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07 Circuiti del I ordine - · RL o RC. Teoria dei Circuiti Prof. Luca Perregrini Circuiti del...
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Teoria dei Circuiti Prof. Luca Perregrini Circuiti del primo ordine, pag. 1
Circuiti del primo ordine
Un circuito del primo ordine è caratterizzato da un’equazione differenziale del primo ordine
I circuiti del primo ordine sono di due tipi: RL o RC
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Circuiti del primo ordine
L’eccitazione può essere di due tipi
• autonoma: il circuito non comprende generatori indipendenti ed evolve nel tempo grazie all’energia immagazzinata nel condensatore (RC) o nell’induttore (RL)
• forzata: il circuito comprende generatori indipendenti che ne determinano il comportamento nel tempo
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Circuito RC autonomo
v+
–
C
iC
R
iR
Ipotesi:
v(t) = ? (per t > 0)
202
1)0( VCw ⋅=
0)0( Vv =
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Circuito RC autonomo
v+
–C
iC
R
iR
0=+⋅R
v
dt
dvC
0=+RC
v
dt
dv RCtAtv /e)( −=
RCtVtv /0e)( −=
0)0( Vv =
0=+ RC ii
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Circuito RC autonomo: risposta naturale
v
t
τ/0e)( tVtv −=
La risposta naturale rappresenta il comporta-mento intrinseco di un circuito, senza l’intervento
di sorgenti esterne di eccitazione
RC=τcostante di tempo τ0
V0
3e 01
0
VV - ≈
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Circuito RC autonomo: costante di tempo
t
τ/0e)( tVtv −= RC=τ
costante di tempo
τ = 1
0
1
τ/
0
e t
V
v −=
1 2 3 4
τ = 0.5
τ = 2
t e–t/τ
τ 0.36788
2τ 0.13534
3τ 0.04979
4τ 0.01832
5τ 0.00674
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Circuito RC autonomo: potenza ed energia
τ/0e)( tVtv −=
v+
–C
iC
R
iR
τ/0 e)(
)( tR R
V
R
tvti −==
τ/22
0 e)( tR R
Vivtp −=⋅=
Potenza dissipata nel resistore:
)e1(21
e)( /2200
/22
0
0
ττ tt tt
R -VCdtR
Vdtptw −− ⋅=⋅=⋅= ∫∫
Energia assorbita dal resistore fino all’istante t:
)0(2
1)( 2
0 wVCwR =⋅=∞Dopo un tempo sufficientemente lungo (t >> τ) il resistore ha assorbito tutta l’energia immagazzi-nata nel condensatore all’istante iniziale (t = 0)
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Circuito RC autonomo: riassunto
τ/0e)( tVtv −=
Il calcolo della risposta naturale di un circuito RCautonomo richiede:
• la conoscenza o il calcolo della tensione sul condensatore all’istante iniziale (V0)
• il calcolo della resistenza equivalente R posta in parallelo al condensatore per la determinazione della costante di tempo τ = RC
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Circuito RL autonomo
Ipotesi:
i(t) = ? (per t > 0)
202
1)0( ILw ⋅=
0)0( Ii =+
–L vL RvR
i
+
–
i
+
–L vL RvR
+
–
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Circuito RL autonomo
0=⋅+⋅ iRdt
diL
0=+ iL
R
dt
di LRtAti /e)( −=
LRtIti /0e)( −=
0)0( Ii =
0=+ RL vv
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Circuito RL autonomo: risposta naturale
i
t
τ/0e)( tIti −=
La risposta naturale rappresenta il comporta-mento intrinseco di un circuito, senza l’intervento
di sorgenti esterne di eccitazione
RL /=τcostante di tempo τ0
I0
3e 01
0
II - ≈
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Circuito RL autonomo: potenza ed energia
τ/0e)( tIti −= τ/
0e)( tR IRiRtv −⋅=⋅=
τ/220 e)( t
R IRivtp −⋅=⋅=
Potenza dissipata nel resistore:
)e1(2
1e)( /22
00
/2200
ττ tt tt
R -ILdtIRdtptw −− ⋅=⋅⋅=⋅= ∫∫
Energia assorbita dal resistore fino all’istante t:
)0(2
1)( 2
0 wILwR =⋅=∞Dopo un tempo sufficientemente lungo (t >> τ) il resistore ha assorbito tutta l’energia immagazzi-nata nell’induttore all’istante iniziale (t = 0)
i
+
–L vL RvR
+
–
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Circuito RL autonomo: riassunto
τ/0e)( tIti −=
Il calcolo della risposta naturale di un circuito RLautonomo richiede:
• la conoscenza o il calcolo della correntesull’induttore all’istante iniziale (I0)
• il calcolo della resistenza equivalente R posta in parallelo all’induttore per la determinazione della costante di tempo τ = L/R
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La “funzione gradino unitario”
La funzione a gradino unitario è una funzione discontinua.
Essa viene utilizzata per rappresentare variazioni molto rapide di tensione o corrente
u
t
><
=01
00)(
t
ttu
0
1
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La “funzione gradino unitario”
u
t0
><
=−0
00 1
0)(
tt
ttttu
t0
1
><
=00
00)(
ttV
tttV )()( 00 ttuVtV −⋅=
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La “funzione gradino unitario”
+–
a
b
)( 00 ttuV −⋅+–
a
b
0V
0tt =
a
b
)( 00 ttuI −⋅
a
b
0I
0tt =
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Risposta al gradino di un circuito RC
v+
–C
R
+–)(tuVS ⋅v
+
–C
R
+–SV
0=t
v(t) = ?
Ipotesi:
0)0( Vv =−
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Risposta al gradino di un circuito RC: t ≤ 0
v+
–C
R
+–)(tuVS ⋅
v non può cambiare istantaneamente:
0)0()0( Vvv == −+
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Risposta al gradino di un circuito RC: t > 0
0=−+⋅R
Vv
dt
dvC S
0=−+RC
Vv
dt
dv S
RCtS AVtv /e)( −=−
v+
–C
R
+–SV
0)( =−+−
RC
Vv
dt
Vvd SS
τ/0 e )()( t
SS VVVtv −−+=
0)0( Vv =+
RC=τ
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Circuito RC: risposta completa
v
t
La risposta completa rappresenta il comportamento di un circuito alla applicazione improvvisa di un
generatore, supponendo il condensatore già carico
RC=τcostante di tempo
τ0
VS
>−+<
= − 0e )(
0)( /
0
0
tVVV
tVtv t
SSτ
V0
=)(tv t > t0
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Circuito RC: risposta completa
v
tt0+τ0
v(t0)
+risposta forzata
o regime
+∞)(v
risposta naturale o transitorio
τ/)(0
0e ])()([ ttvtv −−∞−
t0
v(∞)
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Circuito RC: riassunto
Il calcolo della risposta completa di un circuito RC richiede:
• la conoscenza o il calcolo della tensione sul condensatore all’istante iniziale (v(t0))
• il calcolo della tensione a regime sul condensatore (v(∞))
• il calcolo della resistenza equivalente R posta in parallelo al condensatore per la determinazione della costante di tempo τ = RC
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Risposta completa di circuiti del I ordine
La risposta completa di un circuito del primo ordine è sempre del tipo:
• valori iniziali x(t0–) e x(t0
+); • valore a regime x(∞);• costante di tempo τ = RC oppure τ = L/R
>∞−+∞<
= −−+
−
0/)(
0
00
0e ])()([)(
)()(
ttxtxx
tttxtx
tt τ
dove x rappresenta indifferentemente la tensione o la corrente sul condensatore o sull’induttanza e t0 è l’istante in cui commuta l’interruttore. Si richiede il calcolo di:
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Risposta al gradino di un circuito RL
R
+–)( 0ttuVS −⋅L
R
+–SV
0tt =
i(t) = ?
Ipotesi:
00 )( Iti =−
i
L
i
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Risposta al gradino di un circuito RL
000 )()( Ititi == −+
L
R
+–SV
0tt = i
R
Vi S=∞)(
R
L=τ
• valori iniziali:
• valore a regime:
• costante di tempo:
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Circuito RL: risposta completa
RL /=τcostante di tempo
>
−+
<= −−
0/)(
0
00
0e )(
ttR
VI
R
VttI
ti ttSS τ
i
tt0+τ0
I0
t0
R
VS