IDRAULICA a.a. 2011-2012
Programma sintetico della parte di idraulica
Proprietà fisiche dei fluidi Idrostatica Cinematica Dinamica Idraulica applicata alle condotte: moto uniforme e cenni moto vario di
correnti in pressione Idraulica applicata ai canali: moto uniforme e moto permanente di correnti
a superficie libera
Testi consigliati Appunti di lezione Citrini, Noseda “Idraulica”, Seconda edizione - CEAM Milano Alfonsi, Orsi "Problemi di Idraulica e Meccanica dei Fluidi”, CEAM Milano
Ing. Francesca De Serio - Orario ricevimento: lunedì, ore 10:00 – 12:00Dipartimento Ingegneria delle Acque e di Chimica (1° piano) - [email protected]
Superficie A = L2 m2
Volume W = L3 m3
Velocità v = L/T m/s Accelerazione a = L/T2 m/s2
Forza F = M*a Kg m/s2 = N [Newton] Lavoro F*L J= Nm = Kg (m/s) 2 Potenza F*L/T Watt [W] = J/s = Nm/s
Massa [M] Kg Lunghezza [L] m Tempo [T] s Temperatura [] K (grado Kelvin)
°C = °K-273.15
UNITA’ DI MISURA (S.I.)In IDRAULICA le grandezze fondamentali sono:
Da queste derivano altre grandezze:
Altre unità di misura della pressione:
5
5
2
1 at = 10 Pa 1 bar = 1 at = 10 Pa 1 at = 10 m di colonna di H O1 at = 0.76 m di colonna di mercurio Hg
Pressione P = F/A = FL-2 N/m2 = Pa [Pascal]
UNITA’ DI MISURA (S.I.)
Distinzione tra solido e fluido:
Quando sulla superficie di un fluido si applica una forza, questo si deformafacilmente e la deformazione prodotta persiste nel tempo.
Fluido può essere liquido o aeriforme.
Elemento che li contraddistingue è il volume occupato: mentre i liquidi hanno un volume ben definito, gli aeriformi tendono ad occupare tutto il volume che hanno a disposizione, essendo estremamente deboli le forze agenti tra le particelle che li compongono.
DEFINIZIONI E PROPRIETA’
Nello studio dei fluidi, le grandezze che entrano in gioco sono:
• Densità = = Massa/Volume = [M] / [W] = kg/m3
• Peso specifico = = Peso/Volume = [F] / [W] = N/m3
Legati da relazione : = g con g accelerazione gravità
Proprietà caratteristiche dei fluidi
DEFINIZIONI E PROPRIETA’
( , )W W P ( , )P
pe r :
P = 1 a tθ = 15 °C
3 3
3 3
1000 / 98061 .226 / 12 .022
kg m N mkg m N m
acqua
a ria
e e
,P Valori particolari di riferimento:(nei manuali vi sono relazione esplicite che legano la densità alla pressione e alla
temperatura)
Inizialmente liquido ad una pressione P occupa un volume W,. Dopo aver applicato un aumento di pressione dP il volume iniziale saràdiminuito di una quantità dW.
dPdW
W 2
Nm
• Comprimibilità: importante proprietà dei fluidi, ossia quanto facilmente varia il volume conseguentemente a variazioni di pressione.
DEFINIZIONI E PROPRIETA’
0 dW Se: allora il fluido si definisce INCOMPRIMIBILE
Def: modulo di elasticità a compressione cubica
DEFINIZIONI E PROPRIETA’
9 2
4 2
2.12*10 /
10 /
N m
N m
a 20°Cacqua
aria
( , ) ( )P Comprimibilità cresce con la temperatura
Nelle pratiche applicazioni riterremo i liquidi (acqua) incomprimibili.Eccezione: fenomeno di colpo d’ariete. Gli aeriformi sono fluidi molto comprimibili, ma possono studiarsi come fluidi incomprimibili ogni volta in cui non vi sono forti variazioni di pressione e, quindi, di densità.
Equazione di stato dei liquidi in forma indefinita
d dP
Equazione di stato dei liquidi in forma indefinita.
0d
S e : ovvero fluido incomprimibile significa = cost
Equazione di stato dei gas in forma indefinita
La relazione confrontata con quella dei liquidi mostra che la comprimibilità è stata sostituita da nP.
d dPnp
Equazione di stato dei gas in forma indefinita.
c
Nel caso dell’acqua a 20°C:
Alla comprimibilità è legata la celerità, ossia la velocità con la quale si trasmette il suono nel fluido:
1400 /c m s
Nel caso dell’aria a 20°C: 275 /c m s
Le forze che entrano in gioco sono suddivise in due grandi categorie:
1) Forze di massa: sono forze che esistono perché esiste una massa (es. forza peso).
2) Forze di superficie: sono forze che si esercitano sulla superficie di un liquido, all’interfaccia tra due liquidi o all’interfaccia tra un liquido e un aeriforme. Di solito vengono introdotte perché le equazioni della dinamica sono scritte per porzioni di fluido idealmente ottenute tagliandole dal loro contesto
Interazione forza - fluido
A
d Π Π
In Idraulica e in generale ogni qualvolta si tratta con sistemi continui, piuttosto che in termini di forze, ci si esprime in termini di sforzo (o tensione) cosìdefinito:
2Nm
ddA
ΠΦ Φ
Tensioni in un fluido
Forza di superficie
Dato un fluido, in moto oppure fermo, è possibile conoscere lo stato tensionale in un punto rispetto ad una qualunque giacitura, purché si conoscano le tensioni nel medesimo punto su tre piani perpendicolari tra loro.
0i
n x x y y z z
Fn n n
Φ Φ Φ Φ
avendo trascurato forze massa rispetto a quelle superficie
Il teorema del tetraedro di Cauchy
Relazione vettoriale può essere scomposta in tre relazioni scalari. Indichiamo con il doppio indice: - il primo indice: la direzione della normale alla superficie su cui agisce lo sforzo, - il secondo indice: la direzione dell’asse secondo cui si proietta. Si ottiene:
tetraedro di Cauchy
Per conoscere Φn in un punto bisogna conoscere matrice quadrata di ordinetre TENSORE DEGLI SFORZI
• simmetrico: Φij = Φji
• Φii componenti NORMALI: x y z
• Φij componenti TANGENZIALI: x y z
Quando, qualunque sia il piano passante per un punto, lo sforzo ammette solocomponente normale (cioè è perpendicolare a quel piano), allora tale sforzo ha modulo costante = pressione
x = y = z = p
x = y = z = 0n pΦ n
Caso di fluidi perfetti e fluidi reali in quiete
Interazione forza - fluido
TENSIONE SUPERFICIALE Forza con cui le molecole sulla superficie di un liquido sono attratte verso l'interno lo strato superficiale si comporta come sottile pellicola elastica forma goccia
[s] = [F]/L =Nm-1
Pressione esterna pe e la tensione superficiale stendono a contrarre la bolla.
Per l’equilibrio è necessaria una pressione interna Pi che deve tendere ad espanderla
L1L2
P = Pi – Pe > 0
L2
Pi > Pe
superficie a doppiacurvatura
Sulla superficie con due curvature nascono due forze (F1 e F2 orientate verticalmente verso il basso) e che possono essere sommate, dando luogo ad una F.
Interazione forza - fluido
Dividendo questa forza per la superficie su cui agisce, si ottiene dopo alcuni passaggi:
s1 2
FPL L
1 2
1 1R R
Legge di Laplace
Acqua Mercurio
Interfaccia aria – acqua – vetro
Interazione forza - fluido
Interfaccia aria – mercurio – vetro
Forza totale esercitata all’interfaccia proiettata sulla verticale deve bilanciare il peso P della colonna di fluido sollevata (o abbassata). Dall’equilibrio si ricava:
h
d
s
P
h
d
s
h
d
s
P
CAPILLARITA’
legge di Jurin - Borelli
4 cosgh
gd
sP
Viscosità indica la resistenza che un fluido oppone allo scorrimento di uno strato adiacente. Dipende dal tipo di fluido e dalla temperatura. Nei liquidi la viscositàdecresce all'aumentare della temperatura, nei gas invece cresce.
VISCOSITA’
Interazione forza - fluido
Esperienza del viscosimetro piano - moto alla Couette
Piastra soggetta a forza F si muove. Strati di fluido adiacenti si muovono anch’essi. Si osserva sperimentalmente distribuzione LINEARE della velocità.
Fluido a contatto con parete fissa:
Fluido a contatto con piastra mobile:
0Au
dyyudy
yuuu AB
per il cosiddetto principio di aderenza o no-slip.
uB
u
uB
Per effetto della diversa distribuzione della velocità lungo la verticale, si verifica una deformazione angolare, di un angolo d, del fluido ABCD, ossia la porzione di fluido ABCD, dopo l’intervallo di tempo dt, si porta in AB’C’D.
Interazione forza - fluido
u
Sperimentalmente si osserva che F è proporzionale all’area A di contatto tra piastra e fluido e al gradiente di velocità in direzione ortogonale al moto.
Il coefficiente di proporzionalità si indica con e prende il nome di viscositàdinamica, ottenendo, così
duF Ady
Dividendo la forza F per l’area su cui essa agisce, si ottiene lo sforzo:
dudy
legge di Newton
Interazione forza - fluido
Con alcuni passaggi si ottiene e quindi:du ddy dt
Equazione reologicadel fluido
DEF: viscosità cinematica il rapporto tra la viscosità dinamica e la densità
2ms
ddt è la velocità di deformazione angolare
2N sm
per l’acqua:: = 106 m2/s
Interazione forza - fluido
Fluidi newtoniani: legame tra sforzo tangenziale e
velocità di deformazione angolare è LINEARE
Fluidi non newtoniani:• fluidi a comportamento indipendente dal tempo;• fluidi a comportamento dipendente dal tempo;• fluidi elastoviscosi.
disfacimento
tende a solidificare
vernici
frizioni0
Assorbimento dei gasI liquidi possono assorbire quantità di gas con cui vengono a contatto.
Vale la legge di Henry, secondo cui è costante il rapporto tra il volume dei gas che si può avere in un liquido e il volume del liquido stesso, al variare dellapressione:
costgas
liquido
WW
La massa di gas che può essere assorbito è direttamente proprozionale allapressione dove si riduce la pressione, deve liberarsi del gas
Diminuzione di pressione:si libera aria/gas
Inserimento sfiati
Inserimento scarichi di fondo per svuotare la
condotta
IDROSTATICACalcola le spinte, cioè le forze che un fluido in quiete esercita su superfici.
Equazione indefinita della statica dei fluidi
Elemento di volume parallelepipedoall’interno della massa fluida, soggetto a
forze di massa e di superficie
dydx
dz
x
z
y
P
PP d xx
dydx
dz
x
z
y
Forze di superficie
) - -P Px Pdydz P dx dydz dxdydzx x
Risultante forze superficie lungo asse x:
Analogamente si ragiona per le risultanti lungo assi y e z
Sia la forza che agisce sull’unità di massa.
Forze di massa
Allora, la forza di massa che agisce su tutto il parallelepipedo è:
f
dxdydz f
0massaF F superficieDovendo essere:
p p px y z
i j kf
grad p p f
Equazione indefinita della statica dei fluidi
Se siamo nel campo gravitazionale:
f g grad pg =
Se: asse z diretto verso alto; fluido è incomprimibile ovvero = cost 0pgrad z
pz cost
LEGGE DI STEVINO o della statica dei fluidi pesanti incomprimibili
A BA B
p pz z
dove:
z = Energia posizione
= Energia pressione p
OSSERVAZIONE: Se z = cost allora p = cost
Superfici ISOBARICHE sono orizzontali
Serbatoio collegato a un tubo piezometrico
A B
A B
p pz z
A Bp p
A Bp p
Applico Stevino ai punti A e B:
zC
pA = patm = 1 atm = 105 Pa
(infatti il piano per AB è isobarico)
CB
B C
ppz z
Applico Stevino ai punti B e C:
pC = pvuoto= 0
CB
C B B
ppz z h
BB
ph
qualunque sia B
ph
dove h èl’affondamento rispetto al piano su cui la pressione èzero = piano dei carichi idrostatici assoluti
piano dei carichi idrostatici relativi:è il piano su cui la pressioneè pari a quella atmosferica
zC
hB
5
310
9806 /10.33 Bh
N m
Pa m
distanza tra i due piani è:
acqua
Quindi si può anche scrivere:
pA = patm = 1 atm = 105 Pa ≈ 10.33 m(H2O) ≈ 760 mm(Hg)
Queste pressioni di cui abbiamo parlato finora sono pressioni ASSOLUTE: p = 0 nel vuoto e patmosferica = 1atm
In idraulica si preferisce usare sistema di riferimento pressioni RELATIVO: patmosferica = 0
Si definisce pressione relativa la differenza tra la pressione assoluta e la pressione atmosferica assoluta:
prel = pass – 105 Pa
Quindi: patmosferica rel = patmosferica ass – 105 Pa = 0
5
310
136000 /760 Bh
N m
Pa mm mercurio
Diagramma delle pressioni
w w
fdw grad P dw
Equazione globale della statica
W
n
n
A
x
z
yForze di superficieForze di massa
w
fdw G
Peso del volume
... w A
grad P dw P n dA
0G
Spinta della superficie A sul volume W
0G
= Spinta che la superficie di contorno esercita sul volume
Applicazione immediata: principio di Archimede
Secondo il principio di Archimede, un corpo immerso in un fluido è sottoposto ad una spinta verticale diretta verso l'alto, pari al peso G del volume del fluido che ha spostato.
condizione di equilibrio
G
Acqua
Corpo
Sia P il peso del corpo:
P>G: corpo affonda
P=G: equilibrio indifferente
P<G: galleggiante
SPINTE su superfici PIANE
0 A A
d p dA p A S S n n
x0
S
La spinta è diretta perpendicolarmente alla superficie piana e passa per ilCENTRO DI SPINTA C, che ha coordinate:
yc
y
Jx
M coordinata xC (distanza da retta sponda)
xyc
y
Jy
M coordinata yC del centro di spinta
• C ha profondità maggiore o uguale di quella del baricentro della piastra piana G, ovvero xCx0
• C coincide con il baricentro del diagramma delle pressioni
• se piastra ha asse verticale di simmetria, allora C si trova su tale asse
Osservazioni:
2y A
xy A
y A
J x dA
J xydA
M xdA
dove
Applicazioni
2
212
G G
G
S p A p hLhh hL hL
h L
h
p.c.i.r
hG
h
Gh
G
A
B
C
y
x
L
x1
dxx2
G
Asse simmetriayc = 0
x
dA Ldx
C
XC
Spinta su parete piana verticale
Centro di spinta nel casopiù generico:
3 32 1
2 22 1
23C
x xIxM x x
3
2
2 23 3C
hx hh
nel nostro caso:
Ragionando sul diagramma delle pressioni
p.c.i.r
h
L12
S h h L
h
C
C coincide col baricentro diagramma pressioni, che per un triangolo si trova a 1/3 dalla base:
23Cx h
Spinta
Centro di spinta
xC
0 1 0 1
2 20 1
. .2 ( )
.2 ( )
h h h hS L
sen
h hL
sen
Centro di spinta
Spinta su parete piana obliqua
CIx
M
Diagramma delle pressioni in questo caso è trapezio, perché la base superiore della piastra non coincide col p.c.i.r.
Applico la formula:
Oppure risulta che: C coincide col baricentro del diagramma delle pressioni, che in questo caso è un trapezio
L
0h
1h
S
SCh0
h1
C
Manometri differenziali
P Qp p 1 2 ( )P Q mp h p h
2 2 1
2 2
m h
che si semplifica se 1 2
2
2
m
0G
1 0
0S
1 0 0G
1S G
SPINTE su superfici CURVE
Calcolo spinta su superficie pianae peso !!!
1. Concavitàverso liquido
0G
1 2
2S
1S G
1 2 0G G
1
G
2. Convessitàverso liquido
1S G
1
G
1or1v
S SSv
Sor
GSv
Sor
S
1S G
1-G
1or
1v
SSor
Sv
-GS
Sor
Sv
S
Formula di MariotteCalcolo dello spessore di una tubazione
Se h0 >> D, allora:
la variazione di pressione nella condotta è molto piccola, cioè:
p.c.i.r
D
h0
z
0Pz
0G
0AP ndA
è trascurabile dentro la condotta 0G
ed essendo:
D
D
1 0 0G
1 0S 2P rL
0 2P rL
2 2T P rL T PrL
. 2TT T PLr PDA L L
2 T
PD
2TNm
carico di sicurezza a trazione
ma:
e quindi:
Questa spinta del fluido S deve essere equilibrata dalle forze di taglio T:
T
T
0
r
1
PLS
Calcolo spinta S sul semicilindro:
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