Circuiti RC e RL

Circuiti Elettrici

Circuiti del primo ordine RC ed RL

Versione Slide v04

Introduzione Abbiamo visto nel corso delle precedenti lezioni

(Lez_9) che a regime condensatori ed induttorisi comportano rispettivamente come circuitiaperti e cortocircuiti.

Disponiamo quindi gi di tutti gli strumentinecessari per lanalisi a regime

Quello che analizzeremo nel corso delleprossime lezioni levoluzione temporale che letensioni e le correnti manifestano nellarrivarealla condizione a regime

Lez 10 - 2

Introduzione Le leggi di Kichhoff sono valide in assoluto e

quindi applicabili anche allanalisi deicomponenti conservativi.

Lapplicazione delle leggi di Kichhoff ai circuitipuramente resistivi da luogo ad equazionialgebriche

Lapplicazione delle leggi di Kichhoff a circuiticontenenti un solo elemento conservativo(circuiti RC o RL) da luogo ad equazionidifferenziali del primo ordine un circuito delprimo ordine quindi caratterizzato daunequazione differenziale del primo ordine.

Lez 10 - 3

Motivazioni

Circuiti del primo ordine sono semplici maestremamente diffusi.

Molti circuiti complessi possono essereragionevolmente approssimati come circuiti delprimo ordine

Circuiti contenenti: un resistore e un condensatore circuiti RC un resistore e un induttore circuiti RL

Lez 10 - 4

Osservazione

Essendo le resistenze componenti passividissipativi, in assenza di generatori nei circuitipuramente resistivi non si possono averecorrenti elettriche e quindi non si pu averetrasferimento di energia

I componenti conservati possonoimmagazzinare energia al loro interno sipossono avere correnti anche in assenza digeneratori

Si hanno quindi due modi per poter eccitare ilcircuito

Lez 10 - 5

Risposta libera o naturale e risposta forzata

Le due modalit di eccitazione dei circuiti RC eRL sono: lenergia gi immagazzinata nel

componente conservativo e viene rilasciatagradualmente provocando lo scorrimento dicorrente nelle diverse parti del circuito finoallesaurimento dellenergia iniziale; in questocaso si parla di circuito autonomo e dirisposta libera o naturale.

I componenti conservativi sono scarichi (noenergia immagazzinata) ed il circuito vienealimentato attraverso generatori indipendenti;in questo caso si parla di risposta forzata.

Lez 10 - 6


Lunione di queste due situazioni limite esemplificate: 1) risposta libera o naturale(circuito autonomo) e, 2) componenticonservativi inizialmente scarichi (no energiaimmagazzinata) ed alimentazione attraversogeneratori indipendenti (risposta forzata), daluogo allanalisi completa di ci che puavvenire al circuito e viene quindi detta rispostacompleta.

Lez 10 - 7


Partiremo analizzando il caso pi facile in cuiallistante t=0 lenergia gi immagazzinata nelcomponete conservativo e non sono (pi) presentii generatori (generatori che, in istanti precedenti,hanno caricato i componenti conservativi)

Analizzeremo quindi laltro caso semplificato nelquale sono presenti generatori indipendenti(costanti), ma lenergia immagazzinata allistanteiniziale zero

Concluderemo con lanalisi generale nella qualesono presenti sia generatori (indipendenti ecostanti) che energia iniziale (risposta completa)

Lez 10 - 8

Indice

0. Richiami di matematica1. Circuito RC autonomo e risposta naturale2. Circuito RC e risposta forzata al gradino3. Circuito RC e risposta completa al gradino4. Circuito RL autonomo e risposta naturale5. Circuito RL e risposta forzata al gradino6. Circuito RL e risposta completa al gradino

Lez 10 - 9

Alimentazione del circuito: funzioni singolari elementari

Siamo interessati allanalisi di cosa succedequando colleghiamo uno o pi generatori ad unsistema del primo ordine.

Come possiamo modellizzare matematicamentetale collegamento?

Utilizzo delle funzioni singolari elementari,ovvero di funzioni discontinue o con derivatediscontinue

Lez 10 - 10

Funzione a gradino unitario u(t)

Lez 10 - 11

Funzione a gradino unitario u(t)

Lez 10 - 12

Funzione a gradino unitario ritardata di t0

Funzione a gradino unitario anticipata di t0

Collegamento di generatori

Lez 10 - 13

Propriet degli esponenziali

Lez 10 - 14

yxyx

x

x

xxxx

yxy

xyxyx

xx

aa

ba

bababa

aaaaaa

aaa

e

e

1 e 10

Propriet dei logaritmi

Lez 10 - 15

xx

yxyx

yxyxa

baababx

aa

aaa

aaa

aa

xa

loglog

logloglog

logloglog01log e 1log

)0,1,0( log

1) Circuito RC autonomo e risposta naturale

Si ha un circuito RC autonomo quando, perqualunque ragione, il generatore che forniscelalimentazione viene scollegato dal circuito.

Lenergia presente nei condensatori vienerilasciata ai resistori

Obiettivo: determinare correnti e tensionidurante il trasferimento di energia daicondensatori ai resistori risposta libera onaturale

Lez 10 - 16

Circuito RC autonomo e risposta naturale

La resistenza e ilcondensatore possono essereanche una resistenza e uncondensatore equivalente

Il condensatore inizialmentecarico ad una tensione V0

Lenergia immagazzinataallistante t = 0 vale

200 2

1 CVw

Lez 10 - 17


Lez 10 - 18

Poich la tensione ai capidel condensatore non puvariare istantaneamente:

0)0()0( Vvv


Applicando la KCL al nodo A

Ricordando che:

Quindi

A

0 CR ii

RviR / dtCdviC /

0dtdvC

Rv Equazione differenziale

del primo ordineLez 10 - 19

00)0( che ricordando VAVtv


Riordinando:

A

0dtdvC

Rv

ARCtv lnln RCtAetv /)(

RCteVtv /0)(

Lez 10 - 20

0RCv

dtdv dt

RCvdv 1

Risposta naturale circuito RC

RCteVtv /0)(

[s] RCCostante di tempo

Lez 10 - 21

Quanto vale la corrente?

CR

R

RCt

iiiRtveVtv

)()( /0

RCteR

VRtvti /0)()(

Lez 10 - 22

Costante di tempo del circuito RC

RC

Lez 10 - 23

11

000

t

t

t

eVv

dtd

eVeVtveVtv RCt 010

/0 )()(

Costante di tempo del circuito RC

Decadimento rapido

Decadimento lento

Pi piccola t pi rapido il decadimento Dopo circa 5t il circuito raggiunge lo stato

finale stazionario

Lez 10 - 24

Potenza ed energia circuito RC/

0)(teVtv /0)( te

RVti

/22

0)()()( teR

Vtitvtp

/2200

121')'()( t

t

R eCVdttptw

Energia dissipata dal resistore

Potenza dissipata dal resistore

)0(21 , 20 twCVwt CR

Lez 10 - 25

Le quantit da determinare per studiare il circuito sono:1. Tensione iniziale v(0)=V0 sul condensatore2. Costante di tempo t

In t, R e C possono essere R e C equivalenti

Circuito RC autonomo: quantit da determinare per la risposta libera

t /0)(teVtv

CRt/0)( teRVti

Lez 10 - 26

Esempio (1)

Nel circuito vC(0)=15V. Calcolare vC(t), vx(t) e ix(t) per t>0

8kW

12kW 5kW100mF

ix

vxvc

Lez 10 - 27

Esempio (2)

Primo passo: rendere il circuito conforme a quello analizzato

8kW

12kW 5kW100mF

ix

vxvc Req

vc100mF

W kReq 45||)812(

Req

Lez 10 - 28

Esempio (3)

Secondo passo: calcolo la costante di tempo:

8kW

12kW 5kW100mF

ix

vxvc Req

vc100mF

W kReq 45||)812(

msCReq 4001010010463

Lez 10 - 29

Esempio (4)

Terzo passo: calcolo la tensione ai capi di C:

8kW

12kW 5kW100mF

ix

vxvc Req

vc100mF

W kReq 45||)812(msCReq 40010100104

63

4.0//0 15)(

ttC eeVtv

Lez 10 - 30

Esempio (5) quarto passo: calcolo le tensioni e correnti

richieste:

8kW

12kW 5kW100mF

ix

vxvc

4.0//0 15)(

ttC eeVtv

Le resistenze 8kW e 12kW for-mano un partitore di tensione:

Veetvtv ttCx 4.0/4.0/ 9156.081212)()(

Aeetvti ttCx 4.0/4.0/ 75.015201

8121)()(

Dopo circa t=5t=2s il transitorio si di fatto esaurito in quanto il condensatore si quasi completamente scaricato Lez 10 - 31

2) Circuito RC: risposta forzata

Il o i condensatori sono inizialmente scarichi elenergia fornita da uno o pi generatori.

Si analizzer un caso particolare nel quale igeneratori producono correnti o tensioni costantie un interruttore li collega istantaneamente alcircuito

In questo caso la risposta forzata viene anchedetta risposta forzata al gradino osemplicemente risposta al gradino

Lez 10 - 32

Risposta forzata al gradino

Quando un interruttore collega un generatore ad un circuito

La tensione o la corrente sono descritte da una funzione a gradino

Lez 10 - 33

Risposta forzata al gradino di un circuito RC

Supponiamo che allistantet=0 linterruttore si chiudae colleghi il generatore alcondensatore inizialmentescarico: v(t=0-)=0

Poich la tensione ai capidel condensatore non puvariare istantaneamente

0)0()0( vv

Lez 10 - 34


Per t>0 applichiamo la legge di Ohm a R

Da cui:

dtdvC

RvVi SR

dtRC

dvvVS

11

Integrando entrambi i membrie ricordando che v(t=0)=0:

t

t

tv

tvs RCtVv

0

)(

)0(ln

)1()(

t

S eVtv

Vs

iR

VR=Vs-v

Lez 10 - 35


00

)1(

0)(

t

teV

tv tS

00

0

tt

eR

VR

vVi tSSR

Lez 10 - 36


Se in t=0+ il condensatore inizialmente scarico:

RV

RvVi SS

)0()0(

Vst=0+

Lez 10 - 37


Al trascorrere di t, la corrente i carica C la cuitensione v(t) aumenta

Maggiore la tensione v(t) ai capi di C, minore lacaduta di tensione su R (VR = VS - v) e quindi lacorrente i rendendo pertanto pi lenta la caricadi C (la crescita di v(t))

RvVi SR

Lez 10 - 38

Vs

iR

VR=Vs-v

3) Circuito RC: Risposta completa al gradino

Supponiamo che allistantet=0 linterruttore si chiuda ecolleghi il generatore alcondensatore non comple-tamente scarico ma che sitrova alla tensione V0

Tiene conto di entrambe lesituazioni viste in prece-denza e viene detta rispostacompleta

0)0()0( Vvv

Lez 10 - 39

Poich la tensione ai capi del condensatore nonpu variare istantaneamente:

Risposta completa al gradino di un circuito RC

Applicando la KCL per t>0

Da cui:

0RVv

dtdvC S

RCdt

Vvdv

S

RC

dtVvVvd

S

S )(

con 0)0( Vv

RCt

VVVv

S

S )ln(

0t

SS eVVVtv

)()( 0

Vs

Vs-v

Lez 10 - 40

Risposta completa al gradino di un circuito RC

00

)()(

0

0

t

t

eVVV

Vtv t

SS

V0

VS

0VVS 0VVS

Lez 10 - 41

Risposta completa al gradino di un circuito RC metodo abbreviato

0)(

0)( /

0

0

teVVVtV

tv tss

Lez 10 - 42

Da quanto abbiamo vista in precedenza:

Non quindi necessario risolvere le equazionidifferenziali, ma sufficiente, attraverso resistenzee capacit equivalenti, portare il circuito nellaforma:


Per determinare la risposta al gradino di un circuito RC sono necessarie tre informazioni:

1. La tensione iniziale sul condensatore v(0)2. La tensione finale sul condensatore v()3. La costante di tempo t

La 1 si determina per t0

Lez 10 - 43


Se linterruttore commuta allistante t=t0 invece che allistante t=0, quanto visto nella precedente slide diventa:

0

)()()()( 0tt

evtvvtv

Lez 10 - 44


Quanto visto in precedenza, pu essereinterpretato in due modi:

1. Risposta completa = risposta naturale +risposta forzata

2. Risposta completa = risposta a regime +risposta transitoria

Lez 10 - 45

Risposta completa al gradino di un circuito RC naturale + forzata

0)(

0)(

/0

0

teVVVtV

tv tss

Rispostacompleta

//0

ts

ts eVeVV

Lez 10 - 46

Risposta naturale(energia immagazzinata)

Risposta forzata(sorgente indipendente)

)1()( //0 t

st eVeVtv

Risposta completa al gradino di un circuito RC transitoria + regime

V0

VS

Lez 10 - 47

0)(

0)( /

0

0

teVVVtV

tv tss

/0 )()(

tss eVVVtv

Risposta a regime(parte permanente)

Risposta transitoria(parte temporanea)

Rispostacompleta

Esempio (1)

Linterruttore si trova nella posizione A da molto tempo. A t=0linterruttore si sposta in B. Determinare v(t) per t>0 e calcolare il suo valore per t=1s e t=4s

A B

+-

+-24V 30V

3kW

5kW

4kW

t=0

0.5mF+v-

Lez 10 - 48

Esempio (2)

Per t

Esempio (3) Per t>0 linterruttore nella posizione B e la

tensione del condensatore non pu variareistantaneamente

Per t-> la capacit di nuovo un circuitoaperto v()=30V

Vvvv 15)0()0()0(

sRC 2105.0104 : valetempo di costante La 33

Lez 10 - 50

A B

+-

+-24V 30V

3kW

5kW

4kW

t=0

0.5mF+v-

Esempio (4)

t

evvvtv

)()0()()(

VeVett

1530 301530 22

Per t=1 s Vev 9.201530)1( 5.0

Per t=4 s Vev 97.271530)4( 2

Lez 10 - 51

A B

+-

+-24V 30V

3kW

5kW

4kW

t=0

0.5mF+v-

4) Circuito RL autonomo

Si ha un circuito RL autonomo quando, perqualunque ragione, il generatore che forniscelalimentazione viene scollegato dal circuito.

Lenergia presente negli induttori vienerilasciata ai resistori

Obiettivo: determinare correnti e tensionidurante il trasferimento di energia dagliinduttori ai resistori

Lez 10 - 52

Circuito RL autonomo

La resistenza e linduttorepossono essere anche unaresistenza e un induttoreequivalenti

Sullinduttore inizialmentecircola una corrente I0

Lenergia immagazzinatavale

200 2

1 LIw

Lez 10 - 53

Circuito RL autonomo

Lez 10 - 54

Applicando KVL:

Ricordando che:

0 RL vv

dtLRdi

idtdiLvL

1

Risposta naturale circuito RL

Operando in modo del tutto identico a prima si ottiene:

/0)(

teRItv

RL

/0)(teIti

/220)()()(

teRItitvtp

/220 121)( tR eLItw

)0(

21 , 20 twLIwt LR

Lez 10 - 55

Le quantit da determinare per studiare il circuito sono:

1. Corrente iniziale i(0)=I0 sullinduttore2. Costante di tempo t

In t, R e L possono essere R e L equivalenti

Circuito RC: quantit da determinare

/0)(

teRItv RL /

/0)(

teIti

Lez 10 - 56

Esempio (1)

Supponendo i(0)=10 mA, calcolare i(t) e ix(t) nel seguente circuito:

4kW

+-

i ix

3 103i2kW50mH

Lez 10 - 57

Esempio (2)

Primo passo: rendere il circuito conforma aquello studiato:

Req

i

50mH Req

Lez 10 - 58

4kW

+-

i ix

3 103i2kW50mH

Esempio (3) Calcolo di Req

Presenza di un generatoredipendente

o

oeq i

vR

4kW

+-

ix

2kW+-

i

vo=1V

io

3 103i

Lez 10 - 59

Req

4kW

+-

i ix

3 103i2kW50mH

Esempio (4)

Calcolo di o

oeq i

vR

0)(1021 213 ii

0104)(102103 23

123

13 iiii

1ii

-3 103i1

321 102

1 ii

0106105 23

13 ii

Lez 10 - 60

i1 i2

4kW

+-

ix

2kW+-

i

vo=1V

io

3 103i

Esempio (5)

Calcolo di o

oeq i

vR

321 102

1 ii

0106105 23

13 ii

mAi 31 mAii 310

W 310311

oo

oeq ii

vRLez 10 - 61

i1 i2

4kW

+-

ix

2kW+-

i

vo=1V

io

3 103i

Esempio (6)

Calcolo di t

ssRLeq

15.01015010

31

1050 93

6

Lez 10 - 62

i

50mH Req=1/3 kW

Esempio (7)

Calcolo di is 15.0

61015.010)(

t

eti

Dopo circa t = 5t = 0.75 ms il transitorio si di fattoesaurito in quanto linduttore si quasicompletamente scaricato

Lez 10 - 63

i

50mH Req=1/3 kW

5) Risposta forzata al gradino di un circuito RL

Supponiamo che allistante t=0 linterruttore si chiuda e colleghi il generatore ad un induttore non percorso da una corrente

Poich la corrente del dellinduttore non pu variare istantaneamente

0)0()0( ii

Lez 10 - 64

Risposta forzata al gradino di un circuito RL

Analogamente a prima si ottiene

00

)1(

0)(

tt

eR

Vti tS 000

)(

tt

eVtv t

s

dtLditv /)(

RL /

Lez 10 - 65


Se in t=0+ linduttore non percorso da correntei(0+)=0 ca

E come se L si opponesse allavariazione di i generando unatensione uguale e opposta aVs (legge di Lentz)

Allaumentare di t, lavariazione di corrente tende acalare e quindi si riduce lareazione di L

Si riduce la tensione indotta eaumenta la corrente su R

v(0+)=Vs

Lez 10 - 66


Supponiamo che allistantet=0 linterruttore si chiudae colleghi il generatore allinduttore percorso da unacorrente I0 =0

Poich la corrente deldellinduttore non puvariare istantaneamente:

0)0()0( Iii

Lez 10 - 67

6) Circuito RL: Risposta completaal gradino

Analogamente a prima si ottiene:

I0

VS /R

RViI S )(0 R

ViI S )(0

Lez 10 - 68

Risposta totale al gradino di un circuito RL metodo abbreviato

Per determinare la risposta al gradino di un circuito RL sono necessarie tre informazioni:

1. La corrente iniziale sullinduttore i(0)2. La corrente finale sullinduttore i()3. La costante di tempo t L/R

La 1 si determina per t0

Lez 10 - 69

Risposta totale al gradino di un circuito RL metodo abbreviato

Se linterruttore commuta allistante t=t0 inveceche allistante t=0, quanto visto nella precedenteslide diventa:

0

)()()()( 0tt

eitiiti

Lez 10 - 70

Risposta completa al gradino di un circuito RL metodo abbreviato

Anche per il circuito RL, quanto visto inprecedenza pu essere interpretato in duemodi:

1. Risposta completa = risposta naturale +risposta forzata

2. Risposta completa = risposta a regime +risposta transitoria

Lez 10 - 71

Risposta completa al gradino di un circuito RL naturale + forzata

0)(0

)( /0

0

teiiiti

ti tss

Rispostacompleta

//0

ts

ts eieii

Lez 10 - 72

Risposta naturale(energia immagazzinata)

Risposta forzata(sorgente indipendente)

)1()( //0 t

st eieiti

Risposta completa al gradino di un circuito RC transitoria + regime

Lez 10 - 73

/0 )()(

tss eiiiti

Risposta a regime(parte permanente)

Risposta transitoria(parte temporanea)

Rispostacompleta

0)(0

)( /0

0

teiiiti

ti tss

Lez 10 - 74

Il condensatore si oppone allebrusche variazioni di tensione equindi allistante di commutazionela corrente vale Vs/R2. dove (R2 laresistenza del flash molto piccola).Il flash dura 5 t (breve essendo R2piccola)

Applicazione: Flash fotografico

Lez 10 - 75

Applicazione: Flash fotografico

Lez 10 - 76

Grazie al fatto che linduttore si oppone alle bruschevariazioni di corrente, con una batteria a 12 V possibileottenere le migliaia di volt necessari per la scintilla.Essendo v = Ldi/dt, quando apro linterruttore la tensione vai capi dellinduttore aumenta fin tanto che non ottengo lascintilla; la scintilla si esaurisce quando si esauriscelenergia immagazzinata L i(t=0)2 dove i(t=0)=VS/R.

Applicazione: Accensione auto

Circuiti RC e RL

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