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UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA
FACOLTÀ DI INGEGNERIA
AUTORE: DOTT. S. Caltabiano
UNIVERSITÀ DEGLI STUDI DI REGGIO CALABRIA FACOLTÀ DI INGEGNERIA (SANTI CALTABIANO)
Dott. S. Caltabiano i
Indice Generale
1 Definizioni e Proprietà fondamentali sulle equazioni ......................................... 1
1.1 Definizione di equazione. Interpretazione grafica di una equazione.
Risoluzione di una equazione per via grafica .......................................................... 1
1.2 Sistemi di equazioni ....................................................................................... 1
2 Equazioni polinomiali razionali intere ............................................................... 4
2.1 Equazioni polinomiali razionali intere di grado 1 ........................................... 4
2.2 Equazioni polinomiali razionali intere di grado 2 ........................................... 4
2.3 Equazioni polinomiali razionali intere di grado n ........................................... 6
3 Equazioni logaritmiche ...................................................................................... 8
3.1 Equazioni logaritmiche in forma normale ....................................................... 8
4 Equazioni esponenziali ..................................................................................... 10
4.1 Equazioni esponenziali in forma normale ..................................................... 10
5 Equazioni trigonometriche ............................................................................... 11
5.1 Equazioni trigonometriche elementari .......................................................... 11
5.2 Equazioni riconducibili ad equazioni elementari .......................................... 15
5.3 Metodo standard per la risoluzione di una qualunque equazioni trigonometrica
17
5.4 Equazioni trigonometriche lineari in sin, cos e tg ......................................... 18
5.5 Equazioni risolvibili applicando le formule di prostafersi ............................. 19
5.6 Equazioni risolvibili applicando le formule di Werner.................................. 21
6 Equazioni riconducibili allo studio di equazioni ordinarie. Equazioni
irrazionali. Equazioni contenenti espressioni in valore assoluto. Equazioni fratte. .. 22
6.1 Equazioni riconducibili a equazioni polinomiali grado n .............................. 22
6.2 Equazioni irrazionali .................................................................................... 24
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6.3 Equazioni contenenti espressioni in valore assoluto...................................... 26
6.4 Equazioni fratte ............................................................................................ 32
7 Complementi sulle equazioni trigonometriche .................................................. 36
7.1 Equazioni simmetriche in sin e cos ............................................................... 36
7.2 Equazioni trigonometriche non tipiche ......................................................... 36
8 Esercizi di vario tipo ........................................................................................ 39
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Dott. S. Caltabiano 1
1 Definizioni e Proprietà fondamentali sulle equazioni
1.1 Definizione di equazione. Interpretazione grafica di una equazione.
Risoluzione di una equazione per via grafica
Siano f=f(x) e g=g(x) due funzioni reali. Si dice equazione:
f(x)=g(x)
Risolvere un’equazione, significa trovare (se esistono) gli intervalli nei cui punti
l’equazione è soddisfatta.
Diciamo che due equazione sono equivalenti se sono soddisfatte dalle medesime
soluzioni.
E’ interessante dare un’interpretazione grafica delle equazioni. Dire che un x0
soddisfa a l’equazione f(x)=g(x), evidentemente equivale ad affermare che l’ordinata
della f in x0, coincide con l’ordinata della g in x0 e quindi l’equazione è soddisfatta in
tutti gli intervalli, in corrispondenza dei quali il grafico della funzione f coincide con
quello della funzione g.
L’interpretazione grafica appena data, risulta uno strumento validissimo, nei casi in
cui le funzioni f e g hanno un’espressione analitica molto diversa e di conseguenza
molto difficile da trattare analiticamente.
1.2 Sistemi di equazioni
Siano f1= f1(x), g1= g1(x), f2= f2(x), g2= g2(x),…, fn= fn(x), gn= gn(x) n coppie di
funzioni reali. Si definisce sistema di equazioni:
)()(. . . . . . . . . . . . . . . . .)()(
)()(
22
11
xgxf
xgxfxgxf
nn
la soluzione del sistema è data dall’intersezione delle soluzioni delle singole
equazioni. Due sistemi si dicono equivalenti se ammettono le stesse soluzioni.
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I seguenti quattro principi ci consentono di ottenere un’equazione equivalente a
partire da un’assegnata equazione.
Teorema 1.1 (Primo principio di equivalenza)
Sommando algebricamente ad ambo i membri di un’equazione una stessa espressione
algebrica, che non perda di significato in corrispondenza di soluzioni della equazione
data, si ottiene una equazione equivalente.
Teorema 1.2 (Secondo principio di equivalenza)
Moltiplicando ambo i membri di un’equazione, per una stessa espressione algebrica
che non si annulli e che non perda di significato in corrispondenza di soluzioni
dell’equazione data, si ottiene un’equazione equivalente
Teorema 1.3 (Terzo principio di equivalenza)
Assegnato n intero positivo. Elevando ambo i membri di un’equazione alla potenza n
o alla potenza 1/n:
se n è dispari si ottiene un’equazione equivalente
se n è pari si ottiene un’equazione equivalente se e solo se ambo i membri
dell’equazione assegnata sono non negativi
In effetti i precedenti tre teoremi possono essere considerati come un caso
particolare del seguente teorema.
Teorema 1.4 (Quarto principio di equivalenza)
Componendo ambo i membri di un’equazione con una funzione iniettiva, si ottiene
un’equazione equivalente
Corollario 1.1
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Se ambo i membri di un’equazione non si annullano mai allora passando ai reciproci
si ottiene un’equazione equivalente
Dimostrazione
Conseguenza del secondo principio.
Enunciamo adesso il seguente teorema che ci fornisce le condizioni necessarie
e sufficiente per passare da un sistema di equazioni ad un sistema equivalente.
Teorema 5
Assegnato un sistema di equazioni allora esso è equivalente al sistema ottenuto:
1. scambiano due equazioni del sistema dato
2. moltiplicando un’equazione del sistema dato per una costante non nulla
3. sommando ad un’equazione un’altra equazione moltiplicata per una costante reale
4. risolvendo un’equazione rispetto ad una variabile e sostituita nelle rimanenti
equazioni
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2 Equazioni polinomiali razionali intere
Il termine “intere” è riferito al fatto che l’incognita compare soltanto con potenza
positiva, cioè non compare al denominatore. L’equazioni razionali non intere, sono
dette equazioni razionali fratte e verranno tratte in seguito. Il termine “razionale” è
riferito al fatto che non compaiono espressioni sotto il segno di radice. Le equazioni
nelle quali compaiono espressioni sotto il segno di radice sono dette irrazionale e
verranno trattate in seguito.
2.1 Equazioni polinomiali razionali intere di grado 1
Si definisce equazione razionale intera di grado 1:
ax+b=0 (1)
più precisamente in questo in caso l’equazione si dice in forma normale. Si capisce
immediatamente che grazie al primo principio ci si può sempre ricondurre alla forma
normale, ad esempio se abbiamo:
ax+b=cx+d
allora per il primo principio otteniamo:
(a–c)x+b–d=0
Per il primo e per il secondo principio la (1) è soddisfatta per:
abx
Esercizi
1. 5x–3=0
2. 2x–3=3–x
3. x+1=0
4. 2x+3=1
5. 3x+1=3–2x
6. 7x–2=3+5x
2.2 Equazioni polinomiali razionali intere di grado 2
Si definisce equazione razionale intera di grado 2 (in forma normale):
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ax2+bx+c=0
Vogliamo fare osservare a priori che P2(x) si può scrivere come prodotto di due
polinomi di primo grado:
P2(x)=ax2+bx+c=a
acx
abx2 = a
ac
ab
abx
abx 2
2
2
22
44=
=a
ac
ab
abx 2
22
42= a
2
22
44
2 aacb
abx =
=a
2
2
42 aabx = a
22
22 aabx =
= a
aabx
aabx
2222=a
abx
abx
22
con :=b2–4ac. Ed inoltre posto:
abx
21
e a
bx22
che sono quindi le radici del polinomio P2(x), e possono essere: reali e distinte se
>0, reali e coincidenti se =0 e complesse e coniugate se <0. In definitiva:
P2(x):=a(x–x1)(x–x2) (2)
Esercizi
1. (x–2)(x+2)=0
2. –3(x–2)(x–1)=0
3. 4(x+2)(x+3)=0
4. x2–1=0
5. x2+2=0
6. x2–2=0
7. x2–3x=0
8. x2+2x=0
12. x2–x–1=0
13. 3
12 x +(x–2)2=2
22 x
14. 032 xx
15. 0232 xx
16. 0652 xx
17. 0652 xx
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9. x2–5x+4=0
10. (x+1)2=3x+3
11. x2–2x–1=0
18. xxx
21
2212
19. 0652 xx
2.3 Equazioni polinomiali razionali intere di grado n
Generalizziamo i due casi di equazioni appena trattati. Si definisce equazione
razionale intera di grado n (in forma normale):
anxn+an-1xn-1+…+ a1x+ a0 =0
In sostanza si tratta di trovare le radici del polinomio Pn(x)=anxn+an-1xn-1+…+ a1x+ a0
che come noto ammette al più n radici reali. Dette x1,…,xmR dove mn, tali radici
allora facendo uso della regola di Ruffini, sappiamo che si può scrivere:
Pn(x)=an(x–x1)(x–x2)…(x–xm)Q(x)
dove Q=Q(x) è un polinomio non scomponibile nel campo reale (cioè non ammette
radici reali, ad esempio Q(x)=x2+1).
Una particolare equazioni di grado n si ha quando:
Pn(x)=xn–a
e si parla di equazioni binomie di grado n. Se n è dispari per il terzo principio l’unica
radice reale di Pn(x) è n a .
Se n è pari, nel caso a<0 Pn(x) è sempre strettamente positivo e non ammette radici
reali., mentre nel caso a>0, scomponendo Pn(x) si trova facilmente che:
Pn(x)=(x– n a )(x+ n a )Q(x)
dove Q=Q(x) è un polinomio non scomponibile nel campo reale, e quindi in questo
caso le radici reali sono n a .
Un’altra particolare equazioni di grado n si ha quando:
P2m(x)=ax2m+bxm+c
dove m è un numero intero positivo, nel caso m=2 si parla di equazioni
biquadratiche. Si pone y=xm e si ottiene ay2+by+c che è un polinomio di secondo
grado nella variabile y e quindi dette y1 e y2 le sue radici si ha:
P2m(x)= a(y–y1)(y–y2)= a(xm–y1)(xm–y2)
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e pertanto in questo caso le radici del polinomio P2m(x) sono le radici del prodotto di
due equazioni binomie.
Esercizi
1. x3–6x2+11x–6=0
2. x5–x4–x+1=0
3. x4+3x3–14x2–48x–32=0
4. x4+x3–7x2–x+6=0
5. x3–3x+2=0
6. x4–5x3+5x2+5x–6=0
7. x5+2=0
8. x6+2=0
9. x4–16=0
10. x4–5x2+4=0
11. x4–10x2+9=0
12. x8–17x4+16=0
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3 Equazioni logaritmiche
3.1 Equazioni logaritmiche in forma normale
Siano f=f(x) e g=g(x) due funzioni reali e sia a un numero reale compreso tra 0 e 1
oppure strettamente maggiore di 1. Un’equazione logaritmica in forma normale è
del tipo:
loga f(x)=loga g(x) (3)
Il logaritmo ha senso se l’argomento è strettamente positivo e quindi dobbiamo
imporre che f(x)>0 e g(x)>0. E quindi in definitiva per il quarto principio, passando
all’esponenziale nella (3), il sistema equivalente alla (3) è:
)()(0)(0)(
xgxfxgxf
si osserva che la condizione g(x)>0 è contenuta è implicitamente contenuta nelle altre
due e quindi può essere scarta. E in definitiva il sistema equivalente alla (3) è:
)()(0)(
xgxfxf
Assegnata una costante bR un caso particolare della (3) è l’equazione:
loga f(x)=b (4)
infatti per ricadere nel caso della (3) basta porre g(x)=ab e di conseguenza il sistema
equivalente alla (4) è:
)(
0)(baxf
xf
si scarta la prima condizione, poiché la seconda impone implicitamente che le sue
soluzioni siano per f>0. E pertanto l’equazione equivalente alla (4) è:
f(x)=ab
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Nella maggior parte dei casi il logaritmo considerato è quello di Neperio, cioè il
logaritmo con base e e lo si denota con ln ed è detto per l’appunto logaritmo
neperiano.
Esercizi
1. log3(3x+6)=log3(x–2)
2. log1/2(3x–4)=log½(3x–4)
3. log½(2x–4)=2
4. 2ln(x–1)=1
5. ln(x+1)+ln(x)=2ln(1–x)
6. log3log2(x+1)=0
7. log10(x2–x+98)=2
8. log10log10(2x-5)=0
9. log1/3log2(x+1)=1
10. log10(x2–7x+11)=0
11. 2log3(2–x)–log3(x+4)=log3(3x+14)
12. ln(x)–2ln(x+3)=ln(x3+15)
13. ln(x2–6x+9)=ln(x)–ln(4)
14. 3ln(x–2)=ln(x)+ln(x2–14)
15. 22
15
1ln
xx
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4 Equazioni esponenziali
4.1 Equazioni esponenziali in forma normale
Siano f=f(x) e g=g(x) due funzioni reali, siano a, b numeri reali positivi e siano c,
dR.. Un’equazione esponenziale in forma normale è del tipo:
caf(x)=dbg(x) (5)
Si presentano i seguenti casi:
a) Se c>0 e d>0 allora fissato un numero h reale compreso tra 0 e 1 oppure
strettamente maggiore di 1, l’equazione equivalente alla (5) si ottiene applicando
ad ambo i membri il logaritmo in base h:
logh(c)+f(x) logh(a)=logh(d)+g(x)logh (b)
b) Se c0 o d0 l’equazione (5) è impossibile
Un caso particolare della (5) si ottiene ponendo b=c=1:
af(x)=d (6)
si presentano i seguenti casi:
a) Se d>0 allora fissato un numero h reale compreso tra 0 e 1 oppure strettamente
maggiore di 1, l’equazione equivalente alla (6), per la tabella precedente è:
f(x)logh(a) logh(d)
b) Se d0 l’equazione (6) è impossibile
Esercizi
1. 22x–3=5
2. (1/3)x+1>=5
3. 2x+4=–5
4. 32x+7=–5
5. 32x–113x–7+28=0
6. 156 )2/1()2/1(2 xx
7. 2x–13x+1=9
8. 52x=87x–2
9. 352(2x–7)–452x–7+1=0
10. 52x–65x–7+5=0
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5 Equazioni trigonometriche
Per la risoluzione delle Equazioni trigonometriche non esistono norme di
carattere generale. Esiste però una serie di Equazioni trigonometriche tipiche, esposte
di seguito, per le quali è possibile dare un criterio di risoluzione. La conoscenza della
risoluzione delle equazioni tipiche, è necessaria se si vuole impostare la soluzione di
una qualsiasi equazione trigonometrica.
5.1 Equazioni trigonometriche elementari
Sono equazioni trigonometriche elementari (in forma normale):
sin(x)=m (7)
cos(x)=m (8)
tg(x)=m (9)
dove mR.. La risoluzione di queste equazione, avviene per via grafica.
Esistono due metodi. Il primo metodo consiste nel rappresentare sul piano cartesiano
cartesiano la funzione trigonometrica considerata e la retta di equazione y=m e
prendere le eventuali intersezioni. Descriviamo dettagliatamente il secondo metodo,
detto metodo trigonometrico, singolarmente per la (7), per la (8) e per la (9).
Metodo trigonometrico per la (7):
si disegna la circonferenza trigonometrica (cioè la circonferenza di raggio 1, con
origine nel centro degli assi coordinati O=(0,0))
se m<–1 o m>1 la (7) non è mai verificata. Se –1m1 si traccia la retta y=m, e si
riportano gli angoli corrispondenti alle intersezioni.
si aggiunge la periodicità 2k con kZ..
Consideriamo ad esempio il caso in cui 0m1. Denotiamo con l’angolo
=arcsin(m), e procediamo come suddetto:
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Figura 1
Quindi l’equazione è soddisfatta per:
x= e x=–
aggiungendo la periodicità:
x=+2k e x=–+2k
Un’analisi sistematica di questo tipo, ci porta a dare una scrittura generale, che
descrive tutte le soluzioni della (7), al variare di m. Nella tabella che segue, nei casi in
cui –1m1, denoteremo con l’angolo arcsin(m) ridotto al primo quadrante:
Studio dell’equazione sin(x)=m al variare di m
-1<m o m>1 Nessuna soluzione
-1m0 x=++2k e x=2–+2k
0m1 x=+2k e x=–+2k
Tabella 1
Il metodo appena descritto ci consente di trovare le soluzioni della (7) lavorando
nell’intervallo [0,2]. Tuttavia se non ci si impone questa restrizione le soluzioni
della (7) sono:
x=arcsin(m)+2k e x=– arcsin(m)+2k
dove ovviamente –1m1.
Metodo trigonometrico per la (8):
– y=m
x
y
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si disegna la circonferenza trigonometrica
se m<–1 o m>1 la (8) non è mai verificata Se –1m1 si traccia la retta x=m, e si
riportano gli angoli corrispondenti alle intersezioni.
si aggiunge la periodicità 2k con kZ..
Consideriamo ad esempio il caso in cui 0m1. Denotiamo con l’angolo
=arccos(m), e procediamo come suddetto:
Figura 2
Quindi l’equazione è soddisfatta per:
x= e x=2–
aggiungendo la periodicità:
x=+2k e x=2–+2k
Un’analisi sistematica di questo tipo, ci porta a dare una scrittura generale, che
descrive tutte le soluzioni della (8), al variare di m. Nella tabella che segue, nei casi in
cui –1m1, denoteremo con l’angolo arccos(m) ridotto al primo quadrante:
Studio dell’equazione cos(x)=m al variare di m
-1<m o m>1 Nessuna soluzione
-1m0 x=–+2k e x=++2k
0m<1 x=+2k e x=2–+2k
Tabella 2
2–
x=m
x
y
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Il metodo appena descritto ci consente di trovare le soluzioni della (8) lavorando
nell’intervallo [0,2]. Tuttavia se non ci si impone questa restrizione le soluzioni
della (8) sono:
x= arccos(m)+2k
dove ovviamente –1m1.
Metodo trigonometrico per la (9):
si disegna la circonferenza trigonometrica
si disegna la retta parallela all’asse delle ordinate passante per il punto di
coordinate (0,1) (detto origine degli archi)
si segna il punto di coordinate M=(1,m), si riporta l’angolo corrispondente
all’intersezione
si aggiunge la periodicità k con kZ..
Consideriamo ad esempio il caso in cui m0. Procedendo come suddetto:
Figura 3
Quindi l’equazione è soddisfatta per:
x==arctg(m)
aggiungendo la periodicità:
x=+k
m y
x
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Un’analisi sistematica di questo tipo, ci porta a dare una scrittura generale, che
descrive tutte le soluzioni della (9), al variare di m. Nella tabella che segue,
denoteremo con l’angolo arctg(m) ridotto al primo quadrante:
Studio dell’equazione tg(x)=m al variare di m
m0 x=+k (oppure x=++k)
m0 x=2–+k (oppure x=–+k oppure x=–+k)
Tabella 3
Esercizi
Risolvere nell’intervallo [0,2] le seguenti equazioni, indicando per ciascuno di essi
la soluzione in R.
1. 2sin(x)+1=0
2. 2sin(x)– 3 =0
3. 5sin(x)+2=0
4. 2 cos(x)–1=0
5. 2cos(x)+ 3 =0
6. 3 tg(x)–3=0
7. tg(x)–1=0
8. (2sin(x)+1)cos(x)=0
9. sin(2x)cos(x)=0
10. sin(4x)cos(2x)=0
11. sin(x)cos(x)=0
12. sin(x)cos(x)–2cos(x)=0
13. sin(x)cos(x)+2cos(x)=0
14. cos(x)tg(x)=0
15. cos(x)tg(x)=0
16. cos(4x)+cos(2x)=2cos(x)
17. sin(4x)–sin(2x)=sin(x)
5.2 Equazioni riconducibili ad equazioni elementari
Sia f=f(x) una funzione reale e mR. Le seguenti equazioni sono riconducibili ad
equazioni elementari:
sin[f(x)]=m
cos[f(x)]=m
tg[f(x)]=m
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dove mR.. Si pone t=f(x) e si ottiene un’equazione trigonometrica elementare, si
risolve questa equazione, successivamente nella scrittura che descrive la soluzione di
quest’ultima, si sostituisce f(x) a t e si ottengono una o due equazioni del tipo:
f(x)=a con aR
l’unione delle soluzioni di queste ci dà la soluzione dell’equazione di partenza.
Altri tipi di equazioni riconducibile ad equazioni elementari, sono le seguenti:
sin[f(x)]=sin[g(x)] (10)
cos[f(x)]=cos[g(x)] (11)
tg[f(x)]=tg[g(x)] (12)
dove f=f(x) e g=g(x) sono funzioni reali.
Consideriamo la (10). Fissato x e posto m=sin[g(x)] e t= f(x) si ha l’equazione
elementare:
sin(t)=m
le soluzioni sono:
t=arcsin(m)+2k e t=–arcsin(m)+2k
e pertanto osservando che arcsin(m)=g(x) si ha che le soluzioni della (10) sono:
f(x)=g(x)+2k e f(x)=–g(x)+2k
Procedendo in maniera analoga si trova che le soluzioni della (11) sono:
f(x)= g(x)+2k
Analogamente per la (12) le soluzioni sono:
f(x)= g(x)+k
Un caso particolare della (10) è la seguente:
sin[f(x)]=cos[g(x)]
infatti quest’ultima può essere scritta come:
sin[f(x)]=sin[/2–g(x)]
Esercizi
1. 2sin(7x)=1 16. 3 cos(x2–2)=–2
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2. 2cos(7x)=1
3. 2tg(7x)=1
4. 21
33cos
x
5. 21
33
xsin
6. 21
33
xtg
7. sin(x2–1)=1/2
8. cos(x2–1)=1/2
9. tg(x2–1)=1
10. sin(ln(x))=1/2
11. cos(ln(x))=–1/2
12. tg(ln(x))=1
13. cos(cos(x))+2=0
14. 2sin(ex+1)+1=0
15. 3 sin(x2–2)=–2
17. 3 tg(x2–2)=–1
18. sin(7x)=sin(3x)
19. cos(7x)=cos(3x)
20. tg(7x)=tg(3x)
21. sin(7x)=cos(3x)
22.
33 xsin =
65 xsin
23.
33cos x =
65cos x
24.
33 xtg =
65 xtg
25.
33 xsin =
65cos x
26. sin(x2–1)=sin(3x2+2)
27. cos(x2–1)=cos(3x2+2)
28. tg(x2–1)=tg(3x2+2)
29. sin(x2–1)=cos(3x2+2)
5.3 Metodo standard per la risoluzione di una qualunque equazioni
trigonometrica
Per risolvere una qualunque equazione trigonometrica nella quale gli argomenti delle
funzioni trigonometriche, sono multipli o frazioni di x, si procede come segue:
si verifica se x= è soluzione o meno dell’equazione
applicando le formule di addizione, di sottrazione, di duplicazione, di bisezione e
di prostafersi, si ottiene un’equazione in sin(x), cos(x) e tg(x)
si esprimo sin(x), cos(x) e tg(x) in funzione di tg(x/2)
si pone t=tg(x/2) e si ottiene così un’equazione polinomiale nella variabile t
si risolve l’equazione polinomiale nella variabile t
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nella scrittura che descrive la soluzione dell’equazione polinomiale, si sostituisce
tg(x/2) al posto di t e si ottiene così un certo numero di equazioni trigonometriche
elementari. L’unione delle soluzioni di queste ci dà la soluzione dell’equazione
trigonometrica assegnata.
Benché questo metodo rappresenti uno strumento validissimo, nella risoluzione delle
equazioni trigonometriche, in molti casi esso riconduce a delle equazioni polinomiali
di grado elevato e di conseguenza tediose da trattare. Tratteremo in seguito alcuni tipi
di equazioni trigonometriche, aventi ognuna un metodo risolutivo opportuno, che
consente di risolvere il tipo d’equazione in questione, in maniera più sbrigativa
rispetto al metodo standard descritto sopra.
I seguenti esercizi non sono finalizzati alla risoluzione, ma servono soltanto a
titolo di esempio, per mostrare come il suddetto metodo standard, nella maggior parte
dei casi, conduca a delle espressioni difficili, se non addirittura impossibili da trattare
analiticamente.
Esercizi
1. 3sin4(x)=1
2. 3cos2(x)+sin(x)=0
3. sin(x)cos(x)=1/2
5.4 Equazioni trigonometriche lineari in sin, cos e tg
Un’equazione trigonometrica lineare è del tipo:
asin(x)+bcos(x)+ctg(x)+d =0 (13)
dove a,b,c,dR. Per risolvere questo tipo di equazioni, bisogna ricorrere al metodo
descritto nel paragrafo 5.3. Esiste tuttavia un caso particolare della (13) riconducibile
immediatamente a equazioni di tipo elementare. Se a=1, b= 1, c=0, la (13) diventa:
sin(x) cos(x)+d=0
moltiplicando ambo i membri per 2 /2 (ricordando che sin(/4)=cos(/4)= 2 /2),
dalle formule di addizione e sottrazione del seno, segue che:
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02
24
dxsin
facilmente risolvibile.
Esercizi
1. 4sin(x)–2cos(x)+ 3 –2=0
2. sin(x)–cos(x)+1=0
3. sin(x)+cos(x)–1=0
4. cos(x)+sin(x)– 2 =0
5. sin(x)+cos(x)–22 =0
6. 3 sin(x)–cos(x)=0
7. 4sin(x)–3cos(x)=0
8. sin(x)–cos(x)=0
9. sin(x)+cos(x)– 2 =0
10. 4sin(x)–2cos(x)+ 3 –2=0
11. 3sin(x)–cos(x)=3
12. 2 3 cos(x)+2sin(x)= 6 + 2
13. 13
cos3
xxsin
14. 2 3
22 xsin +sin(x)+ 3 –2=0
15. 2
2cos2 x +sin(x)–2=0
5.5 Equazioni risolvibili applicando le formule di prostafersi
In molti casi, l’applicazione delle formule di prostafersi consente di trasformare
un’equazione trigonometrica complessa, in un’equazione equivalente, facilmente
risolvibile. In genere, la formula di prostafersi si applica fra due termini, in modo che
si ottenga un prodotto contenente una funzione con lo stesso argomento di una già
esistente nell’equazione data.
Le seguenti equazioni sono risolvibili applicando le formule di prostafersi:
xbacbxsinaxsin2
sin)()(
xbacbxsinaxsin
2cos)()(
xbacbxax2
cos)cos()cos(
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xbacbxax2
sin)cos()cos(
cbxsinaxsin )()(
cbxax )cos()cos(
dove a,b,cR. Ad esempio se applichiamo la formula di prostafersi alla prima
equazione otteniamo:
xbaxbaxba
2sin
2cos
2sin
e quindi:
02
cos2
sin
cxbaxba
che un’equazione che sappiamo risolvere. Analogamente si procede per le rimanenti
tre equazioni.
Esercizi
1. cos(4x)+cos(2x)=2cos(x)
2. sin(4x)–sin(2x)=sin(x)
3. sin(5x)+sin(3x)=–sin(x)
4. sin(5x)+sin(3x)=cos(x)
5. sin(7x)–sin(x)=cos(4x)
6. sin(7x)+sin(x)=sin(4x)
7. sin(5x)–sin(x)=sin(2x)
8. sin(3x)+sin(5x)=sin(4x)
9. sin(3x)+sin(5x)=–cos(x)
10. sin(5x)–sin(x)=cos(3x)
11. cos(5x)+cos(x)=cos(3x)
12. cos(5x)–cos(x)=–sin(3x)
13. cos(3x)+cos(5x)=–cos(4x)
14. cos(8x)–cos(4x)=2sin(6x)
15. cos(2x)+cos(4x)=2cos(x)
16. 22
44
xsinxsin
17. 14
cos3
xxsin
18. 23
65
xsinxsin
19. 4
262
cos6
cos
xx
20.
xx
4cos
4cos6 =
2sin(2x)
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5.6 Equazioni risolvibili applicando le formule di Werner
In molti casi, l’applicazione delle formule di Werner consente di trasformare
un’equazione trig. complessa, in un’equazione equivalente, facilmente risolvibile. Le
seguenti equazioni sono risolvibili applicando le formule di Werner:
sin(x+a)sin(x+b)=c
cos(x+a)cos(x+b)=c
sin(x+a)cos(x+b)=c
Esercizi
1. 2sin(2x+)sin(2x)=0
2. 41)2cos(
62
xxsin
3. 42)3(
123cos
xsinx
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6 Equazioni riconducibili allo studio di equazioni ordinarie.
Equazioni irrazionali. Equazioni contenenti espressioni in
valore assoluto. Equazioni fratte.
6.1 Equazioni riconducibili a equazioni polinomiali grado n
Sia f=f(x) una funzione reale. L’equazione in questione è del tipo:
an [f(x)]n+an–1 [f(x)]n–1+…+ a1 f(x)+a0 =0 (14)
Si pone t= f(x) e si ottiene la seguente equazione polinomiale:
antn+an–1tn–1+…+ a1t+a0= 0 (15)
detta equazione ausiliaria. Si risolve questa equazione di grado n nella variabile t,
successivamente nella scrittura che descrive la soluzione della (15), si sostituisce f(x)
al posto di t e si ottiene così un certo numero di equazioni del tipo:
f(x)=a dove a R
l’unione delle soluzioni di queste ci da le soluzioni della (14).
Vediamo un caso particolare della (14). Ricordiamo che un polinomio si dice
omogeneo se tutti i monomi che lo costituiscono hanno lo stesso grado, essendo il
grado di un monomio la somma degli esponenti delle incognite che lo costituiscono.
Un’equazione omogenea di grado n, nella quale le incognite sono due funzioni, di cui
una non si annulla mai, per il secondo principio, si può ricondurre ad un equazione
del tipo (14), infatti basta dividere ambo i membri per la funzione non nulla elevata
ad n. A titolo d’esempio consideriamo il caso n=3. Siano f=f(x) e g=g(x) due
funzioni reali e supponiamo che la g e non si annulli mai e consideriamo:
af3(x)+bf2(x)g(x)+ cf(x)g2(x)+ dg3(x)=0
che è un’equazione omogenea di grado tre, nelle variabili f(x) e g(x), ed è equivalente
all’equazione:
ah3(x)+bh2(x)+ ch(x)+ d=0
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dove si è posto per comodità h(x)=f(x)/g(x).
Esercizi
1. 06)(log5)(log 222 xx
2. 03)(log4)(log 323 xx
3. 04)(log)(log 22/1
32/1 xx
4. 22x–32x+2=0
5. 372x+7x–4=0
6. 22x–122x+32=0
7. 2sin2(x)–1=0
8. 4sin2(x)–2( 3 +1)sin(x)+ 3 =0
9. 2sin2(x)+(2+ 2 )sin(x)+ 2 =0
10. 2sin4(x)–3sin2(x)+ 1=0
11. 7sin(x)+2cos2(x)–5=0
12. cos2(x)+5sin2(x)–sin(x)=0
13. 3cos(x)+sin2(x)–3=0
14. 03)cos(32
4 2
xxsin
15. 4sin4(x)+cos2(x)–3=0
16. 2sin3(x)–(3 2 +2)sin2(x)–
(3 2 +2)sin(x)–2=0
17. 4cos2(x)–2( 3 + 2 )cos(x)+ 6 =0
18. 8cos4(x)–10cos2(x)+ 3=0
19. 2 cos3(x)–(3– 2 )cos2(x)–(3–
2 )cos2(x)+ 2 =0
20. 021)cos(2
cos4 2
xx
24. 2sin2(x)+5cos2(x)–4=0
25. 0112
2
xtg
26. 2tg2(x)+3tg(x)–1=0
27. 3tg2(x)–2 3 tg(x)–3=0
28. 3 tg3(x)+(4– 3 )tg2(x)–(4– 3 )tg(x)–
3 =0
29. tg4(x)+2tg2(x)–3=0
30. 3 sin(x)–cos(x)=0
31. 4sin(x)–3cos(x)=0
32. 6sin2(x)– 3 sin(x)cos(x)–cos2(x)=0
33. sin3(x)– 3 sin2(x)cos(x)–cos3(x)=0
34. sin4(x)–4sin2(x)cos2(x)+3cos4(x)=0
35. (1+ 3 )sin2(x)–( 3 –1)sin(x)cos(x)–
1=0
36. 4sin4(x)+4sin2(x)cos2(x)=1
37. 3cos2(x)+2 sin(x)cos(x)=3
38. 2sin2(x)–5sin(x)cos(x)–+3cos2(x)=0
39. 3 cos2(x)–2sin(x)cos(x)–
3 sin2(x)=0
40. 3 sin2(x)–2sin(x)cos(x)–
3 cos2(x)=0
41. sin2(x)–4sin(x)cos(x)+ 3cos2(x)=0
42. 2sin2(x)–4sin(x)cos(x)–3cos2(x)=0
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21. 2 3
2cos2 x +cos(x)+ 3 –2=0
22. 2
22 xsin +cos(x)–2=0
23. 2cos2(x)–sin2(2x)+ 2 =0
43. 2sin2(x)+(3+ 3 )sin(x)cos(x)+3(1–
3 )cos2(x)=0
44. sin4(x)+3sin2(x)cos2(x)–cos4(x)=0
45. cos(2x)+sin(x)–1=0
6.2 Equazioni irrazionali
Un’equazione irrazionale è del tipo:
n xf )( =g(x) (15)
dove f=f(x) e g=g(x) sono funzioni reali ed nN. Se n è dispari allora per il 3o
principio, elevando ambo i membri della (15) ad n otteniamo l’equazione
equivalente:
f(x)=gn(x)
Se n è pari per l’esistenza della radice bisogna imporre f(x)0 ed inoltre affinché
abbia senso la (15), dobbiamo imporre pure che sia g(x)0. In queste condizioni per il
terzo principio, un’equazione equivalente alla (15), si ottiene elevando ambo i
membri della (15) ad n. Pertanto la (15) è equivalente al sistema:
)()(
0)(0)(
xgxf
xgxf
n
Osserviamo che la prima condizione è implicitamente contenuta nella terza e quindi
in definitiva la (15) è equivalente al sistema:
)()(
0)(
xgxf
xgn
Vediamo alcuni casi particolare della (15).
Se la funzione g è costante e vale costantemente kR la (15) diventa:
n xf )( =k
se n è dispari l’equazione equivalente è:
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f(x)=kn
Se n è pari l’equazione non è mai soddisfatta se k<0, mentre nel caso k0 l’equazione
equivalente è:
f(x)=kn
Un altro caso particolare della (15) è il seguente:
)()()( xCxBxA (16)
con A=A(x), B=B(x) e C=C(x) funzioni reali. Posto h(x)=C(x) )(xB si ottiene:
)(xA =h(x)
che è un’equazione del tipo (15), si costruisce quindi il sistema equivalente,
successivamente si esplicita la definizione della h=h(x) e di conseguenza si
aggiungono le equazioni che essa comporta. Si ottiene così un sistema equivalente
alla (16). Nel caso di un’equazione, nella quale compaiono più di due espressioni
sotto il segno di radice, non esiste un procedimento standard. Quello che bisogna fare
è usare i tre principi (soprattutto il terzo principio), per cercare di ricondursi a un
sistema equivalente, contenente equazioni del tipo (15), (16).
Fissati m,nN un’espressione apparentemente più generale della (15) è la seguente:
nmxf /)( =g(x)
infatti quest’ultima la possiamo scrivere come:
n mxf )( =g(x)
In effetti l’espressione più generale della (15) è:
mn xgxf )()( (17)
dove m,nN. Analogamente a quanto visto per la (15), si distinguono i casi n, m pari
o dispari, si impongono le opportune condizioni d’esistenza e si applica il terzo
principio d’equivalenza. Risolviamo ad esempio la (17) nel caso n=m=2. Imposte le
condizioni d’esistenza per il terzo principio d’equivalenza possiamo quadrare ambo i
membri della (17) e di conseguenza il sistema equivalente è:
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)()(0)(0)(
xgxfxgxf
Si osserva che la seconda equazione è implicitamente contenuta nella prima e nella
terza equazione e quindi in definitiva il sistema equivalente è:
)()(0)(
xgxfxf
Esercizi
1. 2352 2 xxx
2. xxx 23 2
3. 125 2 xx
4. 082 xx
5. 0123 2 xxx
6. 0245 xx
7. 243 xx
8. 02 xx
9. )1lg()1lg()lg( 2 xxx
10. 1+ )ln(2)ln(3))(ln(2 2 xxx
11. )1lg()1lg( 22 xx
12. )(211)cos(2 2 xsinx
13. 01)(2)2cos( xsinx
14. )(cos43)(21 2 xxsin
15. 2)cos()(4
xxsinxsin
16. 3582 xxx
17. 22211 xxx
18. 33582 2 xxxx
19. 1321 2 xxx
20. 2cos(x)–1=
)cos(11)cos(2 xx
21. ln(x2–1)=
)1ln()1(ln 222 xx
6.3 Equazioni contenenti espressioni in valore assoluto
Ricordiamo che la funzione modulo è così definita:
0 se 0 se
xxxx
x
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Dalla definizione si evince, che valgono le seguenti identità:
2xx =max{–x,x} xR (18)
yxxy x,yR
Inoltre assegnato un numero reale m0, valgono le seguenti relazioni:
mx se e solo se x=m
in particolare:
0x se e solo se x=0
Assegnata un’equazione, in cui compaiono due o più espressioni in valore assoluto, si
procede come segue:
si studiano le variazioni di segno di ogni espressione in modulo
in corrispondenza ad ogni variazione, si scrive l’equazione data, esplicitando i
moduli
le soluzioni dell’equazione assegnata, sono date dall’unione delle soluzioni dei
sistemi suddetti.
Consideriamo ad esempio l’equazione:
075342 xxxx
costruiamo la tabella che ci dà le variazioni di segno delle espressioni in modulo:
Figura 4
Quindi le soluzioni dell’equazione data, sono date dall’unione delle soluzioni dei
seguenti sistemi:
x+5
3–x
–5 –2 2 3
x2–4
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07)2()3()4(
52 xxxx
x
07)2()3()4(
32 e 252 xxxx
xx
07)2()3()4(
222 xxxx
x
07)2()3()4(
32 xxxx
x
Vediamo un altro esempio:
)(12 xsinx =0
costruiamo la tabella che ci dà le variazioni di segno delle espressioni in modulo:
Figura 5
Quindi le soluzioni dell’equazione data, sono date dall’unione delle soluzioni dei
seguenti sistemi:
0)()1(
12 xsinx
x
0)()1(
012 xsinx
x
0)()1(
102 xsinx
x
0)()1(
12 xsinx
x
x2–1
–1 0 1
x
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Vediamo un ultimo esempio:
1321124 22 xxxxxx
si studiano le variazioni di segno, rispettivamente delle funzioni:
42 x
112 xxx
32 x
si costruisce la tabella che descrive le variazioni di segno delle espressioni in modulo:
Figura 6
Quindi le soluzioni dell’equazione data, sono date dall’unione delle soluzioni dei
seguenti sistemi:
1)32(1124
2 e 222 xxxxxx
xx
1)32(112)4(
22/3 e 2/3222 xxxxxx
xx
1)32(112)4(
2/32/322 xxxxxx
x
L’analisi fatta ci mostra che in generale un’equazione contenete espressioni in valore
assoluto, si riconduce alla soluzione di più sistemi.
Vediamo un caso particolare. Siano f=f(x) e g=g(x) due funzioni reali, e
consideriamo l’equazione:
)()( xgxf (19)
3/2 –1 –3/2 –2
32 x
0
x2–4 2
112 xxx
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Per quanto suddetto segue che le soluzioni della (19) sono date dall’unione delle
soluzioni dei sistemi:
)()(0)(
xgxfxg
e
)()(0)(
xgxfxg
E nel caso particolare:
mxf )(
con m0, le soluzioni sono date da:
f(x)=m
Concludiamo facendo osservare, che per l’identità (18), ogni equazione contenente
espressioni in modulo, può essere ricondotta ad un’equazione irrazionale. Tuttavia
quest’ultimo metodo non viene mai usato, poiché esso riconduce a equazioni
irrazionali, i cui procedimenti di risoluzione, sono indubbiamente meno standard di
quelli adoperati per la risoluzione delle equazioni contenenti espressioni in valore
assoluto.
Esercizi
1. xx 223
2. 312 x
3. 2)1(3)4()1( 2 xxxx
4. 0322 xx
5. )1)(3(43 2 xxxxx +
9x=3
6. )1(3243 22 xxxxx +
9x=3
7. xxxx 21
35. 01)cos()( xxsin
36. 2 12 xsin
37. 23)1(2 xsin –2( 3 +1)sin(x–
1)+ 3 =0
38. 021cos2
cos4 2 xx
39. 01 xsinx
46. 2tg2 x +3 )(xtg –1=0
40. 3 sinx)– )cos(x =0
41. 4 )(xsin +cos(x)=0
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8. xxxx 24232 +
39113 xxx
9. xx 2)1(
10. xx 2)1(
11. 22 )3()1( xx +
31)816( 222 xxxx
12. xx 27
13. 022322 xxx
14. 022322 xxx
15. 02232234 12 xxxxx
16. 02232234 12 xxxxx
17. 0ln x
18. 125ln 2 x
19. 125ln 2 x
20. )ln(21)1ln( 2 xx –
01)3ln( x
21. )ln(21)2ln( 2 xxxx –
1133ln x
22. 11ln)1(ln 2 xx
42. )cos(x +2cos(x)=0
43. 6sin2(x)– 3 sin(x) )cos(x –cos2(x)=0
44. sin4 x –4sin2(x)cos2 x +3cos4(x)=0
45. (1+ 3 )sin2(x)–( 3 –1)sin x cos x –
1=0
46. 32733 23 xxxx
47. 12232 xxx
48. 2352 2 xxx
49. 125 2 xx
50. 082 xx
51. 3582 xxx
52. 22211 xxx
53. 0123 2 xxx
54. 1321 2 xxx
55. 0245 2 xx
56. 013
12
12
xx
57. 243 xx
58. 02 xx
59. 1lg)1lg(lg 2 xxx
60. 1+ 2)1ln(3)1(ln2 222 xx =
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23. 0ln)ln(ln xxx
24. 21)( xsin
25. 21)cos( x
26. 21
xsin
27. 211 xsin
28. 2
1)cos( x
29. 21cos x
30. 231cos 2 x
31. 1)( xtg
32. 12
xtg
33. 1xtg
34. 2 2)(2
cos2
xsinx =0
1ln 2 x
61. 1ln)1(ln)1ln( 2222 xxx
62. 1719274 xxx
63. 7771172 2 xxx
64. 777117 2 xxx
65. )(211)cos(2 2 xsinx
66. )(211)(2 2 xsinxsin
67. 0122cos xsinx
68. )(cos43)(21 2 xxsin
69. 2cos4
xxsinxsin
70. 2cos(x)–1=
)cos(11)cos(2 xx
6.4 Equazioni fratte
Siano f=f(x)e g=g(x) funzioni reali. Si dice equazione fratta (in forma normale):
0)()(
xgxf (20)
per il secondo criteri d’equivalenza tale equazione è equivalente al sistema:
0)(0)(
xfxg
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Se l’equazione fratta non è data in forma normale mediante ovvie operazioni la si
riporta in tale forma.
Esercizi
1. 131
xx
2. 010365
2
2
xxxx
3. 06765
2
2
xxxx
4. 087
1272
2
xxxx
5. xx
xx
5151
5151
6. 0112
xx
7. 2312
xx
8. 253
xx
9. 13
124
xx
10. xxx
xx 3
321
2
11. xx
xzx 51
1212 2
12. 2
431
1
x
x
31. xx
2
11
32.
)4)(2(
47ln)1ln(3
xxxx
33. )25ln()2ln()12ln(2 xxx
34. 3ln(x–2)>ln(x)+ln(x2–14)
35. )3ln(2)23ln(23ln xx =
12ln2 x
36. log(2x–1)+log(3x–8)–log(x)–log(x–
2)=log(5)–log(3)
37. 16)ln()(ln
1)(ln2
2
xxx
38. 0312log 2
xx
39. xxx log)1log()log(2
40. 11
1610log2
10
xxx
41. 06545log 2
2
10
xxxx
42. 0)1lg(2 2)(
xxex
xsin
43. 032
x
x
e
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Dott. S. Caltabiano 34
13. x
xxx
xx 314
22
2
14. 122
2
xxx
15. 11
1211
2
322
xx
xx
xx
16. 1
343
53
2
xxxx
17. 21
212
42
2
24
2
xx
xxx
18. 0243242
1617510
48
xxxx
19. 51
21
251
2
4
xxx
x
20. 11 x
xx
21. 16
xx
22. 1
11
x
x
23. 223 xx =
22316
xx
24. 5
115
xx
x
44.
02
)2))(lg(1(22
2
xx
x
ee
ex
45. 03
1ln
xe
xx
46. 01)ln(
42
xx
47. 1)(
1
xsin
48. 1)cos(
1
x
49. 1)(
1
xtg
50. 1)cos()cos(
1 x
x
51. 02)cos(21)(2
xxsin
52. 01)cos(22)(2
xxsin
53. 01)(31)(2
xtgxsin
54. 01)(23)(
xsin
xtg
55. 01)(
32)(
xtgxtg
56. 01cos
)cos(122
x
xxsin
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Dott. S. Caltabiano 35
25. 1513
11513
xxxxx
26. 0132
342
xx
xx
27. 124
12
xxxx
28. 2312
xx
29. 13
632
1
xx
30. 032 x
xx
57. 01)(3cos
)cos(122
xsinx
xxsin
58. 03))((lg
1)1ln(2)1(ln2
2
xsinee xx
59. 02
1)(32
xsine
xsin
60. 0)(
)(cos)( 2
xsin
xxsin
61. 0)3(
)()(25
24
xxtgxtg
62. 01 ))(ln(
2
xsin
xtgxtg
eee
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7 Complementi sulle equazioni trigonometriche
7.1 Equazioni simmetriche in sin e cos
Un’equazione trigonometrica in sin(x) e cos(x) si dice simmetrica, se questa non
cambia di forma scambiano sin(x) con cos(x) e viceversa. Per risolvere questo tipo di
equazioni si procede come segue:
si pone 4
yx
si applicano le formule di addizione e sottrazione e la formula fondamentale
sin2(y)+cos2(y)=1. Si ottiene così un’equazione del tipo (14)
si sostituisce nelle soluzioni di quest’ultima 4
xy e si ricavano quindi le
soluzioni dell’equazione di partenza
Esercizi
1. 2sin(x)+2cos(x)–sin(x)cos(x)=1
2. 2 sin3(x)+ 2 cos3(x)+1=0
3. 3sin(x)+3cos(x)–5sin(x)cos(x)=3
4. sin(2x)+2 2 (sin(x)+cos(x))=5
5. sin(x)+cos(x)–sin(x)cos(x)–1=0
6. sin(x)+cos(x)–2sin(x)cos(x)=1
7. sin(x)+cos(x)+sin(x)cos(x)=1
8. 2(2 3 –1)[cos(x)+sin(x)+
2sin(x)cos(x)]–11=0
9. ( 3 –1)(sin(x)+cos(x))–2sin(2x)=0
10. sin(x)–cos(x)+2 2 sin(x)cos(x)=0
7.2 Equazioni trigonometriche non tipiche
Abbiamo già detto che non esistono norme di carattere generale, per la risoluzione
delle equazioni trigonometriche. Gli esercizi esposti qui di seguito sono delle
equazioni trigonometriche che non rientrano fra quelle tipiche finora trattate, o per lo
meno non vi rientrano direttamente, nel senso che per risolverle, bisogna applicare
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opportunamente uno o più volte, le varie formule trigonometriche e cercare così di
ricondurle a equazioni aventi una forma risolvibile ovvero a equazioni tipiche.
Esercizi
1. cos(x)–sin(x)tg(x)=33
2. 4sin(x)–cos(x)cotg(x)=21
3. sec(x)tg(x)=32
4. tg2(x)(1–sin2(x))=43
5. 3sec2(x)+2tg(x)=3
6. 2(sin4(x)– cos4(x))=1
7. cosec2(x)–3cotg2(x)=31
8. 34
64
xtgxtg
9. 3)(26
xtgxtg
10. 3cos(2x)–5 3 cos(x)+6=0
11. 1+cos(2x)=3cos2(x)–sin2(x)
12. 16sin2(2x)+4cos2(x)=15
13. 213)cos(
23
xxtg
14. 2cos(x)+3sec(x)=7
15. 2sin(x)+3cosec(x)=4 2
16. cotg2(x)+4cos2(x)=6
22. 22
)(
xtgxtg
23.
2cos2)( 2 xxsin =
2cos
23 xxsin
24. 23
)()cos()2cos(
xsinx
x
25. )2cos(1
)cos()2cos(1
)(x
xx
xsin
26.
)(2))(1(21)(cos3 2
22
xtgxtgxec =
)(cos151
2 x =0
27. 1)(cot
)2(
xgxtg
28. 34
)cos()cos(2)()1)((
xxxsinxtg =
21
23
2 xtg
xtg
29. cos3(x)– 3 cos2(x)–(sin2(x)+sin(x)–
1)cos(x)+ 3 sin(x)=0
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17.
2)cos(1)cos(21 2 xtg
xx
18.
2)cos(1)cos(1 2 xtg
xx
19. 4(sin(x)–2cos(x))2=13–8sin(2x)
20. 32
)(4
xtgxsin
21. 32
)cos(4
xtgx
30.
23
)cos(1)cos(1 2 xtg
xx
31.
23
)cos(1)( 2 xtgx
xsin
32.
23
)cos(1)( 2 xtgx
xsin
33.
xsinxxsin
xxxsinxsin
25
2cos
)3()5cos()cos()5()(
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Dott. S. Caltabiano 39
8 Esercizi di vario tipo
1. x3+x2–2=0
2. x4–6x2+8=0
3. 013 xx
4. 31 2 xx
5. 012 xxx
6. 0)1(23 xxx
7. 112 xxx
8. 3
324
1
xx
9. 3212
xx
10. )2(28
15)2(4
3)32(7
37
xxxx
11. 12
x
xx
12. 333
xx
13. 21
123
xx
14. 32
21
xx
15. 112
2
xx
16. 21221
xx
60. tg(x)–tg(2x)=sin(x)
61. tg(x)tg(3x)=1
62. 03)(4)(3 2 xtgxtg
63. )(ln)ln( 2 xx
64. 1ln)1ln( 2 xx
65. 2
11)ln(
)ln(2
x
x
66. 2ln2
x
exx
67. 0)1(lg
6)ln(5)(ln2
10
2
xx
xx
68. 0)52ln(ln
11
1610lg2
10
xx
xx
69. )7(lg212lg1lg 101010 xx
70. 23ln)2ln(14ln
x
xx –
2ln x
71. 2)(lg31)(lg 22 xx
72. )1(ln2
1ln)1ln( 22
2 xaxa
con aR
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Dott. S. Caltabiano 40
17. 312 xxx
18. 123 2 xxx
19. 14
12
xx
20. )2)(1()4)(3( xxxx
21. 03
1112
xxx
22. xx
x
243
23. 14
132
2
xx
xx
24. 111
xx
xx
25. 1115
xx
26. 1125
xx
27. 2113
xx
28. 116
952
2
xx
29. xxx 651 2
30. 21454 22 xxxx
31. 42158 22 xxxx
32. 1341341
xxxx
73. 2)415ln()2ln(ln
xx
74. )35(lg)3264(lg 1010xx +
)9(lg10
75. 3)2(lg
)56(lg
10
310
xx
76. )4(lg1lg2)4(lg 1 xxx
xx
77. )4(lg1lg2)4(lg 1 xxx
xx
78. 2112 xtgsin
79. 231cos 2 xtg
80. 211 xsin
81. 1)()(
1)2(
xtg
xtgxsin
82. 22
2cos)cos(
xx
83. 2sin(x)–5cos(x)?5
84. 2sin(x)–cos(x)=2
85. 8cos(x)+2sin(x)=4+ 3
86. 2cos2(x)+sin2(2x)=2
87. cos(x)cos(4x)=cos(2x)cos(3x)
88. sin(5x)–sin(2x)=sin(3x)
89. sin(6x)–sin(4x)=2sin(x)
90. sin(8x)+sin(4x)=2cos(2x)
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Dott. S. Caltabiano 41
33. xx
xx 11
34. 716 xx
35. xx 49512
36. 11
21
x
xx
37. 132
5132
3
xx
38. 1123
312
xx
xx
39. 277737
xxxx
40. 12
2112
xx
x
41. 112
xxx
42. 1242
6332
2
xx
xx
43. 06353
6422
152
xx
xx
44. 0
21
21
321
2
212
xx
x
45. 023324
21
122
2
xx
xx
91. sin(7x)–sin(3x)=2sin(2x)
92. cos(4x)–cos(2x)=sin(x)
93. cos(5x)–cos(3x)=sin(4x)
94. cos(6x)+cos(2x)=2cos(4x)
95. 2sin(x)+2cos(x)–4sin(x)cos(x)=1
96. cos(x)+sin(x)–2 2 sin(x)cos(x)=0
97. sin(x)+cos(x)–2( 2 –1)sin(x)cos(x)–
1=0
98. )(3
xsinxsin
99.
2cos
4222 xxsin
100. 0122
2 2
xsinxsin
101. 4sin2(x)–2 3 sin(x)cos(x)–
2cos2(x)–1=0
102. sin2(x)–4 3 sin(x)cos(x)+
cos2(x)+2=0
103. /3+ 3 )sin2(x)+
( 13 )sin(x)cos(x)+2cos2(x)–3=0
104. sin(4x)+sin(x)=0
105. 12
cos)( 22
xxsin
106. 1)(3)( xsinxcoa
107.
2)cos(1 xsinx
108.
2cos2)cos(1 2 xx
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Dott. S. Caltabiano 42
46. 03
8232 12
x
xx
47. 033
22 2
x
xz
48. 0)352)(1( 2 xxx eee
49. xxxx 2112 2233
50. 122xxx
51. 19)39(232)32( 12 xxxx
52. 1212 52245 xxxx
53. 06)(log5)(log 222 xx
54. 14ln2
x
x
55. 22
2ln
2
xx
56. 22ln xx
57. 22ln x
58. )(1
)(2)cos(2 xtgxtgx
59. 3tg(x)–2cos(x)=0
109. )cos()2cos( xx
110. )cos()2( xxsin
111. 01)(2)cos(1)()(2
2
2
xsinxxsinxsin
112. )cos()()13(
)(cos12 x
xsinx
0)13(
113. 0cos)2( xxsin
114. 0)(3)2(
1)cos()()(
xtgxtgxxsinxtg
115. tg(x)tg(2x)=1
116. )(3)(cos)( 222 xsinxxtg –
0)(cos3)cos()( 2 xxxsin
117. 2)2cos(
1)cos()2cos(
x
xx
118. 03)()cos(3
1)cos(
2)(
2
2
xsinxx
xtg
119. )()(21 2 xsinxsin