Post on 06-Mar-2018
www.sefed.altervista.org
Infinitesimi e infiniti
Per il calcolo dei limiti è molto importante conoscere gli infinitesimi e gli infiniti.
Infinitesimi
Si dice che una funzione )(xf è un infinitesimo per 0xx se 0)(lim0
xfxx
,lo stesso si può dire se
x .
Ad esempio
33)( xxf è un infinitesimo per 1x , infatti 0)33(lim1
xx
, 2
1)(
xxf è un infinitesimo
per x . Gli infinitesimi si possono confrontare in base al risultato del limite del rapporto delle due funzioni. Più
precisamente se )(xf e )(xg sono due infinitesimi per 0xx , allora
se
0)(
)(lim
0
lxg
xf
xx
)()( xgexf sono infinitesimi dello stesso ordine per 0xx
se
0)(
)(lim
0
xg
xf
xx)(xf è un infinitesimo di ordine superiore rispetto a )(xg per 0xx
se
)(
)(lim
0 xg
xf
xx)(xf è un infinitesimo di ordine inferiore rispetto a )(xg per 0xx .
In particolare se 1)(
)(lim
0
xg
xf
xx
i due infinitesimi si dicono equivalenti.
f(x)=senx e g(x)=x sono equivalenti in quanto è noto che 1lim0
x
senx
xx, lo sono anche, ricordando i
limiti notevoli, ln(1+x) e x , tgx e x, .1 xeex
Dire che un infinitesimo è di ordine superiore per 0xx rispetto ad un altro, significa che “tende più
velocemente a zero” rispetto a quest’ultimo. Nel calcolo dei limiti si può sostituire un infinitesimo con uno equivalente e ,nelle somme, si possono eliminare gli infinitesimi di ordine superiore che, tendendo più rapidamente a zero, sono trascurabili. così
)5(lim 24
0xx
x0lim 2
0
x
x
Vediamo di applicare queste regole in alcuni casi.
2020lim
1lim
x
x
x
e
x
x
x(si è sostituito ).1 xconex
1lim1
lim00
x
x
e
tgx
xxx(si sono sostituiti ).1 xconeexcontgx x
1lim)1ln(
lim00
x
x
x
senx
xx
(si sono sostituiti ).)1ln( xconxexconsenx
Infiniti
Si dice che f(x) è un infinito per 0xx se
)(lim0
xfxx
, lo stesso si può dire se x .
Così 1
1)(
xxf è un infinito per 1x ,infatti
1
1lim
1 xx
.
Confronto di infiniti
se
0)(
)(lim
0
lxg
xf
xx
)()( xgexf sono infiniti dello stesso ordine per 0xx
se
)(
)(lim
0 xg
xf
xx)(xf è un infinito di ordine superiore rispetto a )(xg per 0xx .
se
0)(
)(lim
0
xg
xf
xx)(xf è un infinito di ordine inferiore rispetto a )(xg per 0xx .
Dire che un infinito è di ordine superiore rispetto ad un altro per 0xx significa che “cresce più velocemente” di
quest’ultimo.
In pratica xa con a>1 è un infinito di ordine superiore rispetto a qualunque potenza di x.
Una potenza di x è infinito di ordine superiore rispetto a qualunque potenza di grado inferiore.
xalog con a>1 è un infinito di ordine inferiore rispetto a qualunque potenza di x .
In una somma algebrica di “ più infiniti” ha valore solo quello di ordine superiore, gli altri si possono eliminare. Esempi
)3(lim 24 xxxxx
4lim xxx
3
2
limxe
xxxxx
0lim2
xxx e
x
Nel calcolo si sono eliminati da numeratore e denominatore gli infiniti di ordine inferiore e si è tenuto
conto che xe è un infinito di ordine superiore rispetto a .2x
3 1)1(lim x
xxex 0
1lim
3 1
xxx e
x
)]23ln([lim 2 xxxxx
)]23ln([lnlim 2 xxex
xx
23
lnlim2 xx
ex
xx