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Lezione 5 Soluzione dei circuiti dinamici del I ordine Corso di Elettrotecnica – Prof.ssa Lorenza Corti – A.A. 2017/2018 1/40 Lezione n.5 Soluzione dei circuiti dinamici del I ordine 1. Dall’equazione di stato all’equazione differenziale del I ordine 2. Il problema alle condizioni iniziali 3. La soluzione del problema: evoluzione libera e forzata; termine transitorio e di regime 3.1 Il grafico della soluzione omogenea del problema di Cauchy 4. Esercizi: soluzione di circuiti del I ordine con generatori costanti 4.1 RC serie e parallelo 4.2 RL serie e parallelo 4.3 RC con due resistenze 4.4 RL con due resistenze 4.5 RL con due resistenze per -∞< t <+∞ 4.6 RL con due resistenze e un interruttore 4.7 RC con tre resistenze 5. Il principio di sovrapposizione degli effetti 5.1 Esercizio: circuito RC con due generatori costanti 6. L’origine dei transitori 7. Esercizi: RLC serie e parallelo con generatore discontinuo Tag: circuito RC serie e parallelo, circuito RL serie e parallelo, circuito RLC serie e parallelo, soluzione particolare costante, regime stazionario, transitorio, carica e scarica di un condensatore, carica e scarica di un induttore, circuiti con interruttori, costante di tempo, frequenze naturali, grafico di carica e scarica, grafico della soluzione di un circuito, variabili di stato. equazione di stato, equazione differenziale del I ordine, circuito RC e RL, condizioni iniziali, problema alle condizioni iniziali, problema di Cauchy, principio di sovrapposizione degli effetti, soluzione dell’omogenea associata, soluzione particolare, termine transitorio, termine di regime, evoluzione libera, evoluzione forzata, termine forzante, integrale generale, integrale particolare, polinomio caratteristico, costante di tempo, frequenza naturale, circuito a regime, generatori discontinui, grandezze discontinue.

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Lezione 5 – Soluzione dei circuiti dinamici del I ordine

Corso di Elettrotecnica – Prof.ssa Lorenza Corti – A.A. 2017/2018 1/40

Lezione n.5

Soluzione dei circuiti dinamici del I ordine

1. Dall’equazione di stato all’equazione differenziale del I ordine 2. Il problema alle condizioni iniziali 3. La soluzione del problema: evoluzione libera e forzata; termine

transitorio e di regime 3.1 Il grafico della soluzione omogenea del problema di Cauchy

4. Esercizi: soluzione di circuiti del I ordine con generatori costanti 4.1 RC serie e parallelo 4.2 RL serie e parallelo 4.3 RC con due resistenze 4.4 RL con due resistenze 4.5 RL con due resistenze per -∞< t <+∞ 4.6 RL con due resistenze e un interruttore 4.7 RC con tre resistenze

5. Il principio di sovrapposizione degli effetti 5.1 Esercizio: circuito RC con due generatori costanti

6. L’origine dei transitori 7. Esercizi: RLC serie e parallelo con generatore discontinuo

Tag: circuito RC serie e parallelo, circuito RL serie e parallelo, circuito RLC serie e parallelo, soluzione particolare costante, regime stazionario, transitorio, carica e scarica di un condensatore, carica e scarica di un induttore, circuiti con interruttori, costante di tempo, frequenze naturali, grafico di carica e scarica, grafico della soluzione di un circuito, variabili di stato. equazione di stato, equazione differenziale del I ordine, circuito RC e RL, condizioni iniziali, problema alle condizioni iniziali, problema di Cauchy, principio di sovrapposizione degli effetti, soluzione dell’omogenea associata, soluzione particolare, termine transitorio, termine di regime, evoluzione libera, evoluzione forzata, termine forzante, integrale generale, integrale particolare, polinomio caratteristico, costante di tempo, frequenza naturale, circuito a regime, generatori discontinui, grandezze discontinue.

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1. Dall’equazione di stato all’equazione differenziale del I ordine

Le equazioni differenziali sono un particolare tipo di equazione in cui le incognite compaiono anche sotto l’operatore di derivata fino a quelle di un certo ordine n. Il numero della derivata di ordine massimo rappresenta anche l’ordine dell’equazione differenziale. In questo corso risolveremo equazioni del I e del II ordine. Cominciamo dai circuiti del I ordine. Come abbiamo già visto in generale nella Lezione n.4 e in particolare nella Lezione n.5 per un circuito del I ordine abbiamo che

d h gx t x t t ɺ , per t>t0 (1)

che è un’equazione differenziale lineare ordinaria del I ordine a coefficienti costanti. t0 rappresenta l’istante iniziale in cui comincio ad analizzare il comportamento del circuito. tx è la funzione incognita da determinare (corrente o tensione) e txɺ è la sua derivata prima. Il secondo membro della (1) cioè la g(t) dipende dalla presenza di generatori nel circuito. Lo scalare d è uguale ad L o a C a seconda che nel circuito sia presente un induttore o un condensatore, mentre lo scalare h dipende dalle resistenze presenti nel circuito. La (1) la possiamo riscrivere anche nel seguente modo:

1Gx t x t t

ɺ , per t>t0 (2)

Dove = d/h è detta costante di tempo del circuito del I ordine per ragioni che vedremo tra breve e G(t) rappresenta il termine forzante dell’equazione differenziale. In generale le tx soluzioni della (2) sono infinite. L’insieme di tutte queste soluzioni dell’equazione (2) lo chiamiamo integrale generale dell’equazione. Il fatto che l’equazione (2) assume una infinità di soluzioni dipende dal fatto che nella (2) non è contenuta informazione su quale è lo stato del sistema nell’istante iniziale. Fra tutte le soluzioni possibili noi dobbiamo scegliere quella coerente con lo stato in cui si trova il sistema nel momento in cui cominciamo a studiarlo. 2. Il problema alle condizioni iniziali

Per determinare la soluzione appartenente all’insieme delle funzioni dell’integrale generale che sia coerente con la storia passata del sistema dobbiamo conoscere il valore della variabile di stato nell’istante iniziale. Quindi per trovare la soluzione del problema sarà necessario conoscere 0 0Xx t . La condizione iniziale sulla variabile

di stato contiene le informazioni necessarie sulla storia passata del sistema. Per poter

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conoscere in che stato si trova il sistema per ogni istante successivo a t0 è necessario, conoscere lo stato in t0 . Il problema che vogliamo risolvere va sotto il nome di problema alle condizioni

iniziali o problema di Cauchy. Formalmente scriviamo

0 0

1G

X

x t x t t

x t

ɺ per t≥t0 (3)

dove si considera

0t al posto di 0t perché non escludiamo la possibilità che nel

circuito possano esserci generatori di tipo impulsivo che agiscono in 0t e che

producano un eventuale salto di discontinuità nelle variabili di stato (x(t0+)x(t0

-)). Ora dobbiamo determinare la soluzione del problema (3). Si procede in questo modo: si determina prima l’integrale generale dell’equazione (2) e poi imponendo che questa verifichi la condizione iniziale si determina la soluzione del problema particolare (3). Per vedere come determinare l’integrale generale della (2) cominciamo con il considerare l’equazione differenziale omogenea

01

txtxoo

ɺ . (4)

Questa è un’equazione differenziale lineare ordinaria del I ordine omogenea a coefficienti costanti ed è l’equazione (2) senza il termine forzante. La (4) descrive il funzionamento del circuito quando sono stati spenti i generatori. Ricordiamo che un generatore di tensione spento equivale ad un corto circuito mentre un generatore di corrente spento equivale ad un circuito aperto. La soluzione della (4) l’abbiamo indicata con txo mettendo in evidenza, con il pedice, il fatto che con tale equazione

stiamo trovando le soluzioni che si ottengono quando i generatori sono spenti. La soluzione txo la chiamiamo soluzione dell’equazione omogenea associata. L’integrale generale della (2) sarà la somma della integrale generale dell’omogenea

associata (4) e del cosiddetto integrale particolare. L’integrale particolare tiene conto del fatto che nel circuito vi sono i generatori. Poniamo quindi

���

eparticolarintegrale

p

associataomogeneadell'

generale integrale

o

generaleintegrale

txtxtx . (5)

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Chiariamo una cosa: parlare di “integrale generale” vuol dire fare riferimento alla famiglia di soluzioni, parlare di soluzione vuol dire fare riferimento ad una soluzione della famiglia. Per determinare l’integrale particolare txp ci sono metodi diversi a seconda della

forma che ha il termine noto G(t). Nel seguito ci occuperemo del calcolo di questa funzione, per il momento mettiamo l’attenzione sull’integrale generale dell’omogenea associata. La soluzione dell’equazione (4) è data dalla seguente formula 0k tt

o etx , (6)

con k costante arbitraria e con radice del polinomio caratteristico

01

. (7)

La radice del polinomio caratteristico (7) è detta frequenza naturale del circuito e vale, nel nostro caso:

1 h

d

. (8)

La costante k nella (6), rappresenta il parametro che descrive la famiglia di soluzioni. Trovare “la soluzione” vuol dire determinare un particolare valore di k. Sostituendo la (8) nella (6) otteniamo l’integrale generale della (4) che vale:

0

1

0 ktt

etx

per 0tt (9)

Analizzando la (9) notiamo che questa funzione esponenziale ha esponente sempre negativo potendosi dimostrare che il rapporto h d (e ovviamente la costante di tempo

) è sempre positivo. Questo termine tende ad estinguersi con legge esponenziale con una costante di tempo . Questo spiega il motivo della denominazione adottata per =d/h. Sostituendo la (9) nella (5) si ha:

01

kt t

px t e x t

. (10)

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3. La soluzione del problema: evoluzione libera ed evoluzione forzata; termine

transitorio e termine di regime

Per determinare la soluzione del problema dobbiamo determinare la costante k nella (10). Per fare questo dobbiamo imporre le condizioni iniziali. Procediamo con due casi: generatori spenti, generatori accesi.

Il forzamento è nullo (G(t)=0) I generatori sono spenti, cioè G(t)=0. Il problema si presenterà nella forma

0 0

10

X

x t x t

x t

ɺ (11)

L’integrale generale del problema (11) è la funzione (6) o (8). Per determinare k

imponiamo le condizioni iniziali

0

1

0

00

k Xetxtt

o

e quindi

0k=X . (12) In definitiva si ha che la soluzione del problema (11) è

0

1

0Xt t

o

evoluzionelibera

x t e

�����

. (13)

La soluzione (13) rappresenta l’evoluzione libera del sistema ed è così definita perché in pratica si impongono al sistema non forzato (libera) condizioni iniziali diverse da quelle nulle è poi lo si lascia libero di evolvere (evoluzione).

Il forzamento non è nullo (G(t)0) Il problema si presenterà nella forma (3) e l’integrale generale è la (10). Per determinare la costante k nella (10) imponiamo le condizioni iniziali

0 01

0 0 0k Xt t

px t e x t

(14)

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e quindi

0 0k Xp

x t . (15)

Sostituendo la (15) nella (10) otteniamo

0

0

0

1

1

0 0

1

0

k

X

X

t t

p

integrale generale integrale particolaredell'omogenea associata

t t

p p

termine ditermineregimetransitorio

t t

p

evoluzionelibera

x t e x t

x t e x t

e x t x

�����

���������

�����

01

0

t t

p

evoluzioneforzata

t e

���������

(16)

che è la soluzione del problema (3). La (16) possiamo vederla in due modi differenti.

1) Somma di due termini uno transitorio ed uno di regime.

Termine transitorio: è un termine che dipende dalle condizioni iniziali e dal valore che assume la soluzione particolare xp(t) in t=t0. Questo termine rappresenta la dinamica che conduce il sistema da un certo stato iniziale ad un certo stato finale (il regime). Questa dinamica transitoria si estingue all’infinito. La rapidità con la quale si estingue dipende dai parametri del circuito. Nel caso di un circuito del I ordine la costante di tempo del transitorio sarà pari a ReqC se nel circuito è presente un condensatore o ad L/Req se nel circuito è presente un induttore. La Req rappresenta una resistenza equivalente del circuito e dipende dalla particolare forma del circuito. Termine di regime: questo termine rappresenta la dinamica del sistema quando il transitorio si è estinto. Quando cioè il circuito ha “dimenticato” il suo stato iniziale. La forma matematica di questo termine dipende dal particolare tipo di generatori presenti nel circuito stesso. In generale si dimostra che se tutti i generatori presenti nel circuito sono generatori costanti allora il termine di regime è anche esso costante e che se i generatori presenti nel circuito sono generatori sinusoidali e isofrequenziali (erogano sinusoidi alla stessa frequenza) il termine di regime è costituito da una funzione sinusoidale. In questi due casi, come vedremo, è molto facile trovare la soluzione di regime

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così come lo è nel caso di generatori periodici. In tutti gli altri casi, cioè quelli con generatori non periodici, non calcoleremo la soluzione di regime ma calcoleremo l’evoluzione forzata utilizzando degli strumenti matematici che sono l’integrale di convoluzione o la trasformata di Laplace.

2) Somma di due termini detti di evoluzione libera ed evoluzione forzata.

Evoluzione libera: è la soluzione del problema (3) quando i generatori del circuito sono spenti. Evoluzione forzata: è la soluzione del problema quando questo ha condizioni iniziali nulle. È facile verificare infatti che la evoluzione forzata in t=t0 è nulla. La sua forma dipende dalla particolare funzione del termine forzante.

3.1 Il grafico della soluzione omogenea del problema di Cauchy Spendiamo un po’ di tempo sul grafico della funzione esponenziale che compare nella soluzione dell’omogenea associata al problema e nel termine transitorio. L’andamento di tipo esponenziale è tipico di ogni transitorio. Consideriamo la generica funzione:

0

1

ktt

etx

per 0tt . (17) La funzione (17) è quella che ci troviamo quando vogliamo determinare il termine transitorio e quando voglio determinare l’evoluzione libera di un sistema. Analizziamo le caratteristiche della funzione (17):

in t = t0 vale k l’esponente dell’esponenziale è sempre negativo in quanto t è sempre > t0 e

quindi la funzione tende a zero all’infinito Pertanto il grafico della (17) sarà quello rappresentato in Fig. 1. Nel grafico si è evidenziata la costante di tempo . Questo lo otteniamo graficamente derivando la (17) e determinando il valore della derivata in t0

+ pari a –k/. Si ha infatti che: 0

1k tt

edt

tdx

per 0tt . (18)

Come si vede abbiamo considerato due grafici: 1a per un k > 0 e 1b per un k < 0; in entrambi i casi abbiamo considerato lo stesso valore per la costante di tempo .

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Fig. 1a – Grafico della funzione esponenziale (17) con k>0.

Fig. 1b – Grafico della funzione esponenziale (17) con k<0.

Consideriamo ora la generica funzione (17) sommata ad un termine costante diciamolo C:

Ck0

1

tt

etx per 0tt . (19)

k

t0 t

x(t)

k

t0

t

x(t)

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Fig. 2a – Grafico della funzione esponenziale (19) k>0.

Fig. 2b – Grafico della funzione esponenziale (19) k<0.

Vedremo in seguito nella Lezione n. 10 che troveremo la soluzione (19) nel caso in cui i generatori sono di tipo costante. Analizziamo le caratteristiche della funzione (19):

in t = t0 vale k + C = k* l’esponente dell’esponenziale è sempre negativo in quanto t è sempre > t0 e

quindi la funzione tende a C all’infinito

k*

t0 t

x(t)

C

k*

t

x(t)

C

t0

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Pertanto il grafico della (19) sarà quello rappresentato in Fig. 2. Nel grafico si è evidenziata la costante di tempo in modo analogo alla (17). Si osservi che nei grafici di Fig. 1a e Fig. 2a la costante k è considerata dello stesso valore e positiva; nei grafici di Fig. 1b e Fig. 2b la costante k è considerata dello stesso valore e negativa. Inoltre in tutti e quattro i grafici la costante di tempo ha sempre lo stesso valore. Per finire sottolineiamo che le funzioni (17) e (19) tendono al valore costante di regime, nullo nel primo caso e pari a C nel secondo, asintoticamente. Ciò vuol dire che assumono il valore di regime all’infinito! Tuttavia per istanti di tempo multipli della costante di tempo del circuito possiamo trascurare il transitorio considerandolo estinto. Questa è solo una approssimazione in quanto, lo sottolineiamo ancora, il valore di regime viene raggiunto solo all’infinito.

4. Esercizi

In questo paragrafo riprenderemo tutti i circuiti trattati nella Lezione n.4 e utilizzeremo le equazioni differenziali trovare in quella lezione. Per tutti analizzeremo l’equazione differenziale e scriveremo la soluzione che si ottiene quando i generatori sono costanti. Utilizzando generatori di tipo costante avremo a che fare con il calcolo di soluzioni di regime costanti. Un circuito del I ordine alimentato con un generatore costante costituisce il cosiddetto “circuito di carica” di un condensatore o di un induttore. Immaginiamo di studiare il circuito per t>0. Il condensatore e l’induttore possono essere a stato zero (variabili di stato nulle) in t=0, oppure si possono trovare in determinate condizioni di valore iniziale non nullo. In ogni caso i generatori costanti forzeranno il condensatore o l’induttore ad un valore di regime fissato dal valore del generatore ed eventualmente dalle resistenze presenti nel circuito. I circuiti del I ordine con generatore costante sono chiamati circuiti di carica. Il condensatore o induttore possono essere scarichi nell’istante iniziale oppure anche carichi ad un certo valore (condizioni iniziali). Il generatore costante imporrà agli elementi dinamici di assumere un certo valore a regime.

4.1 RC serie e parallelo

Cominciamo con il circuito RC serie.

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Fig.3 – Circuito “RC serie”.

Nella Lezione n.4 abbiamo trovato la soluzione (5) del circuito di Fig. 3, che riscriviamo:

eC

R RC C

tdv v -

dt t>t0, (20)

con t0 istante iniziale. La (20) la possiamo riscrivere:

eC C

tdv v -

dt t>t0, (21)

con = RC. In base alla (9) possiamo dire che l’integrale generale della (21) risulta essere:

0k1

- t t

C Cpv t e v t . t>t0. (22)

La costante k potremo determinarla, utilizzando la condizione iniziale, solo dopo aver determinato la soluzione particolare. Consideriamo il circuito RC serie di Fig. 3 con i seguenti dati: t0=0, vc(0)=0, R= 10 , C=10-4 F, e(t)= 10 u(t) Volt. La soluzione cercata è la soluzione del seguente problema (vedi la (3)):

R

C e(t) vc(t)

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.00

101

C

C

C

v

tvdt

tdv

t>0. (23)

con =RC= 10-3 sec pari alla costante di tempo. Utilizziamo la (22) che riscriviamo sostituendo i valori assegnati al problema: tvetv

pC

t

C 1000k t>0. (24)

Per calcolare la soluzione dobbiamo calcolare la soluzione particolare vCp(t). Essendo il generatore costante la soluzione particolare vCp(t) risulterà una costante che possiamo calcolare direttamente dal circuito. In Fig. 4 abbiamo rappresentato il circuito RC serie in regime stazionario.

Fig. 4 – Circuito di Fig. 3 in regime stazionario.

Osserviamo che il condensatore si comporta come un circuito aperto e quindi non lascia passare la corrente nella maglia. Pertanto non c’è caduta di tensione sulla resistenza attraversa da corrente nulla. Questo comporta che ai capi del condensatore sussiste una tensione pari a quella del generatore di tensione. Possiamo scrivere allora:

e( ) 10C p

v t t Volt t>0. (25)

L’integrale generale del problema sarà quindi: 10k 1000 t

Cetv t>0. (26)

Infine per calcolare la costante k dobbiamo imporre le condizioni iniziali:

R

e(t) vCp(t)

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10k010k0 C

v (27) In conclusione la soluzione cercata sarà:

1010- 1000 tC etv t>0. (28)

In Fig. 5 abbiamo rappresentato graficamente la soluzione (28). Determiniamo ora la soluzione con la condizione iniziale non nulla vC(0)=5Volt.

Fig. 5 – Grafico della funzione (28).

Fig. 6 – Grafico della funzione (30).

Dobbiamo agire direttamente sulla (26) determinando un diverso valore di k:

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5k510k0 C

v (29) e quindi trovare la soluzione:

105- 1000 t

Cetv t>0. (30)

Il grafico della (30) in Fig. 6. Passiamo al circuito RL parallelo.

Fig.7 – Circuito “RC parallelo”. Per quanto riguarda il circuito RC parallelo della Fig. 7 richiamiamo la (23) della Lezione 4 :

C jR

3 3dv v

- tdt

t>t0, (31)

con t0 istante iniziale. La (31) la possiamo riscrivere:

1j

C3 3

dv v - t

dt t>t0. (32)

Con = RC. In base alla (9 ) possiamo dire che l’integrale generale della (32) risulta ancora essere la (22) dove però in questo caso la soluzione particolare dipende dal generatore di corrente j(t). Consideriamo il circuito RC parallelo di Fig.7 con i seguenti dati: t0=0, vC(0)=0, R= 10 , C=10-4 F, j(t)= 1 u(t) A. Essendo un circuito del I ordine la soluzione cercata è la soluzione del seguente problema (vedi la (23):

vC(t)

j(t)

R C

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1 1

C0 0

C

C

C

dv tv t

dt

v

t>0. (33)

con =RC= 10-3sec pari alla costante di tempo. La soluzione del problema (33) sarà: tvetv

pC

t

C 1000k t>0. (34)

Fig. 8 – Circuito di Fig. 7 in regime stazionario. Per calcolare la soluzione particolare dobbiamo considerare il circuito di Fig. 8 dove abbiamo considerato nuovamente un circuito aperto al posto del condensatore e quindi la tensione ai suoi capi sarà pari alla caduta di tensione sul resistore posto in parallelo al generatore di corrente:

Rj( ) 10C p

v t t Volt t>0. (35)

L’integrale generale del problema sarà: 10k 1000 t

Cetv t>0. (36)

Infine per calcolare la costante k dobbiamo imporre le condizioni iniziali: -10k010k0

Cv (37) In conclusione la soluzione cercata sarà:

1010- 1000 t

Cetv t>0. (38)

vCp(t)

j(t)

R

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Osserviamo che la (28) e la (38) sono uguali grazie al fatto che e(t)=Rj(t)! Il fatto che questa condizione ci ha fatto ritrovare la stessa soluzione è la conseguenza del Teorema del generatore equivalente che vedremo nella prossima Lezione 7.

4.2 RL serie e parallelo Operiamo in modo analogo alla sezione precedente con i circuiti di Fig. 8 e Fig. 10 che rappresentano rispettivamente un RL parallelo e un RL serie.

Fig. 8 – Circuito “RL parallelo”. Nella Lezione n.4 abbiamo trovato la soluzione (25) che riscriviamo:

L R RjLL

di - i t

dt t>t0, (39)

con t0 istante iniziale. La (39) la possiamo riscrivere:

jL L

tdi i -

dt t>t0, (40)

con = L/R. In base alla (10) possiamo dire che l’integrale generale della (40) risulta essere:

0

k1

- t t

L Lpi t e i t

. t>t0. (41)

La costante k potremo determinarla, utilizzando la condizione iniziale, solo dopo aver determinato la soluzione particolare.

j(t) iL(t)

R L

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Consideriamo il circuito di Fig. 8 con i seguenti dati: t0=0, iL(0)=0, R= 10 , L=10-3 H, j(t)= 10 u(t) A. Essendo un circuito del I ordine la soluzione cercata è la soluzione del seguente problema (vedi la (23)):

.00

101

L

L

L

i

tidt

tdi

t>0. (42)

Dove = L/R = 10-4 sec è la costante di tempo. La soluzione del problema (42) sarà quindi: 10000k t

L L pi t e i t

t>0. (43)

La soluzione particolare iLp(t) la possiamo calcolare direttamente dal circuito di Fig. 9 dove abbiamo rappresentato il circuito RL parallelo in regime stazionario.

Fig. 9 – Circuito di Fig. 8 in regime stazionario.

Osserviamo che l’induttore si comporta come un corto circuito e quindi impone una tensione nulla sulla resistenza. Questo comporta che l’induttore è attraversato da una corrente pari alla corrente del generatore. Possiamo scrivere allora:

10tipL t>0. (44)

L’integrale generale del problema sarà: 10k 10000 t

Leti t>0. (45)

Infine per calcolare la costante k dobbiamo imporre le condizioni iniziali:

j(t)

iLp(t)

R

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10k010k0 L

i (46) In conclusione la soluzione cercata sarà:

1010- 10000 t

Leti t>0. (47)

Il grafico della funzione (47) è simile a quello di Fig. 5. Ciò che cambia è la costante di tempo dell’esponenziale.

Fig. 10 – Circuito “RL serie”. Per quanto riguarda il circuito RL serie richiamiamo la (27) della Lezione n.4:

R eL

L

diL - i t

dt t>t0. (48)

con t0 istante iniziale. La (48) la possiamo riscrivere:

1e

LL L

di i - t

dt t>t0, (49)

con = L/R. In base alla (10) possiamo dire che l’integrale generale della (49) risulta essere ancora (vedi la (41)):

0

k1

- t t

L Lpi t e i t

. t>t0. (50)

La costante k potremo determinarla, utilizzando la condizione iniziale, solo dopo aver determinato la soluzione particolare.

R

L e(t)

iL(t)

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Consideriamo il circuito di Fig.8 con i seguenti dati t0=0, iL(0)=0, R= 10 , L=10-3 H, e(t)= 100 u(t) Volt.

È facile verificare che, essendo e(t)=R j(t), la soluzione sarà ancora:

1010- 10000 t

Leti t>0. (51)

Il grafico della funzione (51) è perciò simile a quello di Fig. 5. Come abbiamo già detto per l’RL parallelo, ciò che cambia è la costante di tempo dell’esponenziale.

4.3 RC con due resistenze

Fig. 11 – Esempio di circuito del I ordine RC con due resistenza.

Per quanto riguarda il circuito RC con due resistenze di Fig. 11 otteniamo dalla (34) della Lezione n.4:

eq 1

1C e

R RC C

dv v - t

dt t>t0, (52)

con t0 istante iniziale e Req=R1R2/(R1+R2) “resistenza equivalente” vista dal condensatore. La (52) la possiamo riscrivere:

1

1e

R CC C

dv v - t

dt t>t0, (53)

C e(t) vC(t)

R1

R2

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con = ReqC. In base alla (10) possiamo dire che l’integrale generale della (53) risulterà:

0

k1

- t t

C Cpv t e v t

t>t0. (54)

Ancora la k è da determinare con condizioni iniziali e conoscenza della soluzione particolare che dipende dai generatori. Risolviamo il circuito di Fig. 11 con i dati: t0=0, R1=10, R2=20, C=0,5 mF, vC(0)=3 V, e(t)= 3 u(t) V. Essendo = RC = 1/3*10-3 sec la costante di tempo, la (54) possiamo così riscriverla: 3000k t

C C pv t e v t

t>0. (55)

La soluzione particolare vCp(t) la possiamo calcolare direttamente dal circuito di Fig. 12 che rappresenta quello di Fig. 11 in regime stazionario.

Fig. 12 – Circuito della Fig. 11 a regime stazionario.

Osserviamo che a regime stazionario il condensatore si comporta come un circuito aperto e quindi per calcolare vCp(t) possiamo utilizzare un partitore di tensione tra i due resistori presenti:

2

1 2

Re( ) 2V

R +RC pv t t t>0 (56)

L’integrale generale quindi sarà: 3000k 2t

Cv t e t>0. (57)

Infine per calcolare la costante k dobbiamo imporre le condizioni iniziali:

e(t) vCp(t)

R1

R2

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0 k 2 3 k 1C

v (58) In conclusione la soluzione cercata sarà:

30001 2t

Cv t e t>0. (59)

4.4 RL con due resistenze

Fig. 13 – Esempio di circuito del I ordine RL con due resistenze.

Per quanto riguarda il circuito RL di Fig. 13 otteniamo dalla (39) della Lezione n.4:

eq 1L R R jL

L

di - i t

dt t>t0, (60)

con t0 istante iniziale e dove eq 1 2R = R +R è la “resistenza equivalente” vista

dall’induttore. La (60) la possiamo riscrivere:

1Rj

LL

L

di 1 - i t

dt t>t0, (61)

con = L/Req. In base alla (10) possiamo dire che l’integrale generale della (34) risulterà ancora:

0

k1

- t t

L Lpi t e i t

t>t0. (62)

j(t) iL(t)

R1

R2

L

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Ancora la k è da determinare con condizioni iniziali e conoscenza della soluzione particolare che dipende dai generatori.

Fig. 14 – Circuito di Fig. 13 a regime stazionario.

Risolvere il circuito di Fig.13 per t > t0 quando i dati sono: t0=0, R1=10, R2=20, L=100mH, iL(0)=3 A, j(t)= 3 u(t) A. Il problema da risolvere sarà:

30

3001

3

33

i

tidt

tdi

t>0, (63)

con 2110 sec

3 . L’integrale generale della (63) sarà:

300k t

L Lpi t e i t t>0. (64)

La soluzione particolare si otterrà con il partitore di corrente tra le due resistenze:

1

1 2

R 10j 3 1A

R +R 30Lpi t t (65)

Il coefficiente k nella (64) (con t0=0) si calcola imponendo la condizione iniziale: 0 k 1 3 k 2

Li . (66)

In conclusione la soluzione sarà: 3002 1 - t

Li t e t>0. (67)

Il grafico della (67) in Fig. 10.

j(t) iCp(t)

R2

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Fig. 15 – Grafico della funzione (67).

4.5 RL con due resistenze per -∞< t <+∞

Risolviamo ora un esercizio un po’ più complesso dei precedenti. Consideriamo ancora il circuito di Fig. 13, e calcoliamo la corrente nell’induttore per -∞< t <+∞. I dati sono: R1=10, R2=20, L=100mH, j(t)= 10 u(-t) A +20 u(t) A, il circuito si trova a regime per t<0. Dal precedente esercizio:

Req= R1+R2=30 e sec103

1

30

10 21

eq

R

L .

A differenza dell’esercizio precedente, in questo caso è necessario, per poter utilizzare la condizione iniziale in t=0, determinare la soluzione iL(t) per t<0. Osserviamo che i dati del problema ci dicono che il circuito per t<0 si trova a regime. Tale regime è stazionario poiché il generatore di corrente j(t)=10A per t<0. Sarà necessario fare riferimento alla Fig. 14 ed osservare che, per t<0, si può di nuovo utilizzare un partitore di corrente un partitore di corrente e quindi si avrà:

1

eq

R 10j 10 3, 3A

R 30Li t t per t<0. (68)

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Dalla (68) possiamo conoscere il valore della soluzione in t=0: 0 3, 3ALi che sarà

la condizione iniziale dell’evoluzione del sistema per t>0. Il problema da risolvere per t>0 sarà:

12000

100

3

L

L

L

di ti t

dt

i

t>0, (70)

con sec103

1 2 . La soluzione particolare analogamente alla (65) sarà:

10 20 6,6A30

1Lp

eq

Ri t j t

R (71)

Il coefficiente k dell’integrale generale si calcola imponendo la condizione iniziale:

20 10 100 k k 3,3A3 3Li

3 . (72)

In conclusione la soluzione sarà:

10 10 203 3 3

-300tLi t u -t e u t

(73)

Il grafico della funzione (73) è rappresentato in Fig. 16.

Fig. 16 – Grafico della funzione (73).

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4.6 RL con due resistenze e interruttore

Calcolare la corrente nell’induttore del circuito di Fig. 17 per -∞< t <+∞. I dati sono: t0=0, R1=10, R2=20, L=100mH, j(t)= 3 A. Ricordiamo che si ha:

Req= R1+R2=30 e 1

2

eq

L 10 110 sec

R 30 3

.

Fig. 17 – Circuito del I ordine con due resistenze e interruttore. In questo esercizio il transitorio si “accende” grazie alla variazione nell’istante t=0 della struttura del circuito. In quell’istante si apre il corto circuito inserendo nel circuito la presenza della resistenza R2. Il circuito per t<0 assume la forma della Fig. 18, mentre per t>0 il circuito avrà la forma della Fig. 14. Per t<0 il circuito si trova a regime stazionario, si fa riferimento alla Fig. 19 e l’induttore si comporta come un corto circuito e dunque: j 3ALi t t per t<0. (74)

j(t) iL(t)

R1

R2

t0

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Fig. 18 – Circuito della Fig. 17 per t<0.

Fig. 19 – Circuito della Fig. 17 (o 18) a regime stazionario per t<0. In questo modo conosciamo il valore della soluzione in t=0: 0 3ALi che sarà la

condizione iniziale dell’evoluzione del sistema per t>0. In questo caso il circuito è lo stesso dell’esercizio rappresentato in Fig.14 e quindi il problema da risolvere per t>0 sarà:

1 300

0 3

LL

L

di ti t

dt

i

t>0, (75)

con 2

1 2

L 110 sec

R +R 3 . La soluzione particolare ugualmente alla (65) sarà:

1

eq

R 10j 3 1AR 30Lpi t t (76)

j(t) iL(t)

R1

j(t) iL(t)

R1

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Il coefficiente k dell’integrale generale si calcola imponendo la condizione iniziale: A2k31k03 i . (77)

Fig. 20 – Grafico della funzione (78). In conclusione la soluzione sarà uguale alla (67) per t>0: 2 1-300t

Li t 3u -t e u t (78)

Il grafico della (78) in Fig. 20.

4.5 RC con tre resistenze Per quanto riguarda il circuito RC di Fig. 21 richiamiamo la (45) della Lezione n.4:

1 3 3

1 3 1 2 2 3 1 3 1 2 2 3

R +R RC e

R R +R R +R R R R +R R +R RC

C

dv - v t

dt t>t0. (79)

con t0 istante iniziale.

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Fig. 21 – Esempio di circuito del I ordine con tre resistenze.

La (79) la possiamo riscrivere:

3

3 1 3 1 2 2 3

Re

R R +R R +R R CC

C

dv 1 - v t

dt t>t0. (80)

con = ReqC e 1 3 1 2 2 3eq

1 3

R R +R R +R RR =

R +R. In base alla (10) possiamo dire che

l’integrale generale della (80) risulterà essere:

0k1

- t t

C Cpv t e v t

t>t0. (81)

Ancora la k è da determinare con condizioni iniziali e conoscenza della soluzione particolare che dipende dai generatori. Risolvere il circuito di Fig.21 per t > t0 quando i dati sono: t0=0, R1=5, R2=2, R3=5, C=0,2mF, vC(0)=3 V, e(t)= 7 u(t) V. Il problema da risolvere sarà:

3

3 1 3 1 2 2 3

Re

R R +R R +R R C

0 3

CC

C

dv 1 - v t

dt

v

t>0, (82)

con 49 10 sec x . L’integrale generale della (82) sarà:

C

e(t)

vC(t)

R1

R3

R2

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1000k t

C Cpv t e v t t>0. (83)

La soluzione particolare si otterrà dalla Fig. 22: la tensione a vuoto vCp(t) è pari alla tensione sul resistore R2, pertanto utilizzando un partitore di tensione tra le due resistenze:

1

1 2

R 5e 7 5R +R 7Cpv t t V (84)

Il coefficiente k nella (83) (con t0=0) si calcola imponendo la condizione iniziale:

0 k 3 k 2Cv 5 - . (85)

In conclusione la soluzione sarà:

2 -1000tCv t - e 5 t>0. (86)

Fig. 22 – Circuito di Fig. 21 a regime stazionario.

5. Principio di sovrapposizione degli effetti

Per concludere è opportuno rilevare che quando in un circuito ci sono più generatori possiamo usare il principio di sovrapposizione degli effetti. Tale principio è

e(t)

vCp(t)

R1

R3

R2

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verificato se nel circuito tutti i bipoli passivi sono lineari. La soluzione sarà la somma di diverse soluzioni ognuna corrispondente alla “risposta” ad un unico generatore. Quando consideriamo uno dei generatore vorrà dire che spengo tutti gli altri, ossia considero un corto circuito al posto dei generatori di tensione e un circuito aperto al posto dei generatori di corrente. Calcolate tutte le “risposte” ai vari generatori, le condizioni iniziali vanno imposte alla sovrapposizione di queste sommate al termine transitorio. Vediamo di dare una rappresentazione a quanto abbiamo appena detto. Consideriamo un generico circuito lineare con due generatori da un punto di vista sistema ingresso-uscita come è mostrato in Fig. 8.

Fig.23 – Sistema ingresso – uscita per un circuito lineare forzato da due generatori.

Ora dobbiamo capire come trattare il problema (3) che in questo caso riscriviamo nel seguente modo:

1 2

0 0

1G G

X

x t x t t t

x t

ɺ per t>t0 (87)

dove le funzioni G1(t) e G2(t) sono funzioni rispettivamente del generatore g1 e di g2. Il problema (87) si risolve applicando la sovrapposizione degli affetti al calcolo della soluzione particolare o al calcolo della soluzione forzata. Infatti l’integrale generale dell’omogenea associata non dipende dai generatori se non attraverso la determinazione della costante k; l’evoluzione libera invece non dipende in nessun modo dalla presenza dei generatori. Nell’espressione (88) riassumiamo quanto appena detto.

generatore g1 qualsiasi tensione o corrente del circuito

condizioni iniziali

generatore g2

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0

0

1

1 2

1 2

1

0 1 0 2 0 X

integrale generale integrale particolare integrale particolare dovuto a G dovuto a Gdell'omogenea

associata

t t

p p

t t

p p

terminetransitorio

x t k e x t x t

x t x t e x

����� ���

������������� �

0 0 0

1 2

1 1 1

0 1 1 0 2 2 0 X

1 2

1

p p

termine di termine diregime dovuto a G regime dovuto a G

t t t t t t

p p p p

evoluzione evoluzione evoluzionelibera forzata dovuta a G forza

t x t

e x t x t e x t x t e

���

����� �����������

2ta dovuta a G

�����������

(88)

Nella (88) si osserva che, rispetto a quanto abbiamo imparato nel caso di un sol generatore, la difficoltà è il calcolo di due integrali particolari o due evoluzioni forzate. Operativamente il calcolo della soluzione complessiva risulta molto semplice perché grazie alla sovrapposizione degli effetti posso calcolare prima un termine di regime (una soluzione forzata) dovuto ad un sol generatore spegnendo l’altro e poi invertendo posso calcolare l’altro termine di regime (altro soluzione forzata) spegnendo il generatore che ho considerato per primo. Nella Fig. 24 abbiamo rappresentato l’applicazione della sovrapposizione degli affetti ai due casi. In Fig. 24a abbiamo il caso di generatori periodici e quindi possiamo calcolare le due soluzioni di regime, nella Fig. 24b abbiamo invece il caso in cui calcoliamo le due soluzioni forzate. Si osservi che nella Fig. 24b “stato zero” significa circuito inizialmente a riposo; le condizioni iniziali infatti servono solo a determinare l’evoluzione libera del sistema.

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Fig. 24a – Calcolo della soluzione con la sovrapposizione degli effetti sulle soluzioni di regime.

Fig. 24b – Calcolo della soluzione con la sovrapposizione degli effetti sulle evoluzioni forzate.

g1

x(k,t)

condizioni iniziali

g2=0

g1=0

g2

+

g1=0

g2=0

x(t)

xp1(t)

xp2(t)

x0(k,t)

g1

x(t)

condizioni iniziali

g2=0

g1=0

g2

+

g1=0

g2=0

xf1(t)

xf2(t)

xl(t)

stato zero

stato zero

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5.1 Esercizio: circuito RC con due generatori Consideriamo il circuito di Fig. 25 che ha la caratteristica di avere due generatori. Il sistema globale del circuito risulta:

2

5

1

4 2 4

0

0

0

0

e

j

RR

C

1

4 52 3

1 2 C

4C

4

1

5

2 2

C3

i i

i - i - i - i

v - v - v

v - v

v v

v t

i t

v i

v i

dvi

dt

(89)

Fig. 25 – Circuito del I ordine con due generatori.

Nel sistema (89) sostituiamo le relazioni caratteristiche nelle leggi di Kirchhoff:

2

1

2

52 4

0

C j

e R

R

R

1

C42

2 C

4C

i i

dvi - - i t 0

dt

t - i - v 0

v - i 0

i v

(90)

C

III

II

e(t)

i1

v1

i2

i3

vC(t)

I

v4

R1 i4

R2

j(t)

v2

v5

i5

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Cerchiamo l’equazione differenziale in v3, allora eliminiamo dal sistema (90) le incognite i1, i2, i4 e v5 e otteniamo:

1

1 1e jR C C

CC

dv 1 v t t

dt t>t0, (91)

dove la costante di tempo = ReqC e dove eq 1 2 1 2R = R R R +R è la resistenza

equivalente. Si osservi che in ogni circuito del primo ordine con un condensatore e resistori la costante di tempo assume un’espressione analoga a quella ottenuta per la (91) nella quale la Req è la resistenza equivalente vista dal condensatore quando il circuito è reso passivo (sono spenti tutti i generatori). Il prodotto di una resistenza per una capacità ha le dimensioni fisiche di un tempo! Nel caso di un induttore valgono le stesse considerazioni fatte per un circuito RC a patto di considerare la seguente costante di tempo: = L/Req.

Come si vede dalla (87) e (91) nel nostro esercizio abbiamo 1

1

1G e

R Ct t e

2

1G j

Ct t . La soluzione della (91) sarà:

k 21

10

�����������

21 G per eparticolar integrale

p

G per eparticolar integrale

p

associata omogeneadell'

generale integrale

tt

txtxetx

per t>t0 (92)

Le soluzioni particolari xp1(t) e xp2(t) le troviamo dai circuiti rispettivamente di Fig. 26a e Fig. 26b. In questi circuiti abbiamo spento rispettivamente il generatore di corrente e quello di tensione. I singoli due circuito saranno semplicissimi da risolvere, essi sono infatti analoghi a quelli che abbiamo risolto precedentemente in questa lezione.

Fig. 26a – Circuito di Fig. 25 con il generatore di corrente spento.

C e(t) vC(t)

R1

R2

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Fig. 26b – Circuito di Fig. 25 con il generatore di tensione spento.

Schematizziamo il circuito di Fig. 25 come un sistema ingresso-uscita (vedi Fig. 27). Consideriamo come uscita del sistema la tensione sul condensatore vc(t). Ci sono due approcci possibili che abbiamo schematizzo in Fig. 27: A e B. Nell’approccio A risolviamo il circuito per t<0, che si trova a regime, considerando la presenza dei due generatori. Possiamo utilizzare il principio di sovrapposizione degli effetti ed alla fine dei conti ottenere la soluzione vC(t) per t<0. Da questa individuiamo la vC(0) e poi procediamo con la soluzione per t>0 considerando sempre la presenza dei due generatori e quindi utilizzando il principio di sovrapposizione come abbiamo fatto per la soluzione (91). Nell’approccio B invece il principio di sovrapposizione lo utilizziamo per tutta l’asse dei tempi. Risolviamo in questo modo due problemi distinti. Una volta trovate le due soluzioni per ogni t le sommiamo, ottenendo la soluzione complessiva.

C vC(t)

R1

R2

j(t)

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Fig. 27 – Due approcci risolutivi possibili alla ricerca della soluzione del circuito.

vC(t) e(t)

j(t) - ∞ < t < +∞

vC(t) e(t)

j(t) t<0

vC(t) e(t)

j(t) t > 0

vC(0+)= vC(0-)

vCe(t) e(t)

vC(t)

j(t)

- ∞ < t < +∞

vCj(t) - ∞ < t < +∞

+

A

B

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Facciamo un esercizio. Supponiamo di voler risolvere il circuito di Fig. 25 da -∞ < t < +∞ avendo per generatori: e(t)= 10 V (93a) j(t)= 3u(-t) A + 6u(t) A (93b) dove u(t) è la funzione a gradino unitaria. Come possiamo risolvere il circuito? Come possiamo applicare i due approcci proposti nella Fig. 27? La peculiarità dell’esempio da studiare è che uno dei due generatori non “cambia”, mentre l’altro invece in t=0 cambia valore. Questo cambiamento produce un transitorio che ha inizio in t =0. 6. L’origine dei transitori

Le considerazioni fatte fino ad ora in questa lezione hanno fatto sempre riferimento ad un analisi del circuito per t > t0; dove t0 era un istante iniziale assegnato. E’ chiaro che per studiare un sistema dinamico abbiamo bisogno di un istante iniziale! Questo rappresenta l’istante a partire dal quale intendiamo studiare il nostro circuito. Lo studio sarà reso possibile dalla conoscenza delle condizioni iniziali delle variabili di stato. Talvolta le condizioni iniziali non mi sono date quando mi “consegnano" il circuito nell’istante t0 ma devo ricavarle dalla conoscenza del funzionamento del circuito prima di quell’istante stesso. In questo caso ho avuto a disposizione il circuito anche prima dell’istante t0. Avendolo a disposizione posso determinarne il funzionamento solo nell’ipotesi che questo stia funzionando a regime: si sono estinti, cioè, tutti i precedenti transitori. Una volta determinata la soluzione per t < t0 posso determinare la condizione iniziale necessaria al problema (3) utilizzando la proprietà di continuità delle variabili di stato: x(t0

+)=x(t0-).

L’istante che noi assumiamo iniziale di una dinamica di un circuito da studiare può essere determinato da tre occorrenze:

1) Ho a disposizione il circuito dall’origine della sua costruzione con generatori assegnati. Tutti i transitori si sono estinti (è passato un tempo infinito dal momento della costruzione). Il circuito, quindi, si trova a regime. Un generatore del circuito modifica, in un dato istante t0 la funzione che lo caratterizza. Ad esempio ho il circuito con due generatori di Fig. 25. Allora avrò che in t0 ci sarà un evento che perturba il circuito e che tenderà a condurlo ad un altro regime. Il circuito si deve risolvere per t < t0 determinando le soluzioni di regime e poi da t > t0 si dovrà risolvere un circuito in condizioni dinamiche con il problema (3). Nel problema (3) serve la condizione iniziale che andrà determinata dalla soluzione di regime calcolata per t < t0 , come detto infatti: x(t0

+)=x(t0-). Si osservi che la conoscenza della soluzione per

tempi inferiori a t0 è permessa dall’ipotesi fondamentale che il circuito si trovi

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a regime. Se così non fosse non potrei determinare la soluzione in quanto avrei bisogno di risolvere un problema (3) il cui istante iniziale si perde nella storia remota e le cui condizioni iniziali non sarebbero note a priori.

2) Un interruttore che modifica la struttura del circuito stesso che si trova a

regime. Si guardi la Fig. 28 nella quale un interruttore si apre in t=t0 modificando il circuito (si noti il simbolismo usato per rappresentare l’apertura in t0). Assumiamo per semplicità che i generatori sono costanti entrambi per ogni valore del tempo. Se intendiamo determinare il valore della tensione sul condensatore possiamo procedere determinandola per t < t0 dal circuito con interruttore chiuso. Poi in t=t0 imponiamo la continuità x(t0

+) = x(t0-) che mi

consente di risolvere il problema (3) per il circuito nel tratteggio in Fig. 28.

3) Non è specificata la storia del circuito prima di un certo istante t0 nel quale viene assegnata la condizione iniziale. “Dispongo” del circuito solo dall’istante t0 in poi. È il caso più semplice nel quale, avendo la condizione iniziale, basta risolvere il problema (3).

Fig. 18 – Circuito con interruttore e due generatori.

Proviamo a risolvere, calcolando la vC(t), il circuito di Fig. 18 per -∞< t <+∞ con i dati: t0=0, R1=10, R2=20, C=1mF, j(t)= 3 A, e(t)= 5 V. 7. Esercizi: RLC serie e parallelo con generatore discontinuo

In questo paragrafo ci vogliamo esercitare con il concetto della continuità delle variabili di stato. Questo concetto lo abbiamo introdotto nella Lezione n.4. In sintesi

C

II

e(t)

i1

v1

i2

i3

v3

I

v4

R1 i4

R2

j(t)

v5

i5

v2 t=t0

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III

IV

abbiamo affermato che le variabili di stato devono essere continue sempre (possono essere discontinue solo con generatori impulsivi che noi non considereremo in questo corso) e che le altre grandezze possono essere sia continue che discontinue e seconda del tipo di circuito in cui sono inserite (vedi Fig. 6 della Lezione n.4) Per esercitarci risolveremo il seguente problema: ho un circuito (del II ordine) e mi chiedo cosa accade a tutte le grandezze del circuito quando il generatore ha una discontinuità di prima specie in un certo istante t*. Vogliamo quindi indagare il circuito intorno all’istante t* per stabilire se ognuna delle grandezze è continua o discontinua. Innanzitutto ricordiamo che una funzione discontinua con discontinuità di prima specie è una funzione come quella rappresentata in Fig. 19. Operiamo con circuiti molto semplici come l’RLC serie e l’RLC parallelo mostrati in Fig. 20 e 21 rispettivamente. In riferimento ai due circuiti supporremo quindi che il generatore e(t) dell’RLC serie abbia una forma come disegnato in Fig. 19, e così lo stesso il generatore di corrente j(t) dell’RLC parallelo di Fig. 21.

Fig. 19 – Esempio di funzione discontinua con discontinuità di prima specie.

Fig. 20 – Circuito RLC serie.

II

R

C e(t)

v2

vC

v3

iL

L

I

g(t)

t t*

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Fig. 21 – Circuito RLC parallelo.

Osserviamo che per l’RLC serie si deve sempre verificare la LKT nell’unica maglia presente, e che per l’RLC parallelo si deve sempre verificare la LKC al nodo I (o II). In entrambi le equazioni comparirà una funzione (quella del generatore) che ha una discontinuità intorno a t*. Questa discontinuità dovrà essere “bilanciata” da almeno un termine presente nella equazione (diverso da quello del generatore). Per l’RLC possiamo scrivere:

2 3 eCv v tv intorno a t*. (94)

Osserviamo che nel circuito di Fig. 20 esiste una unica corrente pari a iL(t) che è variabile di stato e quindi continua. Cerchiamo ora di ragionare al fine di “bilanciare” la discontinuità del generatore al secondo membro. Nella (94) abbiamo: v2(t)=R iL(t) che quindi deve essere continua, v3(t) che è pari alla tensione sull’induttore che può essere discontinua ed infine vC(t) che è una variabile di stato e quindi continua. Concludiamo che la discontinuità del generatore di tensione è bilanciata dalla tensione sull’induttore v3(t). Per l’RLC possiamo procedere analogamente e scrivere:

2 4 jLi i ti intorno a t*. (95)

Osserviamo che nel circuito di Fig. 21 esiste una unica tensione pari a vC(t) che è variabile di stato e quindi continua. Cerchiamo ora di ragionare al fine di “bilanciare” la discontinuità del generatore al secondo membro. Nella (95) abbiamo: i2(t)= vC(t)/R che quindi deve essere continua, iL(t) che è una variabile di stato e quindi continua ed infine i4(t) che è pari alla corrente del condensatore che può essere discontinua. Concludiamo che la discontinuità del generatore di corrente è bilanciata dalla corrente nel condensatore i4(t).

j(t)

iL i2 I

II

vC

i4

R L C