1. INTRODUZIONE:EQUAZIONI DI SECONDO GRADO2. EQUAZIONI PURE E SPURIE3. EQUAZIONI COMPLETE * * FORMULA RIDOTTA4. RELAZIONE TRA LE SOLUZIONI DI

UN’EQUAZIONE DI SECONDO GRADO (SOMMA E PRODOTTO)

5. SCOMPOSIZIONE TRINOMIO DI SECONDO GRADO

6. APPROFONDIMENTI 1

1. EQUAZIONI DI SECONDO GRADOOGNI EQUAZIONE DI SECONDO GRADO ,RIDOTTA IN FORMA

NORMALE (PORTANDO TUTTO DALLA STESSA PARTE), SI PUÓ SCRIVERE NELLA FORMA:

ax +bx+c=0 con a≠0 e a, b, c R Se nell’equazione sono presenti tutti e tre i termini, essa

si chiama completa. (b≠0 e c≠0)Se nell’equazione manca il termine di primo grado,

l’equazione è incompleta e si dice pura. (b=0 e c≠0)Se nell’ equazione manca il termine noto, l’equazione è

incompleta e si dice spuria. (b≠0 e c=0)RISOLVERE UN’EQUAZIONE DI SECONDO GRADO VUOL

DIRE TROVARE LE SOLUZIONI, CIOÈ I VALORI CHE, SOSTITUITI ALL’INCOGNITA, VERIFICANO L’EQUAZIONE.

2

2

2

2. EQUAZIONI PURE E SPURIEEQUAZIONI PURE EQUAZIONI SPURIEUN’EQUAZIONE DI SECONDO

GRADO SI DICE PURA SE MANCA IL TERMINE DI PRIMO GRADO, CIOÈ b=0, E PERCIÓ HA FORMA:

ax +c=0SI RISOLVE SEPARANDO IL

TERMINE NOTO DALL’ INCOGNITA, COME NELLE EQUAZIONI DI PRIMO GRADO:

ax = -c x=± Esempio:5x -4=05x =4 x2 =4/5 x=±

UN’EQUAZIONE DI SECONDO GRADO SI DICE SPURIA QUANDO MANCA IL TERMINE NOTO, CIOÈ c=0 E b ≠0. HA PERCIÓ FORMA:

ax +bx=0 SI RISOLVE RACCOGLIENDO LA x E APPLIACANDO LA LEGGEDELL’ANNULLAMENTO DEL

PRODOTTO. x(ax+b)=0 x₁=0 x₂= - Esempio:3x2 -4X=0 x * (3x-4)=0 X1 =0 x₂=

3

a

c

5

4

2

2

2

2

2

2

a

b

3

4

3. EQUAZIONI COMPLETELA FORMA NORMALE DI UN’EQUAZIONE COMPLETA DI SECONDO

GRADO è:ax +bx+c=0LE SOLUZIONE SI OTTENGONO CON LA FORMULA RISOLUTIVA *: x₁,₂=

L’ESPRESSIONE SOTTO RADICE SI CHIAMA DISCRIMINANTE DELL’EQUAZIONE E SI INDICA CON (DELTA).

LE SOLUZIONI DI UN’EQUAZIONE DI SECONDO GRADO, DIPENDONO DAL VALORE DEL DISCRIMINANTE (DELTA), IN PARTICOLARE IL SEGNO DEL DELTA CI INFORMA SE LE SOLUZIONI SONO REALI O COMPLESSE,DISTINTE O COINCIDENTI. SE:

>0 L’EQUAZIONE HA 2 SOLUZIONI REALI E DISTINTE. <0 L’EQUAZIONE NON HA SOLUZIONI REALI perché

NON ESISTE IN R LA RADICE PARI DI UN NUMERO NEGATIVO.

=0 L’EQUAZIONE HA 2 SOLUZIONI REALI E COINCIDENTI (SOLUZIONE DOPPIA).

4

2

a

acbb

2

42

* FORMULA RIDOTTA

5

a

acbb

2

22

4.RELAZIONE TRA LE SOLUZIONI DI UN’EQUAZIONE DI SECONDO GRADO SE x₁ e x₂ SONO LE SOLUZIONI DELL’EQUAZIONE:

ax +bx+c=0, SI PUÓ DIMOSTRARE CHE LA SOMMA E IL PRODOTTO DELLE SOLUZIONI SONO LEGATE AI COEFFICIENTI DI a, b, c DELL’EQUAZIONE DALLE SEGUENTI RELAZIONI:

x₁ +x₂=- x₁ * x₂=

QUESTE RELAZIONI PERMETTONO DI RISALIRE

ALL’EQUAZIONE CONOSCENDO LE SUE SOLUZIONI, E DETERMINARE DUE NUMERI, CONOSCENDO LA SOMMA E IL PRODOTTO.

6

a

bac

2

SCRIVERE UN’EQUAZIONE DI SECONDO GRADO, CONOSCENDO LE SUE SOLUZIONI.

x₁ +x₂=S

x₁ * x₂=P

L’EQ. CHE HA x₁ e x₂ COME SOLUZIONI è :

x –Sx+P=0

DETERMINARE DUE NUMERI, CONOSCENDONE LA

SOMMA E IL PRODOTTO.CONOSCENDO LA SOMMA E IL PRODOTTO DI 2

NUMERI, I DUE NUMERI SI OTTENGONO RISOLVENDO L’EQUAZIONE

x –Sx+P=0.

7

5. SCOMPOSIZIONE TRINOMIO DI SECONDO GRADO.

PER SCOMPORRE IL TRINOMIO ax +bx+c, BASTA RISOLVERE L’EQUAZIONE ax +bx+c=0.

SE LE SOLUZIONI SONO DISTINTE ( >0), IL TRINOMIO SI SCOMPONE CON LA FORMULA:

ax +bx+c = a(x-x₁)*(x-x₂)SE LE SOLUZIONI DELL’EQUAZIONE SONO CIONCIDENTI (

=0), LA FORMULA DIVENTA:ax +bx+c= a(x-x₀)SE L’EQUAZIONE NON HA SOLUZIONI REALI, CIOÉ IL

DELTA É MINORE DI 0, IL TRINOMIO NON É SCOMPONIBILE.

8

2

2

2

2

2

6. APPROFONDIMENTIDIMOSTRAZIONE DELLA FORMULA RISOLUTIVA DELLE EQUAZIONI COMPLETE DI SECONDO GRADO.

PORTIAMO A SECONDO MEMBRO IL TERMINE NOTO

DIVIDIAMO TUTTI I TERMINI PER a (≠ 0) SCRIVIAMO IL TERMINE (b/a)x COME

DOPPIO PRODOTTO DI DUE FATTORI AGGIUNGIAMO AI DUE MEMBRI IL

TERMINE (b/2a ) SI OTTIENE COSì AL PRIMO MEMBRO LO

SVOLGIMENTO DEL QUADRATO DI UN BINOMIO.

IL TRINOMIO AL PRIMO MEMBRO è IL QUADRATO DEL BINOMIO x+(b/2 a )

QUINDI:L’ESPRESSIONE AL PRIMO MEMBRO è UN QUADRATO; QUINDI è SEMPRE POSITIVA O NULLA. AFFINCHE’ L’EQUAZIONE AMMETTA SOLUZIONI REALI, ANCHE LA FRAZIONE AL SECONDO MEMBRO DEVE ESSERE POSITIVA. IL DENOMINATORE DELLA FRAZIONE è SEMPRE POSITIVO, QUINDI, ANCHE IL NUMERATORE DEVE ESSERE POSITIVO. (b^2-4ac ≥ 0).

SE b^2-4ac ≥ 0, CI SONO DUE VALORI, UNO OPPOSTO ALL’ALTRO, CHE SODDISFANO L’EQUAZIONE. LI OTTENIAMO ESTRAENDO LA RADICE QUADRATA.

ISOLIAMO LA X RISOLVENDO LA FORMULA OTTENIAMO

LE DUE SOLUZIONI. 9

2

EQUAZIONI DETERMINATE, INDETERMINATE E IMPOSSIBILI, GRADO DI UN’EQUAZIONE.

LE EQUAZIONI POSSONO ESSERE:DETERMINATE, QUANDO HANNO UNA PRECISA

SOLUZIONE;INDETERMINATE, QUANDO HANNO INFINITE

SOLUZIONI;IMPOSSIBILI, QUANDO NON HANNO SOLUZIONI. GRADO DELLE EQUAZIONIIL GRADO DI UN’EQUAZIONE MI DA’ IL NUMERO

MASSIMO DI SOLUZIONI REALI POSSIBILI, A PATTO CHE NON SIA INDETERMINATA L’EQUAZIONE.

RICORDARSI DI CAMBIARE DI SEGNO LA SOMMA DELLE SOLUZIONI PRIMA DI INSERIRLA PER SCRIVERE L’EQUAZIONE DI SECONDO GRADO.

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DIMOSTRAZIONE PER RICAVARE LA SOMMA DELLE SOLUZIONI, SENZA RISOLVERE L’ EQUAZIONE.

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DIMOSTRAZIONE PER RICAVARE IL PRODOTTO DELLE SOLUZIONI, SENZA RISOLVERE L’ EQUAZIONE.

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