Analisi e gestione del rischio

Lezione 17

Tecniche di mitigazione del rischio

Tecniche di mitigazione del rischio

• Sul mercato si usano diverse tecniche per la mitigazione del rischio di controparte. L’ispirazione alla base di queste tecniche risiede fondamentalmente nella struttura dei mercati di tipo futures-style, basati su tre principi di fondo– La predisposizione di margini di garanzia– La rivalutazione (marking-to-market) e la liquidazione di guadagni

e perdite sulle posizioni prima della scadenza del contratto.– La compensazione di guadagni e perdite su operazioni diverse

• La predisposizione di clausole di mitigazione del rischio di controparte rendono più complessa la valutazione dei prodotti finanziari. Purtroppo non esiste molta letteratura sull’argomento.

Tecniche di mitigazione del rischioLa teoria

• In principio possiamo pensare a diverse tecniche di riduzione del rischio di controparte

1. Possiamo far versare un margine alle due controparti all’inizio del contratto

2. Possiamo rivalutare la posizione a cadenze giornaliere o settimanali e richiedere il deposito della perdita come collateral

3. Possiamo accedere a un accordo di netting per cui in caso di default viene liquidata l’esposizione netta tra le controparti.

Tecniche di mitigazione del rischioLa pratica

• In teoria tutte le tecniche descritte sopra portano a una riduzione del rischio di controparte.

• Nella pratica gran parte delle banche utilizzano l’ISDA Agreement sul netting (punto 3) ed il Credit Annex che prevede il marking-to-market periodico delle esposizioni e lo scambio di collateral (punto 2)

Un semplice esempio

• Riprendiamo il semplice esempio con cui abbiamo iniziato la nostra analisi: in contratto forward stipulato al tempo 0.

• Sappiamo che il rischio di controparte è– Per la posizione lunga: una posizione corta in un’opzione call

vulnerabile acquistata dalla controparte con strike pari al prezzo forward F(0).

– Per la posizione corta: una posizione corta in un’opzione put vulnerabile acquistata dalla controparte con strike pari al prezzo forward F(0).

• Per semplicità assumeremo anche che il sottostante ed il merito di credito della controparte siano indipendenti.

L’introduzione di un margine

• Assumiamo che le parti si accordino per il versamento di un margine, sullo stile di un mercato futures, pari a C. In questo caso le controparti subiscono una perdita in caso di default solo nel caso in cui il valore del contratto in quella data sia maggiore di C.

• L’estensione dell’analisi precedente è immediata e il rischio di controparte è valutato– Per la posizione lunga: una posizione corta in un’opzione call

vulnerabile acquistata dalla controparte con strike pari a F(0) + C.– Per la posizione corta: una posizione corta in un’opzione put

vulnerabile acquistata dalla controparte con strike pari al prezzo forward F(0) – C.

Margine con soglia• E’ facile realizzare che il rischio di controparte nel caso di

margine con soglia equivale a una posizione corta in un’opzione con possibilità di reset dello strike, con il reset legato alla possibilità che la perdita ecceda una data barriera. Sappiamo che un’opzione di questo tipo è chiamata ladder

• Otteniamo quindi per la posizione lunga,e per ogni t < TLgdBfB()Call Ladder(S(t),t; F(0),T, F(0) + H)

• Per la controparte corta avremo inveceLgdAfA()Put Ladder(S(t),t; F(0),T, F(0) – H)

dove fi() è la densità dei tempi di default di i = A, B. • Il rischio di controparte del contratto sarà ottenuto integrando le

funzioni riportate sopra rispetto a .

L’utilizzo del collateral

• Nella pratica viene utilizzata la tecnica dello scambio di collateral.

• In particolare:– A intervalli regolari viene valutata la posizione a prezzi di

mercato.– La controparte per la quale il contratto è out-of-the-money deposita

la perdita come collateral presso la controparte

• In generale lo scambio di collateral avviene per variazioni oltre una soglia minima. Comunque agli effetti pratici tale soglia è trascurabile perché è legata a problematiche di tipo operativo: evitare movimentazioni di cash per ammontari irrisori.

Rischio di controparte con collateral

• Assumiamo una controparte lunga nel contratto forward, e assumiamo che al tempo venga rivalutata la posizione a prezzi di mercato (marking-to-market).

• Fino al tempo la perdita a seguito di default della controparte sarà data da una posizione corta in un’opzione call con strike F(0).

• Nell’ipotesi che la controparte non sia fallita prima di in cui sia S() – P(,T)F(0) > 0, l’ammontare verrà depositato come collateral.

• Se assumiamo anche che il collateral renda il tasso privo di rischio dal tempo a T abbiamo che in questo caso la perdita da sarà data da

S(T) – S() /P(,T) > 0

Il rischio di controparte con collateral

• Definiamo GB(T) e GB() le probabilità di sopravvivenza della controparte corta.

• Denotiamo inoltre Q( )= Pr(S() P(,T)F(0))• Al tempo t il rischio di controparte sarà dato da

LgdB(1 – GB()) Call(S,t; F(0),T) + LgdB(GB() – GB(T)) FSCall(S,; S()/P(,T) ,T) [1 –

Q()] + LgdB(GB() – GB(T)) Call(S,t; F(0) ,T) Q()

dove FSCall(.) denota un’opzione call forward start.

Il rischio di controparte

• La valutazione del rischio di controparte implica in questo caso

1. Un’opzione call con strike F(0) nell’evento che il default si verifichi prima della data di marking-to-market

2. Una opzione forward start at-the-money forward nell’ipotesi che il default si verifichi dopo e la posizione lunga sia in-the-money

3. Un’opzione call con strike F(0) nell’ipotesi che il default si verifichi dopo e la posizione lunga sia out-of-the-money

Opzioni forward start: un richiamo

• Ricordiamo che il valore di un’opzione forward start con inizio al tempo e strike S() è uguale a

• FSCall(S,; S() ,T) == exp(–d( – t))Call(S,t; S(t),T – )

dove d è il dividend yield.• Nel nostro caso, assumendo dato il tasso

d’interesse r, possiamo porre = exp(r(T – ))

Reset dello strike price

• Una forma che è in qualche caso utilizzata e che conduce a una valutazione più semplice è data dalla liquidazione del contratto su una sequenza di date {t1,t2,…tn} e dalla riapertura di un altro contratto con la stessa scadenza T.

• In questo caso il rischio di controparte è rappresentato da una sequenza di opzioni forward start, cioè un’opzione ratchet.

Reset dello strike price

• In questo caso il valore del rischio di controparte è rappresentato da

n

iii

n

iii

tTStSCallttdTFtSCall

TtStSFSCallTFtSCall

1

1

,;,exp,0;,

,;,,0;,

0

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

1 3 5 7 9 11 13 15 17 19 21 23 25 27 29 31 33 35 37 39 41 43 45 47 49 51

Collateral

No Collateral

0,0000%

0,0001%

0,0002%

0,0003%

0,0004%

0,0005%

0,0006%

0,0007%

Daily Weekly Quarterly Semestral Yearly

No Collateral

Collateral Fixed Term

Contingent collateral

• Assumiamo che alla controparte sia richiesto di depositare collateral nel caso in cui il valore del contratto si muova contro di lei di più di H. Il pay-off saràS() – v(,T)F(0) > 0 if S(t) – v(t,T)F(0) < H oer ogni t S() – v(,T)(F(0) + H) > 0 if S(t) – v(t,T)F(0) H per almeno un t

• Il prezzo del rischio di controparte per la parte lunga è

f() LgdB[DOC(S(t),t; v(,T)F(0), , v(,T)F(0) + H)+

+DIN(S(t),t; v(,T)(F(0)+H), , v(,T)F(0) + H)]dove f() è la probabilità istantanea di default.

Opzioni ladder: richiamo• Richiamiamo le tecniche di valutazione utilizzabili per

le opzioni ladder. Almeno nel nostro caso, con una sola soglia, questa opzione può essere replicata con opzioni con barriera.

• Abbiamo infatti che: Opzione ladder (K, H) = Down(Up)-and-Out(K,H) + Down(Up)-and-In(H,H)• E’ immediato osservare che nel momento in cui la

barriera viene toccata l’opzione originaria si disattiva e se ne attiva un’altra con un nuovo strike H, come dalla descrizione del prodotto.

0,0000%

0,0001%

0,0002%

0,0003%

0,0004%

0,0005%

0,0006%

0,0007%

Daily Weekly Quarterly Semestral Yearly

No Collateral

Collateral Fixed Term

Collateral Ladder 5%

Netting

• La tecnica di riduzione del rischio di controparte più diffusa, particolarmente per transazioni tra intermediari finanziari è rappresentata dal netting agreement.

• L’accordo di netting prevede che l’esposizione rilevante tra due controparti sia quella netta, cioè quella pari alla differenza tra i valori delle diverse posizioni.

Un semplice esempio

• Assumiamo che la controparte A abbia CFi posizioni in contratti forward, i = 1, 2,…,p, con prezzi di delivery Fi e data di consegna Ti con la stessa controparte B.

• Il valore di ogni posizione è valutato come

CFi = [Si(t) – P(t,Ti)Fi]dove = 1 rappresenta posizioni lunghe e = – 1 rappresenta posizioni corte.

Valutazione del rischio di credito con netting

• Assumiamo che la controparte B vada in default al tempo . Il valore dell’esposizione al quella data sarà pari al pay-off di un’opzione basket

p

iii

p

ii

FTPA

AS

1

1

,

0,max

Simulazione Monte Carlo

• Come è noto l’unico modo di valutare opzioni basket è la simulazione Monte Carlo.

• L’idea è di selezionare una griglia di date {t1,t2,…tn} e per ognuna di queste valutare un’opzione basket, con strike A(ti). Il valore del rischio di controparte in questo caso è quindi, per ogni data

[G(ti-1) – G(ti)]Opzione Basket (S1, …Sp, ti; A(ti), ti)

dove G(ti) è la probabilità di sopravvivenza della controparte oltre il tempo ti.

• L’estensione all’utilizzo del collateral avviene secondo le stesse linee descritte nel caso della esposizione univariata.