Teoria dei Circuiti Prof. Luca Perregrini Circuiti del primo ordine, pag. 1

Circuiti del primo ordine

Un circuito del primo ordine è caratterizzato da un’equazione differenziale del primo ordine

I circuiti del primo ordine sono di due tipi: RL o RC

Teoria dei Circuiti Prof. Luca Perregrini Circuiti del primo ordine, pag. 2

Circuiti del primo ordine

L’eccitazione può essere di due tipi

• autonoma: il circuito non comprende generatori indipendenti ed evolve nel tempo grazie all’energia immagazzinata nel condensatore (RC) o nell’induttore (RL)

• forzata: il circuito comprende generatori indipendenti che ne determinano il comportamento nel tempo

Teoria dei Circuiti Prof. Luca Perregrini Circuiti del primo ordine, pag. 3

Circuito RC autonomo

v+

–

C

iC

R

iR

Ipotesi:

v(t) = ? (per t > 0)

202

1)0( VCw ⋅=

0)0( Vv =

Teoria dei Circuiti Prof. Luca Perregrini Circuiti del primo ordine, pag. 4

Circuito RC autonomo

v+

–C

iC

R

iR

0=+⋅R

v

dt

dvC

0=+RC

v

dt

dv RCtAtv /e)( −=

RCtVtv /0e)( −=

0)0( Vv =

0=+ RC ii

Teoria dei Circuiti Prof. Luca Perregrini Circuiti del primo ordine, pag. 5

Circuito RC autonomo: risposta naturale

v

t

τ/0e)( tVtv −=

La risposta naturale rappresenta il comporta-mento intrinseco di un circuito, senza l’intervento

di sorgenti esterne di eccitazione

RC=τcostante di tempo τ0

V0

3e 01

0

VV - ≈

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Circuito RC autonomo: costante di tempo

t

τ/0e)( tVtv −= RC=τ

costante di tempo

τ = 1

0

1

τ/

0

e t

V

v −=

1 2 3 4

τ = 0.5

τ = 2

t e–t/τ

τ 0.36788

2τ 0.13534

3τ 0.04979

4τ 0.01832

5τ 0.00674

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Circuito RC autonomo: potenza ed energia

τ/0e)( tVtv −=

v+

–C

iC

R

iR

τ/0 e)(

)( tR R

V

R

tvti −==

τ/22

0 e)( tR R

Vivtp −=⋅=

Potenza dissipata nel resistore:

)e1(21

e)( /2200

/22

0

0

ττ tt tt

R -VCdtR

Vdtptw −− ⋅=⋅=⋅= ∫∫

Energia assorbita dal resistore fino all’istante t:

)0(2

1)( 2

0 wVCwR =⋅=∞Dopo un tempo sufficientemente lungo (t >> τ) il resistore ha assorbito tutta l’energia immagazzi-nata nel condensatore all’istante iniziale (t = 0)

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Circuito RC autonomo: riassunto

τ/0e)( tVtv −=

Il calcolo della risposta naturale di un circuito RCautonomo richiede:

• la conoscenza o il calcolo della tensione sul condensatore all’istante iniziale (V0)

• il calcolo della resistenza equivalente R posta in parallelo al condensatore per la determinazione della costante di tempo τ = RC

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Circuito RL autonomo

Ipotesi:

i(t) = ? (per t > 0)

202

1)0( ILw ⋅=

0)0( Ii =+

–L vL RvR

i

+

–

i

+

–L vL RvR

+

–

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Circuito RL autonomo

0=⋅+⋅ iRdt

diL

0=+ iL

R

dt

di LRtAti /e)( −=

LRtIti /0e)( −=

0)0( Ii =

0=+ RL vv

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Circuito RL autonomo: risposta naturale

i

t

τ/0e)( tIti −=

La risposta naturale rappresenta il comporta-mento intrinseco di un circuito, senza l’intervento

di sorgenti esterne di eccitazione

RL /=τcostante di tempo τ0

I0

3e 01

0

II - ≈

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Circuito RL autonomo: potenza ed energia

τ/0e)( tIti −= τ/

0e)( tR IRiRtv −⋅=⋅=

τ/220 e)( t

R IRivtp −⋅=⋅=

Potenza dissipata nel resistore:

)e1(2

1e)( /22

00

/2200

ττ tt tt

R -ILdtIRdtptw −− ⋅=⋅⋅=⋅= ∫∫

Energia assorbita dal resistore fino all’istante t:

)0(2

1)( 2

0 wILwR =⋅=∞Dopo un tempo sufficientemente lungo (t >> τ) il resistore ha assorbito tutta l’energia immagazzi-nata nell’induttore all’istante iniziale (t = 0)

i

+

–L vL RvR

+

–

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Circuito RL autonomo: riassunto

τ/0e)( tIti −=

Il calcolo della risposta naturale di un circuito RLautonomo richiede:

• la conoscenza o il calcolo della correntesull’induttore all’istante iniziale (I0)

• il calcolo della resistenza equivalente R posta in parallelo all’induttore per la determinazione della costante di tempo τ = L/R

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La “funzione gradino unitario”

La funzione a gradino unitario è una funzione discontinua.

Essa viene utilizzata per rappresentare variazioni molto rapide di tensione o corrente

u

t

><

=01

00)(

t

ttu

0

1

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La “funzione gradino unitario”

u

t0

><

=−0

00 1

0)(

tt

ttttu

t0

1

><

=00

00)(

ttV

tttV )()( 00 ttuVtV −⋅=

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La “funzione gradino unitario”

+–

a

b

)( 00 ttuV −⋅+–

a

b

0V

0tt =

a

b

)( 00 ttuI −⋅

a

b

0I

0tt =

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Risposta al gradino di un circuito RC

v+

–C

R

+–)(tuVS ⋅v

+

–C

R

+–SV

0=t

v(t) = ?

Ipotesi:

0)0( Vv =−

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Risposta al gradino di un circuito RC: t ≤ 0

v+

–C

R

+–)(tuVS ⋅

v non può cambiare istantaneamente:

0)0()0( Vvv == −+

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Risposta al gradino di un circuito RC: t > 0

0=−+⋅R

Vv

dt

dvC S

0=−+RC

Vv

dt

dv S

RCtS AVtv /e)( −=−

v+

–C

R

+–SV

0)( =−+−

RC

Vv

dt

Vvd SS

τ/0 e )()( t

SS VVVtv −−+=

0)0( Vv =+

RC=τ

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Circuito RC: risposta completa

v

t

La risposta completa rappresenta il comportamento di un circuito alla applicazione improvvisa di un

generatore, supponendo il condensatore già carico

RC=τcostante di tempo

τ0

VS

>−+<

= − 0e )(

0)( /

0

0

tVVV

tVtv t

SSτ

V0

=)(tv t > t0

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Circuito RC: risposta completa

v

tt0+τ0

v(t0)

+risposta forzata

o regime

+∞)(v

risposta naturale o transitorio

τ/)(0

0e ])()([ ttvtv −−∞−

t0

v(∞)

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Circuito RC: riassunto

Il calcolo della risposta completa di un circuito RC richiede:

• la conoscenza o il calcolo della tensione sul condensatore all’istante iniziale (v(t0))

• il calcolo della tensione a regime sul condensatore (v(∞))

• il calcolo della resistenza equivalente R posta in parallelo al condensatore per la determinazione della costante di tempo τ = RC

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Risposta completa di circuiti del I ordine

La risposta completa di un circuito del primo ordine è sempre del tipo:

• valori iniziali x(t0–) e x(t0

+); • valore a regime x(∞);• costante di tempo τ = RC oppure τ = L/R

>∞−+∞<

= −−+

−

0/)(

0

00

0e ])()([)(

)()(

ttxtxx

tttxtx

tt τ

dove x rappresenta indifferentemente la tensione o la corrente sul condensatore o sull’induttanza e t0 è l’istante in cui commuta l’interruttore. Si richiede il calcolo di:

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Risposta al gradino di un circuito RL

R

+–)( 0ttuVS −⋅L

R

+–SV

0tt =

i(t) = ?

Ipotesi:

00 )( Iti =−

i

L

i

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Risposta al gradino di un circuito RL

000 )()( Ititi == −+

L

R

+–SV

0tt = i

R

Vi S=∞)(

R

L=τ

• valori iniziali:

• valore a regime:

• costante di tempo:

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Circuito RL: risposta completa

RL /=τcostante di tempo

>

−+

<= −−

0/)(

0

00

0e )(

ttR

VI

R

VttI

ti ttSS τ

i

tt0+τ0

I0

t0

R

VS