I TRIANGOLI

Poligoni di tre lati

Con 6 lelementi: 3 lati e 3 angoli

CLASSIFICAZIONE DEI TRIANGOLI IN BASE AI LATI• Un triangolo avente due lati congruenti si dice isoscele

• Un triangolo avente tre lati congruenti si dice equilatero

• Un triangolo che non ha nessuno dei tre lati congruenti si dice scaleno

• In un triangolo isoscele il punto comune ai lati congruenti si dice vertice del triangolo isoscele,

• L’angolo compreso dai lati congruenti si dice angolo al vertice,

• Il lato opposto al vertice si chiama base,• Gli angoli adiacenti alla base si dicono angoli alla

base.

CLASSIFICAZIONE DEI TRIANGOLI IN BASE AGLI

ANGOLI• Un triangolo che abbia un angolo acuto si

dice acutangolo,

• Un triangolo che ha un angolo ottuso si dice ottusangolo,

• Un triangolo che ha un angolo rettangolo (90°) si dice rettangolo.

• Un triangolo equilatero si può considerare isoscele in tre modi diveri, potendosi considerare come base uno qualsiasi dei tre lati.

ALTEZZA• In un triangolo qualsiasi si definisce altezza il

segmento di perpendicolare condotto da un vertice alla retta del lato opposto.

• In un triangolo vi sono tre altezze che passano per uno stesso punto detto ortocentro del triangolo.

MEDIANA

• Si definisce mediana di un triangolo relativa ad un lato il segmento che congiunge il punto medio di quel lato con il vertice opposto.

• In un triangolo vi sono tre mediane che passano per uno stesso punto detto baricentro del triangolo.

BISETTRICE

• Si definisce bisettrice di un triangolo il segmento, contenuto nella semiretta bisettrice di quell’angolo, che ha un ewstremo nel vertice dell’angolo e l’altro estremo sil lato opposto.

• In un triangolo vi sono tre bisettrici che passano per uno stesso punto detto incentro del triangolo.

CONGRUENZA DEI TRIANGOLI

E SUE CONSEGUENZE

FIGURE CONGRUENTI

• Due triangoli sono congruenti se esiste un moviemnto rigido con il quale essi possono essere sovrapposti in modo da coincidere.

• Questo movimento farà coincidere i vertici, i lati e gli angoli del primo triangolo con i vertici e gli angoli corrispondenti del secondo triangolo.

C C1

A B B1 A1

• ABC A1B1C1 AB A1B1, AC A1C1, lati omologhi o

corrispondenti BC C1B1, A A1, B B1, angoli corrispondenti C C1

Due triangoli sono congruenti se hanno i sei elementi (3lati e 3 angoli) rispettivamente congruenti (angoli congruenti sono opposti a lati congruenti e viceversa).

Ma bastano 3 di queste relazioni di congruenza per dire che i triangoli sono congruenti.

PRIMO CRITERIO DI CONGRUENZA

• Se due triangoli hanno rispettivamente congruenti due lati e l’angolo tra loro compreso, essi sono congruenti.

• OSSERVAZIONE: ad angoli congruenti stanno opposti lati congruenti, e viceversa, a lati congruenti sono opposti angolicongruenti.

C C1

A B B1 A1

• IPOTESI: AC A1C1 lato AB A1B1 lato CABC1A1B1 angolo

• TESI: ABCA1B1C1 triangolo

Bastano queste 3 relazioni (2 lati ed un angolo congruenti) per dimostrare che i due angoli sono uguali.

DIMOSTRAZIONE (verifica sperimentale)

• Si parte dall’angolo: CABC1A1B1• Se con un movimento rigido sovrappongo i due angoli,

anche le due semirette (lati dei triangoli) si sovrapporranno.

• La semiretta che contiene AC si sovrappone a quella che contiene A1C1.

• AB si sovrappone ad A1B1.• Poiché AC è congruente ad A1C1 ed AB ad A1B1,

Ccoincide con C1, il vertice B coincide con B1, è chiaro che il lato BC coincide e si sovrappone con B1C1.

• Anche l’angolo in C1 coincide con C e B coincide con B1.• Quindi il triangolo ABC coincide con il triangolo

A1B1C1.

TEOREMA

• In un triangolo isoscele, gli angoli alla base sono congruenti. C

IPOTESI: ACBC

TESI: CABCBA

A E B

DIMOSTRAZIONE

• Si considera la bisettrice dell’angolo al vertice CE.

• Consideriamo i due triangoli ACE e CBE, essi hanno:

CE in comune

CA CB per ipotesi

ACEBCE per costruzione, poiché ho creato e tracciato la bisettrice

• I due triangoli sono congruenti per il 1° criterio dei congruenza, perché hanno 3 elementi congruenti, 2 lati ed un angolo.

Il triangolo ACE CBE, quindi l’angolo CAB ABC,

C.V.D.(come volevasi dimostrare)

ANGOLI SUPPLEMENTARI

• Gli angoli supplementari di uno stesso angolo o di angoli congruenti, sono congruenti tra loro.

1. Angoli supplementari di uno stesso angolo.

i due angoli supplementari sono uguali π -

π - π -

2. Angoli supplementari di angoli congruenti, sono complementari tra loro.

a b a1 b1

o o

Angoli

Anche gli angoli supplementari π - π - saranno congruenti

PROPRIETA’

• Somme o differenze di angoli rispettivamente congruenti, sono congruenti.

1. + + 2. - -

TEOREMA• Angoli opposti al vertice sono congruenti

A B

OAngolo AOB

Da dimostrare 1. e sono supplementari dello stesso angolo AOB

π- AOB= π- AOB= per la definizione di angoli supplementari

2. π π AOB AOB

π-AOB π- AOB perché sono differenze di angoli congruenti

SECONDO CRITERIO DI CONGRUENZA

• Se due triangoli hanno rispettivamente due angoli e il lato tra loro compreso congruenti, essi sono congruenti.

C C1

D

A B A1 B1

IPOTESI:

Angolo A A1 Angolo B B1 AB A1B1

TESI:

Triangolo ABC A1B1C1

DIMOSTRAZIONE per assurdo

• IPOTESI: vera

• (Nego la TESI) non TESI: vera

• Se ottengo una contraddizione o un assurdo…non potendo essere vera la non TESI, non TESI: falsa

• Vuol dire che la TESI è vera

• TESI: vera

DIMOSTRAZIONE

1. IPOTESI: lato AB A1B1 angolo CAB C1A1B1 angolo ABC A1B1C1

TESI: triangolo ABC A1B1C12. Nego la TESI: ABC non congruente a A1B1C1

ACA1C1 supponiamo che i leti siano diversiACA1C1 supponiamo che uno dei due angoli sia maggiore dell’altro; esisterà un punto di AC, detto D, tale che AD sia congruente ad A1C1: AD A1C1

Consideriamo il triangolo ABD e quello A1B1C1, essi hanno:AB A1B1 per ipotesiCAB C1A1B1 per ipotesiAD A1C1 per costruzione

Hanno due lati ed un angolo compreso congruenti: per il 1° criterio di congruenza.I rispettivi angoli opposti devono essere congruenti:

angolo ABD A1B1C1 perché angoli corrispondenti in triangoli congruenti.

• Angolo CBA C1B1A1 ABD A1B1D1

per la proprietà transitiva della congruenza.

3. Ma angolo ABD CBA è un ASSURDO perché l’angolo ABD è una parte di ABC, preché DB, la semiretta, è interna all’angolo ABC.

4. Resta dimostrata la verità della TESI.

C C1

D

A B A1 B1