Www.units.it/complex1 Lesponente di Hurst e la self-similarity Massimiliano Kaucic.

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L’esponente di Hurste la self-similarity

Massimiliano Kaucic


Origini del nome

Hurst (1951), nell’analisi dell’andamento delle acque del Nilo, fu il primo a trovare una persistenza nelle autocorrelazioni dei dati idrologici.

Questo fenomeno, nelle serie temporali del flusso di un fiume, prende il nome di Hurst effect.


Hurst effect e Hurst exponent

L’Hurst effect viene descritto nella pratica attraverso un numero, detto Hurst exponent (H).

A seconda dei valori che assume H avremo:• H = 0.5: i dati della storia passata non

influenzano lo sviluppo della serie;• H < 0.5: il processo ha un comportamento

antipersistente;• H > 0.5: il processo ha un comportamento

persistente;


Esempi


L’Hurst effect in economia

Lo stesso fenomeno, successivamente, è stato verificato pure in alcune serie storiche finanziarie.

In Economia lo si trova col nome di Joseph effect, nome datogli da Mandelbrot e Wallis (1969).


Breve excursus di lavori svolti sulla persistenza di alcune serie storiche finanziarie:

• Peters (1991 e 1994) su vari indici mondiali;

• Bollerslev e Mikkelsen (1996) per i valori assoluti dei rendimenti dell’indice Standard & Poor’s 500;

• Baillie, Bollerslev e Mikkelsen (1996) per la volatilità dei tassi di cambio nominali;

• Chen per 7 indici dell’area Asia-Pacifico.


Come impiegare l’Hurst exponent L’Hurst exponent è uno strumento operativo per descrivere i

processi stocastici debolmente stazionari (s.d.s.) che hanno memoria lunga.

Definizione

Un processo s.d.s. ha memoria lunga se la sua funzione di autocorrelazione ha un decadimento iperbolico, cioè

h12)( dChh

0C2

1d

per

dove e


Tecniche per il calcolo di H

1. Il primo strumento per la valutazione dell’esponente di Hurst è la Rescaled Range Analysis (R/S) di Hurst (1951).

Adattamenti e aggiornamenti successivi sono in:

• Mandelbrot e Wallis (1969);• Mandelbrot e Taqqu (1975);• Hampton (1996);• Taqqu e Teverovsky (1997).


L’algoritmo usato Per una serie storica {Xt}, con somma parziale

n

t

tXnY

1

)(

varianza campionaria

n

t

t nYn

Xn

nS

1

22

22 )(11

)(

la statistica R/S è

)()(min)()(max)(

1)(

00nY

n

ttYnY

n

ttY

nSn

S

R

ntnt


Pregi del metodo

• Il metodo è semplice e grazie alla rappresentazione pox-plot, è possibile controllare la bontà del risultato;

• La stima di H è stabile rispetto a differenti periodi campionati.


Limiti e difficoltà del metodo

• La stima di H può essere sensibile alla frequenza dei dati impiegati (giornalieri, settimanali, mensili,…);

• Alcuni sistemi possono avere cicli a breve memoria e le stime di R/S potrebbero manifestare una persistenza solo per brevi sottoperiodi;

• Non c’è una teoria completa per la distribuzione di E(R/S) per campioni a cardinalità finita (il problema risiede nel fatto che la stima di H passa per la relazione E(R/S) ≈ nH per n → +∞)


Due brevi precisazioni1. Poiché H è in effetti una stima, è molto

difficile trovarsi nelle condizioni di vedere chiaramente la struttura della serie:

“heuristics are sometimes developed where estimates of Hurst exponents which fall within an empirically-derived range, say [0.45,0.55], are interpreted as representative of a random walk process” (Hampton, 1996);

2. Per quanto concerne il problema di E(R/S), ci si può riferire a Peters (1994) e Conniffe e Spencer (2000)


2. Statistica R/S modificata di Lo

Novità introdotte:• Considera l’intero campione di dati (senza

dividerlo in blocchi);• Anziché usare la deviazione standard

campionaria S(n) per normalizzare R, usa una somma pesata di autocovarianze, Sq(N);

• Definisce la statistica R/S modificata come

)(

)(1:)(

NS

NR

NNV

qq


dove [0.809,1.862] è usato come intervallo di confidenza del 95% per testare l’ipotesi che la serie non abbia memoria lunga.

Osservazione: questo metodo non è in grado di fornire una stima di H.

95.062.1,809.0 Nq NVP

Risultato del metodo:


3. Statistica V

È uno strumento grafico pensato per dare una prima valutazione dei cicli interni ad una serie storica, ed è così definita:

n

nSRVn1

/

dove n<N.


Applicazione 1

nell’intervallo [0,210] con passo 0.5.

Essa presenta un esponente di Hurst pari a

H=0.57

)01.0(64)1.0(16)(4100)( tsentsentsentf

Consideriamo la serie storica generata dalla funzione:


Il grafico della funzione e la sua distribuzione

80 100 120 140 160 180 200

0

5

10

15

20

x 10-3

0 50 100 150 200 250100

110

120

130

140

150

160

170

180

190

t

F(t)


Statistica R/S e analisi OLS

2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.51.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

2.4

2.6

2.8

3

3.2

ln(n)

ln(R

/S)

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2001

1.5

2

2.5

3

3.5OLS Actual vs. Predicted

Actual Predicted

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4Residuals


Statistica V

2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.51.35

1.4

1.45

1.5

1.55

1.6

1.65

1.7

1.75

ln(n)

stat

istic

a V


Applicazione 2

Consideriamo una simulazione di prezzi giornalieri (250 rilevazioni) per un titolo che all’inizio dell’anno presenta un prezzo iniziale di 1 €, rendimento medio 12%, deviazione standard 7%.

Tale serie presenta un esponente di Hurst pari a H=0.54


Grafico della serie simulata

0 50 100 150 200 2500.96

0.98

1

1.02

1.04

1.06

1.08

1.1

1.12

1.14

1.16Serie storica giornaliera dei prezzi

giorno

prez

zo


Statistica R/S e analisi OLS

2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.51.2

1.4

1.6

1.8

2

2.2

2.4

2.6

2.8

3

ln(n)

ln(R

/S)

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2001

1.5

2

2.5

3OLS Actual vs. Predicted

Actual Predicted

0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-0.15

-0.1

-0.05

0

0.05

0.1Residuals


Statistica V

2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.51.1

1.15

1.2

1.25

1.3

1.35

1.4

1.45

ln(n)

stat

istic

a V


Self-similarity e modelli long-range

Definizione Un processo Xt si dice self-similar con parametro

H se per ogni a>0 le distribuzioni di (Xat) e aH(Xt) sono identiche.

Questo significa che la distribuzione della serie storica non cambia quando è vista variando la scala temporale, ovvero, la sua varianza rimane la stessa al variare della scala.


Proposizione

Se un processo è self-similar allora gode delle seguenti proprietà (equivalenti):

Hurst effect: la rescale range statistic è caratterizzata da una legge di potenza, del tipo

HnanSRE 1/

22

2var Hm maX

nper

Decadimento lento delle varianze: le varianze campionarie decadono molto più lentamente del reciproco della lunghezza del campione, cioè

al crescere di m;


Dipendenza di tipo long-range: la funzione di autocorrelazione decade in modo iperbolico, portando ad una funzione di autocorrelazione non sommabile, cioè tale che

k

kr

Haf 213)( 0

k

ikekrf )(

1,2

1H

(Questo significa che, sebbene r(k) sono individualmente piccoli per grandi intervalli, il loro effetto cumulativo non è trascurabile);

1/f noise: la densità spettrale f(·) obbedisce ad una legge di potenza in un intorno dell’origine, cioè

per , dove

dove e a1, a2, a3 sono costanti positive e indipendenti da m e .


Conseguenze: Dalle proprietà dei processi self-similar si ottengono

dei metodi per stimare l’esponente di Hurst, H:

1. la time-domain analysis: ad esempio la statistica R/S;

2. l’analisi delle varianze dei processi aggregati: ad esempio grafici varianza-tempo;

3. l’analisi basata sul periodogramma delle frequenze: ad esempio il Whittle’s maximum Likelihood Estimator (MLE) e il Local Whittle Method, che individuano i cambi strutturali e la memoria lunga, basandosi su modelli ARFIMA(p,d,q) (Hsu e Kuan (2000)).


Esempi di processi self-similar

• Processo Fractional Gaussian Noise (FGN);

• Processo Fractional Autoregressive Integrated Moving Average (FARIMA).


Il processo FGN Definizione 1 Si chiama processo FGN con parametro H (0,1) un processo stazionario Gaussiano con media μ, varianza e funzione di autocorrelazione

HHH kkkkr222 12)1(

2

1)(

Definizione 2FGN(H) è la derivata di un Fractional Brownian Motion con esponente H.

con k>0.


Il processo FARIMA(in letteratura si trova indicato anche con ARFIMA)

Definizione 1

Una serie storica si dice integrata di ordine d se ha una rappresentazione stazionaria e autoregressive moving average (ARMA), dopo l’applicazione dell’operatore (1-L)d.

Definizione 2

Una serie storica si dice integrata in modo frazionario se d non è intero.


Definizione 3

Una serie storica {Xt} segue un processo FARIMA(p,d,q) se

ttd LBXLLA )()1)((

.1)(,1)(),,0( 112 q

qp

pt LbLbLBLaLaLAiid

dove


Significato di d• 0 < d ≤ 0.5: la serie è un processo a lunga

memoria;

• 0.5 < d < 1: la serie è un processo a breve memoria;

• -0.5 < d < 0.5: la serie è stazionaria ed ergodica;

• d ≥ 0.5: il processo è non-stazionario, comunque riducibile al caso -0.5 < d < 0.5 prendendo le opportune differenze.


Esempio

La random walk è definita come il processo FARIMA(0,1,0) ed è descritta da:

ttXL )1(

La formula che lega queste due quantità è

H = d + 0.5

Relazione fra d e H

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