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Meccanica dei Fluidi
F.Fabrizi e P. PennestrıLiceo Scientifico I. Newton - Roma
Classe III D
15 marzo 2013
Definizione di Fluido
Un fluido e un insieme di particelle che interagiscono tra loro conuna forza di coesione molto bassa.Con il termine fluido si intende sia un liquido che un gas.Un fluido ha un volume proprio, ma non una forma propria.La risposta con cui una materia cambia la sua forma ci fa capire sestiamo trattando con un liquido un fluido o un solido.
Idrostatica
La pressione
La pressione p e l’azione cui e soggetto un corpo immerso in unfluido. La forza ~F esercitata da un fluido su un corpo immerso inesso e sempre ortogonale alla superficie del corpo medesimo. Ciopremesso si definisce pressione il rapporto:
p =F
A(1)
essendo A l’area della superficie.
L’unita di misura nel SI e il pascal (Pa=N
m2)
Variazione di pressione con la profondita
Immaginiamo di avere un recipiente cilindrico pieno di fluido edimmerso nel medesimo:
Figura 1: Nomenclatura
Sia:~F1 la forza che si registrasulla base superiore delcilindro;~F2 la forza che si registrasulla base inferiore delcilindro;
m~g il peso del fluidocontenuto nel cilindro.
Dalla condizione di equilibrio delcilindro immerso otteniamo:
~F2 = ~F1 + m~g (2)
Sia:
A l’area di base del cilindro;
h = y1 − y2 l’altezza del cilindro;
ρ la densita del fluido;
p1 pressione alla base superiore;
p2 pressione alla base inferiore.
La (2) puo essere espressa nella forma:
p2A = p1A + ρA (y1 − y2) g (3)
da cuip2 = p1 + ρ (y1 − y2) g . (4)
Concluderemo che la pressione aumenta con la profondita.
Il principio di Archimede
Un corpo immerso in un liquido riceve una spinta dalbasso verso l’alto pari al peso del liquido spostato.
Dalla equazione (4), indicata con ∆p = p2 − p1 variazione dipressione, si ha:
∆p = ρgh (5)
ovvero
∆pA = ρghA = ρgV (6)
dove V e il volume.
Dinamica dei Fluidi
Classificazione dei moti dei fluidi
Possiamo distinguere due tipi di flusso:
Flusso laminare o regolare, se tutte le particelle del fluidohanno traiettorie parallele;
Flusso turbolento, se il flusso contiene vortici.
Con il parametro viscosita si misura l’entita dell’attrito nel fluido.
Fluido ideale
Il moto dei fluidi e complesso, quindi dovremo introdurre alcunesemplificazioni quali:
Fluido non viscoso.
Fluido incompressibile.
Flusso laminare.
Particelle si muovono a velocita costante.
Dicesi ideale un fluido con le suddette caratteristiche.
Equazione di continuita
Figura 2: Nomenclatura
Il condotto mostrato in Figura 2possiede sezioni trasversaliestreme di area A1 e A2
differenti.
Nell’intervallo di tempo ∆t passaattraverso la sezione di area A1 ilvolume di fluido
A1∆x1 = A1v1∆t
Tale volume deve essere ugualea quello A2∆x2 = A2v2∆t cheattraversa la sezione di area A2:
A1v1∆t = A2v2∆t (7)
A1v1 = A2v2 (8)
Equazione di continuita
Figura 2: Nomenclatura
Il condotto mostrato in Figura 2possiede sezioni trasversaliestreme di area A1 e A2
differenti.Nell’intervallo di tempo ∆t passaattraverso la sezione di area A1 ilvolume di fluido
A1∆x1 = A1v1∆t
Tale volume deve essere ugualea quello A2∆x2 = A2v2∆t cheattraversa la sezione di area A2:
A1v1∆t = A2v2∆t (7)
A1v1 = A2v2 (8)
Equazione di continuita
Figura 2: Nomenclatura
Il condotto mostrato in Figura 2possiede sezioni trasversaliestreme di area A1 e A2
differenti.Nell’intervallo di tempo ∆t passaattraverso la sezione di area A1 ilvolume di fluido
A1∆x1 = A1v1∆t
Tale volume deve essere ugualea quello A2∆x2 = A2v2∆t cheattraversa la sezione di area A2:
A1v1∆t = A2v2∆t (7)
A1v1 = A2v2 (8)
L’equazione di Bernoulli
Figura 3: Nomenclatura
Immaginiamo il moto di un fluidoideale in una condotta. Inassenza di effetti dissipativil’energia meccanica possedutadal fluido all’ingresso delcondotto deve essere pari aquella che il fluido ha all’uscita(conservazione dell’energia).
L’equazione di Bernoulli
Pertanto con riferimento allanomenclatura della figura 3 ilavori compiuti dalle forze dipressione risultano essere:
W1 = F1∆x1 = p1A1∆x1 = p1VW2 = F2∆x2 = p2A2∆x2 = p2V
con V = A1∆x1 = A2∆x2volume che attraversa la sezioneper ∆t = 1s
L’equazione di Bernoulli
In virtu del principio di conservazione dell’energia:
W1 + K1 + U1 = W2 + K2 + U2 (9)
essendo K =1
2mv2 ed U = mgy , rispettivamente energia cinetica
ed energia potenziale del fluido.
Dalla (9) avremo:
p1V +1
2mv21 + mgy1 = p2V +
1
2mv22 + mgy2 (10)
Dividendo primo e secondo membro per V e indicando la densitacon ρ si ha:
ρ =m
V(11)
p1 +1
2ρv21 + ρgy1 = p2 +
1
2ρv22 + ρgy2 (12)
ovvero l’equazione di Bernoulli.
L’equazione di Bernoulli
In virtu del principio di conservazione dell’energia:
W1 + K1 + U1 = W2 + K2 + U2 (9)
essendo K =1
2mv2 ed U = mgy , rispettivamente energia cinetica
ed energia potenziale del fluido. Dalla (9) avremo:
p1V +1
2mv21 + mgy1 = p2V +
1
2mv22 + mgy2 (10)
Dividendo primo e secondo membro per V e indicando la densitacon ρ si ha:
ρ =m
V(11)
p1 +1
2ρv21 + ρgy1 = p2 +
1
2ρv22 + ρgy2 (12)
ovvero l’equazione di Bernoulli.
L’equazione di Bernoulli
In virtu del principio di conservazione dell’energia:
W1 + K1 + U1 = W2 + K2 + U2 (9)
essendo K =1
2mv2 ed U = mgy , rispettivamente energia cinetica
ed energia potenziale del fluido. Dalla (9) avremo:
p1V +1
2mv21 + mgy1 = p2V +
1
2mv22 + mgy2 (10)
Dividendo primo e secondo membro per V e indicando la densitacon ρ si ha:
ρ =m
V(11)
p1 +1
2ρv21 + ρgy1 = p2 +
1
2ρv22 + ρgy2 (12)
ovvero l’equazione di Bernoulli.
L’equazione di Bernoulli
Se introduciamo il peso specifico
γ =1
ρg(13)
la (12) puo riscriversi nella forma
p1γ
+v212g
+ h1 =p2γ
+v222g
+ h2 (14)
Effetto Venturi
Possiamo prevedere il regime di velocita all’entrata e all’uscita delcondotto utilizzando simultaneamente l’equazione di continuita (8)(A1v1 = A2v2) e l’equazione di Bernoulli (12).
Se le altezze y delle sezioni estreme del condotto sono le stesse(y1 = y2)
p1γ
+v212g
=p2γ
+v222g
(15)
si osservera quanto segue:
la velocita e maggiore all’estremita con l’area della sezioneminore;
la pressione e maggiore all’estremita con l’area della sezionemaggiore.
Effetto Venturi
Possiamo prevedere il regime di velocita all’entrata e all’uscita delcondotto utilizzando simultaneamente l’equazione di continuita (8)(A1v1 = A2v2) e l’equazione di Bernoulli (12).Se le altezze y delle sezioni estreme del condotto sono le stesse(y1 = y2)
p1γ
+v212g
=p2γ
+v222g
(15)
si osservera quanto segue:
la velocita e maggiore all’estremita con l’area della sezioneminore;
la pressione e maggiore all’estremita con l’area della sezionemaggiore.
Effetto Venturi
Possiamo prevedere il regime di velocita all’entrata e all’uscita delcondotto utilizzando simultaneamente l’equazione di continuita (8)(A1v1 = A2v2) e l’equazione di Bernoulli (12).Se le altezze y delle sezioni estreme del condotto sono le stesse(y1 = y2)
p1γ
+v212g
=p2γ
+v222g
(15)
si osservera quanto segue:
la velocita e maggiore all’estremita con l’area della sezioneminore;
la pressione e maggiore all’estremita con l’area della sezionemaggiore.