Post on 01-May-2015
Analisi e gestione del rischio
Lezione 17
Tecniche di mitigazione del rischio
Tecniche di mitigazione del rischio
• Sul mercato si usano diverse tecniche per la mitigazione del rischio di controparte. L’ispirazione alla base di queste tecniche risiede fondamentalmente nella struttura dei mercati di tipo futures-style, basati su tre principi di fondo– La predisposizione di margini di garanzia– La rivalutazione (marking-to-market) e la liquidazione di guadagni
e perdite sulle posizioni prima della scadenza del contratto.– La compensazione di guadagni e perdite su operazioni diverse
• La predisposizione di clausole di mitigazione del rischio di controparte rendono più complessa la valutazione dei prodotti finanziari. Purtroppo non esiste molta letteratura sull’argomento.
Tecniche di mitigazione del rischioLa teoria
• In principio possiamo pensare a diverse tecniche di riduzione del rischio di controparte
1. Possiamo far versare un margine alle due controparti all’inizio del contratto
2. Possiamo rivalutare la posizione a cadenze giornaliere o settimanali e richiedere il deposito della perdita come collateral
3. Possiamo accedere a un accordo di netting per cui in caso di default viene liquidata l’esposizione netta tra le controparti.
Tecniche di mitigazione del rischioLa pratica
• In teoria tutte le tecniche descritte sopra portano a una riduzione del rischio di controparte.
• Nella pratica gran parte delle banche utilizzano l’ISDA Agreement sul netting (punto 3) ed il Credit Annex che prevede il marking-to-market periodico delle esposizioni e lo scambio di collateral (punto 2)
Un semplice esempio
• Riprendiamo il semplice esempio con cui abbiamo iniziato la nostra analisi: in contratto forward stipulato al tempo 0.
• Sappiamo che il rischio di controparte è– Per la posizione lunga: una posizione corta in un’opzione call
vulnerabile acquistata dalla controparte con strike pari al prezzo forward F(0).
– Per la posizione corta: una posizione corta in un’opzione put vulnerabile acquistata dalla controparte con strike pari al prezzo forward F(0).
• Per semplicità assumeremo anche che il sottostante ed il merito di credito della controparte siano indipendenti.
L’introduzione di un margine
• Assumiamo che le parti si accordino per il versamento di un margine, sullo stile di un mercato futures, pari a C. In questo caso le controparti subiscono una perdita in caso di default solo nel caso in cui il valore del contratto in quella data sia maggiore di C.
• L’estensione dell’analisi precedente è immediata e il rischio di controparte è valutato– Per la posizione lunga: una posizione corta in un’opzione call
vulnerabile acquistata dalla controparte con strike pari a F(0) + C.– Per la posizione corta: una posizione corta in un’opzione put
vulnerabile acquistata dalla controparte con strike pari al prezzo forward F(0) – C.
Margine con soglia• E’ facile realizzare che il rischio di controparte nel caso di
margine con soglia equivale a una posizione corta in un’opzione con possibilità di reset dello strike, con il reset legato alla possibilità che la perdita ecceda una data barriera. Sappiamo che un’opzione di questo tipo è chiamata ladder
• Otteniamo quindi per la posizione lunga,e per ogni t < TLgdBfB()Call Ladder(S(t),t; F(0),T, F(0) + H)
• Per la controparte corta avremo inveceLgdAfA()Put Ladder(S(t),t; F(0),T, F(0) – H)
dove fi() è la densità dei tempi di default di i = A, B. • Il rischio di controparte del contratto sarà ottenuto integrando le
funzioni riportate sopra rispetto a .
L’utilizzo del collateral
• Nella pratica viene utilizzata la tecnica dello scambio di collateral.
• In particolare:– A intervalli regolari viene valutata la posizione a prezzi di
mercato.– La controparte per la quale il contratto è out-of-the-money deposita
la perdita come collateral presso la controparte
• In generale lo scambio di collateral avviene per variazioni oltre una soglia minima. Comunque agli effetti pratici tale soglia è trascurabile perché è legata a problematiche di tipo operativo: evitare movimentazioni di cash per ammontari irrisori.
Rischio di controparte con collateral
• Assumiamo una controparte lunga nel contratto forward, e assumiamo che al tempo venga rivalutata la posizione a prezzi di mercato (marking-to-market).
• Fino al tempo la perdita a seguito di default della controparte sarà data da una posizione corta in un’opzione call con strike F(0).
• Nell’ipotesi che la controparte non sia fallita prima di in cui sia S() – P(,T)F(0) > 0, l’ammontare verrà depositato come collateral.
• Se assumiamo anche che il collateral renda il tasso privo di rischio dal tempo a T abbiamo che in questo caso la perdita da sarà data da
S(T) – S() /P(,T) > 0
Il rischio di controparte con collateral
• Definiamo GB(T) e GB() le probabilità di sopravvivenza della controparte corta.
• Denotiamo inoltre Q( )= Pr(S() P(,T)F(0))• Al tempo t il rischio di controparte sarà dato da
LgdB(1 – GB()) Call(S,t; F(0),T) + LgdB(GB() – GB(T)) FSCall(S,; S()/P(,T) ,T) [1 –
Q()] + LgdB(GB() – GB(T)) Call(S,t; F(0) ,T) Q()
dove FSCall(.) denota un’opzione call forward start.
Il rischio di controparte
• La valutazione del rischio di controparte implica in questo caso
1. Un’opzione call con strike F(0) nell’evento che il default si verifichi prima della data di marking-to-market
2. Una opzione forward start at-the-money forward nell’ipotesi che il default si verifichi dopo e la posizione lunga sia in-the-money
3. Un’opzione call con strike F(0) nell’ipotesi che il default si verifichi dopo e la posizione lunga sia out-of-the-money
Opzioni forward start: un richiamo
• Ricordiamo che il valore di un’opzione forward start con inizio al tempo e strike S() è uguale a
• FSCall(S,; S() ,T) == exp(–d( – t))Call(S,t; S(t),T – )
dove d è il dividend yield.• Nel nostro caso, assumendo dato il tasso
d’interesse r, possiamo porre = exp(r(T – ))
Reset dello strike price
• Una forma che è in qualche caso utilizzata e che conduce a una valutazione più semplice è data dalla liquidazione del contratto su una sequenza di date {t1,t2,…tn} e dalla riapertura di un altro contratto con la stessa scadenza T.
• In questo caso il rischio di controparte è rappresentato da una sequenza di opzioni forward start, cioè un’opzione ratchet.
Reset dello strike price
• In questo caso il valore del rischio di controparte è rappresentato da
n
iii
n
iii
tTStSCallttdTFtSCall
TtStSFSCallTFtSCall
1
1
,;,exp,0;,
,;,,0;,
0
0,01
0,02
0,03
0,04
0,05
0,06
0,07
1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51
Collateral
No Collateral
0,0000%
0,0001%
0,0002%
0,0003%
0,0004%
0,0005%
0,0006%
0,0007%
Daily Weekly Quarterly Semestral Yearly
No Collateral
Collateral Fixed Term
Contingent collateral
• Assumiamo che alla controparte sia richiesto di depositare collateral nel caso in cui il valore del contratto si muova contro di lei di più di H. Il pay-off saràS() – v(,T)F(0) > 0 if S(t) – v(t,T)F(0) < H oer ogni t S() – v(,T)(F(0) + H) > 0 if S(t) – v(t,T)F(0) H per almeno un t
• Il prezzo del rischio di controparte per la parte lunga è
f() LgdB[DOC(S(t),t; v(,T)F(0), , v(,T)F(0) + H)+
+DIN(S(t),t; v(,T)(F(0)+H), , v(,T)F(0) + H)]dove f() è la probabilità istantanea di default.
Opzioni ladder: richiamo• Richiamiamo le tecniche di valutazione utilizzabili per
le opzioni ladder. Almeno nel nostro caso, con una sola soglia, questa opzione può essere replicata con opzioni con barriera.
• Abbiamo infatti che: Opzione ladder (K, H) = Down(Up)-and-Out(K,H) + Down(Up)-and-In(H,H)• E’ immediato osservare che nel momento in cui la
barriera viene toccata l’opzione originaria si disattiva e se ne attiva un’altra con un nuovo strike H, come dalla descrizione del prodotto.
0,0000%
0,0001%
0,0002%
0,0003%
0,0004%
0,0005%
0,0006%
0,0007%
Daily Weekly Quarterly Semestral Yearly
No Collateral
Collateral Fixed Term
Collateral Ladder 5%
Netting
• La tecnica di riduzione del rischio di controparte più diffusa, particolarmente per transazioni tra intermediari finanziari è rappresentata dal netting agreement.
• L’accordo di netting prevede che l’esposizione rilevante tra due controparti sia quella netta, cioè quella pari alla differenza tra i valori delle diverse posizioni.
Un semplice esempio
• Assumiamo che la controparte A abbia CFi posizioni in contratti forward, i = 1, 2,…,p, con prezzi di delivery Fi e data di consegna Ti con la stessa controparte B.
• Il valore di ogni posizione è valutato come
CFi = [Si(t) – P(t,Ti)Fi]dove = 1 rappresenta posizioni lunghe e = – 1 rappresenta posizioni corte.
Valutazione del rischio di credito con netting
• Assumiamo che la controparte B vada in default al tempo . Il valore dell’esposizione al quella data sarà pari al pay-off di un’opzione basket
p
iii
p
ii
FTPA
AS
1
1
,
0,max
Simulazione Monte Carlo
• Come è noto l’unico modo di valutare opzioni basket è la simulazione Monte Carlo.
• L’idea è di selezionare una griglia di date {t1,t2,…tn} e per ognuna di queste valutare un’opzione basket, con strike A(ti). Il valore del rischio di controparte in questo caso è quindi, per ogni data
[G(ti-1) – G(ti)]Opzione Basket (S1, …Sp, ti; A(ti), ti)
dove G(ti) è la probabilità di sopravvivenza della controparte oltre il tempo ti.
• L’estensione all’utilizzo del collateral avviene secondo le stesse linee descritte nel caso della esposizione univariata.