Marina Cobal - Dipt.di Fisica - Universita' di Udine

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Il calcolo vettoriale

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I vettori: definizione Attenzione a definizioni superficiali

Del tipo: “Definito da modulo, direzione, verso” Sono valide “a senso”, e solo in coordinate

cartesiane! Dimenticatela se l’avete sentita a scuola!

In realtà si definisce il vettore come un

Ente astratto che si trasforma come le coordinate di un

punto

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I vettori: definizione In una relazione vettoriale tutti i termini

si trasformano in modo identico. Quindi

le relazioni vettoriali sono invarianti per trasformazioni

di coordinate Quindi una relazione valida in un sistema

di coordinate, vale, nella stessa forma, in ogni sistema di coordinate!

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I vettori: definizione Si definisce come scalare un numero,

però

un numero che sia indipendente dal

sistema di coordinate Quindi una componente di un vettore NON

è uno scalare… questa dipende dal sistema di coordinate

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Vettori e componenti Quindi un vettore è definito

come un punto Coppia o terna ordinata di numeri reali

I numeri che lo definiscono si dicono le

componenti del vettore Attenzione: Nei sistemi polari o cilindrici

le componenti dei vettori possono essere sia misure sia di distanze, sia di angoli

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Vettori e componenti Ci riferiremo nel Corso sempre ad

un sistema cartesiano ortogonale Salvo un paio di casi

Nello spazio 3D un vettore è definito da tre componenti

Ecco alcune notazioni usate di solito , ,

x

x y z x y z y

z

v

v v v v v v v

v

v

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Vettori e componenti Nello spazio 2D un vettore è

definito da due componenti Ecco alcune notazioni usate di

solito

,x

x y x yy

vv v v v

v

v

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Vettori e componenti Le componenti di un vettore sono

interpretabili, ad esempio, come Le coordinate di un punto Le proiezioni di un segmento orientato

Da questo l’interpretazione geometrica o grafica (molto comoda, peraltro) della “freccetta”

Però fate attenzione: un vettore è l’insieme di TUTTE le freccette parallele nello spazio!

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Uno schizzo

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Prodotto vettore per scalare

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Vettorimoltiplicazione per uno scalare

Un vettore è definito tramite le sue componenti

Si dà significato al vettore nullo

Attenzione: i vettori vanno indicati in modo

diverso dagli scalari! Freccette, grassetto, corsivo...

x y zv v vv

0 0 0O

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Vettorimoltiplicazione per uno scalare

Si definisce la moltiplicazione di un vettore per uno scalare nel modo seguente

Si dà quindi significato all’opposto di un vettore

x y z x y zw w w v v v

w v

x y z x y zw w w v v v

w v

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Vettorimoltiplicazione per uno scalare

Se un vettore si ottiene da un altro moltiplicandolo per uno scalare, i due vettori si dicono

paralleli Il significato grafico spiega la

ragione di questo nome:

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Somma di vettori

Detta anche “composizione”

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Vettorila somma

Si definisce la somma di due vettori come

Le proprietà della somma dei vettori sono facili da dimostrare

Commutativa Associativa Distributiva (rispetto alla moltiplicazione per uno

scalare)

x y z x y z

x x y y z z

v v v w w w

v w v w v w

v w

v w

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Vettorila somma

Interpretazione geometrica: Vettore come segmento orientato Somma come costruzione testa-coda

Caso particolare: regola del parallelogramma Attenzione: questa è comoda solo nel caso di DUE

vettori Attenzione al nome somma: nome usato

per economia (e viste le operazioni sulle componenti) Il nome è alquanto improprio Spesso (e meglio) si usa “composizione”

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La combinazione lineare

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Vettorila combinazione lineare

È la combinazione di moltiplicazione per uno scalare e di somma

Molto utile!

x y z x y z

x x y y z z

v v v w w w

v w v w v w

v w

v w

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Vettorila combinazione lineare

Un caso particolare notevole: la differenza

Una combinazione lineare di due vettori fornisce sempre un vettore complanare al piano individuato dai primi due

1 1

x x y y z zv w v w v w v w

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Somma e differenza di vettori