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Vincoli, molteplicità e gradi di libertà Un corpo in un piano presenta tre possibilità di movimento: può muoversi lungo 2 direzioni

x ed y, tra loro perpendicolari, e può ruotare attorno ad un qualunque punto del piano.

Le strutture che noi studiamo sono costituite da aste che possono avere una qualunque

direzione, in genere però abbiamo elementi orizzontali che chiamiamo travi ed elementi

verticali che chiamiamo pilastri. I gradi di libertà di un’asta nel piano sono tre, ma se la

nostra struttura è costituita da più aste i gradi di libertà saranno pari a 3xn dove n è il

numero di aste di cui è costituita la struttura.

Affinché la struttura sia staticamente determinata, possa cioè stare in equilibrio devono

essere presenti dei vincoli che impediscono il movimento e che sono in grado di esercitare

delle forze che si oppongono a quelle che agiscono sulla trave. Le forze o i carichi

assegnati sulla trave si indicano, nel complesso, col nome di forze esterne a queste forze

si oppongono i vincoli attraverso delle forze che vengono chiamate reazioni vincolari.

L’insieme delle forze esterne più le reazioni vincolari devono annullarsi, affinchè la

struttura possa essere in equilibrio.

I vincoli possono dunque essere considerati da due diversi punti di vista: quello cinematico

(del movimento) e quello statico (delle forze) dal punto di vista cinematico il vincolo è un

dispositivo che riesce ad impedire uno o più movimenti alla struttura, dal punto di vista

statico il vincolo è un dispositivo in grado di esercitare una o più forze sulla struttura che

siano in grado di opporsi alle forze esterne.

In effetti i due punti di vista non sono poi così distinti, in quanto è chiaro, che se io voglio

impedire un movimento, devo essere in grado di esercitare una forza che impedisce quel

movimento.

Il numero di movimenti che un vincolo riesce ad impedire (possono essere 1, 2 oppure 3)

si dice molteplicità del vincolo, mentre, come abbiamo già scritto, i gradi di libertà

rappresentano il numero di movimenti che una struttura può compiere.

I vincoli sono il carrello e la biella (molteplicità uno) impedisce un movimento

La cerniera (molteplicità 2) impedisce due movimenti

L’incastro (molteplicità 3) impedisce tre movimenti

La molteplicità di un vincolo, oltre che esprimere il numero di movimenti che quel vincolo

riesce ad impedire, esprime anche il numero di forze che esso può produrre per opporsi a

quelle esterne. Quando risolviamo una struttura, ossia troviamo le reazioni dei vincoli, mettiamo una forza se c’è il carrello due forze se c’è la cerniera, due forze ed un momento se c’è l’incastro.

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Se io voglio, dunque, impedire ad una struttura di muoversi dovrò inserire dei vincoli che

devono essere in grado di impedire tutti i movimenti che la struttura è in grado di

compiere. Ma come abbiamo già detto, impedire ad una struttura di muoversi significa

esercitare delle forze che impediscano i movimenti. Compito dei vincoli è allora quello di

esercitare un sistema di forze1 che si oppongono a quelle esterne e tali che la somma

totale di tutte le forze (esterne + reazioni vincolari) faccia zero, ossia che la struttura sia in

equilibrio.

La somma delle reazioni vincolari deve, dunque, essere uguale ed opposta alla somma

delle forze esterne.

Dal punto di vista matematico l’equilibrio significa, dunque somma delle forze uguale a

zero e più precisamente posso scrivere tre diversi equilibri:

Quello delle forze verticali: 0VF

Quello delle forze orizzontali: 0HF

Quello dei momenti delle forze rispetto ad un punto P qualsiasi: 0PM .

In base al numero di gradi di libertà (g.l.) ed alla somma delle molteplicità dei vincoli (m)

una struttura può essere:

1. labile

2. isostatica

3. iperstatica

Una struttura si dice labile se presenta delle possibilità di movimento.

Questo avviene sicuramente se la somma delle molteplicità dei vincoli è minore dei gradi

di libertà, . .Vm g l ma può anche accadere se i vincoli, pur essendo in numero

elevato, sono disposti in maniera non corretta;

La struttura sopra presenta tre gradi di libertà ma la somma delle molteplicità è pari a 2 (il

carrello ha molteplicità uno) quindi si può sicuramente muovere ed infatti può scorrere

lungo l’orizzontale.

1 La forza che esercita un vincolo si chiama reazione vincolare

3

L’asta seguente presenta 3 gradi di libertà, pur avendo 3 carrelli e quindi somma delle

molteplicità = 3, presenta possibilità di movimento, ossia si può muovere orizzontalmente

ed è dunque labile.

In effetti se i carrelli hanno tutti il piano di scorrimento parallelo, ne posso mettere quanti

ne voglio, ma la struttura sarà sempre labile.

N.B. Le strutture labili, in generale, non si possono risolvere, ma se non sono presenti forze che agiscono lungo la labilità sono risolvibili. Tuttavia una struttura di tipo edilizio non sarà mai labile. Ad esempio una trave orizzontale su due carrelli, se non sono presenti forze orizzontali ( la

labilità della struttura sta appunto nella possibilità di muoversi orizzontalmente) è

risolvibile, si ci fosse una forza orizzontale invece inizierebbe a muoversi e quindi sarebbe

irrisolvibile.

Una struttura si dice iperstatica, se risulta eccessivamente vincolata, ossia presenta una

somma delle molteplicità dei vincoli superiore ai gradi di libertà. . .Vm g l

Anche in questo caso vale però quanto detto sopra, ossia che i vincoli devono essere ben

disposti. Una struttura iperstatica, dunque, non presenta possibilità di movimento ed ha

somma delle molteplicità > del numero di gradi di libertà.

Le strutture che invece hanno più vincoli del necessario si dicono iperstatiche ed, in

genere, non sono risolvibili solamente con le equazioni della statica, ma bisogna fare

riferimento ad altre equazioni.

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La struttura sopra è iperstatica perché l’incastro ha molteplicità 3 ed essendoci una sola

asta i gradi di libertà sono anch’essi tre, il carrello è quindi in più. Per ogni elemento noi

possiamo scrivere le tre equazioni di equilibrio, ma le incognite qui sarebbero 4: tre dovute

all’incastro ed una al carrello quindi ho tre equazioni e quattro incognite e perciò non

posso risolvere il problema.

La stessa struttura però se la sollecito solamente con una forza orizzontale si può risolvere

Infatti il carrello non è in grado di opporsi alla forza orizzontale, in pratica per quella forza

il carrello è ininfluente, l’incastro è dunque il solo vincolo che reagisce e lo farà con una

forza uguale ed opposta.

Si dicono infine isostatiche quelle strutture in cui . .Vm g l a patto però che i vincoli

siano disposti bene altrimenti potrebbero essere labili.

La più diffuse strutture isostatiche sono l’asta vincolata con cerniera e carrello e l’asta

incastrata:

In entrambi i casi si verica la condizione . .Vm g l ed i vincoli sono disposti bene.

Calcolo delle reazioni vincolari. La prima cosa da fare quando ci troviamo davanti ad una struttura è quella di calcolare le

reazioni vincolari, ossia quelle forze che i vincoli esercitano e che servono per opporsi alle

forze esterne di modo che la somma totale delle forze faccia zero!

Le reazioni vincolari rappresentano le incognite del nostro problema e sono pari, come

numero, alla somma delle molteplicità dei vincoli.

Per risolvere le strutture, ossia calcolare le reazione vincolari, devo dunque disporre di un

numero di equazione uguale al numero di incognite, ossia al numero delle molteplicità.

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Noi abbiamo a disposizione tre equazioni per ogni asta, che, come abbiamo scritto,

vengono dette equazioni di equilibrio.

Sono dunque risolvibili quelle strutture che presentano un numero di gradi di libertà pari al

numero delle molteplicità dei vincoli, a patto che non presenti labilità.

La struttura a sinistra è costituita da tre aste, e presenta

dunque 3x3=9 gradi di libertà, possono dunque scrivere 9

equazioni. I vincoli sono invece 2 cerniere (molteplicità 2) e

due incastri (molteplicità 3) pertanto la somma delle

molteplicità fa 10 quindi superiore ai gradi di libertà. Il

sistema è dunque iperstatico e non si può risolvere con le

sole equazioni di equilibrio.

La struttura qui a sinistra è costituita da due aste, quindi

2x3=6 gradi di libertà, possono pertanto scrive 6 equazioni

di equilibrio. Le incognite, pari alla somma delle molteplicità,

sono anch’esse 6 (3 cerniere ognuna con molteplicità 2;

3x2=6). Il sistema ha, inoltre, i vincoli disposti bene ed è

dunque isostatico e risolvibile con le equazioni di equilibrio.

Dall’analisi di quanto scritto ci rendiamo conto che non si può semplicisticamente dire che

- le strutture con più vincoli del necessario sono iperstatiche

- quelle con vincoli strettamente necessari sono isostatiche.

Si può affermare con sicurezza che se . .Vm g l la struttura è labile

Se invece . .Vm g l la struttura può essere isostatica (se i vincoli sono ben disposti)

Infine se . .Vm g l la struttura può essere iperstatica.

Noi possiamo risolvere con le equazioni della statica solo quelle strutture che abbiano

. .Vm g l e che non siano labili, quindi con i vincoli ben disposti.

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Caratteristiche di sollecitazione Le caratteristiche di sollecitazione sono: sforzo normale, momento flettente, taglio, e

momento torcente (quest’ultimo non lo abbiamo studiato perché molto raro).

Per capire cosa sono le caratteristiche di sollecitazione abbiamo immaginato di tagliare una

trave in due parti e di separare le due parti. Anche se la trave integra era in equilibrio i

due pezzi separati non lo sono e per assicurare l’equilibrio delle due parti separate

dobbiamo aggiungere delle forze.

E’ possibile notare come le forze che dobbiamo aggiungere alla due parti, per metterle in

equilibrio, sono le stesse sia da una parte che dall’altra.

Il fatto che la trave nel suo insieme sia in equilibrio, mentre i due pezzi non lo sono mi

permette di pensare che attraverso la sezione dove ho fatto il taglio si trasmettano delle

forze e queste forze si chiamano caratteristiche di sollecitazione.

Cerchiamo di capire meglio con un esempio. Consideriamo ad esempio la seguente trave,

sottoposta ad un sistema di forze in equilibrio:

100 N

350 N

2 m 4 m 2 m

287.5 N162.5 N

150 N 150 NC

Immaginiamo di tagliare la trave in due parti che indico con 1 e 2 e di aggiungere le forze

ad entrambi i pezzi per garantire l’equilibrio.

100 N

162.5 N

150 N

2 m 1.5 m

VC1

HC1

1

C1

MC1

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Per l’equilibrio verticale deve essere VC1 = 62.5 N

Per l’equilibrio orizzontale deve essere HC1=150 N

Se calcolo il momento flettente rispetto al punto C1 vedo però che la trave non è in

equilibrio, infatti 162,5 x 3,5 – 100 x 1,5 = 418,75 Nm in senso orario ed allora devo

aggiungere anche un momento pari a MC1= 418,75 Nm che però gira in senso opposto

(antiorario).

350 N

287.5 N

150 N

2 m2.5 m

2

HC2

VC2

C2

MC2

Anche per il pezzo 2:

Per l’equilibrio verticale deve essere VC2 = 62.5 N

Per l’equilibrio orizzontale deve essere HC2=150 N

Scrivendo l’equilibrio dei momenti rispetto al punto C2 ottengo MC2 = 418,75 Nm.

Il valore della forza orizzontale che si scambiano i due pezzi la chiamo sforzo normale,

quello della forza verticale la chiamo taglio, e quello del momento lo chiamo momento

flettente.

In pratica lo sforzo normale è dato dal valore della forza parallela all’asse della trave che si

scambiano i due pezzi, il valore del taglio equivale al valore della forza perpendicolare

all’asse che si scambiano i due pezzi ed infine il valore del momento flettente equivale al

valore della coppia (del momento) che si scambiano i due pezzi.

Relativamente al mio esempio quindi ho nella sezione C:

- sforzo normale pari a 150 N,

- taglio pari a 62,5 N

- momento flettente pari a 428,75 N

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Adesso penso che il taglio che ho fatto lo posso fare in qualunque sezione della trave ed

allora in qualunque sezione della trave si scambiano delle forze ossia in qualunque sezione

della trave ci sono determinate caratteristiche di sollecitazione (le forze che si scambiano

in una sezione della trave le ho chiamate caratteristiche di sollecitazione).

Inoltre ho visto come in entrambi i pezzi le forze che devo aggiungere per l’equilibrio sono

le stesse, quindi le caratteristiche di sollecitazione dipendono solamente dalla sezione e

per trovarle è possibile considerare sia il pezzo di destra che di sinistra (per questo vi dico

sempre che è possibile guardare sia a sinistra che a destra).

Calcolo delle caratteristiche di sollecitazione e tracciamento dei loro diagrammi. Nel paragrafo precedente abbiamo capito cosa siano le caratteristiche di sollecitazione ed

abbiamo anche visto come calcolarle in una sezione.

Lo sforzo normale è il nodulo della forza parallela all’asse dell’elemento, il taglio è il

modulo della forza perpendicolare all’asse ed il momento flettente è rappresentato dal

valore della coppia.

Vediamo adesso un metodo più veloce per trovare il valore delle caratteristiche di

sollecitazione lungo la trave ed addirittura un diagramma che rappresenta il valore delle

caratteristiche lungo tutta la trave e non semplicemente in un punto.

Consideriamo a titolo di esempio l’asta seguente:

A

B C DE

F

q =200 N/m1

q =300 N/m2

200 N

1 m 0,5 m 1 m 2 m 1 m

200 N

Dapprima bisogna calcolare il valore dei due carichi q1 e q2 si moltiplica dunque l’intensità

del carico [N/m] per la lunghezza sulla quale è applicato ottenendo una forza [N], queste

forze le indico con la lettera Q.

Q1=200x1=200 N Q2 = 300x3=900 N

E si tolgono i vincoli mettendo al loro posto le forze incognite.

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Nel caso del carrello si mette una forza diretta perpendicolarmente al piano di scorrimento

e nel caso della cerniera si mettono due forze uno orizzontale ed una verticale. Come

possiamo notare ho introdotto tre incognite: una dal carrello e due dalla cerniera.

N.B. il numero di incognite per definire la reazione del vincolo equivale alla molteplicità

dello stesso.

AB C D F

200 N

1 m 0,5 m 1 m 2 m 1 m

200 N

VE

HE

Q1

Q2

VA

Per calcolare le reazioni vincolari adesso uso le equazioni di equilibrio:

0HF ; - HE – 200 = 0 ; HE = -200 ; HE= 200 N

HE è venuta negativa, quindi significa che ho sbagliato a mettere il verso, anziché a

sinistra è a destra.

0EM ; -(VA x 4,5)–(Q1 x 4)–(200 x 3)–(Q2 x 0,5)= 0; sostituendo i valori di Q1 e Q2

-VA x 4,5 = 1850; VA=-1850/4,5 ; VA= 411,11 N

Anche VA è venuta negativa, quindi non è verso il basso, ma verso l’alto

0VF ; +411,11 - 200 - 200 - 900 +VE = 0; -888,89 + VE = 0; VE = 888,89 N

VE è venuto positivo e quindi è corretto verso l’alto.

Prima di procedere ai diagrammi delle caratteristiche di sollecitazione si ridisegna la trave

risolta ( con le reazioni vincolari trovate).

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Le tensioni Le caratteristiche di sollecitazione sono dunque le forze che agiscono in corrispondenza

delle sezioni della trave se però immagino di dividere in tanti piccoli pezzi l’area della

sezione posso immaginare che ogni elementino (pezzettino) di area contribuisca con una

piccola forza e naturalmente la somma di tutte queste piccole forze darà la forza totale

che viene scambiata attraverso la sezione.

Riferiamoci all’esempio fatto sopra, dove avevo trovato che nella sezione C c’è uno sforzo

normale pari a 150 N ossia una forza F perpendicolare alla sezione pari a 150 N.

Immagino di dividere in tanti quadratini la sezione ogni quadratino darà una forza ∆Fi e la

somma di tutte le forze deve essere pari ad F = 150 N, ossia ∑ Fi = F.

F

Tante forzettine

La cosa importante da capire è che ogni “clementino” della sezione contribuisce con una

“forzettina” e la somma di tutte le “forzettine” è uguale alla caratteristica di sollecitazione

(ricordo ancora che la caratteristica di sollecitazione è una forza).

Definiamo adesso cosa è la tensione: essa è il rapporto tra una forza ed un area. Per

arrivare al concetto di tensione devo pensare di divedere ogni “forzettina” (fornita da un

“clementino” di sezione) per l’area dell’”clementino” ossia se chiamo con Ai l’area del

generico pezzettino la tensione in quel pezzettino vale i

ii

Ft

A

come la forza la tensione è

rappresentabile con un vettore che ha le stesse direzione e verso della forza, ma il suo

valore è dato dal rapporto tra forza ed area e la sua unità di misura è Kg/cm2 oppure

N/mm2.

Se immagino di dividere la sezione in un numero enorme di pezzettini ogni pezzettino

diventerà talmente piccolo da essere un punto, in effetti la tensione è definita in ogni

punto della sezione.

Qualche rigo sopra avevo detto come la somma di tutte le “forzettine” deve essere uguale

alla forza totale che si scambia nella sezione utilizzando il concetto di tensione posso

adesso scrivere che:

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i i ii i

F F t A .

Comportamento elastico lineare Una delle ipotesi che facciamo nello studio delle strutture è che i materiali da noi utilizzati

hanno un comportamento elastico-lineare.

Per comportamento elastico si intende il fatto che quando agisce una forza, ad esempio di

trazione l’elemento si deforma (allungandosi e restringendosi) e quando questa forza

smette l’elemento ritorna alle sue dimensioni naturali (come fa un elastico).

Per lineare si intende invece il fatto che gli allungamenti o accorciamenti sono

proporzionali alla forza ossia se tiro con una forza doppia l’allungamento è doppio, se tiro

con una forza tripla l’allungamento è triplo.

La legge di Hooke Introduciamo dapprima il concetto di deformazione: è il rapporto tra l’allungamento e la

lunghezza iniziale lunghezza finale - lunghezza iniziale

lunghezza iniziale

l

l

La deformazione non ha unità di misura essendo il rapporto tra 2 lunghezze.

Hooke dice che c’è una proporzionalità diretta tra tensioni e deformazioni.

Immaginiamo di tirare una asta essa subisce degli allungamenti e abbiamo detto che gli

allungamenti sono proporzionali alla forza la legge di hooke discende direttamente da

questo fatto, ma anziché considerare forze ed allungamenti considera tensioni e

deformazioni, d’altronde la tensione è legata alla forza essendo data dalla forzettina/area

dell’elementino e la deformazione è legata anch’essa all’allungamento essendo il rapporto

allungamento/lunghezza iniziale.

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La compressione o trazione semplice Si ha compressione semplice quando la forza che agisce sull’elemento è perpendicolare

alla sezione e passa per il baricentro (in pratica la retta d’azione della forza coincide con

l’asse dell’elemento).

N N

Dall’osservazione della deformazione di un elemento sottoposto a compressione semplice

o a trazione semplice ci accorgiamo che si allunga in maniera uniforme, cioè tutti i punti di

una stessa sezione subiscono il medesimo allungamento o accorciamento ossia la stessa

deformazione, in base alla legge di Hooke posso allora dire che in tutti i punti della sezione

ci sarà la stessa tensione.

La tensione è dunque costante in tutti i punti di una stessa sezione, questo ragionamento

vale per qualunque sezione.

Abbiamo imparato che la tensione è data dal rapporto tra la “forzettina” e l’area dell’

“elementino” ed inoltre che la somma di tutte le forzettine sulla sezione è uguale al valore

della della caratteristica di sollecitazione.

i i ii i

N F t A , ma ho appena detto che la tensione è costante su tutta la sezione

ed allora t non dipende dall’elementino i-esimo ma essendo costante si può portare fuori

dalla sommatoria: i i i toti i

t A t A tA Naturalmente la somma delle aree coincide

con l’area totale della sezione.

Indicando dunque con N il valore dello sforzo normale che si ha in una sezione, in base a

quanto sopra detto ricavo che il valore della tensione (che indico con la lettera greca

costante in tutta la sezione, risulta N

A .

Il valore della caratteristica di sollecitazione N vale quindi: N A che posso

immaginare come un parallelepipedo avente come base l’area della sezione A e come

altezza il valore di Questa figura solida è detta prisma delle tensioni.

Il prisma delle tensioni Ricordo che la caratteristica di sollecitazione è una forza (o coppia) interna che viene

scambiata in una determinata sezione, abbiamo, inoltre, definito la tensione in un

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quadratino come: i

ii

Ft

A

ossia ogni “quadratino” di area Ai contribuisce con una forza Fi

e naturalmente la somma di tutte queste forze deve essere uguale al valore della

caratteristica di sollecitazione in quella sezione.

Quindi: caratteristica di sollecitazione=i i ii i

F A t

A questo punto io posso immaginare di dividere l’area della sezione in tanti quadratini ed

applicare, perpendicolarmente, al centro di ogni quadratino una altezza pari al valore della

tensione. Si otterranno così tanti parallelepipedi il volume di ognuno, essendo Area di base

per altezza, sarà pari a i iA t il volume totale di tutti i parallelepipedi così ottenuti è

quindi: i ii

A t , quindi, per quanto detto sopra, il volume è uguale al valore della

caratteristica di sollecitazione. La figura solida il cui volume è pari alla caratteristica di

sollecitazione si chiama prisma delle tensioni.

Voglio qui introdurre il concetto di prisma delle tensioni esso è una figura ottenuta

riportando, punto per punto, sulla sezione di un elemento il valore della tensione in quel

punto. Si ottiene una figura geometrica il cui volume equivale al valore della caratteristica

di sollecitazione in quel punto.

La flessione semplice La flessione semplice si ha quando sulla trave agisce esclusivamente un momento o

coppia.

Per effetto di questo carico la trave si deforma piegandosi ed assumendo la forma di un

arco di cerchio. La trave cambia forma, il suo asse che prima era rettilineo diventa un arco

di cerchio ma la sua lunghezza non cambia.

La parte superiore della trave subisce un accorciamento e la parte la parte inferiore

subisce un allungamento.

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Trave prima ------ e dopo la deformazione

Se guardiamo da vicino un tratto di trave posto al centro osserviamo la sua deformazione

nella figura seguente:

A

B

C

D

A'

B'D'

C'

La linea centrale si incurva, ma non subisce allungamenti o accorciamenti, mentre le altre

fibre si accorciano (sopra) o si allungano (sotto), le deformazioni sono maggiori tanto più

ci si allontana dal centro.

Poiché ho studiato la legge di Hooke che mi assicura un legame tra le tensioni e le

deformazioni posso dire che le tensioni saranno distribuite come le deformazioni.

Al centro la tensione sarà nulla così come nulle sono le deformazioni, mentre man mano

che ci allontaniamo dal centro le tensioni aumentano ed il valore massimo si ottiene nei

punti più lontani dall’asse neutro.

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Nella figura seguente è rappresentata la sezione della trave e a desta i digrammi delle

deformazioni e delle tensioni.

Diagramma delledeformazioni

Sezione

Diagramma delle tensioni

c

t

c

t

P

Ad esempio nel punto P la deformazione e la tensione sono individuate dai segmenti rossi

in figura.

E’ facile capire come in tutti i punti che stanno alla stessa distanza dall’asse di simmetria

orizzontale, si hanno le stesse deformazioni e le stesse tensioni. Al centro sia le

deformazioni che le tensioni sono pari a zero e per questo l’asse di simmetria orizzontale

viene detto asse neutro.

Vediamo adesso di capire, come è possibile calcolare le tensioni massime di trazione e

compressione.

A lezione abbiamo dato delle formule:

c t

M

w ; questo è il valore assunto dalla tensione nei punto più lontani ed è

indicata nella figura sopra.

M è il valore del momento flettente che agisce agli estremi dell’asta e W si chiama modulo

di resistenza ed è una caratteristica della forma della sezione.

Adesso che abbiamo capito come sono distribuite le tensioni sulla sezione, proviamo a

farne una rappresentazione tridimensionale riportando in ogni punto il valore della

tensione perpendicolarmente (vedi prisma delle tensioni).

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a

b

x x

y

y

Asse ne

utroc

t

Asse ne

utro

c

t

Sezione a

b

La parte superiore della sezione è caratterizzata da tensioni di compressione, mentre

quella inferiore da tensioni di trazione. Calcoliamo allora separatamente il volume della

parte compressa da quello della parte tesa. In entrambi i casi consideriamo un prisma a

base triangolare ed altezza pari ad a.

1 1;

2 2 2 2c t

b bC a T a

Ma naturalmente essendo c = t sarà C = T, il che peraltro era anche immaginabile

dovendo essere necessariamente una coppia, abbiamo, infatti, detto, che il volume del

prisma delle tensioni deve essere uguale alla caratteristica di sollecitazione nella sezione,

che in questo caso è appunto un momento o coppia.

Le due forze C e T formano allora un momento che deve essere uguale a quello M esterno

(caratteristica di sollecitazione).

Per poter calcolare quanto vale la coppia formata da C e T dobbiamo sarebbe il braccio di

questa coppia ossia la distanza che c’è tra T e C. Ebbene sia C che T sono applicate nel

baricentro del diagramma triangolare e quindi la loro distanza sarà pari a 2/3 b.

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Asse ne

utroc

t

C

T

a

b

2 3 b