Cristallografia MorfologicaCristallografia MorfologicaRicordare:

Gruppi spaziali per la simmetria atomica Gruppi puntuali per la simmetria delle facce crist.

Facce cristalline = delimitano le superfici di crescitaDipendono a) dalla forma delle “building units” e b) dalle condizioni fisiche (T, P, matrice, natura & direzioni di flusso delle soluzioni, etc.)

Cristallografia Cristallografia MorfologicaMorfologica

Osservazione:Osservazione: La frequenza con cui è La frequenza con cui è osservata una data osservata una data faccia in un cristallo è faccia in un cristallo è proporzionale alla proporzionale alla densità dei lattice densità dei lattice nodes lungo quel pianonodes lungo quel piano

Cristallografia MorfologicaCristallografia MorfologicaOsservazione:Osservazione:

La frequenza con cui La frequenza con cui è osservata una data è osservata una data faccia in un cristallo faccia in un cristallo è proporzionale alla è proporzionale alla densità dei lattice densità dei lattice nodes lungo quel nodes lungo quel pianopiano

Cristallografia MorfologicaCristallografia MorfologicaDato che le facce hanno relazioni direttecon la Dato che le facce hanno relazioni direttecon la struttura interna, struttura interna, dovranno avere anche una dovranno avere anche una relazione diretta ed angolare tra di lororelazione diretta ed angolare tra di loro

Cristallografia MorfologicaCristallografia MorfologicaNicholas Steno (1669): Nicholas Steno (1669): Legge della costanza Legge della costanza dell’angolo diedrodell’angolo diedro

QuarzQuarzoo

120o

120o

120o 120o 120o

120o

120o

Cristallografia MorfologicaCristallografia MorfologicaPiani differenti hanno ambienti atomici differentiPiani differenti hanno ambienti atomici differenti

Cristallografia MorfologicaCristallografia MorfologicaLa simmetria cristallina si conforma ai La simmetria cristallina si conforma ai 32 gruppi puntuali 32 gruppi puntuali 32 32 classi cristalline classi cristalline in 6 in 6 sistemi cristallinisistemi cristallini

Crystal faces act just as our homework: symmetry about the center Crystal faces act just as our homework: symmetry about the center of the crystal so the point groups and the crystal classes are the sameof the crystal so the point groups and the crystal classes are the same

Sistema Cristallino Acentrico Centrato

Triclino 1 1

Monoclino 2, 2 (= m) 2/m

Ortorombico 222, 2mm 2/m 2/m 2/m

Tetragonale 4, 4, 422, 4mm, 42m 4/m, 4/m 2/m 2/m

Esagonale 3, 32, 3m 3, 3 2/m

6, 6, 622, 6mm, 62m 6/m, 6/m 2/m 2/m

Cubico 23, 432, 43m 2/m 3, 4/m 3 2/m

Cristallografia MorfologicaCristallografia MorfologicaAssi cristallini:Assi cristallini: generalmente considerati paralleli ai bordi generalmente considerati paralleli ai bordi (intersezioni) delle principali facce cristalline(intersezioni) delle principali facce cristalline

aa

bb

cc

Cristallografia MorfologicaCristallografia MorfologicaAssi cristallini:Assi cristallini: generalmente considerati paralleli ai bordi generalmente considerati paralleli ai bordi (intersezioni) delle principali facce cristalline(intersezioni) delle principali facce cristalline

Più sono le facce, migliori sono Più sono le facce, migliori sono facce del prisma & asse-c del facce del prisma & asse-c del quarzo, cubo del salgemma, etc.quarzo, cubo del salgemma, etc.

Dobbiamo considerare anche la simmetria: c = 6-fold nella classe Dobbiamo considerare anche la simmetria: c = 6-fold nella classe esagonaleesagonale

Con la cristallografia ai RX possiamo determinare la struttura Con la cristallografia ai RX possiamo determinare la struttura interna ed i parametri di cella direttamente ed accuratamenteinterna ed i parametri di cella direttamente ed accuratamente

Gli assi cristallografici determinati con XRD e con il metodo delle Gli assi cristallografici determinati con XRD e con il metodo delle facce molto spesso coincidonofacce molto spesso coincidono

Ciò non è un caso!!Ciò non è un caso!!

Cristallografia MorfologicaCristallografia MorfologicaCome facciamo ad avere traccia delle facce di un cristallo?Come facciamo ad avere traccia delle facce di un cristallo?

Cristallografia MorfologicaCristallografia MorfologicaCome facciamo ad avere traccia delle facce di un cristallo?Come facciamo ad avere traccia delle facce di un cristallo?

Ricordarsi che le Ricordarsi che le dimensionidimensioni delle facce possono variare, delle facce possono variare, ma gli ma gli angoliangoli no ! no !

Nota: Nota: “angoli “angoli intefacciali”intefacciali” = gli = gli angoli tra facce, angoli tra facce, misurati come misurati come questiquesti 120o

120o

120o 120o 120o

120o

120o

Cristallografia MorfologicaCristallografia MorfologicaCome facciamo ad avere traccia delle facce di un cristallo?Come facciamo ad avere traccia delle facce di un cristallo?

Ricordarsi che le Ricordarsi che le dimensionidimensioni delle facce possono variare, delle facce possono variare, ma gli ma gli angoliangoli no ! no !

Quindi sono l’orientazione e gli angoli i parametri migliori Quindi sono l’orientazione e gli angoli i parametri migliori per l’indicizzazioneper l’indicizzazione

Gli Gli indici di Millerindici di Miller sono il metodo accettato comunemente sono il metodo accettato comunemente

Utilizza le Utilizza le intercette relativeintercette relative della faccia in questione con della faccia in questione con gli assi cristallografici di riferimentogli assi cristallografici di riferimento

Cristallografia MorfologicaCristallografia MorfologicaDato il seguente cristallo:Dato il seguente cristallo:

aa

bb

cc

Vista 2-DVista 2-Dlungo clungo c

aabb

Cristallografia MorfologicaCristallografia MorfologicaDato il seguente cristallo :Dato il seguente cristallo :

aabb Quali sono le facce di rifimento?Quali sono le facce di rifimento?

Faccia Faccia aa??Faccia Faccia bb??Facce Facce -a-a e e -b-b??

Cristallografia MorfologicaCristallografia MorfologicaSupponiamo di avere un altro cristallo dello Supponiamo di avere un altro cristallo dello stesso stesso minerale minerale con altre due famiglie di facce:con altre due famiglie di facce:

Come le referenziamo?Come le referenziamo?

aabb

b

a

wx

y

z

Gli Indici di Miller usano le intercette relative delle facce con gli assi

b

a

w

x

y

z

b

a

x

y

Scegliere una faccia di riferimento che intersechi i due assi

Quale? x o y?

Quale?

b

a

w

x

y

z

b

a

x

y

Sia x o y. La scelta è casuale. Sceglierne una.

Supponiamo di scegliere x

Il metodo degli IM è molto preciso (“cook book”)

b

a

x

y

a ba b

Faccia sconosciuta (Faccia sconosciuta (yy))

Faccia di riferim. (Faccia di riferim. (xx))1122

1111

Invertire la frazioneInvertire la frazione 2211

1111

Eliminare le frazioniEliminare le frazioni 22 11

Indici di MillerIndici di Millerdella faccia della faccia yy, usando , usando xxcome riferimentocome riferimento

Qual’è l’IM della faccia di riferimento?

b

a

x

y

a ba b

2222

1111

Invertire la frazioneInvertire la frazione 2222

1111

Eliminare le frazioniEliminare le frazioni 11 11

Indici di Miller Indici di Miller della faccia di della faccia di riferimento sono riferimento sono sempre (1 1)sempre (1 1)

Faccia sconosciuta (Faccia sconosciuta (yy))

Faccia di riferim. (Faccia di riferim. (xx))

Adesso scegliamo y come riferimento. Qual’è l’IM di x?

b

a

x

y

a ba b

Faccia sconosciuta (Faccia sconosciuta (xx))

Faccia di riferim. (Faccia di riferim. (yy))2211

1111

Invertire la frazioneInvertire la frazione 1122

1111

Eliminare le frazioniEliminare le frazioni 11 22

Indici di Miller Indici di Miller della faccia della faccia xx, , usando usando yy come come riferimentoriferimento

b

a

x

y

Qual’è la scelta corretta?

1)1) x = (1 1)x = (1 1)

y = (2 1)y = (2 1)

2)2) x = (1 2)x = (1 2)

y = (1 1)y = (1 1)

La scelta è arbitraria

Qual’è la differenza?

b

a

x

y

Qual’è la differenza?

b

a

x

y

b

aa

bForma Forma cella cella unitaria se unitaria se y = (1 1)y = (1 1)

Forma Forma cella cella unitaria seunitaria sex = (1 1)x = (1 1)

Rapporto assiale = a/b = 0.80Rapporto assiale = a/b = 0.80 Rapporto assiale = a/b = 1.60Rapporto assiale = a/b = 1.60

b

a

x

y

b

a

w

x

y

z

La tecnica descritta precedentemente richiede che vengano graficate tutte le facce

Un modo più semplice (?) è quello di usare la trigonometria

141141oo

148148oo

????

Misura gli angoli tra Misura gli angoli tra le facce (diedri)le facce (diedri)

Angoli diedriAngoli diedri

b

a

x

y

b

a

w

x

y

z

141141oo

148148oo

3939oo

5858oo

tan 39 = a/b = 0.801tan 39 = a/b = 0.801tan 58 = a/b = 1.600tan 58 = a/b = 1.600

La tecnica descritta precedentemente richiede che vengano graficate tutte le facce

Un modo più semplice (?) è quello di usare la trigonometria

Quali sono gli indici di Miller di tutte le facce se Quali sono gli indici di Miller di tutte le facce se scegliamo x come riferimento?scegliamo x come riferimento?

Faccia Z?

b

a

w(1 1)

(2 1)

z

Gli indici di Miller della faccia Gli indici di Miller della faccia zz, usando , usando x x come come riferimentoriferimento

b

a

w(1 1)

(2 1)

z

a ba b

Faccia sconosciuta (z)Faccia sconosciuta (z)

Faccia di riferim. (Faccia di riferim. (xx))1111

11

Invertire la frazioneInvertire la frazione 1111

11

Eliminare le frazioniEliminare le frazioni 11 00

Indici di Miller di Indici di Miller di zz usando usando xx ( (o una o una faccia qualsiasifaccia qualsiasi) ) come riferimentocome riferimento

b

a

(1 1)

(2 1)

(1 0)

Potete indicizzare il resto?Potete indicizzare il resto?

b

a

(1 1)

(2 1)

(1 0)

(0 1)

(2 1)(2 1)

(2 1)

(1 1)(1 1)

(1 1)

(0 1)

(1 0)

c

ba

O

YX

Z

A

B

C

Indici di Miller 3-D (esempio complesso)Indici di Miller 3-D (esempio complesso)

aa bb cc

Faccia sconosciuta (Faccia sconosciuta (XYZXYZ))

Faccia di riferim. (Faccia di riferim. (ABCABC))21

4

Indici di Miller Indici di Miller della faccia della faccia XYZ,XYZ, usando usando ABCABC come faccia di come faccia di riferimentoriferimento

3

Invertire la frazioneInvertire la frazione 12

4

3

Eliminare le frazioniEliminare le frazioni (1(1 3)3)44

Demonstrate MI on cardboard cube modelDemonstrate MI on cardboard cube model

We can get the a:b:c axial ratios from the chosen (111) face We can get the a:b:c axial ratios from the chosen (111) face

We can also determine the true unit cell by XRD and of course We can also determine the true unit cell by XRD and of course determine the a:b:c axial ratios from itdetermine the a:b:c axial ratios from it

If the unit face is correctly selected, the ratios should be the If the unit face is correctly selected, the ratios should be the samesame

If not, will be off by some multiple - i.e. picked (211) and If not, will be off by some multiple - i.e. picked (211) and called it (111)called it (111)

Best to change itBest to change it

Mineralogy texts listed axial ratios long before XRDMineralogy texts listed axial ratios long before XRD

We had to change some after XRD developedWe had to change some after XRD developed

Forma Forma = un insieme di facce = un insieme di facce simmetricamente equivalentisimmetricamente equivalentiP. graffe indicano una forma P. graffe indicano una forma {{210210}}

b

a

(1 1)

(2 1)

(1 0)

(0 1)

(2 1)(2 1)

(2 1)

(1 1)(1 1)

(1 1)

(0 1)

(1 0)

Forma Forma = un insieme di facce = un insieme di facce simmetricamente simmetricamente equivalentiequivalenti

P. graffe indicano una forma P. graffe indicano una forma {{210210}}

MolteplicitàMolteplicità dipende dalla simmetria dipende dalla simmetria

{100} nel monoclino, ortorombico, {100} nel monoclino, ortorombico, tetragonale, cubicotetragonale, cubico

Forma Forma = un insieme di facce = un insieme di facce simmetricamente simmetricamente equivalentiequivalenti

P. graffe indicano una forma P. graffe indicano una forma {{210210}}

pinacoidepinacoide prismaprisma piramidepiramidebipiramidebipiramide

related by a mirror related by a mirror or a 2-fold axisor a 2-fold axis

related by n-fold related by n-fold axis or mirrorsaxis or mirrors

Forma Forma = un insieme di facce = un insieme di facce simmetricamente simmetricamente equivalentiequivalenti

P. graffe indicano una forma P. graffe indicano una forma {{210210}}

Quarzo = 2 forme:Quarzo = 2 forme:Prisma esagonale (m = 6)Prisma esagonale (m = 6)Bipiramide esagonale (m = Bipiramide esagonale (m = 12)12)

Forme cubiche includonoForme cubiche includono

CuboCubo OttaedroOttaedro

Dodecaedro Dodecaedro

111

111 _

111 __

111 _

110

101 011

011 _

110

_

101 _

Insieme delle tre:Insieme delle tre:

110

101 011

011 _

110 _

101 _

100

001

010

111

111 __

111 _

111 _

ZonaZona

OgniOgni gruppo di facce || ad un asse comune gruppo di facce || ad un asse comune

Uso di h k Uso di h k ll come variabili delle intercette come variabili delle intercette a, b, c a, b, c ((h k 0h k 0)) = = [[001001]]

If the MI’s of 2 non-parallel faces are If the MI’s of 2 non-parallel faces are added, the result = MI of a face between added, the result = MI of a face between them & in the same zonethem & in the same zone

See on cube model (100) + (010) = (110)See on cube model (100) + (010) = (110)

(100)

Which??Which??(010)

(110)?

(110)?

BUT doesn't say BUT doesn't say whichwhich face face

BUT doesn't say BUT doesn't say whichwhich face face

(100)

Which??Which??(010)

(110)?

(110)?(100)

(010)

(210)

(110)

(100)

(010)

(110)

(120)

Either is OKEither is OK