11

Fascio di atomi di Ag

lunghezza l

N

lastra fotografica

S

z

Fuoco

Vapore di Ag

campo non omogeneo

N

S

x

z

Teoria dell’esperimento di Stern e Gerlach (1922)

22

2dove = momento magnetico, S= r area della spira,

n normale, i=corrente

iSnc

Momenti magnetico e angolare in Fisica classica

2

per 1 particella di carica e che gira,

ev evr e e = = r v=

2 rc 2c 2c 2mce

fattore giromagnetico 2

car

mc

ica ev corrente i= =

tempo 2 r

r n n L

Spira percorsa da corrente i

= momento magnetico J=

2

proporzionalita’ fra momento angolare e momento magnetico

3

Il fascio si divide in due ugualmente intensi ,

uno col momento parallelo al campo e l'altro antiparallelo.

vengono due fasci distinti polarizzati in spin! Uno spin e’ su o giu’! Spin=trottola.

4

Se uno di questi fasci viene fatto passare attraverso un secondo apparato orientato

come il precedente rimane un fascio solo; questo verica che tutti gli atomi

hanno momento parallelo. Questo illustra il collasso della funzione d’onda.

Come sappiamo che i due fasci sono polarizzati in spin?

N

S

N

S

y

z

N

S

NS

y

z

S

5

Ma se il secondo apparato e’ orientato diversamente il fascio si suddivide di nuovo.

y

z

S

N

S

NS

Non e’ una miscela statistica, ma una sovrapposizione quantica:

5

spin su in una direzione = una sovrapposizione di spin su e giu’ in un’altra direzione.

66

Dunque il momento magnetico dell’atomo di Ag esiste, ma l'esperimento dimostro’ molte cose inattese. ...

e per gli atomi di Ag sono quantizzati, con

2 valori possibili (2 1 per momento a

1Ma 2

ngola

1

re )

2 . 2

z z

l l

L

l l

Il momento magnetico si trova solo su o giu’ . Perche’ ?

E cosa lo produce? Si scopri’ poi che era l’elettrone ottico, responsabile anche della valenza chimica.

i momenti magnetici dei nuclei esistono ma sono molto pi

efattore giromagnetico con m m

u’picco

olto ma

l

ggiore2mc

)i(

E' un momento angolare intrinseco. Non c'e' nulla che gira!

Ma puo' fornire momento angolare e far girare qualcos'altro.

Quindi non e' un momento angolare orbitale, che ha =0,1,2,...l

77

Particelle di spin ½: i leptoni (e, ,t , con i rispettivi neutrini) e i quark

Particelle di spin 1: fotone, e W+, W-,Z

Particelle di spin 2: gravitone (se esiste)

Costrui’ la teoria dello spin ½ e introdusse nella teoria il neutrino dell’elettrone7

Immaginate una trottola che gira sempre intorno alla direzione dalla quale la osservate….

88

Interpretazione quantistica dell’esperimento .

Ogni nuova misura su una diversa direzione fa collassare ancora la funzione d'onda. Se pero’ la nuova direzione coincide con la precedente il fascio viene deflesso ma non si sdoppia.

I due modi sono associati a componenti z del momento angolare intrinseco, dove z e’ la direzione privilegiata dall'esperimento.

Quando il fascio e’ formato, gli atomi non hanno componente z del momento magnetico definita. Ciascuno sta in una sovrapposizione quantica di spin su e giu. Solo quando la si misura viene fatta la componente e’ definita (collasso) ma allora il fascio si divide. Le componenti x e y allora non sono definite, perche’ non sono compatibili.

Se diciamo che un elettrone si trova in un punto non abbiamo finito di

specificare la situazione, perche’ ha 2 modi ortogonali di starci. Scelta arbitrariamente una direzione, possiamo sempre trovare spin su o giu’ in quella direzione.

99

Nessuno aveva ipotizzato lo spin dell'elettrone prima della scoperta.

C'e'analogia con la polarizzazione delle onde elettromagnetiche.

Esse portano momento lineare, momento angolare orbitale e

se sono

31(in unita' di Gauss).

4

circolarmente polarizzate anche momento di spin.

Il momento angolare orbitale e'

Anche in quel caso nessun oggetto meccanico gira.

L d r r E Bc

Ma come fa’? Il momento angolare frazionario non si realizza con il moto di parti o particelle e non corrisponde ad alcuna armonica sferica! Abbiamo un osservabile che non corrisponde a un operatore differenziale e non esiste affatto nella Fisica Classica per quanto riguarda la meccanica.

Si tratta di un momento angolare intrinseco, quasi come se la particella avesse un moto a trottola (trottola =spin in Inglese). Pero’ un elettrone e’ puntiforme.

9

10

In aggiunta, una onda elettromagnetica polarizzata porta momento

angolare di spin.

Una onda quantizzata e' un fotone.

Se e' polarizzato sinistro porta momento

angolare e se e' polarizzato destro p

orta - .

Anche i fotoni hanno spin (ma non hanno ne' carica ne' ) .

Il fotone ha spin 1.

E' anch'esso un momento angolare intrinseco. Non c'e' nulla che gira!

Ma puo' far girare qualcos'altro, cioe' puo' comunicare momento angolare.

11

R. A. Beth, Phys. Rev. 50, 115 (1936) riporta una misura dello spin del fotone usando una special lastra che converte una onda polarizzatasinistra in destra. La lastra fu sospesa a una fibra di quarzo e illuminata con luce polarizzata sinistra. Fu cosi’ misurata la coppia e confermato lo spin 1 del fotone.

Per il fotone lo spin si manifesta nella polarizzazione.

S= 1 comporta 3 possibili valori della

componente z, M=1,0,-1, ma nel caso del fotone M=0 non esiste.

La regola M=1,0,-1 vale nel sistema di riferimento di quiete

della particella dove il momento orbitale e' nullo,

ma questo non esiste nel caso del fotone.

Birifrangenza: scomposizione della luce in due raggi

in materiali anisotropi in cui l’indice di rifrazione dipende dalla polarizzazione

Analogo dell’esperimento di Ster-Gerlach con fotoni ( che hanno spin 1)

Orientando il cristallo si puo’ fare in modo che la direzione privilegiata sia lungo x;

La luce polarizzata parallela a x viene deflessa diversamente da quella parallela a y

Un prisma di Wollaston

fatto con due prismi di

calcite manda diverse

polarizzazioni ad angoli

diversi Un fascio polarizzato e’ di nuovo scisso da un polarizzatore orientato

diversamente

1313

Le matrici del momento angolare orbitale descrivono

il momento intrinseco di particelle di spin intero :

L=0 matrici 1 1 ( bosone di Higgs ,alcuni atomi,nuclei....)

L=1 matrici 3 3 ( , ,alcuni atomW Z

i,nuclei....)

L=2 matrici 5 5 (alcuni atomi, certi nuclei..gravitone (??..)

Matrici del momento angolare di spin semintero:

matrici 2×2 S=1/2 (elettroni,protoni, neutroni, , neutrini,.. )

matrici 4×4 S=3/2 (alcuni atomi,alcuni nuclei,.. )

matrici 6×6 S=5/2 (alcuni atomi,alcuni nuclei,.. )

Sono rappresentazioni dell'algebra del momento angolare

Particelle di spin semi-intero = fermioniParticelle di spin intero = bosoni

Alcune sono elementari, altre composteCampi di forza bosoni 13

14

†

* *

* * 2 2

3 2 2

Spinore aggiunto Hermitiano

( , ) in modo che sia:

( , ) | | | |

normalizzazione [| | | | ] 1

aa b

b

aa b a b

b

d x a b

La teoria di Pauli inserisce lo spin nel quadro della Meccanica Quantistica in modo

coerente, ma lo spin si comprende molto meglio dalla teoria relativistica di Dirac. Le

sue interazioni contengono sempre la costante c. 14

3 2 2

La funzione d'onda per l'elettrone ha 2 componenti

e si chiama Spinore

( , )( , ) normalizzazione [| | | | ] 1

( , )

( , ) ampiezza di trovare la particella in ( , ) con spin su.

a x tx t d x a b

b x t

a x t x t

15

0 1 01

1 0 12

0 1 0

xL

0 01

02

0 0

y

i

L i i

i

1 0 0

0 0 0

0 0 1

zL

Matrici per 1L

2

1 0 11

0 2 02

1 0 1

xL

2

1 0 11

0 2 02

1 0 1

yL

2

1 0 0

2 0 1 0

0 0 1

L

15

1 1 10

Come sappiamo, possiamo rappresentare L=1 sulla base delle armoniche:

,Y x iy Y

16

1 0 1 1,

0 1 0 0

1 0 0 0

0 1 1 1

Scegliamo di avere diagonale la componente z dello spin con autovalori2

11componente z dello spin=

02

01componente z dello spin=-

12

2z zS

1 0

0 1z

16

Matrici per S 1/ 2

1 2 1 21 1 2 2 1 1 2 2 , , 1

1 2

Cerchiamo operatori di shift i

( 1) ( 1)

1con al posto d

n accordo c

i ,2

on la regola

l l m ml m L l m l l m m

S L l l

1 2 1 21 2 , 1 , 1

1 1 1 3 1 1( )( )

2 2 2 2 2 2m m m mm S m

11componente z dello spin=

02

0

01componente z dello spin=-

12

0

S S

S S

17

Notazione

Operatori di shift e componenti dello spin

18

0

0y

i

i

0 1

1 0x

1 0

0 1z

1

21

( , , ) ( , , )2

x y z x y z

S

S S S

0 1 1 0 0 1,

0 0 0 0 0 0

0 0 1 0 0 0,

1 0 0 1 1 0

x y

x y

S S iS

S S iS

Matrici di Pauli

18

1operatore dello spin ( , , )

2x y zS S S S

Ora possiamo risalire alle componenti x e y

19

0 1 0 1 1 0

1 0 1 0 0 1x x

0 1

1 0x

0

0

y

i

i

1 0

0 1

z

0 0 1 0

0 0 0 1y y

i i

i i

1 0 1 0 1 0

0 1 0 1 0 1z z

0 1 0 0 1 0

1 0 0 0 0 1x y z

i ii i

i i

0 0 1 0 1 0

0 1 0 0 0 1y x z

i ii i

i i

Matrici Hermitiane, lo spin si misura. Inoltre, Tri=0

Interessavano a Hamilton per

questo: sono “radici di 1”

generalizzate

19

Matrici di Pauli: proprieta’

2 2 21 0

0 1x y z

Anticommutatori: [ , ] 2i j i j j i ij

20

, 2

, 2

, 2

x y z

y z x

z x y

i

i

i

,

,

,

x y z

y z x

z x y

S S i S

S S i S

S S i S

S S i S

Algebra del

momento

angolare

2

2 2 2

1 0 1, 1,2,3,

0 1 2

1 0 1 03 1 11 .

0 1 0 14 2 2

ii S

S

Quella e’ una rappresentazione del momento angolare: tutte le relazioni che coinvolgono le

componenti e il quadrato di S sono riprodotte dalle matrici 2X2.

Gli operatori differenziali che intervengono nel caso di momenti angolari interi non esistono nel caso dello spin.

Il quadrato dello spin viene:

1prendendo .

2S

20

1 1

Momento angolare di spin ( , , ) ( , , )2 2x y z x y z

S S S S

Riassunto: Spin 1/2

0

0y

i

i

0 1

1 0x

1 0

0 1z

,

,

,

x y z

y z x

z x y

S S i S

S S i S

S S i S

S S i S

Algebra del

momento

angolare

1 0 e' diagonale: z e' la direzione del campo di Stern-Gerlach

0 1

cioe' z e' l'asse di quantizzazione scelto per lo spin.

z

1 0

0 1z

L’elettrone in x

ha 2 stati

1 0 ,

0 1

0 hanno autovalori 1 ma non sono diagonali

0

sulla base definita

0

d

1,

1 0

a

x y

i

i

Significa che se misuriamo un fascio polarizzato lungo x o y

nell’apparato SG con B lungo z, emergeranno 2 fasci di spin alto e

basso

Invece, un fascio di spin su (o di spin giu) polarizzato lungo z

rimarrebbe indiviso.

1 0 ,

0 1

0 hanno autovalori 1 ma non sono dia

0 1, gona

0i.

1l

0yx

i

i

1

0 1 2 ha autovettore , con autovalore 1

1 0 1

2

1

2ed ha autovettore , con autovalore -1.

1

2

1Significa che in un fascio polarizzato alto lungo x c'e' ampiezza

2

che la

x x

x

1 componente z sia alta e ampiezza che sia bassa.

2

0Anche ha autovalori 1.

0

1 1; .

1 1 1 12 2

y

y y

i

i

i i i i

Quale matrice usare per lo spin in una direzione arbitraria? Uno puo’ ruotare B come vuole e mantenere lo stesso riferimento cartesino.

Versore in direzione arbitraria:

n=(n ,n ,n ) sin cos ,sin sin ,cos , con n.n 1.x y z

1 e' un vettore le cui componenti sono matrici 2X2

2

perche' la particella si puo' trovare in 2 stati diversi; e' un grado di liberta'

ma ha a che fare con lo spazio fisico peinter rche' si accno

S

oppia con B.

La componente lungo e' . ( , , )( , , ). x y z x y zn S n S S S n n n

Spin lungo

. ( , , ).(sin cos ,sin sin ,cos )2

x y z

n

S n

. ( sin cos sin sin cos ). Usando2

x y zS n

0 1 0 1 0. [ sin cos sin sin cos ].

1 0 0 0 12

iS n

i

25

0

0y

i

i

0 1

1 0x

1 0

0 1z

cos sin (cos sin ) cos sin. .

sin (cos sin ) cos2 2 sin cos

i

i

i eS n

i e

n

26

1 0cos sin cos sin. . ( . ).( . )

0 1sin cos sin cos

. . . . Tutte le direzioni sono equivalenti.

i i

i i

x x y y z z

e eN B n n

e e

26

cos sinAutovalori dello spin lungo la direzione n . .

2 sin cos

Una misura dello s 2

pin in qualsiasi direzione dara' perche' gli autovalori

cos sindi so

sin cos

i

i

i

i

eS n

e

e

e

cos sinno 1. Infatti, Tr .n=Tr 0

sin cos

mentre det( . ) 1.

( e' la somma degli autovalori, Det e' il prodotto)

i

i

e

e

n

Tr

cos sin. .

2 sin cos

Spin lungo la direzione

i

i

eS n

e

n=(n ,n ,n ) sin cos ,sin sin ,cos , con n.n 1.x y z

27

coscos sin 2

sin cossin

2

i

ii

e

ee

cos cos sin sin2 2

sin cos cos sin2 2

i i

i i

e e

e e

2 2cos cos sin2 2

sin 2cos sin2 2

2 2

2 2

(cos sin )cos 2 os sin sin2 2 2 2 2 2

(2cos sin cos (cos sin )sin )2 2 2 2 2 2

i

c

e

cos sinGli autovettori dello spin . lungo la direzione

2 sin cos

n =(n ,n ,n ) sin cos ,sin sin ,cos s o : onx y z

i

i

eS n

e

cos cos sin sin2 2

(sin cos cos sin )2 2

ie

2 2 2

2 2

cos sin 2sin cos2 2 2 2

cos sin sin2 2 2

ie

cos2

sin2

ie

cos2

,

sin2

i

n

e

sin2

,

cos2

ie

n

Verifica:

27

28

cos2

,

sin2

i

n

e

sin2

,

cos2

ie

n

Se e' il versore dell'asse , si ritrova

1 00 , , ,

0 1

n z

n n

28

N

S N

S

I fasci polarizzati che escono dal primo apparato

1 0col campo B=(0,0,B) sono in , , , .

0 1z z

Il secondo apparato ha il campo orientato lungo n

e i suoi autostati sono:

cos2

,

sin2

i

n

e

ampiezza che il fascio di spin alto dia

di nuovo spin alto lungo n

1, , cos sin cos

02 2 2

in z e

ampiezza che il fascio di spin alto dia

spin basso lungo n

1, , sin cos sin

02 2 2

i in z e e

sin2

,

cos2

ie

n

Doppio esperimento di Stern-Gerlach

ampiezza che il fascio di spin basso

dia di nuovo spin basso lungo n

0, , sin cos cos

12 2 2

in z e

ampiezza che il fascio di spin basso

dia spin alto lungo n

0, , cos sin sin

12 2 2

i in z e e

30

Soluzione: e' ovvio che bisogna calcolare , , , e

cos sin2 2

da , , , ,

sin cos2 2

si trova che

cos( )0 1 2

, , cos( ) sin( )e1 02 2

sin(2

x

i

i

i

x

n n

e

n n

e

n n

) e

cos( )sin( )(e e ) sin( )cos .2 2

Il primo dato e' che questo 0.416

i

i i

dall' Esame del 19 Luglio 2011

Fascio di spin polarizzato un direzione incognita.

Dati:

1, , 5 5 0.416

4

, , , ,

Trovare la probabilita' che il fascio abbia spin alto lun

x

x y

n

n n

n n n n

go z.

31

L'altra componente e'

cos( )0 2

, , cos( ) sin( )e sin( )sin02 2

sin( )e2

Per il secondo dato anche questa vale 0.416

, 4

Poiche' , , , , , sin cos

i

y

i

x y

in n

i

n n n n

1 cos( ) oppure

2

1, cos( )

4 2

2

sin( ) 0.416 2 0.5883. Ma poiche' 0 , sin( ) 0,quindi sin( ) 0.5883

cos sin10 10

, , , (spin )= cos( ) 0.9045.5 10

sin cos10 10

i

i

e

n n P

e

1

Combinando sin( )cos 0.416 con cos( ) si ha sin( ) 0.416 2.2

32

Come si ruota uno spinore (cioe’ quale operatore manda uno spinore nello spinore ruotato)? Oppure come cambiano le misure se si ruota il laboratorio invece del campione? Lo spin si comporta come un vettore per rotazioni?

Occorre una digressione sugli operatori unitari

Rotazioni e spin

† 1

†

unitario U

Se , , cioe' U conserva la norma.

Inoltre,

U U

U

X UXU

33

Generatore delle traslazioni: in 1d

ˆ ( ) ( )aT x x a

0

( )ˆ ( ) ( ) , quindi l'operatore di traslazione viene:!

n n

a nn

a d xT x x a

n dx

0

ˆ operatore iperdifferenziale!

n n

a nn

a dT

n dx

aT

aNB Se a>0 l’argomento della vale 0 per x=-a, cioe’ per x negativi; il pacchetto si sposta verso sinistra. Espandiamo in serie di Taylor:

33

(traslazione significa che passiamo a un nuovo riferimento con una diversa origine)

34

0

ˆ operatore iperdifferenziale!

n n

a nn

a dT

n dx

0

0

ˆSommando formalmente la serie di Taylor, !

Cioe' si scrive am si intende .!

dn na

dxa n

n

d n na

dxn

n

a dT e

n dx

a de

n dx

ˆ

0

ˆIn termini dell'impulso, !

pn nia

a nn

a dT e

n dx

ˆ ˆ autofunzione= autovalore di .ikx ika ikx ikx ika

a aT e e e e T e

34

ˆ

† 1ˆ ˆ

non e' hermitiano ma e' unitar

ˆ

io.

pia

a a

pia

a ee TT T

Pertanto si dice che l’ impulso= e’ il generatore delle traslazioni infinitesime.

Per una particella libera (potenziale V=costante): [p,H]=0

traslando, l’impulso p si conserva.

Traslazione infinitesima: per molto minore della

larghezza del pacchetto,

ˆ ˆˆ ˆ1 1p

ia

a a

a

p pT e ia T ia

35

Il principio di inerzia fu scoperto da Galileo Galilei e dettagliatamente

descritto in due sue opere, rispettivamente, nel 1632 e nel 1638: il Dialogo

sopra i due massimi sistemi del mondo e Discorsi e dimostrazioni

matematiche intorno a due nuove scienze attenenti alla mecanica e i

movimenti locali.

ˆ[ , ] [ , ] 0 se H non dipende da t.

L'energia si conserva per l'uniformita' del tempo.

E H i Ht

ˆ un sistema isolato, [ , ] 0. aPer T H

36

In generale ogni invarianza comporta una legge di

conservazione (teorema di Emmy Noether)

[ , ] 0 per ogni sistema isolato.

Il momento angolare si conserva per l'isotropia dello spazio.

L H

Emmy Noether

In Meccanica quantistica come si ruota una ?

37

cos sin 0

sin cos 0

0 0 1

R

Rotazione intorno all’asse z di un punto (x,y,z) nello spazio

1 cos sin 0 1 cos

0 sin cos 0 0 sin

0 0 0 1 0 0

R

Il punto e’ ruotato in senso orario se >0: ad esempio,y

x

37

38

e' ruotata in senso orario rispet

( , , ) ( ) ( cos si

to a se >0.

Quindi >0 ruota il riferimento in

n , cos sin , )

( , ,anti

senso orario

)

.

f x y z f R r f x y y x z

f x y z

Rotazione infinitesima: 1 sin cos 1

Rotazione intorno all’asse z di una funzione

La rotazione ( , , ) ( ) ( cos sin , cos sin , )

equivale a n rotazioni di .

f x y z f R r f x y y x z

n

Rappresentiamo la rotazione finita come una successione di infinite

Rotazioni infinitesime

39

[1 ]zLR i

La rotazione ( , , ) ( ) ( cos sin , cos sin , )

equivale a n rotazioni di . ( , , ) ( , , )

f x y z f R r f x y y x z

f fR f x y z f x y y x z f y x

n x y

[1 ( )] ( , , ) [1 ( )] ( , , ) [1 ]x y zi iy ix f x y z i yp xp f x y z i L fx y

1

1

Rotazione finit

infini

a come prodotto di infinite rotazioni infinitesime

( ) [1

tes

]

imi

i

n

nn nz

i

iii

LR R R i

nn

Rotazione infinitesima: al primo ordine,

39

L’operatore del momento angolare e’ il generatore delle rotazioni infinitesime !!

2 3

Serie di Taylor, [1 ] ...2 3

se n>>x,

Richiamo una nota formula di calcolo

[1 ]

[(1 )] [(1 ) ] (1 ) .

infi

Per x

nitesimale

n n x

x xLog x x

x xLog

n nx x x

nLog x Log x en n n

=-a,

(1 ) pern aae n

n

Rotazione finita: [1 ] [1 ]n nz z

L LR i i

n

Operatore di rotazione:

zi L

iperdifferenziale R e

41

Il momento angolare Lx e’ il generatore delle rotazioni infinitesime attorno a x

[Li,H]=0 per particella in un sistema invariante per rotazioni

† 1infatti: ˆ e' unita rio : R R RR

Il momento angolare totale e’ conservato

per ogni sistema isolato (isotropia dello spazio)

ha autostati: che soddisfano im im

m m me R e

.

ˆRotazioni con asse arbitrario: e' unitarioL

i

R e

41

L'operatore di rotazione:

e' diagonale sulla base di L

zi L

z

R e

(ruotiamo il campione, oppure noi passiamo a un nuovo riferimento ruotato)

Emmy Noether

x

y

Momento angolare come generatore delle rotazioni

Le rotazioni non commutano

90 gradi antiorari

asse y

x

y

orizzontale

90 gradi antiorari

asse x

EF

T

verticale

90 gradi antiorari

asse x

verticale

90 gradi antiorari

asse y

x

y

orizzontale

43

Come si ruota uno spin?

43

Come ruotare di intorno z lo spinore

cosampiezza lungo z 2

, ?ampiezza lungo z

sin2

i

a

n

e

z

spin

Asse z Q

L generatore rotazioni orbitali .

i

L

R e

2S generatore rotazioni di spin .

i

S

R e

Analogamente,

44

.i

S

R e

02

1 00

0 12 22z

i

i ii

R e e e

Come si ruota uno spin? Dunque,

L generatore rotazioni orbitali .

i

L

R e

2S generatore rotazioni di spin .

i

S

R e

z

44

.

Calcolo di con un parallelo all'asse zi

S

R e

45

02

2002

02

0

1

!1

!

( ) 00022

0 0 ( ) 02

1

! 2

i nn i

in

in n

n

ii

eR e

i

n

n

ie

n

0 01

0! 0

n

n

e

n e

0 0

0 0

n n

n

Le matrici diagonali si trattano come numeri:

45

45

Per ruotare di intorno z lo spinore

cosampiezza lungo z 2

, usiamo l'operatore R :ampiezza lungo z

sin2

i

a

n

e

z

spin

Asse z Q

22

2

( )2 2

cos cos cos0 2 2 2

R ,

sin sin0 sin2 22

ii

i

i ii ii

ee

n e

e ee e e

4646

Questo risultato e’ OK ma paradossale!!

Vediamo perche’.

47

Il buon senso comune suggerisce:

47

Come ruotare di intorno z lo spinore

cosampiezza lungo z 2

, ?ampiezza lungo z

sin2

i

a

n

e

z

spin

Asse z Q

+

( )

cos2

sin2

ie

Deve venire

22

2

( )2 2

cos cos cos0 2 2 2

R ,

sin sin0 sin2 22

ii

i

i ii ii

ee

n e

e ee e e

4848

22

Non basta prendere :

c'e'davanti un fattoredi fase

cos2

e fare

sin2

e se ruotiamodi un angolo giro, 1

i

i

e

e R

2 1. R

Gulp!

49

Cosa cambia?

Un fattore di fase non cambia il vettore dello spazio di

Hilbert, non cambia gli elementi di matrice fra stati

ruotati.

Pero’ cambia l’interferenza fra un fascio di spin ruotati e

il fascio non ruotato!

Rotazione intorno a un asse arbitrario

.

volte il versore dell'asse di rotazione.

iS

R e

50

Come si ruota un elettrone tenendo

conto dello spin?

L generatore rotazioni orbitali

agisce su e

.

i

LorbR e

2S generatore rotazioni di spin .

i

SspinR e

50

J L S generatore rotazioni spin-

orbitali

J.

i

R e

momento angolare totale dell'elettrone.J L S

( )( )

( )

xx

x

51

Momento magnetico di spinsenza il quale non potremmo osservarlo.

Dalla teoria relativistica di Dirac viene un momento

magnetico non dovuto a correnti ma allo spin:

2massa elettrone, 2

Correzioni di elettrodinamica quantistica ( ) danno 2.0023.

egS

mm g

QED g

c

2

2

Classicamente,

dove = momento magnetico, S= r area della spira,

ev n normale, i=corrente i=

2 rev evr e e

= = r v= 2 rc 2c 2c 2mc

iSnc

r n n L

Nel limite sparisce lo spin. Nella teoria di Pauli:c

51

51

52

. nel caso classico H H .

.1

.2 2 2

.eg e

E B B

Bc mc

B Bm

5

24 1

magnetone di Bohr-Procopi

1 0(0,0, )

0 1

5.788 10 /2

9.27 * 10 ( )2

u

B

B

B

B B H B

eeV T

mce

JT MKSm

0

0y

i

i

0 1

1 0x

1 0

0 1z

.2 2

. =z x y

x y z

B B iBe eB

B iB Bmc mcB

53

Particella con spin in campo magnetico

La transizione diretta fra sottolivelli di spin puo essere fatta assorbendo oemettendo un fotone (epr=risonanza di spin elettronico, nmr= risonanza dispin nucleare).Per un protone lo stato fondamentale e’ , per l’elettrone .La separazione dei livelli e’ molto piu grande per l'elettrone.

L

Lo spin da' due sottolivelli; poiche' g =2,

e E = B

2mce

E

stessa frequenza

= - B E E =2mc

L

eB

mc

Carica positiva in campo magnetico

E EPR

54

livelli in

campo

B

E

L'esperimento conferma che un elettrone puo’ transire fra stati di spin opposto assorbendo o cedendo un fotone (di spin 1), ad esempio in esperimenti di risonanza magnetica.

54

EPR spectrum of the CH3 radical

EPR spectrum of the H2C(OCH3) radical 55

Risonanza di spin elettronico (Electron Paramagnetic Resonance)

L’elettrone

sente il

campo

magnetico

degli spin dei

protoni e lo

spettro puo’

essere

interpretato e

fornisce

informazione

strutturale

56

Come l’equazione di Schrödinger,

ma la funzione di stato e’ uno

spinore, cioe’ una funzione a 2

componenti, H e’ una matrice 2x2

† * *( , )

( ) , ( ) ( ( , ) , ( , ) )( , )

a x tx x a x t b x t

b x t

Equazione di Pauli per l’elettrone

i Ht

2 2 2

2 2 2

0 0 ( , )( , ) ( , )2 2 2

( , ) ( , )0 0 ( , )

2 2 2

p p pa x t

a x t a x tm m mH i

b x t b x ttp p pb x t

m m m

2 20 00 0

00

2 2

Soluzione: ( , ) , | | | | 1,

Energia .2

k

k

k

ikx i tikx i t

ikx i t

k

a e ax t e a b

bb e

kE

m

Elettrone libero (banale, lo spin non gioca alcun ruolo)

57

Particella neutra di Pauli (atomo di Ag, oppure neutrone) in campo magnetico uniforme (0,0,B)

2

24 1

2

2 2

2 2

02

. , . . , 9.27*10 , 22 2 2

02

0 02 2

(0,0, )2

0 02 2

B B

BB

z

B

p

e e emH gS B gS B B JT g

m m mp

m

p pB

Bm mB B H

g

p pB

m m

2 2

2 2

Autostati simultanei :

1( ) , ( )

0 20

00( ) , ( ) , ,

1 2

The two states are separated by

ikxikx

B

ikx

B Larmorikx

Larmor

di H e p

e kx e k B

M

kx e k B

Me

eB

Mc

Sir Joseph Larmor

(1857-1942)

58

2

Particella e livelli di Landau

eminimal coupling p p-

car

e(p- A)

cH

i sec nza spa

Ac

in

=

2m

( , , )y yx xz z

A AA AA ArotA

y z z x x y

classicamente, a causa della forza di Lorentz, v

la particella fa' un moto a elica.

ma q B

Lev Landau, Baku 1908-Mosca 1968

Usiamo la Gauge di Landau:

( ,0,0) (0,0, )

dove

A y B B rotA B

Lasoluzionequantistica diLev Landau

59

( )

22 2 2

x

eBy( - )ˆ

cH= oscillatore lungo y;2m 2m 2m

k sposta l'origine dell'oscillatore

x zi k x k z

xy z

e y

kp k

[ , ] 0[ , ] 0,

conservati,x

x

z

z

H p

p

H p

p

moto libero lungo x,z

2 2 2

x

eBy(p - )

cH=2m

y zp p

2( )1

( )2 2

zn L

kE n

m

2 22

2 2

2

2 2

Per 0

( )(eBy)H=

2m 2 2m c

H2m 2

Livelli di Landau

x

y z

y

L L

eB

m

k

p km

m

p my

c

Sir Joseph Larmor

(1857-1942)

frequenza di LarmorL

eB

mc

60

x

y

z

BMoto libero lungo z

Moto libero, ma

px sposta origine

dell’oscillatore // y

Moto oscillatore

armonico con

frequenza di

Larmor

22 2 2

eBy( - )ˆ

cH=2m 2m 2m

xy z

kp k

61

Particella con carica e spin in campo elettromagnetico:

Teoria di Pauli – spinori a 2 componenti.

2

2

( )

02

( )

( )

02

.2

egS B

mc

ep A

c

mH e r

ep A

c

m

2

2

( )

02

( )

02

cioe' H ( )B

B

ep A

c

m

ep A

c

B

e

m

r

B

In questa teoria e’ possibile inserire correzioni relativistiche (spin-orbita etc.).E’ una prima approssimazione, valida alle basse energie, alla teoria di Dirac in cui gli spinorihanno 4 componenti e rappresentano sia gli elettroni che i positroni.

momenti angolari in fisica atomica

Un elettrone in un campo centrale ha momento angolare orbitale e momentoangolare di spin. Ruotando l’atomo si ruotano ambedue. Il momento orbitale e

di spin sarebbero conservati separatamente, se non fosse per una interazione

spin-orbita relativistica proporzionale a L.S fra il momento magnetico orbitale e

quello di spin. Questa e’ analoga all’interazione fra dipoli magnetici. Il momento

conservato (se non c’e’ altro) e’ J=L+S ( piu’ in generale bisogna considerare lo

spin del nucleo.)

Due elettroni in un atomo hanno ciascuno il suo momento

angolare, ma sono accoppiati dall’interazione coulombiana e

da quella magnetica.

Il nucleo di un atomo puo’ avere uno spin, che interagisce col momento

angolare degli elettroni; il momento nucleare e’ la risultante degli spin 1/2

di protoni e neutroni e dei loro momenti orbitali nel nucleo.

Il momento angolare totale di un sistema isolato qualsiasi e’ sempre conservato.

E’ il generatore delle rotazioni infinitesime di tutto il sistema.

6262

Somma di due momenti angolari

I momenti angolare da comporre si riferiscono a gradi di liberta’ indipendenti,

come lo spin e l’orbita di un elettrone, due spin diversi etc,..

1 2 1 2

1 2

, [ , ] 0.

Se i sottosistemi interagiscono e possono fluttuare,

mentre il buon numero quantico conservato e' il j totale.

Se i soli momenti ango

j j j j j

j j

1 2lari sono e quello conservato e' .j j j

6363

1 2C h i a mi a mo i momenti da sommare ( , ......)j e j L S

1 2 Z Z Zj j j 1 2 x x xj j j 1 2 y y yj j j

6464

1 2 1 2 1 1 2 2 1 2 2 1

1 2

1 2 2 1

( ) ( ) .

per e .

I termini misti fanno 0 perche' a

j j j j j j j j j j j j

S S i S S j j

j j j j b b a

La somma di momenti angolari e' dimensionalmente un

momento angolare.

j

1 2 1 2 2 1[ , ] 0 0.j j j j j j

1 2 1 2 1 1 2 2 1 2Resta ( ) ( ) ( )j j j j j j j j j j

Le componenti si sommano come nel caso classico, ma fra loro non

sono compatibili. Trovata jz come troviamo j, cioe’ l’autovalore j(j+1)?

La somma di momenti angolari e' davvero un momento angolare;

vale la legge . Infatti,

j

j j i j

J genera le rotazioni infinitesime del sistema complessivo

ha autovalori2J 2( 1) , 0,1,2,...j j j

2 2 2, 0, , 0, , 0x y zJ J J J J J

ha autovalori interizJ , 1,... 1,m j j j j

.J

i

R e

65

La somma di momenti angolari e' un momento angolare, quindi:j

1 2

1 1 2 2 1 1 2 2 1 2

prodotto direttodelle bas

La base piu' naturale per rappresentare

e' il

(2 1)(2 1 s ati

i

) t

j j j

j m j m j m j m j j

. . .

Per esempio per ruotare lo spinore di un elettrone

dove J=L+S; [L,S]=0 .J L S

i i i

R e R e e

1 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2

1 2 1 1 2 2 1 2

( )

( ) .

z z z z z z

j

j j j j j m j m j j j m j m

m m j m j m m m m

2 2 2

1 2 1 2

2 2 2

1 2

2 2

1 2

Quadrato di un momento angolare: 2 .

Qui, , e sono compatibili, perche' i quadrati

sono compatibili con le componenti. Pero'

[ , ] 0 [ ,z z

j j j j j

j j j

j j j j

1 2

] 0

j compatibile con ma incompatibile con , ; infatti,z z zj j j

66

1 1 1 2 2 1 1 1 2 2 2 1 1 2 2 2 1 1 2 2z zj j m j m m j m j m j j m j m m j m j m

Ogni operatore agisce sulle sue variabili:

2 2

1 1 2 2

1 2 1 1 2 1 2 1 1 1 2 1 1 2

1 2 1 2

[ , ] 0 [ , ] 0 ma

[ . , ] [ , ] [ , ] [ , ]

( ) 0.

z z

z x x y y z x z x y z y

y x x y

j j j j

j j j j j j j j j j j j j j

i j j j j

67

Momento angolare dell’atomo idrogenoide

Tenendo conto dello spin gli autostati dell’atomo sono |LS mL,mS > dove mL,mS

sono gli autovalori delle componenti z di L ed S.

Lo stato |LS mL,mS > non ha in generale j definito, perche’ il J risultante j non

e’ compatibile con mL,mS . Possiamo dire che J fluttua. Se prendiamo tutti gli

stati al variare di mL,mS abbiamo comunque una base di stati con un dato L.

|1 ½ 1 1/2> |1 ½ 0 1/2> |1 ½ -1 1/2>

|1 ½ 1 -1/2> |1 ½ 0 -1/2> |1 ½ -1 -1/2>

spazzano il sottospazio L=1

Una base alternativa per lo stesso sottospazio e’ |LSjmj> dove pero’ non sono

definite le componenti z di L ,S.

Per un elettrone atomico il momento angolare e' .L S J

68

L’ elettrone dell’atomo di H ha dunque una base di stati

|LSjmj>

in cui S e’ ovviamente fisso; |LSjmj> non ha mL,mS definiti pero’ ha oltre a LSJ

anche mj = mL+mS. In altri termini, le componenti z dello spin e del momento

angolare fluttuano, ma la risultante componente z e’ costante

Fra le due basi |LS mL,mS > e |LSjmj> c’e’ una trasformazione unitaria, ma e’

preferibile la base con j definito perche’ e’ conservato anche tenendo conto

della Interazione spin-orbita.

69

In realta’, J e’ conservato a meno delle interazioni iperfini con lo spin nucleare, che producono scissioni dei livelli dell’ordine dei microelettronvolt.

SO

4 2

SO 3

H = . e' di origine relativistica (il momento magnetico

dello spin interagisce con quello orbitale) e cresce velocemente con Z.

( 1) ( 1) ( 1) 1Infatti H , =

1 1372 ( 1)( )2

LS

Z J J L L S SRydberg

n L L L

2SOPer un elettrone atomico e' conservato perche' [H ,J ]=0.

Pero' [ . , ] 0 [ . , ] 0z z

L S J

L S S LS L

70

Esempio: quali sono gli stati di j definito nel 2p di H

tenendo conto dello spin?

Momento angolare totale j=L+S di un elettrone

nell'orbitale 2p dell'atomo di H:

dobbiamo combinare L = 1 con lo spin 3x2 = 6 stati , .L Sm m

3massimo

23 3

viene da 2 2

3 3(se esistesse esisterebbe anche )

2 2

j

j

j

m

m j

j m

j = 3/2 comporta 4 stati.

In tutto gli stati sono 6, quindi ne mancano 2

che saranno quelli di j = 1/2 .

3 3 1 1 3, , ,

2 2 2 2 2jj m

Caso generale.

Combiniamo j1 e j2 per fare il momento angolare totale j

Mj=j1+j2Esiste uno stato con Ma non di piu’

Esiste uno stato con Ma non di menoMj= - (j1+j2)

Nella base |j1m1j2m2> c’e’ j=j1+j2

1 1 2 2 1 2, ( massimo,un solo elemento)j jm j m j M j j M

1 2

1 1 2 2

1 2

1 1 2 2

1 2 1 2

Consideriamo gli stati con 1.

1,1 si ottiene in 2 modi diversi

, 1

due stati, uno con j j uno con j j 1

m j j

m j m jm j j

m j m j

1 2

1 2

anche j j 1 e' presente 1 volta.

Esistono tutti 1 volta fino a |j -j |. Vale l'identita'

1 2

1 2

1 2| |

Identita': (2 1) (2 1)(2 1). Il numero di stati torna.j j

j j j

j j j7171

1 2

umero di stati del sistema: (2 1)(2 1)N j j

72

Atomo di H nello stato fondamentale: L=0 quindi il momento angolare totale j e’ la risultante degli spin di elettrone e protone

(1) (1)

Stati

elettrone

(2) (2)

Stati

nucleo

1

2

2

2

1

1

1 (1) m

2

1 (1) m

autovalori di per elettrone e protone:

1(2) m

2

1 (2) m

2

2

zj

Sm m m

1 2

(1)

(1) (1)

(2)

(2) (

1 ?

, 02) ?

1 ?(1 ( )) 2

jstati m m m j

( (2)

Possiamo assegnare ag

(2)

1) 1 1

(1) , (1) (

li es

2) 0 ?

t

(1

re

(2 1

i

1))

m :

jstati

j

m j

(

1 ha 3 stati, in tutt

(1) 1 1

(1) ,

o sono

2)

(2) (2(1) 0 0,1

(1

4

) 1 1

)

(2)

jstati m

j

j

Vediamo i 4 stati possibili |elettrone,nucleo> :

73

1 2 massimo 1 massimo 1j jm m m m j

1 0, 1

0 0

j

j

j m

j m

Nel caso di due spin 1/2: base (1) (2) , (1) (2) , (1) (2) , (1) (2)

(1) (2) 1 1

(1) (2) , (1) (2) 0 0,1

(1) (2) 1 1

Quali combinazioni di (1) (2) e (1) (2) hanno 0, oppure 1?

jstati m j

j j

diagonali le componenti z dei due spin, ma non j

74

Costruzione degli autovettori del quadrato momento angolare totale J e di Jz nel caso

di 2 spin ½ singoletto e tripletto

2

e abbassiamo la componente z del momento angolare t

[ , ]

ota

0 Se partiamo con

(1) (2)

troviam

(1)

l

(2)

1, 0o

e con

x y

j

S S iS S S

j S S

J m

(1) (2) (1) (2) (1) (2)

(1) (1) (2) (1) (2)

(2) (1) (2) (1) (2)

j S S

S

S

(1) (2) (1) (2)1,0

274

0 1 0 0 2, , , ,

1 0 0 0 0x y z z

i

i

(1) (2) (1) (2)

1,1 (1) (2)

(1) (2) (1) (2)1,0 ,

2

1, 1 (1)

0,02

(2)

(1) (2) (1) (1)1,0

2

0,0 deve essere ortogonale: 0,0 1,0 0

perche' autostati con diversi numeri quantici.

Verifica: Come si vede che sono autostati di S^2 ?

1,1 (1) (2)

(1) (2) (1) (2) (1) (2) (1) (2)1,0 , 0,0

2 2

1, 1 (1) (2)

2 2 2 2 2 2 2 2

1 2 1 2 1 2 1 2

1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

2 2

1 2 1 2 1 2

1 03( ) 2 . . Usiamo perche' .

0 14

1. ( ). Quindi

2

3 12( ( )) e si verifica facilmente. A

2 2

i

z z x x y y z z

z z

S S S S S S S S S

S S S S S S S S S S S S S S

S S S S S S S

d esempio,

2 21 2 1 2 1 2

2 2 2 2

3( ) (1) (2) 0 quindi (1) (2) (1) (2) 2 (1) (2)

23 2

( ) (1) (2) 2 (1) (2) (1) (2) 1(1 1) (1) (2) .2 4

z zS S S S S S S

S

1 1 2 2 1 1 2 2

j

j j

jm

j m j m jm jm j m j m

1 2

1 1 2 2

1 1 2 2 1 1 2 2

1 1 2 2 Coefficienti di Clebsch-Gordan;

si ricavano col procedimento appena visto,

usando operatori di shift e ortogonalizzazione.

j j

j jm j m j

j

jm j m j m j m j m jm

j m j m jm

1,1 (1) (2)

(1) (2) (1) (2)tripletto 1 : 1,0

2

1, 1 (1) (2)

S

singoletto S=0 :

(1) (2) (1) (2)0,0

2

z

C'e' una trasformazione unitaria (cambiamento di base)

dalla base

(1) (2) , (1) (2) , (1) (2) , (1) (2) che ha s definito per i

due elettroni

alla base di stati con j=S , j definiti.

z

jm

7777

Autostati dello spin per 2 elettroni 1 1

,2 2

z zS S

78

1 2 1 2

Coefficienti di Clebsch-Gordan

1 1 1 111 1

2 2 2 2

1 1 1 1 110

2 2 2 2 2

1 1 1 1 100

2 2 2 2 2

1 1 1 1 100

2 2 2 2 2

1 1 1 1 110

2 2 2 2 2

1 1 1 11 1 1

2 2 2 2

j j m m jm

1 2 1 2Coefficienti di Clebsch-Gordan

1 1 3 31 1 1

2 2 2 2

1 1 3 1 11 1

2 2 2 2 3

1 1 1 1 21 1

2 2 2 2 3

1 1 3 1 21 0

2 2 2 2 3

1 1 1 1 11 0

2 2 2 2 3

1 1 3 1 21 0

2 2 2 2 3

1 1 1 1 11 0

2 2 2 2 3

1 1 3 1 11 1

2 2 2 2 3

1 1 1 1 21 1

2 2 2 2 3

1 1 3 11 1 1

2 2 2 2

j j m m jm

78