Studio funzioni by Mario Varalta Studio funzioni by Mario Varalta.

Studio funzioni

by Mario Varalta

Studio funzioni

by Mario Varalta

PremessePremesse

Campo esistenzaCampo esistenza

DerivateDerivate

LimitiLimiti

Definizione di funzioneDefinizione di funzione

Studio completoStudio completo

Considerazioni preliminariConsiderazioni preliminari

ChiudiChiudiChiudiChiudi

Funzioni crescenti, decrescentiFunzioni crescenti, decrescentiMassimi, minimiMassimi, minimi

Limitati, Illimitati

Aperti, Chiusi

a seconda che un estremo o tutti e due siano + o - infinito

a seconda che comprendano o no gli estremi

PremessePremesseIntervalli di numeri o punti

Intorno di un punto o numero reale

Si chiama intorno di un punto x’ (o di un numero reale x’) ogni intervallo che contenga x’.

Gli intervalli possono essere :

SommarioSommario

Dati due insiemi A e B, si dice funzione ( f : A B) una relazione di natura qualsiasi tale che ad ogni elemento di A associa uno ed uno solo elemento di B

1 2 3 5

4

3 74 5

A B

ore 7 8 9 10 11 12 13 14 15Temp -5 -5 -4 -3 -2 0 1 2 4

Esempi

Continua

SommarioSommario

Quando i due insiemi A e B sono insiemi di numeri allora si parla di funzioni numeriche. Spesso in questi casi la relazione è esprimibile con espressioni algebriche.

.dipendente variabile detta viene y ed teindipenden

variabile detta vienex variabile la casi questi In

4) y 2x ; 1 y 1x Se : Es. (

di valore un di valore ogni ad associa si cioè

come enormalment Indicata

R R :f

reali numeri dei insieme nell' definita f funzione la

:Esempio

y.x

2 -3x y 2-3x x

Si può farne il grafico sul piano cartesiano.

SommarioSommario

Nel nostro studio ci occuperemo solo di questo tipo di funzioni e come definizione di funzione prenderemo la seguente :

Si dice che una variabile dipendente y è funzione di una variabile indipendente x quando esiste un legame di natura qualsiasi che ad ogni valore di x faccia corrispondere uno e uno solo valore di y.

Si dice che una variabile dipendente y è funzione di una variabile indipendente x quando esiste un legame di natura qualsiasi che ad ogni valore di x faccia corrispondere uno e uno solo valore di y.

Si definisce Si definisce campo di esistenzacampo di esistenza (dominio) di una funzione (dominio) di una funzione l’l’insieme dei valoriinsieme dei valori che posso assegnare alla variabile che posso assegnare alla variabile indipendenteindipendente x x in modo da poter calcolare il valore della variabile in modo da poter calcolare il valore della variabile dipendentedipendente y y..

Si definisce Si definisce campo di esistenzacampo di esistenza (dominio) di una funzione (dominio) di una funzione l’l’insieme dei valoriinsieme dei valori che posso assegnare alla variabile che posso assegnare alla variabile indipendenteindipendente x x in modo da poter calcolare il valore della variabile in modo da poter calcolare il valore della variabile dipendentedipendente y y..

Normalmente il dominio di una funzione formato da uno o più Normalmente il dominio di una funzione formato da uno o più intervalli di numeri reali (graficamente intervalli di punti)intervalli di numeri reali (graficamente intervalli di punti)

Clicca qui per semplici esempi di ricerca di dominioClicca qui per semplici esempi di ricerca di dominio..

Normalmente il dominio di una funzione formato da uno o più Normalmente il dominio di una funzione formato da uno o più intervalli di numeri reali (graficamente intervalli di punti)intervalli di numeri reali (graficamente intervalli di punti)

Clicca qui per semplici esempi di ricerca di dominioClicca qui per semplici esempi di ricerca di dominio..

Continua

SommarioSommario

L’insieme dei valori assunti dalla y (variabile dipendente si L’insieme dei valori assunti dalla y (variabile dipendente si chiama chiama codominiocodominioL’insieme dei valori assunti dalla y (variabile dipendente si L’insieme dei valori assunti dalla y (variabile dipendente si chiama chiama codominiocodominio

Noi sappiamo dal calcolo algebrico che :Noi sappiamo dal calcolo algebrico che : Noi sappiamo dal calcolo algebrico che :Noi sappiamo dal calcolo algebrico che :

• Una Una frazionefrazione non può avere un denominatore nullo non può avere un denominatore nullo

• Un Un radicaleradicale con indice pari con indice pari non può avere un radicando non può avere un radicando negativonegativo

• L’ argomento di unL’ argomento di un logaritmologaritmo deve essere positivo (non può deve essere positivo (non può essere nemmeno il valore 0)essere nemmeno il valore 0)

• Una Una frazionefrazione non può avere un denominatore nullo non può avere un denominatore nullo

• Un Un radicaleradicale con indice pari con indice pari non può avere un radicando non può avere un radicando negativonegativo

• L’ argomento di unL’ argomento di un logaritmologaritmo deve essere positivo (non può deve essere positivo (non può essere nemmeno il valore 0)essere nemmeno il valore 0)

Qualora nell’espressione delle funzioni che saranno oggetto Qualora nell’espressione delle funzioni che saranno oggetto del nostro studio non compaiano del nostro studio non compaiano né frazioni, né radicali con né frazioni, né radicali con indice pari, né logaritmiindice pari, né logaritmi il campo di esistenza sarà il campo di esistenza sarà tutto tutto l’asse reale.l’asse reale.

Qualora nell’espressione delle funzioni che saranno oggetto Qualora nell’espressione delle funzioni che saranno oggetto del nostro studio non compaiano del nostro studio non compaiano né frazioni, né radicali con né frazioni, né radicali con indice pari, né logaritmiindice pari, né logaritmi il campo di esistenza sarà il campo di esistenza sarà tutto tutto l’asse reale.l’asse reale.

EsempiEsempiEsempiEsempi

SommarioSommarioSommarioSommario

Negli esempi escluderemo il caso meno significativo in Negli esempi escluderemo il caso meno significativo in cui non ci siano limitazioni. cui non ci siano limitazioni. Negli esempi escluderemo il caso meno significativo in Negli esempi escluderemo il caso meno significativo in cui non ci siano limitazioni. cui non ci siano limitazioni.

• Esempi con frazioni

• Esempi con radicali

• Esempi con logaritmi

• Esempi con frazioni

• Esempi con radicali

• Esempi con logaritmi


destra a illimitato sinistra, a limitato e aperto è terzo Il

sinistra a che destra a sia aperto ed limitato è secondo Il

destra a limitato e aperto sinistra, a illimitato è primo Il

2.x 2,x2- -2,x

:intervalli tre seguenti dai dato è dominio il aconseguenz Di

.2x ,2x cioè 04x

equazionedell' soluzioni le sono escludere da valori I

re.denominato il annullano non che

reali numeri i tutti da dato è dominio il caso questo In

4x

1-xy

: funzione seguente della dominio il Trova

21

2

2

GraficoGrafico

Altro Es. frazioniAltro Es. frazioni Altri esempi Altri esempi

SommarioSommario

destra a illimitato sinistra, a limitato e aperto è secondo Il

destra a limitato e aperto sinistra, a illimitato è primo Il

1.xper , altrimenti dire può 1.Six 1,x

:intervalli due seguenti dai dato è dominio il aconseguenz Di

valore. solo un Quindi .1xx cioè 012x

equazionedell' soluzioni le sono escludere da valori I

re.denominato il annullano non che


12x

1xy


21

2

2

2

x

x

GraficoGrafico

Altri esempi Altri esempi

SommarioSommario

funzione. della esistenza di campo il sono intervalli Tali

destra. a illimitato sinistra, a aperto limitato, secondo Il

destra. a chiuso , sinistra a aperto limitato, è primo Il

2.x ed 1x2-

: intervalli dagli date sono caso, questo in soluzioni, Le

funzione. della dominio il sono soluzioni

sue le fratta, nedisequazio una risolvere quindi Bisogna

0. essere deve pari indice di radice

una di radicando il Infatti 0. 4x

1-x rendono che


4x

1-xy


2

2

GraficoGrafico

Altro Es. radicaliAltro Es. radicali Altri esempi Altri esempi

SommarioSommario

destra. a ed sinistra a chiuso limitato, è intervallo Tale

3.x1- : intervallo dall' date sono soluzioni sue Le


sue le ,2 di nedisequazio una risolvere quindi Bisogna

0) essere deve pari indice di

radice una di radicando Il 0.( 23 rendono che


23y


2

2

xx

xx

GraficoGrafico


SommarioSommario

funzione. della esistenza di campo il sono intervalli Tali

destra. a illimitato sinistra, a aperto limitato, secondo Il

destra. a ed sinistra a aperto limitato, è primo Il

3.x ed 1x3-

: intervalli dagli date sono caso, questo in soluzioni, sue Le


sue le fratta, nedisequazio una risolvere quindi Bisogna

0). ( positivo solo essere può logaritmo

un di argomentol' Infatti 0. 9x

1x rendono che

reali numeri i tutti da dato è dominio il caso questo In9x

1x logy


2

2

GraficoGrafico

Altro Es. logaritmiAltro Es. logaritmi Altri esempi Altri esempi SommarioSommario

funzione. della esistenza di campo il è intervallo Tale

destra. a ed sinistra a aperto limitato, è intervalloL'

. 2x2-

: intervallo dall' date sono Esse

funzione. della dominio il sono soluzioni sue le

grado, 2 di nedisequazio una risolvere quindi Bisogna

0. di maggiore essere deve logaritmo un

di argomentol' quanto in 0, x-4 rendono che


)x-(4 logy


2

2

GraficoGrafico


SommarioSommario

Ci poniamo prima questi quesiti :Ci poniamo prima questi quesiti :

• Perché studiare una funzione ?Perché studiare una funzione ?

• Cosa significa studiare una funzione ?Cosa significa studiare una funzione ?

• Che strumenti matematici ci occorrono Che strumenti matematici ci occorrono per lo studio di una funzioneper lo studio di una funzione ?

Ci poniamo prima questi quesiti :Ci poniamo prima questi quesiti :

• Perché studiare una funzione ?Perché studiare una funzione ?

• Cosa significa studiare una funzione ?Cosa significa studiare una funzione ?

• Che strumenti matematici ci occorrono Che strumenti matematici ci occorrono per lo studio di una funzioneper lo studio di una funzione ?


Il concetto di limite è uno tra i più importanti concetti Il concetto di limite è uno tra i più importanti concetti matematici ed anche uno tra i più difficili da acquisire.matematici ed anche uno tra i più difficili da acquisire.

Cercheremo di arrivarci in modo intuitivo adoperando anche Cercheremo di arrivarci in modo intuitivo adoperando anche termini e diciture non formalmente corretti.termini e diciture non formalmente corretti.

Il concetto di limite è uno tra i più importanti concetti Il concetto di limite è uno tra i più importanti concetti matematici ed anche uno tra i più difficili da acquisire.matematici ed anche uno tra i più difficili da acquisire.

Cercheremo di arrivarci in modo intuitivo adoperando anche Cercheremo di arrivarci in modo intuitivo adoperando anche termini e diciture non formalmente corretti.termini e diciture non formalmente corretti.Partiamo da un fatto verosimile a cui voi sicuramente avete Partiamo da un fatto verosimile a cui voi sicuramente avete assistito, o forse ne potreste essere stati protagonisti.assistito, o forse ne potreste essere stati protagonisti.Partiamo da un fatto verosimile a cui voi sicuramente avete Partiamo da un fatto verosimile a cui voi sicuramente avete assistito, o forse ne potreste essere stati protagonisti.assistito, o forse ne potreste essere stati protagonisti.

Un’ automobile sta percorrendo una strada, ad un certo momento incomincia a sbandare e va a finire contro un ostacolo.

Come potremo dare una risposta al seguente quesito :

Che velocità aveva l’automobile al momento dell’ impattoChe velocità aveva l’automobile al momento dell’ impatto ?

Un’ automobile sta percorrendo una strada, ad un certo momento incomincia a sbandare e va a finire contro un ostacolo.

Come potremo dare una risposta al seguente quesito :

Che velocità aveva l’automobile al momento dell’ impattoChe velocità aveva l’automobile al momento dell’ impatto ?

ContinuaContinua

Prendiamo in considerazione una funzione di Prendiamo in considerazione una funzione di cui riusciamo a calcolarci il valore:cui riusciamo a calcolarci il valore:Prendiamo in considerazione una funzione di Prendiamo in considerazione una funzione di cui riusciamo a calcolarci il valore:cui riusciamo a calcolarci il valore:

1

3

x

xxy

Il suoIl suo dominiodominio è formato da tutti i è formato da tutti i numeri reali diversi 1numeri reali diversi 1..

Non possiamo quindi calcolarci il suo valore per Non possiamo quindi calcolarci il suo valore per x=1x=1, , vediamo allora cosa succede se diamo ad vediamo allora cosa succede se diamo ad x valori x valori leggermente più piccoli o leggermente più grandi di 1leggermente più piccoli o leggermente più grandi di 1..

Cliccare quiCliccare qui..

Il suoIl suo dominiodominio è formato da tutti i è formato da tutti i numeri reali diversi 1numeri reali diversi 1..

Non possiamo quindi calcolarci il suo valore per Non possiamo quindi calcolarci il suo valore per x=1x=1, , vediamo allora cosa succede se diamo ad vediamo allora cosa succede se diamo ad x valori x valori leggermente più piccoli o leggermente più grandi di 1leggermente più piccoli o leggermente più grandi di 1..

Cliccare quiCliccare qui..

ContinuaContinuaLimitiLimiti

Diamo laDiamo la definizione di limite finito di una funzione in un puntodefinizione di limite finito di una funzione in un punto con la con la speranza di capire almeno i termini matematici che vengono speranza di capire almeno i termini matematici che vengono adoperati per formularla.adoperati per formularla.

Diamo laDiamo la definizione di limite finito di una funzione in un puntodefinizione di limite finito di una funzione in un punto con la con la speranza di capire almeno i termini matematici che vengono speranza di capire almeno i termini matematici che vengono adoperati per formularla.adoperati per formularla.

Si dice che la funzione y=f(x) ammette per x tendente ad x0 , limite finito l e si scrive

lxfLimxx

)(0

Se fissato un numero piccolo a piacere esiste un intorno completo H del punto x0 tale che, per ogni x appartenente ad H eccetto al più x0 , risulti

lxf )(

L’ultima disequazione si può anche scrivere sotto questa forma

l – f(x)l + CommentiCommenti

EsempiEsempi LimitiLimitiLimitiLimiti

2

491

2

49-1-

intervalli gli soluzioniper ha nedisequazio seconda La2

491-

2

49-1-

intervallol' soluzioniper ha nedisequazio prima La

02

02

2

2

sistema al equivale nedisequazio Questa

2 2)1(

21

)1)(1( 2

1

nedisequazio questa risolvere dobbiamo limite questo verificareper

21

Lim

che verificare Vogliamo

2

2

2

2

2

3

3

1x

ε-xx

x

xx

xx

xx

xx

xxxx

x

xxx

x

xx

x

xx

GraficoGrafico

LimitiLimitiLimitiLimiti

1

1

: Risolvendo

1

1

sistema al equivale nedisequazio Questa

1 32

31

)1)(2( 3

1

2


31

2Lim


2

2

1x

x

x

x

x

xx

x

xx

x

xx

x

xx

GraficoGrafico

Altro esempioAltro esempioLimitiLimitiLimitiLimiti

Prendiamo ora in considerazione la seguente funzione:Prendiamo ora in considerazione la seguente funzione:

1x

xy

Il suo dominio è formato da tutti i numeri reali diversi 1.

Non possiamo quindi calcolarci il suo valore per x=1, vediamo allora cosa succede se diamo ad x valori leggermente più piccoli o leggermente più grandi di 1.

Cliccare qui.


Non possiamo quindi calcolarci il suo valore per x=1, vediamo allora cosa succede se diamo ad x valori leggermente più piccoli o leggermente più grandi di 1.

Cliccare qui.

x y0,8 -4,0

0,85 -5,7

0,9 -9

0,95 -19

0,990 -99

0,999 -999

0,9999 -9999

0,99999 -99999

0,999999 -999999

0,9999999 -9999999

1

1,0000001 10000001

1,000001 1000001

1,00001 100001

1,0001 10001

1,001 1001

1,010 101

1,05 21

1,1 11

1,15 8

1,2 6,0

1-00001

11+00001

|f(x)|>99999

1-001

11+001

|f(x)|>999

x assume valori appartenentiad intorni completi di 1

f(x) assume valori che in valore assolutosono maggiori di unnumero prefissato Mgrande a piacere |f(x)| >M

Commenti tabellaCommenti tabella


Limite infinito in un puntoLimite infinito in un punto

Definizione di limite infinito di una funzione in un punto.

Si dice che la funzione y=f(x) , ammette per x tendente ad x0 , limite infinito e si scrive

)(0

xfLimxx

Se fissato un numero grande a piacere esiste un intorno completo H del punto x0 tale che, per ogni x appartenente ad H, eccetto al più x0 , risulti

Mxf )(

L’ultima disequazione è equivalente all’ unione delle seguenti

disequazioni: f(x) > M ed f(x) < - M ; cioè è soddisfatta dalle soluzioni di ambedue.

CommentiCommenti

EsempiEsempi LimitiLimitiLimitiLimiti

0. di completo intorno un eChiarament1-M

1

1M

1-

intervallol' formano Uniti

0 di sinistro intorno 01M

1-

asoddisfatt seconda la

0 di destro intorno 1-M

1x0

per asoddisfatt prima la

1

;1

nidisequazio

seguenti le risolvendo ottengono si soluzioni cui le 1


1Lim


0x

x

x

Mx

xM

x

x

Mx

x

x

x

GraficoGrafico LimitiLimitiLimitiLimitiAltro esempioAltro esempio

re.denominato il annulla perchè escluso va 1 valore il Nota

1. di completo intorno un eChiaramentM

11x

M

11 :intervallo seguente dal asoddisfatt è nedisequazio La

M

11

M

M1

M

M

M

M

M

MM

2M

4M2M

2M

4M4M-4M2Mx

Soluzioni

01- M2MxMx : associata Equazione

01- M2MxMx 0M2MxMx1 numeratore il Vediamo

0) ( positivo sempre è 1xper redenominato Il

01)(x

1)2xM(x1 : eRisoluzion

.verificato è limite il 1, di completo intorno un ocomprendon soluzioni le Se

. M1)(x

1 nedisequazio questa

risolvere dobbiamo limite questo verificareper 1)(x

1Lim


2

22

2

22

2

2

2

21x

GraficoGrafico LimitiLimitiLimitiLimiti

Prendiamo ora in considerazione la seguente funzione:Prendiamo ora in considerazione la seguente funzione:

1x

xy


Diamo ad x valori sempre maggiori in valore assoluto, cioè valori grandi con segno positivo o negativo.

Cliccare qui.


Diamo ad x valori sempre maggiori in valore assoluto, cioè valori grandi con segno positivo o negativo.

Cliccare qui.

Commenti graficoCommenti grafico


Limite finito per x tendente all’infinitoLimite finito per x tendente all’infinito

Definizione di limite finito di per x tendente all’infinito.

Si dice che la funzione y=f(x) , ammette limite finito l per x tendente ad , e si scrive

lxfLimx

)(

Se fissato un numero piccolo a piacere, esiste un numero N tale che, per ogni |x|>N, risulti

lxf )(

L’ultima disequazione si può anche scrivere sotto questa forma

l – f(x)l + CommentiCommenti

EsempiEsempi

LimitiLimitiLimitiLimitiLimite infinito per x tendente all’infinito Limite infinito per x tendente all’infinito

grande. molto è N 1

piccolo molto Essendo

.1

x ed 1

x

: nidisequazio seguenti delle soluzioni le unendo ottengono si

soluzioni cui le 1

1

;1

;11

grande. molto N numero un assoluto

valore i superano chex di valoriper asoddisfatt è che constatare e

;11


11

Lim


x

xxx

xx

x

x

x

x

x

x

GraficoGrafico

LimitiLimitiLimitiLimitiAltro esempioAltro esempio

grande. molto sarà 1

N piccolo molto numero un Essendo

.1

xper e 1

-xper verificata neDisequazio

11 x Soluzioni ;

1: associata Equazione

grado. 2 di neDisequazio

. 1

:a equivale che

1

1

;212

;212

grande molto N numero

un di maggiore assoluto valore inx per verificata è se vedere e

212

nedisequazio la risolvere dobbiamo limite questo verificareper

212

Lim


2

2

2

22

22

2

2

2

2

2

2

x

x

x

xxx

xx

x

x

x

x

x

x

GraficoGrafico LimitiLimitiLimitiLimiti

Definizione di limite infinito di per x tendente all’infinitoDefinizione di limite infinito di per x tendente all’infinito..Definizione di limite infinito di per x tendente all’infinitoDefinizione di limite infinito di per x tendente all’infinito..

Si dice che la funzione y=f(x) , ammette limite infinito per x tendente ad , e si scrive

)(xfLimx

Se fissato un numero grande a piacere, esiste un numero N tale che, per ogni |x|>N, risulti

Mxf )(

L’ultima disequazione equivale alle seguenti due disequazioni L’ultima disequazione equivale alle seguenti due disequazioni

f(x)f(x) >M ; f(x)< -M >M ; f(x)< -ML’ultima disequazione equivale alle seguenti due disequazioni L’ultima disequazione equivale alle seguenti due disequazioni

f(x)f(x) >M ; f(x)< -M >M ; f(x)< -M

CommentiCommenti


Concetto intuitivo di limiteConcetto intuitivo di limiteLimite finito in un puntoLimite finito in un puntoLimite infinito in un puntoLimite infinito in un puntoLimite finito all’ infinitoLimite finito all’ infinitoLimite infinito all’ infinitoLimite infinito all’ infinitoUtilità dei limitiUtilità dei limiti


Calcolo dei limitiCalcolo dei limitiFunzioni continueFunzioni continueAsintotiAsintoti

Utilità dei limiti nello studio di funzioneUtilità dei limiti nello studio di funzione

Dopo aver dato le varie definizioni di limite, vediamo a cosa servono ilimiti nello studio di funzioni.

Essenzialmente il calcolo dei limiti ci serve per conoscere il comportamento della funzione, che si sta studiando, agli estremi del campo di esistenza.

Cioè, dopo che noi abbiamo trovato gli intervalli che formano il campo di esistenza, dobbiamo vedere come si comporta la funzione avvicinandosi a gli estremi di detti intervalli.

Dobbiamo vedere se la funzione tende ad un valore finito, se ha un andamento asintotico, o un ramo parabolico .

Dopo aver dato le varie definizioni di limite, vediamo a cosa servono ilimiti nello studio di funzioni.

Essenzialmente il calcolo dei limiti ci serve per conoscere il comportamento della funzione, che si sta studiando, agli estremi del campo di esistenza.

Cioè, dopo che noi abbiamo trovato gli intervalli che formano il campo di esistenza, dobbiamo vedere come si comporta la funzione avvicinandosi a gli estremi di detti intervalli.

Dobbiamo vedere se la funzione tende ad un valore finito, se ha un andamento asintotico, o un ramo parabolico .


Abbiamo dato il concetto di limite, abbiamo visto come si possa verificare l’ esistenza oppure no di un limite in un punto o all’infinito.

Vediamo ora come si opera, normalmente, per calcolare un limite.

Come prima operazione si sostituisce, nell’ espressione della funzione, ad x il valore per cui si deve trovare il limite e si vede cosa capita. I casi, che si possono presentare, si possono assimilare, nella

maggior parte delle volte, a questi tre :(Note per il calcoloNote per il calcolo)

1. Il calcolo si può fare senza nessun problema: il valore trovato è

proprio il limite cercato. (EsempiEsempi)

2. Nel calcolo entrano, come operandi, 0 (zero) o (infinito), ma

ciononostante, calcolare il limite. (EsempiEsempi)

3. Nel calcolo si presenta una forma indeterminata, ed allora si cerca

qualche artificio per cercare il valore del limite.(EsempiEsempi)(EsempiEsempi)

Abbiamo dato il concetto di limite, abbiamo visto come si possa verificare l’ esistenza oppure no di un limite in un punto o all’infinito.

Vediamo ora come si opera, normalmente, per calcolare un limite.

Come prima operazione si sostituisce, nell’ espressione della funzione, ad x il valore per cui si deve trovare il limite e si vede cosa capita. I casi, che si possono presentare, si possono assimilare, nella

maggior parte delle volte, a questi tre :(Note per il calcoloNote per il calcolo)

1. Il calcolo si può fare senza nessun problema: il valore trovato è

proprio il limite cercato. (EsempiEsempi)

2. Nel calcolo entrano, come operandi, 0 (zero) o (infinito), ma

ciononostante, calcolare il limite. (EsempiEsempi)

3. Nel calcolo si presenta una forma indeterminata, ed allora si cerca

qualche artificio per cercare il valore del limite.(EsempiEsempi)(EsempiEsempi)

LimitiLimiti

Si dice che una una funzione f(x) definita in un intervallo (a,b) Si dice che una una funzione f(x) definita in un intervallo (a,b) è continua in un punto c (interno a questo intervallo), se è continua in un punto c (interno a questo intervallo), se

risultarisulta::

Lim f(x) = f(c)Lim f(x) = f(c) xxcc . .

. .

Si dice che una una funzione f(x) definita in un intervallo (a,b) Si dice che una una funzione f(x) definita in un intervallo (a,b) è continua in un punto c (interno a questo intervallo), se è continua in un punto c (interno a questo intervallo), se

risultarisulta::

Lim f(x) = f(c)Lim f(x) = f(c) xxcc . .

. . In altre parole, f(x) è continua in un punto c quando:

1. La funzione f(x) esiste nel punto c

2. La funzione f(x) ammette limite per x --> c

3. Il valore del limite coincide col valore della funzione in c

In altre parole, f(x) è continua in un punto c quando:

1. La funzione f(x) esiste nel punto c

2. La funzione f(x) ammette limite per x --> c

3. Il valore del limite coincide col valore della funzione in c

Quando una funzione è continua in tutti i punti dell’intervallo Quando una funzione è continua in tutti i punti dell’intervallo (a,b), si dice che la funzione è continua nell’intervallo (a,b).(a,b), si dice che la funzione è continua nell’intervallo (a,b).Quando una funzione è continua in tutti i punti dell’intervallo Quando una funzione è continua in tutti i punti dell’intervallo (a,b), si dice che la funzione è continua nell’intervallo (a,b).(a,b), si dice che la funzione è continua nell’intervallo (a,b).

LimitiLimitiContinua

Abbiamo visto quando una funzione è continua in un punto.Se Abbiamo visto quando una funzione è continua in un punto.Se non è continua si dice discontinua. Il punto in cui non è continua si non è continua si dice discontinua. Il punto in cui non è continua si

dice dice punto di discontinuità.punto di discontinuità.

Abbiamo visto quando una funzione è continua in un punto.Se Abbiamo visto quando una funzione è continua in un punto.Se non è continua si dice discontinua. Il punto in cui non è continua si non è continua si dice discontinua. Il punto in cui non è continua si

dice dice punto di discontinuità.punto di discontinuità.

I punti di discontinuità possono essere di tre specieI punti di discontinuità possono essere di tre specie : :I punti di discontinuità possono essere di tre specieI punti di discontinuità possono essere di tre specie : :

Prima speciePrima specie: : Un punto di discontinuità si dice di IUn punto di discontinuità si dice di Iaa specie, se in tale specie, se in tale punto la funzione ammette limite destro, ammette limite sinistro, ma tali punto la funzione ammette limite destro, ammette limite sinistro, ma tali limiti non coincidono.(limiti non coincidono.(EsempioEsempio) )

Prima speciePrima specie: : Un punto di discontinuità si dice di IUn punto di discontinuità si dice di Iaa specie, se in tale specie, se in tale punto la funzione ammette limite destro, ammette limite sinistro, ma tali punto la funzione ammette limite destro, ammette limite sinistro, ma tali limiti non coincidono.(limiti non coincidono.(EsempioEsempio) )

Seconda specieSeconda specie: : Un punto di discontinuità si dice di IIUn punto di discontinuità si dice di IIaa specie, se specie, se in tale punto almeno uno dei limiti destro o sinistro, o è infinito o non in tale punto almeno uno dei limiti destro o sinistro, o è infinito o non esiste(esiste(EsempioEsempio))

Seconda specieSeconda specie: : Un punto di discontinuità si dice di IIUn punto di discontinuità si dice di IIaa specie, se specie, se in tale punto almeno uno dei limiti destro o sinistro, o è infinito o non in tale punto almeno uno dei limiti destro o sinistro, o è infinito o non esiste(esiste(EsempioEsempio))

Terza specieTerza specie: : Un punto di discontinuità si dice di IIIUn punto di discontinuità si dice di IIIaa specie, se in specie, se in tale punto la funzione ammette limite destro, ammette limite sinistro, tale punto la funzione ammette limite destro, ammette limite sinistro, tali limiti coincidono ma la funzione in quel punto o non esiste, o se tali limiti coincidono ma la funzione in quel punto o non esiste, o se esiste ha un valore diverso dal valore del limite. In questo caso si parla esiste ha un valore diverso dal valore del limite. In questo caso si parla di discontinuità eliminabile. (di discontinuità eliminabile. (EsempioEsempio) )

Terza specieTerza specie: : Un punto di discontinuità si dice di IIIUn punto di discontinuità si dice di IIIaa specie, se in specie, se in tale punto la funzione ammette limite destro, ammette limite sinistro, tale punto la funzione ammette limite destro, ammette limite sinistro, tali limiti coincidono ma la funzione in quel punto o non esiste, o se tali limiti coincidono ma la funzione in quel punto o non esiste, o se esiste ha un valore diverso dal valore del limite. In questo caso si parla esiste ha un valore diverso dal valore del limite. In questo caso si parla di discontinuità eliminabile. (di discontinuità eliminabile. (EsempioEsempio) )

LimitiLimiti

Una Una retta rretta r è detta è detta aasintotosintoto della curva della curva y=f(x)y=f(x) se la se la distanzadistanza, di , di un punto un punto P(x,y)P(x,y) della curva, dalla retta r della curva, dalla retta r tende a zerotende a zero,, quando il quando il punto indicato si allontana indefinitamente dall’origine delle punto indicato si allontana indefinitamente dall’origine delle coordinate.(coordinate.(Quando almeno una delle due coordinate del punto P Quando almeno una delle due coordinate del punto P tende all’infinitotende all’infinito))

Una Una retta rretta r è detta è detta aasintotosintoto della curva della curva y=f(x)y=f(x) se la se la distanzadistanza, di , di un punto un punto P(x,y)P(x,y) della curva, dalla retta r della curva, dalla retta r tende a zerotende a zero,, quando il quando il punto indicato si allontana indefinitamente dall’origine delle punto indicato si allontana indefinitamente dall’origine delle coordinate.(coordinate.(Quando almeno una delle due coordinate del punto P Quando almeno una delle due coordinate del punto P tende all’infinitotende all’infinito))

Se la retta r è parallela all’asse x si dirà asintoto verticale Se la retta r è parallela all’asse x si dirà asintoto verticale cioè sarà del tipo cioè sarà del tipo x=kx=k. . EsempioEsempioSe la retta r è parallela all’asse x si dirà asintoto verticale Se la retta r è parallela all’asse x si dirà asintoto verticale cioè sarà del tipo cioè sarà del tipo x=kx=k. . EsempioEsempio

Se la retta r è parallela all’asse y si dirà asintoto orizzontale Se la retta r è parallela all’asse y si dirà asintoto orizzontale cioè sarà del tipo cioè sarà del tipo y=ky=k. . EsempioEsempio

Se la retta r è parallela all’asse y si dirà asintoto orizzontale Se la retta r è parallela all’asse y si dirà asintoto orizzontale cioè sarà del tipo cioè sarà del tipo y=ky=k. . EsempioEsempio

Se la retta r non è parallela né all’asse x, né all’asse y si dirà Se la retta r non è parallela né all’asse x, né all’asse y si dirà asintoto obliquo, cioè sarà del tipo asintoto obliquo, cioè sarà del tipo y=mx+qy=mx+q..

Bisogna trovare sia Bisogna trovare sia mm che che q q per determinarlo per determinarlo. . EsempioEsempio

Se la retta r non è parallela né all’asse x, né all’asse y si dirà Se la retta r non è parallela né all’asse x, né all’asse y si dirà asintoto obliquo, cioè sarà del tipo asintoto obliquo, cioè sarà del tipo y=mx+qy=mx+q..

Bisogna trovare sia Bisogna trovare sia mm che che q q per determinarlo per determinarlo. . EsempioEsempio

Limiti

Concetto di derivataConcetto di derivata

Definizione di derivataDefinizione di derivata


Regole di derivazioneRegole di derivazione

Significato geometrico della derivataSignificato geometrico della derivata

Concetto di derivataConcetto di derivataConsideriamo due problemi già incontrati anche in altre Consideriamo due problemi già incontrati anche in altre discipline : il calcolo del costo marginale (Tecnica, Economia), la discipline : il calcolo del costo marginale (Tecnica, Economia), la ricerca della tangente ad una curva.ricerca della tangente ad una curva.

Consideriamo due problemi già incontrati anche in altre Consideriamo due problemi già incontrati anche in altre discipline : il calcolo del costo marginale (Tecnica, Economia), la discipline : il calcolo del costo marginale (Tecnica, Economia), la ricerca della tangente ad una curva.ricerca della tangente ad una curva.Costo marginale : Il costo marginale è sicuramente stato definito come il costo che si sostiene per produrre una unità aggiuntiva di prodotto e per calcolarlo supposto che C(x) sia la funzione costo

totale si opera in questo modo :

Costo marginale : Il costo marginale è sicuramente stato definito come il costo che si sostiene per produrre una unità aggiuntiva di prodotto e per calcolarlo supposto che C(x) sia la funzione costo

totale si opera in questo modo :C(x0+1)-C(x0)

(x0+1)-x0

Supponiamo che invece di produrre una unità in più volessimo vedere la tendenza del costo totale per produrre qualcosa ( h ) in più, il costo sarebbe :

Supponiamo che invece di produrre una unità in più volessimo vedere la tendenza del costo totale per produrre qualcosa ( h ) in più, il costo sarebbe :

C(x0+h) – C(x0)

(x0+h) - x0

C(x0+h) – C(x0)

h

Il costo marginale si definisce come :

Limh ->0

C(x0+h) – C(x0)

h

Continua

DerivateDerivate

Vediamo ora il problema della tangente ad una curva :

Prendiamo due punti sulla curva P e Q corrispondenti alle ascisse x0 ed x0 +h, avranno come ordinate f(x0 ), f(x0 +h) troviamo la retta congiungente i due punti, che taglierà la curva in P ed in Q :

h

)f(xh)f(x é angolare tecoefficien Il

)x-x(h

)f(xh)f(x )f(x-y )x-x(

xh)(x

)f(xh)f(x )f(x-y

:)h)f(xh,Q(x ),f(x,P(x caso nostro Nel

xx

yy )x-x(

xx

yy y-y

xx

x-x

yy

y-y

é angolare tecoefficien Il :)y,Q(x),y,P(x punti dueper Retta

00

000

00

00

000

0000

12

121

12

121

12

1

12

1

2211

Grafico

DerivateDerivate

Definizione di derivataSi chiama derivata della funzione f(x) nel punto x0 il limite, se esiste ed è finito, del rapporto incrementale, al tendere a 0 dell’ incremento h della variabile indipendente.

Si chiama derivata della funzione f(x) nel punto x0 il limite, se esiste ed è finito, del rapporto incrementale, al tendere a 0 dell’ incremento h della variabile indipendente.

h

xfhxfLimxfh

)()()( 00

00

'

Quando si vuole generalizzare prendendo invece di x0 un punto generico qualsiasi si scrive :

h

xfhxfLimxfh

)()()(

0

'

EsempioDerivateDerivate

Abbiamo dato la definizione di derivata, abbiamo visto che la derivata di una funzione, calcolata per un generico valore x, è essa stessa una funzione.

Ci chiediamo ora se, per calcolare una derivata, dobbiamo sempre calcolarci il limite del rapporto incrementale.

Rispondiamo subito di no. Ci sono le regole di derivazione, applicando le quali, data una qualsiasi funzione f(x) possiamo calcolarci f ’(x).

Abbiamo visto da esempi precedenti, calcolando il limite del rapporto incrementale, che :

Data f(x) = x2 – 2x + 3 f ‘(x) = 2x – 2

Data f(x) = x3 + 3 f ‘(x) = 3x2

Continua DerivateDerivate

Enunciamo ora le regole di derivazione più semplici che però ci daranno la possibilità di derivare la quasi totalità delle funzioni che ci si presenteranno :

f(x)= f ‘(x)=

k 0

xn nxn-1

f(x)*g(x) f ’(x)*g(x)+f(x)*g’(x)

f(x)

g(x)

f ’(x)*g(x) - f(x)*g’(x)

g(x)2

f(g(x)) f ’(g(x))*g’(x)

Esempi

Esempi

Esempi

Esempi

Esempi

DerivateDerivate

Una funzione f(x), definita in un intervallo (a,b), si dice crescente nell’intervallo (a,b) se per ogni coppia di valori x1 , x2 con x2> x1 risulta f(x2)> f(x1) (esempi 11, 22) (Detto in altre parole :Una funzione è crescente in un intervallo (a,b) se al crescere di x cresce anche y)

Una funzione f(x), definita in un intervallo (a,b), si dice decrescente nell’intervallo (a,b) se per ogni coppia di valori x1 , x2 con x2> x1 risulta f(x2)< f(x1).(Esempi 11, 22)

(Detto in altre parole :Una funzione è decrescente in un intervallo (a,b) se al crescere di x , y decresce)

Esempi di funzione con intervalli di crescenza e intervalli di decrescenza 11, 22

SommarioSommario

Diciamo subito, visto che spesso si fa confusione che si Diciamo subito, visto che spesso si fa confusione che si deve distinguere tra due tipi di Massimo(Minimo): deve distinguere tra due tipi di Massimo(Minimo): Massimo Massimo assolutoassoluto e e Massimo relativoMassimo relativo.. I due concetti sono I due concetti sono profondamente diversi. profondamente diversi.

Il Il massimo assolutomassimo assoluto (Minimo assoluto) non è altro che (Minimo assoluto) non è altro che il più il più grande (il più piccolo) valoregrande (il più piccolo) valore assunto dalla funzione ed è assunto dalla funzione ed è unico.unico.

Un punto xUn punto x00 è di è di massimo relativomassimo relativo (minimo relativo) se esiste (minimo relativo) se esiste

unun intorno Hintorno H di tale punto tale che per ognidi tale punto tale che per ogni x x HH risultarisulta f(x)f(x)f(xf(x00 ) ) [ [f(x) f(x) f (xf (x00 ) ) minimo relativo].minimo relativo].

Diciamo subito, visto che spesso si fa confusione che si Diciamo subito, visto che spesso si fa confusione che si deve distinguere tra due tipi di Massimo(Minimo): deve distinguere tra due tipi di Massimo(Minimo): Massimo Massimo assolutoassoluto e e Massimo relativoMassimo relativo.. I due concetti sono I due concetti sono profondamente diversi. profondamente diversi.

Il Il massimo assolutomassimo assoluto (Minimo assoluto) non è altro che (Minimo assoluto) non è altro che il più il più grande (il più piccolo) valoregrande (il più piccolo) valore assunto dalla funzione ed è assunto dalla funzione ed è unico.unico.

Un punto xUn punto x00 è di è di massimo relativomassimo relativo (minimo relativo) se esiste (minimo relativo) se esiste

unun intorno Hintorno H di tale punto tale che per ognidi tale punto tale che per ogni x x HH risultarisulta f(x)f(x)f(xf(x00 ) ) [ [f(x) f(x) f (xf (x00 ) ) minimo relativo].minimo relativo].

SommarioSommarioCommenti Esempi(1,2,3,41,2,3,4)

Abbiamo visto che la derivata di una funzione ci dà il coefficiente angolare della tangente alla curva nel punto in cui si calcola la derivata.

Ricordiamo che se una retta ha coefficiente angolare nullo è parallela all’asse x, se ha coefficiente angolare > 0 (positivo) forma un angolo minore di 90° con l’asse x, se ha coefficiente angolare < 0 (negativo) forma un angolo maggiore di 90° con l’asse x.

Possiamo dire che: dove la derivata prima è > 0(positiva), la tangente ha coefficiente angolare >0 e di conseguenza la funzione è crescente. (GraficoGrafico)

Dove la derivata prima è < 0(negativa), la tangente ha coefficiente angolare <0 e di conseguenza la funzione è decrescente. (GraficoGrafico) . Dove la derivata prima è =0 (nulla), la tangente ha coefficiente angolare =0 e di conseguenza la funzione è ha un massimo relativo o un minimo relativo o un flesso. (GraficoGrafico)

Abbiamo visto che la derivata di una funzione ci dà il coefficiente angolare della tangente alla curva nel punto in cui si calcola la derivata.

Ricordiamo che se una retta ha coefficiente angolare nullo è parallela all’asse x, se ha coefficiente angolare > 0 (positivo) forma un angolo minore di 90° con l’asse x, se ha coefficiente angolare < 0 (negativo) forma un angolo maggiore di 90° con l’asse x.

Possiamo dire che: dove la derivata prima è > 0(positiva), la tangente ha coefficiente angolare >0 e di conseguenza la funzione è crescente. (GraficoGrafico)

Dove la derivata prima è < 0(negativa), la tangente ha coefficiente angolare <0 e di conseguenza la funzione è decrescente. (GraficoGrafico) . Dove la derivata prima è =0 (nulla), la tangente ha coefficiente angolare =0 e di conseguenza la funzione è ha un massimo relativo o un minimo relativo o un flesso. (GraficoGrafico)

DerivateDerivate

Schema da seguire per lo studio di una funzioneSchema da seguire per lo studio di una funzione

EsempiEsempi

1.1. Funzione razionale interaFunzione razionale intera

2.2. Funzione razionale frattaFunzione razionale fratta

3.3. Funzione razionale frattaFunzione razionale fratta

4.4. Funzione irrazionaleFunzione irrazionale

5.5. Funzione irrazionaleFunzione irrazionale

SommarioSommario

Schema da seguire per uno studio di Schema da seguire per uno studio di funzione:funzione:Schema da seguire per uno studio di Schema da seguire per uno studio di funzione:funzione:

1.1. Determinare il campo esistenza(Dominio)Determinare il campo esistenza(Dominio)

2.2. Ricerca di eventuali simmetrieRicerca di eventuali simmetrie

3.3. Ricerca delle intersezioni con gli assiRicerca delle intersezioni con gli assi

4.4. Determinare il segno della funzioneDeterminare il segno della funzione

5.5. Studio del comportamento della funzione negli estremi del Studio del comportamento della funzione negli estremi del campo di esistenza e ricerca degli eventuali asintoti.campo di esistenza e ricerca degli eventuali asintoti.

6.6. Studio della derivata prima e, se necessario, della derivata Studio della derivata prima e, se necessario, della derivata seconda, per determinare gli intervalli in cui la funzione è seconda, per determinare gli intervalli in cui la funzione è crescente, decrescente, se ha massimi o minimi relativi, crescente, decrescente, se ha massimi o minimi relativi, flessiflessi

7.7. Tracciare il grafico.Tracciare il grafico.

1.1. Determinare il campo esistenza(Dominio)Determinare il campo esistenza(Dominio)

2.2. Ricerca di eventuali simmetrieRicerca di eventuali simmetrie

3.3. Ricerca delle intersezioni con gli assiRicerca delle intersezioni con gli assi

4.4. Determinare il segno della funzioneDeterminare il segno della funzione

5.5. Studio del comportamento della funzione negli estremi del Studio del comportamento della funzione negli estremi del campo di esistenza e ricerca degli eventuali asintoti.campo di esistenza e ricerca degli eventuali asintoti.

6.6. Studio della derivata prima e, se necessario, della derivata Studio della derivata prima e, se necessario, della derivata seconda, per determinare gli intervalli in cui la funzione è seconda, per determinare gli intervalli in cui la funzione è crescente, decrescente, se ha massimi o minimi relativi, crescente, decrescente, se ha massimi o minimi relativi, flessiflessi

7.7. Tracciare il grafico.Tracciare il grafico.StudioStudio

Studiare la funzione :Studiare la funzione :y = xy = x3 3 – 3x– 3xStudiare la funzione :Studiare la funzione :y = xy = x3 3 – 3x– 3x

Segno Segno ::Positivo per Positivo per --x < 0x < 0 e per e per x > x > negativo negativo

negli altri intervalli. (negli altri intervalli. (CalcoliCalcoli)()(GraficoGrafico))Segno Segno ::Positivo per Positivo per --x < 0x < 0 e per e per x > x > negativo negativo

negli altri intervalli. (negli altri intervalli. (CalcoliCalcoli)()(GraficoGrafico))

Intersezioni con gli assiIntersezioni con gli assi::Asse x :Asse x :(-(-,0);(0,0); ,0);(0,0); (+(+,0),0) ; Asse y : ; Asse y : (0,0)(0,0)((CalcoliCalcoli))Intersezioni con gli assiIntersezioni con gli assi::Asse x :Asse x :(-(-,0);(0,0); ,0);(0,0); (+(+,0),0) ; Asse y : ; Asse y : (0,0)(0,0)((CalcoliCalcoli))

Dominio Dominio ::Tutto l’asse reale (non ci sono né frazioni, Tutto l’asse reale (non ci sono né frazioni, né radicali, né logaritmi)né radicali, né logaritmi)Dominio Dominio ::Tutto l’asse reale (non ci sono né frazioni, Tutto l’asse reale (non ci sono né frazioni, né radicali, né logaritmi)né radicali, né logaritmi)

AsintotiAsintoti : :Non ci sono asintoti. (Non ci sono asintoti. (CalcoliCalcoli))AsintotiAsintoti : :Non ci sono asintoti. (Non ci sono asintoti. (CalcoliCalcoli))

Studio derivataStudio derivata : :y’y’= 3x= 3x2 2 – 3 = – 3 = 3(x3(x2 2 – 1)– 1)

y’=0y’=0 per per x = x = 11 x=-1 ;Massimo relativo; x=1 minimo x=-1 ;Massimo relativo; x=1 minimo relativo relativo y’>0y’>0 per per x < -x < -11 ed ed x > 1x > 1 ;Intervalli dove la funzione ;Intervalli dove la funzione è crescente. è crescente. y’<0y’<0 per per –1< x < -–1< x < -11;Intervallo dove la funzione è ;Intervallo dove la funzione è

decrescente. (decrescente. (GraficoGrafico))

Studio derivataStudio derivata : :y’y’= 3x= 3x2 2 – 3 = – 3 = 3(x3(x2 2 – 1)– 1)

y’=0y’=0 per per x = x = 11 x=-1 ;Massimo relativo; x=1 minimo x=-1 ;Massimo relativo; x=1 minimo relativo relativo y’>0y’>0 per per x < -x < -11 ed ed x > 1x > 1 ;Intervalli dove la funzione ;Intervalli dove la funzione è crescente. è crescente. y’<0y’<0 per per –1< x < -–1< x < -11;Intervallo dove la funzione è ;Intervallo dove la funzione è

decrescente. (decrescente. (GraficoGrafico))Grafico finaleGrafico finaleGrafico finaleGrafico finale

StudioStudio StudioStudio

Studiare la funzione :Studiare la funzione :y =y =Studiare la funzione :Studiare la funzione :y =y =

Segno Segno ::Positivo per Positivo per --x < 0x < 0 e per e per x > x > negativo negativo

negli altri intervalli. (negli altri intervalli. (CalcoliCalcoli)()(GraficoGrafico))Segno Segno ::Positivo per Positivo per --x < 0x < 0 e per e per x > x > negativo negativo

negli altri intervalli. (negli altri intervalli. (CalcoliCalcoli)()(GraficoGrafico))

Intersezioni con gli assiIntersezioni con gli assi::Asse x :Asse x :(0,0);(3,0); (0,0);(3,0); Asse y : Asse y : (0,0)(0,0)((CalcoliCalcoli))Intersezioni con gli assiIntersezioni con gli assi::Asse x :Asse x :(0,0);(3,0); (0,0);(3,0); Asse y : Asse y : (0,0)(0,0)((CalcoliCalcoli))

Dominio Dominio ::x x (due intervalli x<-1 ed x>-1)(due intervalli x<-1 ed x>-1)Dominio Dominio ::x x (due intervalli x<-1 ed x>-1)(due intervalli x<-1 ed x>-1)

AsintotiAsintoti : :Verticale: x=-1 Obliquo : y=x-4. Verticale: x=-1 Obliquo : y=x-4. ((CalcoliCalcoli) () (GraficoGrafico))

AsintotiAsintoti : :Verticale: x=-1 Obliquo : y=x-4. Verticale: x=-1 Obliquo : y=x-4. ((CalcoliCalcoli) () (GraficoGrafico))

Studio derivataStudio derivata : :y’y’= =

y’=0y’=0 per per x = -3 e per x=1x = -3 e per x=1 x=-3 ;Massimo relativo; x=1 x=-3 ;Massimo relativo; x=1 minimo relativo minimo relativo y’>0y’>0 per per x < -x < -33 ed ed x > 1x > 1 ;Intervalli dove la ;Intervalli dove la funzione è crescente. funzione è crescente. y’<0y’<0 per per –3< x < –3< x < 11;Intervallo dove la funzione è ;Intervallo dove la funzione è

decrescente.(decrescente.(GraficoGrafico))

Studio derivataStudio derivata : :y’y’= =

y’=0y’=0 per per x = -3 e per x=1x = -3 e per x=1 x=-3 ;Massimo relativo; x=1 x=-3 ;Massimo relativo; x=1 minimo relativo minimo relativo y’>0y’>0 per per x < -x < -33 ed ed x > 1x > 1 ;Intervalli dove la ;Intervalli dove la funzione è crescente. funzione è crescente. y’<0y’<0 per per –3< x < –3< x < 11;Intervallo dove la funzione è ;Intervallo dove la funzione è

decrescente.(decrescente.(GraficoGrafico))Grafico finaleGrafico finaleGrafico finaleGrafico finale


xx2 2 – 3x– 3xx+1x+1

xx22+2x-3+2x-3(x+1)(x+1)22


Segno Segno ::Negativo per Negativo per --x < -1/2x < -1/2 e per e per –1/2<x<1 –1/2<x<1

Positivo negli altri intervalli. (Positivo negli altri intervalli. (CalcoliCalcoli)()(GraficoGrafico))Segno Segno ::Negativo per Negativo per --x < -1/2x < -1/2 e per e per –1/2<x<1 –1/2<x<1

Positivo negli altri intervalli. (Positivo negli altri intervalli. (CalcoliCalcoli)()(GraficoGrafico))

Intersezioni con gli assiIntersezioni con gli assi::Asse x:Asse x:(-1/2,0);(1/2,0); (-1/2,0);(1/2,0); Asse y : Asse y : (0,1/4)(0,1/4)((CalcoliCalcoli))Intersezioni con gli assiIntersezioni con gli assi::Asse x:Asse x:(-1/2,0);(1/2,0); (-1/2,0);(1/2,0); Asse y : Asse y : (0,1/4)(0,1/4)((CalcoliCalcoli))

Dominio Dominio ::x x (tre intervalli x<-1 –1<x<1 ed x>-1)(tre intervalli x<-1 –1<x<1 ed x>-1)Dominio Dominio ::x x (tre intervalli x<-1 –1<x<1 ed x>-1)(tre intervalli x<-1 –1<x<1 ed x>-1)

AsintotiAsintoti : :Verticali: x=-1; x=1 Orizzontale : y=1. Verticali: x=-1; x=1 Orizzontale : y=1. ((CalcoliCalcoli) () (GraficoGrafico))AsintotiAsintoti : :Verticali: x=-1; x=1 Orizzontale : y=1. Verticali: x=-1; x=1 Orizzontale : y=1. ((CalcoliCalcoli) () (GraficoGrafico))

Studio derivataStudio derivata : : y’y’= =

y’=0y’=0 per per x = 0x = 0; Massimo relativo; ; Massimo relativo; y’>0y’>0 per per x < 0x < 0;Intervallo dove la ;Intervallo dove la funzione è crescente. funzione è crescente. y’<0y’<0 per per x > 0x > 0;Intervallo dove la funzione è ;Intervallo dove la funzione è decrescente. decrescente.

((GraficoGrafico))



((GraficoGrafico))Grafico finaleGrafico finaleGrafico finaleGrafico finale


4x4x2 2 – 1– 14x4x22-4-4

-24x-24x(4x(4x22-4)-4)22


Segno Segno ::Sempre positivo (Sempre positivo (GraficoGrafico))Segno Segno ::Sempre positivo (Sempre positivo (GraficoGrafico))

Intersezioni con gli assiIntersezioni con gli assi::Asse x:Asse x:(-1,0);(1,0); (-1,0);(1,0); Asse y : Asse y : (0,1)(0,1)((CalcoliCalcoli))Intersezioni con gli assiIntersezioni con gli assi::Asse x:Asse x:(-1,0);(1,0); (-1,0);(1,0); Asse y : Asse y : (0,1)(0,1)((CalcoliCalcoli))

Dominio Dominio :: 1-x 1-x22 verificata per –1 –1 x x 11Dominio Dominio :: 1-x 1-x22 verificata per –1 –1 x x 11

AsintotiAsintoti : :Non ci sono asintoti. Non ci sono asintoti. ((CalcoliCalcoli) () (GraficoGrafico))

AsintotiAsintoti : :Non ci sono asintoti. Non ci sono asintoti. ((CalcoliCalcoli) () (GraficoGrafico))



((GraficoGrafico))



((GraficoGrafico))Grafico finaleGrafico finaleGrafico finaleGrafico finale


-x-x

1-x1-x22

1-x1-x22

Studiare la funzione :Studiare la funzione :y=y=Studiare la funzione :Studiare la funzione :y=y=

SegnoSegno.Dove la funzione esiste sempre positivo, proprio .Dove la funzione esiste sempre positivo, proprio

perché è un radicale di indice pari.(perché è un radicale di indice pari.(GraficoGrafico))SegnoSegno.Dove la funzione esiste sempre positivo, proprio .Dove la funzione esiste sempre positivo, proprio

perché è un radicale di indice pari.(perché è un radicale di indice pari.(GraficoGrafico))

Intersezioni con gli assiIntersezioni con gli assi::Asse x:Asse x:(-1,0);(1,0); (-1,0);(1,0); Asse y : Asse y : (0,1/2)(0,1/2)((CalcoliCalcoli))Intersezioni con gli assiIntersezioni con gli assi::Asse x:Asse x:(-1,0);(1,0); (-1,0);(1,0); Asse y : Asse y : (0,1/2)(0,1/2)((CalcoliCalcoli))

Dominio Dominio ::x x -2-2x x> 2(CalcoliCalcoli)(GraficoGrafico)Dominio Dominio ::x x -2-2x x> 2(CalcoliCalcoli)(GraficoGrafico)

AsintotiAsintoti : :Verticali: x=-2; x=2 Orizzontale : y=1. Verticali: x=-2; x=2 Orizzontale : y=1. ((CalcoliCalcoli) () (GraficoGrafico))AsintotiAsintoti : :Verticali: x=-2; x=2 Orizzontale : y=1. Verticali: x=-2; x=2 Orizzontale : y=1. ((CalcoliCalcoli) () (GraficoGrafico))


((CalcoliCalcoli))


((GraficoGrafico))


((CalcoliCalcoli))


((GraficoGrafico))Grafico finaleGrafico finaleGrafico finaleGrafico finale StudioStudio StudioStudio

xx2 2 – 1– 1xx22-4-4

-3x-3x(x(x22-4)-4)22

xx22-4-4

xx2 2 –1–1

Studio funzioni by Mario Varalta Studio funzioni by Mario Varalta.

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