Meccanica dei fluidi

Definizione di fluido: liquido o gas

La pressione in un fluido

Equilibrio nei fluidi: legge di Stevino

Il Principio di Pascal

Il barometro di Torricelli

Il principio di Archimede

Fluidodinamica: fluido ideale

Regime stazionario. Portata

Il teorema di Bernulli

I fluidi

La materia può presentarsi in tre stati: Solido, liquido e gassoso:

Un solido ha una forma ed un volume ed è incomprimibile

Un liquido ha un volume definito, non ha una forma propria ed è incomprimibile

Le proprietà dei liquidi e dei solidi dipendono dal loro struttura microscopica, ovvero

dal legame tra le molecole.

Un gas non ha né volume ne forma definiti ed è comprimibile

Queste definizioni sono in realtà un artificio, più in generale lo stato in cui si

presenta la materia viene determinato in funzione del tempo necessario a quella

materia per cambiare la sua forma sotto l’azione di una forza esterna

Una sostanza che non è dotata di forma propria è detta fluido. I fluidi assumono la

forma del recipiente che li contiene.

I fluidi sono un insieme di molecole sistemate casualmente legate da deboli forze di

coesione e forze esercitate da pareti del contenitore

Sono fluidi :

le sostanze liquide - che hanno volume definito ed una superficie limite

le sostanze gassose - che non hanno un volume definito e tendono ad

occupare tutto il volume a disposizione.

Dal punto di vista meccanico un fluido si può pensare composto da elementi

infinitesimi di massa dm = dV, che scorrono tra loro in una qualunque direzione.

Densità

Con i fluidi non ha molto senso parlare di massa, ma piuttosto di densità ( o massa

volumica).

Se consideriamo un elemento di volume V di un fluido intorno ad un certo punto e

misuriamo la sua massa m la densità è data dal rapporto:

La densità ( o massa volumica) di un corpo (o fluido) è una grandezza scalare ed è

pari alla massa per l’unità di volume.

L’unità di misura della densità è il kg/m3

La densità di un fluido varia ( anche se debolmente) con la temperatura poichè al

variare della temperatura varia il volume.

La densità dei liquidi = M/V è molto maggiore di quella dei gas (di circa un

fattore 103)

Dal punto di vista meccanico un fluido si può pensare composto da elementi

infinitesimi di massa dm = dV, che scorrono tra loro in una qualunque direzione.

V

m

Densità

V

m Dove m e V sono massa e volume di un

campione di fluido

Tabella densità

Pressione

I fluidi non possono sopportare forze tangenziali, in un fluido

sottoposto ad una forza parallela alla sua superficie, le molecole

scivolano le une sulle altre, per cui il solo tipo di forza che può

esistere in un fluido è quella perpendicolare alla superficie.

La pressione viene definita come il rapporto tra una forza

agente su una superficie infinitesima dA e la superficie stessa:

Se la forza esercitata su una superficie estesa è uniforme si può scrivere:

La pressione è una grandezza scalare (non ha proprietà direzionali ed anche se la

forza è un vettore, solo la sua intensità contribuisce alla peressione)

L’unità di misura è il Pa (pascal) : 1Pa= N/m2

- Un suo multiplo importante è 1 bar = 105 Pa ( più precisamente: 1 bar = 105 Pa

- La pressione atmosferica 1 atm = 1,01325 bar

NB: la pressione e la forza sono due grandezze diverse, si può avere una pressione

molto alta anche con una forza relativamente piccola se la superficie è ridotta ( es: la

pressione esercitata da un ago), oppure una pressione ridotta se la superficie è

ampia ( es: le zampe del cammello => pianta larga non affonda nella sabbia del

deserto)

Le differenze di pressione tra l’interno e l’esterno di una superficie vengono usate

come “collanti” potenti

dAdF p

A

F p

pressione

Determiniamo ora come varia la pressione all’interno di un fluido a riposo

Definiamo:

-forze di volume: le forze che, come la forza peso, vengono applicate a tutto il volume V

dell’elemento di fluido Fg = g m = g V -forze di superficie, le forze che agiscono sulla superficie infinitesima dell’elemento di fluido,

sono le forze che determinano la pressione: p=dF/dS

Si consideri un fluido in quiete, ovvero un fluido in cui tutti i sui elementi di volume non

subiscono spostamenti ed hanno quindi velocità ed accelerazione nulle, ed un campione di tale

fluido racchiuso in una cilindro ideale di base A ed altezza h posto ad una profondità d dalla

superficie del liquido. In questo caso, la somma delle forze ( di volume e di superficie) agenti

sul fluido deve essere nulla ( 2° legge di Newton )

Il liquido esterno esercita forze su tutta la superficie del campione

( perpendicolarmente ad essa)

Le forze agenti sulla superficie laterale del cilindro si elidono a coppie

Solo tre forze rimango ad agire sul corpo:

1) la forza gravitazionale

2) La forza che agisce sulla superficie superiore del cilindro

( rivolta verso il basso)

3) La forza che agisce sulla superficie inferiore del cilindro

(rivolta verso l’alto)

Fluidostatica (equilibrio dei fluidi)-Stevino(1)

0 sv FF

jAPF ˆ01

jPAF ˆ2

021 FFFFF gsv

jAhgFgˆ

AhVcilindro

Per la seconda legge di Newton si ha che sul campione di fluido a riposo la somma delle forze

deve essere nulla:

Poiché le forze agenti sono tutte parallele all’asse z possiamo togliere la notazione vettoriale:

Fluidostatica (equilibrio dei fluidi)-Stevino(2)

0ˆˆˆ 021 jPAjAPjAhgFFFFF gsv

0 0 APAPhAg 0 PhgP Legge di Stevino

Legge di Stevino: la pressione in un liquido a densità costante cresce

linearmente con la profondità.

Conseguenze:

La pressione di un punto del fluido all’equilibrio dipende solo dalla

profondità del punto

La pressione lungo superfici orizzontali è costante ( superficie isobare o

isobariche): la superficie libera di un liquido in quiete deve essere orizzontale.

Se consideriamo di prendere l’elemento di volume con la superficie superiore

corrispondente alla superficie libera del liquido ( d=0) P0 è proprio la pressione

atmosferica

Un corpo immerso in acqua alla profondità di 10 m subisce una pressione :

atmatmatmatmPaatmmmkgsmPhgP 2111108.911010008.9 432

0

Principio di Pascal

Consideriamo la legge di Stevino:

Osservando questa relazione che lega la pressione P in un punto del fluido posto ad una

profondità h dalla superficie, se si varia la pressione P0 in superficie, anche P dovrà variare.

Si ha quindi che ogni variazione della pressione alla superficie si ripercuote su tutti i punti del

fluido. Questo proprietà dei fluidi fu formulata come principio da Pascal:

Principio di Pascal: Una variazione della pressione applicata ad un fluido

chiuso è trasmessa integralmente ad ogni punto del fluido stesso

Quindi se la pressione esterna varia dal valore p0 al valore p0 la pressione interna

varierà dal valore p al valore p secondo la relazione:

Esempio: Premiamo con le dita su due lati opposti di esso, notiamo che,

allo schiacciamento causato dalla pressione delle dita,

corrisponderà un rigonfiamento nelle altre zone che

aumenterà in relazione all'aumento della pressione

da noi esercitata.

Questo fenomeno, facilmente riscontrabile da chiunque possieda un palloncino, è giustificato

dal fatto che la pressione da noi esercitata si trasmette all'intera massa di fluido contenuto

nell'involucro (che in questo caso sarà aria).

0 PhgP

h g pp ext

extextextext pph g ph g pp pp ''' extpp

h g p p ext ''

Esempio -Vasi comunicanti Si chiamano vasi comunicanti due o più recipienti uniti da un tubo di comunicazione.

Consideriamo due vasi comunicanti riempiti con lo stesso liquido ed esaminiamo

cosa accade su una superficie S di liquido posta nel tubo di collegamento.

Quindi: un liquido versato in un sistema di vasi comunicanti raggiunge in tutti i recipienti lo stesso

livello.

Questa proprietà è valida qualunque sia la forma dei recipienti, purché siano abbastanza ampi. Infatti, il

modello dei vasi comunicanti ha un campo di validità limitato: cessa di essere valido quando i recipienti sono

dei tubi molto sottili (detti capillari).

Se l’altezza hA del liquido nel

recipiente di sinistra è maggiore

di hB, anche la pressione ( per la

legge di stevino) che agisce su S

da sinistra è maggiore di quella

da destra.

Quindi la superficie S è spinta

verso destra: si ha così un flusso

di liquido dal recipiente in cui il

liquido ha un’altezza maggiore

verso l’altro

S

Soltanto quando la quota del

liquido è la stessa nei due

recipienti, le due pressioni che

agiscono su S sono uguali e il

liquido è in equilibrio

S S

Un martinetto idraulico è costituito da due pistoni di sezione molto differente collegati

mediante un vaso comunicante nei quali è contenuto un fluido, il pistone 1 ha superficie A1

molto più piccola della superficie del pistone 2:

Sul pistone 1 viene esercitata una forza verso il basso che servirà a

sollevare un oggetto pesante sul pistone 2 ( esempio un’automobile)

La forza produce sul pistone 1 una pressione P pari a

La pressione 2 si trasmette per il principio di Pascal attraverso il liquido fino al pistone 2.

Sul pistone 2 viene quindi esercitata una forza verso l’alto pari a:

Si ha quindi che

Cioè la forza F2 risulta essere maggio di F1 per un fattore moltiplicativo

Poiché nei due pistoni deve essere spostato un ugual volume di liquido si avrà :

Il lavoro compiuto dal pistone 2 sarà comunque uguale al lavoro svolto sul pistone 1 :

Martinetto idraulico (pressa idraulica)

21 AA

1F

1F

11 AFP

2F

22 PAF

11

2

1

2

1

2 A

A

PA

PA

F

F

1

2

A

A

1

212

A

AFF

2211 AxAxV 1

2

112 x

A

Axx Il pistone 2 si solleverà di meno di

quanto si abbassa il pistone 1

111

2

11

1

21222 LxF

A

Ax

A

AFxFL

Il barometro di Torricelli

Torricelli fu il primo a sostenere che l’atmosfera esercita

una pressione e fu il primo a misurarne il valore.

Lo strumento utilizzato fu un barometro a mercurio:

Un tubo con un’estremità chiusa, pieno di mercurio viene rovesciato

in un bicchiere anch’esso pieno di mercurio.

Nell’estremità superiore si forma una regione di vuoto ( in cui la

pressione può essere considerata nulla)

La pressione nel punto A e nel punto B deve essere la stessa( legge di Stevino) e quindi pari

alla pressione atmosferica.

Si ha quindi che il peso della colonnina di mercurio di altezza h deve determinare una

pressione sul fluido pari a quella atmosferica

Nel suo esperimento Torricelli osservò che la colonnina di mercurio nelle condizioni di

equilibrio si innalza di 760 mm. Si ha quindi, considerando che :

hghgPP HgHg 0

0

3310596.13 mKgHg

atmPaPaP 110013.110760.0596,138.9 53

0

Sappiamo per esperienza che ci sono alcuni corpi che in acqua galleggiano ed altri no.

Andiamo ora a vedere le cause del galleggiamento che è dovuto ad una forza rivolta verso l’alto

che si esercita su un corpo immerso in un fluido.

Consideriamo un fluido sottoposto alla gravità, ed isoliamone idealmente un volume finito V

di forma qualsiasi.

Poiché il volume di fluido è all’equilibrio, la risultante delle forze esercitate sul volume V di

fluido isolato deve essere nulla

La risultante delle forze di pressione che il fluido circostante il volume

isolato esercita sul volume isolato ( ) deve essere uguale ed opposta alla forza

peso esercitata del volume stesso.

sarà quindi rivolta verso l’alto e pari in modulo alla forza peso del volume

di fluido

Sostituiamo ora il volume di fluido con un ugual volume di una qualsiasi altra sostanza di

densità => la risultante delle forze di pressione è la stessa, ( ) ma la forza peso cambia con

la densità della sostanza. => Non vi e’ più una condizione di equilibrio.

Il principio di Archimede

B

0 gFB

VgFB fluidog

B

B

0 gFB

VgB corpo 0 corpofluidocorpofluido gVVgVg

VgB fluido risultante delle

forze di pressione

0F corpofluido Risulta una forza verso l’alto ( il corpo sale)

Risulta una forza verso il basso minore della forza peso

(il corpo scende nel fluido

In entrambi i casi vale il Principio di Archimede : un corpo immerso in un

fluido riceve un spinta verso l’alto ( spinta di Archimede) pari a al peso del

fluido spostato

0F corpofluido

Esempio- corpo galleggiante

Abbiamo visto esplicitato il caso di un corpo completamente immerso in un liquido.

Vediamo cosa succede nel caso il corpo, in equilibrio statico galleggi sulla superficie

del liquido.

In questo caso solo una frazione del corpo è immerso nel liquido.

Poiché il corpo è solo parzialmente immerso, il volume di fluido spostato è solo una

frazione del volume totale V0 del corpo.

Tale frazione corrisponde proprio alla parte di corpo immerso.

L’oggetto è in equilibrio => la risultante delle forze agenti sul corpo è nulla

La Spinta di Archimede deve equilibrare la forza peso =>

0

0

VgVgVgF

VgBcorpoimmersofluido

corpog

immersofluido

fluido

corpoimmerso

V

V

0

La frazione di corpo immerso è pari al rapporto fra la densità del corpo e la densità

del liquido

Il peso apparente

Se si misurasse il peso ( inteso come forza-peso) di un corpo in acqua con una

bilancia esso risulterebbe sicuramente minore del peso misurato fuori dall’acqua.

Questo peso minore è detto “peso apparente” ed in realtà è dovuto alla somma

vettoriale della forza peso del corpo con la spinta di Archimede

BFP gapp

Es:

Un corpo di massa m=10Kg volume 1dm3 viene immerso in acqua.

Determinare il suo peso apparente

NNNdmdmkgsmNVgmgBmgP OHapp 888.998118.9108.9 332

2

BFP gapp

y

In generale lo studio della fluidodinamica è molto complesso, poiché i fluidi reali sono soggetti

a moti turbolenti

Noi studieremo perciò il moto dei fluidi ideali, più semplice da trattare matematicamente.

Caratteristiche che identificano i fluidi ideali:

Moto laminare (o stazionario) => la velocità del fluido in ogni punto fissato non cambia nel

tempo né in direzione né in intensità. In questo tipo di moto i cammini seguiti da ciascuna

particella di fluido non si intersecano mai

Fluido Incomprimibile => come nel caso statico il fluido è

incomprimibile, quindi la sua densità è costante ed uniforme

Flusso non viscoso => il fluido non si oppone allo spostamento

l’attrito interno è trascurabile

Fluido irrotazionale => cioè se il momento angolare del fluido è nullo, un oggetto immerso in

un fluido irrotazionale non ruota intorno al suo centro di massa

Linee di flusso ( o linee di corrente) => sono le traiettorie percorse

dalle particelle nel fluido.

Ciascuna paraticella di fluido ha velocità sempre tangente alla linea di

flusso( che non si intersecano mai)

Le linee di flusso che attraversano una certa sezione vengono dette tubo di flusso

Fluidodinamica-Moto dei fluidi

Consideriamo un fluido ideale che scorre all’interno di un tubo a sezione variabile

Si trova che la velocità del fluido nel tubo dipende dall’area della sezione normale attraverso

cui passa il fluido.

Consideriamo quindi il tubo di flusso in figura.

•Nel punto 1 la sezione ha area A1 e la velocità del fluido è

•Nel punto 2 la sezione ha area A2 e la velocità del fluido è

•Il flusso va dal punto 1 al punto2

•Supponiamo che nell’intervallo di tempo t passi attraverso

la sezione A1 un volume di fluido V.

•Poiché il fluido è incomprimibile nello stesso intervallo di tempo un uguale volume V deve

attraversare la sezione A2

•Se consideriamo le particelle di fluido che all’istante iniziale attraversano la superficie A1 esse

percorreranno nell’intervallo di tempo t una distanza x1 data da:

e quindi il volume di fluido che avrà attraversato la sezione A1 sarà:

Analogamente si avrà che il volume che avrà attraversato nello stesso intervallo di tempo la

sezione A2 sarà:

Quindi:

Equazione di continuità

1v

2v

tvx 11

1111 tAvAxV

2222 tAvAxV

2211 tAvtAvV 2211 AvAv Equazione di

continuità

Questa equazione che lega la velocità del fluido alla sezione attraversata è nota come

equazione di continuità, e da essa si evince che: il prodotto della velocità con la sezione

attraversata è costante in un fluido ideale, per cui se la sezione aumenta la velocità

diminuisce e viceversa

Portata

L’equazione di continuità può anche essere riscritta:

La quantità R prodotto della velocità per la sezione attraversata è detta PORTATA.

Si ha quindi che in un fluido ideale la portata rimane costante

costante vAR PORTATA

Se un fluido scorre da un condotto largo ad uno

stretto: il modulo della velocità nel tubo stretto è

maggiore che nel tubo largo

ESEMPIO:

Stringendo il tubo dell’acqua riduciamo la sezione di

uscita dell’acqua ed aumentiamo la velocità del flusso

Teorema di Bernoulli

Consideriamo un fluido a densità costante che scorre

in regime stazionario attraverso il tubo di flusso ( o reale) a sezione

variabile mostrato in figura.

In un intervallo di tempo t una certa quantità di fluido m entra

attraverso la superficie A1 con velocità v1 ed esce dalla superficie A2

con velocità v2.

Vogliamo ricavare la relazione tra velocità, pressione e quota del fluido alle varie

sezioni del condotto.

Cominciamo determinando il lavoro sul liquido:

Nello spostamento l’energia potenziale cambia solo per le parti

del fluido che corrispondono ad una variazione globale di quota.

Il lavoro della forza peso è pari a:

Le forze di pressione dovute alle pareti compiono un lavoro nullo

le forze di pressione esercitate sulle sezioni A1 ed A2 forniscono il lavoro:

Il lavoro totale è quindi:

Per il teorema dell’energia cinetica tale lavoro è pari alla variazione di energia cinetica:

12 yygVUL gg

VV

s xAPxAPxFxFL

2221112211

x

VPPyygVLLL sg 2112

VPPLs 21

LT

tvxtvx

AxAxV

Vm

2211

2211

,

VPPyygVvvV 2112

2

1

2

2 2

1

Teorema di Bernoulli

VPPyygVvvV 2112

2

1

2

2 2

1LT

Semplificando il volume e raggruppando i termini in modo da avere a sinistra i termini

associati al passaggio attraverso la superficie A1 ed a destra quelli associati

all’attraversamento della superficie A2 si ha:

2

2

221

2

11 2

1

2

1gyvPgyvP

costante 2

1 2 gyvP Equazione di Bern0ulli

Teorema di Bernoulli: In un fluido ideale in moto in regime stazionario la somma della pressione, della densità di energia potenziale per unità di volume e della densità di energia cinetica per unità di volume e’ costante lungo il condotto, ovvero lungo qualunque tubo di flusso.

NB: il teorema di Bernoulli è una riformulazione della conservazione dell’energia meccanica

adattata alla meccanica dei fluidi

Equazione di Bernoulli-casi particolari

Fluidi a riposo:

In questo caso l’energia cinetica è nulla e l’equazione di Bernoulli si riduce alla legge di Stevino

Tubo di flusso ad altezza costante y (y=0 per esempio)

2

2

221

2

11 2

1

2

1gyvPgyvP

2211 gyPgyP

h

yygPP 1221

2

2

221

2

11 2

1

2

1gyvPgyvP 2

22

2

11 2

1

2

1vPvP

Se P1>P2 allora v1<v2

Se P1<P2 allora v1>v2

Se lungo una linea di flusso orizzontale aumenta la velocità di un fluido, deve

diminuire la pressione e viceversa