1 1

Laurea in Scienza dei Materiali A.A. 2016-2017 ELEMENTI DI FISICA TEORICA (EFT) (7 crediti ) aula 29 Laurea Magistrale in Fisica

Teoria dei Solidi (TS) (6 crediti) aula 29

Prof. Michele Cini Tel. 4596 michele.cini@roma2.infn.it Ricevimento Studenti (stanza 9 corridoio C1) Lunedi e Mercoledi 14-16

9-10

10-11

11-12

Lunedi Martedi Mercoledi Giovedi Venerdi

Ts

EFT EFT EFT

EFT

EFT

http://people.roma2.infn.it/~cini/

Ts Ts Ts

Ts

files delle lezioni:

invito a mandare un mail a: cini@roma2.infn.it per presa contatto

2

Elementi di Fisica Teorica

•La comprensione della teoria si vede anche dalla capacita’ di risolvere problemi

• 7 crediti, 56 ore=

• 44 di lezione+

•12 di esercitazioni

•Esame scritto (3 esoneri) e orale

E’ necessario saperlo molto bene per i corsi successivi.

C’e’ una regola di propedeuticita’ con fisica Atomica etc.

4

Fisica: teoria ed esperimento • Il libro della Natura e’ scritto in caratteri matematici (Galileo)

• La Matematica serve a fare i conti, ma e’ una costruzione

astratta e libera della fantasia ricca di concetti qualitativi. Ha

un enorme successo nella descrizone della realta’.

• La teoria e’ qualitativa e quantitativa.

• La Fisica e’ una Scienza sperimentale, ma non e’ puro

empirismo: l’esperimento e’ fonte del vero, ma va

interpretato: cosi’ la Fisica procede su due gambe – Teoria

ed Esperimento. Senza teoria, ne’ computer ne’ GPS!

• La teoria non e’ mai astratta, il significato e’ sempre

operativo: se faccio questo, succede quello…..

• Al livello delle leggi fondamentali,tutto e’ legato con tutto!

• L’esperimento ci rivela che ci sono costanti fondamentali

5

Alcune costanti fondamentali della natura

23

23 0

numero di Avogadro 6.022 10

Costante di Boltzmann 1.3810 /

A

B

N

K J K

Meccanica

Statistica

8

211

2

velocita' della luce 310 /

costante gravitazionale 6.67 10

c m s

N mG

kg

Elettromagnetis

mo,Relativita’

19

31

27

34

2

0

carica del protone 1.602 10  C

m massa dell'elettrone 9.10910

massa del protone 1.67 10

costante 6.62610

1costante

2 137,036

P

e

Kg

m Kg

h di Planck J s

edi struttura fine

c

Fisica quantistica

30

33

3

Lunghezza massima (universo osservabile) 10

Lunghezza diPlanck minima (teorica) 10p

cm

Gl cm

c

La teoria deve descrivere fatti che differiscono di molti ordini di

grandezza. Ad esempio:

Alcune leggi attraverso molti ordini di grandezza : la legge di Planck

E= hn

E= energia del fotone, h= costante di Planck nfrequenza

vale in tutto lo spettro elettromagnetico

Le teorie non sono ‘mode’ che cambiano e non ci sono ‘rivoluzioni’

scientifiche; ci sono generalizzazioni quando si cambia la scala dei

fenomeni.

F=ma e le equazioni di Maxwell capite meglio che nel secolo XIX

restano!

In altri casi un salto di ordini di grandezza o nuove scoperte portano a

ripensare i fondamenti. Allora occorre una teoria che spieghi i

fenomeni nuovi e insieme quelli vecchi

Scienza dei materiali nel Secolo XXI

Nuovi materiali: Proprieta’ elettriche, magnetiche, meccaniche, termiche,

chimiche, ottiche,superconduttive, tossicita’, impatto ambientale,costo ...

Microscopie, spettroscopie, che vanno sapute leggere e interpretare,

per caratterizzare microscopicamente i materiali,

per capire da che dipendono le proprieta’,

cosa fare per ottimizzarle:

richiede una sinergia fra teoria ed esperimento.

Progetto di nuovi materiali e Nanostrutture: Se possibile, il calcolo

delle proprieta’ e’ preferibile alle prove empiriche: e richiede la

Fisica Teorica

Ma le leggi della natura sono interessantissime! E solo la

matematica consente di capire.

9

Microscopio a effetto tunnel

La moderna Scienza dei Materiali

Rappresentazione al computer di un

"ingranaggo" di dimensione nanometrica

Graphene sheets

Calcoli numerici

Modelli teorici

Programma

• Dimensioni fisiche- sistemi di unita’ MKS e cgs

• -Meccanica analitica -- Equazioni di Euler-Lagrange --Formalismo

hamiltoniano.-Trasformazioni canoniche- Particella carica in campo e.m.--

Parentesi di Poisson- -La delta di Dirac

10

Programma

• Meccanica Statistica: ensemble microcanonico, canonico e grand-canonico- Teorema

di equipartizione- Simulazioni Monte Carlo

11

Programma

• -Relativita’ ristretta:--Trasformazioni di Lorentz-Meccanica relativistica-Effetto

Doppler-Tensori-Trasformazioni del campo elettromagnetico.

12

Programma

• -Crisi della Fisica Classica-Legge di Planck-Quanti e fenomeni di interferenza.-

Funzione d’onda-operatori.-Equazione di continuita’-Interpretazione di Copenhagen.--

Problemi 1d--Effetto tunnel- Velocita’ di gruppo.-Oscillatore armonico-

• - Postulati della Meccanica Quantistica- Algebra del momento angolare - Problemi

3d. Separazione delle variabili. —Atomo idrogenoide—Spin-Operatori unitari -

Crittografia quantistica- Equazione di Pauli-Somme di momenti angolari—Particelle

identiche- Interazione di—Perturbazioni indipendenti dal tempo—Perturbazioni

dipendenti dal tempo—Metodo variazionale-

• scambio—Entanglement-paradosso EPR- disuguaglianza di Bell-teorema No-

Cloning—Teletrasporto-Quantum computation.

13

14

Librerie: Nuova Cultura o Universitalia via Passolombardo

il libro e’ disponibile anche in biblioteca

consiglio per i piu’ bravi: leggete qualche pagina in anticipo...

Libro su misura

15

FREQUENTARE!

Partecipare attivamente e fare domande quando serve

Studiare con carta e penna, rifacendo i passaggi, risolvendo gli esercizi

Molte difficolta’ sono concettuali, ma bisogna

essere bravi e svelti col calcolo!

Da parte vostra bisogna:

Studiare molto, l’intero programma, verificando in primo luogo se avete

capito il senso operativo delle formule (che problema si risolve con una

data equazione?).

Dare importanza alle dimensioni fisiche e agli ordini di grandezza!

Aver studiato bene Calcolo 1 e Calcolo 2, Fisica 1 e Fisica 2

Consigliabile studiare giorno per giorno , (ricordate Mitridate re del

Ponto) fare gli esercizi e dare l’esame a giugno

Bisogna conoscere complementi di Calcolo, faro’ digressioni matematiche

16

Mai piu’ di 1 ora al giorno , incluso il question time

Da parte mia:

Molti esercizi li ho inventati ad hoc

Comincio ogni cosa partendo da fatti ben noti e

introduco la matematica necessaria

cercando in ogni modo di essere chiaro!

17 17 17

MECCANICA CLASSICA

F ma

Galileo Galilei (Pisa 1564-

Arcetri 1642)

Nozione di punto materiale (oggetti microscopici in certi problemi, pianeti in

altri)

Nozione di sistema inerziale in cui tutte le forze sono reali e non apparenti

Principio di Relativita’: le leggi sono le stesse in tutti i sistemi inerziali e non esiste la

quiete assoluta di Aristotele

Secondo Aristotele il principio fondamentale e’ che i quattro

elementi terra,aria,a cqua e fuoco tendono a tornare nella

loro sfera di appartenenza.

Aristarco di Samo (310-230 a.C)

enuncia la teoria eliocentrica e

stimo’ grossolanamente le

dimensioni e le distanze di Sole

e Luna

Non gli dettero retta

Tolomeo (100-175) enuncio’ la teoria geocentrica e dette una stima

sbagliata delle dimensioni della terra

Gli dettero retta . Mancava il criterio per decidere della validita’ delle

tesi.

Esempio sulla importanza del metodo

scientifico

Accademia del cimento

21 21 21

F maGalileo Galilei

(Pisa 1564-Arcetri 1642)

Metodo scientifico: provando e riprovando

La meccanica non ha altre leggi fondamentali.

Nel suo viaggio attraverso il Paradiso,

Dante e’ guidato da Beatrice (il sole

che per primo scaldo’ d’amore il suo

cuore), che provando e riprovando (cioe’

argomentando e dis-provando, cioe’

controargomentando) gli rivela il dolce

aspetto della verita’.

E’ stata generalizzata per trattare corpi rigidi, corpi elastici, fluidi,

etc.

Accademia del cimento

22 22 22

MECCANICA CLASSICA

F ma2

2

dF m r

dt

( , ) equazione differenziale

tutti i moti possibili

F F r t

Woolsthorpe-by-

Colsterworth, 25

dicembre 1642

– Londra, 20

marzo1727

23 23 23

Esempi: moto in 1 dimensione 2

2( , )

d xm F x t

dt

0 ( ) (0) vF x t x t moto libero, v=costante

ovvero ( , )mx F x t

21( ) (0) (0)

2F mg x t x x t gt moto uniformemente

accelerato,m si elide

( ) cos( ),k

F kx x t A tm

moto armonico

Casi elementari:

Per individuare una particolare legge oraria x(t) si possono specificare ad esempio x(0) e velocita’ iniziale.

2[ ] [ ]F

k MTL

24

2

2

Meccanica del punto materiale

Il problema e' : assegnata ( , , )

risolvere l'equazione del moto:

drF F r t

dt

dF m r

dt

Come procedere? Euler e Lagrange non avevano idea della relatvita’ o della quantistica; volevano metodi matematici per integrare le equazioni.

Equazione non riducibile alle quadrature, e le soluzioni in generale non hanno nessuna quantita’ conservata, periodicita’, regolarita’….

Quali sono le F fisicamente interessanti?

Cercare e studiare un caso notevole: le forze conservative!

25 25

Forze conservative

2

2

d x dVm

dt dx

2

2

d x dx dV dxm

dt dt dx dt

in 1 dimensione

22

2

1

2

dx d x d dx

dt dt dt dt

( ( ))(lungo la traiettoria)

dV dx dV x t

dx dt dt

21[ ( ) ( ( ))] 02

d dxm V x t

dt dt (x(t) lungo la

traiettoria)

fattore integrante!

sono quelle che hanno un potenziale:

grad (alias ),

( ) energia potenziale

( )1

F V F V

V x

dV xIn d F

dx

(Chain rule )

Vero anche in 3 dimensioni

26

21[ ( ) ( )]2

dxm V x E

dt E e’ integrale del moto [in derivata prima]

2( )

( )

dxdt x x t

mE V x

2

2 2( ) ( )

dx dxE V x E V x

dt m dt m

In 1d si riduce alle quadrature!

E=integrale del moto.

Sistemi integrabili: sono quelli con un integrale del moto per ogni grado di

liberta’. Ma sono rari.

27 27

Punto materiale in 3d-FORZE CONSERVATIVE:

2

2( )

x

y

z

VF

xd V

m r F V r Fydt

VF

z

3

2 2 2 2

1

1 1energia cinetica ( )

2 2

energia potenziale ( , , )

T m x y z m x

V x y z

In 3d non basta la costante E per ridurre il problema alle quadrature, ma e’ comuque un aiuto.

28 28

Sistema di punti materiali in 3d in un potenziale: con i che corre sui punti,

1 2 3( , , , )

ix

i

i i iy

i

iz

i

VF

x

VF V r r r F

y

VF

z

32 2 2 2

1

1 1( )

2 2

( )

N

i i i i ii

N

ii

T m x y z m x

V V r

Lavorare con un potenziale e’ molto piu’ agevole..

Le forze elettromagnetiche e quelle dissipative non sono conservative.

Ma cominciamo dal caso semplice, e poi vedremo.

Problema di Kepler: due masse m1,m2 interagenti con V(r12) Newton: Anche la Terra attira il sole! (rilevante anche a atomo di H)

1 2

1 2

2 1

1 2

r ,

r .

B mm m

B mm m

2 2

1 1 1 12 2 2 2 122 2Le forze (r ) (r ) sono opposte!

d dm r V m r V

dt dt

2 1

2 1

Conoscere moto del baricentro e moto relativo

a conoscere ed . Semplice cambio variabili!

r r

equivale r r

2 21 1 2 2

1 1 2 22 21 2

1 2 1 1 2 1 22

( ) 0 0, dove Bar

si con

icentro

( ) serv( ) a.B

m r m rd dm r m r B B

m mdt dt

d dp m m B m r m r

dt dtp p

2 1

1 1 2 2

1 2

.

r r

m r m rB

m m

28

Strategia: riscrivere il problema dinamico per il moto relativo.

2 2

1 2

1 2

p pE= ( )

2 2V

m m

12

12

K(r ) =-

rV

1 2

1 2

2 1

1 2

r ,

r .

B mm m

B mm m

1 21 1 1 1

1 2

1 22 2 2 2

1 2

m p = m v m ,

mp = m v m .

md dB

dt m m dt

md dB

dt m m dt

1 2

1 2 1 1

1 1 1 massa ridotta;

m m

m m m m

2 22 21

1

1 1

2 22 22

2

2 2

p m ( ) ( ) ,

pm ( ) ( ) + .

d d d dB B

m dt m dt dt dt

d d d dB B

m dt m dt dt dt

2 2 2 22 21 2

1 2

1 2 1 2

2 2

1 2

p p (m m )( ) ( )( ) ,

dove ( )

d dB

m m dt m m dt

m m

2 1

Scriviamo E in termini di B e del moto relativo r r

L'energia cinetica si separa:

Baricentro

Moto relativo

1 1 2 2

1 2

m r m rB

m m

Problema di Kepler: due masse m1,m2 interagenti con V(r12) Newton: Anche la Terra attira il sole! (rilevante anche a atomo di H)

2 2 221 2

1 2 1 2 1 2

12

1 2

p p p 1 1Energia cinetica: ( )

2 2 2( )

1 1 1 =massa ridotta che si muove in un (r ).

B pm m m m m m

Vm m

2 22

1 2 1 2

p p1E ( ), = costante

2( ) 2( )

Rimane il problema di un corpo di massa in ( ).

cosi' anche l'atomo di H quantistico.

B BB

p V Em m m m

V

Tratteremo

Soluzioni elementari per il moto in 3 dimensioni

atomo di H classico senza irraggiamento (analogo al moto di un pianeta)

Usando la massa ridotta quasi =m

2 2

2

0 0

2

1 1energia potenziale

4 4

1Energia cinetica v .

2

q qF V

R R

dVF

dR

T m

31

33

2 2 2

2

0

22

0

2 2

0

Caso speciale delle orbite circolari: imponendo

v v 1forza centripeta :

4

1si trova come dipende v dal raggio R: v .

4

v 12 e questo 2 0 (teorema

2 4

c c

m m qF F F

R R R

qm

R

m qT T V T V

R

del viriale)

1

2E T V V

2 2

2

00

1 si ottiene dall'energia potenziale V

1

4=-

4

q qF

R R

Invece nel problema di Kepler

2 2 m si elide.

Il moto non dipende dalla massa del pianeta.

(Il moto della massa ridotta non ne dipende, quello del pianeta si'.)

mM MF G ma G a

R R

34

Leggi di Kepler - prendiamo un’ orbita circolare

2

2

22 2 2 3

2 La velocita' orbitale e' v= , dove periodo

v; ricaviamo v.

.

2 4v ( ) , periodo

mM mF G

R R

RG R

GM

R

M

R

Cosi’ Newton spiego’ la terza legge empirica di Kepler. (prima legge: orbite = coniche, seconda: aree uguali in tempi uguali)

2 2

2

v vforza centripeta : .

Uguagliandola alla forza newtoniana

c c

m mF F

R R

mMF G

R

35

2 1 2 1momento angolare: [ ] unita': . .L r p L ML T Kg m s

1 11Frequenza : ν [ ] unita' :

periodoT sn

1 12pulsazione: [ ] unita':

periodoT s

1 1velocita': v [v] unita': .dx

LT m sdt

22 2

2accelerazione: [ ] unita': .

d xa a LT m s

dt

1 1impulso=quantita' di moto: v [ ] unita': . .p m p MLT kg m s

Unita’ fondamentali: Metro, Kg, secondo, Ampere

Unita’ e dimensioni nel sistema MKSA

Le equazioni della Fisica sono uguaglianze fra grandezze che hanno le stesse dimensioni. Controllare sempre le dimensioni!

Le funzioni trascendenti hanno argomenti adimensionali (numeri puri)

Per capire che dimensioni hanno le varie grandezze basta considerare

le equazioni che le vedono coinvolte.

2 2forza: [ ] unita': . . NewtonF ma f MLT m Kg s

2 2 2 2 21energia: v [ ] unita': . . Joule

2E m E ML T m Kg s

3 2 3potenza: [ ] unita': . . WattdE

W f MLT m Kg sdt

2 1 2 1azione: [ ] unita': . .S Et S ML T m Kg s

1 2 2pressione: / [ ] . unita': /P f S P m L T Newton m Pascal

2 1 2 1momento angolare: v [ ] unita': . .L m r L ML T m Kg s

Sistema di unita’ cgs (centimetro grammo secondo)

-2lunghezza: 1 cm= 10 m

-3massa: 1 grammo= 10 Kg

tempo: 1 secondo

-2 2 -2accelerazione: 1 galileo=1cm.s 10 sm

-2 5forza: 1 dyne=g.cm.s 10 Newton

2 -2 7energia: 1 erg=g.cm .s 10 Joule

2 -3 7potenza: 1 erg/s=g.cm .s 10 Watt

2 1pressione: 1 barye=1dyne/cm 10 Pascal

Meccanica analitica

41 41

Giuseppe Lodovico Lagrangia (Lagrange)

Joseph-Louis Lagrange (Giuseppe Lodovico Lagrangia) (Torino, 25 gennaio 1736 – Parigi, 10 aprile 1813) è stato un matematico e astronomo

italiano, sicuramente uno tra i maggiori e più influenti matematici del XVIII secolo. La sua più importante opera è il testo Mécanique analytique,

pubblicato nel 1788.

42 42

Leonhard Euler (pronounced Oiler) (April 15, 1707 – September 7, 1783) was a Swiss mathematician and physicist, who spent most of his life in Russia and Germany.

44 44

Problemi vincolati

esempio: punto materiale vincolato a una circonferenza

x

y

2 2 2

22

2 22dim : ( , ), ( , ) ( , ), ( , ) ( , )problema

x y R

dy d ydx d xa r x y r x y r x y

dt dt

vinc l

d

o

dt

o

t

la reazione vincolare non e’ nota a priori

arctan( )y

x

meglio pensarlo come un problema 1d: moto libero

cos( )

sin( )

x R

y R

45 45

v sin( )

v cos( )

x

y

dxR t

dt

dyR t

dt

22 2

2

22 2

2

cos( ) ( )

sin( ) ( )

x

y

d xa R t x t

dt

d ya R t y t

dt

22 v

accelerazione centripeta.a r aR

2

2

cos( )0 . Calcoliamo la reazione vincolare:

sin( )

x R td dt

y R tdt dt

v R

costante (moto circolare uniforme): d

Ci aspettiamodt

cos( )Cambiamo variabili:

sin( )

x R

y R

46 46

Problemi vincolati elementari : il pendolo

L

m

2

F

sin( ) sin( )posizione : '

cos( ) cos( )

x L xcioe r L

z L z

cos( )cos( )

velocita' : cioe' vsin( )

sin( )

dx dL

ddt dtL

dz d dtL

dt dt

2

Prendiamo 0 (pendolo che va verso destra) se no e' l'opp

v.v=( ) v |

cos( )vversore tangente :

| .

o

.sin( )v

st

o.

d d

dt dt

d

dt

L L

vServe il versore tangente : .Lo otteniamo da v.

v

La componente della forza lungo L e' bilanciata

dalla reazione vincolare,

Dobbiamo risolvere

resta la component

l'equazione (F-

e tange

ma).

nt

=0.

e

x

z

47 47

2 22

2 2

2 22

2 2

22

2

vsi ottiene l'accelerazione :

cos( ) ( ) sin( )

sin( ) ( ) cos( )

cos( ) sin( )cioe' ( ) .

sin( ) cos( )

da

dt

d x d dL L

dt dt dt

d z d dL L

dt dt dt

d da L L

dt dt

cos( )cos( )

dalla velocita' : cioe' vsin( )

sin( )

dx dL

ddt dtL

dz d dtL

dt dt

Dobbiamo risolvere l'equazione (F-ma). =0.

48 48

L

m

2

F

22

2

cos( ) sin( )( )

sin( ) cos( )

d da L L

dt dt

Dobbiamo risolvere l'equazione (F-ma). =0,

(componente tangente di F=ma), usando

0mentre F . Poiche' F e'

cos( )v

proporzionale a m, m si elide1

e possiamo porr

Ricordiamo ch

e m=1

esin(v

.

)

mg

cos( )

Componente tangente della forza F. 0 1 . sin( ).sin( )

Ora ci vuole l'accelerazione tangenziale.

g mg

49

2

2Equazione del moto : sin , indipendente da m

dL g

dt

Una sola equazione per α invece di due per (x,z). Ma ci

si arriva prima se si considera l'integrale del moto E=T+V.molto

22

2

cos( ) sin( )Da ( ) ,

sin( ) cos(

cos( )v

sin( )

)

ve

d da L L

dt dt

22

2

2

2

'accelerazione tangenziale viene:

cos( ). [( (cos( ),sin( )) ( ) ( sin( ),cos( ))]

sin( )

l

d da L

dt dt

dL

dt

50 50

2

2

Piccole oscillazioni

1 sin (moto armonico)

( ) sin( ) (frequenza indipendente da m,A)

d g

dt L

gt A t

L

L

m

2

F2 2

2

1Integrale del moto, E= mL -mgLcos( ) quadrature.

2

Si ricava facilmente anche l'equazione del moto a partire da

dE =mL -mgLsin( ) 0

dt

sin( )Dalla posizione: l'energia potenziale e' ( ) cos( )

cos( )

x LV mgz mgL

z L

2

2sin (equazione del pendolo)

dL g

dt

22 2cos( ) 1

dalla velocita': v si trova vsi

1mL

n( ) 2 2

dL T m

dt

Metodo piu’ veloce

51 51

m1

1L

b

2L

m2

Una sole equazione non basta. Questo e’ gia’ difficile, senza

i metodi che studieremo

Ma come fare col pendolo composto?

52 52

Altro esempio:

Pendolo con punto di sospensione mobile

Basta dare x e l’angolo , ma le forze che

agiscono su m1 e su m2 non sono assegnate

a priori

x, coordinate generalizzate o lagrangiane

53

Sistemi di riferimento accelerati

F ma

Vale in un sistema inerziale (quello delle stelle fisse ed in quelli che si muovono di moto

uniforme rispetto alle stelle fisse) ; allora tutte le forze sono applicate da agenti esterni

(relativita’ galileiana)

F maVale anche in un sistema non inerziale

(accelerato) con forze applicate da agenti esterni e + forze inerziali (centrifuga, di Coriolis, etc.) che pero’ non sono assegnate

Problema: come cambiare riferimento? Come trovare le ‘forze apparenti’?