Maurizio Tomasi -...

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Lezione di astronomia Maurizio Tomasi Dipartimento di Fisica Università degli studi di Milano 9 Novembre 2017

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Lezione di astronomia

Maurizio [email protected]

Dipartimento di FisicaUniversità degli studi di Milano

9 Novembre 2017

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Parte I

Teoria dei sistemi binari

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Sistemi binari

I sistemi binari sono fondamentali per permetterela determinazione della massa delle stelle.

Sono gli unici casi in cui sia possibile determinarela massa di una stella (a parte casi particolari).

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Osservazione di sistemi binari

i

Per binarie ad eclisse, i « 90˝.

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Osservazione di sistemi binari

https://www.youtube.com/watch?v=6MyBy-jObrY

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Osservazione di sistemi binari

CMr1

r2

R

Nel sistema del c.d.m. vale che#

M1v1 “ M2v2,2πr1v1

“2πr2v2“ P,

da cuir1

r2“

v1

v2“

M2

M1.

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Osservazione di sistemi binari

CMr1

r2

R

Dalle leggi di Newton ricaviamo che#

GM1M2R2 “ M1

v21

r1,

GM1M2R2 “ M2

v22

r2,

da cui M1`M2 “P

2πG

`

v1`v2˘3.

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Osservazione di sistemi binari

Le equazioni

r1

r2“

v1

v2“

M2

M1,

M1 `M2 “P

2πG

`

v1 ` v2˘3

descrivono la dinamica di un sistema binario conorbite circolari.

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Osservazione di sistemi binariDalla Terra possiamo misurare facilmente questequantità:

§ vr1 ” v1 sin i , vr2 ” v2 sin i ;§ Il periodo dell’orbita P.

Determinare r1 ed r2 è estremamente difficile.

In termini di vr1 e vr2, la seconda equazionediventa

M1 `M2 “P

2πG

`

vr1 ` vr2˘3

sin3 i

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Metodi numericiNei casi reali si usano metodi numerici, in mododa tenere conto di altri effetti:

1. Ellitticità delle orbite;2. Deformazione della stella causata dalla

rotazione (importante nelle eclissi);3. Limb darkening (minore luminosità al bordo);4. Gravity darkening (minore temperatura

all’Equatore a causa del rigonfiamentorotazionale);

5. Mutua interazione gravitazionale tra le duestelle (forze mareali);

6. Etc.

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Metodi numerici

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Parte II

Il sistema CV Velorum

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Il sistema binario CV Velorum

È un sistema binario spettroscopico per il qualesono visibili anche eclissi. (Costellazione dellaVela, nel cielo australe).

È un sistema molto interessante, studiato in piùlavori. Quelli a cui facciamo riferimento noi sono:

§ Andersen (A&A 44, 1975, pagg. 355-362);§ Clausen & Grønbeck (A&A 58, 1977, pagg.

131–137);§ Yakut et al. (A&A 467, 2007, pagg. 647–655).

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Periodo dell’orbita

Il periodo è stato determinato da Andersen (1975)e Clausen & Grønbeck (1977). Noi facciamoriferimento a quest’ultimo.

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Filtri e stelle calibratrici

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Tabella delle magnitudini

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EsercizioCosa si può dedurre sul sistema binario CVVelorum dal grafico precedente a proposito delledue stelle che lo compongono e della loroorientazione nello spazio?

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Caratteristiche di CV Vel

§ Le due stelle hanno luminosità e raggiosimile. . .

§ . . . quindi probabilmente il centro delle orbitecoincide col centro di massa. . .

§ quindi le due stelle hanno velocità orbitaliuguali in modulo.

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Periodo orbitale di CV Velorum

Clausen & Grønbeck lo quantificano nel numero

P “ 6.889 494 d.

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Spettroscopia di CV Velorum

Nel 2007 Yakut et al. hanno pubblicato un lavoro incui si fa un’analisi spettroscopica di CV Velorum.

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Velocità radiale

EsercizioDal grafico di Fig. 1 determinare la velocità radialemassima vr dalla riga di SiIII e di HeI, assumendoche i due grafici mostrino i due estremi delleoscillazioni Doppler delle righe.

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Effetto DopplerQuando la velocità radiale è massima (˘vr ), lelunghezze d’onda sono:

λ1 “c ` v0 ` vr

cλ0,

λ2 “c ` v0 ´ vr

cλ0,

da cui

v0 “

˜⟨λ1{2

⟩λ0

´ 1

¸

c, vr “ c∆λ

2λ0.

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Velocità radialePer SiIII:

v0 “

˜

4553.0 A

4552.6 A

¸

c « 26.3 km s´1,

vr “ c4555.0 A´ 4551.0 A

2ˆ 4552.6 A« 132 km s´1.

Per HeI:

v0 “

˜

6678.75 A

6678.1 A

¸

c « 29.2 km s´1,

vr “ c6681.5 A´ 6676.0 A

2ˆ 6678.1 A« 123 km s´1.

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Velocità radiale

Il valor medio di vr è

〈vr〉 “ 128 km s´1

(Yakut et al. citano v1 “ 126 km s´1 ev2 “ 128 km s´1).

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Velocità stimate da Yakut et al.

(Perché i dati sono “raggrumati” in gruppi?)

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Determinazione delle masseSe v1 “ v2 “ vr e i “ 90˝, allora

M1 `M2 “P

2πG

`

2vr˘3

e la massa totale è

M1 `M2 “6.89 d p2 ¨ 128 km{sq3

2π ¨ 6.67ˆ 10´11 Nm2

{kg2

“5.95ˆ 105

s ¨ 1.7ˆ 1013 m3

{s3

2π ¨ 6.67ˆ 10´11 m3

{kg s2

“ 11.2 Md.

Se le due stelle sono simili, assumiamo che

M1 « M2 « 5.6 Md.

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Parametri orbitali (Yakut et al.)

(Notare le discrepanze in V0, non ancoraspiegate).

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Studio delle righe

(Quale stella ruota più velocemente?)

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Classe spettrale

Sono stelle di tipo B (T « 18 000 K).

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Il database SIMBAD

http://simbad.u-strasbg.fr/simbad/

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Il database SIMBAD

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Il database SIMBAD

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Il database SIMBAD

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Yakut et al. (2014)

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Parte III

Come vanno di solito lecose

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Williams et al. (ApJ, 2013)

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HDE 229232

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HDE 308813

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The Astrophysics Source Code Library

http://ascl.net/

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The Astrophysics Source Code Library

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rvfit

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rvfit

Il programma rvfit sembra fare esattamente alcaso nostro:

§ Accetta in input le velocità radiali;§ Produce come output i parametri orbitali del

sistema;§ Non richiede di specificare le velocità radiali di

entrambe le stelle.

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rvfit

Il programma è scritto usando IDL, che è unlinguaggio di analisi dati molto usato in astronomia(insieme a Python).

IDL è un programma a pagamento; sui computerdel centro di calcolo è disponibile. Noi useremo unclone open-source, GNU Data Language.

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GNU Data Language

http://gnudatalanguage.sourceforge.net/

Sotto Ubuntu si può installare con“sudo apt-get install gnudatalanguage plplot12-driver-xwin”.

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rvfit

Il sito da cui scaricare il codice di rvfit(http://www.cefca.es/people/~riglesias/rvfit.html) diceche occorre installare nella stessa directory altripacchetti:

1. The IDL Astronomy User’s Library(http://idlastro.gsfc.nasa.gov/; scaricate il fileastron.tar.gz);

2. The Coyote IDL Library (http://idlcoyote.com/);3. Il file pxperfect.pro

(http://www.physics.wisc.edu/ craigm/idl/down/pxperfect.pro).

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Usare rvfit

Nell’archivio di rvfit è disponibile un file PDF chespiega come usarlo. Occorre preparare due file didati:

1. Un file di testo che contiene il tempo diosservazione, la velocità radiale e l’erroresulla velocità dell’oggetto osservato;

2. Un file di configurazione, che specifica comevada condotta l’analisi.

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Usare rvfit

Williams non ha messo a disposizione i dati informato elettronico. Dobbiamo quindi trascrivere amano la tabella 1 dell’articolo:

File HDE308813.dat:

2714.805 -0.6 1.7

2715.708 20.6 1.7

2715.840 31.2 1.8

...

(omettiamo la costante2.450.000 nei tempi).

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Usare rvfit

Il file di parametri che usiamo ha questa forma:

rvfile1 = HDE308813.dat

rvfile2 =

fitparam = [1, 1, 1, 1, 1, 1, 0]

valparam = [ 0.0, 0.0, 0.0d, 0.0d, 0.0, 0.0, 0.0]

L = [ 1.0, 2700, 0.0, 0., -10.0, -10.0, -10.0]

U = [20.0, 3200, 1.0, 360., 50.0, 50.0, 50.0]

rvfile2 serve se si hanno misure della secondastella, ma non è il nostro caso, quindi lo lasciamovuoto. I quattro vettori di numeri specificano iparametri da fittare.

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Usare rvfit

rvfile1 = HDE308813.dat

rvfile2 =

fitparam = [1, 1, 1, 1, 1, 1, 0]

valparam = [ 0.0, 0.0, 0.0d, 0.0d, 0.0, 0.0, 0.0]

L = [ 1.0, 2700, 0.0, 0., -10.0, -10.0, -10.0]

U = [20.0, 3200, 1.0, 360., 50.0, 50.0, 50.0]

Il primo vettore fitparam dice se un parametrodeve essere calcolato oppure supposto noto. (Sela binaria è a eclisse, è meglio supporre noto ilperiodo, perché è facile calcolarlo con precisione).Nel caso in cui sia noto, va specificato invalparam.

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Usare rvfit

rvfile1 = HDE308813.dat

rvfile2 =

fitparam = [1, 1, 1, 1, 1, 1, 0]

valparam = [ 0.0, 0.0, 0.0d, 0.0d, 0.0, 0.0, 0.0]

L = [ 1.0, 2700, 0.0, 0., -10.0, -10.0, -10.0]

U = [20.0, 3200, 1.0, 360., 50.0, 50.0, 50.0]

Il terzo e quarto vettore, L e U, specificanol’intervallo entro cui si possono far variare iparametri.

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Usare rvfit

I sette parametri sono, nell’ordine:1. Periodo orbitale P, in giorni;2. Tempo TP del periastro (massimo

avvicinamento tra le due stelle), in tempoGiuliano eliocentrico (HJD);

3. Eccentricità orbitale e (0: orbite circolari);4. Inclinazione del periastro ω, in gradi;5. Velocità del centro di massa γ, in km/s;6. Ampiezza della velocità radiale K1;7. Ampiezza della velocità radiale K2 (non usato

nel nostro caso).

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Stima dei parametriSiccome nel file dei parametri dobbiamo fissare gliintervalli di ogni parametro, è meglio dareun’occhiata ai dati. Usiamo come al solito Pythone Matplotlib:

import matplotlib.pylab as plt

import pandas

import numpy as np

data = pandas.read_csv('HDE308813.dat',

header=None, sep=' ',

names=('JD', 'v', 'sigma'))

plt.scatter(data['JD'], data['v'])

plt.xlabel('Date')

plt.ylabel('Radial velocity [km/s]')

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Dati di Williams (2013)

2600 2700 2800 2900 3000 3100 3200Date

30

20

10

0

10

20

30

40

Radia

l velo

city

[km

/s]

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Dati di Williams (2013)

3015 3020 3025 3030 3035Date

30

20

10

0

10

20

30

40

Radia

l velo

city

[km

/s]

Quindi possiamo provare a porre P « 7 d,2600 ď TP ď 3200, ´10 km/s ď γ,K1 ď 50 km/s.

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Uso di rvfit con i dati di HDE308813

Poniamo anche 0 ď e ď 1, e 0 ď ω ď 360˝. Il filedi parametri che useremo è quindi il seguente:

rvfile1 = HDE308813.dat

rvfile2 =

fitparam = [1, 1, 1, 1, 1, 1, 0]

valparam = [ 0.0, 0.0, 0.0d, 0.0d, 0.0, 0.0, 0.0]

L = [ 1.0, 2700, 0.0, 0., -10.0, -10.0, -10.0]

U = [20.0, 3200, 1.0, 360., 50.0, 50.0, 50.0]

Salviamolo con nome HDE308813-1.conf.

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Esecuzione di rvfitAvviamo rvfit usando GDL (o IDL):

GDL> rvfit, configfile='HDE308813-1.conf', outfile='HDE308813-1.out', /physics

Dopo qualche secondo, il programma produrrà ilrisultato seguente:

P 6.3385˘ 0.0009 dTP 2706.2˘ 0.3 HJDe 0.11˘ 0.02ω 124˘ 15˝

γ 8.5˘ 0.3 km/sK1 22.1˘ 0.5 km/s

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Parametri di Williams (2013)

Attenzione: per Williams, T0 non è il tempo delperiastro ma della massima velocità radiale(To ­“ TP).

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rvfit

Se però leggiamo meglio Williams, notiamo che hafatto un’assunzione importante:

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Miglioramento del fit

Se le orbite sono circolari, dobbiamo cambiare ilfile dei parametri così:

rvfile1 = HDE308813.dat

rvfile2 =

fitparam = [1, 1, 0, 1, 1, 1, 0]

valparam = [ 0.0, 0.0, 0.0d, 0.0d, 0.0, 0.0, 0.0]

L = [ 1.0, 2700, 0.0, 0., -10.0, -10.0, -10.0]

U = [20.0, 3200, 1.0, 360., 50.0, 50.0, 50.0]

Inoltre, i parametri TP e ω perdono significato.

Salviamo questa nuova versione con nomeHDE308813-2.conf.

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Esecuzione di rvfit

Avviamo rvfit usando GDL (o IDL):GDL> rvfit, configfile='HDE308813-2.conf', outfile='HDE308813-2.out', /physics

Confrontiamo i nuovi risultati con i vecchi:

Vecchio Nuovo Williams (2013)P [d] 6.3385˘ 0.0009 6.3389˘ 0.0009 6.340˘ 0.004e 0.11˘ 0.02 0.0˘ 0.0 0.0˘ 0.0γ [km/s] 8.5˘ 0.3 km/s 8.3˘ 0.3 km/s 8.5˘ 1.1K1 [km/s] 22.1˘ 0.5 21.9˘ 0.5 22.2˘ 1.5

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Grafici di rvfitCon l’opzione /physics, rvfit ha generato anchedue grafici con l’andamento delle velocità infunzione della fase:

HDE308813-1.conf HDE308813-2.conf