Vincoli Tensioni Caratteristiche di sollecitazione
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![Page 1: Vincoli Tensioni Caratteristiche di sollecitazione](https://reader036.fdocumenti.com/reader036/viewer/2022071920/55cf993d550346d0339c5b20/html5/thumbnails/1.jpg)
1
Vincoli, molteplicità e gradi di libertà Un corpo in un piano presenta tre possibilità di movimento: può muoversi lungo 2 direzioni
x ed y, tra loro perpendicolari, e può ruotare attorno ad un qualunque punto del piano.
Le strutture che noi studiamo sono costituite da aste che possono avere una qualunque
direzione, in genere però abbiamo elementi orizzontali che chiamiamo travi ed elementi
verticali che chiamiamo pilastri. I gradi di libertà di un’asta nel piano sono tre, ma se la
nostra struttura è costituita da più aste i gradi di libertà saranno pari a 3xn dove n è il
numero di aste di cui è costituita la struttura.
Affinché la struttura sia staticamente determinata, possa cioè stare in equilibrio devono
essere presenti dei vincoli che impediscono il movimento e che sono in grado di esercitare
delle forze che si oppongono a quelle che agiscono sulla trave. Le forze o i carichi
assegnati sulla trave si indicano, nel complesso, col nome di forze esterne a queste forze
si oppongono i vincoli attraverso delle forze che vengono chiamate reazioni vincolari.
L’insieme delle forze esterne più le reazioni vincolari devono annullarsi, affinchè la
struttura possa essere in equilibrio.
I vincoli possono dunque essere considerati da due diversi punti di vista: quello cinematico
(del movimento) e quello statico (delle forze) dal punto di vista cinematico il vincolo è un
dispositivo che riesce ad impedire uno o più movimenti alla struttura, dal punto di vista
statico il vincolo è un dispositivo in grado di esercitare una o più forze sulla struttura che
siano in grado di opporsi alle forze esterne.
In effetti i due punti di vista non sono poi così distinti, in quanto è chiaro, che se io voglio
impedire un movimento, devo essere in grado di esercitare una forza che impedisce quel
movimento.
Il numero di movimenti che un vincolo riesce ad impedire (possono essere 1, 2 oppure 3)
si dice molteplicità del vincolo, mentre, come abbiamo già scritto, i gradi di libertà
rappresentano il numero di movimenti che una struttura può compiere.
I vincoli sono il carrello e la biella (molteplicità uno) impedisce un movimento
La cerniera (molteplicità 2) impedisce due movimenti
L’incastro (molteplicità 3) impedisce tre movimenti
La molteplicità di un vincolo, oltre che esprimere il numero di movimenti che quel vincolo
riesce ad impedire, esprime anche il numero di forze che esso può produrre per opporsi a
quelle esterne. Quando risolviamo una struttura, ossia troviamo le reazioni dei vincoli, mettiamo una forza se c’è il carrello due forze se c’è la cerniera, due forze ed un momento se c’è l’incastro.
![Page 2: Vincoli Tensioni Caratteristiche di sollecitazione](https://reader036.fdocumenti.com/reader036/viewer/2022071920/55cf993d550346d0339c5b20/html5/thumbnails/2.jpg)
2
Se io voglio, dunque, impedire ad una struttura di muoversi dovrò inserire dei vincoli che
devono essere in grado di impedire tutti i movimenti che la struttura è in grado di
compiere. Ma come abbiamo già detto, impedire ad una struttura di muoversi significa
esercitare delle forze che impediscano i movimenti. Compito dei vincoli è allora quello di
esercitare un sistema di forze1 che si oppongono a quelle esterne e tali che la somma
totale di tutte le forze (esterne + reazioni vincolari) faccia zero, ossia che la struttura sia in
equilibrio.
La somma delle reazioni vincolari deve, dunque, essere uguale ed opposta alla somma
delle forze esterne.
Dal punto di vista matematico l’equilibrio significa, dunque somma delle forze uguale a
zero e più precisamente posso scrivere tre diversi equilibri:
Quello delle forze verticali: 0VF
Quello delle forze orizzontali: 0HF
Quello dei momenti delle forze rispetto ad un punto P qualsiasi: 0PM .
In base al numero di gradi di libertà (g.l.) ed alla somma delle molteplicità dei vincoli (m)
una struttura può essere:
1. labile
2. isostatica
3. iperstatica
Una struttura si dice labile se presenta delle possibilità di movimento.
Questo avviene sicuramente se la somma delle molteplicità dei vincoli è minore dei gradi
di libertà, . .Vm g l ma può anche accadere se i vincoli, pur essendo in numero
elevato, sono disposti in maniera non corretta;
La struttura sopra presenta tre gradi di libertà ma la somma delle molteplicità è pari a 2 (il
carrello ha molteplicità uno) quindi si può sicuramente muovere ed infatti può scorrere
lungo l’orizzontale.
1 La forza che esercita un vincolo si chiama reazione vincolare
![Page 3: Vincoli Tensioni Caratteristiche di sollecitazione](https://reader036.fdocumenti.com/reader036/viewer/2022071920/55cf993d550346d0339c5b20/html5/thumbnails/3.jpg)
3
L’asta seguente presenta 3 gradi di libertà, pur avendo 3 carrelli e quindi somma delle
molteplicità = 3, presenta possibilità di movimento, ossia si può muovere orizzontalmente
ed è dunque labile.
In effetti se i carrelli hanno tutti il piano di scorrimento parallelo, ne posso mettere quanti
ne voglio, ma la struttura sarà sempre labile.
N.B. Le strutture labili, in generale, non si possono risolvere, ma se non sono presenti forze che agiscono lungo la labilità sono risolvibili. Tuttavia una struttura di tipo edilizio non sarà mai labile. Ad esempio una trave orizzontale su due carrelli, se non sono presenti forze orizzontali ( la
labilità della struttura sta appunto nella possibilità di muoversi orizzontalmente) è
risolvibile, si ci fosse una forza orizzontale invece inizierebbe a muoversi e quindi sarebbe
irrisolvibile.
Una struttura si dice iperstatica, se risulta eccessivamente vincolata, ossia presenta una
somma delle molteplicità dei vincoli superiore ai gradi di libertà. . .Vm g l
Anche in questo caso vale però quanto detto sopra, ossia che i vincoli devono essere ben
disposti. Una struttura iperstatica, dunque, non presenta possibilità di movimento ed ha
somma delle molteplicità > del numero di gradi di libertà.
Le strutture che invece hanno più vincoli del necessario si dicono iperstatiche ed, in
genere, non sono risolvibili solamente con le equazioni della statica, ma bisogna fare
riferimento ad altre equazioni.
![Page 4: Vincoli Tensioni Caratteristiche di sollecitazione](https://reader036.fdocumenti.com/reader036/viewer/2022071920/55cf993d550346d0339c5b20/html5/thumbnails/4.jpg)
4
La struttura sopra è iperstatica perché l’incastro ha molteplicità 3 ed essendoci una sola
asta i gradi di libertà sono anch’essi tre, il carrello è quindi in più. Per ogni elemento noi
possiamo scrivere le tre equazioni di equilibrio, ma le incognite qui sarebbero 4: tre dovute
all’incastro ed una al carrello quindi ho tre equazioni e quattro incognite e perciò non
posso risolvere il problema.
La stessa struttura però se la sollecito solamente con una forza orizzontale si può risolvere
Infatti il carrello non è in grado di opporsi alla forza orizzontale, in pratica per quella forza
il carrello è ininfluente, l’incastro è dunque il solo vincolo che reagisce e lo farà con una
forza uguale ed opposta.
Si dicono infine isostatiche quelle strutture in cui . .Vm g l a patto però che i vincoli
siano disposti bene altrimenti potrebbero essere labili.
La più diffuse strutture isostatiche sono l’asta vincolata con cerniera e carrello e l’asta
incastrata:
In entrambi i casi si verica la condizione . .Vm g l ed i vincoli sono disposti bene.
Calcolo delle reazioni vincolari. La prima cosa da fare quando ci troviamo davanti ad una struttura è quella di calcolare le
reazioni vincolari, ossia quelle forze che i vincoli esercitano e che servono per opporsi alle
forze esterne di modo che la somma totale delle forze faccia zero!
Le reazioni vincolari rappresentano le incognite del nostro problema e sono pari, come
numero, alla somma delle molteplicità dei vincoli.
Per risolvere le strutture, ossia calcolare le reazione vincolari, devo dunque disporre di un
numero di equazione uguale al numero di incognite, ossia al numero delle molteplicità.
![Page 5: Vincoli Tensioni Caratteristiche di sollecitazione](https://reader036.fdocumenti.com/reader036/viewer/2022071920/55cf993d550346d0339c5b20/html5/thumbnails/5.jpg)
5
Noi abbiamo a disposizione tre equazioni per ogni asta, che, come abbiamo scritto,
vengono dette equazioni di equilibrio.
Sono dunque risolvibili quelle strutture che presentano un numero di gradi di libertà pari al
numero delle molteplicità dei vincoli, a patto che non presenti labilità.
La struttura a sinistra è costituita da tre aste, e presenta
dunque 3x3=9 gradi di libertà, possono dunque scrivere 9
equazioni. I vincoli sono invece 2 cerniere (molteplicità 2) e
due incastri (molteplicità 3) pertanto la somma delle
molteplicità fa 10 quindi superiore ai gradi di libertà. Il
sistema è dunque iperstatico e non si può risolvere con le
sole equazioni di equilibrio.
La struttura qui a sinistra è costituita da due aste, quindi
2x3=6 gradi di libertà, possono pertanto scrive 6 equazioni
di equilibrio. Le incognite, pari alla somma delle molteplicità,
sono anch’esse 6 (3 cerniere ognuna con molteplicità 2;
3x2=6). Il sistema ha, inoltre, i vincoli disposti bene ed è
dunque isostatico e risolvibile con le equazioni di equilibrio.
Dall’analisi di quanto scritto ci rendiamo conto che non si può semplicisticamente dire che
- le strutture con più vincoli del necessario sono iperstatiche
- quelle con vincoli strettamente necessari sono isostatiche.
Si può affermare con sicurezza che se . .Vm g l la struttura è labile
Se invece . .Vm g l la struttura può essere isostatica (se i vincoli sono ben disposti)
Infine se . .Vm g l la struttura può essere iperstatica.
Noi possiamo risolvere con le equazioni della statica solo quelle strutture che abbiano
. .Vm g l e che non siano labili, quindi con i vincoli ben disposti.
![Page 6: Vincoli Tensioni Caratteristiche di sollecitazione](https://reader036.fdocumenti.com/reader036/viewer/2022071920/55cf993d550346d0339c5b20/html5/thumbnails/6.jpg)
6
Caratteristiche di sollecitazione Le caratteristiche di sollecitazione sono: sforzo normale, momento flettente, taglio, e
momento torcente (quest’ultimo non lo abbiamo studiato perché molto raro).
Per capire cosa sono le caratteristiche di sollecitazione abbiamo immaginato di tagliare una
trave in due parti e di separare le due parti. Anche se la trave integra era in equilibrio i
due pezzi separati non lo sono e per assicurare l’equilibrio delle due parti separate
dobbiamo aggiungere delle forze.
E’ possibile notare come le forze che dobbiamo aggiungere alla due parti, per metterle in
equilibrio, sono le stesse sia da una parte che dall’altra.
Il fatto che la trave nel suo insieme sia in equilibrio, mentre i due pezzi non lo sono mi
permette di pensare che attraverso la sezione dove ho fatto il taglio si trasmettano delle
forze e queste forze si chiamano caratteristiche di sollecitazione.
Cerchiamo di capire meglio con un esempio. Consideriamo ad esempio la seguente trave,
sottoposta ad un sistema di forze in equilibrio:
100 N
350 N
2 m 4 m 2 m
287.5 N162.5 N
150 N 150 NC
Immaginiamo di tagliare la trave in due parti che indico con 1 e 2 e di aggiungere le forze
ad entrambi i pezzi per garantire l’equilibrio.
100 N
162.5 N
150 N
2 m 1.5 m
VC1
HC1
1
C1
MC1
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7
Per l’equilibrio verticale deve essere VC1 = 62.5 N
Per l’equilibrio orizzontale deve essere HC1=150 N
Se calcolo il momento flettente rispetto al punto C1 vedo però che la trave non è in
equilibrio, infatti 162,5 x 3,5 – 100 x 1,5 = 418,75 Nm in senso orario ed allora devo
aggiungere anche un momento pari a MC1= 418,75 Nm che però gira in senso opposto
(antiorario).
350 N
287.5 N
150 N
2 m2.5 m
2
HC2
VC2
C2
MC2
Anche per il pezzo 2:
Per l’equilibrio verticale deve essere VC2 = 62.5 N
Per l’equilibrio orizzontale deve essere HC2=150 N
Scrivendo l’equilibrio dei momenti rispetto al punto C2 ottengo MC2 = 418,75 Nm.
Il valore della forza orizzontale che si scambiano i due pezzi la chiamo sforzo normale,
quello della forza verticale la chiamo taglio, e quello del momento lo chiamo momento
flettente.
In pratica lo sforzo normale è dato dal valore della forza parallela all’asse della trave che si
scambiano i due pezzi, il valore del taglio equivale al valore della forza perpendicolare
all’asse che si scambiano i due pezzi ed infine il valore del momento flettente equivale al
valore della coppia (del momento) che si scambiano i due pezzi.
Relativamente al mio esempio quindi ho nella sezione C:
- sforzo normale pari a 150 N,
- taglio pari a 62,5 N
- momento flettente pari a 428,75 N
![Page 8: Vincoli Tensioni Caratteristiche di sollecitazione](https://reader036.fdocumenti.com/reader036/viewer/2022071920/55cf993d550346d0339c5b20/html5/thumbnails/8.jpg)
8
Adesso penso che il taglio che ho fatto lo posso fare in qualunque sezione della trave ed
allora in qualunque sezione della trave si scambiano delle forze ossia in qualunque sezione
della trave ci sono determinate caratteristiche di sollecitazione (le forze che si scambiano
in una sezione della trave le ho chiamate caratteristiche di sollecitazione).
Inoltre ho visto come in entrambi i pezzi le forze che devo aggiungere per l’equilibrio sono
le stesse, quindi le caratteristiche di sollecitazione dipendono solamente dalla sezione e
per trovarle è possibile considerare sia il pezzo di destra che di sinistra (per questo vi dico
sempre che è possibile guardare sia a sinistra che a destra).
Calcolo delle caratteristiche di sollecitazione e tracciamento dei loro diagrammi. Nel paragrafo precedente abbiamo capito cosa siano le caratteristiche di sollecitazione ed
abbiamo anche visto come calcolarle in una sezione.
Lo sforzo normale è il nodulo della forza parallela all’asse dell’elemento, il taglio è il
modulo della forza perpendicolare all’asse ed il momento flettente è rappresentato dal
valore della coppia.
Vediamo adesso un metodo più veloce per trovare il valore delle caratteristiche di
sollecitazione lungo la trave ed addirittura un diagramma che rappresenta il valore delle
caratteristiche lungo tutta la trave e non semplicemente in un punto.
Consideriamo a titolo di esempio l’asta seguente:
A
B C DE
F
q =200 N/m1
q =300 N/m2
200 N
1 m 0,5 m 1 m 2 m 1 m
200 N
Dapprima bisogna calcolare il valore dei due carichi q1 e q2 si moltiplica dunque l’intensità
del carico [N/m] per la lunghezza sulla quale è applicato ottenendo una forza [N], queste
forze le indico con la lettera Q.
Q1=200x1=200 N Q2 = 300x3=900 N
E si tolgono i vincoli mettendo al loro posto le forze incognite.
![Page 9: Vincoli Tensioni Caratteristiche di sollecitazione](https://reader036.fdocumenti.com/reader036/viewer/2022071920/55cf993d550346d0339c5b20/html5/thumbnails/9.jpg)
9
Nel caso del carrello si mette una forza diretta perpendicolarmente al piano di scorrimento
e nel caso della cerniera si mettono due forze uno orizzontale ed una verticale. Come
possiamo notare ho introdotto tre incognite: una dal carrello e due dalla cerniera.
N.B. il numero di incognite per definire la reazione del vincolo equivale alla molteplicità
dello stesso.
AB C D F
200 N
1 m 0,5 m 1 m 2 m 1 m
200 N
VE
HE
Q1
Q2
VA
Per calcolare le reazioni vincolari adesso uso le equazioni di equilibrio:
0HF ; - HE – 200 = 0 ; HE = -200 ; HE= 200 N
HE è venuta negativa, quindi significa che ho sbagliato a mettere il verso, anziché a
sinistra è a destra.
0EM ; -(VA x 4,5)–(Q1 x 4)–(200 x 3)–(Q2 x 0,5)= 0; sostituendo i valori di Q1 e Q2
-VA x 4,5 = 1850; VA=-1850/4,5 ; VA= 411,11 N
Anche VA è venuta negativa, quindi non è verso il basso, ma verso l’alto
0VF ; +411,11 - 200 - 200 - 900 +VE = 0; -888,89 + VE = 0; VE = 888,89 N
VE è venuto positivo e quindi è corretto verso l’alto.
Prima di procedere ai diagrammi delle caratteristiche di sollecitazione si ridisegna la trave
risolta ( con le reazioni vincolari trovate).
![Page 10: Vincoli Tensioni Caratteristiche di sollecitazione](https://reader036.fdocumenti.com/reader036/viewer/2022071920/55cf993d550346d0339c5b20/html5/thumbnails/10.jpg)
10
![Page 11: Vincoli Tensioni Caratteristiche di sollecitazione](https://reader036.fdocumenti.com/reader036/viewer/2022071920/55cf993d550346d0339c5b20/html5/thumbnails/11.jpg)
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Le tensioni Le caratteristiche di sollecitazione sono dunque le forze che agiscono in corrispondenza
delle sezioni della trave se però immagino di dividere in tanti piccoli pezzi l’area della
sezione posso immaginare che ogni elementino (pezzettino) di area contribuisca con una
piccola forza e naturalmente la somma di tutte queste piccole forze darà la forza totale
che viene scambiata attraverso la sezione.
Riferiamoci all’esempio fatto sopra, dove avevo trovato che nella sezione C c’è uno sforzo
normale pari a 150 N ossia una forza F perpendicolare alla sezione pari a 150 N.
Immagino di dividere in tanti quadratini la sezione ogni quadratino darà una forza ∆Fi e la
somma di tutte le forze deve essere pari ad F = 150 N, ossia ∑ Fi = F.
F
Tante forzettine
La cosa importante da capire è che ogni “clementino” della sezione contribuisce con una
“forzettina” e la somma di tutte le “forzettine” è uguale alla caratteristica di sollecitazione
(ricordo ancora che la caratteristica di sollecitazione è una forza).
Definiamo adesso cosa è la tensione: essa è il rapporto tra una forza ed un area. Per
arrivare al concetto di tensione devo pensare di divedere ogni “forzettina” (fornita da un
“clementino” di sezione) per l’area dell’”clementino” ossia se chiamo con Ai l’area del
generico pezzettino la tensione in quel pezzettino vale i
ii
Ft
A
come la forza la tensione è
rappresentabile con un vettore che ha le stesse direzione e verso della forza, ma il suo
valore è dato dal rapporto tra forza ed area e la sua unità di misura è Kg/cm2 oppure
N/mm2.
Se immagino di dividere la sezione in un numero enorme di pezzettini ogni pezzettino
diventerà talmente piccolo da essere un punto, in effetti la tensione è definita in ogni
punto della sezione.
Qualche rigo sopra avevo detto come la somma di tutte le “forzettine” deve essere uguale
alla forza totale che si scambia nella sezione utilizzando il concetto di tensione posso
adesso scrivere che:
![Page 12: Vincoli Tensioni Caratteristiche di sollecitazione](https://reader036.fdocumenti.com/reader036/viewer/2022071920/55cf993d550346d0339c5b20/html5/thumbnails/12.jpg)
12
i i ii i
F F t A .
Comportamento elastico lineare Una delle ipotesi che facciamo nello studio delle strutture è che i materiali da noi utilizzati
hanno un comportamento elastico-lineare.
Per comportamento elastico si intende il fatto che quando agisce una forza, ad esempio di
trazione l’elemento si deforma (allungandosi e restringendosi) e quando questa forza
smette l’elemento ritorna alle sue dimensioni naturali (come fa un elastico).
Per lineare si intende invece il fatto che gli allungamenti o accorciamenti sono
proporzionali alla forza ossia se tiro con una forza doppia l’allungamento è doppio, se tiro
con una forza tripla l’allungamento è triplo.
La legge di Hooke Introduciamo dapprima il concetto di deformazione: è il rapporto tra l’allungamento e la
lunghezza iniziale lunghezza finale - lunghezza iniziale
lunghezza iniziale
l
l
La deformazione non ha unità di misura essendo il rapporto tra 2 lunghezze.
Hooke dice che c’è una proporzionalità diretta tra tensioni e deformazioni.
Immaginiamo di tirare una asta essa subisce degli allungamenti e abbiamo detto che gli
allungamenti sono proporzionali alla forza la legge di hooke discende direttamente da
questo fatto, ma anziché considerare forze ed allungamenti considera tensioni e
deformazioni, d’altronde la tensione è legata alla forza essendo data dalla forzettina/area
dell’elementino e la deformazione è legata anch’essa all’allungamento essendo il rapporto
allungamento/lunghezza iniziale.
![Page 13: Vincoli Tensioni Caratteristiche di sollecitazione](https://reader036.fdocumenti.com/reader036/viewer/2022071920/55cf993d550346d0339c5b20/html5/thumbnails/13.jpg)
13
La compressione o trazione semplice Si ha compressione semplice quando la forza che agisce sull’elemento è perpendicolare
alla sezione e passa per il baricentro (in pratica la retta d’azione della forza coincide con
l’asse dell’elemento).
N N
Dall’osservazione della deformazione di un elemento sottoposto a compressione semplice
o a trazione semplice ci accorgiamo che si allunga in maniera uniforme, cioè tutti i punti di
una stessa sezione subiscono il medesimo allungamento o accorciamento ossia la stessa
deformazione, in base alla legge di Hooke posso allora dire che in tutti i punti della sezione
ci sarà la stessa tensione.
La tensione è dunque costante in tutti i punti di una stessa sezione, questo ragionamento
vale per qualunque sezione.
Abbiamo imparato che la tensione è data dal rapporto tra la “forzettina” e l’area dell’
“elementino” ed inoltre che la somma di tutte le forzettine sulla sezione è uguale al valore
della della caratteristica di sollecitazione.
i i ii i
N F t A , ma ho appena detto che la tensione è costante su tutta la sezione
ed allora t non dipende dall’elementino i-esimo ma essendo costante si può portare fuori
dalla sommatoria: i i i toti i
t A t A tA Naturalmente la somma delle aree coincide
con l’area totale della sezione.
Indicando dunque con N il valore dello sforzo normale che si ha in una sezione, in base a
quanto sopra detto ricavo che il valore della tensione (che indico con la lettera greca
costante in tutta la sezione, risulta N
A .
Il valore della caratteristica di sollecitazione N vale quindi: N A che posso
immaginare come un parallelepipedo avente come base l’area della sezione A e come
altezza il valore di Questa figura solida è detta prisma delle tensioni.
Il prisma delle tensioni Ricordo che la caratteristica di sollecitazione è una forza (o coppia) interna che viene
scambiata in una determinata sezione, abbiamo, inoltre, definito la tensione in un
![Page 14: Vincoli Tensioni Caratteristiche di sollecitazione](https://reader036.fdocumenti.com/reader036/viewer/2022071920/55cf993d550346d0339c5b20/html5/thumbnails/14.jpg)
14
quadratino come: i
ii
Ft
A
ossia ogni “quadratino” di area Ai contribuisce con una forza Fi
e naturalmente la somma di tutte queste forze deve essere uguale al valore della
caratteristica di sollecitazione in quella sezione.
Quindi: caratteristica di sollecitazione=i i ii i
F A t
A questo punto io posso immaginare di dividere l’area della sezione in tanti quadratini ed
applicare, perpendicolarmente, al centro di ogni quadratino una altezza pari al valore della
tensione. Si otterranno così tanti parallelepipedi il volume di ognuno, essendo Area di base
per altezza, sarà pari a i iA t il volume totale di tutti i parallelepipedi così ottenuti è
quindi: i ii
A t , quindi, per quanto detto sopra, il volume è uguale al valore della
caratteristica di sollecitazione. La figura solida il cui volume è pari alla caratteristica di
sollecitazione si chiama prisma delle tensioni.
Voglio qui introdurre il concetto di prisma delle tensioni esso è una figura ottenuta
riportando, punto per punto, sulla sezione di un elemento il valore della tensione in quel
punto. Si ottiene una figura geometrica il cui volume equivale al valore della caratteristica
di sollecitazione in quel punto.
La flessione semplice La flessione semplice si ha quando sulla trave agisce esclusivamente un momento o
coppia.
Per effetto di questo carico la trave si deforma piegandosi ed assumendo la forma di un
arco di cerchio. La trave cambia forma, il suo asse che prima era rettilineo diventa un arco
di cerchio ma la sua lunghezza non cambia.
La parte superiore della trave subisce un accorciamento e la parte la parte inferiore
subisce un allungamento.
![Page 15: Vincoli Tensioni Caratteristiche di sollecitazione](https://reader036.fdocumenti.com/reader036/viewer/2022071920/55cf993d550346d0339c5b20/html5/thumbnails/15.jpg)
15
Trave prima ------ e dopo la deformazione
Se guardiamo da vicino un tratto di trave posto al centro osserviamo la sua deformazione
nella figura seguente:
A
B
C
D
A'
B'D'
C'
La linea centrale si incurva, ma non subisce allungamenti o accorciamenti, mentre le altre
fibre si accorciano (sopra) o si allungano (sotto), le deformazioni sono maggiori tanto più
ci si allontana dal centro.
Poiché ho studiato la legge di Hooke che mi assicura un legame tra le tensioni e le
deformazioni posso dire che le tensioni saranno distribuite come le deformazioni.
Al centro la tensione sarà nulla così come nulle sono le deformazioni, mentre man mano
che ci allontaniamo dal centro le tensioni aumentano ed il valore massimo si ottiene nei
punti più lontani dall’asse neutro.
![Page 16: Vincoli Tensioni Caratteristiche di sollecitazione](https://reader036.fdocumenti.com/reader036/viewer/2022071920/55cf993d550346d0339c5b20/html5/thumbnails/16.jpg)
16
Nella figura seguente è rappresentata la sezione della trave e a desta i digrammi delle
deformazioni e delle tensioni.
Diagramma delledeformazioni
Sezione
Diagramma delle tensioni
c
t
c
t
P
Ad esempio nel punto P la deformazione e la tensione sono individuate dai segmenti rossi
in figura.
E’ facile capire come in tutti i punti che stanno alla stessa distanza dall’asse di simmetria
orizzontale, si hanno le stesse deformazioni e le stesse tensioni. Al centro sia le
deformazioni che le tensioni sono pari a zero e per questo l’asse di simmetria orizzontale
viene detto asse neutro.
Vediamo adesso di capire, come è possibile calcolare le tensioni massime di trazione e
compressione.
A lezione abbiamo dato delle formule:
c t
M
w ; questo è il valore assunto dalla tensione nei punto più lontani ed è
indicata nella figura sopra.
M è il valore del momento flettente che agisce agli estremi dell’asta e W si chiama modulo
di resistenza ed è una caratteristica della forma della sezione.
Adesso che abbiamo capito come sono distribuite le tensioni sulla sezione, proviamo a
farne una rappresentazione tridimensionale riportando in ogni punto il valore della
tensione perpendicolarmente (vedi prisma delle tensioni).
![Page 17: Vincoli Tensioni Caratteristiche di sollecitazione](https://reader036.fdocumenti.com/reader036/viewer/2022071920/55cf993d550346d0339c5b20/html5/thumbnails/17.jpg)
17
a
b
x x
y
y
Asse ne
utroc
t
Asse ne
utro
c
t
Sezione a
b
La parte superiore della sezione è caratterizzata da tensioni di compressione, mentre
quella inferiore da tensioni di trazione. Calcoliamo allora separatamente il volume della
parte compressa da quello della parte tesa. In entrambi i casi consideriamo un prisma a
base triangolare ed altezza pari ad a.
1 1;
2 2 2 2c t
b bC a T a
Ma naturalmente essendo c = t sarà C = T, il che peraltro era anche immaginabile
dovendo essere necessariamente una coppia, abbiamo, infatti, detto, che il volume del
prisma delle tensioni deve essere uguale alla caratteristica di sollecitazione nella sezione,
che in questo caso è appunto un momento o coppia.
Le due forze C e T formano allora un momento che deve essere uguale a quello M esterno
(caratteristica di sollecitazione).
Per poter calcolare quanto vale la coppia formata da C e T dobbiamo sarebbe il braccio di
questa coppia ossia la distanza che c’è tra T e C. Ebbene sia C che T sono applicate nel
baricentro del diagramma triangolare e quindi la loro distanza sarà pari a 2/3 b.
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Asse ne
utroc
t
C
T
a
b
2 3 b