Guido BoffettaDipartimento di Fisica Generale

Universita’ di Torino

Caos e complessita’ in natura

Fisica e sistemi complessi

Le equazioni della fluidodinamica viscosa sono note da 150 annima ancora una teoria completa della turbolenza non esiste.

Sistemi complessi: il passaggio dalle equazioni costituentialla fenomenologia non e’ ovvio

La fisica si e’ sviluppata seguendo la linea riduzionista: lo studio di un fenomeno e’ riconducibile allo studio dei costituenti

MOLECOLE ATOMI NUCLEI QUARK ?

Conseguenza: Attualmente conosciamo meglio il nucleo atomicoche il moto turbolento dell’acqua in un bicchiere

Fisica e predicibilita’

Una teoria fisica deve essere in grado di fare previsioni(esempio: astronomia)

Per i sistemi complessi e’ difficile fare previsioni

* Sistemi complicati (schedina totocalcio)

L’impredicibilita’ e’ dovuta al gran numero di cause in giocoche non riusciamo a controllare (non conosciamo le equazioni)

* Sistemi caotici

L’impredicibilita’ e’ dovuta alla dinamica intrinsecamente instabile(conosciamo le equazioni, ma non basta)

PROPRIETA’ DEI SISTEMI CAOTICI

SENSIBILITA’ ALLE CONDIZIONI INIZIALI(impredicibilita’, effetto farfalla)

ATTRATTORE DI PERIODO INFINITO(la sequenza non si ripete: es.meteorologia vs. astronomia)

STRUTTURA FRATTALE DEGLIATTRATTORI (dettagli a tutte le scale)

LE SEQUENZE GENERATE DAI SISTEMICAOTICI SONO COMPLESSE

PROPRIETA’ DEI SISTEMI CAOTICI

SENSIBILITA’ ALLE CONDIZIONI INIZIALI(impredicibilita’, effetto farfalla)

Per colpa di un chiodo si perse lo zoccoloper colpa di uno zoccolo si perse il cavalloper colpa del cavallo si perse il cavaliere

per colpa di un cavaliere si perse il messaggioper colpa di un messaggio si perse la battaglia

per colpa di una battaglia si perse il regno

(G. Herbert)

Gli attrattori (=luogo geometrico su cui avviene il moto a tempi lunghi)dei sistemi non caotici sono SEMPLICI:

PUNTO FISSO STABILE

CICLO LIMITE(quasi periodico)

Il moto futuro e’ predicibile: nel primo caso e’ banale,nel secondo un po’ meno (es. eclissi)

Pendolo smorzato

Sistema solare

SISTEMI NON CAOTICI

Nei sistemi non caotici,l’impredicibilita’ e’ limitata aparticolari condizioni iniziali

Esempio: PUNTO FISSO INSTABILE

?

SISTEMI CAOTICI: l’impredicibilita’ e’ intrinseca,cioe’ per (quasi) tutte le condizioni iniziali

Sistema caotico=

sensibilita’ alle condizioni iniziali

Due traiettorie, arbitrariamente vicine al tempo inizialet=0, si separano (esponenzialmente) nel tempo futuro.

Edward Lorenz (1917-2008)

“Il battito d’ali di una farfalla inBrasile puo’ provocare un tornadoin Texas.”

FLIPPER DI LORENZ

CAOS: un semplice esempio meccanico

Biliardo classico

D(t) = D(0) + A t

Biliardo caotico

D(t) = D(0) eλ t

Sistema caotico elementare:mappa a tenda

x(t + = [ ]

Esempio di evoluzione (rappresentazione binaria)

x(0)=0.01100101101100010x(0)=0.01100101101100011 D(0)=2-17 ≈ 7.6 10-6

x(1)=0.1100101101100010x(1)=0.1100101101100011 D(1)=2-16 ≈ 1.5 10-5

x(15)=0.10x(15)=0.11 D(15)=2-2 ≈ 0.25

0 1/2 1x(t)

x(t+1)

1

D(t)=D(0) elog(2) t Errore cresce esponenzialmente !

Sistema caotico in 2 dimensioni: la mappa del fornaioLa mappa del fornaio e’ una trasformazione del quadrato inse stesso che mantiene l’area (non si perde informazione)

1. stiramento

2. ripiegamento

Punti inizialmente vicini vengono allontanati esponenzialmente nel tempo

Altri punti, inizialmente lontani, si avvicinano (mixing)

Esempio di applicazione della mappa del fornaio

t=0t=1 t=2 t=3 t=4 t=5 t=10 t=20 t=855360

Il sistema solare e’ caotico?

Il moto della Terra attorno al Sole segue orbite regolari (ellittiche)previste da NewtonSe consideriamo pero’ piu’ di 2 corpi (Sole, Terra, Giove) il sistemamatematicamente non e’ piu’ trattabile (Poincare’)

In linea di principio il moto di 3 o piu’ corpi puo’ essere caotico.

Effetti caotici nel sistema solare sono osservabili nei corpi piu’ piccoli

La distribuzione degli assi maggiori degli asteroidi nella fascia principale(tra Marte e Giove) rivela dei buchi detti intervalli di Kirkwood (1867).

Questi buchi corrispondono a periodi (Kepler: T2 ∝ R3) in risonanza colperiodo di Giove.La teoria del caos spiega l’assenzadi asteroidi come conseguenza dellarisonanza.

3:1 2:15:2 7:3

Simulazioni numeriche recenti delsistema solare con calcolatori dedicatihan mostrato che anche il moto deipianeti e’ caotico (e quindi anche laTerra) ma l’impredicibilita’ avviene sutempi dell’ordine dei 100 milioni di anni(eccentricita’)

PROPRIETA’ DEI SISTEMI CAOTICI

ATTRATTORE DI PERIODO INFINITO(la sequenza non si ripete: es.meteorologia vs. astronomia)

STRUTTURA FRATTALE DEGLIATTRATTORI (dettagli a tutte le scale)

Moto armonico (periodico)

Suono puro

x(t) = ω

Pendolo ideale

Moto armonico smorzato

(punto fisso)

x(t) = −τ ω

Pendolo con attrito

Moto caotico

(rumore non periodico)

x(t) =

Pendolo con attrito e forzato

n(t) = numero diindividui nell`anno t

* Modello molto semplice senza predatori e con potere riproduttivocostante r:

n(t+1)=r n(t)la soluzione e’ semplice:

n(t)=r*n(t-1) = r*r*n(t-2) = ... = r*r* ... *r n(0) = rt n(0)

tcrescita esponenziale (esplosione demografica)

* Modello piu’ realistico: dobbiamo tenere conto dei limiti ambientali(cibo, spazio):il potere riproduttivo descresce con la popolazione

r r (N - n(t)) N = numero massimodi individui

n(t+1)=r n(t) (N - n(t))

Introduciamo le nuove variabili: x(t)=n(t)/N e λ =r*N e otteniamo la

x(t+1) = λ x(t) (1 - x(t)) MAPPA LOGISTICA

Esempio di sistema caotico: modelli di popolazioni

Comportamento della mappa logistica al variare del parametro λ

λ =2.8 Punto fisso (x=0.65)La popolazione tende ad un valorecostante di equilibrio

λ =3.4 Ciclo periodico (x∈[0.5,0.8])Alteranza periodica di popolazione

λ =3.9 Dinamica caotica (x∈[0,1])La popolazione e’ instabile ed oscilla casualmente da un anno all’altro

λ =3.4λ =3.5λ =3.56λ =3.575λ =3.6 λ =3.7 λ =3.847

Diagramma di biforcazione della mappa logisticaForma dell’attrattore in funzione delparametro λ

x

t

ciclolimite

periodo 2

x

t

ciclolimite

periodo 4

x

t

motocaoticoperiodoinfinito

Modelli piu’ realistici di dinamica delle popolazioni devono tenere contodella presenza di altre specie (esempio: prede-predatori)

Modello di Lotka - Volterra (1931)

n1(t+1)=r1 n1(t) - b1 n1(t) n2(t)

n2(t+1)= - r2 n2(t) + b2 n1(t) n2(t)

prede

predatori

equazioni di questo tipo mostranocomportamenti complessi similia quelli osservati in natura(o in laboratorio, con batteri)

PROPRIETA’ DEI SISTEMI CAOTICI

LE SEQUENZE GENERATE DAI SISTEMICAOTICI SONO COMPLESSE

Caos e complessita’

Le serie temporali caotiche sono “complesse”

regolare caotica

Come misurare la complessita’ ?

Teoria dell'informazione (Shannon)

Consideriamo due esempi di schedine del totocalcio:

entrambe hanno la stessa probabilitá:

p = (1/3)13 = 0.00000062

ma ovviamente

quella a sx é inverosimilequella a dx sembra plausibile (tipica)

1 11 21 11 X1 X1 21 11 X1 11 21 X1 11 X

La probabilitá di un evento non é una buona misura della sua complessitá

Complessita’ algoritmica (Kolmogorov, Chaitin)

Consideriamo degli esempi di serie temporali binarie:

(a) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . . . . . .

(b) 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 . . . . . .

(c) 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 . . . . . .

semplici

complessa

Sia K(N) la lunghezza (misurata in qualche modo) del piu’ corto programma(insieme di istruzioni) in grado di generare la sequenza di N simboli

La complessita’ algoritmica e’ definita, per grandi N come

K =

(NB: non dipende dal linguaggio)

“scrivi 1 N volte” K=0

“scrivi 100 N/3 volte” K=0

“scrivi 010010110101100 ... ” K=1

Complessita’ algoritmica degli esempi:

(a) 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 . . . . . .

(b) 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 0 0 1 . . . . . .

(c) 0 1 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 1 0 1 . . . . . .

Se la sequenza (c) e’ casuale (esempio, lancio moneta), allora l’unico modo e’:

Questo e’ il modo in cui viene usualmente trasmessa l’informazione(esempio: risultati di partite di calcio, oppure tavole per p)

Un sistema caotico e’ complesso ?

Apparentemente no, perche’ basta trasmetterela regola che genera la sequenza, ad esempio: x(t+1) = λ x(t) (1 - x(t))

Se pero’ voglio generare una specifica sequenza,devo dare anche la condizione iniziale x(0)

Se il sistema e’ caotico, la condizione iniziale deve essere molto precisaper riprodurre una sequenza lunga.

In generale si trova che in un sistema caotico la condizione iniziale deve avere un numero di cifre proporzionale a N(errore cresce esponenzialmente)

I sistemi caotici hanno complessita’ algoritmica non nulla

Predire e’ difficile,specialmente il futuro.

Mark Twain

Bibliografia

• James Gleick, “Caos - La nascita di una nuova scienza” Rizzoli SuperBUR Scienza, 2000

• Edward Lorenz, “The essence of Chaos” University of Washington Press, 1996 • Angelo Vulpiani, “Determinismo e caos” Carrocci editore, 2004

• David Ruelle, “Caso e caos” Bollati Boringhieri, 1992

Caos ed impredicibilita’

dato errore iniziale D0 e tolleranza Dmax, il tempo di predicibilita’ vale

T = 1

λ

quantita’ intrinseca del sistema (dipende poco da D0)

Sistema caotico: l’errore con cui predico lo stato del sistema cresceesponenzialmente nel tempo:

D(t) = D(0) eλ tλ : esponente di Lyapunov

Caos ed impredicibilita’ in un semplice modello atmosferico

QuickTime� and aYUV420 codec decompressor

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Integrazione numerica di semplice modello di atmosferaDue realizzazioni con D(0)=10-6

atmosfera previsione numerica

Gli insiemi frattali sono luoghigeometrici intermedi tra gli insiemi“classici” (punto, retta, piano, ...)

La dimensione frattale D misura ilgrado di “frastaglietá” dell’insieme(per gli insiemi classici D é intera)

Caratteristica fondamentale deifrattali e’ l’autosimilarita’(si ripete a tutte le scale)

Frattali

Costruzione dell’insieme di Cantor

e cosi via …

Costruzione dell’insieme di Koch

Generalizzazione del concetto ordinario didimensione ad insiemi di punti non “lisci”.

Sia N(n) il numero di segmenti di lunghezza r necessari a ricoprirel’insieme di punti all’iterazione n. La dimensione frattale e’ data da

Cantor Segmento Koch

2 3 4

4 9 16

n r

1 1

2 1/3

3 1/9

2nN(n)= 4n3n n 1/3n

D = 4

D = log(2)/log(3)=0.63... log(4)/log(3)=1.26...1

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