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7/31/2019 INFORME N02 FISICA I
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UUNNIIVVEERRSSIIDDAADDNNAACCIIOONNAALLMMAAYYOORR DDEE SSAANN
MMAARRCCOOSS
UUnniivveerrssiiddaadd ddeell PPeerr,, DDEECCAANNAA ddee AAmmrriiccaa
FACULTAD DE CIENCIAS FISICAS
EXPERIENCIA N02
PROFESOR : QUIONES AVENDAO, Victor
ALUMNO : CLAUDIO ZAVALETA, Junior12200187
CICLO :2012-II
Ciudad Universitaria, Mayo de 2010
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EXPERIENCIA N02
Tabla de Contenido
I. OBJETIVO ....................................................................................................................................... 3
II. FUNDAMENTO TEORICO ................................................................................................................ 4
III. MATERIALES .................................................................................................................................. 8
IV. PROCEDIMIENTO ........................................................................................................................... 8
V. APLICACIONES ............................................................................................................................... 9
VI. CONCLUSIONES ............................................................................................................................ 23
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I. OBJETIVO
Aprender a organizar y graficar los datos experimentales haciendo uso de tablas ypapeles grficos tales como el papel milimetrado, logartmico y semilogaritmico.
Aprender tcnicas de ajuste de curvas, principalmente el mtodo de regresin lineal yel mtodo de mnimos cuadrados.
Obtener ecuaciones experimentales que describan el fenmeno fsico e interpretarlas.
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II. FUNDAMENTO TEORICO
Los datos tericos en un proceso de medicin se organizan en tablas. Las tablas de
valores as confeccionadas nos informan acerca de las relaciones existentes entre una
magnitud y otra. Una alternativa para establecer dichas relaciones es hacer representaciones
graficas de ejes coordenados con divisiones milimetradas, logartmicas o semilogaritmicas,segn sea el caso, con el fin de encontrar graficas lineales (rectas) para facilitar la construccin
de las formulas experimentales que representan las leyes que gobiernan el fenmeno.
USO DEL PAPEL MILIMETRADO
Empezaremos graficando los valores de la tabla de datos en el papel milimetrado:
Siempre tenga cuidado de escribir los valores de la variable independiente en el eje de las
abscisas y las variables dependientes en el eje de ordenadas.
La distribucin de puntos as obtenida se unen mediante una curva suave y continua, usandouna regla curso o trazo a mano alzada.
Las representaciones graficas que aparecen con mas frecuencia son:
Veamos el primer caso, si la distribucin de puntos en
el papel milimetrado es de tendencia lineal, entonces se realiza el ajuste de la recta mediante
el mtodo de regresin lineal por mnimos cuadrados. Esto significa que la relacin que se
busca tiene la forma de una recta cuya ecuacin es:
En donde las constantes a determinar son: m la pendiente de la recta y b la ordenada en el
origen (intercepto), siguiendo el procedimiento que se detalla a continuacin.
Primero se construye una tabla de la forma:
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Tabla 1
xi yi xiyi xi2
x1 y1 x1y1 x12
x2 y2 x2y2 x22
.
.
.
xp
.
.
.
yp
.
.
.
xpyp
.
.
.
xp2
Luego se calculan la pendiente y el intercepto
En el segundo caso, cuando la distribucin de puntos en el papel milimetrado no es de
tendencia lineal; se pasan los datos de la tabla a un papel logartmico o semilogaritmico, en
alguno de estos papeles la distribucin de los puntos saldr una recta.
USO DEL PAPEL LOGARITMICO
Las relaciones de la forma
, son funciones potenciales y sus grficos en el
papel logartmico son rectas de pendientes m = n, que cortan el eje vertical en . Serecomienda preferentemente usar papel logartmico 3x3; en donde cada ciclo esta asociado a
una potencias de base 10. El origen de un eje coordenado logartmico puede empezar con
..., ,... etc.
Al tomar logaritmo decimal de la ecuacin obtenemos quetiene la forma lineal , en donde . Concluimosentonces, que el mtodo de regresin lineal puede ser aplicado a una distribucin potencial
de puntos, para ello se toma logaritmo decimal a cada uno de los datos de la tabla. Construya
la siguiente tabla cuidando de colocar los valores con un mnimo de cuatro decimales de
redondeo en cada columna.
Tabla 2
xi yi x1 y1 x2 y2 .
.
.
xp
.
.
.
yp
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
()
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Para determinar la ecuacin de la recta en el papel logartmico,
USO DEL PAPEL SEMILOGARITMICO
Para relaciones exponenciales de la forma ... se utiliza papel semilogaritmico, Por qu?
Construya adecuadamente su tabla para aplicar el mtodo de regresin lineal.
EXTENSION DEL METODO DE REGRESION LINEAL
El estudio de este mtodo relativamente sencillo y tiene doble inters: de un lado este tipo de
dependencia es frecuente entre magnitudes fsicas; por otro lado, muchas otras dependencias
mas complicadas pueden reducirse a la forma lineal mediante un cambio adecuado de
variables, algunos casos se muestra en la siguiente tabla:
Funcin inicial Cambio Forma lineal
USO DEL COMPUTADOR
Se pueden construir programas en C, Fortran, Pascal o Basic para hacer los ajustes que se
requieran. Tambin se puede usar programas como Gnuplot, Microcal Origin, entre otros. Pero
el mas accesible es el EXCEL que nos permite hacer graficas y presentar las curvas de regresin
con sus respectivas formulas de correspondencia y coeficiente de correlacin.
CORRELACION
Indica el grado de asociacin entre dos variables, la influencia que pueda tener una sobre la
otra.
Cuando dos variables estn correlacionadas (altamente correlacionadas), una variable puede
dar informacin sobre la otra.
Si la informacin de una variable da informacin exacta sobre la otra, decimos que hay una
Relacin o dependencia funcional.
Un ejemplo de lo anterior es la relacin que existe entre el tiempo de usar el telfono y el
costo.
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Hablamos de Correlacin directa, cuando al aumentar x, aumenta y. Hablamos de Correlacin
inversa, cuando al aumentar x, disminuye y. Hablamos de Correlacin Nula, cuando no hay
relacin entre x e y.
Ojo que la correlacin se puede detectar, cualitativamente en un grfico, en una nube de
puntos que relacionen las dos variables. Veamos algunos ejemplos:
Correlacin o Dependencia Estadstica entre dos variables (x,y):
La Correlacin Lineal se mide utilizando el coeficiente de correlacin lineal de Pearson (r):
r cercano a 1, indica Correlacin Lineal
Positiva.
r cercano a -1, indica Correlacin Lineal
Negativa.
r cercano a 0, indica Correlacin Lineal
Nula.
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III. MATERIALES
Hojas de papel milimetrado Hojas de papel logartmico Hojas de papel semilogaritmico
IV. PROCEDIMIENTO
Se analizaron tres experimentos:
La conduccin de corriente por un hilo conductor de nicron
La evaluacin de agua de un deposito
La actividad reactiva del radnEn la Tabla 1 se tiene las medidas de intensidad de corriente elctrica conducida por un hilo
conductor de nicron y la diferencia de potencial aplicada entre sus extremos.
i(A) V(V)
0.5 2.18
1.0 4.36
2.0 8.72
4.0 17.44Tabla 1
La Tabla 2 muestra las medidas del tiempo vaciado ( ) de un deposito con agua y las medidas
de las alturas del nivel de agua ( ) para cuatro llaves de salida de diferentes dimetros ( ).
h (cm) 30 20 10 4 1
D (cm) Tiempo de vaciado t(s)
1.5 73.0 59.9 43.0 26.7 13.5
2.0 41.2 33.7 23.7 15.0 7.8
3.0 18.4 14.9 10.5 6.8 3.7
5.0 6.8 5.3 3.9 2.6 1.57.0 3.2 2.7 2.0 1.3 0.8Tabla 2
La Tabla 3 muestra los porcentajes de las medidas de la actividad radiactiva del radn. El da
cero se detecto una desintegracin de ncleos.
t (das) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
A (%) 100 84 70 59 49 41 34 27 24 20 17Tabla 3
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V. APLICACIONES
1. Grafique las siguientes distribuciones:
De la Tabla 1:
a) Grafique en una hoja de papel milimetrado Vvs i.De la Tabla 2:
b) En una hoja de papel milimetrado grafique tvs D. para cada una de las alturas.c) En una hoja de papel milimetrado grafique tvs h. para cada dimetro.d) En una hoja de papel logartmico grafique tvs D para cada una de las alturas.e) En una hoja de papel logartmico grafique tvs h. para cada dimetro.f) Haga el siguiente cambio de variables y grafique en papel
milimetrado.
De la Tabla 3:
g) En una hoja de papel milimetrado grafique A vs T.h) En una hoja de papel semilogaritmico A vs T.
2. Hallas las formulas experimentales:
a) Obtenga las formulas experimentales usando el mtodo de regresin lineal para lasgraficas obtenidas en los casos a,d,e,f.
==================A===================
Sea
. En este caso como en el papel milimetrico nos resulto una recta entonces
la formula seria:
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==================D=================
H=30
H=20
H=10
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H=4
H=1
Se sabe que:
Dado que la formula tiene la forma porque resulta una curva en el papel milimetradoy una recta en el papel logartmico.
De n se toma un numero que oscile entre los mencionados para los distintos valores de H.Dado por conveniente tomar -2. Se sabe que La formula queda asi:
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==================E=================
D=1.5
D=2
D=3
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D=5
D=7
Se sabe que dado que la formula tiene la forma porque resulta una curva en el papel milimetrado y una recta en el papel logartmico.
De n se toma un numero que oscile entre los mencionados para los distintos valores de H.Dado por conveniente tomar 1/2. Se sabe que La formula queda asi:
De las relaciones anteriores se deduce:
Dado que en la primera formula de la variacin de la altura influye en el resultado de dicha
formula y de igual forma en la segunda formula donde el dimetro influye de igual manera en
el resultado de esa formula.
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Tomando valores convenientes para D, h y t de los datos que ya se tiene tales que sea fcil
hallar el valor de .
h=1
D=2
t=7.8
Para confirmar el valor de se realiza otra prueba.
h=4
D=3
t=6.8
h=30
D=7
t=3.2
Por conveniencia se toma dado que oscila entre las tres cantidades con las cuales se ha
realizado la ecuacin.
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==================F===================
b) Haciendo uso de MS EXCEL grafique y presente formulas experimentales y el factor decorrelacin para todas las graficas obtenidas en los casos desde el a) hasta el h).
t vs h
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
0 5 10 15 20 25 30 35
t
h
D=1.5
D=2.0
D=3.0
D=5.0
D=7.0
Linear (D=1.5)
Linear (D=2.0)
Linear (D=3.0)
Linear (D=5.0)
Linear (D=7.0)
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D h t
1.5 30 73
20 59.9
10 43
4 26.7
1 13.5
Factor de Correlacion 0.9797822
t vs D
-20
-10
0
10
20
30
40
50
60
70
80
0 2 4 6 8
t
D
h=30
h=20
h=10
h=4
h=1
Linear (h=30)
Linear (h=20)
Linear (h=10)
Linear (h=4)
Linear (h=1)
D h t
2 30 41.2
20 33.7
10 23.7
4 15
1 7.8
Factor de Correlacion 0.98309727
D h t
3 30 18.4
20 14.9
10 10.5
4 6.8
1 3.7Factor de Correlacion 0.98575819
D h t
5 30 6.8
20 5.3
10 3.9
4 2.6
1 1.5Factor de Correlacion 0.98852263
D h t
7 30 3.2
20 2.7
10 2
4 1.3
1 0.8
Factor de Correlacion 0.97896275
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D h t
1.5 30 73
2 41.2
3 18.4
5 6.8
7 3.2
Factor de Correlacion -0.84846364
D h t
1.5 10 43
2 23.7
3 10.5
5 3.9
7 2
Factor de Correlacion -0.84093954
D h t
1.5 1 13.5
2 7.8
3 3.7
5 1.5
7 0.8
Factor de Correlacion -0.85393961
A vs t
0
20
40
60
80
100
120
0 2 4 6 8 10 12
A
(%)
Dias
A
Linear (A)
D h t
1.5 20 59.9
2 33.7
3 14.9
5 5.3
7 2.7
Factor de Correlacion -0.84603088
D h t
1.5 4 26.7
2 15
3 6.8
5 2.6
7 1.3
Factor de Correlacion -0.84685206
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t A
0 100
1 84
2 70
3 59
4 49
5 41
6 34
7 27
8 24
9 20
10 17
Coeficiente de Correlacion -0.970425157
c) Compare sus resultados. Cul(es) de los mtodos de regresin le parece confiable?El mtodo de regresin de lineal por mltiplos cuadrados dado que cuenta con un calculo
mas complejo que favorece una mayor precisin aunque no al 100% pero nos da brinda un
mejor resultado matemtico.
3. Interpolacin y extrapolacin
Considerando sus grficos (en donde se han obtenido rectas):
a) Calcular el tiempo en que se ha desintegrado el 50% de los ncleos de radn, segn latabla 3.
Ampliando la imagen en la recta cuando A=50... .
b) Halle los tiempo de vaciado del agua si:CASOS
ALTURA h
(cm)
DIAMETRO d
(cm)
TIEMPO t
(s)
01 20 4.0
02 40 1.003 25 3.5
04 49 1.0
c) Compare sus resultado en la parte a) y b) con los obtenidos con las formulasexperimentales.
A)EXPERIMENTAL
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Tomando logaritmo a ambos lados
Para reforzar esta solucion se usara otro valor.
Entonces se reemplaza A=50.
Logaritmo de 10...
A) GRAFICO
Ampliando la imagen en la recta cuando A=50... .
B) EXPERIMENTAL
Los valores son:
8.36
189.6
12.24
210
B) GRAFICO
Los valores son:
8.5
191.3
11.76
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Dado que de el Grafico solo es una lnea recta no hay una exactitud necesaria, por su parte el
Experimental contiene datos mas exactos por el hecho de ser ms matemtico.
4) Haga para las alturas y diametros correspondientes.t (s) 73.0 43.0 26.7 15.0 10.5 3.9 1.5
W
5) Grafique en papel milimetrado. Si la distribucin es lineal haga el ajuste respectivo. Luegoencuentre la ecuacin experimental correspondiente: t=t(h,d)
6) Para investigar:
Para obtener la formula de una distribucion de puntos en donde solo se relacionan dos
variable se utilizo la regresion simple.
Cuando se tiene tres o mas variables, se tendra que realizar la regresionmultiple.
Regresin Lineal Mltiple
Introduccin
Es evidente que lo ms econmico y rpido para modelar el comportamiento de una
variable Y es usar una sola variable preeditora y usar un modelo lineal. Pero algunas
veces es bastante obvio de que el comportamiento de Y es imposible que sea explicada
en gran medida por solo una variable.
Por ejemplo, es imposible tratar de explicar el rendimiento de un estudiante en un
examen, teniendo en cuenta solamente el nmero de horas que se prepar para ella.
Claramente, el promedio acadmico del estudiante, la carga acadmica que lleva, el
ao de estudios, son tres de las muchas otras variables que pueden explicar su
rendimiento. Tratar de explicar el comportamiento de Y con ms de una variable
preeditora usando una funcional lineal es el objetivo de regresin lineal mltiple.
Frecuentemente, uno no es muy familiar con las variables que estn en juego y basa
susconclusiones solamente en clculos obtenidos con los datos tomados.
Es decir, si ocurre que el coeficiente de determinacin R 2 sale bajo (digamos menor de
un 30%) , considerando adems que su valor no se ha visto afectado por datos
anormales, entonces el modelo es pobre y para mejorarlo hay tres alternativas que
frecuentemente se usan:
a) Transformar la variable preeditora, o la variable de respuesta Y, o ambas y usarluego un modelo lineal.
b) Usar regresin polinmica con una variable preeditora.
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c) Conseguir ms variables preeditoras y usar una regresin lineal mltiple.En el primer caso, se puede perder el tiempo tratando de encontrar la transformacin
ms adecuada y se podra caer en overfitting, es decir, encontrar un modelo
demasiado optimista, que satisface demasiado la tendencia de los datos tomados peroque es pobre para hacer predicciones debido a que tiene una varianza grande.
En el segundo caso el ajuste es ms rpido, pero es bien fcil caer en overfittingy,
adems se pueden crear muchos problemas de clculo ya que pueden surgir
problemas de colinealidad, es decir relacin lineal entre los trminos del modelo
polinomio.
El tercer caso es tal vez la alternativa ms usada y conveniente. Tiene bastante
analoga con el caso simple, pero requiere el uso de vectores y matrices.
En el siguiente ejemplo se mostrar el uso interactivo de las tres alternativas a travsde seis modelos de regresin y servir como un ejemplo de motivacin para
introducirnos en regresin lineal mltiple.
El modelo de regresin lineal mltiple
El modelo de regresin lineal mltiple con p variables predictoras y basado en n
observaciones tomadas es de la forma:
para i = 1,2,.n. Escribiendo el modelo para cada una de las observaciones, ste puedeser considerado como un sistema de ecuaciones lineales de la forma:
que puede ser escrita en forma matricial como:
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O sea,e X Y (2.2) donde Y es un vector columna n dimensional, X es una matriz n x
p', con p'=p+1, b es el vector de coeficientes de regresin a ser estimados, su
dimensin es p' y e es un vector columna aleatorio de dimensin n Por ahora, las
nicas suposiciones que se requieren son que E(e)=0 y que la matriz de varianza-
covarianzas de los errores est dada por Var(e)= 2 In, donde In es la matriz identidad
de orden n.
a) Encuentre la formulas , utilice la Tabla 2.Dicha formula ya se encontr en un ejercicio anterior aprovechando que los datos estaban
muy cercano.
b) Hallar tpara h = 15cmy D = 6cm
c) Hallar tpara h = 40cmy D = 1cm
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VI. CONCLUSIONES
Considero que fue una excelente experiencia para familiarizarnos con el uso delpapel milimetrado, logartmico y semilogaritmico dado que los usaremos en
experiencias posteriores.
El hecho de emplear el metodo de regresion lineal por multiplos cuadradosusando el lenguaje de Programacion C me sirvio como una pequea practica de
este lenguaje.
Esta experiencia tambin me hizo investigar ms sobre Excel y que segurousare en experiencia posteriores o en mis proyectos posteriores en cursoscomo Estadstica y Probabilidades aplicar.