Post on 11-Jul-2019
Lezione di astronomia
Maurizio Tomasimaurizio.tomasi@unimi.it
Dipartimento di FisicaUniversità degli studi di Milano
9 Novembre 2017
Parte I
Teoria dei sistemi binari
Sistemi binari
I sistemi binari sono fondamentali per permetterela determinazione della massa delle stelle.
Sono gli unici casi in cui sia possibile determinarela massa di una stella (a parte casi particolari).
Osservazione di sistemi binari
i
Per binarie ad eclisse, i « 90˝.
Osservazione di sistemi binari
https://www.youtube.com/watch?v=6MyBy-jObrY
Osservazione di sistemi binari
CMr1
r2
R
Nel sistema del c.d.m. vale che#
M1v1 “ M2v2,2πr1v1
“2πr2v2“ P,
da cuir1
r2“
v1
v2“
M2
M1.
Osservazione di sistemi binari
CMr1
r2
R
Dalle leggi di Newton ricaviamo che#
GM1M2R2 “ M1
v21
r1,
GM1M2R2 “ M2
v22
r2,
da cui M1`M2 “P
2πG
`
v1`v2˘3.
Osservazione di sistemi binari
Le equazioni
r1
r2“
v1
v2“
M2
M1,
M1 `M2 “P
2πG
`
v1 ` v2˘3
descrivono la dinamica di un sistema binario conorbite circolari.
Osservazione di sistemi binariDalla Terra possiamo misurare facilmente questequantità:
§ vr1 ” v1 sin i , vr2 ” v2 sin i ;§ Il periodo dell’orbita P.
Determinare r1 ed r2 è estremamente difficile.
In termini di vr1 e vr2, la seconda equazionediventa
M1 `M2 “P
2πG
`
vr1 ` vr2˘3
sin3 i
Metodi numericiNei casi reali si usano metodi numerici, in mododa tenere conto di altri effetti:
1. Ellitticità delle orbite;2. Deformazione della stella causata dalla
rotazione (importante nelle eclissi);3. Limb darkening (minore luminosità al bordo);4. Gravity darkening (minore temperatura
all’Equatore a causa del rigonfiamentorotazionale);
5. Mutua interazione gravitazionale tra le duestelle (forze mareali);
6. Etc.
Metodi numerici
Parte II
Il sistema CV Velorum
Il sistema binario CV Velorum
È un sistema binario spettroscopico per il qualesono visibili anche eclissi. (Costellazione dellaVela, nel cielo australe).
È un sistema molto interessante, studiato in piùlavori. Quelli a cui facciamo riferimento noi sono:
§ Andersen (A&A 44, 1975, pagg. 355-362);§ Clausen & Grønbeck (A&A 58, 1977, pagg.
131–137);§ Yakut et al. (A&A 467, 2007, pagg. 647–655).
Periodo dell’orbita
Il periodo è stato determinato da Andersen (1975)e Clausen & Grønbeck (1977). Noi facciamoriferimento a quest’ultimo.
Filtri e stelle calibratrici
Tabella delle magnitudini
EsercizioCosa si può dedurre sul sistema binario CVVelorum dal grafico precedente a proposito delledue stelle che lo compongono e della loroorientazione nello spazio?
Caratteristiche di CV Vel
§ Le due stelle hanno luminosità e raggiosimile. . .
§ . . . quindi probabilmente il centro delle orbitecoincide col centro di massa. . .
§ quindi le due stelle hanno velocità orbitaliuguali in modulo.
Periodo orbitale di CV Velorum
Clausen & Grønbeck lo quantificano nel numero
P “ 6.889 494 d.
Spettroscopia di CV Velorum
Nel 2007 Yakut et al. hanno pubblicato un lavoro incui si fa un’analisi spettroscopica di CV Velorum.
Velocità radiale
EsercizioDal grafico di Fig. 1 determinare la velocità radialemassima vr dalla riga di SiIII e di HeI, assumendoche i due grafici mostrino i due estremi delleoscillazioni Doppler delle righe.
Effetto DopplerQuando la velocità radiale è massima (˘vr ), lelunghezze d’onda sono:
λ1 “c ` v0 ` vr
cλ0,
λ2 “c ` v0 ´ vr
cλ0,
da cui
v0 “
˜⟨λ1{2
⟩λ0
´ 1
¸
c, vr “ c∆λ
2λ0.
Velocità radialePer SiIII:
v0 “
˜
4553.0 A
4552.6 A
¸
c « 26.3 km s´1,
vr “ c4555.0 A´ 4551.0 A
2ˆ 4552.6 A« 132 km s´1.
Per HeI:
v0 “
˜
6678.75 A
6678.1 A
¸
c « 29.2 km s´1,
vr “ c6681.5 A´ 6676.0 A
2ˆ 6678.1 A« 123 km s´1.
Velocità radiale
Il valor medio di vr è
〈vr〉 “ 128 km s´1
(Yakut et al. citano v1 “ 126 km s´1 ev2 “ 128 km s´1).
Velocità stimate da Yakut et al.
(Perché i dati sono “raggrumati” in gruppi?)
Determinazione delle masseSe v1 “ v2 “ vr e i “ 90˝, allora
M1 `M2 “P
2πG
`
2vr˘3
e la massa totale è
M1 `M2 “6.89 d p2 ¨ 128 km{sq3
2π ¨ 6.67ˆ 10´11 Nm2
{kg2
“5.95ˆ 105
s ¨ 1.7ˆ 1013 m3
{s3
2π ¨ 6.67ˆ 10´11 m3
{kg s2
“ 11.2 Md.
Se le due stelle sono simili, assumiamo che
M1 « M2 « 5.6 Md.
Parametri orbitali (Yakut et al.)
(Notare le discrepanze in V0, non ancoraspiegate).
Studio delle righe
(Quale stella ruota più velocemente?)
Classe spettrale
Sono stelle di tipo B (T « 18 000 K).
Il database SIMBAD
Il database SIMBAD
Il database SIMBAD
Yakut et al. (2014)
Parte III
Come vanno di solito lecose
Williams et al. (ApJ, 2013)
HDE 229232
HDE 308813
The Astrophysics Source Code Library
rvfit
rvfit
Il programma rvfit sembra fare esattamente alcaso nostro:
§ Accetta in input le velocità radiali;§ Produce come output i parametri orbitali del
sistema;§ Non richiede di specificare le velocità radiali di
entrambe le stelle.
rvfit
Il programma è scritto usando IDL, che è unlinguaggio di analisi dati molto usato in astronomia(insieme a Python).
IDL è un programma a pagamento; sui computerdel centro di calcolo è disponibile. Noi useremo unclone open-source, GNU Data Language.
GNU Data Language
http://gnudatalanguage.sourceforge.net/
Sotto Ubuntu si può installare con“sudo apt-get install gnudatalanguage plplot12-driver-xwin”.
rvfit
Il sito da cui scaricare il codice di rvfit(http://www.cefca.es/people/~riglesias/rvfit.html) diceche occorre installare nella stessa directory altripacchetti:
1. The IDL Astronomy User’s Library(http://idlastro.gsfc.nasa.gov/; scaricate il fileastron.tar.gz);
2. The Coyote IDL Library (http://idlcoyote.com/);3. Il file pxperfect.pro
(http://www.physics.wisc.edu/ craigm/idl/down/pxperfect.pro).
Usare rvfit
Nell’archivio di rvfit è disponibile un file PDF chespiega come usarlo. Occorre preparare due file didati:
1. Un file di testo che contiene il tempo diosservazione, la velocità radiale e l’erroresulla velocità dell’oggetto osservato;
2. Un file di configurazione, che specifica comevada condotta l’analisi.
Usare rvfit
Williams non ha messo a disposizione i dati informato elettronico. Dobbiamo quindi trascrivere amano la tabella 1 dell’articolo:
File HDE308813.dat:
2714.805 -0.6 1.7
2715.708 20.6 1.7
2715.840 31.2 1.8
...
(omettiamo la costante2.450.000 nei tempi).
Usare rvfit
Il file di parametri che usiamo ha questa forma:
rvfile1 = HDE308813.dat
rvfile2 =
fitparam = [1, 1, 1, 1, 1, 1, 0]
valparam = [ 0.0, 0.0, 0.0d, 0.0d, 0.0, 0.0, 0.0]
L = [ 1.0, 2700, 0.0, 0., -10.0, -10.0, -10.0]
U = [20.0, 3200, 1.0, 360., 50.0, 50.0, 50.0]
rvfile2 serve se si hanno misure della secondastella, ma non è il nostro caso, quindi lo lasciamovuoto. I quattro vettori di numeri specificano iparametri da fittare.
Usare rvfit
rvfile1 = HDE308813.dat
rvfile2 =
fitparam = [1, 1, 1, 1, 1, 1, 0]
valparam = [ 0.0, 0.0, 0.0d, 0.0d, 0.0, 0.0, 0.0]
L = [ 1.0, 2700, 0.0, 0., -10.0, -10.0, -10.0]
U = [20.0, 3200, 1.0, 360., 50.0, 50.0, 50.0]
Il primo vettore fitparam dice se un parametrodeve essere calcolato oppure supposto noto. (Sela binaria è a eclisse, è meglio supporre noto ilperiodo, perché è facile calcolarlo con precisione).Nel caso in cui sia noto, va specificato invalparam.
Usare rvfit
rvfile1 = HDE308813.dat
rvfile2 =
fitparam = [1, 1, 1, 1, 1, 1, 0]
valparam = [ 0.0, 0.0, 0.0d, 0.0d, 0.0, 0.0, 0.0]
L = [ 1.0, 2700, 0.0, 0., -10.0, -10.0, -10.0]
U = [20.0, 3200, 1.0, 360., 50.0, 50.0, 50.0]
Il terzo e quarto vettore, L e U, specificanol’intervallo entro cui si possono far variare iparametri.
Usare rvfit
I sette parametri sono, nell’ordine:1. Periodo orbitale P, in giorni;2. Tempo TP del periastro (massimo
avvicinamento tra le due stelle), in tempoGiuliano eliocentrico (HJD);
3. Eccentricità orbitale e (0: orbite circolari);4. Inclinazione del periastro ω, in gradi;5. Velocità del centro di massa γ, in km/s;6. Ampiezza della velocità radiale K1;7. Ampiezza della velocità radiale K2 (non usato
nel nostro caso).
Stima dei parametriSiccome nel file dei parametri dobbiamo fissare gliintervalli di ogni parametro, è meglio dareun’occhiata ai dati. Usiamo come al solito Pythone Matplotlib:
import matplotlib.pylab as plt
import pandas
import numpy as np
data = pandas.read_csv('HDE308813.dat',
header=None, sep=' ',
names=('JD', 'v', 'sigma'))
plt.scatter(data['JD'], data['v'])
plt.xlabel('Date')
plt.ylabel('Radial velocity [km/s]')
Dati di Williams (2013)
2600 2700 2800 2900 3000 3100 3200Date
30
20
10
0
10
20
30
40
Radia
l velo
city
[km
/s]
Dati di Williams (2013)
3015 3020 3025 3030 3035Date
30
20
10
0
10
20
30
40
Radia
l velo
city
[km
/s]
Quindi possiamo provare a porre P « 7 d,2600 ď TP ď 3200, ´10 km/s ď γ,K1 ď 50 km/s.
Uso di rvfit con i dati di HDE308813
Poniamo anche 0 ď e ď 1, e 0 ď ω ď 360˝. Il filedi parametri che useremo è quindi il seguente:
rvfile1 = HDE308813.dat
rvfile2 =
fitparam = [1, 1, 1, 1, 1, 1, 0]
valparam = [ 0.0, 0.0, 0.0d, 0.0d, 0.0, 0.0, 0.0]
L = [ 1.0, 2700, 0.0, 0., -10.0, -10.0, -10.0]
U = [20.0, 3200, 1.0, 360., 50.0, 50.0, 50.0]
Salviamolo con nome HDE308813-1.conf.
Esecuzione di rvfitAvviamo rvfit usando GDL (o IDL):
GDL> rvfit, configfile='HDE308813-1.conf', outfile='HDE308813-1.out', /physics
Dopo qualche secondo, il programma produrrà ilrisultato seguente:
P 6.3385˘ 0.0009 dTP 2706.2˘ 0.3 HJDe 0.11˘ 0.02ω 124˘ 15˝
γ 8.5˘ 0.3 km/sK1 22.1˘ 0.5 km/s
Parametri di Williams (2013)
Attenzione: per Williams, T0 non è il tempo delperiastro ma della massima velocità radiale(To “ TP).
rvfit
Se però leggiamo meglio Williams, notiamo che hafatto un’assunzione importante:
Miglioramento del fit
Se le orbite sono circolari, dobbiamo cambiare ilfile dei parametri così:
rvfile1 = HDE308813.dat
rvfile2 =
fitparam = [1, 1, 0, 1, 1, 1, 0]
valparam = [ 0.0, 0.0, 0.0d, 0.0d, 0.0, 0.0, 0.0]
L = [ 1.0, 2700, 0.0, 0., -10.0, -10.0, -10.0]
U = [20.0, 3200, 1.0, 360., 50.0, 50.0, 50.0]
Inoltre, i parametri TP e ω perdono significato.
Salviamo questa nuova versione con nomeHDE308813-2.conf.
Esecuzione di rvfit
Avviamo rvfit usando GDL (o IDL):GDL> rvfit, configfile='HDE308813-2.conf', outfile='HDE308813-2.out', /physics
Confrontiamo i nuovi risultati con i vecchi:
Vecchio Nuovo Williams (2013)P [d] 6.3385˘ 0.0009 6.3389˘ 0.0009 6.340˘ 0.004e 0.11˘ 0.02 0.0˘ 0.0 0.0˘ 0.0γ [km/s] 8.5˘ 0.3 km/s 8.3˘ 0.3 km/s 8.5˘ 1.1K1 [km/s] 22.1˘ 0.5 21.9˘ 0.5 22.2˘ 1.5
Grafici di rvfitCon l’opzione /physics, rvfit ha generato anchedue grafici con l’andamento delle velocità infunzione della fase:
HDE308813-1.conf HDE308813-2.conf