LEZIONE 2

LEZIONE DI OGGI E DOMANI• Segnali nel dominio del tempo

• Convenzioni tipografiche

• Segnali analogici e segnali digitali

• Segnali periodici

• Generatore di segnali e Oscilloscopio

• Valor medio e valore efficace

• Leggi per grandezze variabili nel tempo

• Energia interna di un bipolo

• Condesatore

• Induttanza

• Circuiti del primo ordine

SEGNALI NEL DOMINIO DEL TEMPO

Una grandezza elettrica che varia nel tempo secondouna legge determinata costituisce un segnale. I segna-li possono essere di tensione oppure di corrente, a se-conda che la grandezza elettrica che ci interessa sia unatensione o una corrente.

Per esprimere in modo esplicito la dipendenza daltempo, scriviamo:

• v(t) per un segnale di tensione

• i(t) per un segnale di corrente

Talvolta la dipendenza dal tempo viene sottintesa; ilcarattere minuscolo indica comunque che si tratta diuna grandezza variabile nel tempo.

CONVENZIONI TIPOGRAFICHE

tipo di carattere significato esempioMaiuscolo con pe-dice Maiuscolo

Valore in con-tinua (punto dilavoro)

VB, IC

minuscolo con pe-dice Maiuscolo

Valore istanta-neo (funzionedel tempo)

vB(t),iC(t)

minuscolo con pe-dice minuscolo

Segnale (vB(t) −VB(t))

vb(t), ic(t)

VB

vB(t)

vb(t)

t

v

Figura 1: Convenzioni tipografiche riguardanti unsegnale elettrico

SEGNALI ANALOGICI E SEGNALI

DIGITALI

Un segnale è analogico quando il suo contenuto diinformazione varia con continuità, potendo assumereun’infinità di valori possibili (entro un certo intervallo).

Un segnale è digitale quando il suo contenuto di in-formazione varia in modo discreto (cioè a passi), po-tendo assumere soltanto un numero finito di valoripossibili.

Il segnale digitale più semplice è il segnale binario,che può assumerre solo i valori 0 (zero) e 1 (uno), chein genere corrispondono ai valori “bassi” e “alti” di unagrandezza fisica variabile con continuità.

SEGNALI PERIODICI

Un segnale è periodico quando si ripete identicamentedopo un intervallo di tempo T , detto periodo:

x(t+ T ) = x(t) ∀t (1)

L’inverso del periodo è la frequenza f = 1T .

Dimensionalmente, la frequenza è l’inverso di untempo e si misura in hertz (Hz).

Per un moto rotatorio, la frequenza f è legata allavelocità angolare dalla relazione: ω = 2πf . La velocitàangolare si misura in radianti al secondo (rad/s).

Poiché l’angolo giro è pari a 2π rad, risulta: 1 Hz = 1giro/s = 2π rad/s.

1

t

v

T

2VAVA

VA

0

Figura 2: Esempio di segnale periodico: Una si-nusoide analiticamente può essere espressa co-me: v(t) = VAsin(2πft) con f = 1

T Il valore di piccodell’ampiezza è VA; il valore picco-picco, cioè ladifferenza tra il massimo e il minimo, è 2VA.

t

v

T

VA

0

Figura 3: Un esempio di onda quadra è costi-tuito dal segnale di clock di un sistema digitalesincrono.

t

v

T

VA

0 tr tf

Figura 4: Nella realtà l’onda quadra ideale nonesiste; un’approssimazione più adeguata del se-gnale di clock di un sistema digitale sincrono ècostituito dall’onda trapezoidale, avente tempi disalita (tr , “rise time”) e di discesa (tf , “fall time”)diversi da zero.

GENERATORE DI SEGNALI

ED OSCILLOSCOPIO

Figura 5: Fotografia dell’oscilloscopio TDS1012b presente nei nostri laboratorio didattici;manuale d’uso: http://elianto.fisica.unimi.it/oefm/oscilloscopio.pdf

Figura 6: Fotografia del generatore di segnali Agi-lent 3322A presente nei nostri laboratorio didat-tici; manuale d’uso: http://elianto.fisica.unimi.it/oefm/generatore_di_segnali.pdf

VALOR MEDIO E VALORE EFFICACE

Il valor medio Vm di un segnale periodico è:

Vm =1

T

∫ T

0

v(t)dt (2)

Il valore efficace o valore quadratico medio o valoreRoot Mean Square (RMS) di un segnale periodico è:

Vrms =

√1

T

∫ T

0

(v(t))2dt (3)

2LEZIONE 2

LEGGI PER GRANDEZZE VARIABILI

NEL TEMPO

La legge di Ohm per grandezze variabili nel tempo è:

v(t) = Ri(t) (4)

La corrente è legata alla carica elettrica dallarelazione:

i(t) =dq(t)

dt(5)

ENERGIA INTERNA DI UN BIPOLO

Esistono elementi circuitali il cui comportamento nondipende solo dal valore istantaneo delle grandezzeelettriche, ma anche dai valori assunti in precedenza.Questi elementi circuitali hanno memoria cioè man-tengono al loro interno un’informazione legata al lorofunzionamento passato.

L’informazione è fisicamente immagazzinata sottoforma di energia variabile nel tempo w(t). L’energiaassorbita da un bipolo all’istante t è:

w(t) =

∫ t

−∞p(t)dt =

∫ t

0

p(t)dt+ w(0) (6)

L’espressione della potenza assorbita da un bipoloqualsiasi è data dal prodotto della tensione per lacorrente. Esplicitando la dipendenza dal tempo:

p(t) = v(t)i(t) (7)

Quando la potenza varia nel tempo, si parla di po-tenza istantanea. La potenza istantanea p(t) può esserepositiva o negativa:

• è positiva quando aumenta l’energia immagazzi-nata nel bipolo,

• è negativa quando l’energia immagazzinata dimi-nuisce

CONDESATORE

Il condensatore (in inglese: capacitor) è costituito da duesuperfici metalliche parallele separate da un isolante.La carica immagazzinata è proporzionale alla tensioneapplicata: q(t) = Cv(t). La costante C è la capacità delcondensatore, che si misura in farad (F): 1 F = 1 C / 1 V

Il farad è un’unità di misura molto grande; di solitosi usano i suoi sottomultipli: µF, nF, pF e fF.

+

C

v(t)

i(t)-

Figura 7: Condensatore

Figura 8: Disegno tridimensionale di uncondensatore

Dalle due equazioni q(t) = Cv(t) e i(t) = dq(t)dt si

ottiene:

i(t) = Cdv(t)

dt(8)

Nel condensatore la corrente è proporzionale alladerivata della tensione. Se la tensione è costante, laderivata è nulla e non passa corrente

Per il calcolo in tensione/corrente continua (f = 0)il condensatore si comporta come un circuito aperto.A volte succede che per valori alti di frequenza pas-sa un valore talmente alto di corrente che il circuito sicomporta come un circuito chiuso.

Come mostra la Fig. 8 per un condensatore a fac-ce piane e parallele, aventi area S e distanza d, fra lequali è interposto un materiale isolante con costantedielettrica ε, la capacità C è:

C =εS

d(9)

Invertendo l’equazione i(t) = C dv(t)dt si ricava che in un

condensatore la tensione è proporzionale all’integraledella corrente:

v(t) =1

C

∫ t

0

v(t)dt+ v(0) (10)

La tensione v(0) (che matematicamente rappresenta lacostante di integrazione) è la condizione iniziale:

v(0) = v(t = 0) (11)

L’energia immagazzinata in un condensatore è:

w(t) =1

2C(v(t))2 (12)

Si vede facilmente che derivando l’energia si ottiene lapotenza istantanea:

p(t) =dw(t)

dt= Cv(t)

dv(t)

dt(13)

L’energia aumenta (e quindi la potenza viene assorbita)quando il valore assoluto della tensione ai capi del con-densatore aumenta; l’energia diminuisce (e quindi lapotenza viene erogata) quando il valore assoluto dellatensione ai capi del condensatore diminuisce.

Leggi per grandezze variabili nel tempo3

I condensatori vengono spesso usati per applicazio-ni industriali. Ad esempio vengono impiegati al-l’interno degli accelerometri usati per smartphone econsole di gioco come mostra la Figura seguente:

I condensatori possono essere suddivisi in duecategorie:

• ceramici multistrato: Questi condensatori sonocostituiti da una serie di strati alternati di con-duttori e ceramiche. I condensatori ceramici sonoin assoluto quelli più utilizzati, più dell’80% deicondensatori prodotti annualmente sono di que-sto tipo. Possono essere suddivisi in tre classia seconda del tipo di ceramica utilizzata (ad al-ta o bassa costante dielettrica) e delle conseguenticaratteristiche elettriche

• Elettrolitici: ad alta capacità in piccoli volumi, in-dicativamente da 1 µF a 10000 µF con costo ridot-to in rapporto alla capacità. Purtroppo, presenta-no cattive caratteristiche elettriche: in particolarepresentano valori elevati di ESR (resistenza serie)e ESL (induttanza serie) e elevate correnti di per-dita. Alcuni modelli (indicati come Low ESR) so-no migliori da questo punto di vista e sono adat-ti, per esempio, per alimentatori a commutazio-ne. Inoltre, questi condensatori sono polarizza-ti, cioè hanno un + e un - da rispettare, pena ladistruzione del componente.

INDUTTANZA

L’induttore (in inglese: inductor) è costituito da un filoavvolto a spirale (solenoide). All’interno dell’avvolgi-

+L

v(t)

i(t)-

Figura 9: Induttore

mento si ha un flusso magnetico Φ proporzionale allacorrente nel filo: Φ(t) = Li(t).

Il flusso magnetico Φ si misura in Weber (Wb):

1Wb = 1m2Kg

As2(14)

La costante L è l’induttanza dell’induttore, che simisura in henry (H):

1H =1Wb

1A(15)

Una variazione nel tempo del flusso magnetico pro-duce una differenza di potenziale ai capi dell’induttore(legge di Faraday-Henry):

v(t) =dΦ

dt(16)

Combinando le due equazioni: Φ(t) = Li(t) e v(t) =dφ(t)dt si ottiene:

v(t) = Ldi(t)

dt(17)

La tensione è proporzionale alla derivata della cor-rente. Se la corrente è costante, la derivata è nulla e nonc’è tensione ai capi del bipolo, quindi per la continual’induttore si comporta come un cortocircuito.

Invertendo l’equazione v(t) = Ldi(t)dt si ricava che inun induttore la corrente è proporzionale all’integraledella tensione:

i(t) = 1/L

∫ t

0

v(t)dt+ i(0) (18)

L’energia immagazzinata in un induttanza è:

w(t) =1

2L(i(t))2 (19)

Si vede facilmente che derivando l’energia si ottiene lapotenza istantanea:

p(t) =dw(t)

dt= Li(t)

di(t)

dt(20)

L’energia aumenta (e quindi la potenza viene assorbi-ta) quando il valore assoluto della corrente ai capi delinduttanza aumenta; l’energia diminuisce (e quindi lapotenza viene erogata) quando il valore assoluto dellainduttanza ai capi del induttanza diminuisce.

4LEZIONE 2

CIRCUITI DEL PRIMO ORDINE

Un circuito del primo ordine è caratterizzato da un’e-quazione differenziale del primo ordine. I circuiti delprimo ordine sono di due tipi: RL o RC.

+S

R

+

Cv(t)V0

Figura 10: Circuito del primo ordine RC

S è un interruttore ideale: si comporta come un cir-cuito aperto quando è spento, e come un cortocircuitoquando è acceso. L’interruttore S è acceso per t < 0, eviene spento all’istante t = 0. Per calcolare l’andamen-to nel tempo della tensione di uscita v(t) si procede nelseguente modo:

• interruttore acceso per t < 0: dalla KVL alla ma-glia esterna si ricava la tensione di uscita v(t) =V0

+

R

+

Cv(t)V0

La corrente nel resistore è iR = V0

R . La caricaimmagazzinata nel condensatore è qC = CV0.

• interruttore spento per t ≥ 0: il generatoredi tensione viene scollegato; per risolvere il cir-cuito occorre scrivere la KCL al nodo di uscitacontrassegnato con il segno (+).

iR(t) + iC(t) = 0 (21)

dove iR(t) è la corrente nel resistore R e iC(t) è lacorrente nel condensatore C.

+

R

+

Cv(t)V0

Dalla KCL iR(t) + iC(t) = 0, sostituendo iR(t) =v(t)R e iC(t) = C dv(t)

dt , si ricava l’equazionedifferenziale:

v(t)

R+ C

dv(t)

dt= 0 (22)

La tensione ai capi del condensatore deve essereuna funziona continua nel tempo (perché in casocontrario dovremmo avere una corrente infinita,

che è fisicamente impossibile). Quindi abbiamola condizione iniziale v(0+) = v(0−) = V0, e ilproblema di Chauchy:

dv(t)dt = − 1

RC v(t)

v(0) = V0(23)

si risolve facilmente separando le variabili v e t:

dv(t)

v(t)= − dt

RC(24)

e integrando a partire dalla condizione iniziale:

∫ v(t)

V0

dv(t)

v(t)= −

∫ t

0

dt

RC(25)

Poiché∫dvv = lnv, si ottiene:

lnv|v(t)V0= − t

RC

∣∣∣∣t0

(26)

cioè

lnv(t)

V0= − t

RC(27)

Calcolando l’esponenziale di entrambi i membri,si ha la soluzione:

v(t) = V0e−tRC (28)

Nella soluzione del circuito RC, il prodotto RC prendeil nome di costante di tempo e si indica con τ e si misurain secondi: τ = RC. Geometricamente, la costante ditempo è l’intersezione della tangente alla curva v(t) pert = 0 con l’asse dei tempi t.

Circuiti del primo ordine5

ESERCIZI

1. Generare più segnali con il generatore di segna-li connettendo l’uscita del generatore all’ingressodell’oscilloscopio. Usare cavi coassiali. Evitare sepossibile l’utilizzo del connettore coassiale a T.

(a) Un onda quadra provando a variare l’ampiez-za e il periodo,e l’offset;

(b) Un onda sinusoidale provando a variarel’ampiezza e il periodo, e l’offset

(c) Un onda triangolare provando a variarel’ampiezza e il periodo, e l’offset

Per ogni segnale generato, registrarne i valori sulPC.

2. Esercizio divertente: Ripetere l’esperimento pre-cedente connettendo uno speaker e sentendoneil suono emesso. Cosa cambia tra quadra, sinu-soidale, triangolare? Cosa cambia se cambio lafrequenza? Cosa cambia se cambio l’ampiezza ol’offset?

3. Per prendere confidenza con l’oscilloscopio:

(a) Impostare l’accoppiamento dei segnali in in-gresso: impostare sempre l’accoppiamentoDC per segnali generati dal generatore disegnali!

(b) Provare a cambiare la scala dei tempi e dellatensione. Cosa indica ogni quadratino deldisplay?

(c) Trovare l’indicazione di scala.(d) Applicare alcune funzioni matematiche ad i

segnali generati (ad esempio la media)(e) Uso dei cursori: Imparare ad usare i cursori

(misurare il periodo dell’onda sinusoidale el’ampiezza)

(f) Impostare il triggera in manuale. Generareun segnale con valori di tensione che non in-contreranno mai il livello in tensione del trig-ger. Cosa si vede sul display dello strumento?Spostare la manopola del trigger per rientra-re nei valori di tensione del segnare. Cosacambia rispetto prima?

4. Costruire il circuito RC del primo ordine visto alezione. Utilizzare gli interruttori sul lato bassodella breadboard oppure staccare/attaccare ma-nualmente un filo all’alimentazione. Impostare iltrigger manuale con livello di trigger pari a 1

2V0.Inoltre, impostare l’acquisizione singola del segna-le. Registrare l’esponenziale decrescente sul PC.Confrontare le misure con i calcoli teorici.

5. Costruire un circuito RC con R e C in serie edapplicare un’onda quadra (periodo molto maggio-re rispetto a τ). Vedere l’andamento nel tempoe confrontarlo con il calcolo teorico. Il calcolo è

molto simile a quello fatto a lezione – la soluzioneè una esponenziale

V0

R

Cv(t)

6. Svolgere il calcolo teorico per il seguente circuito:

I0 S

L i(t)

R

i(t)

Provare a costruire il circuito, in maniera analogaall’esercizio 4. Per generare corrente applicare unatensione ai capi di un resistenza con un valore di100 Ω.

ahttps://it.wikipedia.org/wiki/Trigger_(elettronica)

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