La probabilità non esiste Riflessioni e percorsi sul tema Dati e previsioni

michele.impedovo@unibocconi.it www.matematica.it/impedovo

Mathesis Milano, 21/1/2015

La mia tesi, paradossale e un po' provocatoria, ma genuina, è che semplicemente LA PROBABILITÀ NON ESISTE

Bruno de Finetti, 1906-1985

La probabilità è facile

Su un tavolo ci sono 3 buste di cui 2 contengono un premio. Su un altro tavolo ci sono 10 buste di cui 5 contengono un premio. Da quale tavolo è meglio scegliere una busta?

1655 C. Huygens, De ratiociniis in ludo aleae

Il faticoso cammino

1713 Jacob Bernoulli, Ars conjectandi

1812 P. S. Laplace, Théorie Analitique des Probabilités

1933 A. Kolmogorov, Foundations of the theory of probability

Lo studente sarà in grado di rappresentare e analizzare in diversi modi (anche utilizzando strumenti informatici) un insieme di dati, scegliendo le rappresentazioni più idonee. Saprà distinguere tra caratteri qualitativi, quantitativi discreti e quantitativi continui, operare con distribuzioni di frequenze e rappresentarle. Saranno studiate le definizioni e le proprietà dei valori medi e delle misure di variabilità, nonché l’uso di strumenti di calcolo (calcolatrice, foglio di calcolo) per analizzare raccolte di dati e serie statistiche. Lo studio sarà svolto il più possibile in collegamento con le altre discipline anche in ambiti entro cui i dati siano raccolti direttamente dagli studenti. Lo studente sarà in grado di ricavare semplici inferenze dai diagrammi statistici*. Egli apprenderà la nozione di probabilità, con esempi tratti da contesti classici e con l’introduzione di nozioni di statistica.

Indicazioni nazionali I biennio*

Assiomi?

Lo studente, in ambiti via via piu complessi, il cui studio sarà sviluppato il più possibile in collegamento con le altre discipline e in cui i dati potranno essere raccolti direttamente dagli studenti, apprenderà a far uso delle distribuzioni doppie condizionate e marginali, dei concetti di deviazione standard, dipendenza, correlazione e regressione, e di campione. Studierà la probabilità condizionata e composta, la formula di Bayes e le sue applicazioni, nonché gli elementi di base del calcolo combinatorio.

Indicazioni nazionali II biennio

Regressione?

Lo studente apprenderà le caratteristiche di alcune distribuzioni discrete e continue di probabilità (come la distribuzione binomiale, la distribuzione normale, la distribuzione di Poisson*).

Indicazioni nazionali quinta*

Che cos'è la probabilità?

Impostazione insiemistica (Assiomi di

Kolmogorov)

Probabilità condizionata Indipendenza (Teorema di

Bayes)

Numeri aleatori Distribuzioni di

probabilità (Funzione di ripartizione)

Valore atteso Varianza Funzioni di

numeri aleatori Vettori aleatori

Covarianza

Combinatoria

Un percorso didattico (condiviso?)

1. Semantica e sintassi: significati e assiomi, numeri e insiemi

2. L'aggiornamento delle informazioni: la probabilità condizionata e l'indipendenza

3. La probabilità come certezza: i numeri aleatori e le distribuzioni di probabilità

1. Semantica e sintassi

Che cos'è la probabilità? Ci sono più cose in cielo e in terra, Orazio, di quante ne sogni la tua filosofia.

W. Shakespeare, Amleto

L'approccio classico (e non definizione): la probabilità dell'equiprobabile Pierre-Simon Laplace, 1749-1827

Genesi: giochi d'azzardo

Contesto: simmetria dei risultati ⇒ combinatoria

numero casi favorevoliprobabilità =numero casi possibili ?

Approccio classico Qual è la probabilità che la somma di due dadi sia 7?

Combinatoria

Critiche all'approccio classico È un circolo vizioso

Qual è la probabilità:

che un numero naturale sia pari?

di non causare incidenti nel 2015?

che CHF oggi scenda sotto la parità con €?

di essere vivo tra 5 anni?

che il Barcellona vinca la Champions League?

che il governo vari una nuova legge elettorale?

numero casi favorevoliprobabilità =numero casi possibili

L'approccio frequentista (statistico) Richard Von Mises, 1883-1953

Genesi: assicurazioni, scienze sociali, biologia, economia

Contesto: osservazioni empiriche, statistica

N

frequenzaprobabilità = limN→∞

Si ripete l'esperimento aleatorio N volte e si osserva con quale frequenza si verifica un certo evento.

CLASSICO ⊆ FREQUENTISTA

?

Approccio statistico (frequentista) Qual è la probabilità

• che un fumatore si ammali di patologie respiratorie?

• che una persona sia mancina?

• che mi rubino la moto entro l'anno?

• di andare in pensione?

CLASSICO ⊆ FREQUENTISTA

Approccio statistico Qual è la probabilità che la somma di due dadi sia 7?

L'irragionevole successo della

matematica

dadi.xlsx monete.xlsx

La legge empirica del caso Media dei primi n numeri casuali compresi tra 0 e 1.

L'irragionevole successo della

matematica

L'irragionevole successo della matematica

Metodo Montecarlo:

approssimazione di π

montecarlo.xlsx montecarlo.ggb

Le tavole di sopravvivenza

Ho 50 anni. Mi assicuro per incassare una certa somma a 60 anni.

89317probabilità 94%94781

= ≈

tavole sopravvivenza.xlsx

Critiche all'approccio frequentista N

Nprobabilità = lim

Nf

→∞

Chi stabilisce che l'esperimento si ripeta "nelle stesse condizioni" ?

Chi ha tempo di fare infiniti esperimenti? Perché mai la frequenza relativa dovrebbe convergere? Qual è la probabilità che il Barcellona vinca la Champions League? che il Galaxy S6 abbia successo? che si verifichi un attacco terrorista a Roma? che il titolo ENI oggi aumenti in Borsa?

La rivoluzione soggettivista Bruno de Finetti, 1906 -1985

Genesi: la probabilità si aggiorna con le informazioni (teorema di Bayes)

Contesto: qualunque

Quanto sei disposto a scommettere sul verificarsi dell'evento?

CLASSICO ⊆ FREQUENTISTA ⊆ SOGGETTIVISTA

probabilità = grado di fiducia (soggettivo)

La mia stima di probabilità su un evento E è p se sono indifferente tra le seguenti posizioni: SCOMMETTITORE: punto p per ricevere 1 se E si verifica 0 se E non si verifica BANCO: accetto una scommessa di importo p per

impegnarmi a pagare 1 se E si verifica 0 se E non si verifica.

( )Pr E considero equivalenti le due posizioni

E E E E: :1 1

p

scommettitore bancop p p p

= ⇔

− − −

La probabilità soggettiva

La probabilità non è una proprietà dell'evento La probabilità è una proprietà dell'osservatore Dipende dallo stato delle informazioni Si aggiorna al variare delle informazioni Caratterizza la probabilità in senso dinamico Non è necessaria l'equiprobabilità Non è necessario ripetere l'esperimento Si adatta perfettamente alle valutazioni in

campo economico e sociale Comprende gli altri due approcci e allarga la

possibilità di assegnare una probabilità a qualsiasi evento: si può scommettere su tutto!

Una rivoluzione copernicana

Ma allora ... che cos'è la probabilità?

Qual è la probabilità che una puntina da disegno cada con la punta in su?

Le monete

Lancio una moneta 10 volte e esce 10 volte TESTA. Qual è la probabilità che esca TESTA anche all'11° lancio?

– meno del 50% – 50% – più del 50%

Eventi … già accaduti

Qual è la probabilità che Giuseppe Garibaldi sia nato nel mese di agosto?

Qual è la probabilità che tu prenda 30 e lode nell'esame di Matematica Applicata?

Eventi ... (im)possibili

Che cosa vuol dire che la probabilità di pioggia è minore del 10%, o che è 90%?

Meteo

Qual è la probabilità che un punto scelto a caso nel quadrato sia interno alla circonferenza?

Aree

Qual è la probabilità che un'equazione di 2° grado a coefficienti interi abbia radici razionali?

Equazioni di 2° grado

soluzioni razionali.xlsx

Scommesse

Qual è la probabilità che il Barcellona vinca la prossima partita di Champions League?

21 X 2

1 0.36V

p p p−

+

Quote e probabilità

1 X 2

1 2

8 4.4 1.36? ? ?X

q q qp p p

= = == = =

Quale relazione tra quote e probabilità? X

1 2 X

1 3.4V

p p p−

+

1X 2 1

1 7V

p p p−

+

Le scommesse non sono eque

1 X 28 4.4 1.36C C Cp p p= = =

1 X 28 4.4 1.36q q q= = =

1 0.928 4.4 1.36C C C C+ + = ≈

1 X 211% 21% 68%p p p= = =

1 1 2 2X Xp q p q p q C= = =

Quale relazione tra quote e probabilità?

Ma allora che cos'è la probabilità?

La probabilità non esiste! ... o meglio ... La probabilità è una misura normalizzata di un insieme.

Assiomi di Kolmogorov (1903-1987)

Per costruire uno spazio di probabilità servono 3 oggetti: 1. Un insieme Ω 2. Un'algebra su Ω 3. Una funzione p: → tale che

a) POS: p(A)≥0 per ogni A∈ b) NORM: p(Ω)=1 c) ADD: A∩B=∅ ⇒ p(A∪B)=p(A)+p(B)

Assiomi di Kolmogorov I primi teoremi 1. p(non A) = 1 – p(A) 2. p(∅) = 0 3. p(A∪B) = p(A) + p(B) – p(A∩B) È vero il viceversa? Cioè: p(A) = 0 ⇒ A = ∅? 4. p(A∪B∪C) = p(A)+p(B)+p(C)-p(A∩B)-

p(B∩C)-p(A∩C)+p(A∩B∩C)

Pr(A∪B) e Pr(A∩B)

Pr(A) = 1/3 Pr(B) = 1/2

Pr(A∪B) = ?

Pr(A∩B) = ?

p(A∪B) e p(A∩B) Pr(A) = 1/3 Pr(B) = 1/2

1/2 ≤ Pr(A∪B) ≤ 5/6 0 ≤ Pr(A∩B) ≤ 1/3

Esempio di costruzione di uno

spazio di probabilità

Esperimento aleatorio: Estrazione di un numero naturale

Insieme dei risultati: N = 1, 2, 3, …

Algebra generata dagli eventi: M2=2,4,6,…, M3=3,6,9,…, …

p(Mk) = 1/k

Probabilità che il numero non sia multiplo di 2, né di 3, né di 5?

FINE blocco 1