1

Circuiti del II ordine

•Contengono due elementi dinamici•Il loro comportamento è rappresentato da un’equazione differenziale del II ordine.

2

R

L

v

i

C

LKT 010 =++=++ ∫∞−

t

idtCdt

diLRivdtdiLRi

Derivando e riordinando

02

2

=++LCi

dtdi

LR

dtid

Occorre conoscere 2 c.i.: ?)0(,)0( 0 ==dt

diIi

( )000

00

010 VRILdt

diVdtdiLRI

tt

+−==++==

Circuito RLC serie autonomo

LCLR

LR

LCLR

122

01

2

2,1

2

−

±−=

=++

λ

λλ Equazione caratteristica

3

[ ]

LC

sL

R

12

0

1

20

22,1

=

=

−±−=

−

ω

α

ωααλ

Fattore di smorzamento

Pulsazione di risonanza

Frequenza libere o naturali

0.4.3.2.1

0

0

0

=<=>

αωαωαωα Caso sovrasmorzato

Caso di smorzamento critico

Caso sottosmorzato

Caso senza smorzamento

4

−ℜ∈>>

>

2,12

0

412

.1

λ

ωα

RLC

LCLR

Caso sovrasmorzato

0)( 2121 →+= tt eAeAti λλ al crescere di t

i(t)

t

Risposta sovrasmorzata

Radici reali e distinte

La risposta è la somma di 2 esponenziali, ciascuna con la sua costante di tempo

5

LR

RLC

LCLR

241

2

.2

0212

0

−=−=−====

=

ωαλλ

ωα Caso di smorzamento critico

213

321

con )(

AAAeAeAeAti ttt

+==+= −−− ααα

Non può essere le soluzione �2 c.i. ma una sola costante!!!

( )21

11

22

2

2

2

0

0

020

AtAie

AiedtdAie

dtdiei

dtdiAe

Aeffdtdfi

dtdif

idtdii

dtdi

dtd

idtdi

dtid

LCi

dtdi

LR

dtid

t

tttt

t

+=

==++=

=→=+→+=

=

++

+

=++→=++

−

−−−−

α

αααα

λ

αα

αα

ααα

αα

Posto

Radici reali e

coincidenti

6

( ) teAtAi α−+= 21

i(t)

t

Risposta criticamente smorzata

τ=1/α

ttei α−=α1−e

7

Risposta oscillatoria smorzata esponenzialmenteτ=1/αT=2π/ωd

( )( )

( ) ( ) ( ){ }( )( ){ } ( )

( ) ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( )[ ]tsenBtBe

AsentsenAtetAeeAe

eeAeeAeAti

jR

LCLCL

R

ddt

ddt

dttj

tjjtjtj

d

d

d

ddd

ωωφωφω

φω

αωω

ωααωαλ

ωα

α

α

αφωα

ωαφωαωα

21

1

1*11

220

2202,12

0

cos

coscos

cos2

2)(

412

.2

+=

=−=

=+=ℜ

=ℜ=+=

−−=

±−=−−±−=<<

<

−

−

−++−

+−−−+−

Caso sottosmorzato

Radici complesse coniugateFrequenza naturale smorzata

8

( ) ( )[ ] ( )

( ) ( )φφ

φ

φωωω αα

AsenBABBBBBA

tAetsenBtBeti dt

ddt

−==

−=+=

+=+= −−

21

1

222

21

21

;cos

atan;

coscos)(

( )( ) ( )[ ] ( )φωωω

ωωωλ

α

+=+=±=±=−±=

=

tAtsenBtBtijj d

00201

0202,1

coscos)(

0.4

Caso senza smorzamento

9

LC circuito→=⇒=−= 002

RL

Rα � senza perdite�solo in teoria

L

v

i

C ( )

( )φωω

φω

+=−=

+=

tsenLAdtdiLtv

tAti

00

0

)(

cos)(

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )[ ]costante

=

=+++=+++=

=+++=+=

2

02

022

022

022

022

022

02222

21

cos21

21cos

21

21cos

21

21

21)(

LA

tsentLAtsenLAtLA

tsenACLtLACvLitw

φωφωφωφω

φωωφω

L’energia del circuito non dipende dal tempo: quando l’energia nel condensatore aumenta, l’energia nell’induttore diminuisce e viceversa

10

Smorzamento: graduale perdita dell’energia immagazzinata, dovuta alla presenza di resistori.Il fattore di smorzamento α determina la rapidità con la quale la risposta si smorza.

α=0 � circuito LC con ω0=1/LC;α<ω0

�risposta oscillatoriaR=0 Circuito

senza perdite

R≠0 risposta non smorzata, sovrasmorzata, criticamente smorzata, sottosmorzata

Oscillazioni: dovute allo scambio continuo di energia tra induttori e condensatori

La risposta sovrasmorzata e quella criticamente smorzata sono simili.La risposta sovrasmorzata ha la massima velocità di decadimento e non ha oscillazioniLa risposta criticamente smorzata ha la minima velocità di decadimento

11

R L

v

i

C

LKC 01012

2

=++=++ ∫∞− LC

vdtdv

RCdtvd

dtdvCvdt

LRv t

Occorre conoscere 2 c.i.: ?)0(,)0( 0 ==dt

dvVv( )00

000

0 10 RIVRCdt

dvdtdvCI

RV

tt

+−==++==

0112 =++LCRC

λλ

Circuito RLC parallelo autonomo

V0

I0

LCRC

LCRCRC

1;2

1

12

12

1

0

20

22,1

2

2,1

==

−±−=

−

±−=

ωα

ωααλ

λ

12

−ℜ∈>>

>

2,12

0

412

1.1

λ

ωα

CRLLCRC

Caso sovrasmorzato

0)( 2121 →+= tt eAeAti λλ al crescere di t

212

0

412

1.2

λλ

ωα

===

=

CRLLCRC

Caso con smorzamento critico

( ) tetAAti α−+= 21)( al crescere di t

13

( ) ( )( )tsenAtAetv

jCRLLCRC

ddt

d

d

ωω

αωω

ωαλ

ωα

α21

220

2,12

0

cos)(

412

1.3

+=

−=

±−∈<<

<

−

Caso sottosmorzato

14

Risposta al gradino di un circuito RLC serieR

L

v

i

C

sV

t=0Per t>0

LCV

LCv

dtdv

RCdtvd s=++ 12

2

regimeatransitori vvtv +=)(

tttrans eAeAtv 21

21)( λλ +=( ) t

trans etAAtv α−+= 21)(( ) ( )( )

( )

021

21

),0( c.i. dalle odeterminan sie

cos)(

=

−

=∞=

+=

t

sreg

ddt

trans

dtdvvAA

Vvv

tsenAtAetv ωωαa smorzamento criticosovrasmorzata

sottosmorzata

15

Risposta al gradino di un circuito RLC parallelot=0

Per t>0LCI

LCi

dtdi

RCdtid s=++ 12

2

regimeatransitori iiti +=)(

tttrans eAeAti 21

21)( λλ +=( ) t

trans etAAti α−+= 21)(( ) ( )( )

( )

021

21

),0( c.i. dalle odeterminan sie

cos)(

=

−

=∞=

+=

t

sreg

ddt

trans

dtdiiAA

Iii

tsenAtAeti ωωα

a smorzamento criticosovrasmorzata

sottosmorzata

R L

v

i

C

I0

sI

16

Circuiti del II ordine nel caso generale

Per determinare la risposta al gradino x(t)

determinare le c.i. x(0) e

determinare il valore finale

determinare la risposta transitoria spegnendo i gen. Indipendenti (soluzione dell’eq.ne omogenea associata)

0=tdtdx

( )∞x

( )∞+= xxtx atransitori)(

determinare le costanti nella xtransitoria imponendo le c.i.

17

Equazioni di stato

( )

( ) ( );;

;;;

111

khDnh

y

y

u

u

nn

dtdx

dtdx

dtd

dtd

hk

n

××

=

=×

=

+=

+=

C

yuAx

DuCxy

BuAxx

x è il vettore di stato, A la matrice di stato, u è il vettore di ingresso, y il vettore di uscita.

Equazione di uscita

Il vettore di uscita è in ogni istante combinazione lineare del vettore di ingresso e dello stato nello stesso istante

18

udtdu

dtud

dtud

ydtdy

dtyd

dtyd

m

m

nm

m

m

n

n

nn

n

n

011

1

1

011

1

1

bb.....bb

aa.....aa

+++=

=+++

−

−

−

−

−

−

La relazione ingresso-uscita

( ) ( ) ( )

( ) ( )

++

++=→

→++=+=

+=→+=

++

+++

0000

000

dtduDuBCxAC

dtdy

dtduDuBCxAC

dtduD

dtxdC

dtdy

DuxCyDuxCy

19

Equazioni differenziali ordinarie

Condizioni per u(t)•identicamente nullo per t<t0 con t0 al finito•in ogni istante deve assumere valori reali•in ogni istante deve essere specificato in modo non ambiguo

20( )1

11

21

01

1

...)(

...)(

,......,,

0....

)()()(

21

−−

−−

+++=

+++=

=+++

>+=

kk

toa

tn

ttoa

n

nn

nn

poa

tCCtCety

eCeCeCty

aaa

tytyty

k

n

λ

λλλ

λλλ

λλ

:sono termini enticorrispond i i,coincident reali radici k hanno si se b)

distinte reali radici a)

ticacaratteris eq.

ttper

21

0

Hp: u(t) noto per t>t0noti y(t) e le sue n-1 derivate in t=t0+

Equazioni differenziali ordinarie (Cnt.)

21

( ) ( )[ ]

[ ]

[ ])sin()cos()(

)sin()cos()(

)sin(...)cos(...)( 121

121

btBbtAtyjb

btBbtAety

jba

bttBtBBbttAtAAety

jba

oa

atoa

MM

MM

atoa

+=±

+=

±

+++++++=

±=−−

pure eimmaginari radici per

coniugate complesse radici di coppia una per

:sono termini enticorrispond i coniugate complesse radicidiugualicoppieM hanno si se c)

λ

Equazioni differenziali ordinarie (Cnt.)

22

� Per il calcolo dell’integrale particolare non esiste un metodo generale� In casi particolari (ingresso polinomiale, cisoidale, etc.) il calcolo e’

agevole

)cos()()cos()(

........)(........)(

)sin()cos()()sin()cos()(

)()(

)()(

1cos)(cos)(

0101

θωϕω

ωωωω

σσ

σσ

+=⇒+=

+++=⇒+++=

+=⇒+=

=⇒=

+=⇒+=

=⇒=

tBetytAetu

btbtbtyatatatu

tDtCtytBtAtu

BetyAetu

DtCtyBtAtu

ttttu

tp

t

nnp

nn

p

tp

t

p

cisoidale Ingresso f)

epolinomial e)Ingresso

esinusoidal Ingresso d) leesponenzia Ingresso c)

lineare Ingresso b)ycostante Ingresso a) p

Noto l’andamento dell’integrale si determinano i coefficienti imponendo il soddisfacimento della Relazione I/O

Equazioni differenziali ordinarie (Cnt.)

23

∑=

+=+=n

ip

tipoa yeAtytyty i

1

)()()( λ

Le costanti di integrazione Ai si determinano imponendo le condizioni iniziali

+

+

+

−

−

+

•••

01

1

02

20

)0(

n

n

dtyd

dtyd

dtdyy

LE CONDIZIONI INIZIALI SI POSSONO DETERMINARE NOTO LO STATO DEL CIRCUITO IN 0+

24

λλλλ� sono le radici dell’equazione caratteristica e prendono il nome di

frequenze libere� hanno le dimensioni dell’inverso di un tempo� sono indipendenti dall’ingresso (si pone u(t)=0), per questo prendono il

nome di libere� il loro inverso 1/ λ=τ sono le costanti di tempo� se tutte le λ sono a parte reale negativa, dopo un tempo

sufficientemente lungo i termini Aeλt si attenuano e l’uscita del circuito segue l’ingresso

�se RETE ASSOLUTAMENTE STABILE�se RETE SEMPLICEMENTE STABILE�se RETE INSTABILE

FREQUENZE LIBEREFREQUENZE LIBERE

ℜe(λ)

ℑm(λ) se la risposta transitoria converge a zero dopo un certo tempo. Pert→∞ Rimane la sola risposta di regime

{ } ie i ∀<ℜ 0λ

{ } ie i ∀<ℜ 0λ{ } 0=ℜ∋∃ iei λ{ } 0>ℜ∋∃ iei λ

25

DuCxy

BuAxx

+=

+=dtd In molti casi le componenti di u presentano

delle discontinuità all’istante t=0 .Il vettore di stato è continuo o discontinuo?

ε 0 ε t

f(t)∫ ∫+

−→→

+

−

==ε

εεε

0

0

0

000

0)(lim)(lim dttfdttf

)0()0( +− ≠ ff

Integrando l’eqne di stato tra 0- e 0+

( ) ( ) ( ) ( )−+−+ =⇒+=+=− ∫∫+

−

+

−

0000000

0

0

0

xxdtdtxx BuAx

Lo stato di una rete non degenere è continuo anche se l’ingresso èdiscontinuo

( )∫∫+

−

+

−

+=0

0

0

0

dtd BuAxx

26

TEOREMAQUANDO LA RETE NON CONTIENE PERCORSI CHIUSI (MAGLIE) DI SOLI GENERATORI DI TENSIONE E CONDENSATORI, O CO-CICLI DI SOLI GENERATORI DI CORRENTE E INDUTTORI (rete

non degenere ), ALLORA LE VARIABILI DI STATO SONO MENO DISCONTINUE DELL’INGRESSO

CONSEGUENZAQUANDO SI APPLICA UN INGRESSO CHE HA

NELL’ISTANTE INIZIALE UNA DISCONTINUITA’DI Ia SPECIE LE VARIABILI DI STATO SI

CONSERVANO, CIOE’ NON CAMBIANO TRA 0- E 0+ SALVO PER I CASI IN CUI SI ABBIANO

CONDIZIONI “PATOLOGICHE”

27

ESEMPIO

uvv cc =+ 21

C2vc2u(t)

MAGLIA CEC1

Non sono indipendentiR

( )

( )dtduC

Rv

dtdvCC

dtdvC

dtuvdC

Rv

dtdvC

dtdvC

Rv

cc

ccc

ccc

122

21

22

21

2

22

11

2

0

0

=++

=+−+

=++

( ) ( )tEtu 1−= δ

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )−+−++

−

+

−

+

−

−=−+→=++ ∫∫∫ 0000 12221

0

01

0

0

20

0221 uuCvvCCduCdt

RvdvCC cc

cc

( ) ( )−+ ≠+

= 00 221

12 cc vE

CCCv

( ) ( ) 000 21 == −−cc vv

28

a(t)

COCICLO LA

( )

( )dtdaLRi

dtdiLL

Ridt

diLdt

iadL

Ridt

diLdt

diL

aii

LL

LLL

LLL

LL

122

21

22

22

1

22

21

1

21

=++

+=−

+=

=+

iL1 iL2

( ) ( )tAta 1−= δ

Non sono indipendenti

( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )( )−+−++

−

+

−

+

−

−=−+→=++ ∫∫∫ 0000 12221

0

01

0

02

0

0221 aaLiiLLdaLdtRidiLL LLcc

( ) ( )−+ ≠+

= 00 221

12 LL iA

LLLi

( ) ( ) 000 21 == −−LL ii

L1 L2

R

29

Sembrerebbe che esista una corrispondenza tra l’ordine del circuito ed il numero di componenti dinamiciEs. : CIRCUITO DEL Iº ORDINE – VARIABILE DI STATO vc – EQ. DIFF. DEL Iº ORDINE

Tuttavia il legame non e’ sempre uno a uno. Per stabilire l’ordine di un circuito occorre verificare il numero di condizioni iniziali (vc e iL) indipendenti che possiamo imporre all’istante t=0.In generale il numero di condizioni iniziali indipendenti coincide col numero di elementi dinamici, a meno che non esistano vincoli tra le vcoppure tra le iL dovuti alle leggi di Kirchhoff.

Ordine di un circuito

30

Per i circuiti passivi l’ordine n del circuito èn=nD-nC-nL nD n. elementi dinamicinC n. di maglie CE contenenti soli capacitori e gen. di tensionenL n. di cocicli LA contenenti soli induttori e gen. di corrente

31

R1

R2

C1

C3C2

v1

v2

v3

e(t)

ESEMPIO

con nullo 0 in stato :Noto -

=+

=+

++=

≠⋅= +−

dtdvC

Rv

dtdvC

dtdvC

Rv

dtdvC

vvve

fttfte

33

2

222

33

1

111

321

1 0)0()()()(

:

δ

( )

( )

=+++

=+++stato di Eq.

dtdeC

Rv

dtdvCC

dtdvC

dtdeC

Rv

dtdvC

dtdvCC

32

2232

13

31

123

121

Maglia C-E

32

( )( )

( ) ( )

( ) mn

I/O relazione la Ricaviamo

conserva si non stato lo

0e-0 tra leIntegriamo

=+

++

=+

+

++

+++++

++=

++=

=++=++

+

++

++

+++

+++

2

2

32

2

322

132321

1

32

31

323121

2

323

323121

323121

312

323121

321

323213

323121

1

111

)0()0(

)0()0(

)0()0()0()0()0()0(

dted

CCC

dtde

CCR

vCCCRRdt

dvCCCC

CRCRdtvd

CCCCCCCCC

eCCCCCC

CCv

eCCCCCC

CCv

eCvCCvCeCvCvCC

ESEMPIO (Cnt)

33

R1

R2

C1

C3C2

v1

v2

v3

e(t)

ESEMPIO

con nullo 0 in stato :Noto -

=+

=+

++=

≠⋅= +−

dtdvC

Rv

dtdvC

dtdvC

Rv

dtdvC

vvve

fttfte

33

2

222

33

1

111

321

1 0)0()()()(

:

δ

( )

( )

=+++

=+++stato di Eq.

dtdeC

Rv

dtdvCC

dtdvC

dtdeC

Rv

dtdvC

dtdvCC

32

2232

13

31

123

121

Maglia C-E

34

( )( )

( ) ( )

( ) mn

I/O relazione la Ricaviamo

conserva si non stato lo

0e-0 tra leIntegriamo

=+

++

=+

+

++

+++++

++=

++=

=++=++

+

++

++

+++

+++

2

2

32

2

322

132321

1

32

31

323121

2

323

323121

323121

312

323121

321

323213

323121

1

111

)0()0(

)0()0(

)0()0()0()0()0()0(

dted

CCC

dtde

CCR

vCCCRRdt

dvCCCC

CRCRdtvd

CCCCCCCCC

eCCCCCC

CCv

eCCCCCC

CCv

eCvCCvCeCvCvCC

ESEMPIO (Cnt)

35

R

C

L1

vci2

a(t)

ESEMPIO

L2

i1

Co-ciclo L-A

duesonoeffettive stato di variabili Le

con nullo 0 in stato :Noto -

21

1

)(0)0()()()(

:

iitafttfta

+=≠⋅= +

−δ

⊗

=

=++⇒

=

+=−

⇒

=

+=

−=

⇒

=

+=

+=

dtdvCta

dtdaLRi

dtdiLL

dtdvCta

dtdiLRi

dtdiL

dtdaL

dtdvCta

dtdiLRi

dtdiL

dtdi

dtda

dtdi

dtdvCta

dtdiLRi

dtdiL

iita

cc

cc

)(

)(

)(

)()(

)(

122

112

222

11

222

11

21

222

11

21

36

Esempio (Cnt)

:0e-0fra integrandodalle:0 in Condizioni

)0(1)0()0()0()0(

0)0(

)0()0()0(0

)0()0()0()(

21

2

21

121

21

1211221

+++++

+

++

+

+++

+=

+−=−=

=+

=⇒

===+

+⊗+

fLL

LLL

Lfiai

v

fLL

LiCv

fLaLiLL

cc

37

Esempio (Cnt)

libera freq.

:hasidalle :gradinoa Ingresso

01)()()(

0)0(1)(

0)()0(

)(

0)(

00)(

21

21

21

121

0

21

12

21

12

2

2121

222

21

1

>

+−=−=

>=+⋅=

>+

=⇒=+

=

=

+−=⇒=++

=⇒=++

⊗=

+−

+

+−

+

∫+

tAeLL

LAtitati

ttCAvdA

Ctv

tAeLL

LtiKALL

Li

Keti

LLRRLL

iRidtdiLL

(t)Aδa(t)

tLL

R

c

t

c

tLL

R

t

p

-

τ

λλ

λ

38

Esempio (Cnt)

i2(t)AL1/(L1+L2)

vc(t)

AL2/(L1+L2)

A

39

Esempio ()( )

[ ]

[ ] [ ]

+−=⇒=++=++

−==+++−+

=++

+−=

+=+

−=

=

RKLLHRHKLL

ALRKHLL

tALtKtHRtKtHLL

dtdaLRi

dtdiLL

tKtHdt

ditKtHti

LLR

(t)δtAa(t)

p

p

-

)( 0)(

-)(-

:coseno e senoin terminii oeguagliand)sin(

sincoscossin)(

)(

cossin

sincos)(

cos :alecosinusoid Ingresso

210210

10210

001

0000021

122

21

0002

002

21

10

ϖϖ

ϖϖ

ϖϖϖϖϖϖϖ

ϖϖϖ

ϖϖ

λ

ϖA

a(t)

40

Esempio (Cnt)

[ ]

[ ]

)sin(1)cos(1)(1)0(

sincos)()(

)()(

)()(

)0()(

)0()0()0()0(

sincos)()(

)()(

)()(

000

0

0

00210221

20

210

221

20

2211

20

21

1

2

221

12222

22

00210221

20

210

2

221

20

2211

20

221

20

210

10

221

20

tAC

dAC

daC

vv

tRtLLLLR

L

eLLR

LLLLL

L

Ati

iALL

LNiiNiNi

iNei

tRtLLLLR

ALi

LLRALLLH

LLRARLK

ALKRR

LL

tt

cc

t

ppp

pt

p

ϖϖ

ττϖττ

ϖϖϖϖϖ

ϖϖ

ϖϖϖϖϖ

ϖϖ

ϖϖ

ϖϖ

λ

λ

==+=

−+++

+

+++

−+

=

−+

=⇒−=⇒+=

+=

−+++

=

+++

=

++−

=

⇒−=

+

+

∫∫++

+

+++++

41

A/ω0Cvc

t

i2p

i2p(0)

t

Esempio (Cnt)

i2trasi2(0)- i2p(0)

esinusoidal regime con coincide Per ⇒+>> piiR

LLt 2221

42

Esempio (Cnt)

[ ]

:gradino al risposta della integralel' e' rampa alla risposta La :rampa a Ingresso

=⋅=

−

+−+

=+

=

⇒

=

+=

⇒⇒

=

+=

⇒

=

∫

∫+

−

+−

+−

2

0

21

21

1

021

12

1

21

12

121

12

1

1

21

1:

1:

21

2121

tCBd

CBv

eR

LLLL

BLdeLL

BLi(t)BtδRampa

tCA

vLL

eLA

i(t)δ

tCAv

LLeALi(t)AδGradino

(t)Btδa(t)

t

cr

tt

LLR

r

-

cg

tLL

R

g

-

cg

tLL

R

g-

-

ττ

τ λτ

i2r

BL1/R

vcr

43

Esempio (Cnt)

)()(

1:

:

)(

2222

11

21

121

121

111

1

21

21

TtBTiTtBiBii

(t)δeRLi(t)tδRampa

(t)δeLL

Li(t)δGradino

T)(tBTδT)(tδTtB(t)Btδa(t)

(t)Btδa(t)

grr

-

tLL

R

r-

-

tLL

R

g-

---

-

−−−−=

−=⇒

+=⇒

−−−−−=

><

=

+−

+−

Tt per 0Tt per :eTriangolar Ingresso

u(t)

BT

T