Post on 02-May-2015
5. LE CARATTERISTICHE DINAMICHE
Indice Generale
CARATTERISTICHE DINAMICHE DEGLI STRUMENTI DI MISURA
Modello generale : equazione differenziale lineare a coeff. costanti
ad q
dta
d q
dta q
bd q
dtb
d q
dtb q
n
n
n n
n
n
m
mi
m m
mi
m o i
01
10
1 0 0
1
1
1
. . . .
. . . .
qo ,qi sono funzioni del tempo SOLUZIONE DI
EQ. DIFFERENZIALE
Forma simbolica con operatore Dd
dtn
n
n
a D a D a q b D b D b qnn
nn
mm
mm
i
11
0 0 11
0 ... ...
Funzione di trasferimento sinusoidale
q
qD
b D b D b
a D a D ai
mm
mm
nn
nn
0 11
0
11
0
...
...
Utilizzo della funzione di trasferimento operazionale:
definizione di modelli dinamici di sistemi composti se si possono trascurare gli effetti di carico
o
2
q 1
D
K
C
BADqi
1
20
D
K
C
BADD
q
q
i
SOLUZIONE EQUAZIONI DIFFERENZIALI LINEARI A COEFF. COSTANTI
q q qg p0 0 0
q0g : soluzione dell’ equazione
ad q
dta
d q
dtan
n
n n
n
n0
1
10
1 0 0
...
q0p : integrale particolare che dipende dalla forma della
funzione
bd q
dtbm
nin ... 0
q0g ha n costanti arbitrarie che dipendono dalle condizioni
iniziali, cioè dai valori di
all’ istante t=0
qdq
dt
d q
dt
n
n00 0, , , ...
q0p non ha nessuna costante arbitraria
per la determinazione di qog esiste un metodo generale che consiste nel risolvere l’ equazione algebrica associata
a D a D a D ann
nn
11
1 0 0 ...
• Per ogni radice reale singola s si somma nella soluzione q0g
un termine del tipo cest
• Per ogni radice reale s n-pla si somma nella soluzione q0g un
termine del tipo (c0+c1t+c2t2+ … +cn-1tn-1)est
• Per ogni radice complessa a+ib singola si somma nella soluzione q0g un termine del tipo c1eatsin(bt+c2)
• Per ogni radice complessa a+ib, ripetuta n volte, nella
soluzione q0g si aggiunge un termine del tipo c e sin bt c te sin bt c t e sin btat at
nn at
n0 0 1 1 11
1
...
La funzione di trasferimento sinusoidale
q
qi
b i b i b
a i a i ai
mm
mm
nn
nn
0 11
0
11
0
...
...
è una funzione complessa che può essere espressa nella forma polare
M
è estremamente importante
• LA FASE di questa funzione è pari alla differenza di fase tra l’ uscita (sinusoidale) e l’ ingresso quando l’ ingresso è sinusoidale
QUESTA FUNZIONE CARATTERIZZA
COMPLETAMENTE STRUMENTI
DI QUALSIASI ORDINE QUANDO L’ INGRESSO E’ DI TIPO
SINUSOIDALE
• IL MODULO M di questa funzione è il rapporto tra le ampiezze dell’ uscita (sinusoidale) e dell’ ingresso quando l’ ingresso è sinusoidale
MA
Ai 0
DIMOSTRAZIONE PROPRIETA’ DELLA FUNZIONE DI TRASFERIMENTO SINUSOIDALE
Per ogni strumento la risposta A REGIME ad un ingresso sinusoidale del tipo
tsinAq ii
è un’ uscita del tipo
0 tsinAq oo
cioè con la stessa frequenza dell’ ingresso, diversi ampiezza e fase.
Se rappresentiamo le quantità dinamiche qi e qo con esponenziali complessi
0
tj
oo
tjii
eAq
eAq
per la relazione di Eulero
sencos AjAAe j
si ha
00 sencos
sencos0
tAtAeAq
tjAtAeAq
ootj
oo
iitj
ii
cioè:
0Im e Im tjoo
tjii eAqeAq
Sostituendo nell’ equazione differenziale che descrive il modello dello strumento di misura alle quantità qi e qo le loro rappresentazioni con esponenziali complessi si ha
tji
tji
mm
tji
mm
tjtjo
nn
tjo
nn
eAeAjbeAjb
eAaeAjaeAja
01
1
001
1
b ...
... 000
questa eq. complessa sarà soddisfatta se le parti reali dei due termini saranno uguali e lo stesso vale per le parti immaginarie.
MA
Ai
q
q
j
jA
Ae
A
A
eA
eA
iq
q
aiaia
bibib
eA
eA
i
o
i
o
i
oj
i
otj
i
tjo
i
on
nn
n
mm
mm
tji
tjo
1sencossencos
sencos
...
...
22
01
1
01
1
Dalla eq. precedente si ha inoltre
e
e quindi
STRUMENTO DI ORDINE ZERO
0
00
0
00
000
a
bktkqtqtq
a
btq
tqbtqa
ii
i
Unico parametro che lo caratterizza : k=SENSIBILITA’ STATICA
ESEMPIO: POTENZIOMETRO
Xi e0
LEb
L
Ek
kxEL
xe
b
ibi
0
Funzione di traferimento sinusoidale dello strumento di ordine zero
M
K
0
STRUMENTO PERFETTO
STRUMENTO DI ORDINE UNO
i
i
i
kqqdt
dq
a
a
a
bk
qa
bq
dt
dq
a
a
qbqadt
dqa
00
0
1
0
0
0
00
0
0
1
0000
1
Sensibilità statica
Costante di tempo
ESEMPIO : Termometro
fbb
p
bpbf
hAThATdt
dTcV
dTcVdtTThA
fi
bo
Tq
Tq
:
:
ioop qqdt
dq
hA
cV
K=1 poiché abbiamo considerato sia come ingresso che come uscita delle temperature
hA
cV p
• Se consideriamo come qo lo spostamento xo
• sia KV il coefficiente di espansione volumetrica del liquido del termometro
c
Vb
c
Vo
ocbV
A
VKKT
A
VKx
xAVTKV
Risposta al gradino dello strumento del primo ordine
iso KqqD 1
iso KqqD 1
Integrale generale della
integrale particolare
soluzione completa
condizioni iniziali:
is
t
o
Kq
CeqD
0 1
0
0 0
0
isis KqCKqC
tq
quindi
t
is eKqq 1 0
is
t
KqCeq
0
t
is
is eKq
qKq
0
= Differenza percentuale
per 3678,0 1
0 e
Kq
qKq
is
is
quindi %2,63 3678,01 %0 tq
è il tempo necessario perché l’uscita raggiunga il 63,2% del valore finale
t
Risposta ad una rampa dello strumento del primo ordine
tKqqD
tq
is
isi
0
1
0 tq
0 t0
Come per il caso precedente
l’integrale generale è
e l’integrale particolare è
La soluzione risulta quindi
Con le condizioni iniziali:
si ottiene
tKqCeq is
t
0
tCeKqq
tq
t
is
0
0
0 0
tKq
Ce
is
t
Il grafico di questa risposta è il seguente
Risposta in frequenza dello strumento del I ordine
arctg11 22
K
D
Ki
q
q
i
o
Risposta all’impulso dello strumento del I ordine
Definizione di impulso
Funzione picco p(t)
altrove 0
0 TtT
Atp
Funzione impulso
Per lo strumento del I ordine
con ingresso p(t)
Come per il gradino , la soluzione è
Valida però solo fino al tempo t = T
t
eT
KAq
0 1
T
KAKqqD io 1
Adtti
0 t
0 t0ti
ampiezza
A area
All’istante t = T sarà
Per t > T l’eq. Differenziale da risolvere è
Che ha per soluzione
La costante iniziale C si determina con la
condizione iniziale (I) , si ottiene
0 1 io KqqD
t
t
Te
eKA
C
1
t
eT
KAq
0 1
t
Ceq
0
(I)
E quindi
t
tt
Te
eeKA
q
0
1
La risposta all’impulso si ottiene facendo il limite di questa
espressione per T 0 e applicando la regola di L’Hopital
per la forma indeterminata 0/0 ( il limite del rapporto tra le
derivate) si ottiene
t
eKA
q
0
Che riportata in un grafico ha l’andamento seguente
Proprietà dell’impulso
STRUMENTI DEL SECONDO ORDINE
iqbqadt
qda
dt
qda 000
012
02
2
Dividendo, al solito , per ao e posti
Sensibilità statica
frequenza naturale non smorzata
rapporto di smorzamento20
1
2
0
0
0
2
aa
a
a
a
a
bK
n
Si ottiene la funzione di trasferimento operazionale
1
2 2
20
nn
i DD
KD
q
q
ESEMPIO DI STRUMENTO DEL II ORDIINE : LA BILANCIA
is
si
ii
fxKdt
dxB
dt
xdM
dt
xdMxK
dt
dxBf
xqfq
00
20
2
20
2
00
00 : :
1
2
2
2
nn
DDK
dove
MK
BM
K
KK
s
sn
s
2
1
fi xo
Risposta in frequenza (Risposta ad un ingresso sinusoidale)
1
2
0
nn
i iiK
iq
q
In forma polare si ottiene :
n
n
i
iq
Kq
2 2 2
22
0
/41
1/
Modulo
n
n
2arctg
fase