INFORME Nº02 FISICA I

7/31/2019 INFORME N02 FISICA I

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UUNNIIVVEERRSSIIDDAADDNNAACCIIOONNAALLMMAAYYOORR DDEE SSAANN

MMAARRCCOOSS

UUnniivveerrssiiddaadd ddeell PPeerr,, DDEECCAANNAA ddee AAmmrriiccaa

FACULTAD DE CIENCIAS FISICAS

EXPERIENCIA N02

PROFESOR : QUIONES AVENDAO, Victor

ALUMNO : CLAUDIO ZAVALETA, Junior12200187

CICLO :2012-II

Ciudad Universitaria, Mayo de 2010


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EXPERIENCIA N02

Tabla de Contenido

I. OBJETIVO ....................................................................................................................................... 3

II. FUNDAMENTO TEORICO ................................................................................................................ 4

III. MATERIALES .................................................................................................................................. 8

IV. PROCEDIMIENTO ........................................................................................................................... 8

V. APLICACIONES ............................................................................................................................... 9

VI. CONCLUSIONES ............................................................................................................................ 23


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I. OBJETIVO

Aprender a organizar y graficar los datos experimentales haciendo uso de tablas ypapeles grficos tales como el papel milimetrado, logartmico y semilogaritmico.

Aprender tcnicas de ajuste de curvas, principalmente el mtodo de regresin lineal yel mtodo de mnimos cuadrados.

Obtener ecuaciones experimentales que describan el fenmeno fsico e interpretarlas.


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II. FUNDAMENTO TEORICO

Los datos tericos en un proceso de medicin se organizan en tablas. Las tablas de

valores as confeccionadas nos informan acerca de las relaciones existentes entre una

magnitud y otra. Una alternativa para establecer dichas relaciones es hacer representaciones

graficas de ejes coordenados con divisiones milimetradas, logartmicas o semilogaritmicas,segn sea el caso, con el fin de encontrar graficas lineales (rectas) para facilitar la construccin

de las formulas experimentales que representan las leyes que gobiernan el fenmeno.

USO DEL PAPEL MILIMETRADO

Empezaremos graficando los valores de la tabla de datos en el papel milimetrado:

Siempre tenga cuidado de escribir los valores de la variable independiente en el eje de las

abscisas y las variables dependientes en el eje de ordenadas.

La distribucin de puntos as obtenida se unen mediante una curva suave y continua, usandouna regla curso o trazo a mano alzada.

Las representaciones graficas que aparecen con mas frecuencia son:

Veamos el primer caso, si la distribucin de puntos en

el papel milimetrado es de tendencia lineal, entonces se realiza el ajuste de la recta mediante

el mtodo de regresin lineal por mnimos cuadrados. Esto significa que la relacin que se

busca tiene la forma de una recta cuya ecuacin es:

En donde las constantes a determinar son: m la pendiente de la recta y b la ordenada en el

origen (intercepto), siguiendo el procedimiento que se detalla a continuacin.

Primero se construye una tabla de la forma:


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Tabla 1

xi yi xiyi xi2

x1 y1 x1y1 x12

x2 y2 x2y2 x22

.

.

.

xp

.

.

.

yp

.

.

.

xpyp

.

.

.

xp2

Luego se calculan la pendiente y el intercepto

En el segundo caso, cuando la distribucin de puntos en el papel milimetrado no es de

tendencia lineal; se pasan los datos de la tabla a un papel logartmico o semilogaritmico, en

alguno de estos papeles la distribucin de los puntos saldr una recta.

USO DEL PAPEL LOGARITMICO

Las relaciones de la forma

, son funciones potenciales y sus grficos en el

papel logartmico son rectas de pendientes m = n, que cortan el eje vertical en . Serecomienda preferentemente usar papel logartmico 3x3; en donde cada ciclo esta asociado a

una potencias de base 10. El origen de un eje coordenado logartmico puede empezar con

..., ,... etc.

Al tomar logaritmo decimal de la ecuacin obtenemos quetiene la forma lineal , en donde . Concluimosentonces, que el mtodo de regresin lineal puede ser aplicado a una distribucin potencial

de puntos, para ello se toma logaritmo decimal a cada uno de los datos de la tabla. Construya

la siguiente tabla cuidando de colocar los valores con un mnimo de cuatro decimales de

redondeo en cada columna.

Tabla 2

xi yi x1 y1 x2 y2 .

.

.

xp

.

.

.

yp

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

.

()


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Para determinar la ecuacin de la recta en el papel logartmico,

USO DEL PAPEL SEMILOGARITMICO

Para relaciones exponenciales de la forma ... se utiliza papel semilogaritmico, Por qu?

Construya adecuadamente su tabla para aplicar el mtodo de regresin lineal.

EXTENSION DEL METODO DE REGRESION LINEAL

El estudio de este mtodo relativamente sencillo y tiene doble inters: de un lado este tipo de

dependencia es frecuente entre magnitudes fsicas; por otro lado, muchas otras dependencias

mas complicadas pueden reducirse a la forma lineal mediante un cambio adecuado de

variables, algunos casos se muestra en la siguiente tabla:

Funcin inicial Cambio Forma lineal

USO DEL COMPUTADOR

Se pueden construir programas en C, Fortran, Pascal o Basic para hacer los ajustes que se

requieran. Tambin se puede usar programas como Gnuplot, Microcal Origin, entre otros. Pero

el mas accesible es el EXCEL que nos permite hacer graficas y presentar las curvas de regresin

con sus respectivas formulas de correspondencia y coeficiente de correlacin.

CORRELACION

Indica el grado de asociacin entre dos variables, la influencia que pueda tener una sobre la

otra.

Cuando dos variables estn correlacionadas (altamente correlacionadas), una variable puede

dar informacin sobre la otra.

Si la informacin de una variable da informacin exacta sobre la otra, decimos que hay una

Relacin o dependencia funcional.

Un ejemplo de lo anterior es la relacin que existe entre el tiempo de usar el telfono y el

costo.


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Hablamos de Correlacin directa, cuando al aumentar x, aumenta y. Hablamos de Correlacin

inversa, cuando al aumentar x, disminuye y. Hablamos de Correlacin Nula, cuando no hay

relacin entre x e y.

Ojo que la correlacin se puede detectar, cualitativamente en un grfico, en una nube de

puntos que relacionen las dos variables. Veamos algunos ejemplos:

Correlacin o Dependencia Estadstica entre dos variables (x,y):

La Correlacin Lineal se mide utilizando el coeficiente de correlacin lineal de Pearson (r):

r cercano a 1, indica Correlacin Lineal

Positiva.

r cercano a -1, indica Correlacin Lineal

Negativa.

r cercano a 0, indica Correlacin Lineal

Nula.


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III. MATERIALES

Hojas de papel milimetrado Hojas de papel logartmico Hojas de papel semilogaritmico

IV. PROCEDIMIENTO

Se analizaron tres experimentos:

La conduccin de corriente por un hilo conductor de nicron

La evaluacin de agua de un deposito

La actividad reactiva del radnEn la Tabla 1 se tiene las medidas de intensidad de corriente elctrica conducida por un hilo

conductor de nicron y la diferencia de potencial aplicada entre sus extremos.

i(A) V(V)

0.5 2.18

1.0 4.36

2.0 8.72

4.0 17.44Tabla 1

La Tabla 2 muestra las medidas del tiempo vaciado ( ) de un deposito con agua y las medidas

de las alturas del nivel de agua ( ) para cuatro llaves de salida de diferentes dimetros ( ).

h (cm) 30 20 10 4 1

D (cm) Tiempo de vaciado t(s)

1.5 73.0 59.9 43.0 26.7 13.5

2.0 41.2 33.7 23.7 15.0 7.8

3.0 18.4 14.9 10.5 6.8 3.7

5.0 6.8 5.3 3.9 2.6 1.57.0 3.2 2.7 2.0 1.3 0.8Tabla 2

La Tabla 3 muestra los porcentajes de las medidas de la actividad radiactiva del radn. El da

cero se detecto una desintegracin de ncleos.

t (das) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

A (%) 100 84 70 59 49 41 34 27 24 20 17Tabla 3


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V. APLICACIONES

1. Grafique las siguientes distribuciones:

De la Tabla 1:

a) Grafique en una hoja de papel milimetrado Vvs i.De la Tabla 2:

b) En una hoja de papel milimetrado grafique tvs D. para cada una de las alturas.c) En una hoja de papel milimetrado grafique tvs h. para cada dimetro.d) En una hoja de papel logartmico grafique tvs D para cada una de las alturas.e) En una hoja de papel logartmico grafique tvs h. para cada dimetro.f) Haga el siguiente cambio de variables y grafique en papel

milimetrado.

De la Tabla 3:

g) En una hoja de papel milimetrado grafique A vs T.h) En una hoja de papel semilogaritmico A vs T.

2. Hallas las formulas experimentales:

a) Obtenga las formulas experimentales usando el mtodo de regresin lineal para lasgraficas obtenidas en los casos a,d,e,f.

==================A===================

Sea

. En este caso como en el papel milimetrico nos resulto una recta entonces

la formula seria:


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==================D=================

H=30

H=20

H=10


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H=4

H=1

Se sabe que:

Dado que la formula tiene la forma porque resulta una curva en el papel milimetradoy una recta en el papel logartmico.

De n se toma un numero que oscile entre los mencionados para los distintos valores de H.Dado por conveniente tomar -2. Se sabe que La formula queda asi:


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==================E=================

D=1.5

D=2

D=3


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D=5

D=7

Se sabe que dado que la formula tiene la forma porque resulta una curva en el papel milimetrado y una recta en el papel logartmico.

De n se toma un numero que oscile entre los mencionados para los distintos valores de H.Dado por conveniente tomar 1/2. Se sabe que La formula queda asi:

De las relaciones anteriores se deduce:

Dado que en la primera formula de la variacin de la altura influye en el resultado de dicha

formula y de igual forma en la segunda formula donde el dimetro influye de igual manera en

el resultado de esa formula.


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Tomando valores convenientes para D, h y t de los datos que ya se tiene tales que sea fcil

hallar el valor de .

h=1

D=2

t=7.8

Para confirmar el valor de se realiza otra prueba.

h=4

D=3

t=6.8

h=30

D=7

t=3.2

Por conveniencia se toma dado que oscila entre las tres cantidades con las cuales se ha

realizado la ecuacin.


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==================F===================

b) Haciendo uso de MS EXCEL grafique y presente formulas experimentales y el factor decorrelacin para todas las graficas obtenidas en los casos desde el a) hasta el h).

t vs h

0

10

20

30

40

50

60

70

80

90

0 5 10 15 20 25 30 35

t

h

D=1.5

D=2.0

D=3.0

D=5.0

D=7.0

Linear (D=1.5)

Linear (D=2.0)

Linear (D=3.0)

Linear (D=5.0)

Linear (D=7.0)


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D h t

1.5 30 73

20 59.9

10 43

4 26.7

1 13.5

Factor de Correlacion 0.9797822

t vs D

-20

-10

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 2 4 6 8

t

D

h=30

h=20

h=10

h=4

h=1

Linear (h=30)

Linear (h=20)

Linear (h=10)

Linear (h=4)

Linear (h=1)

D h t

2 30 41.2

20 33.7

10 23.7

4 15

1 7.8


D h t

3 30 18.4

20 14.9

10 10.5

4 6.8

1 3.7Factor de Correlacion 0.98575819

D h t

5 30 6.8

20 5.3

10 3.9

4 2.6

1 1.5Factor de Correlacion 0.98852263

D h t

7 30 3.2

20 2.7

10 2

4 1.3

1 0.8



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D h t

1.5 30 73

2 41.2

3 18.4

5 6.8

7 3.2

Factor de Correlacion -0.84846364

D h t

1.5 10 43

2 23.7

3 10.5

5 3.9

7 2


D h t

1.5 1 13.5

2 7.8

3 3.7

5 1.5

7 0.8


A vs t

0

20

40

60

80

100

120

0 2 4 6 8 10 12

A

(%)

Dias

A

Linear (A)

D h t

1.5 20 59.9

2 33.7

3 14.9

5 5.3

7 2.7


D h t

1.5 4 26.7

2 15

3 6.8

5 2.6

7 1.3



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t A

0 100

1 84

2 70

3 59

4 49

5 41

6 34

7 27

8 24

9 20

10 17

Coeficiente de Correlacion -0.970425157

c) Compare sus resultados. Cul(es) de los mtodos de regresin le parece confiable?El mtodo de regresin de lineal por mltiplos cuadrados dado que cuenta con un calculo

mas complejo que favorece una mayor precisin aunque no al 100% pero nos da brinda un

mejor resultado matemtico.

3. Interpolacin y extrapolacin

Considerando sus grficos (en donde se han obtenido rectas):

a) Calcular el tiempo en que se ha desintegrado el 50% de los ncleos de radn, segn latabla 3.

Ampliando la imagen en la recta cuando A=50... .

b) Halle los tiempo de vaciado del agua si:CASOS

ALTURA h

(cm)

DIAMETRO d

(cm)

TIEMPO t

(s)

01 20 4.0

02 40 1.003 25 3.5

04 49 1.0

c) Compare sus resultado en la parte a) y b) con los obtenidos con las formulasexperimentales.

A)EXPERIMENTAL


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Tomando logaritmo a ambos lados

Para reforzar esta solucion se usara otro valor.

Entonces se reemplaza A=50.

Logaritmo de 10...

A) GRAFICO

Ampliando la imagen en la recta cuando A=50... .

B) EXPERIMENTAL

Los valores son:

8.36

189.6

12.24

210

B) GRAFICO

Los valores son:

8.5

191.3

11.76

224


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Dado que de el Grafico solo es una lnea recta no hay una exactitud necesaria, por su parte el

Experimental contiene datos mas exactos por el hecho de ser ms matemtico.

4) Haga para las alturas y diametros correspondientes.t (s) 73.0 43.0 26.7 15.0 10.5 3.9 1.5

W

5) Grafique en papel milimetrado. Si la distribucin es lineal haga el ajuste respectivo. Luegoencuentre la ecuacin experimental correspondiente: t=t(h,d)

6) Para investigar:

Para obtener la formula de una distribucion de puntos en donde solo se relacionan dos

variable se utilizo la regresion simple.

Cuando se tiene tres o mas variables, se tendra que realizar la regresionmultiple.

Regresin Lineal Mltiple

Introduccin

Es evidente que lo ms econmico y rpido para modelar el comportamiento de una

variable Y es usar una sola variable preeditora y usar un modelo lineal. Pero algunas

veces es bastante obvio de que el comportamiento de Y es imposible que sea explicada

en gran medida por solo una variable.

Por ejemplo, es imposible tratar de explicar el rendimiento de un estudiante en un

examen, teniendo en cuenta solamente el nmero de horas que se prepar para ella.

Claramente, el promedio acadmico del estudiante, la carga acadmica que lleva, el

ao de estudios, son tres de las muchas otras variables que pueden explicar su

rendimiento. Tratar de explicar el comportamiento de Y con ms de una variable

preeditora usando una funcional lineal es el objetivo de regresin lineal mltiple.

Frecuentemente, uno no es muy familiar con las variables que estn en juego y basa

susconclusiones solamente en clculos obtenidos con los datos tomados.

Es decir, si ocurre que el coeficiente de determinacin R 2 sale bajo (digamos menor de

un 30%) , considerando adems que su valor no se ha visto afectado por datos

anormales, entonces el modelo es pobre y para mejorarlo hay tres alternativas que

frecuentemente se usan:

a) Transformar la variable preeditora, o la variable de respuesta Y, o ambas y usarluego un modelo lineal.

b) Usar regresin polinmica con una variable preeditora.


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c) Conseguir ms variables preeditoras y usar una regresin lineal mltiple.En el primer caso, se puede perder el tiempo tratando de encontrar la transformacin

ms adecuada y se podra caer en overfitting, es decir, encontrar un modelo

demasiado optimista, que satisface demasiado la tendencia de los datos tomados peroque es pobre para hacer predicciones debido a que tiene una varianza grande.

En el segundo caso el ajuste es ms rpido, pero es bien fcil caer en overfittingy,

adems se pueden crear muchos problemas de clculo ya que pueden surgir

problemas de colinealidad, es decir relacin lineal entre los trminos del modelo

polinomio.

El tercer caso es tal vez la alternativa ms usada y conveniente. Tiene bastante

analoga con el caso simple, pero requiere el uso de vectores y matrices.

En el siguiente ejemplo se mostrar el uso interactivo de las tres alternativas a travsde seis modelos de regresin y servir como un ejemplo de motivacin para

introducirnos en regresin lineal mltiple.

El modelo de regresin lineal mltiple

El modelo de regresin lineal mltiple con p variables predictoras y basado en n

observaciones tomadas es de la forma:

para i = 1,2,.n. Escribiendo el modelo para cada una de las observaciones, ste puedeser considerado como un sistema de ecuaciones lineales de la forma:

que puede ser escrita en forma matricial como:


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O sea,e X Y (2.2) donde Y es un vector columna n dimensional, X es una matriz n x

p', con p'=p+1, b es el vector de coeficientes de regresin a ser estimados, su

dimensin es p' y e es un vector columna aleatorio de dimensin n Por ahora, las

nicas suposiciones que se requieren son que E(e)=0 y que la matriz de varianza-

covarianzas de los errores est dada por Var(e)= 2 In, donde In es la matriz identidad

de orden n.

a) Encuentre la formulas , utilice la Tabla 2.Dicha formula ya se encontr en un ejercicio anterior aprovechando que los datos estaban

muy cercano.

b) Hallar tpara h = 15cmy D = 6cm

c) Hallar tpara h = 40cmy D = 1cm


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VI. CONCLUSIONES

Considero que fue una excelente experiencia para familiarizarnos con el uso delpapel milimetrado, logartmico y semilogaritmico dado que los usaremos en

experiencias posteriores.

El hecho de emplear el metodo de regresion lineal por multiplos cuadradosusando el lenguaje de Programacion C me sirvio como una pequea practica de

este lenguaje.

Esta experiencia tambin me hizo investigar ms sobre Excel y que segurousare en experiencia posteriores o en mis proyectos posteriores en cursoscomo Estadstica y Probabilidades aplicar.

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