11Paola Suria ArnaldiPaola Suria Arnaldi

ESPONENZIALI E LOGARITMIESPONENZIALI E LOGARITMI

Grafico canonico Esponenzialie

Logaritmi

equazioni

disequazioni

Dal grafico di... al grafico di.... proprietà

logaritmi

22Paola Suria ArnaldiPaola Suria Arnaldi

Proprietà delle potenzeProprietà delle potenze

33Paola Suria ArnaldiPaola Suria Arnaldi

Grafico della funzione esponenzialeGrafico della funzione esponenzialecon a >1con a >1

f(x) = ex

-10

40

90

140

190

240

290

-10 -5 0 5 10

x

y

Leggiamo le proprietà sul grafico

• Domf R

• Imf R+

• Fz. monotona crescente

• Fz. Iniettiva

• Fz. Non suriettiva

• Fz. Non biiettiva

44Paola Suria ArnaldiPaola Suria Arnaldi

Grafico della funzione esponenzialeGrafico della funzione esponenzialea a xx (con 0<a<1) (con 0<a<1)

f(x)=(1/e) x

f(x) = e -x

-10

40

90

140

190

240

290

-10 -5 0 5 10

x

y

Leggiamo le proprietà sul grafico

• Domf R

• Imf R+

• Fz. monotona decrescente

• Fz. Iniettiva

• Fz. Non suriettiva

• Fz. Non biiettiva

55Paola Suria ArnaldiPaola Suria Arnaldi

Dall’esponenziale ai logaritmiDall’esponenziale ai logaritmi

•2x = 4 2x = 22 x = 2

•2x = 8 2x = 23 x = 3

•2x = 5 2x = 2? x = ??? x = log2 5

ax = b ↔ x = logab (con a >0 e b >0)

•2x = 4 ↔ x = log24 = 2

•2x = 6 ↔ x = log26

•log28 = x ↔ 2x = 8

•log510= x ↔ 5x = 10

Per defi.

66Paola Suria ArnaldiPaola Suria Arnaldi

Proprietà dei logaritmiTeoremi dei logaritmi

•loga (m*n) = loga m + logan con a>0, m, n >0

•loga (m/n) = loga m - logan con a>0, m, n >0

•loga (mn) = n* loga m con a>0 m >0

•loga m = (logbm) / (logba) con a, b, m > 0

Convenzioni

log10a = Log a

logea= ln a, con e = 2,71828182818...

Ricorda

Ln o = non esiste!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

loga 1 = 0 , qualsiasi a

loga a = 1 , qualsiasi a

loga a2 = 2 , qualsiasi a

77Paola Suria ArnaldiPaola Suria Arnaldi

Grafici logaritmici canoniciGrafici logaritmici canonici

f(x) = loga x a>1

-2,5

-2

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

-2 0 2 4 6

x

y 1,38

Leggiamo le proprietà sul grafico

• Domf R+

• Imf R

• Fz. monotona crescente

• Fz. Iniettiva

• Fz. Suriettiva (Imf ≡ R)

• Fz. biiettiva

88Paola Suria ArnaldiPaola Suria Arnaldi

Grafici logaritmici canoniciGrafici logaritmici canonici

f(x) = logax con 0<a<1

-2

-1,5

-1

-0,5

0

0,5

1

1,5

2

2,5

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6

1,38

Leggiamo le proprietà sul grafico

• Domf R+

• Imf R

• Fz. monotona decrescente

• Fz. Iniettiva (criterio rette orizzontali, oppure monotonia)

• Fz. Suriettiva (Imf ≡ R)

• Fz. biiettiva

99Paola Suria ArnaldiPaola Suria Arnaldi

Equazioni esponenzialiEquazioni esponenziali• x 2 = 4 equazione di II° (la base della potenza è incognita, l’esponente è un

numero)

• 2 x = 4 equazione esponenziale (la base della potenza è un numero, l’esponente è incognito)

Partiamo dall’analisi di alcuni esempi e poi.... generalizziamo

•a x = k nessuna soluzione (qualunque a e con k appartenente ad R -)

•a x = k ↔ x = logak (qualunque a e con k appartenente ad R+)

•af(x) = ag(x) ↔ f(x) = g(x)

•af(x) = bf(x) ↔ f(x) = 0

•p a2x + q ax + k = 0 ↔ ax = t ; p t2 +q t + k = 0;.... t = .....; x = loga.....

1010Paola Suria ArnaldiPaola Suria Arnaldi

DisequazioniDisequazioni

aaf(x) f(x) > k, k > k, k єє R R - - UU {0} {0} ↔ qualsiasi x ↔ qualsiasi x єє R R

aaf(x) f(x) < k, k < k, k єє R R - - UU {0}{0} ↔ ↔ nessuna soluzionenessuna soluzione

aaf(x) f(x) > k, a > 1, k > k, a > 1, k єє R R + + ↔ f(x) > log↔ f(x) > logaa k..... k.....

aaf(x) f(x) < k, a > 1, k < k, a > 1, k єє R R + + ↔ f(x) < log↔ f(x) < logaa k..... k.....

aaf(x) f(x) > k, > k, 0<a<1, k 0<a<1, k єє R R ++ ↔ f(x) ↔ f(x) << log logaa k..... k.....

aaf(x) f(x) < k, a > 1, k < k, a > 1, k єє R R + + ↔ f(x) ↔ f(x) >> log logaa k..... k.....

1111Paola Suria ArnaldiPaola Suria Arnaldi

Equazioni logaritmicheEquazioni logaritmiche

loglogaf(x)=k, con k єR ↔

loglogaf(x)=0 ↔ f(x) = 1

loglogaf(x)=1 ↔ f(x) = a

loglogaf(x)=logag(x) ↔

K*loglogaf(x)+ h*loglogag(x)= p*loglogar(x); loglogaf(x)k+ loglogag(x)h= logar(x)p; logaf(x)*g(x)=logar(x)p;....... con le condizioni di

esistenza

1212Paola Suria ArnaldiPaola Suria Arnaldi

Disequazioni logaritmicheDisequazioni logaritmiche

1313Paola Suria ArnaldiPaola Suria Arnaldi

APPLICHIAMO I CONCETTI ALLO STUDIO DI APPLICHIAMO I CONCETTI ALLO STUDIO DI FUNZIONEFUNZIONE

• Domf: x2 – 1 > 0 ↔ |x| > 1 oppure x < -1 V x > 1; oppure (- ∞, -1) U (1, +∞);

• Zeri della funzione: f(x) = 0 ↔ ln (x2 – 1) = 0; (x2 – 1) = 1; x2 = 2; |x|=±√2;

• Segno della funzione: f(x) > 0 ↔ ln (x2 – 1) > 0; (x2 – 1) > 1; x2 > 2; |x|>√2 ovvero

x<- √2 V x > √2 ;

f(x) < 0 ↔ dove esiste, ma non è positiva!!! cioè altrove

-√2 -1 1 √2

1414Paola Suria ArnaldiPaola Suria Arnaldi

APPLICHIAMO I CONCETTI ALLO STUDIO DI APPLICHIAMO I CONCETTI ALLO STUDIO DI FUNZIONEFUNZIONE

Domf : R oppure (-∞, +∞)

Zeri: f(x) = 0 ↔ ex (x2 – 3x + 2); (legge annullamento prodotto) ex = 0 V x2 –3x +2=0 → poiché ex = 0 non ha soluzione, le soluzioni sono x = 1 e x = 2;

Segno di funzione: è un prodotto di due fattori, il primo dei quali è sempre positivo → il segno della funzione dipende dalla parentesi

f(x) > 0 ↔ (x2 – 3x + 2)>0; disequazione di II grado x<1 V x > 2

f(x) < 0 ↔ (x2 – 3x + 2) <0 1 < x < 2 1 2