I TRIANGOLI Poligoni di tre lati Con 6 lelementi: 3 lati e 3 angoli.

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I TRIANGOLI Poligoni di tre lati Con 6 lelementi: 3 lati e 3 angoli

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I TRIANGOLI

Poligoni di tre lati

Con 6 lelementi: 3 lati e 3 angoli

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CLASSIFICAZIONE DEI TRIANGOLI IN BASE AI LATI• Un triangolo avente due lati congruenti si dice isoscele

• Un triangolo avente tre lati congruenti si dice equilatero

• Un triangolo che non ha nessuno dei tre lati congruenti si dice scaleno

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• In un triangolo isoscele il punto comune ai lati congruenti si dice vertice del triangolo isoscele,

• L’angolo compreso dai lati congruenti si dice angolo al vertice,

• Il lato opposto al vertice si chiama base,• Gli angoli adiacenti alla base si dicono angoli alla

base.

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CLASSIFICAZIONE DEI TRIANGOLI IN BASE AGLI

ANGOLI• Un triangolo che abbia un angolo acuto si

dice acutangolo,

• Un triangolo che ha un angolo ottuso si dice ottusangolo,

• Un triangolo che ha un angolo rettangolo (90°) si dice rettangolo.

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• Un triangolo equilatero si può considerare isoscele in tre modi diveri, potendosi considerare come base uno qualsiasi dei tre lati.

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ALTEZZA• In un triangolo qualsiasi si definisce altezza il

segmento di perpendicolare condotto da un vertice alla retta del lato opposto.

• In un triangolo vi sono tre altezze che passano per uno stesso punto detto ortocentro del triangolo.

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MEDIANA

• Si definisce mediana di un triangolo relativa ad un lato il segmento che congiunge il punto medio di quel lato con il vertice opposto.

• In un triangolo vi sono tre mediane che passano per uno stesso punto detto baricentro del triangolo.

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BISETTRICE

• Si definisce bisettrice di un triangolo il segmento, contenuto nella semiretta bisettrice di quell’angolo, che ha un ewstremo nel vertice dell’angolo e l’altro estremo sil lato opposto.

• In un triangolo vi sono tre bisettrici che passano per uno stesso punto detto incentro del triangolo.

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CONGRUENZA DEI TRIANGOLI

E SUE CONSEGUENZE

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FIGURE CONGRUENTI

• Due triangoli sono congruenti se esiste un moviemnto rigido con il quale essi possono essere sovrapposti in modo da coincidere.

• Questo movimento farà coincidere i vertici, i lati e gli angoli del primo triangolo con i vertici e gli angoli corrispondenti del secondo triangolo.

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C C1

A B B1 A1

• ABC A1B1C1 AB A1B1, AC A1C1, lati omologhi o

corrispondenti BC C1B1, A A1, B B1, angoli corrispondenti C C1

Due triangoli sono congruenti se hanno i sei elementi (3lati e 3 angoli) rispettivamente congruenti (angoli congruenti sono opposti a lati congruenti e viceversa).

Ma bastano 3 di queste relazioni di congruenza per dire che i triangoli sono congruenti.

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PRIMO CRITERIO DI CONGRUENZA

• Se due triangoli hanno rispettivamente congruenti due lati e l’angolo tra loro compreso, essi sono congruenti.

• OSSERVAZIONE: ad angoli congruenti stanno opposti lati congruenti, e viceversa, a lati congruenti sono opposti angolicongruenti.

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C C1

A B B1 A1

• IPOTESI: AC A1C1 lato AB A1B1 lato CABC1A1B1 angolo

• TESI: ABCA1B1C1 triangolo

Bastano queste 3 relazioni (2 lati ed un angolo congruenti) per dimostrare che i due angoli sono uguali.

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DIMOSTRAZIONE (verifica sperimentale)

• Si parte dall’angolo: CABC1A1B1• Se con un movimento rigido sovrappongo i due angoli,

anche le due semirette (lati dei triangoli) si sovrapporranno.

• La semiretta che contiene AC si sovrappone a quella che contiene A1C1.

• AB si sovrappone ad A1B1.• Poiché AC è congruente ad A1C1 ed AB ad A1B1,

Ccoincide con C1, il vertice B coincide con B1, è chiaro che il lato BC coincide e si sovrappone con B1C1.

• Anche l’angolo in C1 coincide con C e B coincide con B1.• Quindi il triangolo ABC coincide con il triangolo

A1B1C1.

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TEOREMA

• In un triangolo isoscele, gli angoli alla base sono congruenti. C

IPOTESI: ACBC

TESI: CABCBA

A E B

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DIMOSTRAZIONE

• Si considera la bisettrice dell’angolo al vertice CE.

• Consideriamo i due triangoli ACE e CBE, essi hanno:

CE in comune

CA CB per ipotesi

ACEBCE per costruzione, poiché ho creato e tracciato la bisettrice

• I due triangoli sono congruenti per il 1° criterio dei congruenza, perché hanno 3 elementi congruenti, 2 lati ed un angolo.

Il triangolo ACE CBE, quindi l’angolo CAB ABC,

C.V.D.(come volevasi dimostrare)

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ANGOLI SUPPLEMENTARI

• Gli angoli supplementari di uno stesso angolo o di angoli congruenti, sono congruenti tra loro.

1. Angoli supplementari di uno stesso angolo.

i due angoli supplementari sono uguali π -

π - π -

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2. Angoli supplementari di angoli congruenti, sono complementari tra loro.

a b a1 b1

o o

Angoli

Anche gli angoli supplementari π - π - saranno congruenti

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PROPRIETA’

• Somme o differenze di angoli rispettivamente congruenti, sono congruenti.

1. + + 2. - -

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TEOREMA• Angoli opposti al vertice sono congruenti

A B

OAngolo AOB

Da dimostrare 1. e sono supplementari dello stesso angolo AOB

π- AOB= π- AOB= per la definizione di angoli supplementari

2. π π AOB AOB

π-AOB π- AOB perché sono differenze di angoli congruenti

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SECONDO CRITERIO DI CONGRUENZA

• Se due triangoli hanno rispettivamente due angoli e il lato tra loro compreso congruenti, essi sono congruenti.

C C1

D

A B A1 B1

IPOTESI:

Angolo A A1 Angolo B B1 AB A1B1

TESI:

Triangolo ABC A1B1C1

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DIMOSTRAZIONE per assurdo

• IPOTESI: vera

• (Nego la TESI) non TESI: vera

• Se ottengo una contraddizione o un assurdo…non potendo essere vera la non TESI, non TESI: falsa

• Vuol dire che la TESI è vera

• TESI: vera

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DIMOSTRAZIONE

1. IPOTESI: lato AB A1B1 angolo CAB C1A1B1 angolo ABC A1B1C1

TESI: triangolo ABC A1B1C12. Nego la TESI: ABC non congruente a A1B1C1

ACA1C1 supponiamo che i leti siano diversiACA1C1 supponiamo che uno dei due angoli sia maggiore dell’altro; esisterà un punto di AC, detto D, tale che AD sia congruente ad A1C1: AD A1C1

Consideriamo il triangolo ABD e quello A1B1C1, essi hanno:AB A1B1 per ipotesiCAB C1A1B1 per ipotesiAD A1C1 per costruzione

Hanno due lati ed un angolo compreso congruenti: per il 1° criterio di congruenza.I rispettivi angoli opposti devono essere congruenti:

angolo ABD A1B1C1 perché angoli corrispondenti in triangoli congruenti.

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• Angolo CBA C1B1A1 ABD A1B1D1

per la proprietà transitiva della congruenza.

3. Ma angolo ABD CBA è un ASSURDO perché l’angolo ABD è una parte di ABC, preché DB, la semiretta, è interna all’angolo ABC.

4. Resta dimostrata la verità della TESI.

C C1

D

A B A1 B1