Post on 15-Feb-2019
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Laurea in Scienza dei Materiali A.A. 2016-2017 ELEMENTI DI FISICA TEORICA (EFT) (7 crediti ) aula 29 Laurea Magistrale in Fisica
Teoria dei Solidi (TS) (6 crediti) aula 29
Prof. Michele Cini Tel. 4596 michele.cini@roma2.infn.it Ricevimento Studenti (stanza 9 corridoio C1) Lunedi e Mercoledi 14-16
9-10
10-11
11-12
Lunedi Martedi Mercoledi Giovedi Venerdi
Ts
EFT EFT EFT
EFT
EFT
http://people.roma2.infn.it/~cini/
Ts Ts Ts
Ts
files delle lezioni:
invito a mandare un mail a: cini@roma2.infn.it per presa contatto
2
Elementi di Fisica Teorica
•La comprensione della teoria si vede anche dalla capacita’ di risolvere problemi
• 7 crediti, 56 ore=
• 44 di lezione+
•12 di esercitazioni
•Esame scritto (3 esoneri) e orale
E’ necessario saperlo molto bene per i corsi successivi.
C’e’ una regola di propedeuticita’ con fisica Atomica etc.
4
Fisica: teoria ed esperimento • Il libro della Natura e’ scritto in caratteri matematici (Galileo)
• La Matematica serve a fare i conti, ma e’ una costruzione
astratta e libera della fantasia ricca di concetti qualitativi. Ha
un enorme successo nella descrizone della realta’.
• La teoria e’ qualitativa e quantitativa.
• La Fisica e’ una Scienza sperimentale, ma non e’ puro
empirismo: l’esperimento e’ fonte del vero, ma va
interpretato: cosi’ la Fisica procede su due gambe – Teoria
ed Esperimento. Senza teoria, ne’ computer ne’ GPS!
• La teoria non e’ mai astratta, il significato e’ sempre
operativo: se faccio questo, succede quello…..
• Al livello delle leggi fondamentali,tutto e’ legato con tutto!
• L’esperimento ci rivela che ci sono costanti fondamentali
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Alcune costanti fondamentali della natura
23
23 0
numero di Avogadro 6.022 10
Costante di Boltzmann 1.3810 /
A
B
N
K J K
Meccanica
Statistica
8
211
2
velocita' della luce 310 /
costante gravitazionale 6.67 10
c m s
N mG
kg
Elettromagnetis
mo,Relativita’
19
31
27
34
2
0
carica del protone 1.602 10 C
m massa dell'elettrone 9.10910
massa del protone 1.67 10
costante 6.62610
1costante
2 137,036
P
e
Kg
m Kg
h di Planck J s
edi struttura fine
c
Fisica quantistica
30
33
3
Lunghezza massima (universo osservabile) 10
Lunghezza diPlanck minima (teorica) 10p
cm
Gl cm
c
La teoria deve descrivere fatti che differiscono di molti ordini di
grandezza. Ad esempio:
Alcune leggi attraverso molti ordini di grandezza : la legge di Planck
E= hn
E= energia del fotone, h= costante di Planck nfrequenza
vale in tutto lo spettro elettromagnetico
Le teorie non sono ‘mode’ che cambiano e non ci sono ‘rivoluzioni’
scientifiche; ci sono generalizzazioni quando si cambia la scala dei
fenomeni.
F=ma e le equazioni di Maxwell capite meglio che nel secolo XIX
restano!
In altri casi un salto di ordini di grandezza o nuove scoperte portano a
ripensare i fondamenti. Allora occorre una teoria che spieghi i
fenomeni nuovi e insieme quelli vecchi
Scienza dei materiali nel Secolo XXI
Nuovi materiali: Proprieta’ elettriche, magnetiche, meccaniche, termiche,
chimiche, ottiche,superconduttive, tossicita’, impatto ambientale,costo ...
Microscopie, spettroscopie, che vanno sapute leggere e interpretare,
per caratterizzare microscopicamente i materiali,
per capire da che dipendono le proprieta’,
cosa fare per ottimizzarle:
richiede una sinergia fra teoria ed esperimento.
Progetto di nuovi materiali e Nanostrutture: Se possibile, il calcolo
delle proprieta’ e’ preferibile alle prove empiriche: e richiede la
Fisica Teorica
Ma le leggi della natura sono interessantissime! E solo la
matematica consente di capire.
9
Microscopio a effetto tunnel
La moderna Scienza dei Materiali
Rappresentazione al computer di un
"ingranaggo" di dimensione nanometrica
Graphene sheets
Calcoli numerici
Modelli teorici
Programma
• Dimensioni fisiche- sistemi di unita’ MKS e cgs
• -Meccanica analitica -- Equazioni di Euler-Lagrange --Formalismo
hamiltoniano.-Trasformazioni canoniche- Particella carica in campo e.m.--
Parentesi di Poisson- -La delta di Dirac
10
Programma
• Meccanica Statistica: ensemble microcanonico, canonico e grand-canonico- Teorema
di equipartizione- Simulazioni Monte Carlo
11
Programma
• -Relativita’ ristretta:--Trasformazioni di Lorentz-Meccanica relativistica-Effetto
Doppler-Tensori-Trasformazioni del campo elettromagnetico.
12
Programma
• -Crisi della Fisica Classica-Legge di Planck-Quanti e fenomeni di interferenza.-
Funzione d’onda-operatori.-Equazione di continuita’-Interpretazione di Copenhagen.--
Problemi 1d--Effetto tunnel- Velocita’ di gruppo.-Oscillatore armonico-
• - Postulati della Meccanica Quantistica- Algebra del momento angolare - Problemi
3d. Separazione delle variabili. —Atomo idrogenoide—Spin-Operatori unitari -
Crittografia quantistica- Equazione di Pauli-Somme di momenti angolari—Particelle
identiche- Interazione di—Perturbazioni indipendenti dal tempo—Perturbazioni
dipendenti dal tempo—Metodo variazionale-
• scambio—Entanglement-paradosso EPR- disuguaglianza di Bell-teorema No-
Cloning—Teletrasporto-Quantum computation.
13
14
Librerie: Nuova Cultura o Universitalia via Passolombardo
il libro e’ disponibile anche in biblioteca
consiglio per i piu’ bravi: leggete qualche pagina in anticipo...
Libro su misura
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FREQUENTARE!
Partecipare attivamente e fare domande quando serve
Studiare con carta e penna, rifacendo i passaggi, risolvendo gli esercizi
Molte difficolta’ sono concettuali, ma bisogna
essere bravi e svelti col calcolo!
Da parte vostra bisogna:
Studiare molto, l’intero programma, verificando in primo luogo se avete
capito il senso operativo delle formule (che problema si risolve con una
data equazione?).
Dare importanza alle dimensioni fisiche e agli ordini di grandezza!
Aver studiato bene Calcolo 1 e Calcolo 2, Fisica 1 e Fisica 2
Consigliabile studiare giorno per giorno , (ricordate Mitridate re del
Ponto) fare gli esercizi e dare l’esame a giugno
Bisogna conoscere complementi di Calcolo, faro’ digressioni matematiche
16
Mai piu’ di 1 ora al giorno , incluso il question time
Da parte mia:
Molti esercizi li ho inventati ad hoc
Comincio ogni cosa partendo da fatti ben noti e
introduco la matematica necessaria
cercando in ogni modo di essere chiaro!
17 17 17
MECCANICA CLASSICA
F ma
Galileo Galilei (Pisa 1564-
Arcetri 1642)
Nozione di punto materiale (oggetti microscopici in certi problemi, pianeti in
altri)
Nozione di sistema inerziale in cui tutte le forze sono reali e non apparenti
Principio di Relativita’: le leggi sono le stesse in tutti i sistemi inerziali e non esiste la
quiete assoluta di Aristotele
Secondo Aristotele il principio fondamentale e’ che i quattro
elementi terra,aria,a cqua e fuoco tendono a tornare nella
loro sfera di appartenenza.
Aristarco di Samo (310-230 a.C)
enuncia la teoria eliocentrica e
stimo’ grossolanamente le
dimensioni e le distanze di Sole
e Luna
Non gli dettero retta
Tolomeo (100-175) enuncio’ la teoria geocentrica e dette una stima
sbagliata delle dimensioni della terra
Gli dettero retta . Mancava il criterio per decidere della validita’ delle
tesi.
Esempio sulla importanza del metodo
scientifico
21 21 21
F maGalileo Galilei
(Pisa 1564-Arcetri 1642)
Metodo scientifico: provando e riprovando
La meccanica non ha altre leggi fondamentali.
Nel suo viaggio attraverso il Paradiso,
Dante e’ guidato da Beatrice (il sole
che per primo scaldo’ d’amore il suo
cuore), che provando e riprovando (cioe’
argomentando e dis-provando, cioe’
controargomentando) gli rivela il dolce
aspetto della verita’.
E’ stata generalizzata per trattare corpi rigidi, corpi elastici, fluidi,
etc.
Accademia del cimento
22 22 22
MECCANICA CLASSICA
F ma2
2
dF m r
dt
( , ) equazione differenziale
tutti i moti possibili
F F r t
Woolsthorpe-by-
Colsterworth, 25
dicembre 1642
– Londra, 20
marzo1727
23 23 23
Esempi: moto in 1 dimensione 2
2( , )
d xm F x t
dt
0 ( ) (0) vF x t x t moto libero, v=costante
ovvero ( , )mx F x t
21( ) (0) (0)
2F mg x t x x t gt moto uniformemente
accelerato,m si elide
( ) cos( ),k
F kx x t A tm
moto armonico
Casi elementari:
Per individuare una particolare legge oraria x(t) si possono specificare ad esempio x(0) e velocita’ iniziale.
2[ ] [ ]F
k MTL
24
2
2
Meccanica del punto materiale
Il problema e' : assegnata ( , , )
risolvere l'equazione del moto:
drF F r t
dt
dF m r
dt
Come procedere? Euler e Lagrange non avevano idea della relatvita’ o della quantistica; volevano metodi matematici per integrare le equazioni.
Equazione non riducibile alle quadrature, e le soluzioni in generale non hanno nessuna quantita’ conservata, periodicita’, regolarita’….
Quali sono le F fisicamente interessanti?
Cercare e studiare un caso notevole: le forze conservative!
25 25
Forze conservative
2
2
d x dVm
dt dx
2
2
d x dx dV dxm
dt dt dx dt
in 1 dimensione
22
2
1
2
dx d x d dx
dt dt dt dt
( ( ))(lungo la traiettoria)
dV dx dV x t
dx dt dt
21[ ( ) ( ( ))] 02
d dxm V x t
dt dt (x(t) lungo la
traiettoria)
fattore integrante!
sono quelle che hanno un potenziale:
grad (alias ),
( ) energia potenziale
( )1
F V F V
V x
dV xIn d F
dx
(Chain rule )
Vero anche in 3 dimensioni
26
21[ ( ) ( )]2
dxm V x E
dt E e’ integrale del moto [in derivata prima]
2( )
( )
dxdt x x t
mE V x
2
2 2( ) ( )
dx dxE V x E V x
dt m dt m
In 1d si riduce alle quadrature!
E=integrale del moto.
Sistemi integrabili: sono quelli con un integrale del moto per ogni grado di
liberta’. Ma sono rari.
27 27
Punto materiale in 3d-FORZE CONSERVATIVE:
2
2( )
x
y
z
VF
xd V
m r F V r Fydt
VF
z
3
2 2 2 2
1
1 1energia cinetica ( )
2 2
energia potenziale ( , , )
T m x y z m x
V x y z
In 3d non basta la costante E per ridurre il problema alle quadrature, ma e’ comuque un aiuto.
28 28
Sistema di punti materiali in 3d in un potenziale: con i che corre sui punti,
1 2 3( , , , )
ix
i
i i iy
i
iz
i
VF
x
VF V r r r F
y
VF
z
32 2 2 2
1
1 1( )
2 2
( )
N
i i i i ii
N
ii
T m x y z m x
V V r
Lavorare con un potenziale e’ molto piu’ agevole..
Le forze elettromagnetiche e quelle dissipative non sono conservative.
Ma cominciamo dal caso semplice, e poi vedremo.
Problema di Kepler: due masse m1,m2 interagenti con V(r12) Newton: Anche la Terra attira il sole! (rilevante anche a atomo di H)
1 2
1 2
2 1
1 2
r ,
r .
B mm m
B mm m
2 2
1 1 1 12 2 2 2 122 2Le forze (r ) (r ) sono opposte!
d dm r V m r V
dt dt
2 1
2 1
Conoscere moto del baricentro e moto relativo
a conoscere ed . Semplice cambio variabili!
r r
equivale r r
2 21 1 2 2
1 1 2 22 21 2
1 2 1 1 2 1 22
( ) 0 0, dove Bar
si con
icentro
( ) serv( ) a.B
m r m rd dm r m r B B
m mdt dt
d dp m m B m r m r
dt dtp p
2 1
1 1 2 2
1 2
.
r r
m r m rB
m m
28
Strategia: riscrivere il problema dinamico per il moto relativo.
2 2
1 2
1 2
p pE= ( )
2 2V
m m
12
12
K(r ) =-
rV
1 2
1 2
2 1
1 2
r ,
r .
B mm m
B mm m
1 21 1 1 1
1 2
1 22 2 2 2
1 2
m p = m v m ,
mp = m v m .
md dB
dt m m dt
md dB
dt m m dt
1 2
1 2 1 1
1 1 1 massa ridotta;
m m
m m m m
2 22 21
1
1 1
2 22 22
2
2 2
p m ( ) ( ) ,
pm ( ) ( ) + .
d d d dB B
m dt m dt dt dt
d d d dB B
m dt m dt dt dt
2 2 2 22 21 2
1 2
1 2 1 2
2 2
1 2
p p (m m )( ) ( )( ) ,
dove ( )
d dB
m m dt m m dt
m m
2 1
Scriviamo E in termini di B e del moto relativo r r
L'energia cinetica si separa:
Baricentro
Moto relativo
1 1 2 2
1 2
m r m rB
m m
Problema di Kepler: due masse m1,m2 interagenti con V(r12) Newton: Anche la Terra attira il sole! (rilevante anche a atomo di H)
2 2 221 2
1 2 1 2 1 2
12
1 2
p p p 1 1Energia cinetica: ( )
2 2 2( )
1 1 1 =massa ridotta che si muove in un (r ).
B pm m m m m m
Vm m
2 22
1 2 1 2
p p1E ( ), = costante
2( ) 2( )
Rimane il problema di un corpo di massa in ( ).
cosi' anche l'atomo di H quantistico.
B BB
p V Em m m m
V
Tratteremo
Soluzioni elementari per il moto in 3 dimensioni
atomo di H classico senza irraggiamento (analogo al moto di un pianeta)
Usando la massa ridotta quasi =m
2 2
2
0 0
2
1 1energia potenziale
4 4
1Energia cinetica v .
2
q qF V
R R
dVF
dR
T m
31
33
2 2 2
2
0
22
0
2 2
0
Caso speciale delle orbite circolari: imponendo
v v 1forza centripeta :
4
1si trova come dipende v dal raggio R: v .
4
v 12 e questo 2 0 (teorema
2 4
c c
m m qF F F
R R R
qm
R
m qT T V T V
R
del viriale)
1
2E T V V
2 2
2
00
1 si ottiene dall'energia potenziale V
1
4=-
4
q qF
R R
Invece nel problema di Kepler
2 2 m si elide.
Il moto non dipende dalla massa del pianeta.
(Il moto della massa ridotta non ne dipende, quello del pianeta si'.)
mM MF G ma G a
R R
34
Leggi di Kepler - prendiamo un’ orbita circolare
2
2
22 2 2 3
2 La velocita' orbitale e' v= , dove periodo
v; ricaviamo v.
.
2 4v ( ) , periodo
mM mF G
R R
RG R
GM
R
M
R
Cosi’ Newton spiego’ la terza legge empirica di Kepler. (prima legge: orbite = coniche, seconda: aree uguali in tempi uguali)
2 2
2
v vforza centripeta : .
Uguagliandola alla forza newtoniana
c c
m mF F
R R
mMF G
R
2 1 2 1momento angolare: [ ] unita': . .L r p L ML T Kg m s
1 11Frequenza : ν [ ] unita' :
periodoT sn
1 12pulsazione: [ ] unita':
periodoT s
1 1velocita': v [v] unita': .dx
LT m sdt
22 2
2accelerazione: [ ] unita': .
d xa a LT m s
dt
1 1impulso=quantita' di moto: v [ ] unita': . .p m p MLT kg m s
Unita’ fondamentali: Metro, Kg, secondo, Ampere
Unita’ e dimensioni nel sistema MKSA
Le equazioni della Fisica sono uguaglianze fra grandezze che hanno le stesse dimensioni. Controllare sempre le dimensioni!
Le funzioni trascendenti hanno argomenti adimensionali (numeri puri)
Per capire che dimensioni hanno le varie grandezze basta considerare
le equazioni che le vedono coinvolte.
2 2forza: [ ] unita': . . NewtonF ma f MLT m Kg s
2 2 2 2 21energia: v [ ] unita': . . Joule
2E m E ML T m Kg s
3 2 3potenza: [ ] unita': . . WattdE
W f MLT m Kg sdt
2 1 2 1azione: [ ] unita': . .S Et S ML T m Kg s
1 2 2pressione: / [ ] . unita': /P f S P m L T Newton m Pascal
2 1 2 1momento angolare: v [ ] unita': . .L m r L ML T m Kg s
Sistema di unita’ cgs (centimetro grammo secondo)
-2lunghezza: 1 cm= 10 m
-3massa: 1 grammo= 10 Kg
tempo: 1 secondo
-2 2 -2accelerazione: 1 galileo=1cm.s 10 sm
-2 5forza: 1 dyne=g.cm.s 10 Newton
2 -2 7energia: 1 erg=g.cm .s 10 Joule
2 -3 7potenza: 1 erg/s=g.cm .s 10 Watt
2 1pressione: 1 barye=1dyne/cm 10 Pascal
41 41
Giuseppe Lodovico Lagrangia (Lagrange)
Joseph-Louis Lagrange (Giuseppe Lodovico Lagrangia) (Torino, 25 gennaio 1736 – Parigi, 10 aprile 1813) è stato un matematico e astronomo
italiano, sicuramente uno tra i maggiori e più influenti matematici del XVIII secolo. La sua più importante opera è il testo Mécanique analytique,
pubblicato nel 1788.
42 42
Leonhard Euler (pronounced Oiler) (April 15, 1707 – September 7, 1783) was a Swiss mathematician and physicist, who spent most of his life in Russia and Germany.
44 44
Problemi vincolati
esempio: punto materiale vincolato a una circonferenza
x
y
2 2 2
22
2 22dim : ( , ), ( , ) ( , ), ( , ) ( , )problema
x y R
dy d ydx d xa r x y r x y r x y
dt dt
vinc l
d
o
dt
o
t
la reazione vincolare non e’ nota a priori
arctan( )y
x
meglio pensarlo come un problema 1d: moto libero
cos( )
sin( )
x R
y R
45 45
v sin( )
v cos( )
x
y
dxR t
dt
dyR t
dt
22 2
2
22 2
2
cos( ) ( )
sin( ) ( )
x
y
d xa R t x t
dt
d ya R t y t
dt
22 v
accelerazione centripeta.a r aR
2
2
cos( )0 . Calcoliamo la reazione vincolare:
sin( )
x R td dt
y R tdt dt
v R
costante (moto circolare uniforme): d
Ci aspettiamodt
cos( )Cambiamo variabili:
sin( )
x R
y R
46 46
Problemi vincolati elementari : il pendolo
L
m
2
F
sin( ) sin( )posizione : '
cos( ) cos( )
x L xcioe r L
z L z
cos( )cos( )
velocita' : cioe' vsin( )
sin( )
dx dL
ddt dtL
dz d dtL
dt dt
2
Prendiamo 0 (pendolo che va verso destra) se no e' l'opp
v.v=( ) v |
cos( )vversore tangente :
| .
o
.sin( )v
st
o.
d d
dt dt
d
dt
L L
vServe il versore tangente : .Lo otteniamo da v.
v
La componente della forza lungo L e' bilanciata
dalla reazione vincolare,
Dobbiamo risolvere
resta la component
l'equazione (F-
e tange
ma).
nt
=0.
e
x
z
47 47
2 22
2 2
2 22
2 2
22
2
vsi ottiene l'accelerazione :
cos( ) ( ) sin( )
sin( ) ( ) cos( )
cos( ) sin( )cioe' ( ) .
sin( ) cos( )
da
dt
d x d dL L
dt dt dt
d z d dL L
dt dt dt
d da L L
dt dt
cos( )cos( )
dalla velocita' : cioe' vsin( )
sin( )
dx dL
ddt dtL
dz d dtL
dt dt
Dobbiamo risolvere l'equazione (F-ma). =0.
48 48
L
m
2
F
22
2
cos( ) sin( )( )
sin( ) cos( )
d da L L
dt dt
Dobbiamo risolvere l'equazione (F-ma). =0,
(componente tangente di F=ma), usando
0mentre F . Poiche' F e'
cos( )v
proporzionale a m, m si elide1
e possiamo porr
Ricordiamo ch
e m=1
esin(v
.
)
mg
cos( )
Componente tangente della forza F. 0 1 . sin( ).sin( )
Ora ci vuole l'accelerazione tangenziale.
g mg
49
2
2Equazione del moto : sin , indipendente da m
dL g
dt
Una sola equazione per α invece di due per (x,z). Ma ci
si arriva prima se si considera l'integrale del moto E=T+V.molto
22
2
cos( ) sin( )Da ( ) ,
sin( ) cos(
cos( )v
sin( )
)
ve
d da L L
dt dt
22
2
2
2
'accelerazione tangenziale viene:
cos( ). [( (cos( ),sin( )) ( ) ( sin( ),cos( ))]
sin( )
l
d da L
dt dt
dL
dt
50 50
2
2
Piccole oscillazioni
1 sin (moto armonico)
( ) sin( ) (frequenza indipendente da m,A)
d g
dt L
gt A t
L
L
m
2
F2 2
2
1Integrale del moto, E= mL -mgLcos( ) quadrature.
2
Si ricava facilmente anche l'equazione del moto a partire da
dE =mL -mgLsin( ) 0
dt
sin( )Dalla posizione: l'energia potenziale e' ( ) cos( )
cos( )
x LV mgz mgL
z L
2
2sin (equazione del pendolo)
dL g
dt
22 2cos( ) 1
dalla velocita': v si trova vsi
1mL
n( ) 2 2
dL T m
dt
Metodo piu’ veloce
51 51
m1
1L
b
2L
m2
Una sole equazione non basta. Questo e’ gia’ difficile, senza
i metodi che studieremo
Ma come fare col pendolo composto?
52 52
Altro esempio:
Pendolo con punto di sospensione mobile
Basta dare x e l’angolo , ma le forze che
agiscono su m1 e su m2 non sono assegnate
a priori
x, coordinate generalizzate o lagrangiane
53
Sistemi di riferimento accelerati
F ma
Vale in un sistema inerziale (quello delle stelle fisse ed in quelli che si muovono di moto
uniforme rispetto alle stelle fisse) ; allora tutte le forze sono applicate da agenti esterni
(relativita’ galileiana)
F maVale anche in un sistema non inerziale
(accelerato) con forze applicate da agenti esterni e + forze inerziali (centrifuga, di Coriolis, etc.) che pero’ non sono assegnate
Problema: come cambiare riferimento? Come trovare le ‘forze apparenti’?