9. Circuiti dinamici - Dipartimento di Ingegneria dell .... Circuiti... · Circuiti RL e RC del...
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A. Morandi, Università di Bologna Elettrotecnica T-A, A.A. 2016/2017 9. Circuiti dinamici 1 Induttore. Potenza assorbita dall’induttore. Energia magnetica. Comportamento energetico dell’induttore. Condensatore. Potenza assorbita dal condensatore. Energia elettrostatica. Comportamento energetico del condensatore. Circuiti RL e RC del primo ordine. Equazione di stato e costante di tempo. Risposta libera e risposta forzata. Comportamento dei circuiti RL e RC con eccitazione costante e con eccitazione sinusoidale. Stabilità. Circuiti LC , LL e CC del secondo ordine. Equazione di stato e soluzione generale. Comportamento asintoticamente sovrasmorzato, smorzato critico, armonico smorzato. Comportamento instabile. Eccitazione costante. Circuiti dinamici contenenti interruttori o deviatori (a topologia variabile). Induttori mutuamente accoppiati. Cenni ai circuiti degeneri. Vincoli algebrici tra variabili di stato e grandezze impresse. Compensazione impulsi di corrente o tensione nei circuiti degeneri. Continuità delle variabili di stato nei circuiti non degeneri. Induttore i v L t d i d L v Il parametro di definizione L è detto induttanza (o coefficiente di autoinduzione). La sua unità di misura nel sistema internazionale è l’Henry [H]=[Vs]/[A]=[J/A 2 ] t t t t t t dt t v L t i dt t v L dt t v L dt t v L t i 0 0 0 ' ) ' ( 1 ) ( ' ) ' ( 1 ' ) ' ( 1 ' ) ' ( 1 ) ( 0 Un induttore fisico è costituito da un avvolgimento in rame fatto di molte spire, di solito avvolte attorno ad un nucleo di materiale ferromagnetico. L’induttanza L rappresenta il coefficiente di proporzionalità tra la corrente dell’ avvolgimento e il flusso del campo magnetico da questa prodotto concatenato con l’avvolgimento stesso, i.e. =L i. Se si trascurano, come è lecito, le dissipazioni di potenza che si verificano nel conduttore e nel materiale ferromagnetico, dalla legge di Faraday si ottiene che la relazione tra la corrente i e la tensione v ai capi dell’avvolgimento è v=Ldi/dt. La corrente dell’induttore al generico istante t è determinabile se si conosce l’andamento della tensione ai suoi capi sin da un istante infinitamente remoto nel quale la corrente è nulla. In alternativa, stabilito un istante t 0 assunto come istante iniziale, la corrente è determinabile se si conosce, oltre all’andamento della tensione nell’intervallo [t 0 ,t], anche il valore che essa assume in t 0 . Per questa ragione l’induttore è detto componente con memoria. 2
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A. Morandi, Università di Bologna Elettrotecnica T-A, A.A. 2016/2017
9. Circuiti dinamici
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Induttore. Potenza assorbita dall’induttore. Energia magnetica. Comportamentoenergetico dell’induttore. Condensatore. Potenza assorbita dal condensatore. Energiaelettrostatica. Comportamento energetico del condensatore. Circuiti RL e RC del primoordine. Equazione di stato e costante di tempo. Risposta libera e risposta forzata.Comportamento dei circuiti RL e RC con eccitazione costante e con eccitazionesinusoidale. Stabilità. Circuiti LC , LL e CC del secondo ordine. Equazione di stato esoluzione generale. Comportamento asintoticamente sovrasmorzato, smorzato critico,armonico smorzato. Comportamento instabile. Eccitazione costante. Circuiti dinamicicontenenti interruttori o deviatori (a topologia variabile). Induttori mutuamenteaccoppiati. Cenni ai circuiti degeneri. Vincoli algebrici tra variabili di stato e grandezzeimpresse. Compensazione impulsi di corrente o tensione nei circuiti degeneri. Continuitàdelle variabili di stato nei circuiti non degeneri.
Induttore
iv
Ltd
idLv
Il parametro di definizione L è detto induttanza (o coefficiente diautoinduzione). La sua unità di misura nel sistema internazionaleè l’Henry
[H]=[Vs]/[A]=[J/A2]
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t
t
tt
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0
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')'(1
')'(1
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Un induttore fisico è costituito da un avvolgimento in rame fatto di molte spire, di solito avvolte attorno ad un nucleo dimateriale ferromagnetico. L’induttanza L rappresenta il coefficiente di proporzionalità tra la corrente dell’ avvolgimentoe il flusso del campo magnetico da questa prodotto concatenato con l’avvolgimento stesso, i.e. =L i. Se si trascurano,come è lecito, le dissipazioni di potenza che si verificano nel conduttore e nel materiale ferromagnetico, dalla legge diFaraday si ottiene che la relazione tra la corrente i e la tensione v ai capi dell’avvolgimento è v=Ldi/dt.
La corrente dell’induttore al generico istante t è determinabile se si conosce l’andamento dellatensione ai suoi capi sin da un istante infinitamente remoto nel quale la corrente è nulla. Inalternativa, stabilito un istante t0 assunto come istante iniziale, la corrente è determinabile sesi conosce, oltre all’andamento della tensione nell’intervallo [t0 ,t], anche il valore che essaassume in t0. Per questa ragione l’induttore è detto componente con memoria.
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dtLi
td
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2
1)(
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La potenza p assorbita da un induttore è un differenziale esatto esprimibile come
2
2
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La quantità Wm rappresenta l’energia immagazzinata dall’induttore (mediante il campomagnetico da esso prodotto) e prende il nome di energia magnetica. Essa è una funzione distato perché dipende esclusivamente dalla corrente che circola nell’induttore. La corrente iassume quindi il ruolo di variabile di stato.
t1 t2
i2
i1
L’energia Wm complessivamente assorbita da un induttorein un dato intervallo eguaglia la variazione della sua energiamagnetica. Essa non dipende dall’andamento della correntema esclusivamente dai valori da questa assunti agli estremidell’intervallo (funzione di stato).
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t
t
t
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2
122
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1
Energia magnetica dell’induttore
i'i'''
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''''''mmm WWW
Dato che l’energia magnetica di un singolo avvolgimento è strettamente positiva (è nullasolo se i=0 ) il coefficiente di autoinduzione L risulta sempre positivo (L>0)
3
L’energia complessivamente assorbita da un induttore (dal tempo ) risulta in qualunqueistante positiva (se |i(t)|0) o al più nulla (se i(t)=0)
Si noti che l’induttore può erogare potenza, in un dato intervallo, supponiamo da a t0 a t.Risulta però
L’induttore è quindi un componente passivo. L’energia da esso erogata in un dato intervalloè sempre minore o uguale a quella complessivamente assorbita in precedenza.L’energia complessivamente assorbita da un induttore in un ciclo (i1=i2) risulta nulla
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1
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Se dunque in un data fase del ciclo l’induttore assorbe(eroga) potenza nella fase successiva la eroga (assorbe)
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iv
L
td
idLv
Se un induttore è attraversato da una corrente costante nel tempo la tensione ai sui capi ènulla
iv
iv 0 iv 0
In condizioni stazionarie quindi un induttore si comporta come un corto circuito
se i = cost
corto circuitoInduttore in condizionistazionarie
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))()(( 00
0
0
0
0
titiLdttd
idLdtv
t
t
t
t
Si assuma ora che in un dato istante t0 la corrente dell’induttore subisca una discontinuità,ossia passi dal valore i(t0
) al valore i(t0+). Integrando la relazione di definizione
dell’induttore nell’intervallo infinitesimo [t0 , t0
+] si ottiene
)())()(()( 000 tttitiLtv
La precedente è soddisfatta se e solo se l’andamento della tensione è
Se in un dato istante quindi la corrente di un induttore subisce discontinuità la tensione aisuoi capi subisce un impulso. In tali condizioni all’istante t0 l’induttore assorbe/eroga unapotenza infinita (in grado di variare istantaneamente l’energia accumulata). Tale potenza èerogata/fornita dal bipolo complementare.
Quanto discusso è un comportamento limite (irrealizzabile nella pratica per via deifenomeni resistivi parassiti). Nei circuiti reali possono tuttavia verificarsi delle rapidevariazione della corrente negli induttori. In tali condizioni ai loro capi si stabilisce unanotevole tensione cui corriponde lo scambio di una notevole potenza.
dove rappresenta l’impulso di Dirac.
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Condensatore
iv
Ctd
vdCi
Il parametro di definizione C è detto capacità. La sua unità dimisura nel sistema internazionale è il Farad
[F ]=[As]/[V]=[C]/[V]=[ J/V2]
t
t
t
t
tt
dttiC
tvdttiC
dttiC
dttiC
tv00
0
')'(1
)(')'(1
')'(1
')'(1
)( 0
Un condensatore fisico è costituito da due lastre (armature) di materiale conduttore poste in vicinanza. Di solito tra lelastre è interposto un dielettrico (materiale isolante ad alta permeabilità). La capacità C rappresenta il coefficiente diproporzionalità tra la tensione che agisce tra le due armature e la carica q accumulata (con segno opposto) suciascuna di esse, i.e. q = C v. Se si trascura, come è lecito, la conducibilità del dielettrico, dalla definizione di correntesi ottiene che la relazione tra la tensione v e la corrente i e ai capi dell’avvolgimento è i=Cdv/dt.
La tensione del condensatore al generico istante t è determinabile se si conosce l’andamentodella corrente che lo attraversa sin da un istante infinitamente remoto nel quale la tensione ènulla. In alternativa, stabilito un istante t0 assunto come istante iniziale, la tensione èdeterminabile se si conosce, oltre all’andamento della corrente nell’intervallo [t0 ,t], anche ilvalore che essa assume in t0. Per questa ragione il condensatore è detto componente conmemoria.
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eWtd
dtCv
td
d
td
tvdCtvtitvtp
)(
2
1)()()()()( 2
La potenza p assorbita da un condensatore è un differenziale esatto esprimibile come
2
2
1vCWe
La quantità We rappresenta l’energia immagazzinata dal condensatore (mediante il campoelettrico da esso prodotto) e prende il nome di energia elettrostatica (elettrica). Essa è unafunzione di stato perché dipende esclusivamente dalla tensione ai capi del condensatore. Latensione v assume quindi il ruolo di variabile di stato.
t1 t2
v2
v1
L’energia We complessivamente assorbita da un condensatorein un dato intervallo eguaglia la variazione della sua energiaelettrostatica. Essa non dipende dall’andamento della tensionema esclusivamente dai valori da questa assunti agli estremidell’intervallo (funzione di stato).
e
t
t
t
t
WCvCvdttcvtd
ddttpttw
2
122
221 2
1
2
1)(
2
1)(),(
2
1
2
1
Energia elettrostatica del condensatore
v'v'''
v'
''''''mmm WWW
Dato che l’energia elettrostatica è strettamente positiva (è nulla solo se v=0 ) lacapacità C risulta sempre positiva (C > 0)
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L’energia complessivamente assorbita da un condensatore (dal tempo ) risulta inqualunque istante positiva (se |v(t)|0) o al più nulla (se v(t)=0)
Si noti che il condensatore può erogare potenza, in un dato intervallo, supponiamo da a t0 at. Risulta però
Il condensatore è quindi un componente passivo. L’energia da esso erogata in un datointervallo è sempre minore o uguale a quella complessivamente assorbita in precedenza.L’energia complessivamente assorbita da un condensatore in un ciclo risulta nulla
),(')'(0')'(')'(0)()( 0
00
0
0
0
twdttpdttpdttpdttpdttpt
t
e
t
t
e
tt
t
t
ttCvdttptwt
02
1)(),( 2
t1 t2
v1=v2
02
1
2
1)(),( 2
12121
2
1
CvCvdttpttwt
t
Se dunque in un data fase del ciclo il condensatoreassorbe (eroga) potenza nella fase successiva la eroga(assorbe) 9
td
vdCi
Se un condensatore è soggetto ad una tensione costante nel tempo la corrente che loattraversa è nulla
iv
vi 0 vi 0
In condizioni stazionarie quindi un condensatore si comporta come un circuito aperto
se v = cost
iv
C
circuito apertocondensatore incondizioni stazionarie
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))()(( 00
0
0
0
0
tvtvCdttd
vdCi
t
t
t
t
Si assuma ora che in un dato istante t0 la tensione del condensatore subisca unadiscontinuità, ossia passi dal valore v(t0
) al valore v(t0+). Integrando la relazione di
definizione del condensatore nell’intervallo infinitesimo [t0 , t0
+] si ottiene
)())()(()( 000 tttvtvCti
La precedente è soddisfatta se e solo se l’andamento della corrente è
dove rappresenta l’impulso di Dirac.
Se in un dato istante quindi la tensione del condensatore subisce discontinuità la suacorrente subisce un impulso. In tali condizioni all’istante t0 il condensatore assorbe/erogauna potenza infinita (in grado di variare istantaneamente l’energia accumulata). Talepotenza è erogata/fornita dal bipolo complementare.
Quanto discusso è un comportamento limite (irrealizzabile nella pratica per via deifenomeni resistivi parassiti). Nei circuiti reali possono tuttavia verificarsi delle rapidevariazione della tensione ai capi dei condensatori. In tali condizioni in essi si stabilisce unanotevole corrente cui corrisponde lo scambio di una notevole potenza. 11
Le variabili di stato possono essere determinate autonomamente risolvendo l’equazione distato. A tal fine è necessario conoscere, oltre agli ingressi, i valori che queste assumononell’istante iniziale. Successivamente, note le variabili di stato e gli ingressi, si possonodeterminare le variabili di uscita utilizzando la relativa equazione.
Quando le variabili di stato non sono tutte indipendenti ma sono soggette a vincoli algebrici ilcircuito si dice degenere. In questi casi è ancora possibile isolare la parte differenziale mal’ordine del sistema risulta ridotto (non tutte le correnti degli induttori e le tensioni deicondensatori diventano variabili di stato effettive).
Circuiti dinamici
Si definisce dinamico un circuito contenente almeno un induttore oppure un condensatore.Un circuito dimamico è caratterizzato da un sistena risolvente algebrico-differenziale. Lecorrenti degli induttori e le tensioni dei condensatori compaiono sotto il segno di derivata edassumono il ruolo di variabili di stato. Per determinare la soluzione è necessario scomporre ilsistema (vedi appendice A2) in una parte puramente differenziale (equazione di stato) e inuna parte puramente algebrica (equazione di uscita).
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Circuito dinamico degenere: circuito dinamico le cui connessioni e/o i cui componenti sonotali da stabilire almeno un vincolo algebrico che coinvolge esclusivamente correnti negliinduttori e/o tensioni sui condensatori ed, eventualmente, grandezze impresse.
Tagli composti da soli induttori o dainduttori e generatori di correnteindipendenti
021 gLL iii
Degenerazioni topologicamente evidenti
Maglie composte da soli condensatori oda condensatori e generatori di tensioneindipendenti
0321 CCC vvv
Un circuito è degenere se sostituendo gli induttori con un generatore di corrente e icondensatori con un generatore di tensione si ottiene un circuito patologico. Si riportanoalcuni esempi.
13
Degenerazioni dovute a generatori pilotati o trasformatori (non evidenti topologicamente)
Degenerazioni dovute ad induttori perfettamente accoppiati
0 LC ikv
k
vv g
C
+
k iL
iL
L1 L2
M
012
12 LL i
L
Li
21LLM
k
Nel seguito, salvo esplicito avviso, limiteremo la nostra analisi esclusivamente ai circuitinon degeneri. Qualche cenno ai circuiti degeneri sarà fatto successivamente.
Per i circuiti degeneri è importante distinguere tra i casi in cui il vincolo algebrico èomogeneo (non coinvolge grandezze impresse) oppure è non omogeneo (coinvolgegrandezze impresse).
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Circuito induttivo del primo ordine (circuito RL)
Si analizzano ora i circuiti dinamici del primo ordine, ossia circuiti non degeneri contenenti unsolo induttore oppure un solo condensatore.
vg+
R1i1
i2
L
iL
0
0
0
0
0
222
111
1
21
21
LL
g
L
L
idt
dLv
iRv
viRv
vv
vv
iii
R2
Si considerino a titolo di esempio il circuito di figura e il relativo sistema risolvente
Per risolvere il circuito è necessario determinare l’equazione di stato, ossia è necessarioisolare la parte differenziale del sistema risolvente. Per un circuito induttivo del primoordine l’equazione di stato è composta da una sola equazione nella sola variabile di statocostituita dalla corrente iL dell’induttore.
15
Per ottenere l’equazione di stato è necessario innanzitutto determinare l’equazione di uscita,ossia è necessario calcolare il valore che tutte le grandezze del circuito assumono in funzionedella variabile di stato e delle grandezze impresse. Ciò può essere ottenuto sostituendol’induttore con un generatore indipendente di corrente che impone la generica corrente iL
vg+
R1i1
i2
iL
LL
g
L
L
ii
iRv
viRv
vv
vv
iii
0
0
0
0
222
111
1
21
21
R2
gLL
gL
gL
gL
gL
vRR
Ri
RR
RRv
vRR
Ri
RR
RRv
vRR
iRR
Ri
vRR
Ri
RR
RRv
vRR
iRR
Ri
21
2
21
21
21
2
21
212
2121
12
21
2
21
211
2121
21
1
1
iL
Si evidenzia che in virtù dell’ipotesi di circuito non degenere ciò che si ottiene sostituendol’induttore con un generatore di corrente è un circuito adinamico necessariamente nonpatologico (le relazioni di definizione dei componenti non sono in conflitto con le equazionitopologiche). Risulta quindi possibile esprimere tutte le grandezze in funzione dellegrandezze impresse e della corrente iL
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L’equazione di stato può essere posta in forma canonica (poichè L0) e risoltaautonomamente se sono noti l’andamento di vg per ogni istante t0 nonché il valore di iL
all’istante iniziale. Le altre grandezze di interesse del circuito possono essere ottenutesuccessivamente adoperando l’equazione di uscita con iL noto.
A questo punto si sostituisce l’espressione ottenuta per vL all’interno dell’equazione didefinizione dell’induttore ottenendo così un equazione differenziale che contiene solo iL
(equazione di stato)
gLL vRR
Ri
RR
RRi
dt
dL
21
2
21
21
0
21
2
21
21
)0(
11
LL
gLL
ii
vRR
R
Li
RR
RR
Li
dt
d
gLL
gL
gL
gL
gL
vRR
Ri
RR
RRv
vRR
Ri
RR
RRv
vRR
iRR
Ri
vRR
Ri
RR
RRv
vRR
iRR
Ri
21
2
21
21
21
2
21
212
2121
12
21
2
21
211
2121
21
1
1
Equazione di stato+ condizione iniziale
Equazione di uscita 17
Si evidenzia che ai fini dell’ottenimento dell’equazione di stato si è determinata la tensioneche, a causa del circuito a cui è connesso, si stabilisce ai capi dell’induttore quando in essocircola la generica corrente iL . Ciò vuol dire che si è determinata la rappresentazione diThevenin del bipolo complementare dell’induttore. Tale rappresentazione esistesicuramente per via del fatto che, essendo il circuito in esame non degenere, il circuitoottenuto sostituendo all’induttore un generatore di corrente è non patologico.
vg+
R1i1
i2 iL
R2
vg+
req
iL
L
0)0(
1
LL
eqLeq
L
ii
vL
iL
ri
dt
dEquazione di stato (LKT)+ condizione iniziale
21
21
21
2
RR
RRr
vRR
Rv
eq
geq
L’equazione di stato di un circuito induttivo del primo ordine può quindi essere ottenutaimmediatamente rappresentando il bipolo complementare dell’induttore mediante ilbipolo equivalente di Thevenin e considerando la LKT applicata alla maglia
LeqeqL irvv
18
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Circuito capacitivo del primo ordine (circuito RC)
vg+
R1i1
i2
C
iC
0
0
0
0
0
222
111
1
21
21
CC
g
L
L
vdt
dCi
iRv
viRv
vv
vv
iii
R2
Per risolvere il circuito è necessario determinare l’equazione di stato, ossia è necessarioisolare la parte differenziale del sistema risolvente. Per un circuito capacitivo del primoordine l’equazione di stato è composta da una sola equazione nella sola variabile di statocostituita dalla tensione vC del condensatore.
Si considerino a titolo di esempio il circuito di figura e il relativo sistema risolvente
19
Per ottenere l’equazione di stato è necessario innanzitutto determinare l’equazione di uscita,ossia è necessario calcolare il valore che tutte le grandezze del circuito assumono in funzionedella variabile di stato e delle grandezze impresse. Ciò può essere ottenuto sostituendo ilcondensatore con un generatore indipendente di tensione che impone la vC
vg+
R1i1
i2iC
CC
g
L
L
vv
iRv
viRv
vv
vv
iii
0
0
0
0
222
111
1
21
21
R2
gCC
C
C
C
gC
vGvGGi
vv
vGi
vv
vGvGi
221
2
22
1
111
)(
Si evidenzia che in virtù dell’ipotesi di circuito non degenere ciò che si ottiene sostituendo ilcondensatore con un generatore di tensione è un circuito necessariamente non patologico(le relazioni di definizione dei componenti non sono in conflitto con le equazionitopologiche). Risulta quindi possibile esprimere tutte le grandezze in funzione dellegrandezze impresse e della tensione vC
vC+
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A. Morandi, Università di Bologna Elettrotecnica T-A, A.A. 2016/2017
L’equazione di stato può essere posta in forma canonica (poichè C0) e risoltaautonomamente se sono noti l’andamento di vg per ogni istante t0 nonché il valore di vC
all’istante iniziale. Le altre grandezze di interesse del circuito possono essere ottenutesuccessivamente adoperando l’equazione di uscita con vC noto.
A questo punto si sostituisce l’espressione ottenuta per iC all’interno dell’equazione didefinizione del condensatore ottenendo così un’equazione differenziale che contiene solo vC
(equazione di stato)
gCC vGvGGvdt
dC 121 )(
0
121
)0(
)(1
CC
gCC
vv
vGvGGC
vdt
d
Equazione di stato+ condizione iniziale
Equazione di uscita
gCC
C
C
C
gC
vGvGGi
vv
vGi
vv
vGvGi
221
2
22
1
111
)(
21
Si evidenzia che ai fini dell’ottenimento dell’equazione di stato si è determinata la correnteche, a causa del circuito a cui è connesso, circola nel condensatore quando esso èsottoposto alla generica tensione vC . Ciò vuol dire che si è determinata la rappresentazionedi Norton del bipolo complementare del condensatore. Tale rappresentazione esistesicuramente per via del fatto che, essendo il circuito in esame non degenere, il circuitoottenuto sostituendo condensatore un generatore di tensione è non patologico.
Equazione di stato (LKC)+ condizione iniziale
21
1
GGg
vGi
eq
geq
L’equazione di stato di un circuito capacitivo del primo ordine può quindi essere ottenutaimmediatamente rappresentando il bipolo complementare del condensatore mediante ilbipolo equivalente di Norton e considerando la LKC al nodo
vg+
R1i1
i2
C
iC
R2 C
iC
geqieq
0)0(
1
CC
eqCeq
C
vv
iC
vC
gv
dt
d
CeqeqC vgii
22
A. Morandi, Università di Bologna Elettrotecnica T-A, A.A. 2016/2017
Se tutte le grandezze impresse del circuito sono costanti la tensione/corrente del generatoreequivalente di Thevenin/Norton risulta costante. L’equazione di stato è
eqLeq
L VL
iL
ri
dt
d 1 con Ieq=costeqC
eqC I
Cv
C
gv
dt
d 1
Circuiti RC e RL con eccitazione costante
con Veq=cost
eq
eqt
L r
Vekti
)(
I termini iLecc e vC
ecc hanno lo stesso andamento nel tempo della tensione/correnteimpressa. Si ottiene quindi
La soluzione generale dell’equazione di stato (vedi appendice A2) è
)()( ecc tiekti L
t
L
dove
eqr
L costante di tempo del circuito RL
( [Vs]/[A] ) / [V/A] ) = s
)()( ecc tvektv C
t
C
eqg
C costante di tempo del circuito RC
( [As]/[V] ) / [A/V] ) = s
dove
eq
eqt
C g
Iektv
)(
23
Imponendo il rispetto della condizione iniziale si ottiene infine
eq
eqt
eq
eqLL r
Ve
r
Viti
0)(eq
eqt
eq
eqCC g
Ie
g
Ivtv
0)(
Nel seguito si riporta l’andamento nel tempo della corrente dell’induttore del circuito RL.Andamenti del tutto analoghi valgono per la tensione del condensatore del circuito RC
Componentedi regime, iLr
Componentetransitoria, iLt
La risposta complessiva può essere vista anche come somma della risposta con stato zero edella risposta con ingresso zero.
Componentedi regime, vCr
Componentetransitoria, vCt
eq
eqtt
LL r
Veeiti
1)( 0
eq
eqtt
CC g
Ieevtv
1)( 0
Risposta coningresso zero, iLi0
Risposta constato zero, iLs0
Risposta coningresso zero, vCi0
Risposta constato zero, vCs0
24
A. Morandi, Università di Bologna Elettrotecnica T-A, A.A. 2016/2017
2 3 4 5 6
t
iL
Veq/req
iL0
iL0 Veq/req
Componente di regime, ir
Componente transitoria, it
Si evidenzia che la sola componente di regime violerebbe la condizione iniziale. Lacomponente transitoria si genera per fare in modo che questa sia soddisfatta. Si noti chela componente transitoria non si manifesta nel caso in cui la componente di regime è taleda soddisfare, autonomamente, la condizioni iniziale
Corrente complessiva, iL = it + ir
0)0(0)( eq
eqLt r
Viseti
Se req > 0 o geq > 0 allora > 0. Il circuito è asintoticamente stabile. Il temineesponenziale si estingue e la soluzione raggiunge un valore di regime stazionario. Tutte legrandezze nel circuito raggiungono un valore stazionario.
25
2 3 4 5 6
t
iL
Veq/req
iL0
Risposta con stato zero, is0
Corrente complessiva, iL = is0 + ii0
Risposta con ingresso zero, ii0
La risposta con stato zero è inizialmente nulla e raggiunge il valore di regime alcrescere di t. La risposta con ingresso zero si manifesta, al fine di consentire allacorrente di soddisfare la condizione iniziale, purché sia iL (0) 0 e diminuisce (invalore assoluto) fino ad annullarsi al valore al crescere di t.
La corrente complessiva può essere vista anche come somma della risposta allo stato zero edella risposta all’ingresso zero.
26
A. Morandi, Università di Bologna Elettrotecnica T-A, A.A. 2016/2017
t ii0 (t) / iL0iL (t) / ir
(iL (0) = 0)
0 100 % 0 %
36.79 % 63.21 %
2 13.53 % 86.47 %
3 4.98 % 95.02 %
4 1.83 % 98.17 %
5 0.67 % 99.33 %
La costante di tempo è il parametro caratteristico della dinamica dell’intero circuito. Essaè indipendente dalle grandezze impresse (non dipende da veq ma solo da req ) e fornisceun’indicazione della rapidità con la quale le grandezze del circuito possono risponderead una sollecitazione impressa.
Si sottolinea che noto l’andamento della variabile di stato tutte le grandezze di interessedel circuito possono essere ottenute successivamente adoperando l’equazione di uscita.Tutte le grandezze avranno quindi lo stesso andamento nel tempo della variabile di stato(decadimento esponenziale con costante di tempo ).
27
t
ir
Vitti
dt
diti L
eq
eqL
tLLL
)0()0()()0()(0
1
La costante esprime il tempo necessario perché la corrente linearizzata all’origineraggiunga il valore di regime
Analogamente la costante di tempo è il tempo necessario perché la risposta coningresso zero linearizzata all’origine raggiunga il valore nullo
t
iittidt
diti LL
tL ii
)0()0()()0()(0
11
00
28
A. Morandi, Università di Bologna Elettrotecnica T-A, A.A. 2016/2017
Se req < 0 o geq < 0 allora < 0. Il circuito è instabile. Il temine esponenziale cresceindefinitamente al crescere di t. La soluzione non raggiunge quindi un valore di regimestazionario.
t
eq
eqL
eq
eqL e
r
Vi
r
Vti
)0()(
iL
2 t
29
Se req = 0 o geq = 0 la soluzione precedentemente trovata non è applicabile. L’equazione distato e la soluzione diventano
tL
Viti eqLL )0()( t
C
Ivtv eq
CC )0()(
0)0( LL
eqL
iti
Vidt
dL
0)0( CC
eqC
vtv
Ivdt
dC
La risposta con stato zero crescelinearmente col tempo. La soluzione nonraggiunge un valore di regime stazionario.L’autovalore associato all’equazionedifferenziale è nullo (la costante di tempo èinfinita). La risposta con ingresso zero èquindi costituita da un termine costantepari al valore iniziale (modo stazionario, iL(0)e0= iL(0) ). Il circuto è semplicementestabile (vedi appendice A2).
Risposta con ingresso zero, ii0
t
iL
30
A. Morandi, Università di Bologna Elettrotecnica T-A, A.A. 2016/2017
Si noti che se il bipolo adinamico complementare al suo interno non contienegeneratori pilotati la sua resistenza equivalente di Thevenin è necessariamentepositiva o al più nulla.
Lo stesso vale per la conduttanza equivalente di Norton.
Allora un circuito del primo ordine che contenga solo resitori e generatoriindipendenti o è asintoticamente stabile o, al limite (se req = 0 o geq = 0 ), èsemplicemente stabile. É escluso che possa essere instabile.
31
Determinare l’andamento nel tempo della tensione vC e della corrente iC del condensatore.
Esercizio 9.1
R = 2
C=2.5 Fvg = 12 V
vC (0) = 2 V;
32
R
+ vg
C
Esercizio 9.2
vC
iC
Determinare l’andamento nel tempo della tensione v3
R1 = 2 R2 = 1
R3 = 3 R4 = 0.5
C=2.5 F vg = 12 V;
vC (0) = 1 V;
vC (0) = 6 V;
R1
R2
R4
R3
+ vg
C
v3
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Esercizio 9.3
33
Determinare l’andamento nel tempo della corrente iL dell’induttore
Esercizio 9.4
i4
k i4
R1 = 1 R2 = 2
R3 = 2 R4 = 0.5
vg = 8 V
L = 5.6 mH
iL (0) = 0 A
k = 0.5; k = 3; k = 6.5;
R1 R2
R3R4
+ vgiL
L
Determinare l’andamento nel tempo delle correnti i1, i1 e i3 del circuito. Determinare inoltrel’energia complessivamente ceduta dall’induttore al circuito nell’intervallo [0 , +[
R1 = 2 R2 = 2
R3 = 1 L=2 mH
vg = 4 V;
iL (0) = 2 A;
R1
R2
R3
+ vg
i1 i3
i2
Se tutte le grandezze impresse del circuito variano nel tempo con andamento sinusoidalealla stessa frequenza anche la tensione/corrente del generatore equivalente diThevenin/Norton assume andamento sinusoidale alla stessa frequenza .L’equazione di stato è
eqLeq
L VL
iL
ri
dt
d 1 eqC
eqC I
Cv
C
gv
dt
d 1
Circuiti RC e RL con eccitazione sinusoidale
La soluzione generale dell’equazione di stato è
)()( ecc tiekti L
t
L
dove
eqr
L costante di tempo del circuito RL
( [Vs]/[A] ) / [V/A] ) = s
)()( ecc tvektv C
t
C
eqg
C costante di tempo del circuito RC
( [As]/[V] ) / [A/V] ) = s
dove
)cos()( tVtv
con
eqeq )cos()( tIti
con
eqeq
34
A. Morandi, Università di Bologna Elettrotecnica T-A, A.A. 2016/2017
I termini iLecc e vC
ecc hanno lo stesso andamento nel tempo della tensione/corrente dieccitazione veq(t) / ieq(t). Nel caso di eccitazione sinusoidale si ottiene (vedi appendice A2)
)cos()(
tIekti L
t
L)cos()(
tVektv C
t
C
eq
eq
eqL
r
L
Lr
VI
1
22
tan
)(
eq
eq
eqC
g
C
Cg
IV
1
22
tan
)(
dovedove
Si noti che la soluzione particolare trovata è valida anche nei casi req = 0 e geq = 0, in cuinello specifico diventa
2
L
VI eq
L
2
C
IV eq
C
35
Imponendo il rispetto della condizione iniziale si ottiene infine
tI
eIiti
L
t
LLL
cos
cos)( 0
tV
eVvtv
C
t
CCC
cos
cos)( 0
36
A. Morandi, Università di Bologna Elettrotecnica T-A, A.A. 2016/2017
iL
iL0
t
Si specifica che l’ampiezza del termine transitorio è pari alla differenza tra il valore dellacomponente di regime all’istante t=0 e il valore della corrente dell’induttore nel medesimoistante. In particolare il termine transitorio può non manifestarsi se il valore dellacomponente di regime a t=0 è uguale al valore iniziale della corrente dell’induttore.
Componente di regime, ir
Componente transitoria, it
Corrente complessiva, iL = it + ir
Se req > 0 o geq > 0 allora > 0. Il circuito è asintoticamente stabile. Il termineesponenziale si estingue e la soluzione raggiunge un valore di regime sinusoidale. Tutte legrandezze nel circuito raggiungono un andamento di regime sinusoidale (Vedremo inseguito che la soluzione di regime del circuito può essere calcolata agevolmente attraversoil metodo dei fasori ( trasformata di Steinmetz )
0cos LL iI
cos0 LL Ii
cosLI
37
Se req = 0 o geq = 0 allora . Il temine esponenziale è costante. Il circuito èsemplicemente stabile (nel senso che non diverge) ma la soluzione non raggiunge unandamento di regime sinusoidale ( a valore medio nullo).
iL
t
Si specifica che l’ampiezza del termine transitorio è pari alla differenza tra il valore dellacomponente di regime all’istante t=0 e il valore della corrente dell’induttore nel medesimoistante. In particolare il termine transitorio può non manifestarsi se il valore dellacomponente di regime a t=0 è uguale al valore iniziale della corrente dell’induttore.
Componentesinusoidale
Componentecostante
Corrente complessiva
iL0
cos0 LL Ii
cosLI
38
A. Morandi, Università di Bologna Elettrotecnica T-A, A.A. 2016/2017
Se req < 0 o geq < 0 allora < 0. Il circuito è instabile. Il temine esponenziale diverge alcrescere di t. Il circuito è instabile. La soluzione non raggiunge un andamento di regimesinusoidale.
iL
t
Componentesinusoidale
ComponenteesponenzialedivergenteCorrente
complessiva
iL0
cos0 LL Ii
cosLI
39
Circuito del secondo ordine con induttore e condensatore
Si analizzano ora i circuiti dinamici del secondo ordine, ossia circuiti dinamici non degenericontenenti
• un induttore e un condensatore, oppure• due induttori , oppure• due condensatori
L
iL
01
01
CC
LL
iC
vdt
d
vL
idt
dvL vC iC
C
+
vL
iL
vC
iC
v1eq
eqCLC
eqCLL
ivhihi
vvhihv
22221
11211
i2eq
Rappresentazione ibrida diretta deldoppio bipolo complementare
Relazioni di definizione deicomponenti dinamici
40
A. Morandi, Università di Bologna Elettrotecnica T-A, A.A. 2016/2017
Equazione di stato Condizioni iniziali
La soluzione particolare xecc ha lo stesso andamento delle forzanti ( purchè nessuna dellefrequenza naturali del circuito - autovalori della matrice A – coincida con la frequenza delleforzanti stesse). Per determinare la soluzione generale occorre determinare gli autovalori 1
e 2 della matrice A e i corrispondenti autovettori s1 e s2 (vedi appendice A2)
0)0( xx
fxAxdt
d
0
0
2
1
2221
1211
)0(
)0(
CC
LL
eq
eq
C
L
C
L
vv
iiC
iL
v
v
i
C
h
C
hL
h
L
h
v
i
dt
d
02112221122112
LC
hhhh
C
h
L
h
Equazione caratteristica
0dettraccia
0det2
AA
AI
LC
hh
C
h
L
h
LC
hhhh
C
h
L
h 2112
2
221121122211
2
2211 44
Il discriminante dell’equazione caratteristica è
41 AA det4traccia 2
Si analizzano ora i possibili comportamenti di un circuito LC del secondo ordine soggetto adeccitazione costante. Si considerano esclusivamente circuiti asintoticamente stabili, ossia lecui frequenze naturali (autovalori) hanno entrambe parte reale negativa.
)()( ecc2211
21 tekekttt
xssx
x
t1
2t1 2
x
04 2112
2
2211
LC
hh
C
h
L
h
La tensione del condensatore e la corrente dell’induttore evolvono secondo un andamentodello stesso tipo. Se un’autovalore è molto grande (in valore assoluto) rispetto all’altro lacostante di tempo corrispondente è molto piccola e il modo a questo associato diventapresto trascurabile. L’evoluzione libera associata all’autovalore più piccolo in valore assolutoè detto modo dominante.
021
1. Autovalori reali e distinti / comportamento sovrasmorzato
42
A. Morandi, Università di Bologna Elettrotecnica T-A, A.A. 2016/2017
2. Autovalori reali e coincidenti
x
t
)()()( ecc221 tetkekkt
tt
xsusx
04 2112
2
2211
LC
hh
C
h
L
h 021
43
x
t
04 2112
2
2211
LC
hh
C
h
L
hnn jj
1121
)(
)cos(
)cos()( ecc
2
1
2
1
1
1 t
teX
teXt
n
t
n
t
xx
3. Autovalori complessi e coniugati / comportamento armonico smorzato
2 /n
Si noti che affinchè nel circuito LC delsecondo ordine possa manifestarsi ilcomportamento armonico smorzato deverisultare necessariamente h12h21 < 0(altrimenti risulta >0)
Se il doppio bipolo complementare èreciproco (come accade se è costituito soloda resistori) si ha h12 h21 < 0 (h12=h21) percui il comportamento armonico smorzatopuò avere (in generale) luogo
44
A. Morandi, Università di Bologna Elettrotecnica T-A, A.A. 2016/2017
Circuito del secondo ordine con due induttori
L1
iL1
0
0
222
111
LL
LL
vidt
dL
vidt
dLvL1 vL2 iL2
L2
+
vL
iL1
vL2iL2
v1eq
eqLLL
eqLLL
virirv
virirv
22221212
11121111
+ v2eq
Rappresentazione in corrente deldoppio bipolo complementare
Relazioni di definizione deicomponenti dinamici
45
0)0( xx
fxAxdt
d
022
101
2
2
1
1
2
1
2
22
2
21
1
12
1
11
2
1
)0(
)0(
LL
LL
eq
eq
L
L
L
L
ii
ii
L
vL
v
i
i
L
r
L
rL
r
L
r
i
i
dt
d
Si noti che nel caso di circuito con due induttori il comportamento armonico smorzatopuò manifestarsi esclusivamente se il doppio bipolo complementare è non reciproco.Nel caso di doppio bipolo reciproco risulta infatti r12 r21 > 0 (r12=r21) e si ottiene
04421
2112
2
2
22
1
11
21
21122211
2
2
22
1
11
LL
rr
L
r
L
r
LL
rrrr
L
r
L
r
Equazione di stato + Condizioni iniziali
In particolare se il doppio bipolo complementare è fatto solo di resistenze e generatoriindipendenti ma non contiene generatori pilotati esso è reciproco e il comportamentoarmonico smorzato non può manifestarsi
46
A. Morandi, Università di Bologna Elettrotecnica T-A, A.A. 2016/2017
Circuito del secondo ordine con due condensatori
0
0
222
111
CC
CC
ivdt
dC
ivdt
dCvC1
eqCCC
eqCCC
ivgvgi
ivgvgi
22221212
11121111
Rappresentazione in tensione deldoppio bipolo complementare
Relazioni di definizione deicomponenti dinamici
vC2iC2
C2
iC1
C1
vC2
iC2
i2eq
iC1
i1eq
vC1
47
Equazione di stato + Condizioni iniziali
0)0( xx
fxAxdt
d
022
101
2
2
1
1
2
1
2
22
2
21
1
12
1
11
2
1
)0(
)0(
CC
CC
eq
eq
C
C
C
C
vv
vv
C
iC
i
v
v
C
g
C
gC
g
C
g
v
v
dt
d
Si noti che nel caso di circuito con due condensatori il comportamento armonicosmorzato può manifestarsi esclusivamente se il doppio bipolo complementare è nonreciproco. Nel caso di doppio bipolo reciproco risulta infatti g12 g21 > 0 (g12=g21) e siottiene
04421
2112
2
2
22
1
11
21
21122211
2
2
22
1
11
CC
gg
C
g
C
g
CC
gggg
C
g
C
g
In particolare se il doppio bipolo complementare è fatto solo di resistenze e generatoriindipendenti ma non contiene generatori pilotati esso è reciproco e il comportamentoarmonico smorzato non può manifestarsi
48
A. Morandi, Università di Bologna Elettrotecnica T-A, A.A. 2016/2017
Esercizio 9.5
49
Determinare le costanti di tempo del circuito e l’andamento nel tempo della corrente iL e dellatensione vC
Esercizio 9.6
Determinare le costanti di tempo del circuito e l’andamento nel tempo delle correnti iL1 e iL2
Ra = 2 Rb = 4
Rc = 1 Rd = 5 A
vg = 5 V
L1 = 2 mH L2 = 1 mH
iL1(0) = 2A iL2(0) = 3A
+Rd
RbRa
vg
Rc
L1
iL1iL2
L2
Il doppio bipolo adinamico complementare coincide con quello dell’esercizio 7.11
Il doppio bipolo adinamico complementare coincide con quello dell’esercizio 7.11
+
Rd
RbRa
vg
Rc
L
iL
C
vC
Ra = 2 Rb = 4
Rc = 1 Rd = 5 A
vg = 5 V
L = 4 mH C = 1 F
iL(0) = 2A vC(0) = 3 V
Esercizio 9.7 – oscillatore di Wien
50
Determinare le frequenze naturali e studiare la stabilità del circuito di figura in funzione delparametro k
Nota: Il circuito rappresenta il comportamentolineare nell’intorno del punto di equilibrio delseguente circuito (ocillatore di Wien)
C
v
R
+R
C
kv
C
v
R
+RC
k v
R1
R2
+
Il guadagno di tensione k è
1
21R
Rk
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Interruttori ideali e deviatoriL’interruttore ideale è un bipolo in grado di imporre un corto circuito oppure un circuitoaperto tra i suoi terminali e di commutare istantaneamente da una condizione all’altra
v 0
i = 0
v = 0
i 0
Il deviatore è un doppio bipolo tripolare in grado di imporre un corto circuito in una porta eun circuito aperto nell’altra e di commutare da una condizione all’altra per ciascuna portasimultaneamente e in modo istantaneo.
i1 0i2 = 0
v1 = 0
v2 0
i1 = 0i2 0
v1 0
v2 = 0
Le commutazioni di interruttori ideali o deviatori introducono nuove connessioni tra icomponenti o eliminano connessioni esistenti, per cui modificano la topologia dl circuito
51
Circuiti con interruttori e/o deviatori (a topologia variabile)
R3
Si consideri a titolo di esempio il circuito di figura, operante in regime di corrente continua.All’stante t = t0 l’interruttore S chiude. Ci proponiamo di derminate la soluzione del circuitoper t t0 . A tal fine è necessario distinguere tra l’istante t = t0
immediatamente precedentela chiusura, e l’istante t = t0
+ immediatamente successivo.
All’istante t = t0 le tensioni ai capi dei
condensatori valgono
)()(
0)(
002
01
tvtv
tv
gC
C
C1
+
vg
vC1iC1
C2
vC2iC2
S
R4
R5i3i4 i5
Si assume che vg sia continua in t0, per cui vg(t0) = vg(t0
+) = vg(t0). Nell’analizzare ilcomportamento del circuito è importante distinguere il caso con R4 0 dal caso con R4 = 0
52
All’istante t = t0 le correnti del circuito sono
tutte nulle
A. Morandi, Università di Bologna Elettrotecnica T-A, A.A. 2016/2017
Per t t0+ il circuito diventa
R3C1
+
vg
vC1iC1
C2
vC2iC2
R4
R5i3i4 i5
Il circuito è non degenere. In corripondenza della commutazione le variabili di stato nonsubiscono discontinuità.
Caso 1: R4 0. La commutazione dà luogo ad un circuito non degenere
)()()(
0)()(
00202
0101
tvtvtv
tvtv
gCC
CC
53
All’istante t = t0+ il comportamento del circuito è
R3
+
vg
iC1iC2
R4
R5i3i4 i5
+vg
42
41
5
44
3
/
/
0
/
0
Rvi
Rvi
i
Rvi
i
gC
gC
g
Tutte le grandezze del circuito possono essere dedotte. Il circuito ottenuto assumendo lacontinuità delle variabili di stato non viola la LKT. Le correnti i4, iC1 e iC2 sono discontinuein corripsondenza della commutazione.
L’equazione di stato per t t0+ si determina attraverso il metodo consueto e risulta
)()(
0)(
0
002
01
2
5
2
1
2
54
1
4
1
4
1
43
2
1
tvtv
tv
vC
Gv
v
C
GG
C
GC
G
C
GG
v
v
dt
d
gC
C
gC
C
C
C
54
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Si precisa che i componenti di un circuito reale non sono mai esattamente schematizzabiliattraverso componenti ideali (sono sempre presenti resistori che schematizzano le inevitabiliperdite), per cui è escluso che nella realtà si determinino circuiti degeneri. Tuttavia spessoalcuni parametri sono trascurabili e possono dar luogo a maglie o tagli quasi degeneri. Ilcomportamento del circuito può divenire molto prossimo a quello di un circuito degenere. Icircuiti degeneri sono quindi casi limite dei circuiti reali
C = 1 mF
R2 = 1 vg = 10 V
vC (0) = 0 V
vg+
C
iC
R
vC
Ri
generatore reale( generatore ideale + resistenza interna )
0)0(C
i
gC
i
iC
v
R
vv
RR
RRv
dt
dC
tg
iC ev
RR
Rv
1
CRR
RR
i
i
Maglia degenere se l’interruttore èchiuso e Ri tende a zero
55
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10
2
4
6
8
10
time, ms
v C
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06 0.07 0.08 0.09 0.10
2
4
6
8
10x 10
6
time, ms
i C
Al tendere di Ri a zero la tensione del condensatore varia rapidissimamente e la sua correnteassume carattere impulsivo (illimitata). Il circuito tende ad un comportamento degenere.
Ri = 0.1
Ri = 0.01
Ri = 0.001
56
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L’interruttore S del circuto di figura è chiuso se il segnale vG è nullo ed è aperto se ilsegnale vG è > 0. Determinare l’andamento nel tempo che la tensione vC ai capi delcondensatore se il segnale ha l’andamento rappresentato in figura. All’istate t = 0 ilcircuito opera in regime stazionario. Si assuma che l’interruttore sia ideale e che lecommutazioni siano istantanee.
Esercizio 9.8 (invertitore logico)
57
R1 = 10 kR2 = 100 VD = 3 VC = 0.01 pF
CvC
S
vG
t
vG (t)
VD
R1
1 s
R2
Il circuito di figura opera in regime di correte continua. All’istante t = 0 l’interruttoreideale S chiude. Determinare
Esercizio 9.9
58
1. La costante di tempo del circuito per t 0+
2. L’energia complessivamente ceduta dal circuito al condensatorenell’intervallo [0,+[
3. L’andamento nel tempo della tensione v2
R1 = 2 R2 = 1 R3 = 2 R4 = 2 C=2 mFvg = 14 V
R1
R2 R3
R4
+
C
vg
v2
vC
S
A. Morandi, Università di Bologna Elettrotecnica T-A, A.A. 2016/2017
Il circuito di figura opera in regime di corrente continua. All’istate t=0 l’interruttoreideale S apre. Determinare
Esercizio 9.10
59
1. La variazione di energia dell’induttore nell’intervallo [0,+[2. L’andamento nel tempo della corrente i1 per t 03. La potenza erogata dal generatore all’istante t = 0+
ig
R1 = 4 R2 = 1 R3 = 2 R4 = 2 L=3 mHig = 12 A
R2i1
R3
L
iL
R1 R4
S
Il circuito di figura opera in regime di corrente continua. All’istate t=0 l’interruttoreideale S apre. Determinare
Esercizio 9.11
60
1. La variazione di energia dell’induttore nell’intervallo [0,+[2. L’andamento nel tempo della tensione v2 per t 03. La potenza erogata dal generatore all’istante t = 0+
C
vC
igR1
R2
R4 R5
R3
R1 = 1 R2 = 3 R3 = 6 R4 = 3 R5 = 3 C = 3 mFig = 12 A
v2
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61
Induttori mutuamente accoppiati
L1
td
idL
td
idMv
td
idM
td
idLv
22
12
2111
i1
v1
L2
i2
v2
M
Fisicamente due induttori accoppiati sono costituiti da due avvolgimenti in rame fatti di molte spire, di solito avvoltiattorno ad un nucleo di materiale ferromagnetico comune. L’auto-induttanza L1 rappresenta il coefficiente diproporzionalità tra la corrente i1 del primo avvolgimento e il flusso 11 del campo magnetico da questa prodottoconcatenato con l’avvolgimento stesso, i.e. 11=L1i1. Per l’auto-induttanza L2 vale la definizione analoga, cioè 22=L2i2.La mutua induttanza M rappresenta il coefficiente di proporzionalità tra la corrente i1 del primo avvolgimento e il flusso21 del campo magnetico da questa prodotto concatenato con il secondo l’avvolgimento, 21=M i1. Attraversoconsiderazioni fisiche è possibile dimostrare che il medesimo coefficiente di proporzionalità M sussiste tra la corrente i2
del secondo avvolgimento e il flusso 12 del campo magnetico da questa prodotto e concatenato con il primoavvolgimento, i.e. 12 = M i2. Trascurando, come è lecito, le dissipazioni di potenza che si verificano nel conduttore e nelmateriale ferromagnetico, dalla legge di Faraday si ottengono le equazioni costitutive degli induttori accoppiatti, ossia lerelazione tra le correnti e la tensioni dei due avvolgimenti.
L1 , L2 , coefficienti di autoinduzione (o auto-induttanze), [H]M , coefficiente di mutua induzione (o mutua induttanza), [H]
2
1
2
1
2
1
i
i
td
d
LM
ML
v
v
iMvtd
d
62
Il coefficiente di mutua induzione M può essere sia positivo che negativo. Il suo segnodipende dal verso con cui sono realizzati avvolgimenti. Di solito per M si fornisce il valoreassoluto e si specifica con dei puntini il corrispondente verso degli avvolgimenti. Le correntie le tensioni scelte per rappresentare i due induttori accoppiati debbono tenere conto diquesto verso.
0
0
0
2
1
M
L
L
td
idL
td
idMv
td
idM
td
idLv
22
12
2111
td
idL
td
idMv
td
idM
td
idLv
22
12
2111
0
0
0
2
1
M
L
L
td
idL
td
idMv
td
idM
td
idLv
22
12
2111
td
idL
td
idMv
td
idM
td
idLv
22
12
2111
A. Morandi, Università di Bologna Elettrotecnica T-A, A.A. 2016/2017
mWtd
d
td
d
td
divivp
iMiiMivi ttt
2211 2
1
Dato che la matrice M è simmetrica la potenza p assorbita in ogni istante dai due induttoriaccoppiati è un differenziale esatto esprimibile come
22221
211
t
2
1
2
1
2
1iLiiMiLWm iMi
La quantità Wm rappresenta l’energia immagazzinata dai due induttori (mediante il campomagnetico complessivo da essi prodotto) e prende il nome di energia magnetica. Essa è unafunzione di stato perché dipende esclusivamente dalle correnti che circolano negli induttori.Le correnti i1 e i2 assumono quindi il ruolo di variabili di stato.
Energia magnetica dell’induttore
L’energia magnetica di due induttori accoppiati è una quantità positiva o al più nulla, ossia
Cio impone che la matrice M sia semidefinita positiva , valgono cioè le seguenti relazioni
21 ,0 iiWm
0
0
0
221
2
1
MLL
L
L Si noti che il maggiore stretto (anzichè ) nelle prime due condizionideriva dal fatto che se i1 0 e i2 = 0 l’energia magnetica coincide conquella del primo avvolgimento, che è strettamente positiva, per cuideve essere L1 > 0. Analogamente per L2. 63
Nessuna condizione è imposta sul coefficiente M, che può essere sia positivo che negativo.Si definisce coefficiente di accoppiamento tra i due induttori il rapporto
21LL
M
Se = 0 i due induttori sono disaccoppiati. L’energia magnetica complessiva coincide conla somma delle energia magnetiche dei singoli avvolgimenti.
64
A. Morandi, Università di Bologna Elettrotecnica T-A, A.A. 2016/2017
Un circuito contenente due induttori accoppiati è, in generale, del secondo ordine. Perdeterminare l’equazione di stato si procede nel modo consueto
td
idL
td
idMv
td
idM
td
idLv
22
12
2111
Relazioni di definizione deicomponenti dinamici
L1
v1
L2
v2
Mi1
+
v1
i1
v2i2
v1eq
eq
eq
virirv
virirv
22221212
11121111
+ v2eq
Rappresentazione in corrente del doppiobipolo adinamico complementare
iMvtd
d
eqviRv
65
eqtd
dviRiM
eq
eq
L v
v
i
i
rr
rr
i
i
dt
d
LM
ML
2
1
2
1
2221
1211
2
1
2
1
Equazione di stato in forma non canonica
Il doppio bipolo adinamico complementare può essere costituito o da un doppio bipolo(proprio o improprio) oppure da due bipoli distinti, nel qual caso i termini r12 e r21
risultano nulli. Sostituendo le sue equazioni di definizione nelle relazioni di definizionedegli induttori accoppiati si ottiene l’equazione di stato in forma non canonica
202
101
2
11
2
1
2
1
2221
1211
1
2
1
2
1
)0(
)0(
ii
ii
v
v
LM
ML
i
i
rr
rr
LM
ML
i
i
dt
d
eq
eq
L
Se i due induttori non sono perfettamente accoppiati (L1 L1 M 2 0 ) la matrice deicoefficienti di auto e mutua induzione è invertibile e l’equazione di stato può essere postain forma canonica
eqtd
dvMiRMi 11
66
A. Morandi, Università di Bologna Elettrotecnica T-A, A.A. 2016/2017
Se i due induttori sono invece perfettamente accoppiati (L1 L2 M 2 = 0 ) sottraendo allaprima riga dell’equazione in forma non canonica la seconda moltiplicata per la radice delrapporto L1 / L2 si ottiene il seguente vincolo algebrico tra i1 e i2
2122
122
2
121
2
121111 )()( ir
L
Lr
L
Lvi
L
Lrrv eqeq
67
Il circuito è degenere. Le correnti dei due induttori non sono indipendenti e non possonoassumere, entrambe, il ruolo di variabile di stato. Il circuito è in realtà del primo ordine.Una delle correnti è deducibile dall’altra.
In particolare se il doppio bipolo adinamico complementare è costituito da due bipolidistinti i termini r12 e r21 sono nulli. Dalla precedente si ottiene
22
122
2
121111 i
L
Lr
L
Lvirv eqeq
68
L1
i1
v1
L2
i2
v2
Mi1
v1v2
i2
Ld
Lm k
Si vuole ora valutare sotto quale condizione sussiste l’equivalenza tra i due seguenti circuiti,entrambi caratterizzati da tre parametri
td
idL
td
idMv
td
idM
td
idLv
22
12
2111
)(
)(
212
21
11
k
ii
td
d
k
Lv
k
ii
td
dL
td
idLv
m
md
22
1
kLL
kLM
LLL
m
m
md
2
22
22
1
LMk
LML
LMLL
m
d
21
12
21 1
LLk
LL
LL
m
d
A. Morandi, Università di Bologna Elettrotecnica T-A, A.A. 2016/2017
69
i1
v1v2
i2
Ld
Lm k
Due induttori mutuamente accoppiati possono essere quindi rappresentati attraverso dueinduttori non accoppiati ed un trasformatore ideale.
21
1
1 1
LLk
LL
LL
m
d
Il doppio bipolo ottenuto schematizza un trasformatore reale, comprensivo di induttanzadi dispersione La e di induttanza di magnetizzazione Lb.
Nel caso di accoppiamento perfettol’induttanza di dispersione si annulla ed ilcircuito è rappresentabile mediante ununico induttore (circuito del primo ordine)
i1
v1v2
i2
Lm k
2
1
L
Lk
70
Se inoltre l’induttanza L1 (e conseguentemente anche l’induttanza L2) tende a infinito ilcircuito diventa
I due induttori accoppiati di elevato valore (infinito) e con accoppiamento perfetto sicomportano come un trasformatore ideale. Il loro comportamento è totalmenteadinamico. L’energia immagazzinata è identicamente nulla.
i1
v1v2
i2
k
2
1
L
Lk
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Esercizio 9.10
71
Determinare le costanti di tempo del circuito e l’andamento nel tempo delle correnti iL1 e iL2
Ra = 2 Rb = 4
Rc = 1 Rd = 5 A
vg = 5 V
L1 = 2 mH
L2 = 1 mH
M = 1 mH
iL1(0) = 2A
iL2(0) = 3A
L1
iL1 iL2
L2
+Rd
Rb
Rc
vg
M
Il circuito coincide con quello dell’esercizio 9.5 salvo che in questo caso i due induttori sono accoppiati
Ra
Cenni allo studio dei Circuiti degeneri
Si consideri a titolo di esempio il circuito di figura, apparentemente del secondo ordine.Il circuito è degenere in quanto contiene una maglia di soli condensatori. Le presuntevariabili di stato sono le tensioni vC1 e vC2 ai capi dei condensatori.
R
C1 C2
+
vg
iC2
i3
Per determinare l’equazione di stato secondo il metodo sviluppato finora dovremmodeterminare la rappresentazione del doppio bipolo adinamico complementare nelletensioni vC2 e vC2. Tale rappresentazione non esiste in quanto il circuito adinamicoche si ottiene imponendo vC2 e vC2 attraverso due generatori di tensione è patologico
vC2vC1
iC1
Per determinare l’equazione di stato è necessarioadoperare la rappresentazione implicita del doppiobipolo adinamico complementare
222
111
33
31
21
321
0
0
0
CC
CC
g
C
CC
CC
vdt
dCi
vdt
dCi
vRiv
vv
vv
iii
sistemarisolvente
72
A. Morandi, Università di Bologna Elettrotecnica T-A, A.A. 2016/2017
La rappresentazione implicita del doppio bipolo adinamico può essere ottenutaconsiderando tutte le equazioni del sistema risolvente meno quelle che definisconocomponenti dinamici ed eliminando da queste tutte le variabili (correnti, tensioni)che non riguardano i componenti dinamici
g
C
CC
CC
vRiv
vv
vv
iii
33
31
21
321
0
0
0 213 CC iii
gCC
C
CC
viRiRv
vv
vv
213
31
21
0
0
213 CCg iRiRvv
gCCC
CC
viRiRv
vv
211
21 0
Si ottiene quindi la seguente rappresentazione implicita del doppio bipolocomplementare
gC
C
C
C
vv
v
i
i
RR
0
01
1100
2
1
2
1
Dalla rappresentazione implicita si vede che, in accordo con quanto atteso, la matriceche premoltiplica le correnti è singolare e non è possibile esprimere queste in funzionedelle tensioni
73
Si sostituiscono ora le relazioni di definizione dei componenti dimanici all’internodella rappresentazione implicita e si ottiene
La prima delle equazioni ottenute è non differenziale ma riflette il vincolo algebricotra le variabili di stato dovuto al fatto che il circuito è degenere (LKT applicata allamaglia dei condensatori).
gC
C
C
C
vv
v
v
v
dt
d
CRCR
0
01
1100
2
1
2
1
21
12 CC vv
gCC vCCR
vCCR
vdt
d
)(
1
)(
1
211
211
Utilizzando il vincolo algebrico possiamo esprimere una delle presunte varibili distato in funzione dell’altra
Infine sostituendo la precedente all’interno della seconda si ottiene la seguenteequazione di stato in forma canonica
L’equazione ottenuta concide quella ottenibile considerando i due condensatori inparallelo come un unico condensatore equivalente di capacità Ceq=C1+C2 74
A. Morandi, Università di Bologna Elettrotecnica T-A, A.A. 2016/2017
L’equazione di stato ottenuta coinvolge una sola delle tensioni dei condensatori. Ilcircuito è del primo ordine. Si noti che, nel caso analizzato, la variabile di stato non èdiscontinua anche nel caso in cui la tensione vg impressa dal generatore lo sia.
Essendo il circuito dinamico in esame degenere il circuito adinamico che si ottieneimponendo vC1 e vC2 attraverso due generatori di tensione è patologico. Per ottenerel’equazione di uscita è necessario imporre la tensione di un solo condensatore, quellola cui tensione è la variabile di stato. Per l’altro condensatore è necessario imporre lavariabile coniugata, ossia la corrente
R+
vg
i3vC1
iC1+
1211
12
13
13
)(
)(
CgCC
CC
gC
C
vdt
dCRvvi
vv
Rvvi
vv
Equazione di uscita
Si noti che nell’equazione di uscita del circuito compare, oltre alla variabile di statoanche la sua derivata
122 CC vdt
dCi
75
Si consideri ora il circuito rappresenatato in figura. Il circuito è degenere in quantocontiene una maglia costuituta da due condensatori e un geratore di tensione. Lepresunte variabili di stato sono le tensioni vC1 e vC2 ai capi dei condensatori. Si noti chea differenza del circuito precedentemente analizzato in questo caso il vincolo algebricoche lega le tensioni dei condensatori è non omogeneo.
R
C1 C2
+
vg
iC2
i4
vC2
vC1
iC1
222
111
444
3
341
321
431
31
0
0
0
0
0
CC
CC
g
C
CC
C
C
vdt
dCi
vdt
dCi
iRv
vv
vvv
vvv
iii
ii
sistemarisolvente
i3
+ vg
76
A. Morandi, Università di Bologna Elettrotecnica T-A, A.A. 2016/2017
Analogamente al caso precedente per determinare l’equazione di stato introduciamo larappresentazione implicita del doppio bipolo adinamico complementare. A questo fineconsideriamo tutte le equazioni del sistema risolvente meno quelle che definisconocomponenti dinamici ed eliminiamo da queste le variabili (correnti, tensioni) che nonriguardano i componenti dinamci
0
0
0
0
0
44
3
341
321
431
31
iRv
vv
vvv
vvv
iii
ii
g
C
CC
C
C 13 Cii
Si ottiene quindi la seguente rappresentazione implicita del doppio bipolo adinamico
g
g
C
C
C
C
v
v
v
v
i
i
RR 2
1
2
1
01
1100
Anche in questo caso, come atteso, la matrice che premoltiplica le correnti èsingolare e non è possibile esprimere queste in funzione delle tensioni
0
0
0
0
44
3
341
321
412
iRv
vv
vvv
vvv
iii
g
C
CC
CC 224 CC iii
0
0
0
214
3
341
321
CC
g
C
CC
iRiRv
vv
vvv
vvv
0214
3
CC
g
iRiRv
vv
gCCC
gCC
viRiRv
vvv
211
21
77
Sostituendo le relazioni di definizione dei componenti dinamici all’interno dellarappresentazione implicita si ottiene
La prima delle equazioni ottenute è non differenziale e riflette il vincolo algebrico trale variabili di stato dovuto al fatto che il circuito è degenere (LKT applicata alla magliacostituta dai condensatori e dal generatore di tensione). In questo caso però ilvincolo è non omogeneo.
g
g
C
C
C
C
v
v
v
v
v
v
dt
d
CRCR 2
1
2
1
21 01
1100
gCC vvv 12
Infine sostituendo la precedente all’interno della seconda si ottiene la seguenteequazione di stato in forma canonica
ggCC vdt
d
CC
Cv
CCRv
CCRv
dt
d
21
1
211
211 )(
1
)(
1
Come nel caso precedente l’equazione di stato coinvolge una sola delle tensioni deicondensatori. Il circuito è del primo ordine.
78
A. Morandi, Università di Bologna Elettrotecnica T-A, A.A. 2016/2017
Per ottenere l’equazione di uscita è necessario imporre la tensione di un solocondensatore, quello la cui tensione è la variaile. Per l’altro condensatore ènecessario imporre la variabile coniugata, ossia la corrente
vC1+
gCgCC
CC
gCgC
g
gC
gC
vdt
dCv
dt
dCRvvi
vv
vdt
dCv
dt
dCRvvi
vv
Rvvi
vvv
21211
12
21213
3
14
14
)(
)(
)(
Equazione di uscita
Nell’equazione di uscita del circuito compaiono, oltre alla vC1 e la vg, anche le loroderivate.
Ri4
iC1
i3
+
gCC vdt
dCv
dt
dCi 2122
In questo caso tra le forzanti oltre alla tensione del generatore compare anche laderivata. Se la tensione impressa dal generatore è discontinua anche la variabile distato deve essere discontinua per compensare l’impulso che sorge al secondomembro dell’equazione. Nei condensatori ha luogo quindi un impulso di corrente.
79
Nel caso in esame se la tensione impressa dal generatore è discontinua nasce unimpulso di corrente necessario per far variare istantaneamente la tensione vC1 ai capidel condensatore e, quindi, l’energia accumulata al suo interno. Tale correnteimpulsiva si richiude attraverso la maglia degenere, ed in particolare interessa ilgeneratore di tensione che, nell’istante della discontinuità, fornisce una potenzainfinita in grado di far variare istantaneamente l’energia dei condensatori
Si noti che la corrente impulsiva deve necessariamente richiudersi attraverso lamaglia degenere. Se così non fosse infatti essa attraverserebbe delle resistenze edarebbe luogo ad una tensione infinita, violando così il principio di nonamplificazione delle tensioni.
Nei circuiti degeneri non è quindi assicurata la continuità analitica delle variabili distato.
80
A. Morandi, Università di Bologna Elettrotecnica T-A, A.A. 2016/2017
Per t t0+ il circuito diventa
R3C1
+
vg
vC1iC1
C2
vC2iC2
R5i3i4 i5
Il circuito è degenere. In corripondenza della commutazione le tensioni sui condensatorisono discontinue. Infatti se si conservassero risulterebbe violata la LKT
Caso 2: R4 = 0. La commutazione dà luogo ad un circuito degenere
R3
+
vg
iC1iC2
R5i3i4 i5
+vg
Circuitoimpossibile(se vg 0)
)()()(
0)()(
se
00202
0101
tvtvtv
tvtv
gCC
CC
81
A seguito della commutazione le tensioni dei condensatori sono soggette al vincolo (LKT)
0)()( 0201 tvtv CC
Per soddisfare tale vincolo esse variano istantaneamente. Nei condensatori ha luogo quindiun impulso di corrente
)())()(()())()(()(
)())()(()(
0020120020222
0010111
tttvtvCtttvtvCti
tttvtvCti
CCCCC
CCC
Tali impulsi debbono necessariamente richiudersi attaverso la maglia degenere. Se così nonfosse infatti essi attraverserebbero delle resistenze e darebbero luogo a tensioni infinite,violando così il pincipio di non amplificazione delle tensioni (gli unici componenti in grado dierogare potenza sono i condensatori o i generatori indipendenti le cui tensioni sonocomunque limitate). Dalla LKC risulta allora
)()( 0201 titi CC
R3
+
vg
R5
iC1 iC2
LKC
82
21
0220110201
)()()()(
CC
tvCtvCtvtv CC
CC
A. Morandi, Università di Bologna Elettrotecnica T-A, A.A. 2016/2017
Lo studio degli impulsi di corrente consente quindi di determinare la tensione comunevC(t0
+) che si stabilisce su entrambi i condensatori a seguito della commutazione (t = t0+ )
Si noti che con tale valore di tensione in corrispondenza della commutazione non risultaconservata l’energia immagazzinata dai condensatori. La differenza è assorbitadall’interruttore durante la commutazione.
La tensione vC(t0+) costituisce la condizione iniziale necessaria per lo studio del circuito
per t t0+
L’equazione di stato per t t0+ si determina attraverso il metodo esposto per i circuiti
degeneri e risulta
21
02201101
21
51
21
531
)()()(
)(
CC
tvCtvCtv
vCC
Gv
CC
GGv
dt
d
CCC
gCC
83
Il circuito di figura opera in regime di corrente continua. All’istate t = 0 il deviatoreideale S commuta. Determinare il valore all’istante t 0+ delle correnti iL1 e iL2 degliinduttori nel caso R3 = 2 e nel caso R3
Esercizio 9.11
84
igR1 = 4 R2 = 1 L1=2 mHL2=8 mHig = 12 A
R1
L1
S
R2
L2R3
iL1
iL2
A. Morandi, Università di Bologna Elettrotecnica T-A, A.A. 2016/2017
Il circuito di figura opera in regime di corrente continua. All’istate t = 0 l’interruttoreideale S commuta. Determinare il valore all’istante t = 0+ delle tensioni vC1 e vC2 ai capidei condensatori nel caso R4 = 2 e nel caso R4 = 0
Esercizio 9.12
85
R1 = 2 R2 = 1 R3 = 2 C1=1 FC2=5 Fvg = 12 V
R2C1
+
vC1
C2
vC2
R1
SR4
R3
vg
Condensatori in paralello
i1
v1
C1
vdt
dCCv
dt
dCv
dt
dCiii 21221121
LKT: v1=v2=v
LKC: i=i1+i2
21 CCCeq
i2
v2
C2
v1(0) = v2(0) = v0
i
v
Ceq
La condizione iniziale è vincolata dalla LKTi
v (0) = v0
vdt
dCi eq
21
21 2
1
2
1vCvCW
211
2 )(2
1
2
1vCCvCW eq
La riduzione di due condensatori in paralleload un unico condensatore equivalenterispetta la conservazione dell’energia.
86
A. Morandi, Università di Bologna Elettrotecnica T-A, A.A. 2016/2017
Condensatori in serie
iCC
CCi
Ci
Cv
dt
dv
dt
dv
dt
d
21
212
21
121
11
LKT: v = v1 + v2
LKT: i1= i2= i
21
21
CC
CCCeq
v1(0) = v10 ; v2(0) = v20 ;
i
v
Ceq
v (0) = v10 + v20
vdt
dCi eq
222
211 2
1
2
1vCvCW
221
21
212 )(2
1
2
1vv
CC
CCvCW eq
La riduzione di due condesnatori in serie ad ununico condensatore equivalente non rispetta laconservazione dell’energia. Ciò dà luogo adalcune incongruenze quando tale equivalenza èutilizzata ai fini della soluzione dei circuiti.
i1
v1
C1i2
v2
C2
v
87
88
v1
C1v2
C2
R
v1(0) = v10i
Si consideri il circuito di figura contenente due condensatori in serie. Sonoassegnate le tensioni v10 e v20 di entrambi i condensatori all’istante iniziale
L’energia complessivamente posseduta daicondensatori all’istante iniziale è
Sostituendo i due condensatori con un unico condensatore equivalente (ossiatrattando il circuito come se fosse del primo ordine ) otteniamo
R
i
v (0) = v10 + v20
v
21
21
CC
CCC
v2(0) = v20
2010)0( vvv
CR
vv
dt
dt
evvtv
)()( 2010
A regime la tensione del condensatore equivalente ènulla. L’energia complessivamente ceduta al resistore è
Tale energia è diversa da quella complessivamente posseduta dai condensatori all’istanteiniziale
22010
21
2122 )(2
1)(
2
1)0(
2
1vv
CC
CCvCvCW
2202
2101 2
1
2
1vCvCW
A. Morandi, Università di Bologna Elettrotecnica T-A, A.A. 2016/2017
89
Per superare questo apparente paradosso risolviamo il circuito senza introdurrel’equivalenza
L’equazione caratteristica associataall’equazione di stato è
2
1
2
1
/1/1
/1/1
v
v
RR
RR
i
i
202
101
2
1
22
11
2
1
)0(
)0(
/1/1
/1/1
vv
vv
v
v
CRCR
CRCR
v
v
dt
d
1
00
1
2
1
21
21
2
CC
CCR
L’equazione di stato possiede un autovalore nullo, al quale corrisponde un modostazionario. La soluzione è
202
101
212
01
2
1
)0(
)0(
1
1
1
vv
vv
eCC
kekv
v tt
doppio bipolo compl.equazione di stato
t
t
evvCC
Cv
CC
Cv
CC
Ctv
evvCC
Cv
CC
Cv
CC
Ctv
)()(
)()(
201021
120
21
210
21
12
201021
220
21
210
21
11
(si noti che dato che i condensatori sono in serie la matrice G del doppio bipolo complementarepossiede sempre due righe identiche, che danno luogo all’autovalore nullo)
90
A regime le tensioni dei due condensatori sono uguali eopposte. La tensione complessiva ai capi della serie è nulla.
2021
210
21
12
2021
210
21
11
)(
)(
vCC
Cv
CC
Cv
vCC
Cv
CC
Cv
Oltre al termine esponenziale decrescente le due tensioni posseggono anche un terminecostante
L’energia complessivamente ceduta al resistore coincide con la somma delle variazione dienergia dei due condensatori dall’istante t = 0 all’istante t = e risulta
Sostituendo le espressioni di v1() e v2() dopo alcuni passaggi si ottiene
Le singole tensioni non sono però nulle (in generale) pertanto non è nulla l’energiaposseduta dai condensatori. A regime i due condensatori non sono completamente scarichi.
22
2202
21
210121 )(
2
1)(
2
1 vvCvvCWW
22010
21
2121 )(
2
1vv
CC
CCWW
L’energia ceduta al resistore concide dunque con quella calcolata adoperando un unicocondensatore equivalente
A. Morandi, Università di Bologna Elettrotecnica T-A, A.A. 2016/2017
91
In definitiva se si adopera la capacità equivalente in luogo delle due capacità distinte si trattaun circuito del secondo ordine come se fosse del primo ordine. Ciò occulta il modostazionario (sempre presente nel caso di condensatori in serie, qualuque sia il bipolo cuiquesti sono collegati) e dà luogo ad una apparente violazione del principio di conservazionedell’energia.
Ciononostante tutte le quantità relative alla rimanente parte del circuito sono correttamentecalcolate anche adoperando il condensatore equivalente
Per quanto riguarda un circuito con due condensatori in parallelo notiamo che in realtà esso èdegenere per cui è del primo ordine. Nessuna violazione accade quindi quando si adopera ununico condensatore equivalente in luogo di due condensatori in parallelo.
t
evvtv
)()( 2010
22010
21
21 )(2
1vv
CC
CCW
t
evvtvtv
)()()( 201021
22010
21
2121 )(
2
1vv
CC
CCWW
Induttori in serieLKT: v = v1 + v2
LKT: i1= i2= i
i
v
Leq
i1
v1
L1i2
v2
L2
v
92
i1(0) = i2(0) = i0
idt
dLLi
dt
dLi
dt
dLvvv 21221121
21 LLLeq
i (0) = i0
idt
dLv eq
21
21 2
1
2
1iLiLW
211
2 )(2
1
2
1iLLiLW eq
La riduzione di due induttori in serie ad ununico induttore equivalente rispetta laconservazione dell’energia.
La condizione iniziale è vincolata dalla LKC
A. Morandi, Università di Bologna Elettrotecnica T-A, A.A. 2016/2017
i1
i2
Induttori in parallelo
vLL
LLv
Lv
Li
dt
di
dt
di
dt
d
21
212
21
121
11
21
21
LL
LLLeq
i1(0) = i10 ; i2(0) = i20 ;
i (0) = i10 + i20
idt
dLv eq
222
211 2
1
2
1iLiLW
221
21
212 )(2
1
2
1ii
LL
LLiLW eq
La riduzione di due induttori in parallelo adun unico induttore equivalente non rispetta laconservazione dell’energia. Ciò dà luogo adalcune incongruenze quando tale equivalenzaè utilizzata ai fini della soluzione dei circuiti.
93
v1
L1
v2
L2
i
LKT: v1=v2=v
LKC: i=i1+i2
i
v
Leq
94
L1R i1(0) = i10
i
Si consideri il circuito di figura contenente due induttori in parallelo. Sono assegnatele correnti i10 e i20 di entrambi gli induttori all’istante iniziale
L’energia complessivamente posseduta dagliinduttori all’istante iniziale è
Sostituendo i due induttori con un unico induttore equivalente (ossia trattando ilcircuito come se fosse del primo ordine ) otteniamo
R
i
i (0) = i10 + i20
21
21
LL
LLL
i2(0) = i20
2010)0( iii
iL
Ri
dt
dt
eiiti
)()( 2010
A regime la corrente dell’ induttore equivalente è nulla.L’energia complessivamente ceduta al resistore è
Tale energia è diversa da quella complessivamente posseduta dagli induttori all’istanteiniziale
22010
21
2122 )(2
1)(
2
1)0(
2
1ii
LL
LLiLiLW
2202
2101 2
1
2
1iLiLW L2
i1 i2
A. Morandi, Università di Bologna Elettrotecnica T-A, A.A. 2016/2017
95
Per superare questo apparente paradosso risolviamo il circuito senza introdurrel’equivalenza
L’equazione caratteristica associataall’equazione di stato è
2
1
2
1
i
i
RR
RR
v
v
202
101
2
1
22
11
2
1
)0(
)0(
//
//
ii
ii
i
i
LRLR
LRLR
i
i
dt
d
1
00
2
1
21
21
2
LL
LLR
L’equazione di stato possiede un autovalore nullo, al quale corrisponde un modostazionario. La soluzione è
202
101
212
01
2
1
)0(
)0(
1
1
1
ii
ii
eLL
keki
i tt
doppio bipolo compl. equazione di stato
t
t
eiiLL
Li
LL
Li
LL
Lti
eiiLL
Li
LL
Li
CL
Lti
)()(
)()(
201021
120
21
210
21
12
201021
220
21
210
21
11
(si noti che dato che i due induttori sono in parallelo la matrice R del doppio bipolo complementarepossiede sempre due righe identiche, che danno luogo all’autovalore nullo)
96
A regime le correnti dei due induttori sono uguali e opposte.La corrente complessiva del parallelo è nulla.
2021
210
21
12
2021
210
21
11
)(
)(
iLL
Li
LL
Li
iLL
Li
LL
Li
Oltre al termine esponenziale decrescente le due correnti posseggono anche un terminecostante
L’energia complessivamente ceduta al resistore coincide con la somma delle variazione dienergia dei due induttori dall’istante t = 0 all’istante t = e risulta
Sostituendo le espressioni di i1() e i2() dopo alcuni passaggi si ottiene
Le singole correnti non sono però nulle (in generale) pertanto non è nulla l’energiaposseduta dagli induttori. A regime i due induttori non sono completamente scarichi.
22
2202
21
210121 )(
2
1)(
2
1 iiLiiLWW
22010
21
2121 )(
2
1ii
LL
LLWW
L’energia ceduta al resistore coincide dunque con quella calcolata doperando un unicoinduttore equivalente
A. Morandi, Università di Bologna Elettrotecnica T-A, A.A. 2016/2017
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In definitiva se si si adopera l’induttore equivalente in luogo degli induttori distinti si trattaun circuito del secondo ordine come se fosse del primo ordine. Ciò occulta il modostazionario (sempre presente nel caso di induttori in parallelo, qualunque sia il bipolo a cuiquesti sono collegati) e dà luogo ad una violazione del principio di conservazionedell’energia.
Cionostante tutte le quantità relative alla rimanente parte del circuito sono correttamentecalcolate anche adoperando l’induttore equivalente
t
eiiti
)()( 2010
22010
21
21 )(2
1ii
LL
LLW
t
eiititi
)()()( 201021
22010
21
2121 )(
2
1ii
LL
LLWW
Per quanto riguarda un circuito con due induttori in serie notiamo che in realtà esso èdegenere per cui è del primo ordine. Nessuna violazione accade quindi quando si adopera ununico induttore equivalente in luogo di due induttori in serie .
![Principi di ingegneria elettrica - terremotus.altervista.orgterremotus.altervista.org/elettronica/LEZIO_11[parte2].pdf · Soluzione di circuiti RC ed RL del primo ordine Metodo sistematico](https://static.fdocumenti.com/doc/165x107/5bc4e3b209d3f2d9748be4ec/principi-di-ingegneria-elettrica-parte2pdf-soluzione-di-circuiti-rc-ed-rl.jpg)
