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www.sefed.altervista.org Infinitesimi e infiniti Per il calcolo dei limiti è molto importante conoscere gli infinitesimi e gli infiniti. Infinitesimi Si dice che una funzione ) ( x f è un infinitesimo per 0 x x se 0 ) ( lim 0 x f x x ,lo stesso si può dire se x . Ad esempio 3 3 ) ( x x f è un infinitesimo per 1 x , infatti 0 ) 3 3 ( lim 1 x x , 2 1 ) ( x x f è un infinitesimo per x . Gli infinitesimi si possono confrontare in base al risultato del limite del rapporto delle due funzioni. Più precisamente se ) ( x f e ) ( x g sono due infinitesimi per 0 x x , allora se 0 ) ( ) ( lim 0 l x g x f x x ) ( ) ( x g e x f sono infinitesimi dello stesso ordine per 0 x x se 0 ) ( ) ( lim 0 x g x f x x ) ( x f è un infinitesimo di ordine superiore rispetto a ) ( x g per 0 x x se ) ( ) ( lim 0 x g x f x x ) ( x f è un infinitesimo di ordine inferiore rispetto a ) ( x g per 0 x x . In particolare se 1 ) ( ) ( lim 0 x g x f x x i due infinitesimi si dicono equivalenti. f(x)=senx e g(x)=x sono equivalenti in quanto è noto che 1 lim 0 x senx x x , lo sono anche, ricordando i limiti notevoli, ln(1+x) e x , tgx e x, . 1 x e e x Dire che un infinitesimo è di ordine superiore per 0 x x rispetto ad un altro, significa che “tende più velocemente a zero” rispetto a quest’ultimo. Nel calcolo dei limiti si può sostituire un infinitesimo con uno equivalente e ,nelle somme, si possono eliminare gli infinitesimi di ordine superiore che, tendendo più rapidamente a zero, sono trascurabili. così ) 5 ( lim 2 4 0 x x x 0 lim 2 0 x x Vediamo di applicare queste regole in alcuni casi. 2 0 2 0 lim 1 lim x x x e x x x (si è sostituito ). 1 x con e x 1 lim 1 lim 0 0 x x e tgx x x x (si sono sostituiti ). 1 x con e e x con tgx x 1 lim ) 1 ln( lim 0 0 x x x senx x x (si sono sostituiti ). ) 1 ln( x con x e x con senx
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Infinitesimi e infiniti
Per il calcolo dei limiti è molto importante conoscere gli infinitesimi e gli infiniti.
Infinitesimi
Si dice che una funzione )(xf è un infinitesimo per 0xx se 0)(lim0
xfxx
,lo stesso si può dire se
x .
Ad esempio
33)( xxf è un infinitesimo per 1x , infatti 0)33(lim1
xx
, 2
1)(
xxf è un infinitesimo
per x . Gli infinitesimi si possono confrontare in base al risultato del limite del rapporto delle due funzioni. Più
precisamente se )(xf e )(xg sono due infinitesimi per 0xx , allora
se
0)(
)(lim
0
lxg
xf
xx
)()( xgexf sono infinitesimi dello stesso ordine per 0xx
se
0)(
)(lim
0
xg
xf
xx)(xf è un infinitesimo di ordine superiore rispetto a )(xg per 0xx
se
)(
)(lim
0 xg
xf
xx)(xf è un infinitesimo di ordine inferiore rispetto a )(xg per 0xx .
In particolare se 1)(
)(lim
0
xg
xf
xx
i due infinitesimi si dicono equivalenti.
f(x)=senx e g(x)=x sono equivalenti in quanto è noto che 1lim0
x
senx
xx, lo sono anche, ricordando i
limiti notevoli, ln(1+x) e x , tgx e x, .1 xeex
Dire che un infinitesimo è di ordine superiore per 0xx rispetto ad un altro, significa che “tende più
velocemente a zero” rispetto a quest’ultimo. Nel calcolo dei limiti si può sostituire un infinitesimo con uno equivalente e ,nelle somme, si possono eliminare gli infinitesimi di ordine superiore che, tendendo più rapidamente a zero, sono trascurabili. così
)5(lim 24
0xx
x0lim 2
0
x
x
Vediamo di applicare queste regole in alcuni casi.
2020lim
1lim
x
x
x
e
x
x
x(si è sostituito ).1 xconex
1lim1
lim00
x
x
e
tgx
xxx(si sono sostituiti ).1 xconeexcontgx x
1lim)1ln(
lim00
x
x
x
senx
xx
(si sono sostituiti ).)1ln( xconxexconsenx
Infiniti
Si dice che f(x) è un infinito per 0xx se
)(lim0
xfxx
, lo stesso si può dire se x .
Così 1
1)(
xxf è un infinito per 1x ,infatti
1
1lim
1 xx
.
Confronto di infiniti
se
0)(
)(lim
0
lxg
xf
xx
)()( xgexf sono infiniti dello stesso ordine per 0xx
se
)(
)(lim
0 xg
xf
xx)(xf è un infinito di ordine superiore rispetto a )(xg per 0xx .
se
0)(
)(lim
0
xg
xf
xx)(xf è un infinito di ordine inferiore rispetto a )(xg per 0xx .
Dire che un infinito è di ordine superiore rispetto ad un altro per 0xx significa che “cresce più velocemente” di
quest’ultimo.
In pratica xa con a>1 è un infinito di ordine superiore rispetto a qualunque potenza di x.
Una potenza di x è infinito di ordine superiore rispetto a qualunque potenza di grado inferiore.
xalog con a>1 è un infinito di ordine inferiore rispetto a qualunque potenza di x .
In una somma algebrica di “ più infiniti” ha valore solo quello di ordine superiore, gli altri si possono eliminare. Esempi
)3(lim 24 xxxxx
4lim xxx
3
2
limxe
xxxxx
0lim2
xxx e
x
Nel calcolo si sono eliminati da numeratore e denominatore gli infiniti di ordine inferiore e si è tenuto
conto che xe è un infinito di ordine superiore rispetto a .2x
3 1)1(lim x
xxex 0
1lim
3 1
xxx e
x
)]23ln([lim 2 xxxxx
)]23ln([lnlim 2 xxex
xx
23
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