DISEQUAZIONI•Segno di un trinomio e disequazioni di 2° grado

•Disequazioni di grado superiore al 2° ad esse riconducibili•Disequazioni con valori assoluti

•Disequazioni irrazionali

Classe III a.s. 2012/2013

Prof.ssa Rita Schettino

PREMESSA

• Le slides seguenti danno appunti operativi per risolvere i vari tipi di disequazioni esplicitate nella copertina

• Non ripetiamo i concetti di base e l’operatività delle disequazioni lineari o delle disequazioni fratte o dei sistemi di disequazioni che sono reperibili in altre presentazioni sulla medesima pagina

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Disequazioni

Segno di un trinomio di 2° grado• Studiare il segno di un trinomio significa determinare

quali valori di , sostituiti alla variabile, danno un risultato nullo o positivo o negativo

• Si può anche dire che si vogliono determinare i valori o gli intervalli di per cui il trinomio risulti nullo o positivo o negativo

• Si comprende quindi che questa problematica rientra nel determinare valori di una incognita per cui si verifichi la uguaglianza a zero di un trinomio o la sua positività o la sua negatività

• Si comprende altresì che si tratta di risolvere equazioni o disequazioni (nel caso della positività o della negatività)

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Disequazioni

Segno di un trinomio di 2° grado• Dato quindi un trinomio di 2° grado (scritto ovviamente in forma normale) si tratta di

determinare i valori reali di x per cui:a) Il trinomio sia uguale a zero (equazione di 2° grado)b) Il trinomio sia positivo (disequazione di 2° grado)c) Il trinomio sia negativo (disequazione di 2° grado)N. B. Quelle indicate sono disequazioni strette ma può

richiedersi anche o il cui significato è noto.prof.ssa R. Schettino 4

cbxax 2

02 cbxax

02 cbxax

02 cbxax

Disequazioni

DISEQUAZIONI DI 2° GRADO

• Forma normale :

con a > 0• Si risolvono seguendo due passi:a) Risoluzione dell’equazione associatab) Determinazione degli intervalli delle soluzioni

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0 oppure 0 22 cbxaxcbxax

Disequazioni

DISEQUAZIONI DI 2° GRADO

• La dimostrazione di quanto segue fa parte del corso in aula, qui ricordiamo le regole:

• L’equazione associata può ammettere1)Due soluzioni reali e distinte x1 x2

2)Due soluzioni reali e coincidenti x1 = x2

3)Soluzioni non reali (o complesse) x1, x2 C

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Disequazioni

DISEQUAZIONI DI 2° GRADOcbxax 2 normale formaa>0

• >0 x1 x2

x1 = x2

x1 e x2 complesse

• <0 x1 x2

x1 = x2

x1 e x2 complesse N. B. per vedere gli esempi svolti vedi la ppt ESEMPI

DISEQUAZIONI DI 2° GRADO

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• Soluzioni: valori esterni all’intervallo delle radici x1 e x2

• Soluzioni: tutti i numeri reali tranne x1

• Soluzioni: tutti i numeri reali

• Soluzioni: valori interni all’intervallo delle radici x1 e x2

• Nessuna soluzione• Nessuna soluzione

Disequazioni

DISEQUAZIONI DI 2° GRADO

• Le regole precedenti valgono nel caso a>0• Se a<0 si può cambiare il segno di tutti i

coefficienti e il verso della disequazione e riportarsi al caso precedente

• Oppure si determinano comunque le radici dell’equazioni associata e le regole per gli intervalli delle soluzioni della disequazione sono all’incontrario delle precedenti

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Disequazioni

DISEQUAZIONI DI 2° GRADOa<0• >0 x1 x2

x1 = x2

x1 e x2 complesse

• <0 x1 x2

x1 = x2

x1 e x2 complesse

• Soluzioni: valori interni all’intervallo delle radici: x1<x<x2

• Nessun valore reale

• Nessun valore reale

• Soluzioni: valori esterni all’intervallo delle radici: x<x1, x>x2

• Soluzioni: tutti i valori reali tranne x1=x2

• Tutti i numeri reali

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Disequazioni

DISEQUAZIONI DI 2° GRADO• Notiamo che (da memorizzare benissimo!): Per DETERMINARE L’INTERVALLO DELLE

SOLUZIONI DI UNA DISEQUAZIONEBisogna guardare sia il segno del primo coefficiente

(a) sia il segno del trinomioBisogna guardare la natura delle radici della

equazione associata: a seconda se sono distinte, coincidenti o complesse si ha un diverso intervallo di soluzioni

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DISEQUAZIONI DI 2° GRADO

• Le regole precedenti si possono riassumere così:• Dopo aver determinato le radici dell’equazione

associata si ha:

Se le radici sono distinte

Se le radici sono coincidenti

Se le radici sono complesse

• N. B. per vedere gli esempi svolti vedi la ppt ESEMPI DISEQUAZIONI DI 2° GRADO

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Concordanza tra a e il segno della disequazione: valori esterni

Discordanza tra a e il segno : valori interni

Concordanza tra a e il segno: sempre verificato tranne x1

Discordanza tra a e il segno: mai verificato

Concordanza tra a e il segno: sempre verificato

Discordanza tra a e il segno: mai verificato

Disequazioni

DISEQUAZIONI DI GRADO SUPERIORE AL SECONDO

• Le disequazioni algebriche di grado superiore al secondo si risolvono riconducendole a disequazioni di 2° grado

• Quindi vanno applicate sia le regole delle equazioni di grado superiore al 2°, che ad esse si riconducono, sia quelle ora esposte delle disequazioni di 2° grado.

• Es.

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Disequazioni

012214

0232

02

24

36

24

xx

xx

xx Si può scomporre in fattori ed applicare il falso sistema

È trinomia quindi si svolge come le disequazioni di 2° grado e poi, in seconda battuta, come quelle di 1°grado

È biquadratica quindi si svolge con le regole delle disequazioni di 2° grado, per due volte

EQUAZIONI E DISEQUAZIONI CON VALORI ASSOLUTI

• Ricordiamo la definizione di VALORE ASSOLUTO DI UN NUMERO REALE (v. a.)

a se a 0 vale a dire: è il numero• a = stesso se questo è 0, è il - a se a < 0 suo opposto se è < 0. Da ciò discende che per risolvere equazioni o disequazioni con il

valore assoluto bisogna contemplare il segno del suo argomento (a) e quindi eliminare il v. a. a seconda se a è 0 o < 0.

Ricordiamo inoltre che e che

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Disequazioni

kakka kakaka

EQUAZIONI E DISEQUAZIONI CON VALORI ASSOLUTI

• Poiché in un’equazione o disequazione non si conosce il valore dell’incognita, come si fa a sciogliere (eliminare) il v. a. non sapendo il segno dell’argomento contenente l’incognita?

• Ebbene si considerano i vari casi utilizzando la rappresentazione grafica degli intervalli di positività o negatività (molto utile se non addirittura necessaria nel caso vi siano più valori assoluti all’interno dell’esercizio)

• Es.

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3

065

23

2

xxx

xx

xx

Disequazioni

EQUAZIONI E DISEQUAZIONI CON VALORI ASSOLUTI

• I termini all’interno dei v. a. sono gli argomenti dei v. a. che, come si vede nel 3°e 4° es. , sono più di uno per cui bisogna considerare vari casi.

• Nel 1° esempio vanno risolte due disequazioni: l’una se 5x+60, l’altra se 5x+6<0. Ciò perché nel 1° caso il v. a. va sciolto con il suo segno così com’è, nel secondo caso il v. a. va sciolto cambiato di segno perché l’argomento è negativo.

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Disequazioni

EQUAZIONI E DISEQUAZIONI CON VALORI ASSOLUTI

• Nel 2° es. per contemplare i quattro casi che si possono presentare per i due v. a. (a voi la risposta del perché i casi possibili sono quattro), utilizziamo la rappresentazione grafica sulla retta dei numeri reali nel seguente modo.

• Poniamo i due argomenti entrambi positivi e usiamo la linea continua per indicare la positività dell’argomento, la linea tratteggiata per indicare la negatività, per cui sulla retta si ha:

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- 3 0

Disequazioni

EQUAZIONI E DISEQUAZIONI CON VALORI ASSOLUTI

• Quindi si risolvono in questo esempio tre casi:• Nell’intervallo x < -3 in cui entrambi gli argomenti

sono negativi e i v. a. vanno sciolti cambiando ad entrambi i segni

• Nell’intervallo -3 x < 0 in cui il 1° va sciolto cambiato di segno e il 2° va sciolto con il suo segno

• Nell’intervallo x 0 in cui entrambi gli argomenti sono positivi e quindi i due v.a. vanno sciolti con il loro segno

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Disequazioni

EQUAZIONI E DISEQUAZIONI CON VALORI ASSOLUTI

• Nel 3° es. va applicata la stessa procedura del 1° es.

• N. B. gli esempi presentano disequazioni; è implicito che per le equazioni valgono le stesse identiche procedure

• Per vedere questi ed altri esempi risolti clicca la ppt ESEMPI DISEQUAZIONI CON VALORI ASSOLUTI

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Disequazioni

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RIASSUMIAMODisequazioni

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Disequazioni

ULTERIORI CONSIDERAZIONI• Quando si devono risolvere disequazioni del

tipo si può procedere più rapidamente risolvendo il sistema di disequazioni

(perché é un sistema?)

• Quando si devono risolvere disequazioni del tipo si può procedere risolvendo

e unire le soluzioni delle due disequazioni

• Le regole precedenti sono generali, queste ultime valgono solo in questi casi

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kxA )(

kxAk )(

kxA )(

kxAkxA )(,)(

Disequazioni

DISEQUAZIONI IRRAZIONALI

• Una disequazione si dice IRRAZIONALE se l’incognita compare nel radicando di un radicale

• È quindi del tipo • Può anche contenere più di un radicale, può

anche avere un numero reale al 2° membro• Ricordiamo innanzitutto i Domini dei radicali:

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dispari è se

pari è se 0)()(

n

nxAxAn

)()( o )()( xBxAxBxA nn

Disequazioni

DISEQUAZIONI IRRAZIONALI• Vediamo come si risolvono le disequazioni con radicali con

indice dispari (le più semplici)• Dopo aver isolato il/i radicali al 1° membro, si elevano ad n

(indice) entrambi i membri della disequazione finché i radicali non vengono eliminati e si risolve l’ultima disequazione le cui soluzioni sono quelle della disequazione data

• Ciò perché si conserva, cioè, il verso della disuguaglianza, se n è dispari,

con l’elevamento a potenza• Ricordiamo che• Vale a dire che, con l’elevamento a potenza pari, si conserva il

verso della disequazione solo se le basi sono positive

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b e a dispari n con )b(oa)b(oa nn

b e a pari n con )b(oa)b(oa nn

Disequazioni

DISEQUAZIONI IRRAZIONALI• Molto diversa è la procedura per le disequazioni se l’indice

è pari• Cominciamo col tipo • È equivalente al sistema• Esaminiamo il sistema:• per l’esistenza del radicale (Dominio)• perché, dovendo essere maggiore del

radicale(positivo), deve essere anch’esso positivo• elevando al quadrato entrambi i membri della

disequazione (che sono positivi per le condizioni precedenti)• Per gli esempi svolti vedere la ppt ESEMPI DISEQUAZIONI IRRAZIONALI

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)()( xBxA

)()(

0)(

0)(

2 xBxA

xB

xA

0)( xA0)( xB

)()( 2 xBxA

Disequazioni

DISEQUAZIONI IRRAZIONALI• Esaminiamo il tipo• È equivalente all’unione dei due sistemi

• Esaminiamo il 1° : per l’esistenza del radicale (Dominio)• perché, dovendo essere, dal tipo di disequazione,

minore di un radicale positivo, B(x) può essere <0 • Le soluzioni di questo sistema soddisfano sicuramente la

disequazione data perché A(x) ha significato ed è positivo, B(x)è negativo, quindi il 1° membro è maggiore del 2° come è nella disequazione data

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)()( xBxA

)()(

0)(

0)(

0)(2 xBxA

xB

xB

xA

0)( xA

0)( xB

Disequazioni

DISEQUAZIONI IRRAZIONALI

• Esaminiamo il 2°: perché B(x) può essere anche positivo o nullo, pur dovendo essere minore del radicale

• perché, essendo per le condizioni poste, entrambi i membri positivi, si possono elevare al quadrato i due membri della disequazione data e non cambia ilverso della disequazione

• Nel 2° sistema non compare la condizione del dominio perché viene ad essere implicita nella seconda condizione, dove è > di una quantità positiva e quindi anch’essa positiva

• Vedere gli esercizi svolti la ppt ESEMPI DISEQUAZIONI IRRAZIONALI

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0)( xB

)()( 2 xBxA

0)( xA

Disequazioni

ESEMPIÈ di indice dispari (si elevano i due membri alla

terza potenza)È di indice dispari e contiene una disequazione

frattaÈ dello steso tipo del primo esempio

È dello stesso tipo del secondo esempio

È di indice pari: si isola il radicale al 1° membro ed è del tipo

È di indice pari ed è del tipo

Sono di indice pari e contengono due radicali: si imposta il sistema formato dalle condizioni dei domini e dall’elevamento alla seconda dei due membri

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6

13

1

12

12

1

4

41

0165

21

100

12

11

1

12612

22

42

2

5

3 3

7

3 2

x

x

x

x

xxx

xxx

xxx

x

x

xx

x

x

xxx

)()( xBxA

)()( xBxA

Disequazioni

CONCLUSIONI • Per risolvere equazioni e disequazioni algebriche di

qualunque tipo, è bene inquadrarle prima nella tipologia giusta

• La risoluzione deve essere logica, secondo le regole di ciascuna tipologia

• Le equazioni e disequazioni possono essere miste, cioè presentare più tipologie insieme e quindi vanno risolte con estrema attenzione procedendo per gradi

• Studiare gli esempi svolti e ….. Buon lavoro

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