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Meccanica2017-2018
Dinamica del punto materiale
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PRESENZA DI “FORZE ESTERNE”
VARIAZIONE DELLA VELOCITA’
accelerazione forza
Dinamica del punto materiale
Principio d’inerzia
segnala la presenza di una forza che agisce sul punto materialeUn moto accelerato (variazione di velocità in modulo e/o direzione)
P
)(tθ
R
v
O
Esempio: Moto circolare uniforme
E’ necessaria una forza centripeta (diretta verso il centro) per mantenere il punto materiale nella traiettoria circolare
a�
RR
vaN
22
ω==
Accelerazione:
0=Ta
Un corpo permane nel suo stato di moto rettilineo uniforme (o di quiete) a meno che non intervenga una forza esterna (I Legge di Newton)
Dinamica del punto materiale
II Legge di NewtonLegame tra forza e accelerazione: formulazione quantitativa
amF�
�
=
Punto “materiale”: La massa m è essenziale per descrivere la dinamica del moto
m
Fa
�
� =L’accelerazione prodotta da una certa forza sarà inversamente proporzionale alla massa m
amF�
�
=dt
vdm�
=2
2
dt
rdm�
= Legge fondamentale della dinamica del punto
a
F
a
Fm ==�
�
Note forza e accelerazione possiamo trovare la massa
Definizione di forza e massa inerziale
AccelerazioneForza Quantità vettoriale diretta come
l’accelerazione (resistenza alla variazione del moto)Massa inerziale
kg][ →massa 2s m kg][ −→forza N≡ NewtonUnità di misura (SI):
Forza � Accelerazione � Leggi del moto
Per un punto materiale di massa m:
Dinamica del punto materiale
III Legge di Newton
Il corpo A esercita una forza sul corpo B
Consideriamo DUE corpi A e B
Il corpo B esercita una forza uguale e contraria sul corpo A
ABBA FF ,,
��
−=Quantitativamente:
• Le forze non agiscono mai isolatamente, ma a coppie• L’interazione a due corpi è sempre “reciproca”
“Principio di azione e reazione”
Forza attrattiva
,A BF�
,B AF�
A
B
Forza repulsiva
,A BF�
,B AF�
A
B
Dinamica del punto materiale
Quantità di moto, impulsoDefiniamo la grandezza fisica
p mv≡� �
quantità di moto
Possiamo riscrivere la legge della dinamica come:
dt
vdmF�
�
=dt
vmd )(�
=dt
pd�
=
(Forma valida anche nel caso relativistico)
L’applicazione di una forza determina una variazione della quantità di moto
0p p= −� �
p�∆=
0 0
( )t p
t pF t dt dp=∫ ∫
�
�
�
�
Integriamo in un intervallo finito di tempo:
≡J�
Impulso della forza )( 0vvm�� −=
J p= ∆�
�
“Teorema dell’impulso”
( )F t dt dp=�
�
Azione della forza in un intervallo infinitesimo di tempo
In generale la forza varia nel tempo: ( )F F t=� �
Dinamica del punto materiale
Quantità di moto, impulso
Se la forza è costante:
0
t
tF dt p= ∆∫�
� pF
t
∆=∆
�
�
In generale:
0
( )t
tF t dt p= ∆∫�
�
mF t p∆ = ∆�
�
m
pF
t
∆=∆
�
�
In assenza di forze esterne la quantità di moto di un punto materiale si conserva
t∆
Conservazione della quantità di moto
Quando non c’è variazione di quantità
della moto
0F =�
0
J ( )t
tF t dt p= = ∆∫
� �
�
m
t
tFdttF
t
��
=∆ ∫0
)(1Valor medio
della forza
1 2F F+� �
Dinamica del punto materiale
Risultante delle forzeForza = grandezza vettoriale
Se su un corpo agiscono più forze, il moto avviene come se agisse solo la loro somma vettoriale(“forza risultante”)
∑=
=N
iiF
1
�
∑=
=N
iia
1
�
Per l’accelerazione:
TOTTOT Fm
a�
� 1= ∑=
=N
iiF
m 1
1 � In presenza di più forze sul punto materiale, ciascuna agisce in modo indipendente dalle altre
NB: Dall’osservazione del moto del punto materiale abbiamo informazione solo sulla risultante delle forze
In particolare 0TOTa =�
NON SIGNIFICA necessariamente che sul punto
non agiscono forze, SIGNIFICA che la loro risultante è nulla
NTOT FFFFF�����
....321 +++=TOTF�
3F�
1F�
2F�
� Condizione per l’equilibrio statico0TOTF =�
( 0)TOTa =�
2F�
Equilibrio staticoCondizione per avere equilibrio statico (punto materiale):
0i TOTiF F= =∑� �
Il punto rimane in QUIETE nel sistema di riferimento scelto se la sua velocità iniziale è nulla
0, =∑i xiF
0, =∑i yiF
0, =∑i ziF
0, =xTOTF
0, =yTOTF
0, =zTOTFAltrimenti mantiene il suo stato di moto rettilineo uniforme
021 =+= FFFTOT
���
Equilibrio statico per il punto P soggetto a 2 forze:
0321 =++= FFFFTOT
����
Nel caso di 3 forze:
1F�
P
1 2F F+� �
3F� Disposte
come i lati di un triangolo
3F�
1F�
2F�
2 1F F= −� �
1F�
2F�
P
3 1 2( )F F F= − +� � �
Se conosco due forze posso determinare la terza:
Disposte lungo un poligono chiuso
NF�
1F�
2F�
3F�
4F�
N forze:
1F�
2F�
3F�
4F�
x
yDinamica del punto materiale
Equilibrio staticoEsempio.Sul punto P agiscono le forze (note)
0321 =++ FFF���
1 2, F F� �
Quale forza devo applicare per avere equilibrio statico?
� Condizione per l’equilibrio statico:
0,3,2,1 =++ xxx FFF 0,3,2,1 =++ yyy FFF
0sinsin0 32 =+− φθ FF 0coscos 321 =++− φθ FFF
φθ
sin
sin23 FF =
0cossin
sincos 221 =++− φ
φθθ FFF
θφθ
costan
sin212 FFF −=
θθφ
cos
sintan
21
2
FF
F
−=
Il problema è sul piano x,y
Devo trovare: 3F�
φ 3F�
3 ,F φ→
2
1 2
sinarctan
cos
F
F F
θφθ
= −
1F�
2F� θ
Dinamica del punto materiale
Reazione vincolareSe sappiamo che su un corpo agisce una forza, ma questo rimane fermo…
Il “vincolo” si deforma e produce una forza sul corpo, tale da realizzare le condizioni di equilibrio statico:
1 0TOTF F N= + =� � �
1N F= −� �
Risultante delle forze applicate
Reazione vincolare
1F�
� Esiste una forza uguale econtraria che annulla la risultante
N�
m
La reazione vincolare non ha una forma predefinita: dipende dal caso particolare che si sta considerando
N�
m
1F�
NF�
TF�
Dinamica del punto materiale
Azione delle forze
Moto rettilineo uniforme: 0a = →�
0=F�
Moto uniformemente accelerato: cost.a =�(in modulo e direzione)
cost.F ma→ = =�
�
Moto piano curvilineo: T Na a a= + →� � �
NT amamF��
�
+=
NT uR
vmu
dt
dvm
��
2
+=
TT udt
dvmF
�
�
=
NN uR
vmF
�
�
2
=
Forza tangenziale
� Variazione del modulo della velocità
Forza centripeta
� Variazione della direzione
amF�
�
=Legge di Newton:
Na�
Ta�
2
N N
vF m u
R=
�
�
Forza centripeta
NF�
v�
Dinamica del punto materiale
Forza pesoAccelerazione di gravità
TOTF N P ma= + =� � �
�
Risultante delle forze
ma mg= −� �
)( gam�� −=
a�
a� � Ascensore (e.g. verso l’alto)
NB - La sensazione di peso è data dalla forza vincolare
)( zz uguam�� +=
zugam�
)( += mgN > La “sensazione di peso” aumenta
Non c’è sensazione di pesoga�� = (caduta libera)
“forza peso“proporzionale alla massa
Forza associata: gmP�
�
=za g gu= = −� � �
29.8 msg −≅
� Reazione vincolare?
N ma P= −� �
�
Supponiamo che il piano d’appoggio subisca una accelerazione
� BilanciaP
mg
=Oggetto appoggiato sul tavolo:La forza peso è bilanciata dalla reazione vincolare
0TOTF N P= + =� � �
P mg=�
�
N�
m
z
zu�
Osserviamo che il corpo NON si muove finché il modulo della forza non supera un valore critico
NF Sµ≤Condizione di quiete
NF Sµ>Condizione di moto
Lungo x: AS x xf u Fu− =� �
Lungo y: 0y yN u mg u− =� �
Forza di attrito statico
Coefficiente di attrito statico
Proporzionale alla reazione vincolare N
Il vincolo esercita una forza che dipende dalla forza applicata
0 AS Sf Nµ≤ <ASf�
F�
NFF Sµ>=�
Per avere accelerazione:
Applichiamo la forza orizzontale F�
F�
Equilibrio statico: abbiamo una forza in grado di bilanciare F�
ASf�
ASf�
P mg=�
�
Punto materiale di massa m � forza peso , reazione vincolare N�
P mg=�
�
N�
m
y
xO xu�
yu�
Dinamica del punto materiale
Attrito radente
Dinamica del punto materiale
Attrito radente• Forze di coesione (di natura elettrica) a livello molecolare • Rugosità delle superfici a contatto
Fotomicrografia SEM di una superficie nichelata. Rugosità ~ 0.1 µm
Fotomicrografia SEM di una superficie di acciaio inox. Rugosità ~ 3 µm
SEM = microscopio elettronico a scansione
y
xO
NDµ
NSµ
Attrito radente
Dinamica del punto materiale
Attrito radente
Equazione del moto (lungo x):
ADF f ma− =
Una volta in movimento, la forza fAD nondipende dalla velocità del corpo
Aumentiamo la forza orizzontale F�
Coefficiente di attrito dinamico
SD µµ <Si osserva che per ogni materiale:
I valori dipendono dal materiale, dalla forma e rugosità delle superfici, temperatura, etc.
F�
Si osserva che al moto si oppone una forza di attrito radente dinamico, di modulo:
AD Df Nµ=ADf�
NF Sµ>Quando
il corpo si mette in movimentoa�
P mg=�
�
N�
m
DF N maµ− =
Dinamica del punto materiale
Coefficienti di attrito radente (per unità di superficie)
Superfici µS (statico) µD (dinamico)
Legno - legno 0,50 0,30Acciaio - acciaio 0,78 0,42Acciaio - acciaio lubrificato 0,11 0,05Acciaio - alluminio 0,61 0,47Acciaio - ottone 0,51 0,44Acciaio - teflon 0,04 0,04Acciaio - ghiaccio 0,027 0,014Acciaio - aria 0,001 0,001Rame - acciaio 1,05 0,29Rame - vetro 0,68 0,53Gomma - asfalto (asciutto) 1,0 0,8Gomma - asfalto (bagnato) 0,7 0,6Vetro - vetro 0,9 - 1,0 0,4Legno sciolinato - neve 0,10 0,05
Superfici molto lisce: “coesione”
L’attrito non si elimina mai completamente � Aria, olio, …: lubrificantiSe si trascura l’attrito radente: “superficie liscia”. Altrimenti “superficie scabra”