Soluzione di circuiti RC ed RL del primo ordine Metodo sistematico

Costante di tempo

Rappresentazione del transitorio

Principi di ingegneria elettrica

Lezione 11 a parte 2

Metodo sistematico per ricavare una generica grandezza x(t) per t>0 in un circuito RC

1. Se vC(0) è incognita, si considera la fase stazionaria del circuito nella configurazione che precede il transitorio e si calcola vC(0-) sostituendo il condensatore con un circuito aperto. Si ha: vC (0-) = vC (0+) = vC (0).

2. Si considera la fase stazionaria del circuito nella configurazione post-transitorio e si calcola vC(∞) sostituendo il condensatore con un circuito aperto.

3. Si ricava la resistenza equivalente Req del circuito “vista” dai morsetti del condensatore t>0.

4. Si calcola la costante di tempo ττττ = Req C.

5. Si applica la formula risolutiva per il calcolo dell’andamento dinamico di vC(t).

6. Si sostituisce il condensatore con un generatore indipendente ditensione di valore vC(t) oppure con un generatore indipendente di corrente di valore iC(t) = C dvC(t)/dt.

7. Si ricava la grandezza desiderata x (t).

Metodo sistematico per ricavare una generica grandezza x(t) per t>0 in un circuito RL

1. Se iL(0) è incognita, si considera la fase stazionaria del circuito nella configurazione che precede il transitorio e si calcola iL (0-) sostituendo l’induttore con un corto circuito. Si ha: iL (0-) = iL (0+) = iL(0).

2. Si considera la fase stazionaria del circuito nella configurazione post-transitorio e si calcola iL (∞) sostituendo l’induttore con un corto circuito.

3. Si ricava la resistenza equivalente Req del circuito “vista” dai morsetti dell’induttore per t>0.

4. Si calcola la costante di tempo ττττ = L/Req.

5. Si applica la formula risolutiva per il calcolo dell’andamento dinamico di iL(t).

6. Si sostituisce l’induttore con un generatore indipendente di corrente di valore iL(t) oppure con un generatore indipendente di tensione di valore vL(t) = L diL (t)/dt.

7. Si ricava la grandezza desiderata x (t).

Con il metodo sistematico si considerano

circuiti resistivi in regime stazionario

evitando la risoluzione di equazioni differenziali.

esempio 1 - Transitorio RC

L’interruttore è chiuso per t<0 e si apre in t= 0.

Ricavare i(t) per t>0.

Metodo sistematico, punto (1)

Si considera la fase stazionaria del circuito nella configurazione che precede il transitorio e si calcola vC(0-) sostituendo il condensatore con un circuito aperto.

Si ha: vC (0-) = vC (0+) = vC (0).

esempio 1 metodo sistematico, punto (1)

t = 0-

I due resistori sono in parallelo, il loro equivalente è 1,5 kΩ

vC (0-) = 1,5 ·10 3 ·10 -3 = 1,5 V = vC (0+)

esempio 1 metodo sistematico, punto (2)

Metodo sistematico, punto (2)

Si considera la fase stazionaria del circuito nella configurazione post-transitorio e si calcola vC(∞) sostituendo il condensatore con un circuito aperto.

vC (∞) = 2 · 10 3 ·1·10 -3 = 2 V

t ∞

esempio 1 metodo sistematico, punti (3) , (4)

Metodo sistematico, punti (3), (4)

Si ricava la resistenza equivalente Req del circuito “vista” dai morsetti del condensatore t>0 .

Si calcola la costante di tempo ττττ = Req C

t ∞

Req = 2 kΩ

ττττ = Req C = 2 · 10 3 ·1·10 -6 = 2 ms

esempio 1 metodo sistematico, punti (5) , (6) , (7)

Metodo sistematico, punti (5), (6), (7)

Si applica la formula risolutiva per il calcolo dell’andamento dinamico di vC(t)

Si sostituisce il condensatore con un generatore indipendente di corrente di valore iC(t) = C dvC(t)/dt

Si ricava la grandezza desiderata i (t)

[ ][ ] V5022251

0

500500 tt

C/t

CCC

e,e,

)(ve)(v)(v)t(v

−−

−

⋅−=+⋅−=

=∞+⋅∞−= τ

mA0,25A250105005006 ttC

C eedt

)t(vC)t(i −−− ⋅=⋅⋅==

LKCe)t(i)t(i tC mA0,2511

500−⋅−=−=

[ ] [ ] mA0,251117500500500500 ttt ee,)(ie)(i)(i)t(i −−−+ ⋅−=+⋅−=∞+⋅∞−=

esempio 2 - Transitorio RC

L’interruttore si apre in t= 0.

Ricavare la corrente i(t) per t>0.

Metodo sistematico, punto (1)

Si considera la fase stazionaria del circuito nella configurazione che precede il transitorio e si calcola vC(0-) sostituendo il condensatore con un circuito aperto.

Si ha: vC (0-) = vC (0+) = vC (0).

esempio 2 metodo sistematico, punto (1)

La tensione vC (0-) corrisponde alla caduta di tensione sul resistore da 5 Ω.

vC (0-) = 5 ·1 = 5 V

t = 0-

esempio 2 metodo sistematico, punto (2)

Metodo sistematico, punto (2)

Si considera la fase stazionaria del circuito nella configurazione post-transitorio e si calcola vC(∞) sostituendo il condensatore con un circuito aperto.

vC (∞) = (5+5) · 1 = 10 V

t ∞

La corrente nel resistore da 15 Ω è nulla.

esempio 2 metodo sistematico, punti (3) , (4)

Metodo sistematico, punti (3), (4)

Si ricava la resistenza equivalente Req del circuito “vista” dai morsetti del condensatore t>0 .

Si calcola la costante di tempo ττττ = Req C

t ∞

Req = 5 + 5 + 15 = 25 Ω

ττττ = Req C = 25 ·1·10 -3 = 25 ms

1/ττττ = 1000/25 = 40 s−−−−1

esempio 2 metodo sistematico, punti (5) , (6) , (7)

Metodo sistematico, punti (5), (6), (7)

Si applica la formula risolutiva per il calcolo dell’andamento dinamico di vC(t)

Si sostituisce il condensatore con un generatore indipendente di corrente di valore iC(t) = C dvC(t)/dt

Si ricava la grandezza desiderata i (t)

[ ][ ] V51010105

0

4040 tt

C/t

CCC

ee

)(ve)(v)(v)t(v

−−

−

⋅−=+⋅−=

=∞+⋅∞−= τ

A0,2A2001040403 ttC

C eedt

)t(vC)t(i −−− ⋅=⋅⋅==

LKCe)t(i)t(i tC A0,211

40−⋅−=−=

[ ] [ ] A0,2111800404040 ttt ee,)(ie)(i)(i)t(i −−−+ ⋅−=+⋅−=∞+⋅∞−=

esempio 2

esempio 3 - Transitorio RL

Il circuito è in regime stazionario in t=0−−−−.

L’interruttore si apre in t=0.

Calcolare la corrente i(t) per t>0.

Metodo sistematico, punto (1)

Si considera la fase stazionaria del circuito nella configurazione che precede il transitorio e si calcola iL(0-) sostituendo l’induttore con un cortocircuito.

Si ha: iL (0-) = iL (0+) = iL (0).

esempio 3 metodo sistematico, punto (1)

Si applica la LKC.

iL (0-) = iL + iL = (20/4) + (3/3) = 6 A

t = 0-

esempio 3 metodo sistematico, punto (2)

Metodo sistematico, punto (2)

Si considera la fase stazionaria del circuito nella configurazione post-transitorio e si calcola iL(∞) sostituendo l’induttore con un corto circuito.

iL (∞) = 20/4 = 5 A

t ∞

esempio 3 metodo sistematico, punti (3) , (4)

Metodo sistematico, punti (3), (4)

Si ricava la resistenza equivalente Req del circuito “vista” dai morsetti dell’induttore per t>0 .

Si calcola la costante di tempo ττττ = Req C

t ∞

Req = 4 Ω

ττττ = L/Req = 2/4 = 0,5 s

1/ττττ = 2 s−−−−1

esempio 3 metodo sistematico, punto (5)

Metodo sistematico, punto (5)

Si applica la formula risolutiva per il calcolo dell’andamento dinamico di iL(t)

[ ]

[ ] A5556

0

22 tt

L/t

LLL

ee

)(ie)(i)(i)t(i

−−

−

+=+⋅−=

=∞+⋅∞−= τ

esempio 4- Transitorio RL

Calcolare la corrente ix(t)

Metodo sistematico, punto (1)

Si considera la fase stazionaria del circuito nella configurazione che precede il transitorio e si calcola iL(0-) sostituendo l’induttore con un cortocircuito.

Si ha: iL (0-) = iL (0+) = iL (0).

esempio 4 metodo sistematico, punto (1)

Si applica la legge di Ohm

iL (0-) = 30/10 = 3 A

t = 0-

esempio 4 metodo sistematico, punto (2)

Metodo sistematico, punto (2)

Si considera la fase stazionaria del circuito nella configurazione post-transitorio e si calcola iL(∞) sostituendo l’induttore con un corto circuito.

iL (∞) = 30/7,5 = 4 A

t ∞

La corrente i1 è nulla

Il parallelo 30//10 = 7,5 Ω

esempio 4 metodo sistematico, punti (3) , (4)

Metodo sistematico, punti (3), (4)

Si ricava la resistenza equivalente Req del circuito “vista” dai morsetti dell’induttore per t>0 .

Si calcola la costante di tempo ττττ = Req C

t ∞

Req = 30//30//10 = 6 Ω

ττττ = L/Req = 0,5/6 = 1/12 s

1/ττττ = 12 s−−−−1

esempio 4 metodo sistematico, punti (5) , (6) , (7)

Metodo sistematico, punti (5), (6), (7)

Si applica la formula risolutiva per il calcolo dell’andamento dinamico di iL(t)

Si sostituisce l’induttore con un generatore indipendente di tensione di valore vL(t) = L diL (t)/dt

Si ricava la grandezza desiderata i (t)

[ ]

[ ] A4443

0

1212 tt

L/t

LLL

ee

)(ie)(i)(i)t(i

−−

−

−=+⋅−=

=∞+⋅∞−= τ

V6V12501212 ttL

L ee,dt

)t(iL)t(v −− ⋅=⋅⋅==

LKTe,)t(v

)t(i tLx A603

10

30 12−⋅−=−=

10 Ω

vL(t)

[ ] [ ] A0,6333420121212 tt

xt

xxx ee,)(ie)(i)(i)t(i −−−+ ⋅−=+⋅−=∞+⋅∞−=

esempio 4

esempio 5 Sovrapposizione nei circuiti del primo ordine

Il condensatore è carico in t=0 con v(0)=5 V.

Applichiamo il metodo sistematico e la sovrapposizio ne degli effetti.

V9=∞)(vC

esempio 5 Sovrapposizione nei circuiti del primo ordine

esempio 5 Sovrapposizione nei circuiti del primo ordine

ms1

k3

=

Ω=

τ

eqR

Il condensatore è carico in t=0 con v(0)=5 V.

Applichiamo il metodo sistematico e la sovrapposizio ne degli effetti.

esempio 5 Sovrapposizione nei circuiti del primo ordine

V51000

1

te)t(v −=

esempio 5 Sovrapposizione nei circuiti del primo ordine

( ) V161000

2

te)t(v −−=

esempio 5 Sovrapposizione nei circuiti del primo ordine

( ) V131000

3

te)t(v −−=

( ) ( ) V49161351000100010001000

321

ttttC eeee)t(v)t(v)t(v)t(v −−−− −=−+−+=++=