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Fisica II - Informatica Circuiti RL serie Un circuito che contiene una bobina, tipo un solenoide, ha una autoinduttanza che impedisce alla corrente di aumentare e diminuire istantaneamente . Chiudendo l’interruttore a t=0 la corrente aumenta e la f.e.m. dell’induttore (V ab < 0) sarà: 0 , , 0 , 0 ln 1 1 i L x t i x Rt L Rt L Rt L t i dI dI L e applicando Kirchoff IR L dt dt ponendo x R I dx dI L dI L dx dx R I x dt R R dt R dt x L dx R x R dt t x L x L x xe I e I e e R R R R costante di tempo del circuito RL serie L R

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Circuiti RL serieUn circuito che contiene una bobina, tipo un solenoide, ha una autoinduttanza che impedisce alla corrente di aumentare e diminuire istantaneamente .Chiudendo l’interruttore a t=0 la corrente aumenta e la f.e.m. dell’induttore (Vab < 0) sarà:

0

, , 0

,

0

ln

1 1

i

L

x t

ix

Rt L Rt L Rt L ti

dI dIL e appl icando Kirchof f IR Ldt dt

ponendo x R I dx dI

L dI L dx dx RI x dt

R R dt R dt x L

dx R x Rdt t

x L x L

x x e I e I e eR R R R

costante di tempo del circui to RL serie L

R

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Circuiti RL serie

1

max 0

t

t

I t eR

dIderivando si ha e

dt LdI

per tdt R

/ /Rt L tL

dIV L εe εe

dt

La caduta di tensione sull’induttore sarà

L’andamento temporale della corrente è

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• Analogamente ai circuiti RC esiste una costante di tempo che caratterizza il comportamento temporale del circuito

• Perchè RLcresce per L più grandi ?

– L si oppone a variazioni di corrente, e quindi rallenta il tasso di variazione.

• Perchè RLdiminuisce per R più grandi ?

– Grandi R riducono la corrente finale.

– Grandi R dissipano l’energia velocemente, velocizzano la “scarica” dell’induttore (cioè velocizzano la perdita di corrente).

RC RC

R

LRL

Circuiti RL

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Circuiti RL• Dopo che l’interruttore è stato

in posizione a per un tempo lungo, a t=0, viene portato in posizione b.

R

a

b

L

I I

• legge della maglia:

0dt

dILIR

• l’appropriata condizione iniziale è:R

tI

)0(

• La soluzione deve avere la forma:

LRteR

I /

LRtL e

dt

dILV /

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on off

t

0

-

I

t

0

RL/R

t

2L/R

0

R

I

0t

L/R 2L/R

LRteR

I /

LRtL e

dt

dILV /

LRteR

I /1

LRtL e

dt

dILV /

VLVL

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Energia di un induttore•Quanta energia è immagazzinata

in un induttore quandi una corrente fluisce attraverso esso ?

R

a

b

L

I I

•legge della maglia: dt

dILIR

• In questa equazione della conservazione dell’energia (per unità di tempo), identifichiamo PL, il tasso con cui l’energia è immagazzinata nell’induttore:

dt

dILI

dt

dUPL • Integriamo l’equazione per trovare una

espressione per U, l’energia immagazzinata nell’induttore quando la corrente = I :

U I

LIdIdUU0 0

2

2

1LIU

dt

dILIRIεI 2

•moltiplichiamo per I :

potenza erogata batteria potenza

dissipata resistenza

rapidità immagazzinamento energia (potenza) nell’induttanza

dEP

dt

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Dove è immagazzinata l’energia ?• Come nel caso del condensatore (energia immagazzinata

nel campo elettrico) per l’induttore l’energia è immagazzinata nel campo magnetico stesso.

• Per calcolare questa densità di energia, consideriamo il campo uniforme generato da un lungo solenoide:

• l’induttanza L vale:2

2

0 rl

NL

• l’energia U:2 2

2 2 2 20

0

1 1 1

2 2 2

N BU L I r I r l

l

• La densità di energia si ottiene dividendo per il volume in cui è contenuto il campo:

2

20

1

2

U Bu

r l

Il

NB 0 l

r

N avvolg.

Questa relazione, pur essendo stata ricaata nel caso del solenoide, è valida in ogni regione dello spazio in cui è presente un campo magnetico !

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Applicazione mutua induzione:caricabatteria wireless per spazzolino elettrico

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Consideriamo due induttori in parallelo

Usando la legge di Kirchhoff ai nodi, si ha:

L’induttanza equivalente si trova imponendo che tutti i 3 induttori siano alla stessa differenza di potenziale (in parallelo)

L’induttanza nei circuiti:Induttori in parallelo

L1 L2

i

i1

i2

dt

di

dt

di

dt

diiii 21

21

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Quindi

quindi gli induttori in parallelo si combinano come le resistenze: 1 21 2

1 2

1 2

L equivalente

L L L

equivalente

di didiV L L L

dt dt dtV di di V Vdi

L dt dt dt L L

1 2

11 1

equivalenteL L L

Induttori in parallelo

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Consideriamo due induttori in serie. Entrambi gli induttori saranno attraversati dalla stessa corrente i.

Poichè la corrente è la stessa allora di/dt è la stessa e la caduta di tensione sulla coppia vale:

Quindi gli induttori in serie si combinano come resistenze in serie:

1 2equivalente

di di diV L L L

dt dt dt

1 2equivalenteL L L

L2

i i

L1

Induttori in serie

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x

z

y

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Corrente di spostamento

0d I B s L’integrale di linea è esteso a qualsiasi percorso chiuso concatenato con la corrente di conduzione. Il teorema di Ampere in questa forma è valido solo se la corrente di conduzione è continua nello spazio.

0E

S E

dI con d

dt

E A

•Non è presente una corrente di conduzione tra le due armature !•Le due superfici S1 e S2 , delimitate dallo stesso percorso P, danno due risultati diversi (0I e 0)

•Per risolvere l’incongruenza Maxwell introdusse la

Corrente di spostamento

flusso campo elettrico

Applichiamo il teorema di Ampere nel caso di un condensatore, considerando le sup. S1 ed S2:

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Teorema di Ampere generalizzato

0 0 0 0E

S

dd I I I

dt

B s

I campi magnetici sono generati sia dalle correnti di conduzione sia dai campi elettrici variabili !

Teorema di Ampere-Maxwell

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Le equazioni di Maxwell

0

0 0 0

:

: 0

:

:

B

E

QI d

II d

dIII d

dtd

IV d Idt

E A

B A

E s

B s

Noti i campi elettrico e magnetico, in un punto, la forza agente su una carica elettrica è data da

Questa relazione insieme alle 4 equazioni di Maxwell, fornisce una descrizione completa di tutte le interazioni elettromagnetiche classiche.

Teorema di Gauss (flusso elettrico totale attraverso superficie chiusa = carica netta)

Flusso magnetico netto attraverso una superficie chiusa è nullo (teorema Gauss per il magnetismo)

Legge di Faraday dell’induzione

Teorema di Ampere generalizzato

q q F E v B

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Onde Elettromagnetiche Maxwell dimostrò che i campi

elettrici e magnetici dipendenti dal tempo soddisfano una equazione d’onda.

La più importante conseguenza di questa teoria è la previsione dell’esistenza delle onde elettromagnetiche (campi elettrici e magnetici oscillanti).

La variazione dei campi crea reciprocamente il mantenimento della propagazione dell’onda: un campo elettrico variabile induce un campo magnetico e viceversa.

I vettori E e B sono tra di loro e alla direzione di propagazione.

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Calcolo equazione d’onda

, ,

.

, ,

.

B

B

x cost

Ein una direzione E x dx t E x t dx

xdalla I eq Maxwell

Ed E x dx t E x t dx

xflusso B concatenato B dx

d dB Bderivando rispetto a t dx dx

dt dt tsostituendo nella III eq di Maxwell

E

E s

B E Bdx dx

x t x t

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Calcolo equazione d’onda

.

, ,

. .

E

E

Consideriamo la IV eq MaxwellB

d B x t B x dx t dxx

Il flusso elettrico concatenato vale E dxd E

derivando rispetto al tempo dxdt t

sostituendoinsieme al precedente nella IV eq MaxB

B s

0 0 0 0

2

0 02

2 2 2 2

0 0 0 02 2 2 2,

.

E B Edx dx

x t x tderivando rispetto ad x la e sostituendoE B B E

x x t t x t tE E B B

e analogamentex t x t

eq onda lineare di ve

0

max

max

1

cos 2 2: 2

cos

locità c

E E kx t fe soluzioni con k e f

B B kx t c

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Calcolo equazione d’onda

2 2 2 2

0 0 0 02 2 2 20

max

max

1.

cos 2 2: 2

cos

E E B Be sono eq onda lineare di velocità c

x t x t

E E k x t fcon soluzioni con k e f

B B k x t c

212

0 2

70

8

0 0

8.85418 10

4 10

12.99792 10

C

N m

T msi trova che

Am

cs

velocità luce nel vuoto

La luce è un’onda elettromagnetica !!!

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Calcolo equazione d’onda

max

max

max

max max

max

max

max

cos

cos

sin

sin

2 22 !!!

E E k x t rispetto ad xCalcolando le derivate parziali di

B B k x t rispetto ad t

EkE k x t

E Bx dovendo essere kE BB x t

B k x tt

E Eessendo e k si ha c c

c B B

In ogni istante, in un’onda elettromagnetica, il rapporto tra il modulo del campo elettrico ed il modulo del campo magnetico è uguale alla velocità della luce !!!

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LC

CircuitiLC0

0

t

V

V

C

L

t

t

UB

UE

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Onde HertzianeSi può mettere in evidenza l’esistenza delle onde elettromagnetiche previste dalla teoria di Maxwell ?

Sì, nel 1887 Hertz mise a punto un sistema oer la generazione e rivelazione delle onde elettromagnetiche (onde radio).

Sì, nel 1887 Hertz mise a punto un sistema per la generazione e rivelazione delle onde elettromagnetiche (onde radio).

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Oscillazioni Elettromagnetiche

Analogia con la meccanica:Rammentiamo l’oscillatore meccanico massa-molla

k = costante elastica

-A +A

A = ampiezza delle oscillazioni

2

2

. : cos

d xm kx

dtsol x A t

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Oscillazioni di Energia T = periodo di oscillazione

Il condensatore si scarica, la corrente aumenta, l’energia si trasferisce dal campo elettrico a quello magnetico. Poi il ciclo si inverte e proseguirebbe all’infinito in assenza di meccanismi dissipativi.

Consideriamo un circuito LC

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Circuito LC

IdtQV

C C la caduta di tensione è

determinata dall’integrale della corrente sulla capacità

C

I(t)

2

2

dI d QV L L

dt dt la caduta di tensione è

determinata dalla derivata della corrente per l’induttanza

L

I(t)

Consideriamo un semplice circuito LC.

Il condensatore ha una carica iniziale Qmax e l’interruttore viene chiuso al tempo t=0.

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Circuito LC

2 2

2 2

0

1

Q dIL

C dtdQ Q d dQ

essendo I si ha Ldt C dt dt

d Q d x kQ analoga a x

dt LC dt m

Applichiamo la regola delle maglie al circuito LC.

La carica nel circuito oscillerà in modo analogo alla massa con la molla:

2

0

1

1

2

LC

f frequenza di risonanzaLC

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Esperimento di Hertztrasferimento di energia elettromagnetica

Hertz trovò che l’energia viene spedita dal trasmettitore al ricevitore quando la frequenza di risonanza del ricevitore veniva accordata con quella del trasmettitore. L’energia è trasportata da onde elettromagnetiche.

Es.: radio FM, TV, telefonia radiomobile

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Energia trasportata dalle onde elettromagnetiche

Flusso di energia in un’onda elettromagnetica = vettore di Poynting S

L’intensità di un’onda elettromagnetica è uguale al prodotto della densità di energia media per la velocità della luce.

0 02 2

0 02

2 22 max max max max

0 0 0

1

' cos1

cos2 2 2med

EBpoichè EB si ha S

E cBB E c da cui S valore istantaneo di S

cSe l onda è sinusoidale occorre fare il valore medio temporale di kx t

E B E cBessendo kx t si ha I S

c

In ter

S E B E B

222 2

0 00 0

22

00

22 max

0 max0

1 1

2 2 2 2

,

1 1, inf ,

2 2

E B

E B E B

med med med

E cBmini di densità di energia u E u E

Bquindi u u u u u E

Bmediando su un ciclo u E ed ine I S cu

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Spettro delle onde elettromagnetiche

Le onde elettromagnetiche viaggiano nel vuoto con velocità c, frequenza f e lunghezza d’onda . I vari tipi di onde elettromagnetiche, prodotte tutte da cariche accelerate, sono mostrate in figura.

Es.: onda radio di frequenza f=94.7MHz

= c/f = 3.17 m