = 4V , calcolapoi le correnti i1 e i2 nei due rami senza il generatore, e il valore di tensione VB nelpunto B.

∆V

i

R0

R1

i1

R2i2

R3

VT

VA VB

Compito in classe Classe 2CAT; n12 .

[Q0024] [2 3 ] Un termometro a mercurio è costituito da una piccola ampollache contiene mercurio. Da tale ampolla esce un tubicino di sezione S = 0, 2mm2. Laquantità totale di mercurio nel termometro è m = 30 g. Inizialmente il termometro sitrova a Ti = 20 C. Il coefficiente di dilatazione termica volumetrico del mercurio èδ = 0, 18 · 10−3 1

K . Di quanti millimetri sale il livello del mercurio nel tubicino se inuna giornata calda siamo a Tf = 35 C

[Q0026] [2 3 ] Fornendo ∆Q = 3000 kJ an un oggetto di piombo alla tempe-ratura iniziale Ti = 280K, riesco a portarlo alla temperatura di fusione e fonderlointeramente. Quanta massa di piombo liquido mi trovo alla temperatura di fusione?

[T0021] [3 3 ] Un contenitore è separato da una sottile paratia in due volu-mi uguali nei quali sono contenuti due gas, rispettivamente alla pressione PiA =

1, 5 · 105 Pa e PiB = 3, 3 · 105 Pa. Assumendo che il contenitore sia mantenuto atemperatura costante e che i due gas siano in equilibrio termico con il contenitore,quale pressione si avrà all’interno del contenitore dopo la rimozione della paratia diseparazione?

[O0020] [1 3 ] Rispondi alle seguenti domande.

1. Indica quale grandezza fisica dell’onda determina: il colore della luce visibile;la luminosità della luce visibile; il volume di un suono; la tonalità del suono?

2. Con un puntatore laser indico un punto su di un muro. Tutti nella stanza ve-dono quel punto. Sto parlando di un fenomeno di riflessione o di diffusione?Perchè?

3. Descrivi un fenomeno fisico in cui sia presente l’effetto Doppler.

[CE0001] [2 2 ] Quanto vale il raggio della traiettoria circolare di un elettroneche entra perpendicolarmente in un campo magnetico B = 10−6 T alla velocità V =

90000 ms ?

Page 312: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

312 Scheda25. Compiti in classe

Compito in classe Classe 2CAT; n13 .

[Q0027] [1 2 ] Le temperature di fusione e di ebollizione del ferro sono:Tfus = 1808K; Teb = 3023K. Le seguenti sostanze sono solide, liquide o gassose?

• 10 kg di ferro a T = 1600K; 20 kg di ferro a T = 1890 C

• 20 kg di ferro a T = 1600 C; 10 kg di ferro a T = 3023K

[Q0008] [3 2 ] Di quanto devo scaldare una sbarra di alluminio di lunghez-za iniziale lAl−i = 2000mm ed una sbarra di ferro di lunghezza iniziale lFe−i =

2001mm affinchè raggiungano la stessa lunghezza?

[T0026] [2 5 ] Disegna un ciclo termodinamico formato da due isoterme edue isocore. Indica per ogni trasformazione se gli scambi di calore e di lavoro sonoin uscita od in ingresso nel gas. Indica per ogni trasformazione se l’energia internadel gas aumenta o diminuisce.

[O0027] [1 4 ] Rispondi alle seguenti domande:

1. Come determini la direzione del raggio riflesso in una riflessione?

2. Che differenza c’è tra riflessione e diffusione?

3. In quale istante avviene la riflessione di un’onda?

4. Nel fenomeno della riflessione, perchè non cambia la velocità dell’onda?

[E0016] [1 3 ] Nel ramo di circuito in figura, viene montata una lampadinadi resistenza R = 6 Ω; le tensioni sui due morsetti sono VA = 28V e VB = 4V . Il

costo dell’energia è C = 0, 18e

kWh. Quanto spendo per tenere la lampadina accesa

un tempo ∆t = 4h ? Quanta carica elettrica ha attraversato la resistenza in questointervallo di tempo?

Ri

VA VB

Compito in classe Classe 2CAT; n14 .

[Q0028] [1 3 ] Rispondi alle seguenti domande.

1. Perché l’alchool etilico bolle alla temperatura di circa Teb−1 = 80C mentrel’acqua bolle alla temperatura di Teb−2 = 100C

2. Se prendo una certa massa di ferro alla temperatura T = 1600K, è solida,liquida, gassosa o plasma? Spiega perchè.

3. L’acqua alla temperatura T = 327K è solida, liquida, gassosa o plasma? Spiegaperchè.

[LQ0002] [2 2 ] Un corpo di ferro ha massa m = 20 kg e temperatura inizialeTi = 400K. Esso striscia, fino a fermarsi, su di un piano orizzontale, con una velocitàiniziale Vi = 4 m

s . Ammettendo che tutto il calore prodotto sia utilizzato per scaldareil corpo, di quanto aumenta la sua temperatura?

[T0026a] [2 5 ] Disegna un ciclo termodinamico formato da due isoterme edue adiabatiche. Indica per ogni trasformazione se gli scambi di calore e di lavorosono in uscita od in ingresso nel gas. Indica per ogni trasformazione se l’energiainterna del gas aumenta o diminuisce.

[O0028] [1 4 ] Rispondi alle seguenti domande:

1. Quali fenomeni fisici sono legati al funzionamento di lenti e specchi?

2. Come si forma un’onda stazionaria?

3. Per quale motivo se una persona si sta allontanando da noi, sentiamo la suavoce di un volume minore?

4. In che modo cambia il suono di una sirena se tale sirena si sta avvicinando odallontanando da noi? Per quale motivo?

[E0011] [1 1 ] Tre sfere conduttrici identiche hanno carica elettrica rispetti-vamente Q1 = 12µC e Q2 = Q3 = 0. La prima sfera sarà messa a contatto con laseconda e poi da essa separata. La seconda spera sarà infine messa a contatto con laterza e poi separata. Quale sarà la carica elettrica della terza sfera?

Page 313: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

313 Scheda25. Compiti in classe

Compito in classe Classe 2CAT; n15 .

[Q0029] [2 3 ] Ad un oggetto di ferro di massa m = 5 kg, ed alla temperaturaT = 300K, fornisco una quantità di calore ∆Q = 4400J . Di quanto aumenta il suovolume?

[Q0031] [3 4 ] Una sbarra di ferro di massam = 3 kg alla temperatura Ti−ferro =

800K viene fatta raffreddare per immersione in una vasca d’acqua alla temperaturaTi−acqua = 300K. Quale quantità minima di acqua devo usare per raffreddare il ferrosenza che l’acqua cominci a bollire?

[T0026b] [2 5 ] Disegna un ciclo termodinamico formato da due adiabatiche,una isobara ed un’isocora. Indica per ogni trasformazione se gli scambi di calore edi lavoro sono in uscita od in ingresso nel gas. Indica per ogni trasformazione sel’energia interna del gas aumenta o diminuisce.

[O0018] [1 2 ] Sapendo che gli indici di rifrazione di aria e acqua sono rispetti-vamente na = 1, 00029 e n

H2O= 1, 33 calcola lo spessore di aria che un raggio di luce

deve attraversare per impiegare lo stesso tempo che impiegherebbe ad attraversareuno spessore ∆L

H2O= 20 cm.

[E0004] [2 5 ] Un circuito elettrico, alimentato da un generatore ∆V = 24V olt,è formato dalle resistenze R1 = 6 Ω in serie con il parallelo tra R2 = 8 Ω ed R3 = 4 Ω.Calcola la corrente elettrica che attraversa ogni resistenza ed i potenziali nei punti A,B e T

∆V

i

R1i1

R2

+− ∆V2

i2R3

+− ∆V3

VT

VA

VB

Compito in classe Classe 1AFM; n1 .

[I0011] [2 2 ] Disegna, e calcolane il valore, il vettore ~F3 che annulla la som-ma dei vettori ~F1 e ~F2 di valore rispettivamente F1 = 1, 5 kN e F2 = 800N postiperpendicolari tra loro.

[C0005] [1 2 ] Un atleta sta correndo una gara sulla distanza L = 10000m

viaggiando a velocità costante V = 5 ms Se ha già corso per un tempo ∆t = 8min

quanto gli manca al traguardo?

[L0023] [1 3 ] Un corpo di massa m = 2 kg, sulla cima di una collina, viag-gia con velocità iniziale Vi = 10 m

s ed ha un’energia potenziale gravitazionale Ui =

1000 J . Frenato dalle forze d’attrito, arriva in fondo alla collina ad altezza hf = 0m

con una velocità finale Vf = 20 ms . Di quante volte è aumentata l’energia cinetica

(raddoppiata, triplicata, quadruplicata)? Quanta energia si è trasformata in calore?

[Q0020] [1 4 ]

1. Cos’è il calore? Cos’è la temperatura di un oggetto?

2. Come varia la temperatura di un corpo durante una transizione di fase?

3. Cosa succede alle molecole di una sostanza durante una transizione di fase?

4. Cosa può succedere ad una sostanza solida se le forniamo calore?

[T0014] [1 4 ] Domande di teoria

1. In quanti e quali modi un gas può scambiare energia con l’esterno?

2. A cosa serve una trasformazione ciclica?

3. Perchè la società umana ne ha bisogno?

4. Elenca le strategie utili a risolvere i problemi energetici dell’umanità.

5. Quali variabili descrivono lo stato fisico di un gas? Quale formula le lega traloro?

Page 314: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

314 Scheda25. Compiti in classe

Compito in classe Classe 1AFM; n2 .

[C0013] [1 1 ] Se mi muovo in avanti di ∆S1 = 600m, e poi a destra di∆S2 = 800m, quanti metri ho percorso? Di quanti metri mi sono spostato rispetto alpunto di partenza? Disegna i due spostamenti e lo spostamento totale.

[C0022] [1 1 ] Due lepri si rincorrono rispettivamente alla velocità costanteV1 = 5 m

s e V2 = 3 ms , e distano inizialmente ∆S = 12m. Dopo quanto tempo il più

veloce raggiunge il più lento?

[D0027] [1 2 ] Una sbarra orizzontale è tenuta ferma da un chiodo nel suocentro. Sula lato sinistro, ad una distanza b1 = 18 cm viene applicata una forzaF1 = 30N verso il basso. Sul lato destro, ad una distanza b2 = 12 cm viene applicatauna forza F2 verso il basso. Quanto vale la forza F2 per tenere ferma la sbarra?

[Q0021] [1 2 ] Due oggetti dello stesso materiale, di massa m1 = 5 kg edm2 = 15 kg, e con temperature T1 = 300 C e T2 = 500 C, vengono messi a contatto.Senza fare calcoli, cosa puoi dire della temperatura che raggiungeranno? Perchè?

[T0015] [1 3 ] Domande di teoria

1. Se scaldo una pentola chiusa con un coperchio, che tipo di trasformazione stafacendo il gas all’interno? Perchè?

2. Un subacqueo si immerge in apnea scendendo di ∆h = −30m. Che tipo ditrasformazione fa l’aria nei suoi polmoni? Percè?

3. Un ciclo termodinamico assorbe una quantità di calore ∆Qass = 500 J ad altatemperatura, e produce lavoro con un rendimento η = 20 %. Quanto lavoro haprodotto? Quanto calore cede a bassa temperatura?

Compito in classe Classe 1AFM; n3 .

[I0002] [1 2 ] Dati due vettori ~a e~b rispettivamente di moduli a = 12 e b = 16,disegnateli in modo tale che la loro somma sia un vettore~c il cui modulo valga c = 28.Ripetete l’esercizio in modo tale che c = 4; c ∼ 10; c = 20; c ∼ 24.

[C0023] [2 2 ] Un atleta deve correre una gara lunga ∆Stot = 60m. Par-tendo con una velocità iniziale Vi = 4

m

s, ha già corso per un tempo ∆t = 3 s con

un’accelerazione costante a = 0, 5m

s2. Quanti metri mancano al traguardo?

[D0014] [1 1 ] Se un oggetto di volume V = 9 cm3 galleggia sull’acqua im-merso per i 2

3 del suo volume, quanto vale la forza di Archimende che agisce su dilui? [ρacqua = 1 kg

dm3 ]

[Q0022] [1 4 ]

1. Cosa succede se mettiamo due corpi, con temperatura differente, a contatto traloro? Perchè?

2. Le molecole di un oggetto possono rimanere ferme?

3. Se fornisco energia ad un corpo e lo vedo fondere, come è stata utilizzataquell’energia?

4. Esiste un limite inferiore alla temperatura che può avere un oggetto? Quale?

[T0016] [1 3 ] Domande di teoria

1. Una nebulosa nello spazio si comprime a causa della forza di gravità. Che tipodi trasformazione termodinamica fa? Perché?

2. Un frigorifero raffredda l’aria al suo interno. Che tipo di trasformazione ter-modinamica subisce tale aria? Perché?

3. Un ciclo termodinamico assorbe una quantità di calore ∆Qass = 500 J ad altatemperatura, e produce ∆L = 200 J di lavoro. Quanto vale il rendimento delciclo? Quanto calore viene ceduto a bassa temperatura?

Page 315: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

315 Scheda25. Compiti in classe

Compito in classe Classe 1AFM; n4 .

[ID0001] [1 3 ] A due chiodi messi alla stessa altezza viene legata una corda.Al centro della corda viene appeso un oggetto. La corda assume quindi una forma aV. Sulla corda c’è una tensione T = 1700N ; La componente orizzontale di tale forzavale Tx = 1500N . Quanto vale la massa dell’oggetto?

[C0007] [1 3 ] Una persona percorre un tragitto lungo ∆Sa = 100m in untempo ∆ta = 20 s; successivamente si ferma per un intervallo di tempo ∆tb = 10 s

e successivamente un tragitto ∆Sc = 50m in un tempo ∆tc = 25 s. A quale velocitàmedia ha viaggiato nel primo tratto ∆Sa? A quale velocità media ha viaggiato nelsecondo tratto ∆Sc? A quale velocità media ha viaggiato complessivamente?

[D0015] [1 1 ] Un ciclista di massa m = 60 kg corre in pianura alla velocitàcostante V = 35 km

h . Se le forze d’attrito con l’aria hanno un valore Fa = 500N ,quanto vale la forza in avanti che il ciclista fa spingendo sui pedali? Spiegane ilperchè. Quanto vale l’accelerazione con la quale si muove la bicicletta?

[T0017] [1 3 ] Domande di teoria

1. Del gas compresso esce molto velocemente da una bomboletta e si espande. Chetipo di trasformazione termodinamica subisce tale gas? Perché?

2. Del gas viene compresso molto lentamente dentro una bomboletta. Che tipo ditrasformazione termodinamica subisce tale gas? Perché?

3. Un ciclo termodinamico cede una quantità di calore ∆Qced = 500 J a bassatemperatura, e produce ∆L = 200 J di lavoro. Quanto vale il rendimento delciclo? Quanto calore viene assorbito ad alta temperatura?

[O0003] [1 1 ] L’eco di un forte urlo viene percepito dalla persona che haurlato dopo un intervallo di tempo ∆t = 0, 2 s. Sapendo che il suono in aria viaggiaalla velocità Vs = 344 m

s , quanto è distante la parete sulla quale il suono si è riflesso?

Compito in classe Classe 1AFM; n5 .

[I0009] [1 1 ] Scomponi i seguenti vettori lungo le direzioni indicate

[C0024] [1 4 ] Giorgio percorre ∆S1 = 7hm e successivamente si muoveper un tempo ∆t1 = 3min viaggiando alla velocità V1 = 4

m

s. Marco percorre una

distanza ∆S2 = 0, 6Miglia e successivamente si muove per un tempo ∆t2 = 0, 1h

viaggiando alla velocità V2 = 2m

s. Chi ha percorso più strada?

[D0019] [1 2 ] Quanto vale la forza di gravità che agisce su di un oggetto diferro (ρFe = 7, 874 kg

dm3 ) di volume V = 5 dm3?

[Q0021a] [1 2 ] Due oggetti dello stesso materiale, di massa m1 = 5 kg edm2 = 15 kg, e di temperatura T1 = 500 C e T2 = 300 C, sono messi a contatto.Senza fare calcoli, cosa puoi dire della temperatura che raggiungeranno?

[O0013] [1 4 ] Rispondi alle seguenti domande:

1. Cos’è un’onda? Quali tipi di onde conosci?

2. Da cosa dipende la velocità di un’onda?

3. Elenca, spiegandone il significato, le grandezze fisiche con cui descriviamoun’onda.

Page 316: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

316 Scheda25. Compiti in classe

Compito in classe Classe 1AFM; n6 .

[I0003] [1 4 ] In un bicchiere vengono versati un volume VH2O

= 50 cm3 diacqua ed un volume Vo = 50 cm3 di olio. L’acqua ha una densità ρ

H2O= 1 kg

dm3 el’olio ha una densità ρo = 0, 8 g

cm3 . Quanto volume di liquido si trova nel bicchiere?Quanta massa di liquido si trova nel bicchiere?

[C0026] [1 2 ] Un oggetto viene lasciato cadere, partendo da fermo, in unpozzo, e ne tocca il fondo dopo un tempo ∆t = 2 s. Quanto è profondo il pozzo?

[D0030] [2 3 ] Una trave orizzontale lunga l = 2m è libera di ruotare attornoad un perno fisso posto nella sua estremità sinistra. La trave viene tirata verso ilbasso da una forza F1 = 100N posta ad una distanza b1 = 30 cm dal perno e da unaforza F2 = 200N posta ad una distanza c = 40 cm dalla prima forza. Calcola la forzaF3 da applicare al fondo della trave per equilibrarla e non farla ruotare.

[Q0001] [2 3 ] Quanta energia mi serve per innalzare la temperatura di unoggetto di ferro di ∆T = 50K sapendo che ha una massa m = 10 kg e che si trovaad una temperatura Ti = 300K? Se la temperatura iniziale fosse stata Ti = 1800K

sarebbe servita più energia? [rispondi indicando anche il perchè]

[O0014] [1 4 ] Domande di teoria:

1. Quali fenomeni accadono quando un’onda passa da un materiale ad uno dif-ferente? Elencali e spiegali.

2. Perchè il suono non si può propagare nel vuoto?

3. Cosa vuol dire vedere un oggetto? Perchè al buio non vediamo niente? Perchènon vedo nulla delle cose che stanno dietro ad un muro?

Compito in classe Classe 1AFM; n7 .

[I0007] [1 2 ] Esegui le operazioni indicate con i vettori ~a e~b:

~a

~b

~c = ~a+~b

~a

~b

~c = 2~a−~b~a

~b

~c = 3~a− 2~b

[C0022a] [1 1 ] Due lepri, distanti tra loro ∆S = 12m, corrono una versol’altra con velocità costanti V1 = 5 m

s e V2 = 3 ms . Dopo quanto tempo si scontrano?

[D0033] [1 2 ] Faccio più fatica a sorreggere un oggetto di ferro di densitàρFe = 7874 kg

m3 e volume VFe = 2 dm3 o ad allungare una molla di costante elasticak = 30 N

cm dalla lunghezza li = 10 cm alla lunghezza lf = 15 cm?

[Q0027] [1 2 ] Le temperature di fusione e di ebollizione del ferro sono:Tfus = 1808K; Teb = 3023K. Le seguenti sostanze sono solide, liquide o gassose?

• 10 kg di ferro a T = 1600K; 20 kg di ferro a T = 1890 C

• 20 kg di ferro a T = 1600 C; 10 kg di ferro a T = 3023K

[O0019] [1 4 ] Rispondi alle seguenti domande:

1. Quali differenze ed analogie ci sono tra la luce visibile, i gaggi X con cui fai unalastra e le onde radio per le telecomunicazioni?

2. Perchè d’estate preferisco indossare vestiti bianchi e non neri?

3. Come mai d’estate in generale le temperature sono alte, mentre d’inverso ingenerale le temperature sono basse?

4. Qual’è la principale differenza tra la luce diffusa da un muro e la luce riflessada uno specchio?

Page 317: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

317 Scheda25. Compiti in classe

Compito in classe Classe 1AFM; n8 .

[I0005] [1 2 ] Un cilindro graduato contiene un volume Vi = 250 cm3 di acqua.Dopo averci immerso un oggetto di rame di densità ρogg = 8, 92 kg

dm3 , il cilindro segnaun volume Vf = 375 cm3. Calcola volume e massa dell’oggetto.

[C0028] [1 3 ] Su di un campo da calcio rettangolare di dimensioni l = 100m

e h = 70m, Marco e Luigi si muovono da un vertice del rettangolo a quello opposto.Marco si muove lungo il perimetro, mentre Luigi si muove lungo la diagonale delcampo. Sapendo che Marco corre alla velocità VM = 6 m

s e che Luigi corre più lentoalla velocità VL = 5 m

s , chi arriva prima?

[L0021] [1 2 ] Quanta energia devo dare ad un oggetto di massa m = 2 kg chesi muove con velocità Vi = 10 m

s per fargli raddoppiare la velocità?

[L0025] [1 4 ] Un oggetto cade da una certa altezza. Trascuriamo l’effettodell’aria. Rispondi alle seguenti domande:

• Come variano l’energia potenziale gravitazionale e l’energia cinetica dell’og-getto? Come varia l’energia totale dell’oggetto?

Consideriamo adesso il caso della presenza dell’aria.

• In che modo la forza di attrito interviene sulle trasformazioni energetiche delfenomeno in questione? Vale ancora la legge di conservazione dell’energiatotale?

[O0020] [1 3 ] Rispondi alle seguenti domande.

1. Indica quale grandezza fisica dell’onda determina: il colore della luce visibile;la luminosità della luce visibile; il volume di un suono; la tonalità del suono?

2. Con un puntatore laser indico un punto su di un muro. Tutti nella stanza ve-dono quel punto. Sto parlando di un fenomeno di riflessione o di diffusione?Perchè?

3. Descrivi un fenomeno fisico in cui sia presente l’effetto Doppler.

Compito in classe Classe 1AFM; n9 .

[I0018] [1 2 ] Una barca attraversa un fiume muovendosi in diagonale con ve-locità V = 10 m

s . La barca si muove quindi contemporaneamente lungo la direzionedel fiume con velocità Vx = 8 m

s e lungo la direzione tra le due sponde. Con qualevelocità si sta avvicinando alla sponda opposta? Disegna tale vettore.

[C0029] [1 4 ] Un corpo si muove come indicato dal seguente grafico spazio-tempo. Indica: la massima distanza dal punto di partenza, il numero di ore comples-sivo in cui è stato fermo, la velocità media complessiva, la velocità massima.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

2

4

6

8

t(h)

S(km)

[C0032] [1 1 ] Dopo quanto tempo si scontrano due auto, entrambe cheviaggiano una contro l’altra alla velocità costante V = 80 km

h , se distano tra loro∆S = 2 km?

[D0035] [1 4 ] Se vuoi mantenere un sasso sott’acqua senza che tocchi il fon-do, devi fare una forza verso l’alto o verso il basso? Disegna le forze sull’oggetto emotiva la tua risposta. Immagina adesso di fare la stessa cosa con un pallone di pla-stica, devi fare una forza verso l’alto o verso il basso? Disegna le forze sull’oggetto emotiva la tua risposta.

[O0029] [1 1 ] Una nave manda un impulso sonar verso il basso per misurarela profondità del fondale. L’impulso torna alla nave dopo un tempo ∆t = 1, 2 s.Sapendo che il suono in acqua viaggia alla velocità Vs = 1400 m

s , quanto è profondoil fondale?

Page 318: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

318 Scheda25. Compiti in classe

Compito in classe Classe 1L.S.; n1 .

[I0007] [1 2 ] Esegui le operazioni indicate con i vettori ~a e~b:

~a

~b

~c = ~a+~b

~a

~b

~c = 2~a−~b~a

~b

~c = 3~a− 2~b

[C0003] [2 3 ] Un fucile spara orizzontalmente un proiettile con velocità ini-ziale Vix = 800 m

s contro un bersaglio posto alla distanza ∆Sx = 400m. A quanticentimetri sotto la linea di tiro viene colpito il bersaglio?

[C0037a] [1 2 ] Un oggetto si sta inizialmente muovendo alla velocità Vi =

10 ms . Esso subisce un’accelerazione costante a = 2 m

s2 nella stessa direzione dellavelocità e con lo stesso verso, per un tempo ∆t = 3 s. Quale sarà la sua velocitàfinale?

[D0045] [1 2 ] Un’automobile di massa m = 800 kg si appoggia su quattroammortizzatori di costante elastica k = 100 N

cm . Di quanto vengono compressi taliammortizzatori a causa del peso dell’automobile?

[D0058] [3 4 ] Una navicella spaziale di massa m1 = 4000 kg deve recuperareun satellite artificiale di massa m2 = 2000 kg. Per farlo lo aggancia con una fune dilunghezza L = 60m e tira la fune con una forza F = 4N . Il satellite è fermo rispettoalla navicella. Dopo quanto tempo la navicella recupera il satellite?

Compito in classe Classe 1LS; n2 .

[I0012a] [2 5 ] Hai misurato con un righello i tre spigoli di un parallelepipedo,ottenendo a = 20mm±1mm, b = 40mm±1mm, e h = 10mm±1mm. Quanto valeil volume? Quanto valgono gli errori assoluto e relativo sul volume?

[C0038] [2 3 ] Un treno sta percorrendo a velocità costante V = 160 kmh la

linea ferroviaria Torino-Milano. All’istante ti = 900 s il treno si trova a Si = 50 km

dal punto di riferimento. Scrivi la legge oraria del moto. Dove si troverà il trenoall’istante t1 = 1800 s ? Dove si troverà quando sarà trascorso in tempo ∆t = 1, 5h

dopo l’istante t1?

[C0029] [1 4 ] Un corpo si muove come indicato dal seguente grafico spazio-tempo. Indica: la massima distanza dal punto di partenza, il numero di ore comples-sivo in cui è stato fermo, la velocità media complessiva, la velocità massima.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

2

4

6

8

t(h)

S(km)

[D0020] [1 3 ] Un oggetto di massa m = 100 kg e volume V = 5 dm3 si trovasul fondo di una piscina piena di acqua (ρacqua = 1 kg

dm3 ). Quanto vale la densità del-l’oggetto? Quanto valgono la forza di gravità e la forza di Archimede che agisconosull’oggetto? Se sollevo l’oggetto con una forza F2 = 2000N , con quale forza totalel’oggetto si muove?

[D0059] [2 3 ] Due oggetti di massa m1 = 20 kg ed m2 = 30 kg, sono legatida un filo inestensibile e liberi di scivolare su di un piano orizzontale senza attrito.Uno dei due viene tirato orizzontalmete da una forza F = 100N e di conseguenzatrascina l’altro. Con quale accelerazione si muove il sistema?

Page 319: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

319 Scheda25. Compiti in classe

Compito in classe Classe 1LS; n3 .

[I0012] [2 5 ] Hai misurato con un righello il diametro di base e l’altezza di uncilindro ottenendo d = 20mm± 1mm e h = 50mm± 1mm. Quanto vale il volume?Quanto vale l’errore assoluto sul volume?

[C0006] [2 3 ] In una partita di calcio un attaccante si dirige verso il portiereavversario con velocità costante V1 = 6 m

s ; il pallone si trova tra i due giocatori e simuove verso il portiere con velocità Vp = 2 m

s ; il portiere si muove verso il pallonealla velocità V2 = 5 m

s . La distanza tra l’attaccante ed il pallone è ∆S1 = 4m; ladistanza tra il pallone ed il portiere è ∆S2 = 8m. Chi arriva prima a prendere ilpallone?

[C0023] [2 2 ] Un atleta deve correre una gara lunga ∆Stot = 60m. Par-tendo con una velocità iniziale Vi = 4

m

s, ha già corso per un tempo ∆t = 3 s con

un’accelerazione costante a = 0, 5m

s2. Quanti metri mancano al traguardo?

[D0045] [1 2 ] Un’automobile di massa m = 800 kg si appoggia su quattroammortizzatori di costante elastica k = 100 N

cm . Di quanto vengono compressi taliammortizzatori a causa del peso dell’automobile?

[F0013] [1 2 ] Un medico misura la pressione sanguigna ad un paziente altroH = 180 cm mentre è sdraiato su di un lettino, ed ottiene Pcuore = 115mmHg.Quando il paziente si alza in piedi, il suo cuore si trova all’altezza hc = 1, 5m da

terra. La densità del sangue è ρs = 1060kg

m3. Quanto vale la pressione del sangue

all’altezza del cervello del paziente?

Compito in classe Classe 1LS; n4 .

[I0014] [2 6 ] Hai misurato con un righello la base e l’altezza di un rettangoloottenendo b = 10, 0 cm± 0, 1 cm e h = 5, 0 cm± 0, 1 cm. Indicando in modo correttogli errori di misura, calcola l’area ed il perimetro del rettangolo.

[C0008] [2 3 ] Un fucile spara orizzontalmente un proiettile alla velocità ini-ziale Vix = 800 m

s contro un bersaglio alla distanza ∆Sx = 160m. Di quanti cen-timetri sotto la linea di tiro la pallottola colpirà il bersaglio? (Si trascuri l’effettodell’attrito con l’aria)

[C0034] [2 3 ] Un fucile spara un proiettile orizzontalmente con velocità Vix =

200 ms ; il bersaglio si trova 2 cm sotto la linea di tiro e viene colpito nel centro. Quanto

si trova distante il bersaglio?

[D0038] [1 1 ] Un oggetto del peso di Fp = 40N si sposta su di un pianoorizzontale con coefficiente di attrito dinamico µd = 0, 02, sotto l’azione di una forzaF = 20N nella direzione del moto. Qual è la forza totale che agisce su di esso?

[F0007] [1 2 ] Le due sezioni di un torchio idraulico valgono rispettivamenteS1 = 50 cm2 ed S2 = 5 cm2. Sapendo che sulla sezione maggiore viene appoggia-to un peso di massa m = 50 kg, quale forza devo fare sulla seconda sezione permantenere l’equilibrio?

Page 320: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

320 Scheda25. Compiti in classe

Compito in classe Classe 1LS; n5 .

[I0015] [2 7 ] Un cilindro graduato contiene un volume Vi = 250 cm3 ± 1 cm3

di acqua. Dopo averci immerso un oggetto di massam = 1, 12 kg±0, 01 kg, il cilindrosegna un volume Vf = 375 cm3 ± 1 cm3. Calcola volume e densità dell’oggetto.

[C0010] [2 4 ] Un tennista durante il servizio colpisce orizzontalmente la pal-lina all’altezza hi = 2m imprimendole una velocità iniziale Vix = 30 m

s . Sapendoche la rete nel punto più alto è alta hr = 1, 07m e che tale rete si trova alla distanza∆Sx = 11, 89m dalla riga di fondo, calcola a quanti centimetri da terra la pallinapassa sopra la rete.

[C0029b] [1 4 ] Un corpo si muove come indicato dal seguente grafico spazio-tempo. Indica: la massima distanza dal punto di partenza, il numero di ore comples-sivo in cui è stato fermo, la velocità media complessiva, la velocità massima.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

2

4

6

8

t(h)

S(km)

[D0004] [2 2 ] Un oggetto di ferro di massam = 2 kg è appeso ad una molla dicostante elastica k = 10 N

cm e contemporaneamente viene tirato verso il basso da unacalamita che esercita una forza magnetica Fm = 50N . Visto che l’oggetto è fermo, diquanto si è allungata la molla?

[D0023] [1 2 ] Una carrucola sta sorreggendo un oggetto di massa m = 6 kg.L’oggetto è attaccato all’asse centrale della carrucola ed entrambi i capi della cordaintorno alla carrucla vengono tirati verso l’alto. Quanto vale la tensione sul filo chetiene la carrucola?

Compito in classe Classe 1LS; n6 .

[I0020] [2 4 ] Un oggetto è fatto da due cubi di lato L = 80mm di legnidifferenti, rispettivamente di densità ρ1 = 0, 7 g

cm3 e ρ2 = 0, 5 gcm3 . I due cubi sono

attaccati per una delle facce. Indica su di un opportuno sistema di riferimento dovesi trova il baricentro dell’oggetto.

[C0041] [1 1 ] Una persona si trova su di un ascensore. Se l’ascensore simuove con un’accelerazione a = 2 m

s2 verso il basso, quale accelerazione complessivapercepisce la persona?

[C0042] [2 3 ] Un cannone spara un proiettile con una velocità iniziale Vi =

500 ms ; nel punto di massima altezza il proiettile ha velocità Vh = 300 m

s . Quanto valeil modulo della velocità Vf del proiettile al momento dell’impatto al suolo? Quantovale il modulo della variazione di velocità? Quanto tempo ha impiegato il proiettilea raggiungere il punto di impatto al suolo?

[D0005] [1 2 ] Un oggetto di massa m = 2 kg è appeso ad una molla dicostante elastica k = 10 N

cm . Di quanto si allunga la molla?

[D0006] [2 3 ] Una slitta di massa m1 = 0, 12 kg scivola senza attrito su unpiano orizzontale tirato da un filo di massa trascurabile che, passando attraversouna carrucola, è a sua volta attaccato ad un peso di massa m2 = 0, 02 kg. Tale pesoviene tirato verso il basso dalla forza di gravità. Con quale accelerazione si muove ilsistema?

Page 321: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

321 Scheda25. Compiti in classe

Compito in classe Classe 1LS; n7 .

[C0029a] [1 4 ] Un corpo si muove come indicato dal seguente grafico spazio-tempo. Indica: la massima distanza dal punto di partenza, il numero di ore comples-sivo in cui è stato fermo, la velocità media complessiva, la velocità massima.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

2

4

6

8

t(h)

S(km)

[C0039] [2 2 ] Un cannone spara un proiettile con una velocità iniziale Vi =

500 ms ; nel punto di massima altezza il proiettile ha velocità Vf = 300 m

s . Quantovale il modulo della variazione di velocità? Quanto tempo ha impiegato il proiettilea raggiungere il punto di massima altezza?

[C0036] [2 4 ] Un’automobile sta viaggiando alla velocità Vi = 36 kmh e co-

mincia a frenare con accelerazione costante a = 0.5 ms2 . Dopo quanto tempo si ferma?

Quanto spazio ha percorso da quando ha cominciato a frenare?

[D0008] [1 3 ] Un vaso di massa trascurabile contenente V = 15 dm3 di acquadi mare (ρ = 1, 03 kg

dm3 ) è appeso al soffitto con una molla di costante elastica k =

100 Nm . Di quanto si allunga la molla?

[D0052] [2 2 ] Un ascensore si muove verso l’alto con accelerazione a = 2 ms2 .

Una persona di massa m = 70 kg si trova al suo interno in piedi sopra una bilancia.Qunto peso segna la bilancia?

Compito in classe Classe 1LS; n8 .

[C0004] [2 5 ] Una automobile, partendo da ferma, percorre un tratto di stra-da ∆S1 muovendosi per un tempo ∆t1 = 10 s con un’accelerazione a = 1, 2 m

s2 .Successivamente percorre un tratto di strada ∆S2 con velocità costante per un tem-po ∆t2 = 30 s. Quanto è lungo il tratto di strada complessivamente percorso dallamacchina? A quale velocità media ha viaggiato la macchina?

[C0008a] [2 3 ] Un fucile spara un proiettile orizzontalmente con velocitàVix = 800 m

s ; il bersaglio viene colpito ∆Sy = 19, 6 cm sotto la linea di tiro. Quantosi trova distante il bersaglio? (Si trascuri l’effetto dell’attrito con l’aria)

[D0003] [2 3 ] Un oggetto si muove su di un piano orizzontale con velocitàcostante, sotto l’azione di una forza F = 100N . Se il coefficiente di attrito tra il pianoe l’oggetto vale µd = 1, 5 quanto vale la massa dell’oggetto?

[D0031] [1 4 ] In una giostra dei seggiolini tenuti da una catena si muovonodi moto circolare uniforme in orizzontale con frequenza ν = 0, 25Hz descrivendoun cerchio di raggio r = 3m. Una persona seduta nel seggiolino ha una massam = 70 kg. Quanta forza deve fare la catena per sorreggere quel seggiolino?

[F0009] [1 3 ] Un subacqueo si trova immerso nelle acque ferme di un lagoalla profondità h1 = −20m rispetto al livello del mare. La pressione atmosferica valePatm = 100000Pa. A quale pressione si trova? A quale profondità deve arrivare perraddoppiare la pressione a cui si trova?

Page 322: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

322 Scheda25. Compiti in classe

Compito in classe Classe 1LS; n9 .

[ID0001] [1 3 ] A due chiodi messi alla stessa altezza viene legata una corda.Al centro della corda viene appeso un oggetto. La corda assume quindi una forma aV. Sulla corda c’è una tensione T = 1700N ; La componente orizzontale di tale forzavale Tx = 1500N . Quanto vale la massa dell’oggetto?

[C0011] [2 4 ] Un’auto ha velocità Vi = 108 kmh e comincia a rallentare fino

alla velocità Vf = 72 kmh . La frenata dura ∆t = 4 sec. Calcola l’accelerazione subita

dall’auto e indicane il verso. Quanta strada ha fatto l’auto durante la frenata?

[C0043] [2 3 ] Un cannone spara orizzontalmente un proiettile con una velo-cità iniziale Vix = 100 m

s . Quanto vale il modulo della velocità Vf del proiettile dopoun tempo ∆t = 15 s?

[D0022] [1 2 ] Un oggetto di massa m = 500 g si muove di moto circolareuniforme di raggio r = 20 cm ad una velocità V = 4 m

s attaccato ad una molla dicostante elastica k = 10 N

cm . Quanto vale la forza centrifuga che tira la molla? Diconseguenza, di quanto si è allungata la molla?

[D0034] [2 2 ] Ad una macchina di Atwood sono appese due massem1 = 2 kg

ed m2 = 5 kg. Con quale accelerazione si muove il sistema?

Compito in classe Classe 1LS; n10 .

[C0014] [2 3 ] Un cannone spara orizzontalmente un proiettile da una po-stazione rialzata, con una velocità iniziale orizzontale ~Vix = 200 m

s . Dopo un tem-po ∆t = 2 s colpisce il suo bersaglio. Quanto distante si trova il bersaglio in lineaorizzontale? Quanto più in basso rispetto all’altezza del cannone?

[C0040] [1 1 ] Una persona si trova su di un ascensore. Se l’ascensore simuove con un’accelerazione a = 2 m

s2 verso l’alto, quale accelerazione complessivapercepisce la persona?

[D0036] [1 1 ] Ad una molla di costante elastica k = 50 Nm viene appeso un

oggetto di massa m = 4 kg. Di quanto si allunga la molla?

[D0037] [1 2 ] Su di una macchina sale una persona di massa m = 80 kg.Di quanto si abbassa la macchina se le quattro molle su cui poggia hanno costanteelastica k = 100 N

cm?

[F0006] [3 2 ] Un tubo a forma di U contiene acqua ( ρH2O

= 1000 kgm3 ) nella

sezione di sinistra e olio ( ρolio = 800 kgm3 ) nella sezione di destra. I liquidi sono

fermi. Sapendo che la colonna di olio ha un’altezza ∆h = 20 cm, di quanti centimetrila colonnina di olio si trova più in alto della colonnina di acqua?

Page 323: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

323 Scheda25. Compiti in classe

Compito in classe Classe 1LS; n11 .

[Lab0001] [2 5 ] Ti trovi su Marte. Hai misurato con un righello la lunghezzadi un pendolo ottenendo L = 98, 5 cm ± 0.5 cm. Hai poi misurato cinque volte ilperiodo di oscillazione del pendolo ottenendo i valori indicati in tabella. Quantovale l’accelerazione di gravità di Marte?

T1 3,23 s 3,22 s 3,22 s 3,23 s 3,24 s

[C0037] [1 2 ] Un oggetto si sta inizialmente muovendo alla velocità Vi =

10 ms . Esso subisce un’accelerazione costante a = 2 m

s2 nella stessa direzione dellavelocità ma con verso opposto, per un tempo ∆t = 3 s. Quale sarà la sua velocitàfinale?

[D0025] [1 4 ] Un palloncino è legato con una molla di costante elastica k =

5 Ncm al fondo di una piscina e quindi tenuto fermo sotto l’acqua. Sapendo che il suo

volume è V = 1 dm3 e che la sua massa è m = 400 g, di quanto si allunga la molla?

[D0057] [2 4 ] Un oggetto di massaM = 20 kg striscia su di un piano orizzontalecon coefficiente di attrito µ = 0, 05. L’oggettoè tirato da una corda inestensibile che, trami-te una carrucola mobile, sorregge un peso dimassa m = 5 kg. Con quale accelerazione sista muovendo il sistema?

[F0010] [2 4 ] In un cilindro verticale versiamo mercurio, acqua e olio. Lacolonna di mercurio è alta L

Hg= 5 cm; la colonna d’acqua è alta L

H2O= 20 cm

e la colonna d’olio è alta Lolio

= 15 cm. La pressione atmosferica vale Patm =

100000Pa. Trovate la pressione sul fondo della colonna di liquido. Le densità deiliquidi utilizzati sono: ρ

olio= 800 kg

m3 ; ρH2O

= 1000 kgm3 ; ρ

Hg= 13579 kg

m3 .

Compito in classe Classe 1LS; n12 .

[I0011] [2 2 ] Disegna, e calcolane il valore, il vettore ~F3 che annulla la som-ma dei vettori ~F1 e ~F2 di valore rispettivamente F1 = 1, 5 kN e F2 = 800N postiperpendicolari tra loro.

[C0022] [1 1 ] Due lepri si rincorrono rispettivamente alla velocità costanteV1 = 5 m

s e V2 = 3 ms , e distano inizialmente ∆S = 12m. Dopo quanto tempo il più

veloce raggiunge il più lento?

[C0044a] [2 4 ] Un corpo si muove come indicato dal seguente grafico velocità-tempo. Indica: la velocità massima, il numero di ore in cui l’oggetto ha velocitàcostante, l’accelerazione massima, la distanza percorsa, la velocità media.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

2

4

6

8

t(h)

V (kmh )

[D0056] [2 3 ] Un oggetto di mas-sa M = 20 kg striscia senza attrito su di unpiano orizzontale. L’oggetto è tirato da unacorda inestensibile che, tramite una carrucolamobile, sorregge un peso di massa m = 5 kg.Con quale accelerazione si sta muovendo ilsistema?

[F0011] [1 1 ] Sapendo che un sottomarino in immersione sta subendo unapressione P = 280000Pa, a quale profonditá si trova rispetto alla superficie?

Page 324: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

324 Scheda25. Compiti in classe

Compito in classe Classe 2LS; n1 .

[C0004] [2 5 ] Una automobile, partendo da ferma, percorre un tratto di stra-da ∆S1 muovendosi per un tempo ∆t1 = 10 s con un’accelerazione a = 1, 2 m

s2 .Successivamente percorre un tratto di strada ∆S2 con velocità costante per un tem-po ∆t2 = 30 s. Quanto è lungo il tratto di strada complessivamente percorso dallamacchina? A quale velocità media ha viaggiato la macchina?

[C0023] [2 2 ] Un atleta deve correre una gara lunga ∆Stot = 60m. Par-tendo con una velocità iniziale Vi = 4

m

s, ha già corso per un tempo ∆t = 3 s con

un’accelerazione costante a = 0, 5m

s2. Quanti metri mancano al traguardo?

[D0009] [2 4 ] Due persone stanno sollevando una trave di forma irregolare,di massa m = 50 kg e lunga l = 2m tenendola per i suoi estremi. Il baricentro dellatrave si trova a d = 70 cm da uno degli estremi della trave stessa. Quanto valgono leforze fatte dalle due persone?

[L0001] [1 3 ] Un oggetto di massa m = 50 kg viaggia ad una velocità Vi =

10ms . Ad un certo punto viene spinto da una forza F = 100N per una distanza∆S = 24m nella stessa direzione e nello stesso verso del movimento.

1. Quanto lavoro ha fatto la forza? Quel lavoro è negativo o positivo?

2. Quanta energia cinetica ha l’oggetto all’inizio e dopo l’azione della forza?

3. A quale velocità finale viaggia l’oggetto?

[L0027] [1 2 ] Un atleta di salto con l’asta durante la sua corsa viaggia aduna velocità Vi = 9ms , quanto salterebbe in alto se riuscisse a convertire tutta la suaenergia cinetica in energia potenziale gravitazionale?

Compito in classe Classe 2LS; n2 .

[C0032] [1 1 ] Dopo quanto tempo si scontrano due auto, entrambe cheviaggiano una contro l’altra alla velocità costante V = 80 km

h , se distano tra loro∆S = 2 km?

[C0037] [1 2 ] Un oggetto si sta inizialmente muovendo alla velocità Vi =

10 ms . Esso subisce un’accelerazione costante a = 2 m

s2 nella stessa direzione dellavelocità ma con verso opposto, per un tempo ∆t = 3 s. Quale sarà la sua velocitàfinale?

[D0006] [2 3 ] Una slitta di massa m1 = 0, 12 kg scivola senza attrito su unpiano orizzontale tirato da un filo di massa trascurabile che, passando attraversouna carrucola, è a sua volta attaccato ad un peso di massa m2 = 0, 02 kg. Tale pesoviene tirato verso il basso dalla forza di gravità. Con quale accelerazione si muove ilsistema?

[D0032] [2 4 ] Immaginate di tenere in mano un sasso di massa m = 1 kg

mentre tenete l’avambraccio fermo in posizione orizzontale. Il sasso si trova ad unadistanza b1 = 30 cm dal gomito. Il muscolo bicipite, che esprime una forza versol’alto, è attaccato all’avambraccio ad una distanza b2 = 5 cm dal gomito. Quantovale la forza di gravità sul sasso? Quanto vale la forza che deve fare il muscolo persorreggere il sasso? Quale forza agisce sul gomito?

[O0002] [1 3 ] Costruisci l’immagine di un oggetto generata da una lentesferica convergente, sia nel caso che l’oggetto si trovi tra la lente ed il fuoco, sia nelcaso che si trovi oltre il fuoco.

Page 325: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

325 Scheda25. Compiti in classe

Compito in classe Classe 2LS; n3 .

[C0006] [2 3 ] In una partita di calcio un attaccante si dirige verso il portiereavversario con velocità costante V1 = 6 m

s ; il pallone si trova tra i due giocatori e simuove verso il portiere con velocità Vp = 2 m

s ; il portiere si muove verso il pallonealla velocità V2 = 5 m

s . La distanza tra l’attaccante ed il pallone è ∆S1 = 4m; ladistanza tra il pallone ed il portiere è ∆S2 = 8m. Chi arriva prima a prendere ilpallone?

[C0039] [2 2 ] Un cannone spara un proiettile con una velocità iniziale Vi =

500 ms ; nel punto di massima altezza il proiettile ha velocità Vf = 300 m

s . Quantovale il modulo della variazione di velocità? Quanto tempo ha impiegato il proiettilea raggiungere il punto di massima altezza?

[D0007] [2 4 ] Una sbarra orizzontale è libera di ruotare intorno ad un pernocentrale. Essa è sottoposta all’azione di tre forze: una forza F1 = 30N verso il bassoposta ad una distanza b1 = 30 cm dal perno sul suo lato sinistro, una forza F2 = 10N

verso il basso posta ad una distanza b2 = 30 cm dal perno sul suo lato destro, ed unaforza F3 = 40N verso il basso posta ad una distanza b3 sul suo lato destro. Calcolaquanto valgono la distanza b3 e la reazione vincolare Rv del perno affinché la sbarrapossa rimanere ferma.

[L0003] [1 2 ] Se lascio cadere un oggetto di massa m = 1 kg inizialmentefermo da un’altezza hi = 8m, e arriva a terra con una velocità Vf = 10 m

s ; quantaenergia si è dissipata sotto forma di calore a causa dell’attrito con l’aria?

[O0008] [1 2 ] Un oggetto è posto ad una distanza da una lente sferica con-vergente tale per cui l’immagine generata risulta di dimensioni doppie rispetto al-l’oggetto. Sapendo che la distanza focale della lente vale f = 30 cm, a quale distanzadalla lente si trova l’oggetto?

Compito in classe Classe 2LS; n4 .

[C0039] [2 2 ] Un cannone spara un proiettile con una velocità iniziale Vi =

500 ms ; nel punto di massima altezza il proiettile ha velocità Vf = 300 m

s . Quantovale il modulo della variazione di velocità? Quanto tempo ha impiegato il proiettilea raggiungere il punto di massima altezza?

[C0008] [2 3 ] Un fucile spara orizzontalmente un proiettile alla velocità ini-ziale Vix = 800 m

s contro un bersaglio alla distanza ∆Sx = 160m. Di quanti cen-timetri sotto la linea di tiro la pallottola colpirà il bersaglio? (Si trascuri l’effettodell’attrito con l’aria)

[D0016] [2 4 ] Una sbarra orizzontale di massa trascurabile è inchiodata nelsuo centro. Due forze di intensità F1 = F2 = 20N vengono applicate alla sbarraverso il basso rispettivamente alla distanza b1 = 20 cm a sinistra e b2 = 30 cm adestra del centro. Dove devo applicare una forza F3 = 2N veso il basso in mododa ottenere equilibrio rotazionale? Quanto vale e verso dove è diretta la reazionevincolare del chiodo?

[L0004] [1 1 ] Un oggetto di massa m = 500 kg si sta muovendo su di unpiano orizzontale con velocità iniziale Vi = 10 m

s . Gradualmente rallenta a causadelle forze di attrito fino alla velocità Vf = 4 m

s . Quanta energia è stata dispersasotto forma di calore?

[F0001] [2 3 ] In un tubo orizzontale di sezione S1 = 10 cm2 scorre dell’acquaad una velocità V1 = 8 m

s con una pressione P1 = 150000Pa. Ad un certo punto lasezione del tubo aumenta fino al valore S2 = 16 cm2. Quanto valgono la velocità e lapressione dell’acqua nella parte larga del tubo?

Page 326: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

326 Scheda25. Compiti in classe

Compito in classe Classe 2LS; n5 .

[C0028] [1 3 ] Su di un campo da calcio rettangolare di dimensioni l = 100m

e h = 70m, Marco e Luigi si muovono da un vertice del rettangolo a quello opposto.Marco si muove lungo il perimetro, mentre Luigi si muove lungo la diagonale delcampo. Sapendo che Marco corre alla velocità VM = 6 m

s e che Luigi corre più lentoalla velocità VL = 5 m

s , chi arriva prima?

[D0028] [2 4 ] Una trave di legno di massa m = 2 kg e di lunghezza l = 1m

è sorretta ai bordi da due persone. Sulla trave si trova un ogetto di massa m2 = 1 kg

ad una distanza b1 = 20 cm dal bordo sinistro della trave. Quanto valgono le forzeche fanno le due persone?

θ

[D0050] [2 2 ] Un oggetto di massa m =

2 kg si trova su di un carrello posizionato fermo sudi un piano inclinato inclinato di θ = 30 rispet-to all’orizzontale. Il sistema inizialmente è fermo.L’oggetto è appoggiato ad una molla di costan-te elastica k = 5 N

cm , parallela al piano inclinato.Di quanto si allunga la molla quando si lascia ilcarrello libeo di muoversi?

[L0005] [1 2 ] Un oggetto si sta muovendo in salita su di un piano inclinatocon attrito, con una velocità iniziale Vi = 10 m

s . Gradualmente rallenta fino a fermar-si. Sapendo che l’oggetto si è sollevato, rispetto all’altezza iniziale, fino all’altezzahf = 3m e che il calore generato dalle forze di attrito è stato Q = 2 J , quanto vale lamassa dell’oggetto?

[O0015] [1 2 ] Un raggio di luce verde (ν = 6 · 1014Hz) attraversa perpen-dicolarmente una lastra di vetro con indice di rifrazione n = 1, 4. Sapendo che lalastra di vetro è spessa d = 3mm, quante oscillazioni compie il raggio luminosonell’attraversare tale lastra?

Compito in classe Classe 2LS; n6 .

[C0008a] [2 3 ] Un fucile spara un proiettile orizzontalmente con velocitàVix = 800 m

s ; il bersaglio viene colpito ∆Sy = 19, 6 cm sotto la linea di tiro. Quantosi trova distante il bersaglio? (Si trascuri l’effetto dell’attrito con l’aria)

[C0035] [1 1 ] Un atleta corre una gara lunga ∆Stot = 10000m alla velocitàV = 4 m

s . Sapendo che al traguardo manca ∆S2 = 4000m, da quanto tempo la garaè iniziata?

[D0043] [1 4 ] Una sfera rotola su di un piano inclinato, senza strisciare e convelocità costante. Sapendo che la reazione vincolare del piano vale Rv = 17N e chele forze di attrito valgono Fa = 9, 8N , calcolate la massa della sfera ed il coefficientedi attrito del piano.

[L0023] [1 3 ] Un corpo di massa m = 2 kg, sulla cima di una collina, viag-gia con velocità iniziale Vi = 10 m

s ed ha un’energia potenziale gravitazionale Ui =

1000 J . Frenato dalle forze d’attrito, arriva in fondo alla collina ad altezza hf = 0m

con una velocità finale Vf = 20 ms . Di quante volte è aumentata l’energia cinetica

(raddoppiata, triplicata, quadruplicata)? Quanta energia si è trasformata in calore?

[Q0017] [3 2 ] Ad una sbarra di ferro di massa m = 50 kg alla temperatu-ra Ti = 1500K forniamo ∆Q = 12000 kJ di energia. Quanti kilogrammi di ferroriusciamo a far fondere?

Page 327: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

327 Scheda25. Compiti in classe

Compito in classe Classe 2LS; n7 .

[C0029b] [1 4 ] Un corpo si muove come indicato dal seguente grafico spazio-tempo. Indica: la massima distanza dal punto di partenza, il numero di ore comples-sivo in cui è stato fermo, la velocità media complessiva, la velocità massima.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

2

4

6

8

t(h)

S(km)

[C0042] [2 3 ] Un cannone spara un proiettile con una velocità iniziale Vi =

500 ms ; nel punto di massima altezza il proiettile ha velocità Vh = 300 m

s . Quanto valeil modulo della velocità Vf del proiettile al momento dell’impatto al suolo? Quantovale il modulo della variazione di velocità? Quanto tempo ha impiegato il proiettilea raggiungere il punto di impatto al suolo?

[O0009] [1 2 ] Un oggetto è posto di fronte ad una lente convergente ad unadistanza p = 20 cm. La distanza focale della lente è f = 15 cm. A quale distanzadalla lente si forma l’immagine? Quanto vale il fattore di ingrandimento?

[D0029] [2 4 ] Una trave orizzontale di massa m = 10 kg e lunga l = 200 cm èlibera di ruotare attorno ad un perno fisso posto nella sua estremità sinistra. La traveviene tirata verso il basso da una forza F1 = 100N posta ad una distanza b1 = 30 cm

dal perno. Una forza F2 viene poi applicata al fondo della trave per equilibrarla enon farla ruotare. La reazione vincolare del perno fisso tiene la trave in equilibriotraslazionale. Quanto valgono e verso dove sono diretti i momenti della forza F1

e della forza di gravità? Quanto deve valere e in quale verso deve essere diretto ilmomento della forza F2? Calcola la forza F2 ed il valore della reazione vincolare.

[L0010] [1 2 ] Un tuffatore salta dalla piattaforma alta hi = 10metri. Conquale velocità l’atleta entra in acqua?

Compito in classe Classe 2LS; n8 .

[C0022] [1 1 ] Due lepri si rincorrono rispettivamente alla velocità costanteV1 = 5 m

s e V2 = 3 ms , e distano inizialmente ∆S = 12m. Dopo quanto tempo il più

veloce raggiunge il più lento?

[C0043] [2 3 ] Un cannone spara orizzontalmente un proiettile con una velo-cità iniziale Vix = 100 m

s . Quanto vale il modulo della velocità Vf del proiettile dopoun tempo ∆t = 15 s?

[D0041] [3 3 ] Un pendolo di massa m = 700 g e di lunghezza L = 2m vienetirato in orizzontale da una forza F = 8N . Quanto vale la tensione del filo chesorregge il peso? Di quanto si solleva il peso?

[L0012] [1 2 ] Quale altezza raggiunge un oggetto lanciato da terra vertical-mente verso l’alto con una velocità iniziale V0 = 25 m

s ?

[F0002] [1 2 ] In un tubo di sezione S1 = 10 cm2 scorre dell’acqua con velo-cità V1 = 3 m

s . Questo tubo ha una strozzatura nel centro, di sezione S2 = 4 cm2.Quanto vale la portata del tubo? Quanto vale la velocità con cui l’acqua scorre nellastrozzatura?

Page 328: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

328 Scheda25. Compiti in classe

Compito in classe Classe 2LS; n9 .

[C0012] [1 2 ] Due automobili stanno percorrendo a velocità costante duestrade che si incrociano. La prima automobile dista dall’incrocio ∆S1 = 600m esta viaggiando ad una velocità V1 = 30 m

s . La seconda automobile dista dall’incrocio∆S2 = 800m. A quale velocità deve viaggiare la seconda macchina affinchè si scontricon la prima?

[C0008a] [2 3 ] Un fucile spara un proiettile orizzontalmente con velocitàVix = 800 m

s ; il bersaglio viene colpito ∆Sy = 19, 6 cm sotto la linea di tiro. Quantosi trova distante il bersaglio? (Si trascuri l’effetto dell’attrito con l’aria)

[D0030] [2 3 ] Una trave orizzontale lunga l = 2m è libera di ruotare attornoad un perno fisso posto nella sua estremità sinistra. La trave viene tirata verso ilbasso da una forza F1 = 100N posta ad una distanza b1 = 30 cm dal perno e da unaforza F2 = 200N posta ad una distanza c = 40 cm dalla prima forza. Calcola la forzaF3 da applicare al fondo della trave per equilibrarla e non farla ruotare.

[L0002] [1 2 ] Se lascio cadere un oggetto inizialmente fermo da un’altezzahi = 8m, con quale velocità arriverà a terra?

[F0004] [2 2 ] Un vaso cilindrico di sezione S1 = 10 cm2 contiene dell’acquafino ad un certo livello. Nel vaso viene applicato un foro di sezione S2 = 1mm2

ad un’altezza ∆h = 40 cm inferiore al livello dell’acqua. Con quale velocità V2 escel’acqua dal foro?

Compito in classe Classe 2LS; n10 .

[C0038] [2 3 ] Un treno sta percorrendo a velocità costante V = 160 kmh la

linea ferroviaria Torino-Milano. All’istante ti = 900 s il treno si trova a Si = 50 km

dal punto di riferimento. Scrivi la legge oraria del moto. Dove si troverà il trenoall’istante t1 = 1800 s ? Dove si troverà quando sarà trascorso in tempo ∆t = 1, 5h

dopo l’istante t1?

[C0011] [2 4 ] Un’auto ha velocità Vi = 108 kmh e comincia a rallentare fino

alla velocità Vf = 72 kmh . La frenata dura ∆t = 4 sec. Calcola l’accelerazione subita

dall’auto e indicane il verso. Quanta strada ha fatto l’auto durante la frenata?

[D0042] [2 2 ] Sapendo che la massa di Marte vale M = 6, 39 · 1023kg ed ilsuo raggio vale R = 3390 km, calcola il valore dell’accelerazione di gravità di Marte.Come cambierebbe tale accelerazione se avessimo un pianeta "X" di raggio doppio econ il doppio della massa?

[L0015] [1 5 ] Un pallone di massam = 0, 4 kg si trova ad una altezza hi = 1m

da terra e viene calciato verticalmente verso l’alto alla velocità Vi = 15 ms .

1. Quanta energia cinetica e quanta energia potenziale gravitazionale ha il pallo-ne all’inizio?

2. Qanto vale l’energia totale che ha quel pallone?

3. Quanta energia cinetica e quanta energia potenziale gravitazionale ha il pallo-ne nel punto di massima altezza?

4. A quale altezza arriva il pallone?

5. Se il pallone avesse avuto una massa doppia a quale altezza sarebbe arrivato?

.

[Q0013] [1 1 ] Un oggetto di materiale sconosciuto e di massa m1 = 5 kg

alla temperatura iniziale Ti1 = 350K viene messo a contatto con un oggetto dellostesso materiale e di massa m2 = 30 kg alla temperatura iniziale Ti2 = 300K. Qualetemperatura di equilibrio raggiungeranno i due oggetti?

Page 329: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

329 Scheda25. Compiti in classe

Compito in classe Classe 2LS; n11 .

[C0027] [1 2 ] Un atleta corre una gara alla velocità costante V = 4ms . Sapendoche al traguardo manca ∆S2 = 3800m, e che la gara è iniziata da ∆t = 5min, quantimetri è lunga tutta la gara?

[C0034] [2 3 ] Un fucile spara un proiettile orizzontalmente con velocità Vix =

200 ms ; il bersaglio si trova 2 cm sotto la linea di tiro e viene colpito nel centro. Quanto

si trova distante il bersaglio?

[D0004] [2 2 ] Un oggetto di ferro di massam = 2 kg è appeso ad una molla dicostante elastica k = 10 N

cm e contemporaneamente viene tirato verso il basso da unacalamita che esercita una forza magnetica Fm = 50N . Visto che l’oggetto è fermo, diquanto si è allungata la molla?

[L0019] [1 3 ] Su di una catapulta viene posizionata una pietra di massa m =

30 kg, comprimendo di ∆l = 50 cm una molla di costante elastica k = 6000Nm .

1. Quanta energia potenziale elastica è immagazzinata nella molla?

2. Con quanta energia cinetica la pietra viene lanciata?

3. A quale velocità viaggia la pietra nel momento in cui viene lanciata?

.

[Q0010] [2 2 ] Quanta energia mi serve per portare una massa m = 5 kg diacqua dalla temperatura Ti = 20 C alla temperatura Tf = 130 C?

Compito in classe Classe 2LS; n12 .

[C0013a] [1 1 ] Se mi muovo verso nord di ∆S1 = 600m, e poi verso estdi ∆S2 = 300m, ed infine verso sud di ∆S3 = 200m, quanti metri ho percor-so? Di quanti metri mi sono spostato rispetto al punto di partenza? Disegna i trespostamenti e lo spostamento totale.

[C0019] [1 1 ] Un ascensore con dentro una persona comincia la sua corsa insalita partendo con accelerazione a = 2 m

s2 . Quanto vale l’accelerazione complessivasubita dalla persona?

[D0012] [2 5 ] Una sbarra di ferro lunga l = 2m il cui baricentro si trova ad = 50 cm da uno degli estremi, viene appoggiata su due molle poste agli estremidella sbarra, le quali si schiacceranno della stessa quantità ∆l = 6 cm. Sapendo chela prima molla ha costante elastica k1 = 1000 N

cm , quanto vale la costante elasticadell’altra molla e quanto vale la massa della sbarra?

[L0028] [1 2 ] Un oggetto di massa m = 4 kg si muove senza attrito su di unpiano orizzontale con la velocità V = 5 m

s . Ad un certo punto l’oggetto incontra unamolla comprimendola di ∆l = 0, 2m. Quanto vale la costante elastica della molla?

[Q0018] [3 2 ] Un pezzo di ferro di massa m = 5 kg alla temperatura Ti =

1600K viene immerso in un volume V = 2 litri di acqua liquida alla temperatura diebollizione. Quanta massa di acqua diventerà vapore?

Page 330: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

330 Scheda25. Compiti in classe

Compito in classe Classe 2LS; n13 .

[C0036] [2 4 ] Un’automobile sta viaggiando alla velocità Vi = 36 kmh e co-

mincia a frenare con accelerazione costante a = 0.5 ms2 . Dopo quanto tempo si ferma?

Quanto spazio ha percorso da quando ha cominciato a frenare?

[D0040] [1 2 ] Un pendolo di massa m = 300 g viene tirato in orizzontale dauna forza F = 6N . Quanto vale la tensione del filo che sorregge il peso?

[L0009] [1 2 ] Un motore di potenza P = 2 kW solleva un oggetto di massam = 500 kg da un’altezza hi = 2m fino ad un’altezza hf = 32m. Quanto tempo ciimpiega?

[F0005] [2 3 ] Un tubo orizzontale di sezione S1 = 10 cm2 è percorso da acquaalla pressione P1 = 150000Pa che si muove alla velocità V1 = 8 m

s . All’altra estremitàdel tubo la pressione vale P2 = 169500Pa. Con quale velocità l’acqua esce dal tubo?Quale sezione ha il tubo in uscita?

[Q0026] [2 3 ] Fornendo ∆Q = 3000 kJ an un oggetto di piombo alla tem-peratura iniziale Ti = 280K, riesco a portarlo alla temperatura di fusione e fon-derlo interamente. Quanta massa di piombo liquido mi trovo alla temperatura difusione?

Compito in classe Classe 2LS; n14 .

[C0014] [2 3 ] Un cannone spara orizzontalmente un proiettile da una po-stazione rialzata, con una velocità iniziale orizzontale ~Vix = 200 m

s . Dopo un tem-po ∆t = 2 s colpisce il suo bersaglio. Quanto distante si trova il bersaglio in lineaorizzontale? Quanto più in basso rispetto all’altezza del cannone?

[D0048] [2 4 ] Un oggetto di massa m = 2 kg si trova fermo su di un pianoinclinato senza attrito, inclinato di θ = 30 rispetto all’orizzontale, bloccato tramiteun cavo inestensibile ad una molla di costante elastica k = 5 N

cm . Di quanto si allungala molla?

[DL0001] [2 3 ] Un corpo striscia con velocità iniziale Vi = 20 ms su di un

piano con coefficiente di attrito µd = 0.5. Quale velocità avrà dopo aver percorso∆S = 30m.

[L0011] [1 2 ] In quanto tempo un motore di potenza P = 30W può sollevareun oggetto di massa m = 4 kg di un’altezza ∆h = 5m?

[F0003] [1 2 ] Il letto di un canale di irrigazione è profondo h1 = 2m e largol1 = 10m, e l’acqua al suo interno scorre con una velocità V1 = 0, 2 m

s ; se in un certotratto la profondità e la larghezza del canale si dimezzano, a quale velocità scorreràl’acqua in questo secondo tratto? Quanto vale la portata del canale?

Page 331: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

331 Scheda25. Compiti in classe

Compito in classe Classe 2LS; n15 .

[C0009] [2 2 ] Un oggetto si trova ad una certa altezza e viene sparato versol’alto con una velocità iniziale Vi = 4 m

s . Sapendo che arriverà a terra dopo un tempo∆t = 2 sec, quanto si trovava in alto?

[C0014] [2 3 ] Un cannone spara orizzontalmente un proiettile da una po-stazione rialzata, con una velocità iniziale orizzontale ~Vix = 200 m

s . Dopo un tem-po ∆t = 2 s colpisce il suo bersaglio. Quanto distante si trova il bersaglio in lineaorizzontale? Quanto più in basso rispetto all’altezza del cannone?

[D0027] [1 2 ] Una sbarra orizzontale è tenuta ferma da un chiodo nel suocentro. Sula lato sinistro, ad una distanza b1 = 18 cm viene applicata una forzaF1 = 30N verso il basso. Sul lato destro, ad una distanza b2 = 12 cm viene applicatauna forza F2 verso il basso. Quanto vale la forza F2 per tenere ferma la sbarra?

[DL0002] [2 5 ] Disegna lo schema di un sistema di sollevamento a carrucolamobile per sollevare un peso di massa m = 10 kg. Indica il valore della forza ~F chedevi esercitare sull’estremità del cavo e lo spostamento ∆S dell’estremità del cavo,sapendo che la massa si solleva di ∆h = 20 cm.

[L0018] [1 2 ] Di quanto viene compressa una molla di costante elastica k =

100 Nm se a comprimerla è un oggetto di massa m = 49 kg lanciato orizzontalmente

alla velocità Vi = 10 ms ?

Compito in classe Classe 2LS; n16 .

[C0029a] [1 4 ] Un corpo si muove come indicato dal seguente grafico spazio-tempo. Indica: la massima distanza dal punto di partenza, il numero di ore comples-sivo in cui è stato fermo, la velocità media complessiva, la velocità massima.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

2

4

6

8

t(h)

S(km)

[C0046] [2 4 ] Un proiettile viene lanciato dal tetto di un palazzo, con unavelocità iniziale Vi = 15 m

s inclinata verso l’alto rispetto all’orizzontale di un angoloα = 30, verso un palazzo di uguale altezza distante ∆Sx = 40m. Quanti metri sottoal tetto viene colpito il secondo palazzo?

[F0006] [3 2 ] Un tubo a forma di U contiene acqua ( ρH2O

= 1000 kgm3 ) nella

sezione di sinistra e olio ( ρolio = 800 kgm3 ) nella sezione di destra. I liquidi sono

fermi. Sapendo che la colonna di olio ha un’altezza ∆h = 20 cm, di quanti centimetrila colonnina di olio si trova più in alto della colonnina di acqua?

[DL0012] [1 4 ] Un’auto di massa m = 500 kg rallenta dalla velocità Vi =

252 kmh fino alla velocità Vf = 108 km

h in uno spazio ∆S = 100m. Quanta energiacinetica ha l’auto prima e dopo la frenata? Quanto lavoro ha fatto la forza d’attritodelle ruote con l’asfalto? Calcola la forza e l’accelerazione d’attrito.

[L0017] [1 2 ] Un pendolo formato da un filo di lunghezza l = 1m ed unamassa legata al fondo, viene inclinato in modo da sollevare la massa di ∆h = 10 cm,e viene tenuto inizialmente fermo. Con quale velocità il pendolo viaggerà quando lamassa avrà raggiunto la sua minima altezza?

Page 332: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

332 Scheda25. Compiti in classe

Compito in classe Classe 2LS; n17 .

[C0013a] [1 1 ] Se mi muovo verso nord di ∆S1 = 600m, e poi verso estdi ∆S2 = 300m, ed infine verso sud di ∆S3 = 200m, quanti metri ho percor-so? Di quanti metri mi sono spostato rispetto al punto di partenza? Disegna i trespostamenti e lo spostamento totale.

[F0007] [1 2 ] Le due sezioni di un torchio idraulico valgono rispettivamenteS1 = 50 cm2 ed S2 = 5 cm2. Sapendo che sulla sezione maggiore viene appoggia-to un peso di massa m = 50 kg, quale forza devo fare sulla seconda sezione permantenere l’equilibrio?

[D0026] [2 6 ] Una sbarra orizzontale è realizzata unendo quattro cubi di latol = 10 cm e di masse rispettivamente m1 = 1 kg, m2 = 2 kg,m3 = 3 kg,m4 = 4 kg.La sbarra è sorretta da due fili attaccati nel centro del primo e del quarto oggetto.Calcola il baricentro della sbarra e le forze F1 ed F2 che devono fare i due fili affinchèla sbarra stia ferma.

[L0032] [2 2 ] Ad una macchina di Atwood senta attrito sono appesi duecorpi di massa m1 = 2 kg e m2 = 3 kg. Il corpo più leggero è inizialmente fermoappoggiato a terra, mentre quello più pesante si trova a h = 2m da terra. Con qualevelocità il più pesante toccherà terra?

[Q0002] [1 2 ] Quale potenza ha un fornelletto che sta scaldando una massam = 5 kg di acqua da un tempo ∆t = 60 s facendone aumentare la temperaturadi ∆T = 50K, sapendo che quell’acqua si trovava inizialmente alla temperaturaTi = 20C?

Compito in classe Classe 2LS; n18 .

[C0011] [2 4 ] Un’auto ha velocità Vi = 108 kmh e comincia a rallentare fino

alla velocità Vf = 72 kmh . La frenata dura ∆t = 4 sec. Calcola l’accelerazione subita

dall’auto e indicane il verso. Quanta strada ha fatto l’auto durante la frenata?

[F0008] [2 3 ] Un tubo orizzontale in cui scorre acqua ( ρH2O

= 1000 kgm3 ), ha

una sezione iniziale S1 = 100 cm2. Successivamente il tubo si stringe diventando disezione S2 = 60 cm2. La pressione nel tratto iniziale del tubo vale P1 = 400000Pa,mentre nella sezione più stretta vale P2 = 300000Pa. Quanto valgono le due velocitàdell’acqua nei due tratti del tubo?

[D0005] [1 2 ] Un oggetto di massa m = 2 kg è appeso ad una molla dicostante elastica k = 10 N

cm . Di quanto si allunga la molla?

[L0025] [1 4 ] Un oggetto cade da una certa altezza. Trascuriamo l’effettodell’aria. Rispondi alle seguenti domande:

• Come variano l’energia potenziale gravitazionale e l’energia cinetica dell’og-getto? Come varia l’energia totale dell’oggetto?

Consideriamo adesso il caso della presenza dell’aria.

• In che modo la forza di attrito interviene sulle trasformazioni energetiche delfenomeno in questione? Vale ancora la legge di conservazione dell’energiatotale?

[Q0003] [2 2 ] Quanta energia serve per innalzare la temperatura dim = 10 kg

di acqua dal valore iniziale Ti = 80 C fino al valore finale Tf = 130 C?

Page 333: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

333 Scheda25. Compiti in classe

Compito in classe Classe 2LS; n19 .

[C0014] [2 3 ] Un cannone spara orizzontalmente un proiettile da una po-stazione rialzata, con una velocità iniziale orizzontale ~Vix = 200 m

s . Dopo un tem-po ∆t = 2 s colpisce il suo bersaglio. Quanto distante si trova il bersaglio in lineaorizzontale? Quanto più in basso rispetto all’altezza del cannone?

[F0009] [1 3 ] Un subacqueo si trova immerso nelle acque ferme di un lagoalla profondità h1 = −20m rispetto al livello del mare. La pressione atmosferica valePatm = 100000Pa. A quale pressione si trova? A quale profondità deve arrivare perraddoppiare la pressione a cui si trova?

[D0045] [1 2 ] Un’automobile di massa m = 800 kg si appoggia su quattroammortizzatori di costante elastica k = 100 N

cm . Di quanto vengono compressi taliammortizzatori a causa del peso dell’automobile?

[L0021] [1 2 ] Quanta energia devo dare ad un oggetto di massa m = 2 kg chesi muove con velocità Vi = 10 m

s per fargli raddoppiare la velocità?

[Q0006] [3 4 ] Ad un oggetto di ferro di massa m = 2kg, alla temperaturainiziale Ti = 600K vengono forniti ∆Qtot = 2000 kJ di calore. Quanti kilogrammidi ferro riesco a fare fondere?

Compito in classe Classe 2LS; n20 .

[C0037] [1 2 ] Un oggetto si sta inizialmente muovendo alla velocità Vi =

10 ms . Esso subisce un’accelerazione costante a = 2 m

s2 nella stessa direzione dellavelocità ma con verso opposto, per un tempo ∆t = 3 s. Quale sarà la sua velocitàfinale?

[D0034] [2 2 ] Ad una macchina di Atwood sono appese due massem1 = 2 kg

ed m2 = 5 kg. Con quale accelerazione si muove il sistema?

[L0006] [1 4 ] Un blocco di pietra di massa m = 40 kg scivola lungo unadiscesa partendo con una velocità iniziale Vi = 5 m

s . All’inizio si trovava all’altezzahi = 10m per poi scendere fino all’altezza hf = 2m.

1. Calcola le energie cinetica e potenziale gravitazionale iniziali del blocco.

2. Quanta energia cinetica finale avrebbe il blocco se non ci fosse attrito?

3. Se l’energia cinetica finale del blocco fosse metà di quella iniziale, quanta ener-gia si è persa a causa delle forze d’attrito?

[F0010] [2 4 ] In un cilindro verticale versiamo mercurio, acqua e olio. Lacolonna di mercurio è alta L

Hg= 5 cm; la colonna d’acqua è alta L

H2O= 20 cm

e la colonna d’olio è alta Lolio

= 15 cm. La pressione atmosferica vale Patm =

100000Pa. Trovate la pressione sul fondo della colonna di liquido. Le densità deiliquidi utilizzati sono: ρ

olio= 800 kg

m3 ; ρH2O

= 1000 kgm3 ; ρ

Hg= 13579 kg

m3 .

[Q0009] [2 2 ] Quanta energia mi serve per portare una massa m = 5 kg diferro dalla temperatura Ti = 2000 C alla temperatura Tf = 4000 C?

Page 334: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

334 Scheda25. Compiti in classe

Compito in classe Classe 2LS; n21 .

[C0020] [1 1 ] Se in macchina eseguo una frenata con accelerazione a = 6 ms2 ,

quanto vale e verso dove e diretta l’accelerazione totale che subisco?

[D0052] [2 2 ] Un ascensore si muove verso l’alto con accelerazione a = 2 ms2 .

Una persona di massa m = 70 kg si trova al suo interno in piedi sopra una bilancia.Qunto peso segna la bilancia?

[D0059] [2 3 ] Due oggetti di massa m1 = 20 kg ed m2 = 30 kg, sono legatida un filo inestensibile e liberi di scivolare su di un piano orizzontale senza attrito.Uno dei due viene tirato orizzontalmete da una forza F = 100N e di conseguenzatrascina l’altro. Con quale accelerazione si muove il sistema?

[L0013] [1 3 ] Un’automobile di massa m = 1000 kg rallenta in uno spazio∆S = 50m dalla velocità Vi = 20ms fino alla velocità Vf = 10ms . Quanto valgonole energie cinetiche iniziale e finale dell’automobile? Quanto lavoro hanno fatto leforze d’attrito? Quanto valgono le forze d’attrito?

[F0011] [1 1 ] Sapendo che un sottomarino in immersione sta subendo unapressione P = 280000Pa, a quale profonditá si trova rispetto alla superficie?

Compito in classe Classe 2LS; n22 .

[C0029] [1 4 ] Un corpo si muove come indicato dal seguente grafico spazio-tempo. Indica: la massima distanza dal punto di partenza, il numero di ore comples-sivo in cui è stato fermo, la velocità media complessiva, la velocità massima.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

2

4

6

8

t(h)

S(km)

[C0037a] [1 2 ] Un oggetto si sta inizialmente muovendo alla velocità Vi =

10 ms . Esso subisce un’accelerazione costante a = 2 m

s2 nella stessa direzione dellavelocità e con lo stesso verso, per un tempo ∆t = 3 s. Quale sarà la sua velocitàfinale?

[L0016] [1 2 ] Un proiettile viene sparato in aria con la velocità iniziale Vi =

100 ms . Trascurando l’effetto dell’aria, a quale altezza arriverebbe il proiettile?

[D0058] [3 4 ] Una navicella spaziale di massa m1 = 4000 kg deve recuperareun satellite artificiale di massa m2 = 2000 kg. Per farlo lo aggancia con una fune dilunghezza L = 60m e tira la fune con una forza F = 4N . Il satellite è fermo rispettoalla navicella. Dopo quanto tempo la navicella recupera il satellite?

[F0012] [2 4 ] Un contenitore cilindrico viene riempito d’acqua fino all’altezzahi = 30 cm dal fondo. All’altezza hf = 5 cm dal fondo viene praticato un piccoloforo, di dimensione trascurabile rispetto alla superficie della base del contenitore.Con quale velocità l’acqua esce dal foro?

Page 335: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

335 Scheda25. Compiti in classe

Compito in classe Classe 2LS; n23 .

[C0044a] [2 4 ] Un corpo si muove come indicato dal seguente grafico velocità-tempo. Indica: la velocità massima, il numero di ore in cui l’oggetto ha velocitàcostante, l’accelerazione massima, la distanza percorsa, la velocità media.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

2

4

6

8

t(h)

V (kmh )

[D0057] [2 4 ] Un oggetto di massaM = 20 kg striscia su di un piano orizzontalecon coefficiente di attrito µ = 0, 05. L’oggettoè tirato da una corda inestensibile che, trami-te una carrucola mobile, sorregge un peso dimassa m = 5 kg. Con quale accelerazione sista muovendo il sistema?

[L0031] [1 2 ] Un blocco di cemento di massa m = 500 kg è tenuto da unagru ad un’altezza hi = 10m e poi appoggiato dentro un pozzo ad una profondi-tà hf = −5m sotto il livello del terreno. Di quanto è variata l’energia potenzialegravitazionale dell’oggetto a causa del suo spostamento?

[F0013] [1 2 ] Un medico misura la pressione sanguigna ad un paziente altroH = 180 cm mentre è sdraiato su di un lettino, ed ottiene Pcuore = 115mmHg.Quando il paziente si alza in piedi, il suo cuore si trova all’altezza hc = 1, 5m da

terra. La densità del sangue è ρs = 1060kg

m3. Quanto vale la pressione del sangue

all’altezza del cervello del paziente?

[O0029] [1 1 ] Una nave manda un impulso sonar verso il basso per misurarela profondità del fondale. L’impulso torna alla nave dopo un tempo ∆t = 1, 2 s.Sapendo che il suono in acqua viaggia alla velocità Vs = 1400 m

s , quanto è profondoil fondale?

Compito in classe Classe 2LS; n24 .

[C0007] [1 3 ] Una persona percorre un tragitto lungo ∆Sa = 100m in untempo ∆ta = 20 s; successivamente si ferma per un intervallo di tempo ∆tb = 10 s

e successivamente un tragitto ∆Sc = 50m in un tempo ∆tc = 25 s. A quale velocitàmedia ha viaggiato nel primo tratto ∆Sa? A quale velocità media ha viaggiato nelsecondo tratto ∆Sc? A quale velocità media ha viaggiato complessivamente?

[DF0001] [2 2 ] Su di un bicchiere interamente riempito di acqua, profondoh = 4, 5 cm e di sezione S = 20 cm2, viene appoggiato un disco di plastica di massam = 3 g. Il bicchiere viene poi capovolto e si vede che il disco non cade. Con quantaforza il disco viene schiacciato contro il bicchiere?

[D0056] [2 3 ] Un oggetto di mas-sa M = 20 kg striscia senza attrito su di unpiano orizzontale. L’oggetto è tirato da unacorda inestensibile che, tramite una carrucolamobile, sorregge un peso di massa m = 5 kg.Con quale accelerazione si sta muovendo ilsistema?

[L0029] [2 3 ] Un oggetto di massam = 2 kg viene lasciato cadere da una certaaltezza. Arrivato a terra, penetra nel terreno per un tratto d = 0, 5m. Assumendoche le forze di attrito con il terreno abbiano un valore medio Fa = 500N , da qualealtezza è caduto l’oggetto?

[O0016] [1 1 ] Costruisci l’immagine di un oggetto generata da una lentesferica divergente. Indica se l’immagine è dritta e se è reale.

Page 336: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

336 Scheda25. Compiti in classe

Compito in classe Classe 1Graf; n1 .

[I0003] [1 4 ] In un bicchiere vengono versati un volume VH2O

= 50 cm3 diacqua ed un volume Vo = 50 cm3 di olio. L’acqua ha una densità ρ

H2O= 1 kg

dm3 el’olio ha una densità ρo = 0, 8 g

cm3 . Quanto volume di liquido si trova nel bicchiere?Quanta massa di liquido si trova nel bicchiere?

[C0001] [1 3 ] Un’automobile viaggia alla velocità costante V1 = 120 kmh per

un tempo ∆t1 = 2h; successivamente si ferma per un tempo ∆t = 1h, ed infineriparte viaggiando alla velocità costante V2 = 90 km

h per un tempo ∆t2 = 4h. Aquale velocità media ha viaggiato l’automobile?

[C0029] [1 4 ] Un corpo si muove come indicato dal seguente grafico spazio-tempo. Indica: la massima distanza dal punto di partenza, il numero di ore comples-sivo in cui è stato fermo, la velocità media complessiva, la velocità massima.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

2

4

6

8

t(h)

S(km)

[D0014] [1 1 ] Se un oggetto di volume V = 9 cm3 galleggia sull’acqua im-merso per i 2

3 del suo volume, quanto vale la forza di Archimende che agisce su dilui? [ρacqua = 1 kg

dm3 ]

[L0001] [1 3 ] Un oggetto di massa m = 50 kg viaggia ad una velocità Vi =

10ms . Ad un certo punto viene spinto da una forza F = 100N per una distanza∆S = 24m nella stessa direzione e nello stesso verso del movimento.

1. Quanto lavoro ha fatto la forza? Quel lavoro è negativo o positivo?

2. Quanta energia cinetica ha l’oggetto all’inizio e dopo l’azione della forza?

3. A quale velocità finale viaggia l’oggetto?

Compito in classe Classe 1Graf; n2 .

[I0004] [1 2 ] Un oggetto di cui non conosciamo il materiale, occupa un volu-me V = 8, 75 dm3 ed ha la stessa massa di un blocco di ferro che occupa un volumeVFe = 3 dm3. Calcola la massa e la densità del materiale. La densità del ferro èρFe = 7, 874 kg

dm3 .

[C0005] [1 2 ] Un atleta sta correndo una gara sulla distanza L = 10000m

viaggiando a velocità costante V = 5 ms Se ha già corso per un tempo ∆t = 8min

quanto gli manca al traguardo?

[C0008] [2 3 ] Un fucile spara orizzontalmente un proiettile alla velocità ini-ziale Vix = 800 m

s contro un bersaglio alla distanza ∆Sx = 160m. Di quanti cen-timetri sotto la linea di tiro la pallottola colpirà il bersaglio? (Si trascuri l’effettodell’attrito con l’aria)

[D0015] [1 1 ] Un ciclista di massa m = 60 kg corre in pianura alla velocitàcostante V = 35 km

h . Se le forze d’attrito con l’aria hanno un valore Fa = 500N ,quanto vale la forza in avanti che il ciclista fa spingendo sui pedali? Spiegane ilperchè. Quanto vale l’accelerazione con la quale si muove la bicicletta?

[L0002] [1 2 ] Se lascio cadere un oggetto inizialmente fermo da un’altezzahi = 8m, con quale velocità arriverà a terra?

Page 337: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

337 Scheda25. Compiti in classe

Compito in classe Classe 1Graf; n3 .

[I0007] [1 2 ] Esegui le operazioni indicate con i vettori ~a e~b:

~a

~b

~c = ~a+~b

~a

~b

~c = 2~a−~b~a

~b

~c = 3~a− 2~b

[C0022] [1 1 ] Due lepri si rincorrono rispettivamente alla velocità costanteV1 = 5 m

s e V2 = 3 ms , e distano inizialmente ∆S = 12m. Dopo quanto tempo il più

veloce raggiunge il più lento?

[C0007] [1 3 ] Una persona percorre un tragitto lungo ∆Sa = 100m in untempo ∆ta = 20 s; successivamente si ferma per un intervallo di tempo ∆tb = 10 s

e successivamente un tragitto ∆Sc = 50m in un tempo ∆tc = 25 s. A quale velocitàmedia ha viaggiato nel primo tratto ∆Sa? A quale velocità media ha viaggiato nelsecondo tratto ∆Sc? A quale velocità media ha viaggiato complessivamente?

[D0019] [1 2 ] Quanto vale la forza di gravità che agisce su di un oggetto diferro (ρFe = 7, 874 kg

dm3 ) di volume V = 5 dm3?

[L0003] [1 2 ] Se lascio cadere un oggetto di massa m = 1 kg inizialmentefermo da un’altezza hi = 8m, e arriva a terra con una velocità Vf = 10 m

s ; quantaenergia si è dissipata sotto forma di calore a causa dell’attrito con l’aria?

Compito in classe Classe 1Graf; n4 .

[I0008] [1 2 ] Disegna il vettore che annulla i due vettori disegnati qui diseguito

~a

~b

~a

~b

~a

~b

[C0027] [1 2 ] Un atleta corre una gara alla velocità costante V = 4ms . Sapendoche al traguardo manca ∆S2 = 3800m, e che la gara è iniziata da ∆t = 5min, quantimetri è lunga tutta la gara?

[C0031] [1 4 ] Un ciclista affronta una salita lunga ∆S1 = 10 km ad una ve-locità media Vm1 = 10 m

s e la successiva discesa lunga ∆S2 = 30 km in un tempo∆t2 = 40min. In quanto tempo ha percorso il tratto in salita? Quale velocità mediaha tenuto in discesa? Quale sull’intero percorso?

[D0008] [1 3 ] Un vaso di massa trascurabile contenente V = 15 dm3 di acquadi mare (ρ = 1, 03 kg

dm3 ) è appeso al soffitto con una molla di costante elastica k =

100 Nm . Di quanto si allunga la molla?

[L0004] [1 1 ] Un oggetto di massa m = 500 kg si sta muovendo su di unpiano orizzontale con velocità iniziale Vi = 10 m

s . Gradualmente rallenta a causadelle forze di attrito fino alla velocità Vf = 4 m

s . Quanta energia è stata dispersasotto forma di calore?

Page 338: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

338 Scheda25. Compiti in classe

Compito in classe Classe 1Graf; n5 .

[I0009] [1 1 ] Scomponi i seguenti vettori lungo le direzioni indicate

[C0006] [2 3 ] In una partita di calcio un attaccante si dirige verso il portiereavversario con velocità costante V1 = 6 m

s ; il pallone si trova tra i due giocatori e simuove verso il portiere con velocità Vp = 2 m

s ; il portiere si muove verso il pallonealla velocità V2 = 5 m

s . La distanza tra l’attaccante ed il pallone è ∆S1 = 4m; ladistanza tra il pallone ed il portiere è ∆S2 = 8m. Chi arriva prima a prendere ilpallone?

[C0024] [1 4 ] Giorgio percorre ∆S1 = 7hm e successivamente si muoveper un tempo ∆t1 = 3min viaggiando alla velocità V1 = 4

m

s. Marco percorre una

distanza ∆S2 = 0, 6Miglia e successivamente si muove per un tempo ∆t2 = 0, 1h

viaggiando alla velocità V2 = 2m

s. Chi ha percorso più strada?

[D0013] [1 3 ] Un cubo di ferro di densità ρFe = 7874 kgm3 , e di lato l = 20 cm

si trova sul fondo di una piscina piena di acqua di densità ρH2O

= 1000 kgm3 . Qual è la

minima forza necessaria per sollevarlo dal fondo della piscina?

[L0005] [1 2 ] Un oggetto si sta muovendo in salita su di un piano inclinatocon attrito, con una velocità iniziale Vi = 10 m

s . Gradualmente rallenta fino a fermar-si. Sapendo che l’oggetto si è sollevato, rispetto all’altezza iniziale, fino all’altezzahf = 3m e che il calore generato dalle forze di attrito è stato Q = 2 J , quanto vale lamassa dell’oggetto?

Compito in classe Classe 1Graf; n6 .

[I0002] [1 2 ] Dati due vettori ~a e~b rispettivamente di moduli a = 12 e b = 16,disegnateli in modo tale che la loro somma sia un vettore~c il cui modulo valga c = 28.Ripetete l’esercizio in modo tale che c = 4; c ∼ 10; c = 20; c ∼ 24.

[C0032] [1 1 ] Dopo quanto tempo si scontrano due auto, entrambe cheviaggiano una contro l’altra alla velocità costante V = 80 km

h , se distano tra loro∆S = 2 km?

[C0023] [2 2 ] Un atleta deve correre una gara lunga ∆Stot = 60m. Par-tendo con una velocità iniziale Vi = 4

m

s, ha già corso per un tempo ∆t = 3 s con

un’accelerazione costante a = 0, 5m

s2. Quanti metri mancano al traguardo?

[D0025] [1 4 ] Un palloncino è legato con una molla di costante elastica k =

5 Ncm al fondo di una piscina e quindi tenuto fermo sotto l’acqua. Sapendo che il suo

volume è V = 1 dm3 e che la sua massa è m = 400 g, di quanto si allunga la molla?

[L0006] [1 4 ] Un blocco di pietra di massa m = 40 kg scivola lungo unadiscesa partendo con una velocità iniziale Vi = 5 m

s . All’inizio si trovava all’altezzahi = 10m per poi scendere fino all’altezza hf = 2m.

1. Calcola le energie cinetica e potenziale gravitazionale iniziali del blocco.

2. Quanta energia cinetica finale avrebbe il blocco se non ci fosse attrito?

3. Se l’energia cinetica finale del blocco fosse metà di quella iniziale, quanta ener-gia si è persa a causa delle forze d’attrito?

Page 339: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

339 Scheda25. Compiti in classe

Compito in classe Classe 1Graf; n7 .

[I0011] [2 2 ] Disegna, e calcolane il valore, il vettore ~F3 che annulla la som-ma dei vettori ~F1 e ~F2 di valore rispettivamente F1 = 1, 5 kN e F2 = 800N postiperpendicolari tra loro.

[C0033] [1 3 ] Un ciclista affronta una salita lunga ∆S1 = 21 km ad una ve-locità media Vm1 = 7 m

s e la successiva discesa lunga ∆S2 = 30 km ad una velocitàmedia Vm2 = 15 m

s . In quanto tempo ha percorso il tratto in salita? In quanto tempoha percorso il tratto in discesa? Quale velocità media ha tenuto sull’intero percorso?

[C0026] [1 2 ] Un oggetto viene lasciato cadere, partendo da fermo, in unpozzo, e ne tocca il fondo dopo un tempo ∆t = 2 s. Quanto è profondo il pozzo?

[D0033] [1 2 ] Faccio più fatica a sorreggere un oggetto di ferro di densitàρFe = 7874 kg

m3 e volume VFe = 2 dm3 o ad allungare una molla di costante elasticak = 30 N

cm dalla lunghezza li = 10 cm alla lunghezza lf = 15 cm?

[L0009] [1 2 ] Un motore di potenza P = 2 kW solleva un oggetto di massam = 500 kg da un’altezza hi = 2m fino ad un’altezza hf = 32m. Quanto tempo ciimpiega?

Compito in classe Classe 1Graf; n8 .

[Lab0002] [1 3 ] Hai misurato con un cronometro la durata dell’oscillazione diun pendolo ottenendo i seguenti risultati: T0 = 12, 4 s, T1 = 12, 3 s, T2 = 12, 3 s, T3 =

12, 6 s, T4 = 12, 6 s, T5 = 12, 2 s, T6 = 12, 4 s. Quanto vale il periodo di oscillazionedi quel pendolo? Quanto vale l’errore assoluto sulla misura? Quanto vale l’errorerelativo sulla misura?

[C0030] [1 3 ] Una bicicletta viaggia per un tempo ∆t1 = 2h alla velocitàV1 = 20 km

h e successivamente per un tempo ∆t2 = 3h alla velocità V2 = 30 kmh .

Quale velocità media ha tenuto?

[C0036] [2 4 ] Un’automobile sta viaggiando alla velocità Vi = 36 kmh e co-

mincia a frenare con accelerazione costante a = 0.5 ms2 . Dopo quanto tempo si ferma?

Quanto spazio ha percorso da quando ha cominciato a frenare?

[D0036] [1 1 ] Ad una molla di costante elastica k = 50 Nm viene appeso un

oggetto di massa m = 4 kg. Di quanto si allunga la molla?

[L0010] [1 2 ] Un tuffatore salta dalla piattaforma alta hi = 10metri. Conquale velocità l’atleta entra in acqua?

Page 340: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

340 Scheda25. Compiti in classe

Compito in classe Classe 1Graf; n9 .

[I0019] [1 2 ] Un libro di 500 pagine, misurato con un righello, è spesso h =

3, 5 cm ± 0, 1 cm. Quanto è spessa ogni singola pagina? Calcola l’errore assoluto erelativo sulla misura della singola pagina.

[C0003] [2 3 ] Un fucile spara orizzontalmente un proiettile con velocità ini-ziale Vix = 800 m

s contro un bersaglio posto alla distanza ∆Sx = 400m. A quanticentimetri sotto la linea di tiro viene colpito il bersaglio?

[C0035] [1 1 ] Un atleta corre una gara lunga ∆Stot = 10000m alla velocitàV = 4 m

s . Sapendo che al traguardo manca ∆S2 = 4000m, da quanto tempo la garaè iniziata?

[D0037] [1 2 ] Su di una macchina sale una persona di massa m = 80 kg.Di quanto si abbassa la macchina se le quattro molle su cui poggia hanno costanteelastica k = 100 N

cm?

[L0011] [1 2 ] In quanto tempo un motore di potenza P = 30W può sollevareun oggetto di massa m = 4 kg di un’altezza ∆h = 5m?

Compito in classe Classe 1Graf; n10 .

[I0015] [2 7 ] Un cilindro graduato contiene un volume Vi = 250 cm3 ± 1 cm3

di acqua. Dopo averci immerso un oggetto di massam = 1, 12 kg±0, 01 kg, il cilindrosegna un volume Vf = 375 cm3 ± 1 cm3. Calcola volume e densità dell’oggetto.

[C0028] [1 3 ] Su di un campo da calcio rettangolare di dimensioni l = 100m

e h = 70m, Marco e Luigi si muovono da un vertice del rettangolo a quello opposto.Marco si muove lungo il perimetro, mentre Luigi si muove lungo la diagonale delcampo. Sapendo che Marco corre alla velocità VM = 6 m

s e che Luigi corre più lentoalla velocità VL = 5 m

s , chi arriva prima?

[C0037a] [1 2 ] Un oggetto si sta inizialmente muovendo alla velocità Vi =

10 ms . Esso subisce un’accelerazione costante a = 2 m

s2 nella stessa direzione dellavelocità e con lo stesso verso, per un tempo ∆t = 3 s. Quale sarà la sua velocitàfinale?

[D0002] [1 4 ] Quale percentuale del volume di una statuetta di legno didensità ρ = 0, 7 g

cm3 rimane immersa nell’acqua quando galleggia?

[L0012] [1 2 ] Quale altezza raggiunge un oggetto lanciato da terra vertical-mente verso l’alto con una velocità iniziale V0 = 25 m

s ?

Page 341: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

341 Scheda25. Compiti in classe

Compito in classe Classe 1Graf; n11 .

[I0005] [1 2 ] Un cilindro graduato contiene un volume Vi = 250 cm3 di acqua.Dopo averci immerso un oggetto di rame di densità ρogg = 8, 92 kg

dm3 , il cilindro segnaun volume Vf = 375 cm3. Calcola volume e massa dell’oggetto.

[C0009] [2 2 ] Un oggetto si trova ad una certa altezza e viene sparato versol’alto con una velocità iniziale Vi = 4 m

s . Sapendo che arriverà a terra dopo un tempo∆t = 2 sec, quanto si trovava in alto?

[C0029a] [1 4 ] Un corpo si muove come indicato dal seguente grafico spazio-tempo. Indica: la massima distanza dal punto di partenza, il numero di ore comples-sivo in cui è stato fermo, la velocità media complessiva, la velocità massima.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

2

4

6

8

t(h)

S(km)

[D0003] [2 3 ] Un oggetto si muove su di un piano orizzontale con velocitàcostante, sotto l’azione di una forza F = 100N . Se il coefficiente di attrito tra il pianoe l’oggetto vale µd = 1, 5 quanto vale la massa dell’oggetto?

[L0013] [1 3 ] Un’automobile di massa m = 1000 kg rallenta in uno spazio∆S = 50m dalla velocità Vi = 20ms fino alla velocità Vf = 10ms . Quanto valgonole energie cinetiche iniziale e finale dell’automobile? Quanto lavoro hanno fatto leforze d’attrito? Quanto valgono le forze d’attrito?

Page 342: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

342 Scheda25. Compiti in classe

Indice

1 Tabelle, costanti fisiche, mappe concettuali 2

2 Mappa degli esercizi 3

2.1 Cinematica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.2 Dinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

2.3 Energia e potenza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.4 Calorimetria . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.5 Dinamica dei fluidi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.6 Le costanti fisiche più comuni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2.7 Proprietá fisiche dei materiali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

3 Generalità: soluzioni 11

4 Cinematica: soluzioni 27

5 Dinamica: soluzioni 64

6 Leggi di conservazione: soluzioni 116

7 Fluidodinamica: soluzioni 146

8 Calorimetria: soluzioni 159

9 Termodinamica: soluzioni 182

10 Fenomeni ondulatori: soluzioni 223

11 Elettromagnetismo: soluzioni 242

12 Relatività: soluzioni 267

13 Meccanica quantistica: soluzioni 269

14 Esperienze svolte di laboratorio 274

15 Esperimenti di calorimetria 27515.1 Misura del coefficiente di dilatazione termica lineare . . . . . . . . . . . . . . 275

15.1.1 Apparato sperimentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27515.1.2 Dati sperimentali e loro elaborazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27515.1.3 Conclusioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 275

16 Esperimenti di meccanica 27716.1 Verifica del secondo principio della dinamica . . . . . . . . . . . . . . . . . . 277

16.1.1 Apparato sperimentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27716.1.2 Scopo e svolgimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27716.1.3 Dati sperimentali e loro elaborazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27716.1.4 Conclusioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 278

16.2 Determinazione della legge per calcolare il periodo del pendolo . . . . . . . . 28016.2.1 Scopo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28016.2.2 Apparato sperimentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28016.2.3 Svolgimento . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 280

17 Schede di esperienze di laboratorio 282

18 Studio di una molla 28318.1 Misura della costante elastica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283

18.1.1 Metodo degli allungamenti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28318.1.2 Metodo dell’oscillazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28318.1.3 Conclusioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284

19 Misura dell’accelerazione di gravità tramite il pendolo 28519.1 Scopo dell’esperienza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28519.2 Contesto teorico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28519.3 Materiali e strumenti utilizzati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28519.4 Tecnica di misura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28519.5 Analisi dei dati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28519.6 Conclusioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28619.7 Autore della scheda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286

Page 343: Esercizi svolti di fisica - Il portale di Andrea de Capoa!decapoa.altervista.org/maledettafisica/EserciziSvoltiDiFisica.pdf · Esercizi svolti di fisica.. Quest’opera è stata

343 Scheda25. Compiti in classe

19.8 Valutazione del docente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 286

20 Correlazione tra periodo e lunghezza del pendolo 28720.1 Scopo dell’esperienza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28720.2 Contesto teorico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28720.3 Materiali e strumenti utilizzati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28720.4 Tecnica di misura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28720.5 Analisi dei dati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28820.6 Conclusioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28820.7 Autore della scheda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28820.8 Valutazione del docente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 288

21 Misura della costante elastica di una molla 28921.1 Scopo dell’esperienza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28921.2 Contesto teorico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28921.3 Materiali e strumenti utilizzati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28921.4 Tecnica di misura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28921.5 Analisi dei dati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29021.6 Conclusioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29021.7 Autore della scheda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29021.8 Valutazione del docente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 290

22 Misura della costante elastica di una molla 29122.1 Scopo dell’esperienza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29122.2 Contesto teorico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29122.3 Materiali e strumenti utilizzati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29122.4 Tecnica di misura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29122.5 I dati raccolti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292

22.6 Analisi dei dati e conclusione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29222.7 Autore della scheda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29222.8 Valutazione del docente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292

23 Verifica della legge dei gas 29323.1 Scopo dell’esperienza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29323.2 Contesto teorico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293

23.2.1 Il metodo sperimentale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29323.3 Materiali e strumenti utilizzati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29323.4 Tecnica di misura . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29423.5 Analisi dei dati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29423.6 Conclusioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29523.7 Autore della scheda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29523.8 Valutazione del docente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

24 Misura delle caratteristiche di un circuito Ohmico 29624.1 Scopo dell’esperienza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29624.2 Contesto teorico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29624.3 Materiali e strumenti utilizzati . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29624.4 Misura dei componenti costituenti il circuito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29724.5 Calcolo delle caratteristiche del circuito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29724.6 Misura delle caratteristiche del circuito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29724.7 Conclusioni . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29724.8 Autore della scheda . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29724.9 Valutazione del docente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297

25 Compiti in classe 29825.1 Esercizi utilizzati nei compiti in classe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 298